Dalam pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier. Untuk ini, perlu untuk mengingat teorema Vieta dan kebalikannya. Keterampilan ini akan membantu kita dengan cepat dan mudah menguraikan trinomial kuadrat menjadi faktor linier, dan juga menyederhanakan pengurangan pecahan yang terdiri dari ekspresi.
Jadi kembali ke persamaan kuadrat , dimana .
Apa yang kita miliki di sisi kiri disebut trinomial persegi.
Teorema itu benar: Jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka identitasnya benar
Dimana adalah koefisien terkemuka, adalah akar dari persamaan.
Jadi, kami memiliki persamaan kuadrat - trinomial kuadrat, di mana akar persamaan kuadrat juga disebut akar trinomial kuadrat. Oleh karena itu, jika kita memiliki akar-akar suatu trinomial kuadrat, maka trinomial ini didekomposisi menjadi faktor-faktor linier.
Bukti:
Pembuktian fakta ini dilakukan dengan menggunakan teorema Vieta, yang telah kita bahas dalam pelajaran sebelumnya.
Mari kita ingat apa teorema Vieta memberitahu kita:
Jika adalah akar dari sebuah trinomial persegi yang , maka .
Teorema ini menyiratkan pernyataan berikut bahwa .
Kami melihat bahwa, menurut teorema Vieta, yaitu, mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus di atas, kami mendapatkan ekspresi berikut
Q.E.D.
Ingatlah bahwa kita telah membuktikan teorema bahwa jika adalah akar-akar trinomial kuadrat, maka dekomposisinya valid.
Sekarang mari kita ingat kembali contoh persamaan kuadrat, yang akarnya kita pilih menggunakan teorema Vieta. Dari fakta ini kita dapat memperoleh persamaan berikut berkat teorema terbukti:
Sekarang mari kita periksa kebenaran fakta ini hanya dengan memperluas tanda kurung:
Kami melihat bahwa kami memfaktorkan dengan benar, dan setiap trinomial, jika memiliki akar, dapat difaktorkan menurut teorema ini menjadi faktor linier menurut rumus
Namun, mari kita periksa apakah untuk persamaan apa pun faktorisasi seperti itu dimungkinkan:
Mari kita ambil persamaan misalnya. Pertama, mari kita periksa tanda diskriminan
Dan kita ingat bahwa untuk memenuhi teorema yang telah kita pelajari, D harus lebih besar dari 0, jadi dalam kasus ini faktorisasi oleh teorema yang dipelajari adalah tidak mungkin.
Oleh karena itu, kami merumuskan teorema baru: jika trinomial persegi tidak memiliki akar, maka ia tidak dapat didekomposisi menjadi faktor linier.
Jadi, kami telah mempertimbangkan teorema Vieta, kemungkinan penguraian trinomial kuadrat menjadi faktor linier, dan sekarang kami akan menyelesaikan beberapa masalah.
Tugas 1
Di grup ini, kita benar-benar akan menyelesaikan masalah yang berbanding terbalik dengan yang diajukan. Kami memiliki persamaan, dan kami menemukan akarnya, terurai menjadi faktor. Di sini kita akan melakukan yang sebaliknya. Katakanlah kita memiliki akar persamaan kuadrat
Masalah kebalikannya adalah ini: tulis persamaan kuadrat sehingga akar-akarnya.
Ada 2 cara untuk menyelesaikan masalah ini.
Karena adalah akar-akar persamaan, maka 
adalah persamaan kuadrat yang akar-akarnya diberi bilangan. Sekarang mari kita buka tanda kurung dan periksa:
Ini adalah cara pertama kami membuat persamaan kuadrat dengan akar yang diberikan yang tidak memiliki akar lain, karena persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua akar.
Metode ini melibatkan penggunaan teorema Vieta terbalik.
Jika adalah akar-akar persamaan, maka mereka memenuhi kondisi bahwa .
Untuk persamaan kuadrat tereduksi 
, , yaitu dalam hal ini , dan .
Jadi, kami telah membuat persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar yang diberikan.
Tugas #2
Anda perlu mengurangi pecahan.
Kami memiliki trinomial di pembilang dan trinomial di penyebut, dan trinomial mungkin atau mungkin tidak difaktorkan. Jika pembilang dan penyebutnya difaktorkan, maka di antara mereka mungkin ada faktor yang sama yang dapat direduksi.
Pertama-tama, perlu memfaktorkan pembilangnya.
Pertama, Anda perlu memeriksa apakah persamaan ini dapat difaktorkan, cari diskriminannya. Sejak , maka tanda tergantung pada produk ( harus kurang dari 0), dalam contoh ini , yaitu persamaan yang diberikan memiliki akar.
Untuk menyelesaikannya, kami menggunakan teorema Vieta:
Dalam hal ini, karena kita berurusan dengan akar, akan sangat sulit untuk mengambil akarnya saja. Tetapi kita melihat bahwa koefisien-koefisiennya seimbang, yaitu jika kita mengasumsikan bahwa , dan mensubstitusikan nilai ini ke dalam persamaan, maka diperoleh sistem berikut: yaitu 5-5=0. Jadi, kami telah memilih salah satu akar persamaan kuadrat ini.
Kita akan mencari akar kedua dengan mensubstitusikan apa yang sudah diketahui ke dalam sistem persamaan, misalnya , yaitu. .
Dengan demikian, kami telah menemukan kedua akar persamaan kuadrat dan dapat mensubstitusi nilainya ke dalam persamaan asli untuk memfaktorkannya:
Ingat masalah awal, kita perlu mengurangi pecahan.
Mari kita coba menyelesaikan masalah dengan mengganti pembilangnya.
Perlu diingat bahwa dalam hal ini penyebut tidak boleh sama dengan 0, mis.,.
Jika kondisi ini terpenuhi, maka kita telah mereduksi pecahan aslinya menjadi bentuk .
Tugas #3 (tugas dengan parameter)
Pada nilai parameter berapa jumlah akar persamaan kuadrat?
Jika akar persamaan ini ada, maka 
, pertanyaannya adalah kapan .
Faktorisasi trinomial kuadrat adalah salah satu tugas sekolah yang dihadapi semua orang cepat atau lambat. Bagaimana cara melakukannya? Apa rumus untuk memfaktorkan trinomial persegi? Mari kita membahasnya langkah demi langkah dengan contoh.
Rumus umum
Faktorisasi trinomial kuadrat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Ini adalah tugas sederhana yang dapat diselesaikan dengan beberapa metode - dengan menemukan diskriminan, menggunakan teorema Vieta, ada juga cara grafis untuk menyelesaikannya. Dua metode pertama dipelajari di sekolah menengah.
Rumus umumnya terlihat seperti ini:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)
Algoritma eksekusi tugas
Untuk memfaktorkan trinomial kuadrat, Anda perlu mengetahui teorema Wit, memiliki program untuk menyelesaikannya, dapat menemukan solusi secara grafis, atau mencari akar persamaan derajat kedua melalui rumus diskriminan. Jika trinomial kuadrat diberikan dan harus difaktorkan, algoritma tindakannya adalah sebagai berikut:
1) Samakan ekspresi asli dengan nol untuk mendapatkan persamaan.
2) Berikan istilah serupa (bila perlu).
3) Temukan akarnya dengan metode apa pun yang diketahui. Metode grafis paling baik digunakan jika diketahui sebelumnya bahwa akar-akarnya adalah bilangan bulat dan bilangan kecil. Harus diingat bahwa jumlah akar sama dengan derajat maksimum persamaan, yaitu persamaan kuadrat memiliki dua akar.
4) Nilai pengganti X menjadi ekspresi (1).
5) Tuliskan faktorisasi trinomial persegi.
Contoh
Latihan memungkinkan Anda untuk akhirnya memahami bagaimana tugas ini dilakukan. Contoh mengilustrasikan faktorisasi trinomial persegi:
anda perlu memperluas ekspresi:
Mari gunakan algoritme kami:
1) x 2 -17x+32=0
2) istilah serupa dikurangi
3) menurut rumus Vieta, sulit untuk menemukan akar untuk contoh ini, oleh karena itu lebih baik menggunakan ekspresi untuk diskriminan:
D=289-128=161=(12,69) 2
4) Substitusi akar yang kita temukan dalam rumus utama untuk ekspansi:
(x-2.155) * (x-14.845)
5) Maka jawabannya adalah:
x 2 -17x + 32 \u003d (x-2,155) (x-14,845)
Mari kita periksa apakah solusi yang ditemukan oleh diskriminan sesuai dengan rumus Vieta:
14,845 . 2,155=32
Untuk akar-akar ini, teorema Vieta diterapkan, mereka ditemukan dengan benar, yang berarti bahwa faktorisasi yang kami peroleh juga benar.
Demikian pula, kami memperluas 12x 2 + 7x-6.
x 1 \u003d -7 + (337) 1/2
x 2 \u003d -7- (337) 1/2
Dalam kasus sebelumnya, solusinya adalah non-integer, tetapi bilangan real, yang mudah ditemukan dengan kalkulator di depan Anda. Sekarang perhatikan contoh yang lebih kompleks di mana akarnya kompleks: faktorkan x 2 + 4x + 9. Menurut rumus Vieta, akarnya tidak dapat ditemukan, dan diskriminannya negatif. Akar akan berada di bidang kompleks.
D=-20
Berdasarkan ini, kami mendapatkan akar yang kami minati -4 + 2i * 5 1/2 dan -4-2i * 5 1/2 karena (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Kami mendapatkan ekspansi yang diinginkan dengan mengganti akar ke dalam rumus umum.
Contoh lain: Anda perlu memfaktorkan ekspresi 23x 2 -14x + 7.
Kami memiliki persamaan 23x 2 -14x+7 =0
D=-448
Jadi akar-akarnya adalah 14+21.166i dan 14-21.166i. Jawabannya adalah:
23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21.166i ).
Mari kita beri contoh yang dapat diselesaikan tanpa bantuan diskriminan.
Biarkan perlu untuk menguraikan persamaan kuadrat x 2 -32x + 255. Jelas, itu juga dapat diselesaikan oleh diskriminan, tetapi dalam hal ini lebih cepat untuk menemukan akarnya.
x 1 = 15
x2=17
Cara x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).
Kalkulator daring.
Pemilihan kuadrat binomial dan faktorisasi trinomial kuadrat.
Program matematika ini mengekstrak kuadrat binomial dari trinomial kuadrat, yaitu melakukan transformasi bentuk: \(ax^2+bx+c \panah kanan a(x+p)^2+q \) dan memfaktorkan trinomial kuadrat: \(ax^2+bx+c \panah kanan a(x+n)(x+m) \)
Itu. masalahnya direduksi menjadi menemukan bilangan \(p, q \) dan \(n, m \)
Program tidak hanya memberikan jawaban atas masalah, tetapi juga menampilkan proses solusi.
Program ini dapat bermanfaat bagi siswa SMA dalam persiapan menghadapi ujian dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum UN Unified State, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian berbagai masalah matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikan pekerjaan rumah matematika atau aljabar Anda secepat mungkin? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.
Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan Anda sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sementara tingkat pendidikan di bidang tugas yang harus diselesaikan meningkat.
Jika Anda tidak terbiasa dengan aturan untuk memasukkan trinomial persegi, kami sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.
Aturan untuk memasukkan polinomial persegi
Setiap huruf Latin dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) dll.
Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan dapat dimasukkan tidak hanya dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.
Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam pecahan desimal, bagian pecahan dapat dipisahkan dari bilangan bulat dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda dapat memasukkan desimal seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Aturan untuk memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat berperan sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat dari suatu pecahan.
Penyebutnya tidak boleh negatif.
Saat memasukkan pecahan numerik, pembilang dipisahkan dari penyebut dengan tanda pembagian: /
Bagian bilangan bulat dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)
Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, saat menyelesaikan, ekspresi yang diperkenalkan pertama kali disederhanakan.
Misalnya: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)
Contoh Solusi Terperinci
Pemilihan kuadrat binomial.$$ ax^2+bx+c \panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Menjawab:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisasi.$$ ax^2+bx+c \panah kanan a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kiri(x^2+x-2 \kanan) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \kanan) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Menjawab:$$2x^2+2x-4 = 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$
Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.
JavaScript harus diaktifkan agar solusi muncul.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.
Karena Ada banyak orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan Anda diantrekan.
Setelah beberapa detik, solusi akan muncul di bawah ini.
Mohon tunggu detik...
Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, maka Anda dapat menulisnya di Formulir Umpan Balik.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke lapangan.
Game, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Ekstraksi binomial persegi dari trinomial persegi
Jika trinomial bujur sangkar ax 2 + bx + c direpresentasikan sebagai a (x + p) 2 + q, di mana p dan q adalah bilangan real, maka mereka mengatakan bahwa dari trinomial persegi, kuadrat binomial disorot.
Mari kita ekstrak kuadrat binomial dari trinomial 2x 2 +12x+14.
\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)
Untuk melakukan ini, kami mewakili 6x sebagai produk dari 2 * 3 * x, dan kemudian menambah dan mengurangi 3 2 . Kita mendapatkan:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$
Itu. kami memilih kuadrat binomial dari trinomial kuadrat, dan menunjukkan bahwa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$
Faktorisasi trinomial persegi
Jika trinomial kuadrat ax 2 +bx+c direpresentasikan sebagai a(x+n)(x+m), di mana n dan m adalah bilangan real, maka operasi tersebut dikatakan dilakukan faktorisasi trinomial persegi.
Mari kita gunakan contoh untuk menunjukkan bagaimana transformasi ini dilakukan.
Mari kita faktorkan trinomial kuadrat 2x 2 +4x-6.
Mari kita ambil koefisien a dari tanda kurung, mis. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)
Mari kita ubah ekspresi dalam tanda kurung.
Untuk melakukan ini, kami mewakili 2x sebagai perbedaan 3x-1x, dan -3 sebagai -1*3. Kita mendapatkan:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$
Itu. kami faktorkan trinomial kuadrat, dan menunjukkan bahwa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$
Perhatikan bahwa faktorisasi suatu trinomial bujur sangkar hanya mungkin jika persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan trinomial ini memiliki akar-akar.
Itu. dalam kasus kami, memfaktorkan trinomial 2x 2 +4x-6 dimungkinkan jika persamaan kuadrat 2x 2 +4x-6 =0 memiliki akar. Dalam proses pemfaktoran, kami menemukan bahwa persamaan 2x 2 +4x-6 =0 memiliki dua akar 1 dan -3, karena dengan nilai-nilai ini, persamaan 2(x-1)(x+3)=0 berubah menjadi persamaan sejati.
Faktorisasi trinomial persegi dapat berguna ketika memecahkan pertidaksamaan dari masalah C3 atau masalah dengan parameter C5. Juga, banyak masalah kata B13 akan diselesaikan lebih cepat jika Anda mengetahui teorema Vieta.
Teorema ini, tentu saja, dapat dipertimbangkan dari sudut pandang kelas 8, di mana ia pertama kali lulus. Tapi tugas kita adalah mempersiapkan ujian dengan baik dan belajar bagaimana menyelesaikan tugas ujian seefisien mungkin. Oleh karena itu, pada pembelajaran kali ini pendekatannya sedikit berbeda dengan pembelajaran di sekolah.
Rumus untuk akar persamaan menurut teorema Vieta tahu (atau setidaknya telah melihat) banyak:
$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$
di mana `a, b` dan `c` adalah koefisien dari trinomial kuadrat `ax^2+bx+c`.
Untuk mempelajari cara menggunakan teorema dengan mudah, mari kita pahami dari mana asalnya (akan lebih mudah untuk mengingat dengan cara ini).
Misalkan persamaan `ax^2+ bx+ c = 0`. Untuk kemudahan lebih lanjut, kita membaginya dengan `a` dan mendapatkan `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Persamaan seperti itu disebut persamaan kuadrat tereduksi.
Poin pelajaran penting: setiap polinomial persegi yang memiliki akar dapat didekomposisi menjadi tanda kurung. Misalkan kita dapat direpresentasikan sebagai `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, di mana `k` dan ` l` - beberapa konstanta.
Mari kita lihat bagaimana tanda kurung terbuka:
$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$
Jadi, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.
Ini sedikit berbeda dari interpretasi klasik Teorema Vieta- di dalamnya kita mencari akar persamaan. Saya mengusulkan untuk mencari istilah untuk ekspansi braket- jadi Anda tidak perlu mengingat minus dari rumus (artinya `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Cukup memilih dua angka seperti itu, yang jumlahnya sama dengan koefisien rata-rata, dan produknya sama dengan suku bebas.
Jika kita membutuhkan solusi untuk persamaan, maka jelas: akar `x=-k` atau `x=-l` (karena dalam kasus ini salah satu tanda kurung akan diset ke nol, yang berarti bahwa seluruh ekspresi akan sama dengan nol).
Sebagai contoh, saya akan menunjukkan algoritma, cara menguraikan polinomial persegi menjadi tanda kurung.
Contoh satu. Algoritma untuk Memfaktorkan Trinomial Persegi
Jalur yang kita miliki adalah trinomial persegi `x^2+5x+4`.
Dikurangi (koefisien `x^2` sama dengan satu). Dia memiliki akar. (Yang pasti, Anda dapat memperkirakan diskriminan dan memastikan bahwa itu lebih besar dari nol.)
Langkah lebih lanjut (mereka perlu dipelajari dengan menyelesaikan semua tugas pelatihan):
- Buat notasi berikut: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Tinggalkan ruang kosong alih-alih titik, kami akan menambahkan angka dan tanda yang sesuai di sana.
- Lihat semua opsi yang memungkinkan, bagaimana Anda dapat menguraikan angka `4` menjadi produk dua angka. Kami mendapatkan pasangan "kandidat" untuk akar persamaan: `2, 2` dan `1, 4`.
- Perkirakan dari pasangan mana Anda bisa mendapatkan koefisien rata-rata. Jelas itu `1, 4`.
- Tulis $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$.
- Langkah selanjutnya adalah menempatkan tanda di depan angka yang disisipkan.
Bagaimana memahami dan mengingat selamanya tanda apa yang harus ada di depan angka dalam tanda kurung? Cobalah untuk memperluasnya (tanda kurung). Koefisien sebelum `x` hingga pangkat pertama adalah `(± 4 ± 1)` (kita belum mengetahui tanda-tandanya - kita harus memilih), dan itu harus sama dengan `5`. Jelas, akan ada dua plus di sini $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.
Lakukan operasi ini beberapa kali (halo, tugas pelatihan!) dan tidak akan pernah ada masalah lagi dengan ini.
Jika Anda perlu menyelesaikan persamaan `x^2+5x+4`, maka sekarang solusinya tidak sulit. Akarnya adalah `-4, -1`.
Contoh kedua. Faktorisasi suatu trinomial bujur sangkar dengan koefisien tanda yang berbeda
Mari kita selesaikan persamaan `x^2-x-2=0`. Begitu saja, diskriminannya positif.
Kami mengikuti algoritma.
- $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Hanya ada satu faktorisasi bilangan bulat dari 2: `2 · 1`.
- Kami melewatkan intinya - tidak ada yang bisa dipilih.
- $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
- Produk dari angka-angka kita adalah negatif (`-2` adalah istilah bebas), yang berarti salah satunya akan negatif dan yang lainnya positif.
Karena jumlah mereka sama dengan `-1` (koefisien `x`), maka `2` akan negatif (penjelasan intuitif - dua lebih besar dari dua angka, itu akan "menarik" lebih banyak ke arah negatif). Kami mendapatkan $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$
Contoh ketiga. Faktorisasi trinomial persegi
Persamaan `x^2+5x -84 = 0`.
- $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
- Penguraian 84 menjadi faktor bilangan bulat: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
- Karena kita membutuhkan selisih (atau jumlah) dari angka-angka tersebut menjadi 5, maka pasangan `7, 12` dapat digunakan.
- $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
- $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$
Harapan, dekomposisi trinomial persegi ini menjadi tanda kurung dimengerti.
Jika Anda membutuhkan solusi untuk persamaan tersebut, maka ini dia: `12, -7`.
Tugas untuk pelatihan
Berikut adalah beberapa contoh yang mudah untuk diselesaikan menggunakan teorema Vieta.(Contoh diambil dari Matematika, 2002.)
- `x^2+x-2=0`
- `x^2-x-2=0`
- `x^2+x-6=0`
- `x^2-x-6=0`
- `x^2+x-12=0`
- `x^2-x-12=0`
- `x^2+x-20=0`
- `x^2-x-20=0`
- `x^2+x-42=0`
- `x^2-x-42=0`
- `x^2+x-56=0`
- `x^2-x-56=0`
- `x^2+x-72=0`
- `x^2-x-72=0`
- `x^2+x-110=0`
- `x^2-x-110=0`
- `x^2+x-420=0`
- `x^2-x-420=0`
Beberapa tahun setelah artikel itu ditulis, kumpulan 150 tugas muncul untuk memperluas polinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta.
Sukai dan ajukan pertanyaan di komentar!
8 contoh faktorisasi polinomial diberikan. Mereka termasuk contoh dengan memecahkan persamaan kuadrat dan bikuadrat, contoh dengan polinomial berulang, dan contoh dengan menemukan akar bilangan bulat dari polinomial derajat ketiga dan keempat.
1. Contoh dengan solusi persamaan kuadrat
Contoh 1.1
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Keputusan
Keluarkan x 2
untuk tanda kurung:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Akar persamaan:
, .
.
Menjawab
Contoh 1.2
Memfaktorkan polinomial derajat tiga:
x 3 + 6x2 + 9x.
Keputusan
Kami mengambil x dari tanda kurung:
.
Kami memecahkan persamaan kuadrat x 2 + 6 x + 9 = 0:
Diskriminannya adalah .
Karena diskriminan sama dengan nol, akar persamaannya adalah kelipatan: ;
.
Dari sini kita memperoleh dekomposisi polinomial menjadi faktor-faktor:
.
Menjawab
Contoh 1.3
Memfaktorkan polinomial derajat lima:
x 5 - 2x4 + 10x3.
Keputusan
Keluarkan x 3
untuk tanda kurung:
.
Kami memecahkan persamaan kuadrat x 2 - 2 x + 10 = 0.
Diskriminannya adalah .
Karena diskriminan kurang dari nol, akar persamaannya kompleks: ;
, .
Faktorisasi polinomial berbentuk:
.
Jika kita tertarik untuk memfaktorkan dengan koefisien real, maka:
.
Menjawab
Contoh memfaktorkan polinomial menggunakan rumus
Contoh dengan polinomial biquadratic
Contoh 2.1
Faktorkan polinomial biquadratic:
x 4 + x 2 - 20.
Keputusan
Terapkan rumus:
sebuah 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
sebuah 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Menjawab
Contoh 2.2
Memfaktorkan polinomial yang direduksi menjadi biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.
Keputusan
Terapkan rumus:
sebuah 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
sebuah 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Menjawab
Contoh 2.3 dengan polinomial rekursif
Memfaktorkan polinomial rekursif:
.
Keputusan
Polinomial rekursif memiliki derajat ganjil. Oleh karena itu memiliki akar x = - 1
. Kami membagi polinomial dengan x - (-1) = x + 1. Hasilnya, kita mendapatkan:
.
Kami melakukan substitusi:
, ;
;
;
.
Menjawab
Contoh Pemfaktoran Polinomial dengan Akar Bilangan Bulat
Contoh 3.1
Memfaktorkan polinomial:
.
Keputusan
Misalkan persamaan
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Jadi, kami telah menemukan tiga akar:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Karena polinomial asli adalah dari tingkat ketiga, ia memiliki tidak lebih dari tiga akar. Karena kami telah menemukan tiga akar, mereka sederhana. Kemudian
.
Menjawab
Contoh 3.2
Memfaktorkan polinomial:
.
Keputusan
Misalkan persamaan
memiliki setidaknya satu akar bilangan bulat. Maka itu adalah pembagi dari bilangan tersebut 2
(anggota tanpa x ). Artinya, seluruh akar bisa menjadi salah satu angka:
-2, -1, 1, 2
.
Substitusikan nilai-nilai ini satu per satu:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Jika kita menganggap bahwa persamaan ini memiliki akar bilangan bulat, maka itu adalah pembagi bilangan tersebut 2
(anggota tanpa x ). Artinya, seluruh akar bisa menjadi salah satu angka:
1, 2, -1, -2
.
Substitusi x = -1
:
.
Jadi kami telah menemukan akar lain x 2
= -1
. Mungkin saja, seperti pada kasus sebelumnya, untuk membagi polinomial dengan , tetapi kita akan mengelompokkan suku-sukunya:
.
Karena persamaan x 2 + 2 = 0 tidak memiliki akar real, maka faktorisasi polinomial memiliki bentuk.
