მათემატიკური გამონათქვამები (ფორმულები) შემოკლებული გამრავლება(ჯამისა და სხვაობის კვადრატი, ჯამისა და სხვაობის კუბი, კვადრატების სხვაობა, კუბების ჯამი და სხვაობა) უკიდურესად შეუცვლელია ზუსტი მეცნიერებების ბევრ სფეროში. ეს 7 სიმბოლოს ჩანაწერი შეუცვლელია გამონათქვამების გამარტივების, განტოლებების ამოხსნის, მრავალწევრების გამრავლების, წილადების შემცირების, ინტეგრალის ამოხსნის და მრავალი სხვა. ასე რომ, ძალიან სასარგებლო იქნება იმის გარკვევა, თუ როგორ მიიღება ისინი, რისთვის არიან ისინი და რაც მთავარია, როგორ დაიმახსოვროთ ისინი და შემდეგ გამოიყენოთ ისინი. შემდეგ მიმართვა შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიპრაქტიკაში, ყველაზე რთული იქნება იმის დანახვა, რაც არის Xდა რა აქვთ. ცხადია, არანაირი შეზღუდვა არ არსებობს ადა ბარა, რაც ნიშნავს, რომ ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვითი ან პირდაპირი გამოხატულება.

და აი ისინი:

Პირველი x 2 -2 საათზე = (x - y) (x + y).Გამოთვლა კვადრატების განსხვავებაორი გამოსახულებით, აუცილებელია ამ გამონათქვამების განსხვავებები მათი ჯამებით გავამრავლოთ.

მეორე (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Პოვნა ჯამი კვადრატშიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი გამონათქვამის კვადრატს ორჯერ პირველი გამონათქვამის პროდუქტი მეორეზე პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

მესამე (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Გამოთვლა სხვაობა კვადრატშიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა გამოაკლოთ პირველი გამონათქვამის კვადრატს ორჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი მეორეზე პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

მეოთხე (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + 3-ზე.Გამოთვლა ჯამის კუბიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი გამოსახულების კუბს სამჯერ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლი და მეორე, პლუს სამჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი და მეორის კვადრატი, პლუს კუბი. მეორე გამოხატულება.

მეხუთე (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 -3 საათზე. Გამოთვლა განსხვავება კუბიორი გამონათქვამი, აუცილებელია პირველი გამონათქვამის კუბიდან სამჯერ გამოვაკლოთ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლი მეორეს პლუს სამჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი და მეორის კვადრატს გამოკლებული მეორის კუბი. გამოხატულება.

მეექვსე x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)Გამოთვლა კუბურების ჯამიორი გამოსახულებით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამები ამ გამონათქვამების სხვაობის არასრულ კვადრატზე.

მეშვიდე x 3 -3 საათზე \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2)გაანგარიშების გასაკეთებლად კუბური განსხვავებებიორი გამოსახულებით, აუცილებელია პირველი და მეორე გამოსახულებების სხვაობის გამრავლება ამ გამონათქვამების ჯამის არასრულ კვადრატზე.

ძნელი არ არის გახსოვდეთ, რომ ყველა ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო მიმართულებით (მარჯვნიდან მარცხნივ) გამოთვლების გასაკეთებლად.

ამ კანონზომიერებების არსებობა ცნობილი იყო დაახლოებით 4 ათასი წლის წინ. მათ ფართოდ იყენებდნენ ძველი ბაბილონისა და ეგვიპტის მკვიდრნი. მაგრამ იმ ეპოქაში ისინი გამოხატული იყო სიტყვიერად ან გეომეტრიულად და არ იყენებდნენ ასოებს გამოთვლებში.

გავაანალიზოთ ჯამის კვადრატული მტკიცებულება(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

ეს მათემატიკური კანონზომიერებადაამტკიცა ძველი ბერძენი მეცნიერი ევკლიდე, რომელიც მუშაობდა ალექსანდრიაში ძვ. ისინი ყველგან იყენებდნენ არა "a 2", არამედ "კვადრატს a სეგმენტზე", არა "ab", არამედ "ოთკუთხედს, რომელიც ჩაკეტილია სეგმენტებს შორის a და b".

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (FSU) გამოიყენება რიცხვებისა და გამონათქვამების გამოსათვლელად და გასამრავლებლად. ხშირად ეს ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ გამოთვლები უფრო კომპაქტურად და სწრაფად.

ამ სტატიაში ჩამოვთვლით შემოკლებული გამრავლების ძირითად ფორმულებს, დავაჯგუფებთ მათ ცხრილში, განვიხილავთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითებს და ასევე ვისაუბრებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების დადასტურების პრინციპებზე.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მე-7 კლასის კურსის „ალგებრა“ ფარგლებში პირველად განიხილება ფსუ-ს თემა. ქვემოთ მოცემულია 7 ძირითადი ფორმულა.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

1. ჯამის კვადრატის ფორმულა: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. განსხვავების კვადრატული ფორმულა: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. ჯამის კუბის ფორმულა: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. განსხვავება კუბის ფორმულა: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. კვადრატების განსხვავება ფორმულა: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. კუბურების ჯამის ფორმულა: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. კუბის სხვაობის ფორმულა: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

ასოები a, b, c ამ გამონათქვამებში შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ცვლადი ან გამონათქვამი. მოხმარების სიმარტივისთვის უმჯობესია შვიდი ძირითადი ფორმულა ზეპირად ისწავლოთ. ჩვენ ვაჯამებთ მათ ცხრილში და ვაძლევთ მათ ქვემოთ, შემოხაზეთ ყუთით.

პირველი ოთხი ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ორი გამონათქვამის ჯამის ან სხვაობის კვადრატი ან კუბი, შესაბამისად.

მეხუთე ფორმულა ითვლის გამონათქვამების კვადრატების სხვაობას მათი ჯამისა და სხვაობის გამრავლებით.

მეექვსე და მეშვიდე ფორმულები, შესაბამისად, არის გამონათქვამების ჯამისა და სხვაობის გამრავლება სხვაობის არასრულ კვადრატზე და ჯამის არასრულ კვადრატზე.

გამრავლების შემოკლებულ ფორმულას ზოგჯერ ასევე უწოდებენ შემოკლებულ გამრავლების იდენტობებს. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა თანასწორობა არის იდენტობა.

პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას ხშირად გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები გადაწყობილი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებით. ეს განსაკუთრებით მოსახერხებელია მრავალწევრის ფაქტორინგის დროს.

დამატებითი შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ალგებრის მე-7 კლასის კურსით და კიდევ რამდენიმე ფორმულას დავამატებთ ჩვენს FSU ცხრილს.

პირველ რიგში, განიხილეთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

აქ C n k არის ბინომიალური კოეფიციენტები, რომლებიც პასკალის სამკუთხედში n რიცხვშია. ბინომალური კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულით:

C nk = n! კ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

როგორც ხედავთ, სხვაობის კვადრატისა და კუბის FSU და ჯამი არის ნიუტონის ბინომიური ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა n=2 და n=3, შესაბამისად.

მაგრამ რა მოხდება, თუ ძალაუფლებამდე გასასვლელ თანხაში ორზე მეტი ტერმინია? სასარგებლო იქნება სამი, ოთხი ან მეტი წევრის ჯამის კვადრატის ფორმულა.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც შეიძლება გამოადგეს, არის ფორმულა ორი წევრის n-ე ხარისხების სხვაობისთვის.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

ეს ფორმულა ჩვეულებრივ იყოფა ორ ფორმულად - შესაბამისად ლუწი და კენტი გრადუსებისთვის.

ლუწი ექსპონენტებისთვის 2 მ:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 მ - 2

კენტი მაჩვენებლებისთვის 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 მ

კვადრატების და კუბების სხვაობის ფორმულები, თქვენ წარმოიდგინეთ, არის ამ ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევები n = 2 და n = 3, შესაბამისად. კუბების სხვაობისთვის b ასევე იცვლება - b-ით.

როგორ წავიკითხოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები?

თითოეულ ფორმულას მივცემთ შესაბამის ფორმულირებებს, მაგრამ ჯერ ფორმულების წაკითხვის პრინციპს შევეხებით. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა მაგალითია. ავიღოთ პირველივე ფორმულა ორი რიცხვის ჯამის კვადრატისთვის.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

ისინი ამბობენ: a და b გამოსახულებების ჯამის კვადრატი უდრის პირველი გამონათქვამის კვადრატის ჯამს, გამონათქვამების ნამრავლისა და მეორე გამონათქვამის კვადრატის ორჯერ.

ყველა სხვა ფორმულა იკითხება ანალოგიურად. კვადრატული სხვაობისთვის a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ჩვენ ვწერთ:

ორი a და b გამონათქვამის სხვაობის კვადრატი უდრის ამ გამონათქვამების კვადრატების ჯამის გამოკლებით პირველი და მეორე გამონათქვამების ნამრავლის ორჯერ.

მოდით წავიკითხოთ ფორმულა a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. ორი გამონათქვამის a და b ჯამის კუბი უდრის ამ გამონათქვამების კუბების ჯამს, სამჯერ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს და სამჯერ ნამრავლს მეორე გამოსახულების კვადრატზე. და პირველი გამოხატულება.

ჩვენ ვაგრძელებთ კუბების განსხვავების ფორმულის კითხვას a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. ორი გამონათქვამის განსხვავების კუბი a და b უდრის პირველი გამოსახულების კუბს მინუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატი და მეორე, პლუს სამჯერ მეორე გამოსახულებისა და პირველი გამოსახულების კვადრატი, გამოკლებული კუბი. მეორე გამოხატვის.

მეხუთე ფორმულა a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (კვადრატების სხვაობა) შემდეგნაირად იკითხება: ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობის ნამრავლს და ორი გამოსახულების ჯამს.

ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა a 2 + a b + b 2 და a 2 - a b + b 2 მოხერხებულობისთვის ეწოდება, შესაბამისად, ჯამის არასრული კვადრატი და სხვაობის არასრული კვადრატი.

ამის გათვალისწინებით, კუბურების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები იკითხება შემდეგნაირად:

ორი გამონათქვამის კუბების ჯამი ტოლია ამ გამონათქვამების ჯამის ნამრავლისა და მათი სხვაობის არასრული კვადრატისა.

ორი გამონათქვამის კუბების სხვაობა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლის მათი ჯამის არასრული კვადრატით.

FSU მტკიცებულება

FSU-ს დადასტურება საკმაოდ მარტივია. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე განვახორციელებთ ფორმულების ნაწილების გამრავლებას ფრჩხილებში.

მაგალითად, განიხილეთ სხვაობის კვადრატის ფორმულა.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

გამოხატვის მეორე ხარისხზე ასაყვანად, გამოხატულება თავისთავად უნდა გამრავლდეს.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

ფორმულა დადასტურებულია. სხვა FSOs დადასტურებულია ანალოგიურად.

FSO-ს გამოყენების მაგალითები

მოკლე გამრავლების ფორმულების გამოყენების მიზანია გამონათქვამების სწრაფად და ლაკონურად გამრავლება და გამოხატვა. თუმცა, ეს არ არის FSO-ს მთელი სფერო. ისინი ფართოდ გამოიყენება გამონათქვამების შემცირების, წილადების შემცირების, მრავალწევრების ფაქტორინგში. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. FSO

გავამარტივოთ გამოთქმა 9 y - (1 + 3 y) 2 .

გამოიყენეთ კვადრატების ჯამის ფორმულა და მიიღეთ:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

მაგალითი 2. FSO

შეამცირეთ წილადი 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მრიცხველში გამოსახვა არის კუბების სხვაობა, ხოლო მნიშვნელში - კვადრატების სხვაობა.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

ვამცირებთ და ვიღებთ:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU ასევე დაგეხმარებათ გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები. მთავარია შევძლოთ შეამჩნიოთ სად გამოვიყენოთ ფორმულა. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

რიცხვი 79-ის კვადრატში ავიყვანოთ. რთული გამოთვლების ნაცვლად, ჩვენ ვწერთ:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

როგორც ჩანს, რთული გაანგარიშება განხორციელდა სწრაფად, მხოლოდ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებისა და გამრავლების ცხრილის გამოყენებით.

სხვა მნიშვნელოვანი წერტილი- ბინომის კვადრატის შერჩევა. გამოთქმა 4 x 2 + 4 x - 3 შეიძლება გარდაიქმნას 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. ასეთი ტრანსფორმაციები ფართოდ გამოიყენება ინტეგრაციისას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ალგებრული მრავალწევრების გამოთვლისას გამოთვლების გასამარტივებლად ვიყენებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები . სულ შვიდი ასეთი ფორმულაა. ყველა მათგანი ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი.

ასევე უნდა გვახსოვდეს, რომ ფორმულებში a და b-ის ნაცვლად შეიძლება იყოს როგორც რიცხვები, ასევე ნებისმიერი სხვა ალგებრული მრავალწევრი.

კვადრატების განსხვავება

ორი რიცხვის კვადრატების სხვაობა ტოლია ამ რიცხვების სხვაობისა და მათი ჯამის ნამრავლის.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

ჯამის კვადრატი

ორი რიცხვის ჯამის კვადრატი უდრის პირველი რიცხვის კვადრატს პლუს პირველი რიცხვის ნამრავლის ორჯერ და მეორეს პლუს მეორე რიცხვის კვადრატს.

(ა + ბ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემცირებული გამრავლების ფორმულით ადვილია იპოვნეთ დიდი რიცხვების კვადრატებიკალკულატორის ან ხანგრძლივი გამრავლების გარეშე. ავხსნათ მაგალითით:

იპოვე 112 2 .

112 დავშალოთ იმ რიცხვების ჯამად, რომელთა კვადრატები კარგად გვახსოვს.2
112 = 100 + 1

რიცხვების ჯამს ვწერთ ფრჩხილებში და ვსვამთ კვადრატს ფრჩხილებში.
112 2 = (100 + 12) 2

გამოვიყენოთ ჯამის კვადრატის ფორმულა:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

გახსოვდეთ, რომ კვადრატული ჯამის ფორმულა ასევე მოქმედებს ნებისმიერი ალგებრული მრავალწევრებისთვის.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

გაფრთხილება!!!

(ა + ბ) 2 არ უდრის a 2 + b 2-ს

განსხვავების კვადრატი

ორ რიცხვს შორის სხვაობის კვადრატი უდრის პირველი რიცხვის კვადრატს გამოკლებული პირველი და მეორეს ნამრავლის ორჯერ პლუს მეორე რიცხვის კვადრატი.

(ა - ბ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ასევე უნდა გვახსოვდეს ძალიან სასარგებლო ტრანსფორმაცია:

(ა - ბ) 2 = (ბ - ა) 2
ზემოთ მოცემული ფორმულა დასტურდება ფრჩხილების უბრალოდ გაფართოებით:

(ა - ბ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - ა) 2

ჯამის კუბი

ორი რიცხვის ჯამის კუბი უდრის პირველი რიცხვის კუბს პლუს სამჯერ პირველი რიცხვის კვადრატი გამრავლებული მეორეზე დამატებული პირველის ნამრავლის სამჯერ გამრავლებული მეორის კვადრატზე პლუს მეორის კუბი.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

ამ "საშინელი" გარეგნობის ფორმულის დამახსოვრება საკმაოდ მარტივია.

გაიგე, რომ 3 პირველია.

შუაში მდებარე ორ მრავალწევრს აქვს 3 კოეფიციენტი.

ATგახსოვდეთ, რომ ნულოვანი სიმძლავრის ნებისმიერი რიცხვი არის 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). ადვილი მისახვედრია, რომ ფორმულაში არის a ხარისხის შემცირება და b ხარისხის ზრდა. ამის გადამოწმება შეგიძლიათ:
(a + ბ) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

გაფრთხილება!!!

(ა + ბ) 3 არ უდრის a 3 + b 3-ს

განსხვავება კუბი

ორ რიცხვს შორის სხვაობის კუბი უდრის პირველი რიცხვის კუბის მინუს სამჯერ პირველი რიცხვის კვადრატს და მეორეს პლუს სამჯერ პირველი რიცხვის ნამრავლს და მეორის კვადრატს გამოკლებული მეორის კუბი. .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

ეს ფორმულა ახსოვს, როგორც წინა, მაგრამ მხოლოდ ნიშნების "+" და "-" მონაცვლეობის გათვალისწინებით. 3-ის პირველ წევრს წინ უსწრებს "+" (მათემატიკის წესების მიხედვით არ ვწერთ). ეს ნიშნავს, რომ შემდეგ წევრს წინ უძღვის "-", შემდეგ ისევ "+" და ა.შ.

(ა - ბ) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

კუბურების ჯამი ( არ უნდა აგვერიოს ჯამის კუბში!)

კუბების ჯამი უდრის ორი რიცხვისა და სხვაობის არასრული კვადრატის ნამრავლის ნამრავლს.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

კუბების ჯამი არის ორი ფრჩხილის ნამრავლი.

პირველი ფრჩხილები არის ორი რიცხვის ჯამი.

მეორე ფრჩხილი არის რიცხვთა სხვაობის არასრული კვადრატი. სხვაობის არასრულ კვადრატს ეწოდება გამოხატულება:

A 2 - ab + b 2
ეს კვადრატი არასრულია, რადგან შუაში, ორმაგი ნამრავლის ნაცვლად, არის რიცხვების ჩვეულებრივი ნამრავლი.

Cube Difference (არ უნდა აგვერიოს Difference Cube-თან!!!)

კუბების სხვაობა ტოლია ორი რიცხვის სხვაობის ნამრავლის ჯამის არასრული კვადრატით.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

ფრთხილად იყავით პერსონაჟების წერისას.უნდა გვახსოვდეს, რომ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ფორმულა ასევე გამოიყენება მარჯვნიდან მარცხნივ.

გამრავლების შემოკლებული ფორმულების დამახსოვრების მარტივი გზა, ანუ... პასკალის სამკუთხედი.

ძნელია შემოკლებული გამრავლების ფორმულების დამახსოვრება? საქმის დახმარება ადვილია. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, როგორ არის გამოსახული ისეთი მარტივი რამ, როგორიცაა პასკალის სამკუთხედი. მაშინ ეს ფორმულები გემახსოვრებათ ყოველთვის და ყველგან, უფრო სწორად, არ გახსოვთ, მაგრამ აღადგინეთ.

რა არის პასკალის სამკუთხედი? ეს სამკუთხედი შედგება კოეფიციენტებისგან, რომლებიც შედის ფორმის ბინომის ნებისმიერი სიძლიერის მრავალწევრში გაფართოებაში.

მოდით დავშალოთ, მაგალითად:

ამ ჩანაწერში ადვილი დასამახსოვრებელია, რომ დასაწყისში არის პირველი კუბი, ხოლო ბოლოს - მეორე რიცხვის კუბი. მაგრამ რა შუაშია, ძნელი დასამახსოვრებელია. და კიდევ ის ფაქტი, რომ ყოველ მომდევნო ტერმინში ერთი ფაქტორის ხარისხი მუდმივად მცირდება, ხოლო მეორე იზრდება - ადვილი შესამჩნევია და დამახსოვრება, უფრო რთულია კოეფიციენტების და ნიშნების დამახსოვრება (პლუს თუ მინუს?).

ასე რომ, ჯერ შანსები. თქვენ არ გჭირდებათ მათი დამახსოვრება! რვეულის კიდეებზე სწრაფად ვხატავთ პასკალის სამკუთხედს და აი ეს არის - კოეფიციენტები, უკვე ჩვენს თვალწინ. ჩვენ ვიწყებთ ხატვას სამით, ერთი ზევით, ორი ქვემოთ, მარჯვნივ და მარცხნივ - დიახ, უკვე მიიღება სამკუთხედი:

პირველი ხაზი, ერთი ერთით, არის ნული. შემდეგ მოდის პირველი, მეორე, მესამე და ასე შემდეგ. მეორე ხაზის მისაღებად, თქვენ კვლავ უნდა დაამატოთ ისინი კიდეების გასწვრივ, ხოლო ცენტრში ჩაწერეთ რიცხვი, რომელიც მიღებულია მის ზემოთ ორი რიცხვის დამატებით:

ჩვენ ვწერთ მესამე სტრიქონს: ისევ ერთეულის კიდეების გასწვრივ და ისევ, რომ მიიღოთ შემდეგი რიცხვი ახალ სტრიქონში, დაამატეთ მის ზემოთ მოცემული რიცხვები წინაში:

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, თითოეულ სტრიქონში ვიღებთ კოეფიციენტებს ბინომის მრავალწევრად დაშლიდან:

ნიშნების დამახსოვრება კიდევ უფრო ადვილია: პირველი იგივეა, რაც გაფართოებულ ბინომში (ჩვენ ვადგენთ ჯამს, რაც ნიშნავს პლუსს, განსხვავებას, რაც ნიშნავს მინუსს), შემდეგ კი ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება!

ეს ისეთი სასარგებლო რამ არის - პასკალის სამკუთხედი. ისიამოვნეთ!

ისინი გამოიყენება გამოთვლების გასამარტივებლად, ასევე მრავალწევრების ფაქტორებად დაშლის, მრავალწევრების სწრაფი გამრავლებისთვის. შემოკლებული გამრავლების ფორმულების უმეტესობა შეგიძლიათ მიიღოთ ნიუტონის ბინომიდან - ამას მალე ნახავთ.

ფორმულები კვადრატებისთვისხშირად გამოიყენება გამოთვლებში. მათი შესწავლა სასკოლო სასწავლო გეგმაში მე-7 კლასიდან ვარჯიშის დასრულებამდე იწყება, კვადრატებისა და კუბების ფორმულები, მოსწავლეებმა ზეპირად უნდა იცოდნენ.

კუბის ფორმულებიარც თუ ისე რთული და საჭიროა მათი ცოდნა მრავალწევრების სტანდარტულ ფორმამდე დაყვანისას, რათა გამარტივდეს ცვლადის ჯამის ან სხვაობის აწევა და რიცხვი კუბამდე.

წითლად მონიშნული ფორმულები მიღებულია მსგავსი ტერმინების წინა დაჯგუფებიდან.

მეოთხე და მეხუთე ძალების ფორმულებისასკოლო კურსში ცოტა იქნება გამოსადეგი, თუმცა არის დავალებები უმაღლესი მათემატიკის შესწავლაში, სადაც თქვენ უნდა გამოთვალოთ კოეფიციენტები ხარისხებში.

ხარისხის ფორმულები n შეღებილია ბინომიალური კოეფიციენტების მიხედვით ფაქტორების გამოყენებით შემდეგნაირად

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების მაგალითები

მაგალითი 1. გამოთვალეთ 51^2.

გადაწყვეტილება. თუ თქვენ გაქვთ კალკულატორი, შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ იგი

ვხუმრობდი - ყველა ბრძენია კალკულატორით, მის გარეშე... (სამწუხაროზე ნუ ვილაპარაკებთ).

კალკულატორის გარეშე და ზემოაღნიშნული წესების ცოდნის გარეშე, წესით ვპოულობთ რიცხვის კვადრატს

მაგალითი 2 იპოვეთ 99^2.

გადაწყვეტილება. გამოიყენეთ მეორე ფორმულა

მაგალითი 3: გამონათქვამის კვადრატი
(x+y-3).

გადაწყვეტილება. პირველი ორი წევრის ჯამს გონებრივად ვთვლით ერთ წევრად და, შემოკლებული გამრავლების მეორე ფორმულის მიხედვით, გვაქვს

მაგალითი 4. იპოვეთ კვადრატების სხვაობა
11^2-9^2.

გადაწყვეტილება. ვინაიდან რიცხვები მცირეა, შეგიძლიათ უბრალოდ შეცვალოთ კვადრატების მნიშვნელობები

მაგრამ ჩვენი მიზანი სულ სხვაა - ვისწავლოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენება გამოთვლების გასამარტივებლად. ამ მაგალითისთვის გამოიყენეთ მესამე ფორმულა

მაგალითი 5. იპოვეთ კვადრატების განსხვავება
17^2-3^2 .

გადაწყვეტილება. ამ მაგალითში თქვენ უკვე მოგინდებათ ისწავლოთ გათვლების ერთ ხაზზე შემცირების წესები

როგორც ხედავთ, გასაოცარი არაფერი გაგვიკეთებია.

მაგალითი 6: გამოხატვის გამარტივება
(x-y)^2-(x+y)^2.

გადაწყვეტილება. შეგიძლიათ დაალაგოთ კვადრატები და მოგვიანებით დააჯგუფოთ მსგავსი ტერმინები. თუმცა, შეიძლება პირდაპირ გამოიყენოს კვადრატების განსხვავება

მარტივი და გრძელი გადაწყვეტილებების გარეშე.

მაგალითი 7. მრავალწევრის კუბი
x^3-4.

გადაწყვეტილება . გამოვიყენოთ 5 შემოკლებული გამრავლების ფორმულა

მაგალითი 8. ჩაწერეთ კვადრატების ან მათი ჯამის სხვაობის სახით
ა) x^2-8x+7
ბ) x^2+4x+29

გადაწყვეტილება. ა) ტერმინების გადალაგება

ბ) გამარტივება წინა მსჯელობის საფუძველზე

მაგალითი 9. გააფართოვეთ რაციონალური წილადი

გადაწყვეტილება. გამოიყენეთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა

ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას მუდმივების დასადგენად

ჩვენ ვამატებთ მეორე განტოლებას სამჯერ პირველ განტოლებას. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას პირველ განტოლებაში

საბოლოოდ, გაფართოება იღებს ფორმას

ხშირად საჭიროა რაციონალური წილადის გაფართოება ინტეგრირებამდე, რათა შემცირდეს მნიშვნელის სიმძლავრე.

მაგალითი 10. ნიუტონის ბინომის გამოყენებით ხატავს
გამოხატულება (x-a)^7.

გადაწყვეტილება. თქვენ ალბათ უკვე იცით რა არის ნიუტონის ბინომი. თუ არა, მაშინ ქვემოთ მოცემულია ბინომიალური კოეფიციენტები

ისინი იქმნება შემდეგნაირად: კიდეზე არის ერთეულები, მათ შორის კოეფიციენტები ქვედა ხაზში ყალიბდება მეზობელი ზედა ნაწილების შეჯამებით. თუ ჩვენ გარკვეულწილად ვეძებთ განსხვავებას, მაშინ განრიგში ნიშნები ალტერნატიულია პლუსიდან მინუსამდე. ამრიგად, მეშვიდე რიგისთვის, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ გასწორებას

ასევე ყურადღებით დააკვირდით, თუ როგორ იცვლება ინდიკატორები - პირველ ცვლადზე ისინი ყოველ მომდევნო ტერმინში მცირდება ერთით, შესაბამისად, მეორესთვის - იზრდება ერთით. საერთო ჯამში, ინდიკატორები ყოველთვის უნდა იყოს დაშლის ხარისხის ტოლი (= 7).

ვფიქრობ, ზემოაღნიშნული მასალის საფუძველზე შეძლებთ ამოცანების ამოხსნას ნიუტონის ბინომალზე. ისწავლეთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები და გამოიყენეთ იქ, სადაც მას შეუძლია გაამარტივოს გამოთვლები და დაზოგოს დრო დავალებაზე.

წინა გაკვეთილზე შევეხეთ ფაქტორიზაციას. ჩვენ ავითვისეთ ორი მეთოდი: საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება და დაჯგუფება. ამ სახელმძღვანელოში შემდეგი ძლიერი მეთოდია: შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. მოკლედ - ფსუ.

გამრავლების შემოკლებული ფორმულები (ჯამისა და სხვაობის კვადრატი, ჯამისა და სხვაობის კუბი, კვადრატების სხვაობა, კუბების ჯამი და სხვაობა) აუცილებელია მათემატიკის ყველა დარგში. ისინი გამოიყენება გამონათქვამების გამარტივებაში, განტოლებების ამოხსნის, მრავალწევრების გამრავლების, წილადების შემცირების, ინტეგრალის ამოხსნისას და ა.შ. და ა.შ. მოკლედ, ყველა მიზეზი არსებობს მათთან გამკლავებისთვის. გაიგეთ, საიდან მოდის ისინი, რატომ არის საჭირო, როგორ დაიმახსოვროთ ისინი და როგორ გამოიყენოთ ისინი.

გვესმის?)

საიდან მოდის შემოკლებული გამრავლების ფორმულები?

ტოლობები 6 და 7 არ იწერება ჩვეულებრივად. ისევე როგორც პირიქით. ეს არის მიზანმიმართულად.) ნებისმიერი თანასწორობა მუშაობს როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ. ასეთ ჩანაწერში უფრო ნათელია, საიდან მოდის FSO.

ისინი აღებულია გამრავლებიდან.) მაგალითად:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

ესე იგი, არანაირი სამეცნიერო ხრიკი. ჩვენ უბრალოდ ვამრავლებთ ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავსებს. ასე გამოდის გამრავლების ყველა შემოკლებული ფორმულა. შემოკლებითგამრავლება იმიტომ ხდება, რომ თავად ფორმულებში არ არის ფრჩხილების გამრავლება და მსგავსის შემცირება. შემცირდა.) შედეგი მაშინვე მოცემულია.

FSU-მ ზეპირად უნდა იცოდეს. პირველი სამის გარეშე ვერ იოცნებებ სამმაგზე, დანარჩენის გარეშე - დაახლოებით ოთხზე ხუთთან.)

რატომ გვჭირდება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები?

ამ ფორმულების სწავლის, თუნდაც დამახსოვრების ორი მიზეზი არსებობს. პირველი - მანქანაზე მზა პასუხი მკვეთრად ამცირებს შეცდომების რაოდენობას. მაგრამ ეს არ არის მთავარი მიზეზი. და აი მეორეც...

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.