Filolog Rusia Dmitry Nikolaevich Ushakov dalam kamus penjelasannya memberikan definisi seperti itu tentang konsep "metode" - cara, metode, metode penelitian teoretis atau implementasi praktis dari sesuatu (D. N. Ushakov, 2000).

Apa metode pengajaran pemecahan masalah dalam matematika, yang saat ini kami anggap tidak standar? Sayangnya, tidak ada yang datang dengan resep universal, mengingat keunikan tugas-tugas ini. Beberapa guru berlatih dalam latihan template. Hal ini terjadi sebagai berikut: guru menunjukkan cara untuk memecahkan, dan kemudian siswa mengulanginya ketika memecahkan masalah berkali-kali. Pada saat yang sama, minat siswa pada matematika sedang dibunuh, yang setidaknya menyedihkan.

Dalam matematika, tidak ada aturan umum yang memungkinkan penyelesaian masalah non-standar, karena masalah seperti itu sampai batas tertentu unik. Tugas non-standar dalam banyak kasus dianggap sebagai "tantangan bagi kecerdasan, dan menimbulkan kebutuhan untuk menyadari diri sendiri dalam mengatasi hambatan, dalam mengembangkan kreativitas» .

Pertimbangkan beberapa metode untuk memecahkan masalah non-standar:

• · aljabar;
• · aritmatika;
• metode pencacahan;
• metode penalaran;
• praktis;
• metode menebak.

Metode Aljabar pemecahan masalah mengembangkan kemampuan kreatif, kemampuan untuk menggeneralisasi, membentuk pemikiran abstrak dan memiliki keunggulan seperti singkatnya penulisan dan penalaran saat menyusun persamaan, menghemat waktu.

Untuk menyelesaikan masalah dengan metode aljabar, perlu:

• · menganalisis masalah untuk memilih yang tidak diketahui utama dan mengidentifikasi hubungan antara jumlah, serta ekspresi ketergantungan ini dalam bahasa matematika dalam bentuk dua ekspresi aljabar;
• temukan dasar untuk menghubungkan ekspresi ini dengan tanda "=" dan buat persamaan;
• menemukan solusi untuk persamaan yang dihasilkan, mengatur pemeriksaan solusi persamaan.

Semua tahapan pemecahan masalah ini secara logis saling berhubungan. Misalnya, kami menyebutkan pencarian dasar untuk menghubungkan dua ekspresi aljabar dengan tanda sama dengan sebagai tahap khusus, tetapi jelas bahwa pada tahap sebelumnya, ekspresi ini tidak dibentuk secara sewenang-wenang, tetapi dengan mempertimbangkan kemungkinan menghubungkannya. dengan tanda “=”.

Identifikasi ketergantungan antara kuantitas dan terjemahan ketergantungan ini ke dalam bahasa matematika memerlukan aktivitas mental analitis dan sintetik yang intens. Keberhasilan dalam kegiatan ini tergantung, khususnya, pada apakah siswa mengetahui hubungan apa yang dapat dimiliki kuantitas ini secara umum, dan apakah mereka memahami arti sebenarnya dari hubungan ini (misalnya, hubungan yang dinyatakan dengan istilah "nanti oleh ...", " lebih tua dengan ... kali " dll.). Selanjutnya, diperlukan pemahaman tentang jenis tindakan matematis atau, sifat tindakan, atau hubungan (ketergantungan) apa antara komponen dan hasil tindakan, hubungan ini atau itu dapat dijelaskan.

Mari kita berikan contoh penyelesaian masalah non-standar dengan metode aljabar.

Tugas. Nelayan itu menangkap seekor ikan. Ketika ditanya: "Berapa massanya?", Dia menjawab: "Massa ekor adalah 1 kg, massa kepala sama dengan massa ekor dan setengah badan. Dan massa tubuh sama dengan massa kepala dan ekor bersama-sama. Berapa massa ikan tersebut?

Biarkan x kg menjadi massa tubuh; maka (1+1/2x) kg adalah massa kepala. Karena, dengan syarat, massa tubuh sama dengan jumlah massa kepala dan ekor, kami membuat dan menyelesaikan persamaan:

x = 1 + 1/2x + 1,

4 kg adalah massa tubuh, kemudian 1+1/2 4=3 (kg) adalah massa kepala dan 3+4+1=8 (kg) adalah massa seluruh ikan;

Jawab: 8kg.

Metode Aritmatika solusi juga membutuhkan banyak tekanan mental, yang memiliki efek positif pada pengembangan kemampuan mental, intuisi matematika, pada pembentukan kemampuan untuk meramalkan situasi kehidupan nyata.

Pertimbangkan contoh penyelesaian masalah non-standar dengan metode aritmatika:

Tugas. Dua nelayan ditanya, "Berapa banyak ikan di keranjangmu?"

“Di keranjang saya, setengah dari apa yang ada di keranjangnya, dan 10 lagi,” jawab yang pertama. "Dan saya memiliki sebanyak yang dia miliki di keranjang saya, dan bahkan 20," yang kedua menghitung. Kami menghitung, dan sekarang Anda menghitung.

Mari kita buat diagram untuk masalah tersebut. Biarkan segmen pertama dari diagram menunjukkan jumlah ikan yang dimiliki nelayan pertama. Segmen kedua menunjukkan jumlah ikan dari nelayan kedua.

Karena kenyataan bahwa orang modern perlu memiliki gagasan tentang metode utama analisis data dan pola probabilistik yang memainkan peran penting dalam sains, teknologi, dan ekonomi, elemen kombinatorik, teori probabilitas, dan statistik matematika diperkenalkan. ke dalam kursus matematika sekolah, yang nyaman untuk dipahami menggunakan metode pencacahan.

Dimasukkannya masalah kombinatorial dalam mata pelajaran matematika berdampak positif bagi perkembangan anak sekolah. “Pembelajaran yang ditargetkan untuk memecahkan masalah kombinatorial berkontribusi pada pengembangan kualitas pemikiran matematika seperti variabilitas. Di bawah variabilitas pemikiran, yang kami maksud adalah arah aktivitas mental siswa untuk mencari berbagai solusi untuk masalah jika tidak ada instruksi khusus untuk ini.

Masalah kombinatorial dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Secara konvensional, metode ini dapat dibagi menjadi "formal" dan "informal". Dengan metode solusi "formal", Anda perlu menentukan sifat pilihan, memilih formula atau aturan kombinatorial yang sesuai (ada aturan penjumlahan dan perkalian), mengganti angka dan menghitung hasilnya. Hasilnya adalah jumlah opsi yang mungkin, tetapi opsi itu sendiri tidak terbentuk dalam kasus ini.

Dengan metode penyelesaian "informal", proses menyusun berbagai opsi muncul ke permukaan. Dan yang utama bukanlah berapa banyak, tetapi opsi apa yang bisa diperoleh. Metode tersebut termasuk metode enumerasi. Metode ini tersedia bahkan untuk siswa yang lebih muda, dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan pengalaman dalam solusi praktis masalah kombinatorial, yang berfungsi sebagai dasar untuk pengenalan prinsip dan rumus kombinatorial di masa depan. Selain itu, dalam hidup seseorang tidak hanya harus menentukan jumlah opsi yang mungkin, tetapi juga secara langsung menyusun semua opsi ini, dan, setelah menguasai metode pencacahan sistematis, ini dapat dilakukan dengan lebih rasional.

Tugas dibagi menjadi tiga kelompok sesuai dengan kompleksitas pencacahan:

• satu . Tugas di mana Anda perlu membuat enumerasi lengkap dari semua opsi yang mungkin.
• 2. Tugas di mana tidak praktis untuk menggunakan teknik pencacahan lengkap dan Anda harus segera mengecualikan beberapa opsi tanpa mempertimbangkannya (yaitu, melakukan pencacahan singkat).
• 3. Tugas di mana operasi pencacahan dilakukan beberapa kali dan dalam kaitannya dengan berbagai jenis objek.

Berikut adalah contoh tugas yang relevan:

Tugas. Menempatkan tanda "+" dan "-" di antara angka yang diberikan 9 ... 2 ... 4, buat semua ekspresi yang mungkin.

Ada daftar lengkap opsi:

• a) dua karakter dalam ekspresi bisa sama, maka kita mendapatkan:
  • 9 + 2 + 4 atau 9 - 2 - 4;
• b) dua tanda bisa berbeda, maka kita peroleh:
  • 9 + 2 - 4 atau 9 - 2 + 4.

Tugas. Guru mengatakan bahwa dia menggambar 4 gambar berturut-turut: kotak besar dan kecil, lingkaran besar dan kecil sehingga lingkaran berada di tempat pertama dan gambar yang sama bentuknya tidak berdiri berdampingan, dan mengajak siswa untuk menebak urutan di mana angka-angka ini diatur.

Ada 24 pengaturan yang berbeda dari angka-angka ini secara total. Dan tidak disarankan untuk membuat semuanya, dan kemudian memilih yang sesuai dengan kondisi ini, oleh karena itu, pencacahan singkat dilakukan.

Lingkaran besar bisa di tempat pertama, lalu yang kecil hanya bisa di tempat ketiga, sedangkan kotak besar dan kecil bisa ditempatkan dengan dua cara - di tempat kedua dan keempat.

Alasan serupa dilakukan jika tempat pertama adalah lingkaran kecil, dan dua opsi juga dikompilasi.

Tugas. Tiga mitra dari perusahaan yang sama menyimpan sekuritas di brankas dengan 3 kunci. Para sahabat ingin membagikan kunci ke gembok di antara mereka sendiri sehingga brankas hanya dapat dibuka di hadapan setidaknya dua sahabat, tetapi bukan satu. Bagaimana saya bisa melakukannya?

Pertama, semua kemungkinan kasus distribusi kunci dihitung. Setiap pendamping dapat diberikan satu kunci, atau dua kunci yang berbeda, atau tiga.

Mari kita asumsikan bahwa setiap pendamping memiliki tiga kunci yang berbeda. Kemudian brankas dapat dibuka oleh satu orang pendamping, dan ini tidak memenuhi syarat.

Mari kita asumsikan bahwa setiap pendamping memiliki satu kunci. Kemudian jika dua dari mereka datang, mereka tidak akan bisa membuka brankas.

Mari kita beri setiap pendamping dua kunci yang berbeda. Tombol pertama - 1 dan 2, tombol kedua - 1 dan 3, tombol ketiga - 2 dan 3. Mari kita periksa kapan ada dua sahabat yang datang untuk melihat apakah mereka bisa membuka brankas.

Teman pertama dan kedua bisa datang, mereka akan memiliki semua kunci (1 dan 2, 1 dan 3). Teman pertama dan ketiga bisa datang, mereka juga akan memiliki semua kunci (1 dan 2, 2 dan 3). Akhirnya, teman kedua dan ketiga bisa datang, mereka juga akan memiliki semua kunci (1 dan 3, 2 dan 3).

Jadi, untuk menemukan jawaban dalam masalah ini, Anda perlu melakukan operasi iterasi beberapa kali.

Ketika memilih masalah kombinatorial, seseorang harus memperhatikan subjek dan bentuk penyajian masalah ini. Sangat diharapkan bahwa tugas-tugas itu tidak terlihat buatan, tetapi dapat dimengerti dan menarik bagi anak-anak, membangkitkan emosi positif di dalamnya. Anda dapat menggunakan bahan praktis dari kehidupan untuk menyusun tugas.

Ada masalah lain yang bisa diselesaikan dengan pencacahan.

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalahnya: “Marquis Karabas berusia 31 tahun, dan Puss in Boots mudanya yang energik berusia 3 tahun, ketika peristiwa yang diketahui dari dongeng terjadi. Berapa tahun telah berlalu sejak itu, jika sekarang Kucing itu tiga kali lebih muda dari pemiliknya? Pencacahan opsi diwakili oleh tabel.

Age of the Marquis of Carabas dan Puss in Boots

14 - 3 = 11 (tahun)

Jawaban: 11 tahun telah berlalu.

Pada saat yang sama, siswa, seolah-olah, bereksperimen, mengamati, membandingkan fakta dan, atas dasar kesimpulan khusus, membuat kesimpulan umum tertentu. Dalam proses pengamatan ini, pengalaman nyata-praktisnya diperkaya. Inilah tepatnya nilai praktis dari masalah pencacahan. Dalam hal ini, kata "enumerasi" digunakan dalam arti menganalisis semua kemungkinan kasus yang memenuhi kondisi masalah, menunjukkan bahwa tidak ada solusi lain.

Soal ini juga dapat diselesaikan dengan metode aljabar.

Biarkan Kucing berumur x tahun, maka Marquis adalah 3x, berdasarkan kondisi masalah, kita akan membuat persamaan:

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

Kucing itu sekarang berumur 14 tahun, lalu 14 - 3 = 11 (tahun) berlalu.

Jawaban: 11 tahun telah berlalu.

metode penalaran dapat digunakan untuk memecahkan sofisme matematika.

Kesalahan yang dibuat dalam sofisme biasanya terjadi sebagai berikut: melakukan tindakan "terlarang", menggunakan gambar yang salah, penggunaan kata yang salah, formulasi yang tidak akurat, generalisasi "ilegal", penerapan teorema yang salah.

Mengungkapkan sofisme berarti menunjukkan kesalahan dalam penalaran, yang menjadi dasar munculnya bukti eksternal.

Analisis sofisme, pertama-tama, mengembangkan pemikiran logis, menanamkan keterampilan berpikir yang benar. Mendeteksi kesalahan dalam sofisme berarti mengenalinya, dan kesadaran akan kesalahan mencegahnya terulang dalam penalaran matematis lainnya. Selain kekritisan berpikir matematis, jenis tugas non-standar ini mengungkapkan fleksibilitas berpikir. Akankah siswa dapat “melepaskan diri dari cengkeraman” jalan ini, yang sekilas benar-benar logis, untuk memutuskan rantai kesimpulan pada mata rantai yang salah dan membuat semua penalaran lebih lanjut menjadi salah?

Analisis sofisme juga membantu asimilasi sadar dari materi yang dipelajari, mengembangkan pengamatan dan sikap kritis terhadap apa yang sedang dipelajari.

a) Di sini, misalnya, adalah sofisme dengan penerapan teorema yang salah.

Buktikan bahwa 2 2 = 5.

Mari kita ambil persamaan yang jelas berikut sebagai rasio awal: 4: 4 = 5: 5 (1)

Kami mengambil dari tanda kurung faktor persekutuan di bagian kiri dan kanan, kami mendapatkan:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

Angka dalam kurung sama, jadi 4 = 5 atau 2 2 = 5.

Dalam penalaran, ketika beralih dari persamaan (1) ke persamaan (2), ilusi kemungkinan dibuat berdasarkan analogi yang salah dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

b) Sofisme menggunakan generalisasi "ilegal".

Ada dua keluarga - Ivanovs dan Petrovs. Masing-masing terdiri dari 3 orang - ayah, ibu dan anak. Ayah Ivanov tidak mengenal ayah Petrov. Ibu Ivanov tidak mengenal ibu Petrova. Satu-satunya putra Ivanovs tidak mengenal satu-satunya putra Petrov. Kesimpulan: tidak ada satu pun anggota keluarga Ivanov yang mengenal satu pun anggota keluarga Petrov. Apakah ini benar?

Jika seorang anggota keluarga Ivanov tidak mengenal anggota keluarga Petrov yang status perkawinannya setara, ini tidak berarti bahwa dia tidak mengenal seluruh keluarga. Misalnya, ayah Ivanov mungkin mengenal ibu dan putra Petrov.

Metode penalaran juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah logika. Tugas logis biasanya dipahami sebagai tugas yang diselesaikan hanya dengan menggunakan operasi logis. Terkadang solusi mereka membutuhkan penalaran yang panjang, arah yang diperlukan yang tidak dapat diperkirakan sebelumnya.

Tugas. Mereka mengatakan bahwa Tortila memberikan kunci emas kepada Pinokio tidak sesederhana yang dikatakan A. N. Tolstoy, tetapi dengan cara yang sama sekali berbeda. Dia mengeluarkan tiga kotak: merah, biru dan hijau. Di kotak merah tertulis: "Di sini terletak kunci emas", dan di kotak biru - "Kotak hijau kosong", dan di hijau - "Ini duduk ular". Tortila membaca prasasti dan berkata: “Memang, ada kunci emas di satu kotak, ular di kotak lain, dan yang ketiga kosong, tetapi semua prasasti salah. Jika Anda menebak kotak mana yang berisi kunci emas, itu milik Anda." Di mana kunci emasnya?

Karena semua tulisan pada kotak itu salah, maka kotak merah itu tidak berisi kunci emas, kotak hijau itu tidak kosong dan tidak ada ular di dalamnya, yang berarti kuncinya ada di kotak hijau, ularnya ada di dalam. yang merah, dan yang biru kosong.

Ketika memecahkan masalah logis, pemikiran logis diaktifkan, dan ini adalah kemampuan untuk menyimpulkan konsekuensi dari premis, yang penting untuk keberhasilan penguasaan matematika.

Rebus adalah teka-teki, tetapi teka-teki bukanlah teka-teki biasa. Kata-kata dan angka dalam teka-teki matematika digambarkan menggunakan gambar, tanda bintang, angka dan berbagai tanda. Untuk membaca apa yang dienkripsi dalam rebus, Anda harus memberi nama dengan benar semua objek yang digambarkan dan memahami tanda mana yang menggambarkan apa. Orang-orang menggunakan teka-teki bahkan ketika mereka tidak bisa menulis. Mereka menyusun surat-surat mereka dari benda-benda. Misalnya, para pemimpin satu suku pernah mengirim seekor burung, seekor tikus, seekor katak, dan lima anak panah sebagai ganti surat kepada tetangga mereka. Artinya: “Dapatkah Anda terbang seperti burung dan bersembunyi di tanah seperti tikus, melompati rawa-rawa seperti katak? Jika Anda tidak tahu caranya, jangan coba-coba melawan kami. Kami akan membombardir Anda dengan panah segera setelah Anda memasuki negara kami.”

Dilihat dari huruf pertama jumlah 1), D = 1 atau 2.

Misalkan D = 1. Lalu, Y? 5. Y \u003d 5 dikecualikan, karena P tidak bisa sama dengan 0. Y? 6, karena 6 + 6 = 12, mis. P = 2. Tetapi nilai P seperti itu tidak cocok untuk verifikasi lebih lanjut. Begitu juga, Lu? 7.

Misalkan Y = 8. Maka, P = 6, A = 2, K = 5, D = 1.

Kotak ajaib (magic) adalah kotak yang jumlah angkanya secara vertikal, horizontal, dan diagonal adalah sama.

Tugas. Susunlah angka-angka dari 1 sampai 9 sehingga secara vertikal, horizontal dan diagonal Anda mendapatkan jumlah angka yang sama, sama dengan 15.

Meskipun tidak ada aturan umum untuk menyelesaikan masalah non-standar (itulah sebabnya masalah ini disebut non-standar), kami telah mencoba memberikan sejumlah pedoman umum - rekomendasi yang harus diikuti ketika menyelesaikan berbagai jenis masalah non-standar. .

Setiap tugas non-standar asli dan unik dalam solusinya. Dalam hal ini, metodologi yang dikembangkan untuk mengajar aktivitas pencarian ketika menyelesaikan tugas-tugas non-standar tidak membentuk keterampilan untuk menyelesaikan tugas-tugas non-standar, kita hanya dapat berbicara tentang mengembangkan keterampilan tertentu:

• kemampuan untuk memahami tugas, sorot kata-kata utama (pendukung);
• kemampuan mengidentifikasi kondisi dan pertanyaan, diketahui dan tidak diketahui dalam masalah;
• kemampuan untuk menemukan hubungan antara data dan yang diinginkan, yaitu menganalisis teks masalah, yang hasilnya adalah pilihan operasi aritmatika atau operasi logis untuk menyelesaikan masalah yang tidak standar;
• kemampuan mencatat kemajuan solusi dan jawaban masalah;
• · kemampuan untuk melakukan pekerjaan tambahan pada tugas;
• kemampuan untuk memilih informasi yang berguna yang terkandung dalam masalah itu sendiri, dalam proses pemecahannya, untuk mensistematisasikan informasi ini, menghubungkannya dengan pengetahuan yang ada.

Tugas non-standar mengembangkan pemikiran spasial, yang diekspresikan dalam kemampuan untuk menciptakan kembali dalam pikiran gambar spasial objek dan melakukan operasi pada mereka. Pemikiran spasial memanifestasikan dirinya ketika memecahkan masalah seperti: “Di atas tepi kue bundar, 5 titik krim ditempatkan pada jarak yang sama satu sama lain. Pemotongan dilakukan melalui semua pasang titik. Berapa potongan kue yang diperoleh seluruhnya?

metode praktis dapat dipertimbangkan untuk masalah pembagian non-standar.

Tugas. Tongkat perlu dipotong menjadi 6 bagian. Berapa banyak pemotongan yang diperlukan?

Solusi: Pemotongan akan membutuhkan 5.

Saat mempelajari masalah pembagian non-standar, Anda perlu memahami: untuk memotong segmen menjadi bagian P, Anda harus membuat potongan (P - 1). Fakta ini harus dibangun dengan anak-anak secara induktif, dan kemudian digunakan dalam memecahkan masalah.

Tugas. Dalam batang tiga meter - 300 cm, masing-masing harus dipotong menjadi batang sepanjang 50 cm. Berapa banyak potongan yang perlu Anda buat?

Solusi: Kami mendapatkan 6 bar 300: 50 = 6 (bar)

Kami berpendapat sebagai berikut: untuk membagi batang menjadi dua, yaitu menjadi dua bagian, Anda perlu membuat 1 potongan, menjadi 3 bagian - 2 potongan, dan seterusnya, menjadi 6 bagian - 5 potongan.

Jadi, Anda perlu membuat 6 - 1 = 5 (pemotongan).

Jawaban: 5 potong.

Jadi, salah satu motif utama yang mendorong siswa untuk belajar adalah minat terhadap mata pelajaran tersebut. Minat adalah orientasi kognitif aktif seseorang terhadap objek, fenomena, dan aktivitas tertentu, yang diciptakan dengan sikap emosional positif terhadapnya. Salah satu cara untuk mengembangkan minat dalam matematika adalah tugas non-standar. Sebuah tugas non-standar dipahami sebagai tugas-tugas yang tidak ada aturan umum dan peraturan dalam matematika yang menentukan program yang tepat untuk solusi mereka. Memecahkan masalah tersebut memungkinkan siswa untuk secara aktif terlibat dalam kegiatan belajar. Ada berbagai klasifikasi masalah dan metode penyelesaiannya. Yang paling umum digunakan adalah aljabar, aritmatika, metode praktis dan enumerasi, penalaran dan dugaan.

Tujuannya adalah untuk mengajarkan siswa untuk memecahkan persamaan dan ketidaksetaraan non-standar melalui pemahaman yang mendalam tentang dasar-dasar teoritis yang digunakan dalam matematika.

Tugas yang diselesaikan dalam proses pembelajaran:

• mengembangkan pemikiran siswa yang tidak standar;
• membentuk kemampuan membangun model matematika;
• mengembangkan keterampilan lulus ujian dalam persiapan ujian (memecahkan masalah dengan kompleksitas yang meningkat);
• meningkatkan minat dalam matematika;
• menanamkan rasa percaya diri pada siswa saat memecahkan masalah

1. Momen organisasi. Menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran. Penciptaan kondisi untuk sukses kegiatan bersama(Pekerjaan dalam pelajaran dievaluasi oleh sistem penilaian, jurnal elektronik disimpan).

2. Memeriksa pekerjaan rumah (jurnal elektronik untuk pelajaran). Siswa memeriksa pekerjaan rumah (bandingkan solusi mereka dengan solusi siap pakai, bekerja berpasangan.) dalam dokumen Microsoft Office Word di layar (solusi disiapkan oleh guru).

Pekerjaan rumah

Selesaikan persamaan:

Keputusan.

Keputusan. Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk:

3.

Keputusan.

Akar persamaan tidak memenuhi syarat.

3. Survei lisan siswa. Saling memeriksa dan menilai pada kartu skor; selama pelajaran, hasilnya dicatat dalam jurnal elektronik

1. Bagaimana persamaan bentuk diselesaikan?

2. Bagaimana persamaan bentuknya? ?

3. Bagaimana persamaan logaritma dengan basis yang berbeda diselesaikan?

4. Bagaimana persamaan diselesaikan di mana fungsi dari bentuk muncul?

4. Soal tugas (bekerja dalam kelompok), tugas terletak di setiap meja di atas kertas merah. Siswa menuliskan tanggal dan topik pelajaran di buku catatan mereka dan mulai memecahkan masalah.

1. Selesaikan persamaan

sudah pada tahap ini jelas bahwa solusinya akan sangat rumit. Masalah muncul - untuk menyelesaikan persamaan ini lebih lanjut atau mencari cara lain untuk menyelesaikannya?

Karena ekspresi logaritmik untuk semua X lebih besar dari 1, maka setiap logaritma adalah bilangan positif atau sama dengan 0.

Agar jumlahnya sama dengan 0, perlu menambahkan nol atau angka yang berlawanan, oleh karena itu setiap logaritma hanya dapat mengambil nilai yang sama dengan nol, yaitu:

Jadi, kami menyimpulkan bahwa persamaan dapat diselesaikan menggunakan sifat-sifat fungsi.

Untuk solusi independen: Selesaikan persamaan: .

ruas kiri persamaan adalah fungsi menurun monoton, dan ruas kanan adalah konstanta, oleh karena itu, persamaan memiliki akar tunggal x=1(pilihan mudah).

5. Mempelajari topik baru. Untuk menyelesaikan sebagian besar persamaan dan pertidaksamaan yang dihadapi dalam ujian, khususnya pada Ujian Negara Terpadu, cukup menguasai mata pelajaran matematika sekolah, tetapi pada saat yang sama perlu untuk dapat menyelesaikannya tidak hanya menggunakan teknik standar. , tetapi juga menggunakan "teknik dan metode non-standar". Di sini kami bersama Anda dalam lima pelajaran berikutnya dan kami akan mengerjakan metode dan teknik tersebut.

Anda sudah tahu cara menggunakan metode substitusi saat menyelesaikan beberapa persamaan. Hari ini kita telah mempelajari bahwa ketika menyelesaikan persamaan, Anda dapat menerapkan sifat-sifat fungsi.

Sekarang saya ingin menunjukkan aplikasi properti terbatas.

1. Teorema 1. Jika dan , maka persamaan

Selesaikan Persamaan

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk:

Karena dan , Oleh karena itu, persamaan ini setara dengan sistem:

2.Metode evaluasi

Seringkali tanda bahwa metode estimasi harus diterapkan adalah adanya fungsi yang sifatnya berbeda dalam persamaan.

Selesaikan Persamaan

Kesetaraan tercapai jika

Mengganti nilai x yang ditemukan ke dalam persamaan (2), kami memperoleh:

-solusi dari sistem

3. Menggunakan metode monotonisitas untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang tidak baku

Jika y=f(x) adalah fungsi monoton, maka persamaan f(x) = c memiliki paling banyak satu akar

Biarkan fungsi y=f(x) meningkat pada interval M, dan fungsi y=g(x) menurun pada interval ini. Maka persamaan f(x)=g(x) memiliki paling banyak satu akar pada interval M.

Biarkan domain fungsi f(t) menjadi interval M, dan biarkan fungsi ini kontinu dan sangat monoton (yaitu, naik atau turun) pada interval ini. Maka persamaan ekuivalen dengan sistem:

Saat memecahkan persamaan bentuk, teorema berikut berguna: Jika

Fungsi naik (turun) monoton, persamaan dan setara.

Selesaikan Persamaan:

Keputusan. - fungsi yang meningkat (sebagai jumlah dari dua fungsi yang meningkat).

Ruas kanan persamaan adalah bilangan konstan. Berdasarkan teorema akar, persamaan memiliki paling banyak satu solusi. Jelas, =2 adalah akar.

Jawaban: =2.

4. Menggunakan domain definisi fungsi dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan

Suatu metode dianggap ketika, ketika mempertimbangkan suatu persamaan atau pertidaksamaan, ternyata kedua bagiannya ditentukan pada himpunan tertentu yang terdiri dari satu atau lebih angka.

Metode ini paling efektif dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, yang meliputi fungsi y=; y=; y=; y = .

Saat menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan, pindahkan semua suku ke ruas kiri dan pertimbangkan fungsinya f(x). Temukan domain definisinya D (P). Di mana:

satu). Jika sebuah D (f) = , maka persamaan atau pertidaksamaan tidak memiliki solusi.

2). Jika sebuah D (f) \u003d (a 1; a 2; a 3 .....a n), maka solusi nyata dari persamaan dan pertidaksamaan yang diberikan adalah di antara angka-angka sebuah 1 ; sebuah 2 ; a 3 ..... a n . Sekarang kita perlu memeriksa bilangan mana yang merupakan solusi dari persamaan atau pertidaksamaan.

3). Jika sebuah D(f) = [a; di], maka Anda perlu memeriksa apakah persamaan atau pertidaksamaan benar di ujung interval dan di setiap interval, apalagi, jika sebuah< 0 , sebuah c > 0, maka perlu untuk memeriksa interval (а; 0) dan )