იპოვეთ მრიცხველი და მნიშვნელი.წილადი შედგება ორი რიცხვისგან: წრფის ზემოთ რიცხვს მრიცხველი ეწოდება, ხოლო წრფის ქვემოთ რიცხვს მნიშვნელი. მნიშვნელი მიუთითებს ნაწილების მთლიან რაოდენობაზე, რომლებზეც იყოფა მთელი, ხოლო მრიცხველი არის ასეთი ნაწილების განხილული რაოდენობა.

• მაგალითად, ½ წილადში მრიცხველი არის 1 და მნიშვნელი არის 2.

განსაზღვრეთ მნიშვნელი.თუ ორ ან მეტ წილადს აქვს საერთო მნიშვნელი, ასეთ წილადებს აქვთ ერთი და იგივე რიცხვი წრფის ქვეშ, ანუ ამ შემთხვევაში ზოგიერთი მთლიანი იყოფა იმავე რაოდენობის ნაწილებად. საერთო მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება ძალიან მარტივია, რადგან ჯამური წილადის მნიშვნელი იგივე იქნება, რაც დამატებული წილადებისა. Მაგალითად:

• 3/5 და 2/5 წილადებს აქვთ საერთო მნიშვნელი 5.
• წილადებს 3/8, 5/8, 17/8 აქვთ საერთო მნიშვნელი 8.

განსაზღვრეთ მრიცხველები.საერთო მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, დაამატეთ მათი მრიცხველები და დაწერეთ შედეგი დამატებული წილადების მნიშვნელის ზემოთ.

• 3/5 და 2/5 წილადებს აქვთ მრიცხველები 3 და 2.
• წილადებს 3/8, 5/8, 17/8 აქვთ მრიცხველები 3, 5, 17.

დაამატეთ მრიცხველები.ამოცანა 3/5 + 2/5 დაამატეთ მრიცხველები 3 + 2 = 5. ამოცანა 3/8 + 5/8 + 17/8 დაამატეთ მრიცხველები 3 + 5 + 17 = 25.

ჩაწერეთ ჯამი.გახსოვდეთ, რომ საერთო მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას ის უცვლელი რჩება - ემატება მხოლოდ მრიცხველები.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

საჭიროების შემთხვევაში გადააქციე წილადი.ზოგჯერ წილადი შეიძლება დაიწეროს როგორც მთელი რიცხვი და არა როგორც საერთო ან ათობითი წილადი. მაგალითად, წილადი 5/5 ადვილად გარდაიქმნება 1-ად, ვინაიდან ნებისმიერი წილადი, რომლის მრიცხველიც მნიშვნელის ტოლია არის 1. წარმოიდგინეთ სამ ნაწილად დაჭრილი ღვეზელი. თუ სამივე ნაწილს შეჭამ, მაშინ მთელ (ერთ) ღვეზელს შეჭამ.

• ნებისმიერი საერთო წილადი შეიძლება გადაკეთდეს ათწილადად; ამისათვის გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. მაგალითად, წილადი 5/8 შეიძლება ჩაიწეროს ასე: 5 ÷ 8 = 0,625.

თუ შესაძლებელია, გაამარტივეთ წილადი.გამარტივებული წილადი არის წილადი, რომლის მრიცხველსა და მნიშვნელს არ აქვთ საერთო გამყოფი.

• მაგალითად, განიხილეთ წილადი 3/6. აქ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც აქვს საერთო გამყოფი 3-ის ტოლი, ანუ მრიცხველი და მნიშვნელი მთლიანად იყოფა 3-ზე. ამიტომ, წილადი 3/6 შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

საჭიროების შემთხვევაში გადაიყვანეთ არასწორი წილადი შერეულ წილადად (შერეული რიცხვი).არასწორი წილადისთვის მრიცხველი მეტია მნიშვნელზე, მაგალითად, 25/8 (სწორი წილადისთვის მრიცხველი მნიშვნელზე ნაკლებია). არასწორი წილადი შეიძლება გარდაიქმნას შერეულ წილადად, რომელიც შედგება მთელი ნაწილისაგან (ანუ მთელი რიცხვი) და წილადი ნაწილისაგან (ანუ სწორი წილადისაგან). არასწორი წილადის გადასაყვანად, როგორიცაა 25/8 შერეულ რიცხვად, მიჰყევით ამ ნაბიჯებს:

• არასწორი წილადის მრიცხველი გაყავით მის მნიშვნელზე; ჩამოწერეთ არასრული კოეფიციენტი (მთელი პასუხი). ჩვენს მაგალითში: 25 ÷ 8 = 3 პლუს რამდენიმე ნაშთი. AT ამ საქმესმთელი პასუხი არის შერეული რიცხვის მთელი რიცხვი.
• იპოვე დანარჩენი. ჩვენს მაგალითში: 8 x 3 = 24; გამოვაკლოთ შედეგი თავდაპირველ მრიცხველს: 25 - 24 \u003d 1, ანუ ნაშთი არის 1. ამ შემთხვევაში, დარჩენილი არის შერეული რიცხვის წილადი ნაწილის მრიცხველი.
• დაწერეთ შერეული წილადი. მნიშვნელი არ იცვლება (ანუ ის უდრის არასწორი წილადის მნიშვნელს), ამიტომ 25/8 = 3 1/8.

გაკვეთილის შინაარსი

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

წილადების დამატება ორი ტიპისაა:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

დავიწყოთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებით. აქ ყველაფერი მარტივია. იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2დაამატეთ წილადები და.

პასუხი არის არასწორი წილადი. თუ დავალების დასასრული დადგა, მაშინ ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთელი ნაწილი ადვილად ნაწილდება - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც ორ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას მეტ პიცას დაამატებთ, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:

მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.

კვლავ დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 4იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან და მეტ პიცას.

როგორც ხედავთ, ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება არ არის რთული. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვოთ;

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას ამ წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.

მაგალითად, წილადების დამატება შეიძლება, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.

მაგრამ წილადების ერთდროულად დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის დანარჩენი მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.

ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ პირველი (LCM) ორივე წილადის მნიშვნელებიდან არის მოძიებული. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - NOC იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი ფაქტორი.

შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, იქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1. დაამატეთ წილადები და

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.

LCM (2 და 3) = 6

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . ჯერ LCM-ს ვყოფთ პირველი წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 6 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი ფაქტორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის ჩვენ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. 6 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.

შედეგად მიღებული ნომერი 3 არის მეორე დამატებითი ფაქტორი. ვწერთ მეორე წილადს. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:

ახლა ჩვენ მზად ვართ დავამატოთ. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

კარგად დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:

ასე მთავრდება მაგალითი. დასამატებლად თურმე.

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:

წილადების ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების და საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).

პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაწილების ერთად შეკრებით ვიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასწორია, ამიტომ ჩვენ გამოვყავით მასში მთელი რიცხვი. შედეგი იყო (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).

გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ეს მაგალითი ძალიან დეტალურად დავხატეთ. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ასევე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ თქვენი მრიცხველებისა და მნიშვნელების მიერ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები. სკოლაში ყოფნისას ჩვენ მოგვიწევს ამ მაგალითის დაწერა შემდეგნაირად:

მაგრამ არსებობს მონეტის მეორე მხარეც. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე დეტალური შენიშვნები არ კეთდება, მაშინ ასეთი კითხვები „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:

1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის;
3. გავამრავლოთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა .

მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.

ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM

იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4

ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის

LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6-ს. მივიღეთ პირველი დამატებითი კოეფიციენტი 6. მას ვწერთ პირველ წილადზე:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. მივიღეთ მეორე დამატებითი ფაქტორი 4. ვწერთ მას მეორე წილადზე:

ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღეთ მესამე დამატებითი ფაქტორი 3. ვწერთ მას მესამე წილადზე:

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები თქვენს დამატებით ფაქტორებზე

ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს ჩვენს დამატებით ფაქტორებზე:

ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება ამ წილადების დამატება. დაამატეთ:

დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.

ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი აირჩიეთ

ჩვენი პასუხი არის არასწორი წილადი. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:

პასუხი მიიღო

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

წილადის გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:

1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის ამოსახსნელად აუცილებელია მეორე წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

კვლავ, პირველი წილადის მრიცხველს გამოაკელით მეორე წილადის მრიცხველი და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:

ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:

1. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
2. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი უნდა აირჩიოთ.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება

მაგალითად, წილადს შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელები. მაგრამ წილადს არ შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.

საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპის მიხედვით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. უპირველეს ყოვლისა, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველ წილადზე. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება მეორე წილადზე.

შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.

პირველი, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.

LCM (3 და 4) = 12

ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ოთხს ვწერთ პირველ წილადზე:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. ვწერთ სამმაგს მეორე წილადზე:

ახლა ჩვენ ყველანი მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:

პასუხი მიიღო

შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას.

ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში ყოფნისას ეს მაგალითი უფრო მოკლედ მოგვიწევს გადაჭრას. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

წილადების და საერთო მნიშვნელის შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება ერთი და იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება იმავე წილადებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):

პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაწილიდან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.

მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.

იპოვეთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.

წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს თითოეული წილადის მნიშვნელზე.

ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველ წილადზე:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. მას ვწერთ მეორე წილადზე:

ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მას ვწერთ მესამე წილადზე:

ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:

მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.

მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ ხაზზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:

პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა და როგორც ჩანს, ყველაფერი გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავაადვილოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.

წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (gcd) 20 და 30 რიცხვებზე.

ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების GCD-ს:

ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ნაპოვნი GCD-ზე, ანუ 10-ზე.

პასუხი მიიღო

წილადის რიცხვზე გამრავლება

წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.

მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე

ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას 1-ჯერ იღებთ, მიიღებთ პიცას

გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ გამრავლება და მამრავლი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ პროდუქტი კვლავ ტოლი იქნება . ისევ მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი მუშაობს:

ეს ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთეულის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე

პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ პიცას 4-ჯერ იღებთ, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას.

და თუ გავცვლით მამრავლსა და მამრავლს ადგილებზე, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:

წილადების გამრავლება

წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადია, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

პასუხი მიიღო. სასურველია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ამოხსნა მიიღებს შემდეგ ფორმას:

გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:

და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:

პიცას მივიღებთ. გახსოვდეთ, როგორ გამოიყურება პიცა, დაყოფილია სამ ნაწილად:

ამ პიცის ერთი ნაჭერი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ნაჭერი იქნება იგივე ზომები:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვსაუბრობთ იმავე ზომის პიცაზე. აქედან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა არის

მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:

მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:

პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).

მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების GCD:

ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველს და მნიშვნელს GCD-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.

მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა

ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . აქედან ხუთეული არ შეიცვლის თავის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც მოგეხსენებათ, უდრის ხუთს:

უკუ ნომრები

ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.

განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთეულს.

მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განმარტებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:

რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთეულს.

შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შეგიძლია. წარმოვადგენთ ხუთს წილადად:

შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ შებრუნებული:

რა იქნება ამის შედეგი? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:

ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის ინვერსია არის რიცხვი, რადგან როდესაც 5 მრავლდება ერთზე, მიიღება ერთი.

საპასუხო შეიძლება ასევე მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ საპასუხო ნებისმიერი სხვა წილადისთვის. ამისათვის საკმარისია მისი გადაბრუნება.

წილადის გაყოფა რიცხვზე

ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:

მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული?

ჩანს, რომ პიცის ნახევრის გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული აყალიბებს პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.

წილადების დაყოფა ხდება ორმხრივების გამოყენებით. ორმხრივები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით.

წილადის რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფის ორმხრივად.

ამ წესის გამოყენებით ჩვენ დავწერთ ჩვენი ნახევრის პიცის ორ ნაწილად დაყოფას.

ასე რომ, თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 2 რიცხვზე. აქ დივიდენდი არის წილადი და გამყოფი არის 2.

წილადის 2-ზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფი 2-ის საპირისპიროზე. გამყოფი 2-ის ორმხრივი არის წილადი. ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ

თქვენმა შვილმა საშინაო დავალება მოიტანა სკოლიდან და არ იცით როგორ მოაგვაროთ? მაშინ ეს მინი გაკვეთილი თქვენთვისაა!

როგორ დავამატოთ ათწილადები

უფრო მოსახერხებელია ათობითი წილადების დამატება სვეტში. ათწილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაიცვან ერთი მარტივი წესი:

• ციფრი უნდა იყოს ციფრის ქვეშ, მძიმით მძიმით.

როგორც მაგალითში ხედავთ, მთელი ერთეულები ერთმანეთის ქვეშ არიან, მეათედი და მეასედი ერთმანეთის ქვეშ. ახლა ჩვენ ვამატებთ ნომრებს, მძიმის უგულებელყოფით. რა უნდა გააკეთოს მძიმით? მძიმით გადაეცემა იმ ადგილას, სადაც ის იდგა მთელი რიცხვების გამონადენში.

ტოლი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

საერთო მნიშვნელით შეკრების შესასრულებლად საჭიროა მნიშვნელი უცვლელი შეინახოთ, იპოვოთ მრიცხველთა ჯამი და მიიღოთ წილადი, რომელიც იქნება მთლიანი რაოდენობა.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება საერთო ჯერადის აღმოჩენით

პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ, არის მნიშვნელები. მნიშვნელები განსხვავებულია, იყოფა თუ არა ერთი მეორეზე, არის თუ არა ისინი მარტივი რიცხვები. ჯერ ერთი საერთო მნიშვნელი უნდა მიიყვანოთ, ამის გაკეთების რამდენიმე გზა არსებობს:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, ამ მაგალითის ამოსახსნელად უნდა ვიპოვოთ უმცირესი საერთო ჯერადი (LCM), რომელიც იყოფა 2 მნიშვნელზე. a და b-ის უმცირესი ჯერადის აღსანიშნავად - LCM (a; b). ამ მაგალითში LCM (3;4)=12. შემოწმება: 12:3=4; 12:4=3.
• ვამრავლებთ ფაქტორებს და ვასრულებთ მიღებული რიცხვების შეკრებას, ვიღებთ 13/12 - არასწორ წილადს.

• არასწორი წილადის სათანადოდ გადაქცევისთვის მრიცხველს ვყოფთ მნიშვნელზე, ვიღებთ მთელ რიცხვს 1, დარჩენილი 1 არის მრიცხველი და 12 არის მნიშვნელი.

წილადების დამატება ჯვარედინი გამრავლების გამოყენებით

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, არსებობს სხვა გზა "ჯვარედინი ჯვრის" ფორმულის მიხედვით. ეს არის გარანტირებული გზა მნიშვნელების გასათანაბრებლად, ამისათვის საჭიროა მრიცხველების გამრავლება ერთი წილადის მნიშვნელით და პირიქით. თუ მხოლოდ წილადების სწავლის საწყის ეტაპზე ხართ, მაშინ ეს მეთოდი ყველაზე მარტივი და ზუსტი გზაა სწორი შედეგის მისაღებად სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატებისას.

წილადები ჩვეულებრივი რიცხვებია, მათი დამატება და გამოკლებაც შესაძლებელია. მაგრამ იმის გამო, რომ მათ აქვთ მნიშვნელი, აქ უფრო რთული წესებია საჭირო, ვიდრე მთელი რიცხვებისთვის.

განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც არის ორი წილადი ერთი და იგივე მნიშვნელით. შემდეგ:

იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, დაამატეთ მათი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის აუცილებელია პირველი წილადის მრიცხველს გამოვაკლოთ მეორის მრიცხველი და ისევ დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი.

თითოეული გამოხატვის შიგნით, წილადების მნიშვნელები ტოლია. წილადების შეკრებისა და გამოკლების განმარტებით ვიღებთ:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული: უბრალოდ დაამატეთ ან გამოაკლეთ მრიცხველები - და ეს არის ის.

მაგრამ ასეთ მარტივ ქმედებებშიც კი ადამიანები ახერხებენ შეცდომებს. ყველაზე ხშირად მათ ავიწყდებათ, რომ მნიშვნელი არ იცვლება. მაგალითად, მათი დამატებისას ისინი ასევე იწყებენ შეკრებას და ეს ფუნდამენტურად არასწორია.

მნიშვნელების დამატების მავნე ჩვევისგან თავის დაღწევა საკმაოდ მარტივია. შეეცადეთ იგივე გააკეთოთ გამოკლებისას. შედეგად, მნიშვნელი იქნება ნული, ხოლო წილადი (მოულოდნელად!) დაკარგავს მნიშვნელობას.

ამიტომ ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: შეკრება-გამოკლებისას მნიშვნელი არ იცვლება!

ასევე, ბევრი ადამიანი უშვებს შეცდომებს რამდენიმე უარყოფითი წილადის დამატებისას. დაბნეულობაა ნიშნებთან: სად დავაყენოთ მინუსი და სად - პლუსი.

ეს პრობლემა ასევე ძალიან მარტივად მოსაგვარებელია. საკმარისია გვახსოვდეს, რომ მინუსი წილადის ნიშანამდე ყოველთვის შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე - და პირიქით. და რა თქმა უნდა, არ დაგავიწყდეთ ორი მარტივი წესი:

1. პლუს ჯერ მინუსი იძლევა მინუსს;
2. ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს.

გავაანალიზოთ ეს ყველაფერი კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პირველ შემთხვევაში ყველაფერი მარტივია, მეორეში კი წილადების მრიცხველებს მინუსებს დავამატებთ:

რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავებულია

თქვენ არ შეგიძლიათ პირდაპირ დაამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. ყოველ შემთხვევაში, ეს მეთოდი ჩემთვის უცნობია. თუმცა, ორიგინალური წილადები ყოველთვის შეიძლება გადაიწეროს ისე, რომ მნიშვნელები გახდეს იგივე.

წილადების გადაქცევის მრავალი გზა არსებობს. სამი მათგანი განიხილება გაკვეთილზე " წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან", ამიტომ მათზე აქ არ ვისაუბრებთ. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პირველ შემთხვევაში წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან „ჯვარედინი“ მეთოდით. მეორეში ჩვენ ვეძებთ LCM-ს. გაითვალისწინეთ, რომ 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. ბოლო ფაქტორები ამ გაფართოებებში ტოლია, ხოლო პირველი - თანაპირობა. ამიტომ, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

რა მოხდება, თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი

შემიძლია გაგახარო: წილადების სხვადასხვა მნიშვნელი არ არის უდიდესი ბოროტება. გაცილებით მეტი შეცდომა ჩნდება, როდესაც მთელი ნაწილი მონიშნულია წილადებით.

რა თქმა უნდა, ასეთი წილადებისთვის არსებობს საკუთარი შეკრების და გამოკლების ალგორითმები, მაგრამ ისინი საკმაოდ რთულია და მოითხოვს ხანგრძლივ შესწავლას. უმჯობესია გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული მარტივი დიაგრამა:

1. გადააქციეთ ყველა წილადი, რომელიც შეიცავს მთელ რიცხვს არასწორად. ვიღებთ ნორმალურ ტერმინებს (თუნდაც სხვადასხვა მნიშვნელით), რომლებიც გამოითვლება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით;
2. სინამდვილეში, გამოთვალეთ მიღებული წილადების ჯამი ან განსხვავება. შედეგად, ჩვენ პრაქტიკულად ვიპოვით პასუხს;
3. თუ ეს არის ყველაფერი, რაც საჭირო იყო ამოცანაში, ჩვენ ვასრულებთ შებრუნებულ ტრანსფორმაციას, ე.ი. ჩვენ ვაშორებთ არასწორ წილადს, ხაზს ვუსვამთ მასში მთელ ნაწილს.

არასწორ წილადებზე გადასვლისა და მთელი ნაწილის გამოკვეთის წესები დეტალურად არის აღწერილი გაკვეთილზე „რა არის რიცხვითი წილადი“. თუ არ გახსოვთ, აუცილებლად გაიმეორეთ. მაგალითები:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

აქ ყველაფერი მარტივია. თითოეული გამოხატვის შიგნით მნიშვნელები ტოლია, ამიტომ რჩება ყველა წილადის არასწორად გადაქცევა და დათვლა. Ჩვენ გვაქვს:

გამოთვლების გასამარტივებლად, მე გამოვტოვე რამდენიმე აშკარა ნაბიჯი ბოლო მაგალითებში.

მცირე შენიშვნა ბოლო ორ მაგალითზე, სადაც გამოკლებულია წილადები მონიშნული მთელი ნაწილით. მინუსი მეორე წილადის წინ ნიშნავს, რომ აკლდება მთელი წილადი და არა მხოლოდ მისი მთელი ნაწილი.

კიდევ ერთხელ გადაიკითხე ეს წინადადება, გადახედე მაგალითებს და დაფიქრდი. ეს არის ის, სადაც დამწყებთათვის საშუალებას იძლევა დიდი თანხაშეცდომები. მათ მოსწონთ ასეთი დავალებების მიცემა საკონტროლო სამუშაოზე. მათ ასევე არაერთხელ შეხვდებით ამ გაკვეთილის ტესტებში, რომელიც მალე გამოქვეყნდება.

რეზიუმე: გამოთვლის ზოგადი სქემა

დასასრულს, მე მივცემ ზოგად ალგორითმს, რომელიც დაგეხმარებათ იპოვოთ ორი ან მეტი წილადის ჯამი ან განსხვავება:

1. თუ მთელი რიცხვი მონიშნულია ერთ ან რამდენიმე წილადში, გადააკეთეთ ეს წილადები არასწორად;
2. მიიტანეთ ყველა წილადი საერთო მნიშვნელამდე თქვენთვის მოსახერხებელ გზაზე (თუ, რა თქმა უნდა, პრობლემების შემდგენელებმა ეს არ გააკეთეს);
3. მიღებული რიცხვების შეკრება ან გამოკლება ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესების მიხედვით;
4. შეძლებისდაგვარად შეამცირეთ შედეგი. თუ წილადი არასწორი აღმოჩნდა, აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

დაიმახსოვრეთ, რომ სჯობს მთელი ნაწილი გამოყოთ ამოცანის ბოლოს, პასუხის დაწერამდე.

განვიხილოთ წილადი $\frac63$. მისი ღირებულებაა 2, ვინაიდან $\frac63 =6:3 = 2$. რა მოხდება, თუ მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება 2-ზე? $\frac63 \ჯერ 2=\frac(12)(6)$. ცხადია, წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა, ამიტომ $\frac(12)(6)$ ასევე უდრის 2-ს, როგორც y. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი 3-ით და მიიღეთ $\frac(18)(9)$, ან 27-ით და მიიღეთ $\frac(162)(81)$ ან 101-ით და მიიღეთ $\frac(606)(303)$. თითოეულ ამ შემთხვევაში იმ წილადის მნიშვნელობა, რომელსაც ვიღებთ მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით არის 2. ეს ნიშნავს, რომ ის არ შეცვლილა.

იგივე ნიმუში შეინიშნება სხვა ფრაქციების შემთხვევაშიც. თუ $\frac(120)(60)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი (2-ის ტოლია) იყოფა 2-ზე ($\frac(60)(30)$-ის შედეგი), ან 3-ზე (შედეგი $\frac(40)(20) $), ან 4-ით ($\frac(30)(15)$) და ასე შემდეგ, მაშინ თითოეულ შემთხვევაში წილადის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება და უდრის 2-ს.

ეს წესი ასევე ეხება წილადებს, რომლებიც არ არიან ტოლები. მთელი რიცხვი.

თუ $\frac(1)(3)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლებულია 2-ზე, მივიღებთ $\frac(2)(6)$, ანუ წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა. და რეალურად თუ ტორტს 3 ნაწილად გაყოფთ და ერთს აიღებთ, ან 6 ნაწილად გაყოფთ და 2 ნაწილად აიღებთ, ორივე შემთხვევაში ერთნაირი ღვეზელი მიიღებთ. აქედან გამომდინარე, რიცხვები $\frac(1)(3)$ და $\frac(2)(6)$ იდენტურია. ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი წესი.

ნებისმიერი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გამრავლდეს ან გავყოთ იმავე რიცხვზე და წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.

ეს წესი ძალიან სასარგებლოა. მაგალითად, ის საშუალებას იძლევა ზოგიერთ შემთხვევაში, მაგრამ არა ყოველთვის, თავიდან აიცილოთ ოპერაციები დიდი რაოდენობით.

მაგალითად, შეგვიძლია $\frac(126)(189)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 63-ზე და მივიღოთ $\frac(2)(3)$ წილადი, რომლის გამოთვლაც გაცილებით ადვილია. კიდევ ერთი მაგალითი. შეგვიძლია $\frac(155)(31)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 31-ზე და მივიღოთ წილადი $\frac(5)(1)$ ან 5, ვინაიდან 5:1=5.

ამ მაგალითში ჩვენ პირველად შევხვდით წილადი, რომლის მნიშვნელი არის 1. ასეთი წილადები მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ გამოთვლებში. უნდა გვახსოვდეს, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს 1-ზე და მისი მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ანუ $\frac(273)(1)$ უდრის 273-ს; $\frac(509993)(1)$ უდრის 509993 და ასე შემდეგ. მაშასადამე, ჩვენ არ გვჭირდება რიცხვების გაყოფა -ზე, რადგან ყველა მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით.

ასეთი წილადებით, რომელთა მნიშვნელი 1-ის ტოლია, შეგიძლიათ შეასრულოთ იგივე არითმეტიკული მოქმედებები, როგორც ყველა სხვა წილადთან: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \ჯერ \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

შეიძლება იკითხოთ, რა სარგებლობა მოაქვს მთელი რიცხვის წილადად წარმოჩენას, რომელსაც ექნება ერთეული ზოლის ქვეშ, რადგან უფრო მოსახერხებელია მთელი რიცხვით მუშაობა. მაგრამ ფაქტია, რომ მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა საშუალებას გვაძლევს უფრო ეფექტურად შევასრულოთ სხვადასხვა მოქმედებები, როდესაც საქმე გვაქვს ერთდროულად მთელ რიცხვებთან და წილად რიცხვებთან. მაგალითად, ისწავლოს დაამატეთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. დავუშვათ, ჩვენ უნდა დავამატოთ $\frac(1)(3)$ და $\frac(1)(5)$.

ჩვენ ვიცით, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ წილადები, რომელთა მნიშვნელები ტოლია. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვისწავლოთ როგორ მივიყვანოთ წილადები ასეთ ფორმამდე, როდესაც მათი მნიშვნელები ტოლია. ამ შემთხვევაში ჩვენ კვლავ გვჭირდება ის ფაქტი, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე მისი მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე.

ჯერ $\frac(1)(3)$ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვამრავლებთ 5-ზე. ვიღებთ $\frac(5)(15)$, წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა. შემდეგ $\frac(1)(5)$ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ვამრავლებთ 3-ზე. მივიღებთ $\frac(3)(15)$, ისევ წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა. ამიტომ, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

ახლა შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს სისტემა რიცხვების დამატებაზე, რომლებიც შეიცავს როგორც მთელ, ასევე წილად ნაწილებს.

ჩვენ უნდა დავამატოთ $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. პირველ რიგში, ყველა ტერმინს ვაქცევთ წილადებად და ვიღებთ: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. ახლა ყველა წილადი უნდა მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელზე, ამისთვის ვამრავლებთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს 12-ზე, მეორეს 4-ზე და მესამეზე 3-ზე. შედეგად მივიღებთ $\frac(36) (12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, რაც $\frac(55)(12)$-ის ტოლია. თუ გინდა მოიშორო არასწორი ფრაქცია, ის შეიძლება გადაიქცეს რიცხვად, რომელიც შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ან $4\frac( 7)(12)$.

ყველა წესი, რაც საშუალებას იძლევა მოქმედებები წილადებთან, რომელიც ახლახან შევისწავლეთ, მოქმედებს უარყოფითი რიცხვების შემთხვევაშიც. ასე რომ, -1: 3 შეიძლება დაიწეროს როგორც $\frac(-1)(3)$, ხოლო 1: (-3) როგორც $\frac(1)(-3)$.

ვინაიდან როგორც უარყოფითი რიცხვის დაყოფა დადებით რიცხვზე, ასევე დადებითი რიცხვის გაყოფა უარყოფითზე უარყოფით რიცხვებში, ორივე შემთხვევაში პასუხს მივიღებთ უარყოფითი რიცხვის სახით. ე.ი

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ან $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. მინუს ნიშანი, როდესაც ასე იწერება, ეხება მთელ წილადს მთლიანობაში და არა ცალკე მრიცხველზე ან მნიშვნელზე.

მეორეს მხრივ, (-1): (-3) შეიძლება დაიწეროს როგორც $\frac(-1)(-3)$, და რადგან უარყოფითი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფა იძლევა დადებით რიცხვს, მაშინ $\frac (-1 )(-3)$ შეიძლება დაიწეროს როგორც $+\frac(1)(3)$.

უარყოფითი წილადების შეკრება და გამოკლება ხდება ისევე, როგორც დადებითი წილადების შეკრება და გამოკლება. მაგალითად, რა არის $1- 1\frac13$? ორივე რიცხვი წარმოვიდგინოთ წილადებად და მივიღოთ $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. მოდით შევამციროთ წილადები საერთო მნიშვნელამდე და მივიღოთ $\frac(1 \ჯერ 3)(1 \ჯერ 3)-\frac(4)(3)$, ანუ $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ან $-\frac(1)(3)$.