თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ ამის შესახებ უნიკალური შეთავაზებები, აქციები და სხვა ღონისძიებები და მომავალი ღონისძიებები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტი, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევებიგავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოებისთვის, სამართალდამცავი ორგანოებისთვის ან სხვა საზოგადოებისთვის. მნიშვნელოვანი შემთხვევები.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ინსტრუქცია

იპოვნეთ ფუნქციის ფარგლები. მაგალითად, ფუნქცია sin(x) განისაზღვრება მთელ ინტერვალზე -∞-დან +∞-მდე, ხოლო ფუნქცია 1/x განისაზღვრება -∞-დან +∞-მდე, გარდა x = 0 წერტილისა.

განსაზღვრეთ უწყვეტობის სფეროები და წყვეტის წერტილები. ჩვეულებრივ, ფუნქცია უწყვეტია იმავე დომენში, სადაც ის არის განსაზღვრული. უწყვეტობის აღმოსაჩენად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ, როდის უახლოვდება არგუმენტი იზოლირებულ წერტილებს განსაზღვრების დომენში. მაგალითად, ფუნქცია 1/x მიდრეკილია უსასრულობისკენ, როდესაც x→0+ და მინუს უსასრულობისკენ, როდესაც x→0-. ეს ნიშნავს, რომ x = 0 წერტილში მას აქვს მეორე სახის შეწყვეტა.
თუ შეწყვეტის წერტილში საზღვრები სასრულია, მაგრამ არა ტოლი, მაშინ ეს არის პირველი სახის შეწყვეტა. თუ ისინი ტოლია, მაშინ ფუნქცია განიხილება უწყვეტად, თუმცა ის არ არის განსაზღვრული იზოლირებულ წერტილში.

იპოვე ვერტიკალური ასიმპტოტები, თუ ისინი არიან. წინა საფეხურის გამოთვლები დაგეხმარება აქ, რადგან ვერტიკალური ასიმპტოტი თითქმის ყოველთვის მეორე სახის შეწყვეტის წერტილშია. თუმცა, ზოგჯერ ეს არ არის ცალკეული წერტილები, რომლებიც გამოირიცხება განმარტების სფეროდან, არამედ წერტილების მთელი ინტერვალები, შემდეგ კი ვერტიკალური ასიმპტოტები შეიძლება განთავსდეს ამ ინტერვალების კიდეებზე.

შეამოწმეთ აქვს თუ არა ფუნქცია სპეციალური თვისებები: ლუწი, კენტი და პერიოდული.
ფუნქცია იქნება ლუწი, თუ რომელიმე x დომენში f(x) = f(-x). მაგალითად cos(x) და x^2 - ფუნქციებიც კი.

პერიოდულობა არის თვისება, რომელიც ამბობს, რომ არის გარკვეული რიცხვი T, რომელსაც ეწოდება პერიოდი, რომელიც ნებისმიერი x-სთვის f(x) = f(x + T). მაგალითად, ყველა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები(სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი) - პერიოდული.

იპოვეთ ქულები. ამისათვის გამოთვალეთ წარმოებული მოცემული ფუნქციადა იპოვეთ ის x მნიშვნელობები, სადაც ის ქრება. მაგალითად, ფუნქციას f(x) = x^3 + 9x^2 -15 აქვს წარმოებული g(x) = 3x^2 + 18x, რომელიც ქრება x = 0 და x = -6.

იმის დასადგენად, თუ რომელი უკიდურესი წერტილებია მაქსიმუმი და რომელი მინიმმები, აკრიფეთ წარმოებულის ნიშნების ცვლილება აღმოჩენილ ნულებში. g(x) ცვლის ნიშანს პლუსიდან x = -6-ზე და უკან მინუსიდან პლუსზე x = 0-ზე. მაშასადამე, f(x) ფუნქციას აქვს მინიმუმი პირველ წერტილში და მინიმუმი მეორეში.

ამრიგად, თქვენ ასევე იპოვნეთ მონოტონურობის არეები: f(x) მონოტონურად იზრდება -∞;-6 ინტერვალზე, მონოტონურად მცირდება -6;0-ზე და კვლავ იზრდება 0;+∞-ზე.

იპოვეთ მეორე წარმოებული. მისი ფესვები აჩვენებს, სად იქნება მოცემული ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილი და სად იქნება ჩაზნექილი. მაგალითად, f(x) ფუნქციის მეორე წარმოებული იქნება h(x) = 6x + 18. ის ქრება x = -3-ზე, იცვლება მისი ნიშანი მინუსიდან პლუსზე. მაშასადამე, დიაგრამა f (x) ამ წერტილამდე ამოზნექილი იქნება, მის შემდეგ - ჩაზნექილი და თავად ეს წერტილი იქნება დახრის წერტილი.

ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს სხვა ასიმპტოტები, გარდა ვერტიკალურისა, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი განმარტების დომენი მოიცავს . მათ საპოვნელად გამოთვალეთ f(x)-ის ზღვარი x→∞ ან x→-∞. თუ ის სასრულია, მაშინ იპოვნეთ ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.

ირიბი ასიმპტოტი არის kx + b ფორმის სწორი ხაზი. k-ის საპოვნელად გამოთვალეთ f(x)/x-ის ზღვარი x→∞. იპოვონ b - ლიმიტი (f(x) – kx) იგივე x→∞.

Ერთ - ერთი კრიტიკული ამოცანები დიფერენციალური გაანგარიშებაარის განვითარება საერთო მაგალითებიფუნქციების ქცევის შესწავლა.

თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია ინტერვალზე, ხოლო მისი წარმოებული დადებითია ან 0-ის ტოლია ინტერვალზე (a, b), მაშინ y \u003d f (x) იზრდება (f "(x) 0). თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია სეგმენტზე და მისი წარმოებული უარყოფითია ან 0-ის ტოლია (a,b) ინტერვალზე, მაშინ y=f(x) მცირდება (f"( x)0)

ინტერვალებს, რომლებშიც ფუნქცია არ მცირდება ან არ იზრდება, ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალებს უწოდებენ. ფუნქციის ერთფეროვნების ბუნება შეიძლება შეიცვალოს მხოლოდ მისი განსაზღვრის დომენის იმ წერტილებში, რომლებშიც იცვლება პირველი წარმოებულის ნიშანი. წერტილებს, რომლებზეც ფუნქციის პირველი წარმოებული ქრება ან იშლება, კრიტიკულ წერტილებს უწოდებენ.

თეორემა 1 (1 ქ საკმარისი მდგომარეობაექსტრემის არსებობა).

მოდით ფუნქცია y=f(x) განისაზღვროს x 0 წერტილში და იყოს სამეზობლო δ>0 ისეთი, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი სეგმენტზე, დიფერენცირებადი ინტერვალზე (x 0 -δ, x 0)u( x 0, x 0 + δ) და მისი წარმოებული დაცულია მუდმივი ნიშანითითოეულ ამ ინტერვალში. მაშინ თუ x 0 -δ, x 0) და (x 0, x 0 + δ) წარმოებულის ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ x 0 არის უკიდურესი წერტილი, ხოლო თუ ისინი ემთხვევა, მაშინ x 0 არ არის უკიდურესი წერტილი. . უფრო მეტიც, თუ x0 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე (x 0-დან მარცხნივ შესრულებულია f"(x)> 0, მაშინ x 0 არის მაქსიმალური წერტილი; თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს. მინუსიდან პლუსამდე (x 0-ის მარჯვნივ შესრულებულია f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, ხოლო ფუნქციის მაქსიმუმებსა და მინიმებს მისი უკიდურესი მნიშვნელობები.

თეორემა 2 (აუცილებელი კრიტერიუმი ლოკალური ექსტრემისთვის).

თუ ფუნქციას y=f(x) აქვს ექსტრემი მიმდინარე x=x 0-ზე, მაშინ ან f'(x 0)=0 ან f'(x 0) არ არსებობს.
დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურეს წერტილებში მისი გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად.

ექსტრემისთვის ფუნქციის შესწავლის ალგორითმი:

1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები, ე.ი. წერტილები, სადაც ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს.
3) განვიხილოთ თითოეული წერტილის მეზობლობა და შეამოწმეთ წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ.
4) განსაზღვრეთ უკიდურესი წერტილების კოორდინატები, ამ მნიშვნელობისთვის კრიტიკული წერტილებიშეაერთეთ ამ ფუნქციაში. საკმარისი ექსტრემალური პირობების გამოყენებით, გამოიტანეთ შესაბამისი დასკვნები.

მაგალითი 18. გამოიკვლიეთ ფუნქცია y=x 3 -9x 2 +24x

გადაწყვეტილება.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) წარმოებულის ნულის ტოლფასი ვპოულობთ x 1 =2, x 2 =4. ამ შემთხვევაში წარმოებული ყველგან არის განსაზღვრული; აქედან გამომდინარე, ორი ნაპოვნი წერტილის გარდა, სხვა კრიტიკული წერტილი არ არსებობს.
3) წარმოებულის ნიშანი y "=3(x-2)(x-4) იცვლება 1-ელ ნახატზე ნაჩვენები ინტერვალის მიხედვით. x=2 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე. ხოლო x=4 წერტილის გავლისას - მინუსიდან პლუსზე.
4) x=2 წერტილში ფუნქციას აქვს მაქსიმალური y max =20, ხოლო x=4 წერტილში - მინიმალური y min =16.

თეორემა 3. (მე-2 საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის).

ვთქვათ f "(x 0) და f "" (x 0) არსებობს x 0 წერტილში. მაშინ თუ f "" (x 0)> 0, მაშინ x 0 არის მინიმალური წერტილი და თუ f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

სეგმენტზე ფუნქცია y \u003d f (x) შეიძლება მიაღწიოს უმცირეს (მინიმუმ) ან უდიდეს (მაქსიმუმ) მნიშვნელობას ან ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებში, რომელიც მდებარეობს ინტერვალში (a; b), ან ბოლოებში. სეგმენტის.

y=f(x) უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი სეგმენტზე:

1) იპოვეთ f "(x).
2) იპოვეთ წერტილები, რომლებშიც f "(x) = 0 ან f" (x) - არ არსებობს და მათგან შეარჩიეთ ის, რაც დევს სეგმენტის შიგნით.
3) გამოთვალეთ y \u003d f (x) ფუნქციის მნიშვნელობა მე-2 პუნქტში მიღებულ წერტილებში, ასევე სეგმენტის ბოლოებზე და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი და პატარა: ისინი, შესაბამისად, ყველაზე დიდია ( ყველაზე დიდი) და ყველაზე პატარა (ყველაზე პატარა) ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტზე.

მაგალითი 19. იპოვეთ უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y=x 3 -3x 2 -45+225 სეგმენტზე.

1) ჩვენ გვაქვს y "=3x 2 -6x-45 სეგმენტზე
2) წარმოებული y" არსებობს ყველა x-ისთვის. ვიპოვოთ წერტილები, სადაც y"=0; ჩვენ ვიღებთ:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 წერტილებში.
სეგმენტს მხოლოდ წერტილი x=5 ეკუთვნის. ფუნქციის ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი არის 225, ხოლო ყველაზე პატარა არის რიცხვი 50. ასე რომ, max = 225, max = 50.

ფუნქციის გამოკვლევა ამოზნექილზე

ნახატზე ნაჩვენებია ორი ფუნქციის გრაფიკი. პირველი მათგანი ამობურცულია ზემოთ, მეორე - ამობურცული ქვემოთ.

ფუნქცია y=f(x) უწყვეტია სეგმენტზე და დიფერენცირებადია (a;b) ინტერვალში. ამ სეგმენტზე ამოზნექილი (ქვემოთ) ეწოდება, თუ axb-ისთვის მისი გრაფიკი არ არის უფრო მაღალი (არა დაბალი) ვიდრე ტანგენსი შედგენილი ნებისმიერ წერტილზე M 0 (x 0 ;f(x 0)), სადაც axb.

თეორემა 4. y=f(x) ფუნქციას ჰქონდეს მეორე წარმოებული სეგმენტის ნებისმიერ შიდა წერტილში და იყოს უწყვეტი ამ სეგმენტის ბოლოებში. მაშინ თუ f""(x)0 უტოლობა დაკმაყოფილებულია (a;b) ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია ქვევით ამოზნექილია სეგმენტზე; თუ უტოლობა f""(x)0 დაკმაყოფილებულია ინტერვალზე (а;b), მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ზევით ზე.

თეორემა 5. თუ ფუნქციას y \u003d f (x) აქვს მეორე წარმოებული ინტერვალზე (a; b) და თუ ის ცვლის ნიშანს x 0 წერტილში გავლისას, მაშინ M (x 0 ; f (x 0)) არის გადახრის წერტილი.

დახრის წერტილების პოვნის წესი:

1) იპოვეთ წერტილები, სადაც f""(x) არ არსებობს ან ქრება.
2) დაათვალიერეთ f"""(x) ნიშანი მარცხნივ და მარჯვნივ პირველ საფეხურზე ნაპოვნი თითოეული წერტილიდან.
3) თეორემა 4-ზე დაყრდნობით გამოიტანე დასკვნა.

მაგალითი 20. იპოვეთ ფუნქციის გრაფის y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 უკიდურესი და გადახრის წერტილები.

გვაქვს f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. ცხადია, f"(x)=0 x 1 =0-ისთვის, x 2 =1. წარმოებული x=0 წერტილში გავლისას ცვლის ნიშანს მინუს-დან პლუსზე, ხოლო x=1 წერტილის გავლისას არ იცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ x=0 არის მინიმალური წერტილი (y min =12), და არ არის ექსტრემი x=1 წერტილში. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით . მეორე წარმოებული ქრება x 1 =1, x 2 =1/3 წერტილებში. მეორე წარმოებულის ნიშნები ასე იცვლება: სხივზე (-∞;) გვაქვს f""(x)>0, (;1) ინტერვალზე გვაქვს f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. მაშასადამე, x= არის ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილი (გადახვევა ამოზნექილიდან ქვევით ამოზნექილზე ზემოთ) და x=1 ასევე არის დახრის წერტილი (გადასასვლელი ამოზნექიდან ზევით ქვევით). თუ x=, მაშინ y= ; თუ, მაშინ x=1, y=13.

გრაფიკის ასიმპტოტის პოვნის ალგორითმი

I. თუ y=f(x) x → a , მაშინ x=a არის ვერტიკალური ასიმპტოტი.
II. თუ y=f(x) x → ∞ ან x → -∞ მაშინ y=A არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.
III. ირიბი ასიმპტოტის საპოვნელად ვიყენებთ შემდეგ ალგორითმს:
1) გამოთვალეთ. თუ ზღვარი არსებობს და უდრის b-ს, მაშინ y=b არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი; თუ , მაშინ გადადით მეორე საფეხურზე.
2) გამოთვალეთ. თუ ეს ზღვარი არ არსებობს, მაშინ არ არსებობს ასიმპტოტი; თუ ის არსებობს და უდრის k-ს, გადადით მესამე საფეხურზე.
3) გამოთვალეთ. თუ ეს ზღვარი არ არსებობს, მაშინ არ არსებობს ასიმპტოტი; თუ ის არსებობს და უდრის b-ს, გადადით მეოთხე საფეხურზე.
4) ჩაწერეთ ირიბი ასიმპტოტის განტოლება y=kx+b.

მაგალითი 21: იპოვეთ ასიმპტოტი ფუნქციისთვის

1)
2)
3)
4) ირიბი ასიმპტოტის განტოლებას აქვს ფორმა

ფუნქციის შესწავლის სქემა და მისი გრაფიკის აგება

I. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.
II. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.
III. იპოვნეთ ასიმპტოტები.
IV. იპოვნეთ შესაძლო ექსტრემის წერტილები.
V. იპოვეთ კრიტიკული წერტილები.
VI. დამხმარე ნახაზის გამოყენებით გამოიკვლიეთ პირველი და მეორე წარმოებულის ნიშანი. განსაზღვრეთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების არეები, იპოვნეთ გრაფიკის ამოზნექის მიმართულება, უკიდურესი წერტილები და დახრის წერტილები.
VII. ააგეთ გრაფიკი 1-6 პუნქტებში ჩატარებული კვლევის გათვალისწინებით.

მაგალითი 22: დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით

გადაწყვეტილება.
I. ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა x=1-ისა.
II. ვინაიდან განტოლებას x 2 +1=0 არ აქვს რეალური ფესვები, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს გადაკვეთის წერტილები Ox ღერძთან, მაგრამ კვეთს Oy ღერძს (0; -1) წერტილში.
III. მოდით განვმარტოთ ასიმპტოტების არსებობის საკითხი. ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციის ქცევას შეწყვეტის წერტილთან x=1. ვინაიდან y → ∞ x → -∞-ისთვის, y → +∞ x → 1+-ისთვის, მაშინ წრფე x=1 არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.
თუ x → +∞(x → -∞), მაშინ y → +∞(y → -∞); შესაბამისად, გრაფიკს არ აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. გარდა ამისა, ლიმიტების არსებობიდან

x 2 -2x-1=0 განტოლების ამოხსნით, მივიღებთ შესაძლო უკიდურესობის ორ წერტილს:
x 1 =1-√2 და x 2 =1+√2

V. კრიტიკული წერტილების საპოვნელად გამოვთვლით მეორე წარმოებულს:

ვინაიდან f""(x) არ ქრება, არ არსებობს კრიტიკული წერტილები.
VI. ჩვენ ვიკვლევთ პირველი და მეორე წარმოებულების ნიშანს. გასათვალისწინებელი შესაძლო უკიდურესი წერტილები: x 1 =1-√2 და x 2 =1+√2, დაყავით ფუნქციის არსებობის არეალი ინტერვალებად (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) და (1+√2;+∞).

თითოეულ ამ ინტერვალში წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს: პირველში - პლუს, მეორეში - მინუს, მესამეში - პლუს. პირველი წარმოებულის ნიშნების თანმიმდევრობა დაიწერება შემდეგნაირად: +, -, +.
მივიღებთ, რომ ფუნქცია (-∞;1-√2)-ზე იზრდება, (1-√2;1+√2)-ზე მცირდება და (1+√2;+∞) კვლავ იზრდება. ექსტრემალური წერტილები: მაქსიმუმი x=1-√2-ზე, უფრო მეტიც f(1-√2)=2-2√2 მინიმალური x=1+√2-ზე, მეტიც f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)-ზე გრაფიკი ამოზნექილია ზემოთ, ხოლო (1;+∞)-ზე - ქვემოთ.
VII შევადგინოთ მიღებული მნიშვნელობების ცხრილი

VIII მიღებული მონაცემების საფუძველზე ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკის ჩანახატს

თუ დავალება მოითხოვს სრული შესწავლაფუნქციები f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 მისი გრაფიკის კონსტრუქციით, შემდეგ ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ ამ პრინციპს.

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოვიყენოთ ძირითადი თვისებები და გრაფიკები ელემენტარული ფუნქციები. კვლევის ალგორითმი მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

Yandex.RTB R-A-339285-1

განსაზღვრების დომენის პოვნა

ვინაიდან კვლევა ტარდება ფუნქციის დომენზე, აუცილებელია ამ ნაბიჯით დავიწყოთ.

მაგალითი 1

უკან მოცემული მაგალითიმოიცავს მნიშვნელის ნულების პოვნას, რათა გამოირიცხოს ისინი DPV-დან.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

შედეგად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ. შემდეგ ODZ შეიძლება მოძებნოთ g (x) 4 ტიპის ლუწი ხარისხის ფესვი g (x) ≥ 0 , ლოგარითმისთვის log a g (x) უტოლობით g (x) > 0 .

ODZ-ის საზღვრების გამოკვლევა და ვერტიკალური ასიმპტოტების მოძიება

ფუნქციის საზღვრებზე არის ვერტიკალური ასიმპტოტები, როდესაც ასეთ წერტილებში ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა.

მაგალითი 2

მაგალითად, განვიხილოთ სასაზღვრო წერტილები x = ± 1 2-ის ტოლი.

შემდეგ საჭიროა ფუნქციის შესწავლა ცალმხრივი ლიმიტის მოსაძებნად. შემდეგ მივიღებთ, რომ: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

ეს აჩვენებს, რომ ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები x = ± 1 2 არის გრაფის ვერტიკალური ასიმპტოტები.

ფუნქციის გამოკვლევა და ლუწი ან კენტი

როდესაც y (- x) = y (x) პირობა დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება ლუწი. ეს ვარაუდობს, რომ გრაფიკი განლაგებულია სიმეტრიულად O y-ის მიმართ. როდესაც პირობა y (- x) = - y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება კენტად. ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრია მიდის კოორდინატების წარმოშობასთან მიმართებაში. თუ ერთი უტოლობა მაინც ვერ ხერხდება, ვიღებთ ზოგადი ფორმის ფუნქციას.

y (- x) = y (x) ტოლობის შესრულება მიუთითებს, რომ ფუნქცია ლუწია. აგებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ იქნება სიმეტრია O y-ის მიმართ.

უტოლობის ამოსახსნელად გამოიყენება გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები f "(x) ≥ 0 და f" (x) ≤ 0 პირობებით, შესაბამისად.

განმარტება 1

სტაციონარული წერტილებიარის წერტილები, რომლებიც წარმოებულს ნულს აქცევს.

კრიტიკული წერტილებიარის შიდა წერტილები დომენიდან, სადაც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ან არ არსებობს.

გადაწყვეტილების მიღებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი პუნქტები:

• f "(x) > 0 ფორმის უტოლობის ზრდისა და შემცირების არსებული ინტერვალებისთვის კრიტიკული წერტილები არ შედის ამონახსნში;
• წერტილები, რომლებზეც ფუნქცია განისაზღვრება სასრული წარმოებულის გარეშე, უნდა იყოს ჩართული გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებში (მაგალითად, y \u003d x 3, სადაც წერტილი x \u003d 0 განსაზღვრავს ფუნქციას, წარმოებულს აქვს უსასრულობის მნიშვნელობა. ამ ეტაპზე, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 შედის გაზრდის ინტერვალში);
• უთანხმოების თავიდან აცილების მიზნით რეკომენდებულია მათემატიკური ლიტერატურის გამოყენება, რომელსაც განათლების სამინისტრო გირჩევთ.

კრიტიკული წერტილების ჩართვა გაზრდისა და კლების ინტერვალებში იმ შემთხვევაში, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ფუნქციის დომენს.

განმარტება 2

ამისთვის ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების განსაზღვრისას აუცილებელია ვიპოვოთ:

• წარმოებული;
• კრიტიკული წერტილები;
• კრიტიკული წერტილების დახმარებით განსაზღვრის დომენის დაყოფა ინტერვალებად;
• განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე, სადაც + არის ზრდა და - კლება.

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული f დომენზე "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

გადაწყვეტილება

გადაჭრისთვის გჭირდებათ:

• იპოვეთ სტაციონარული წერტილები, ამ მაგალითს აქვს x = 0;
• იპოვეთ მნიშვნელის ნულები, მაგალითი იღებს ნულს x = ± 1 2-ზე.

ჩვენ გამოვყოფთ წერტილებს რიცხვით ღერძზე, რათა განვსაზღვროთ წარმოებული თითოეულ ინტერვალზე. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი წერტილი ინტერვალიდან და გააკეთოთ გამოთვლა. თუ შედეგი დადებითია, გრაფიკზე ვხატავთ +, რაც ნიშნავს ფუნქციის ზრდას და - ნიშნავს მის შემცირებას.

მაგალითად, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, რაც ნიშნავს, რომ მარცხნივ პირველ ინტერვალს აქვს + ნიშანი. განვიხილოთ რიცხვი ხაზი.

პასუხი:

• ხდება ფუნქციის ზრდა ინტერვალზე - ∞ ; - 1 2 და (- 1 2 ; 0 ] ;
• არის კლება ინტერვალზე [0; 1 2) და 1 2 ; +∞ .

დიაგრამაზე, + და - გამოყენებით, გამოსახულია ფუნქციის პოზიტიურობა და ნეგატივი, ხოლო ისრები მიუთითებს კლებასა და ზრდაზე.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილები არის ის წერტილები, სადაც ფუნქცია განისაზღვრება და რომლის მეშვეობითაც წარმოებული ცვლის ნიშანს.

მაგალითი 4

თუ განვიხილავთ მაგალითს, სადაც x \u003d 0, მაშინ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა არის f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. როდესაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება +-დან --მდე და გადის x \u003d 0 წერტილში, მაშინ წერტილი კოორდინატებით (0; 0) ითვლება მაქსიმალურ წერტილად. როდესაც ნიშანი იცვლება -დან +-მდე, ვიღებთ მინიმალურ ქულას.

ამოზნექილი და ჩაზნექილი განისაზღვრება f "" (x) ≥ 0 და f "" (x) ≤ 0 ფორმის უტოლობების ამოხსნით. ნაკლებად ხშირად იყენებენ სახელს bulge down ჩაზნექის ნაცვლად და bulge up-ის ნაცვლად.

განმარტება 3

ამისთვის ჩაზნექილისა და ამოზნექის ხარვეზების დადგენასაჭირო:

• იპოვეთ მეორე წარმოებული;
• იპოვეთ მეორე წარმოებულის ფუნქციის ნულები;
• დაარღვიე განსაზღვრების სფერო იმ წერტილებით, რომლებიც ჩნდება ინტერვალებად;
• განსაზღვრეთ ხარვეზის ნიშანი.

მაგალითი 5

იპოვეთ მეორე წარმოებული განმარტების სფეროდან.

გადაწყვეტილება

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ვპოულობთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ნულებს, სადაც ჩვენი მაგალითის გამოყენებით გვაქვს, რომ x = ± 1 2 მნიშვნელის ნულები.

ახლა თქვენ უნდა დააყენოთ ქულები რიცხვითი ღერძიდა განსაზღვრეთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეული ინტერვალიდან. ჩვენ ამას მივიღებთ

პასუხი:

• ფუნქცია ამოზნექილია ინტერვალიდან - 1 2 ; 12 ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია ხარვეზებიდან - ∞ ; - 1 2 და 1 2 ; +∞ .

განმარტება 4

დახრის წერტილიარის x 0 ფორმის წერტილი; f(x0) . როდესაც მას აქვს ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე, მაშინ როდესაც ის გადის x 0-ზე, ფუნქცია ცვლის საპირისპირო ნიშანს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ის წერტილი, რომლის მეშვეობითაც მეორე წარმოებული გადის და ცვლის ნიშანს, ხოლო თავად წერტილებში ნულის ტოლია ან არ არსებობს. ყველა წერტილი ითვლება ფუნქციის დომენად.

მაგალითში ჩანდა, რომ არ არსებობს დახრის წერტილები, ვინაიდან მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს x = ± 1 2 წერტილებში გავლისას. ისინი, თავის მხრივ, არ შედის განმარტების დომენში.

ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტების მოძიება

უსასრულობაში ფუნქციის განსაზღვრისას უნდა მოძებნოთ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები.

განმარტება 5

ირიბი ასიმპტოტებიწარმოდგენილია სწორი ხაზებით მოცემული განტოლებით y = k x + b , სადაც k = lim x → ∞ f (x) x და b = lim x → ∞ f (x) - k x.

თუ k = 0 და b არ არის უსასრულობის ტოლი, მივიღებთ ამას ირიბი ასიმპტოტიხდება ჰორიზონტალური.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასიმპტოტები არის ხაზები, რომლებსაც ფუნქციის გრაფიკი უსასრულობაში უახლოვდება. ეს ხელს უწყობს ფუნქციის გრაფიკის სწრაფ აგებას.

თუ ასიმპტოტები არ არის, მაგრამ ფუნქცია ორივე უსასრულობაშია განსაზღვრული, აუცილებელია ამ უსასრულობებზე ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა, რათა გავიგოთ, როგორ მოიქცევა ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი 6

მაგალითად, განიხილეთ ეს

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. ფუნქციის შესწავლის შემდეგ შეგიძლიათ დაიწყოთ მისი აგება.

ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა შუალედურ წერტილებში

იმისთვის, რომ შედგენა მაქსიმალურად ზუსტი იყოს, რეკომენდებულია ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობის პოვნა შუალედურ წერტილებში.

მაგალითი 7

ჩვენ განვიხილეთ მაგალითიდან, აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, მივიღებთ, რომ მნიშვნელობები ემთხვევა მნიშვნელობებს ამ წერტილებში, ანუ ვიღებთ x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

დავწეროთ და მოვაგვაროთ:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმუმის დასადგენად, გადახრის წერტილები, შუალედური წერტილებიაუცილებელია ასიმპტოტების აგება. მოსახერხებელი აღნიშვნისთვის ფიქსირდება გაზრდის, შემცირების, ამოზნექის, ჩაზნექის ინტერვალები. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

მონიშნულ წერტილებში აუცილებელია გრაფიკული ხაზების დახატვა, რაც საშუალებას მოგცემთ მიუახლოვდეთ ასიმპტოტებს ისრებით.

ამით სრულდება ფუნქციის სრული შესწავლა. არის რამდენიმე ელემენტარული ფუნქციის აგების შემთხვევები, რისთვისაც გამოიყენება გეომეტრიული გარდაქმნები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ჩაატარეთ სრული კვლევა და დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) ფუნქციის ფარგლები. ვინაიდან ფუნქცია არის წილადი, თქვენ უნდა იპოვოთ მნიშვნელის ნულები.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

ჩვენ გამოვრიცხავთ ერთადერთ წერტილს x=1x=1 ფუნქციის განსაზღვრის არედან და ვიღებთ:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) შევისწავლოთ ფუნქციის ქცევა შეწყვეტის წერტილის სიახლოვეს. იპოვნეთ ცალმხრივი საზღვრები:

ვინაიდან საზღვრები უსასრულობის ტოლია, წერტილი x=1x=1 არის მეორე სახის უწყვეტობა, x=1x=1 წრფე ვერტიკალური ასიმპტოტია.

3) განვსაზღვროთ ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.

ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილები ორდინატთა ღერძთან OyOy, რისთვისაც ვატოლებთ x=0x=0:

ამრიგად, OyOy ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები (0;8)(0;8).

ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილები აბსცისის ღერძთან OxOx, რომლისთვისაც ვაყენებთ y=0y=0:

განტოლებას არ აქვს ფესვები, ამიტომ არ არსებობს OxOx ღერძთან გადაკვეთის წერტილები.

გაითვალისწინეთ, რომ x2+8>0x2+8>0 ნებისმიერი xx-ისთვის. ამიტომ, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1)-სთვის ფუნქცია y>0y>0(მიღებულია დადებითი ღირებულებები, გრაფიკი x ღერძის ზემოთაა), x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) ფუნქცია y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი, რადგან:

5) ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციას პერიოდულობისთვის. ფუნქცია არ არის პერიოდული, რადგან ის არის წილადი რაციონალური ფუნქცია.

6) ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციას ექსტრემებისა და ერთფეროვნებისთვის. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის პირველ წარმოებულს:

პირველი წარმოებული გავუტოლოთ ნულს და ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები (რომელზეც y′=0y′=0):

მივიღეთ სამი კრიტიკული წერტილი: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. ჩვენ ვყოფთ ფუნქციის მთელ დომენს ინტერვალებად ამ წერტილებით და განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს თითოეულ ინტერვალში:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) წარმოებული y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) წარმოებული y′>0y′>0, ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალებზე.

ამ შემთხვევაში, x=−2x=−2 არის ადგილობრივი მინიმალური წერტილი (ფუნქცია მცირდება და შემდეგ იზრდება), x=4x=4 არის ადგილობრივი მაქსიმალური წერტილი (ფუნქცია იზრდება და შემდეგ მცირდება).

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში:

ამრიგად, მინიმალური წერტილი არის (−2;4)(−2;4), მაქსიმალური წერტილი არის (4;−8)(4;−8).

7) ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციას დახრილობისა და ამოზნექილობისთვის. ვიპოვოთ ფუნქციის მეორე წარმოებული:

გაუტოლეთ მეორე წარმოებულს ნულს:

მიღებულ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ამიტომ არ არის დახრის წერტილები. უფრო მეტიც, როდესაც x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 დაკმაყოფილებულია, ანუ ფუნქცია ჩაზნექილია, როდესაც x∈(1;+∞)x∈(1) ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში, ანუ .

ვინაიდან საზღვრები უსასრულოა, ჰორიზონტალური ასიმპტოტები არ არსებობს.

შევეცადოთ განვსაზღვროთ y=kx+by=kx+b ფორმის ირიბი ასიმპტოტები. ჩვენ ვიანგარიშებთ k,bk,b-ის მნიშვნელობებს ცნობილი ფორმულების მიხედვით:

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ფუნქციას აქვს ერთი ირიბი ასიმპტოტი y=−x−1y=−x−1.

9) დამატებითი ქულები. მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობა ზოგიერთ სხვა წერტილში, რათა უფრო ზუსტად ავაშენოთ გრაფიკი.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) მიღებული მონაცემების საფუძველზე ავაშენებთ გრაფიკს, შევავსებთ ასიმპტოტებს x=1x=1 (ლურჯი), y=−x−1y=−x−1 (მწვანე) და აღვნიშნავთ დამახასიათებელ წერტილებს (გადაკვეთას y-თან. -ღერძი არის მეწამული, ბოლოები ნარინჯისფერი, დამატებითი წერტილები შავია):

ამოცანა 4: გეომეტრიული, ეკონომიკური ამოცანები (წარმოდგენა არ მაქვს რა, აქ არის ამოცანების სავარაუდო შერჩევა ამოხსნით და ფორმულებით)

მაგალითი 3.23. ა

გადაწყვეტილება. xდა წ წ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. ვინაიდან x = a/4 ერთადერთი კრიტიკული წერტილია, მოდით შევამოწმოთ, იცვლება თუ არა წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილში გავლისას. xa/4 S "> 0-ისთვის და x >a/4 S"-სთვის< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

მაგალითი 3.24.

გადაწყვეტილება.
R = 2, H = 16/4 = 4.

მაგალითი 3.22.იპოვეთ f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ფუნქციის უკიდურესი.

გადაწყვეტილება.ვინაიდან f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), მაშინ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები x 1 \u003d 2 და x 2 \u003d 3. უკიდურესი წერტილები შეიძლება იყოს მხოლოდ ამ წერტილებში. როგორც x 1 \u003d 2 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე, მაშინ ამ დროს ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი. x 2 \u003d 3 წერტილში გავლისას, წარმოებული ცვლის ნიშანს მინუსიდან პლუსზე, შესაბამისად, x 2 \u003d 3 წერტილში ფუნქციას აქვს მინიმუმი. ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა წერტილებში
x 1 = 2 და x 2 = 3, ვპოულობთ ფუნქციის უკიდურესობას: მაქსიმალური f(2) = 14 და მინიმალური f(3) = 13.

მაგალითი 3.23.ქვის კედელთან სწორკუთხა უბნის აგებაა საჭირო, რომ სამი მხრიდან მავთულის ბადით შემოღობოს, მეოთხე მხრიდან კედელს შეუერთდეს. ამისათვის არსებობს აქსელის ხაზოვანი მეტრი. რა თანაფარდობით ექნება საიტს ყველაზე დიდი ფართობი?

გადაწყვეტილება.მიუთითეთ საიტის მხარეები მეშვეობით xდა წ. საიტის ფართობია S = xy. დაე იყოს წარის კედლის მიმდებარე მხარის სიგრძე. შემდეგ, პირობით, ტოლობა 2x + y = a უნდა იყოს. ამიტომ y = a - 2x და S = x(a - 2x), სადაც
0 ≤ x ≤ a/2 (ფართის სიგრძე და სიგანე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი). S "= a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4-ისთვის, საიდანაც
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. ვინაიდან x = a/4 ერთადერთი კრიტიკული წერტილია, მოდით შევამოწმოთ, იცვლება თუ არა წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილში გავლისას. xa/4 S "> 0-ისთვის და x >a/4 S"-სთვის< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

მაგალითი 3.24.საჭიროა დახურული ცილინდრული ავზის დამზადება V=16p ≈ 50 მ 3 ტევადობით. როგორი უნდა იყოს ავზის ზომები (რადიუსი R და სიმაღლე H), რათა გამოიყენოს ყველაზე მცირე მასალა მის დასამზადებლად?

გადაწყვეტილება.ცილინდრის მთლიანი ზედაპირის ფართობია S = 2pR(R+H). ჩვენ ვიცით ცილინდრის მოცულობა V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . აქედან გამომდინარე, S(R) = 2p (R 2 +16/R). ჩვენ ვპოულობთ ამ ფუნქციის წარმოებულს:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8-ისთვის, შესაბამისად,
R = 2, H = 16/4 = 4.

მსგავსი ინფორმაცია.