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पाठ प्रकार:समस्या-विकासशील शिक्षण पद्धति के तत्वों का उपयोग करके नई सामग्री का अध्ययन करने का एक पाठ।
पाठ मकसद:
- संज्ञानात्मक:
- नए से परिचित गणितीय अवधारणा;
- नए ZUN का गठन;
- समस्याओं को हल करने के लिए व्यावहारिक कौशल का गठन।
- विकसित होना:
- छात्रों की स्वतंत्र सोच का विकास;
- कौशल विकास सही भाषणस्कूली बच्चे
- शैक्षिक:
- टीम वर्क कौशल का विकास।
सबक उपकरण:चुंबकीय बोर्ड, कंप्यूटर, स्क्रीन, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, शंकु मॉडल, पाठ प्रस्तुति, हैंडआउट।
पाठ उद्देश्य (छात्रों के लिए):
- नए लोगों से मिलो ज्यामितीय अवधारणा- शंकु;
- एक शंकु के सतह क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें;
- व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अर्जित ज्ञान को लागू करना सीखें।
कक्षाओं के दौरान
मैं मंच। संगठनात्मक।
घर से नोटबुक सौंपना सत्यापन कार्यकवर किए गए विषय पर।
छात्रों को रिबस को हल करके आगामी पाठ के विषय का पता लगाने के लिए आमंत्रित किया जाता है (स्लाइड 1):
चित्र 1।
पाठ के विषय और उद्देश्यों के छात्रों के लिए घोषणा (स्लाइड 2).
द्वितीय चरण। नई सामग्री की व्याख्या।
1) शिक्षक का व्याख्यान।
बोर्ड पर एक शंकु की छवि वाली एक मेज है। नई सामग्रीसाथ में कार्यक्रम सामग्री "स्टीरियोमेट्री" में समझाया गया है। स्क्रीन पर एक शंकु की त्रि-आयामी छवि दिखाई देती है। शिक्षक एक शंकु की परिभाषा देता है, उसके तत्वों के बारे में बात करता है। (स्लाइड 3). ऐसा कहा जाता है कि शंकु एक पिंड है जो पैर के सापेक्ष एक समकोण त्रिभुज के घूमने से बनता है। (स्लाइड 4, 5)।शंकु की पार्श्व सतह के विकास की एक छवि दिखाई देती है। (स्लाइड 6)
2) व्यावहारिक कार्य।
अपडेट करना मौलिक ज्ञान: वृत्त का क्षेत्रफल, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, वृत्त की परिधि, वृत्त के चाप की लंबाई की गणना के लिए सूत्रों को दोहराएं। (स्लाइड्स 7-10)
वर्ग को समूहों में बांटा गया है। प्रत्येक समूह को कागज से काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का एक स्कैन प्राप्त होता है (एक निर्दिष्ट संख्या वाला एक सर्कल सेक्टर)। छात्र आवश्यक माप लेते हैं और परिणामी क्षेत्र के क्षेत्र की गणना करते हैं। काम करने के निर्देश, प्रश्न - समस्या विवरण - स्क्रीन पर दिखाई देते हैं (स्लाइड 11-14). प्रत्येक समूह का प्रतिनिधि बोर्ड पर तैयार की गई तालिका में गणना के परिणाम लिखता है। प्रत्येक समूह के प्रतिभागी अपने विकास से शंकु के मॉडल को चिपकाते हैं। (स्लाइड 15)
3) कथन और समस्या का समाधान।
एक शंकु के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें यदि केवल आधार की त्रिज्या और शंकु के जेनरेट्रिक्स की लंबाई ज्ञात हो? (स्लाइड 16)
प्रत्येक समूह आवश्यक माप करता है और उपलब्ध डेटा का उपयोग करके आवश्यक क्षेत्र की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करने का प्रयास करता है। इस काम को करते समय, छात्रों को ध्यान देना चाहिए कि शंकु के आधार की परिधि क्षेत्र के चाप की लंबाई के बराबर है - इस शंकु की पार्श्व सतह का विकास। (स्लाइड 17-21)का उपयोग करते हुए आवश्यक सूत्र, आवश्यक सूत्र प्रदर्शित होता है। छात्रों का तर्क कुछ इस तरह दिखना चाहिए:
त्रिज्यखंड की त्रिज्या - झाडू बराबर है मैं,चाप की डिग्री माप φ है। एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: इस त्रिज्यखंड को घेरने वाले चाप की लंबाई शंकु R के आधार की त्रिज्या के बराबर है। शंकु के आधार पर स्थित वृत्त की लंबाई C = 2πR है . ध्यान दें कि चूंकि शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इसके पार्श्व सतह के विकास के क्षेत्रफल के बराबर है, तो
तो, शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है एस बीओडी = Rl।
स्वतंत्र रूप से प्राप्त सूत्र के अनुसार शंकु मॉडल के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के बाद, प्रत्येक समूह के प्रतिनिधि मॉडल संख्याओं के अनुसार बोर्ड पर एक तालिका में गणना का परिणाम लिखते हैं। प्रत्येक पंक्ति में गणना परिणाम समान होना चाहिए। इस आधार पर शिक्षक प्रत्येक समूह के निष्कर्षों की शुद्धता का निर्धारण करता है। परिणाम तालिका इस तरह दिखनी चाहिए:
|
प्रतिरूप संख्या। |
मैं कार्य |
द्वितीय कार्य |
(125/3)π ~ 41.67π |
||
(425/9)π ~ 47.22π |
||
(539/9)π ~ 59.89π |
मॉडल पैरामीटर:
- एल=12 सेमी, =120°
- एल=10 सेमी, =150°
- एल=15 सेमी, =120°
- एल=10 सेमी, φ=170°
- एल=14 सेमी, φ=110°
गणना का सन्निकटन माप त्रुटियों से जुड़ा है।
परिणामों की जांच के बाद, शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्रों का आउटपुट स्क्रीन पर दिखाई देता है (स्लाइड 22-26)छात्र नोटबुक में नोट्स रखते हैं।
चरण III. अध्ययन सामग्री का समेकन।
1) छात्रों की पेशकश की जाती है के लिए कार्य मौखिक निर्णयतैयार चित्र पर।
आकृति में दिखाए गए शंकुओं की कुल सतहों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (स्लाइड्स 27-32).
2) प्रश्न:क्या शंकुओं की सतहों के क्षेत्रफल समान हैं? रोटेशन द्वारा गठितविभिन्न पैरों के संबंध में एक समकोण त्रिभुज? छात्र एक परिकल्पना बनाते हैं और उसका परीक्षण करते हैं। परिकल्पना परीक्षण समस्याओं को हल करके किया जाता है और छात्र द्वारा ब्लैकबोर्ड पर लिखा जाता है।
दिया गया: ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
बीएए", एबीवी" - क्रांति के निकाय।
ढूँढ़ने के लिए:एस पीपीसी 1, एस पीपीसी 2।
चित्र 5 (स्लाइड 33)
फेसला:
1) आर = बीसी = ए; एस पीपीसी 1 = एस बीओडी 1 + एस मुख्य 1 = ए सी + π ए 2 \u003d π ए (ए + सी)।
2) आर = एसी = बी; एस पीपीसी 2 = एस बीओडी 2 + एस मुख्य 2 = बी सी + बी 2 \u003d बी (बी + सी)।
यदि एस पीपीसी 1 = एस पीपीसी 2, तो ए 2 + एसी \u003d बी 2 + बीसी, ए 2 - बी 2 + एसी - बीसी \u003d 0, (ए-बी) (ए + बी + सी) \u003d 0।क्योंकि ए, बी, सीधनात्मक संख्याएँ (त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई), टूट-समानता तभी सत्य है जब ए =बी।
निष्कर्ष:दो शंकुओं के पृष्ठों का क्षेत्रफल केवल तभी बराबर होता है जब त्रिभुज की टाँगें बराबर हों। (स्लाइड 34)
3) पाठ्यपुस्तक से समस्या का समाधान: संख्या 565।
चतुर्थ चरण। पाठ को सारांशित करना।
गृहकार्य: पृष्ठ 55, 56; नंबर 548, नंबर 561। (स्लाइड 35)
ग्रेड की घोषणा।
पाठ के दौरान निष्कर्ष, पाठ में प्राप्त मुख्य जानकारी की पुनरावृत्ति।
साहित्य (स्लाइड 36)
- ज्यामिति ग्रेड 10-11 - अतानासियन, वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव एट अल।, एम।, ज्ञानोदय, 2008।
- « गणित की पहेलियाँऔर सारथी" - एन.वी. Udaltsov, पुस्तकालय "सितंबर का पहला", श्रृंखला "गणित", अंक 35, एम।, चिश्ये प्रुडी, 2010.
हम जानते हैं कि शंकु क्या होता है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। ऐसी समस्या को हल करना क्यों आवश्यक है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि कितना परीक्षा जाएगीवफ़ल शंकु बनाने के लिए? या किसी महल की ईंट की छत को गिराने में कितनी ईंटें लगेंगी?
एक शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को मापना आसान नहीं है। लेकिन कल्पना कीजिए कि उसी सींग को कपड़े में लपेटा गया है। कपड़े के टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और फैलाने की जरूरत है। यह पता चला है सपाट आकृति, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड
चलो शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। चलो काटते हैं पार्श्व सतहउदाहरण के लिए, किसी भी जेनरेटर के साथ, (चित्र 1 देखें)।
अब हम एक प्लेन पर साइड सरफेस को "अनइंड" करते हैं। हमें एक सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जनक के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। ऐसे त्रिज्यखंड को शंकु की पार्श्व सतह का विकास कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।
चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास
चावल। 3. रेडियन में कोण माप
आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। पहले, आइए एक संकेतन का परिचय दें: मान लें कि त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण रेडियन में है (चित्र 3 देखें)।
कार्यों में हम अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण का सामना करेंगे। इस बीच, आइए प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी क्या यह नहीं निकलेगा कि झाडू अपने आप सुपरइम्पोज़ हो जाएगा? बिलकूल नही। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्वीप को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप आर्क की लंबाई त्रिज्या की परिधि है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेटर से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है
तो आइए हम योजनामिति के पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र: .
हमारे मामले में, भूमिका जेनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:
अंत में हमें मिलता है:
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के साथ-साथ कोई भी क्षेत्रफल ज्ञात कर सकता है पूरी सतह. ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व सतह क्षेत्र में जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल, सूत्र के अनुसार, है।
अंत में हमारे पास है: , जहाँ बेलन के आधार की त्रिज्या है, जनक है।
आइए दिए गए फ़ार्मुलों पर कुछ समस्याओं को हल करें।
चावल। 4. वांछित कोण
उदाहरण 1. शंकु की पार्श्व सतह का विकास एक त्रिज्यखंड है जिसके शीर्ष पर एक कोण होता है। यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो यह कोण ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 4)।
चावल। 5. सही त्रिकोणएक शंकु बनाना
पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जेनरेट्रिक्स पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं कि .
उदाहरण 2. वर्ग अक्षीय खंडशंकु है , ऊँचाई है । कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 6 देखिए)।
हम जानते हैं कि शंकु क्या होता है, आइए इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। ऐसी समस्या को हल करना क्यों आवश्यक है? उदाहरण के लिए, आपको यह समझने की जरूरत है कि वफ़ल कोन बनाने में कितना आटा लगेगा? या किसी महल की ईंट की छत को गिराने में कितनी ईंटें लगेंगी?
एक शंकु के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को मापना आसान नहीं है। लेकिन कल्पना कीजिए कि उसी सींग को कपड़े में लपेटा गया है। कपड़े के टुकड़े के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको इसे टेबल पर काटने और फैलाने की जरूरत है। हमें एक सपाट आकृति मिलती है, हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
चावल। 1. जेनरेट्रिक्स के साथ शंकु का खंड
चलो शंकु के साथ भी ऐसा ही करते हैं। आइए किसी भी जेनरेटर के साथ इसकी पार्श्व सतह को "काट" दें, उदाहरण के लिए, (चित्र 1 देखें)।
अब हम एक प्लेन पर साइड सरफेस को "अनइंड" करते हैं। हमें एक सेक्टर मिलता है। इस त्रिज्यखंड का केंद्र शंकु का शीर्ष है, त्रिज्यखंड की त्रिज्या शंकु के जनक के बराबर है, और इसके चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के साथ मेल खाती है। ऐसे त्रिज्यखंड को शंकु की पार्श्व सतह का विकास कहा जाता है (चित्र 2 देखें)।
चावल। 2. पार्श्व सतह का विकास
चावल। 3. रेडियन में कोण माप
आइए उपलब्ध आंकड़ों के अनुसार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने का प्रयास करें। पहले, आइए एक संकेतन का परिचय दें: मान लें कि त्रिज्यखंड के शीर्ष पर कोण रेडियन में है (चित्र 3 देखें)।
कार्यों में हम अक्सर स्वीप के शीर्ष पर कोण का सामना करेंगे। इस बीच, आइए प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या यह कोण 360 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता है? यानी क्या यह नहीं निकलेगा कि झाडू अपने आप सुपरइम्पोज़ हो जाएगा? बिलकूल नही। आइए इसे गणितीय रूप से सिद्ध करें। स्वीप को "ओवरलैप" करने दें। इसका मतलब है कि स्वीप चाप की लंबाई त्रिज्या की परिधि से अधिक है। लेकिन, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, स्वीप आर्क की लंबाई त्रिज्या की परिधि है। और शंकु के आधार की त्रिज्या, निश्चित रूप से, जेनरेटर से कम है, उदाहरण के लिए, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण से कम है
तो आइए हम योजनामिति के पाठ्यक्रम से दो सूत्र याद करें: चाप की लंबाई। सेक्टर क्षेत्र: .
हमारे मामले में, भूमिका जेनरेटर द्वारा निभाई जाती है , और चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि के बराबर है, अर्थात। हमारे पास है:
अंत में हमें मिलता है:
पार्श्व सतह क्षेत्र के साथ, कुल सतह क्षेत्र भी पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आधार क्षेत्र को पार्श्व सतह क्षेत्र में जोड़ें। लेकिन आधार त्रिज्या का एक वृत्त है, जिसका क्षेत्रफल, सूत्र के अनुसार, है।
अंत में हमारे पास है: , जहाँ बेलन के आधार की त्रिज्या है, जनक है।
आइए दिए गए फ़ार्मुलों पर कुछ समस्याओं को हल करें।
चावल। 4. वांछित कोण
उदाहरण 1. शंकु की पार्श्व सतह का विकास एक त्रिज्यखंड है जिसके शीर्ष पर एक कोण होता है। यदि शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है और आधार की त्रिज्या 3 सेमी है, तो यह कोण ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 4)।
चावल। 5. एक शंकु बनाने वाला समकोण त्रिभुज
पहली क्रिया से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम जेनरेट्रिक्स पाते हैं: 5 सेमी (चित्र 5 देखें)। इसके अलावा, हम जानते हैं कि .
उदाहरण 2. शंकु के अक्षीय भाग का क्षेत्रफल है, ऊँचाई है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 6 देखिए)।
