ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ წერტილი. წერტილების ნაკრები თვითმფრინავზე

Წერტილი - აბსტრაქტული ობიექტისივრცეში, რომელსაც არ გააჩნია რაიმე გაზომვადი მახასიათებლები (ნულოვანი განზომილებიანი ობიექტი). წერტილი არის ერთ-ერთი ფუნდამენტური ცნებებიმათემატიკაში.

წერტილი ევკლიდეს გეომეტრიაში

ევკლიდემ განსაზღვრა წერტილი, როგორც "ობიექტი ნაწილების გარეშე". ევკლიდეს გეომეტრიის თანამედროვე აქსიომიკაში წერტილი არის პირველადი კონცეფცია, რომელიც განისაზღვრება მხოლოდ მისი თვისებების - აქსიომების ჩამონათვალით.

არჩეულ კოორდინატთა სისტემაში, ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მოწესრიგებული წყვილის სახით ( x; წ) რეალური რიცხვები. ანალოგიურად, მიუთითეთ ნ-განზომილებიანი ევკლიდური სივრცე (ისევე როგორც ვექტორული ან აფინური სივრცე) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ტოპის სახით ( ა 1 , ა 2 , … , ა ნ)-დან ნნომრები.

ბმულები

• წერტილი(ინგლისურად) PlanetMath-ის ვებსაიტზე.
• ვაისტეინი, ერიკ ვ.მიუთითეთ Wolfram MathWorld ვებსაიტზე.

წერტილი არის:

წერტილი წერტილი არსებითი სახელი, კარგად., გამოყენება ხშირად მორფოლოგია: (არა) რა? წერტილები, რა? წერტილი, (იხილეთ) რა? წერტილი, როგორ? წერტილი, რის შესახებ? პუნქტის შესახებ; pl. რა? წერტილები, (არა რა? ქულები, რა? ქულები, (იხილეთ) რა? წერტილები, როგორ? წერტილები, რის შესახებ? ქულების შესახებ 1. Წერტილი- ეს არის პატარა მრგვალი ლაქა, კვალი რაიმე მკვეთრთან ან ნაწერთან შეხებიდან.

წერტილოვანი ნიმუში. | პუნქციის წერტილი. | რუკაზე ქალაქი მითითებულია პატარა წერტილით და ხელმისაწვდომობით შემოვლითი გზამხოლოდ გამოცნობა შეიძლება.

2. Წერტილი- ეს არის რაღაც ძალიან პატარა, ცუდად შესამჩნევი სიშორის ან სხვა მიზეზების გამო.

წერტილი ჰორიზონტზე. | როდესაც ბურთი ცის დასავლეთ ნაწილში ჰორიზონტს მიუახლოვდა, მან ნელ-ნელა ზომით კლება დაიწყო, სანამ წერტილად იქცა.

3. Წერტილი- სასვენი ნიშანი, რომელიც იდება წინადადების ბოლოს ან სიტყვების შემოკლებისას.

დააყენე წერტილი. | არ დაგავიწყდეთ წინადადების ბოლოს წერტილის დასმა

4. მათემატიკაში, გეომეტრიასა და ფიზიკაში წერტილიარის ერთეული, რომელსაც აქვს პოზიცია სივრცეში, ხაზის სეგმენტის საზღვარი.

მათემატიკური წერტილი.

5. წერტილიდაურეკა გარკვეული ადგილისივრცეში, მიწაზე ან რაიმეს ზედაპირზე.

განთავსების წერტილი. | ტკივილის წერტილი.

6. წერტილიდაასახელეთ ადგილი, სადაც რაღაც მდებარეობს ან ხორციელდება, გარკვეული კვანძი სისტემაში ან ნებისმიერი წერტილის ქსელში.

თითოეულ განყოფილებას უნდა ჰქონდეს თავისი ნიშანი.

7. წერტილიისინი რაღაცის განვითარების ზღვარს, განვითარების გარკვეულ დონეს ან მომენტს უწოდებენ.

ნაი უმაღლესი წერტილი. | განვითარების წერტილი. | ვითარებამ კრიტიკულ წერტილამდე მიაღწია. | ეს არის ადამიანის სულიერი ძალის გამოვლენის უმაღლესი წერტილი.

8. წერტილიეწოდება ტემპერატურის ზღვარი, რომლის დროსაც ხდება ნივთიერების გარდაქმნა ერთიდან აგრეგაციის მდგომარეობამეორეში.

Დუღილის წერტილი. | Გაყინვის წერტილი. | დნობის წერტილი. | Როგორ მეტი სიმაღლერაც უფრო დაბალია წყლის დუღილის წერტილი.

9. მძიმით (;)სასვენ ნიშანს უწოდებენ, რომელიც გამოიყენება საერთო, მეტის გამოსაყოფად დამოუკიდებელი ნაწილებირთული წინადადება.

AT ინგლისური ენაპრაქტიკულად იგივე სასვენი ნიშნები გამოიყენება როგორც რუსულში: წერტილი, მძიმე, მძიმით, ტირე, აპოსტროფი, ფრჩხილები, ელიფსი, კითხვითი და ძახილის ნიშნები, დეფისი.

10. როცა საუბრობენ შეხედულება, იგულისხმება ვინმეს აზრი გარკვეული პრობლემის შესახებ, რაღაცეების შეხედვა.

ახლა ნაკლებად პოპულარულია სხვა თვალსაზრისი, ადრე თითქმის საყოველთაოდ აღიარებული. | დღეს ამ თვალსაზრისს არავინ იზიარებს.

11. თუ ადამიანებზე ამბობენ კონტაქტის წერტილებიამიტომ მათ საერთო ინტერესები აქვთ.

ჩვენ შეგვიძლია საერთო ენის გამონახვა.

12. თუ რამე ითქვა წერტილიდან წერტილამდე, რაც ნიშნავს აბსოლუტურად ზუსტ შესატყვისს.

წერტილიდან წერტილამდე იმ ადგილას, სადაც მითითებული იყო, ყავისფერი მანქანა იყო.

13. თუ ადამიანზე ამბობენ მიაღწია წერტილს, რაც იმას ნიშნავს, რომ მან მიაღწია უკიდურეს ზღვარს ზოგიერთი უარყოფითი თვისების გამოვლენაში.

პუნქტამდე მივედით! ასე ცხოვრება აღარ შეგიძლია! | ვერ გეტყვით, რომ საიდუმლო სამსახურებმა მისი ბრძნული ხელმძღვანელობით მიაღწიეს საქმეს.

14. თუ ვინმე ბოლოს აყენებსზოგიერთ ბიზნესში, ეს ნიშნავს, რომ ის აჩერებს მას.

შემდეგ ემიგრაციიდან სამშობლოში, რუსეთში დაბრუნდა საბჭოთა კავშირიდა ამან ბოლო მოუღო მის ყველა ძიებას და ფიქრს.

15. თუ ვინმე წერტილი "და"(ან მეტი ი), რაც იმას ნიშნავს, რომ საქმეს ლოგიკურ დასასრულამდე მიიყვანს, არაფერს ტოვებს უთქმელად.

მოდი წერტილი გავავლოთ მე. შენი ინიციატივის შესახებ არაფერი ვიცოდი.

16. თუ ვინმე ურტყამს ერთ ქულას, რაც იმას ნიშნავს, რომ მან მთელი ძალები ერთი მიზნის მიღწევაზე გაამახვილა.

ამიტომაა მისი გამოსახულებები ასე გამორჩეული; ის ყოველთვის ურტყამს ერთ წერტილს, არასდროს არ გაიტაცებს მეორეხარისხოვან დეტალებს. | მას კარგად ესმის, რა არის მისი ბიზნესის ამოცანა და მიზანმიმართულად ურტყამს ერთ წერტილს.

17. თუ ვინმე ადგილზე მოხვდა, რაც იმას ნიშნავს, რომ მან თქვა ან გააკეთა ზუსტად ის, რაც საჭირო იყო, გამოიცნო.

კონკურსის მომდევნო ტურში მოსულმა პირველივე ასომ სასიამოვნოდ გააკვირვა რედაქტორები - ერთ-ერთ ჩამოთვლილ ვარიანტში ჩვენმა მკითხველმა მაშინვე მიაღწია ნიშანს!

წერტილი ადგ.

აკუპრესურა.

რუსული ენის განმარტებითი ლექსიკონი დიმიტრიევი. დ.ვ.დმიტრიევი. 2003 წ.

Წერტილი

Წერტილიშეიძლება ნიშნავდეს:

ვიქციონერს აქვს სტატია "წერტილი"

• წერტილი არის აბსტრაქტული ობიექტი სივრცეში, რომელსაც არ გააჩნია რაიმე გაზომვადი მახასიათებელი, გარდა კოორდინატებისა.
• Წერტილი - დიაკრიტული, რომელიც შეიძლება განთავსდეს ასოს ზემოთ, ქვემოთ ან შუაში.
• წერტილი - მანძილის საზომი ერთეული რუსულ ენაზე და ინგლისური სისტემებიზომები.
• წერტილი არის ათობითი გამყოფის ერთ-ერთი გამოსახულება.
• Dot (ქსელის ტექნოლოგიები) - ძირეული დომენის აღნიშვნა გლობალური ქსელის დომენების იერარქიაში.
• ტოჩკა - ელექტრონიკის და გასართობი მაღაზიების ქსელი
• ტოჩკა - ჯგუფის "ლენინგრადის" ალბომი
• წერტილი - 2006 წლის რუსული ფილმი გრიგორი რიაჟსკის ამავე სახელწოდების მოთხრობის მიხედვით
• Dot არის რეპერ სტენის მეორე სტუდიური ალბომი.
• ტოჩკა არის დივიზიონის სარაკეტო სისტემა.
• ტოჩკა - კრასნოიარსკის ახალგაზრდული და სუბკულტურული ჟურნალი.
• ტოჩკა არის კლუბი და საკონცერტო ადგილი მოსკოვში.
• წერტილი მორზეს კოდის ერთ-ერთი სიმბოლოა.
• საქმე არის საბრძოლო მოვალეობის ადგილი.
• წერტილი (დამუშავება) - დამუშავების, გადახვევის, სიმკვეთრის პროცესი.
• POINT - საინფორმაციო და ანალიტიკური გადაცემა NTV-ზე.
• Tochka არის როკ ჯგუფი ქალაქ ნორილსკიდან, რომელიც დაარსდა 2012 წელს.

ტოპონიმი

ყაზახეთი

• Წერტილი- 1992 წლამდე ერქვა სოფელ ბაიაშ უტეპოვს აღმოსავლეთ ყაზახეთის რეგიონის ულანის რაიონში.

რუსეთი

• ტოჩკა არის სოფელი ვოლოგდას რაიონის შექსნინსკის რაიონში.
• ტოჩკა არის სოფელი ნოვგოროდის ოლქის ვოლოტოვსკის რაიონში.
• ტოჩკა არის სოფელი პენზას ოლქის ლოპატინსკის რაიონში.

შეგიძლიათ ისეთი ცნებების განმარტება, როგორიცაა წერტილი და ხაზი?

ჩვენს სკოლებსა და უნივერსიტეტებს არ ჰქონდათ ეს განმარტებები, თუმცა ჩემი აზრით ისინი საკვანძოა (არ ვიცი როგორ არის ეს სხვა ქვეყნებში). ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ეს ცნებები, როგორც „წარმატებული და წარუმატებელი“ და განვიხილოთ, არის თუ არა ეს სასარგებლო აზროვნების განვითარებისთვის.

მოჭიდავე

უცნაურია, მაგრამ ჩვენ მოგვცეს წერტილის განმარტება. ეს არის აბსტრაქტული ობიექტი (კონვენცია), რომელიც მდებარეობს სივრცეში, რომელსაც არ აქვს ზომები. ეს არის პირველი რამ, რაც სკოლაში ჩაგვარდა თავში - წერტილს ზომები არ აქვს, ის არის "ნულგანზომილებიანი" ობიექტი. პირობითი კონცეფცია, როგორც ყველაფერი გეომეტრიაში.

სწორი ხაზები კიდევ უფრო რთულია. პირველ რიგში, ეს არის ხაზი. მეორეც, ეს არის წერტილების ნაკრები, რომელიც მდებარეობს სივრცეში გარკვეული გზით. ძალიან მარტივი განმარტებაეს არის ხაზი, რომელიც განისაზღვრება ორი წერტილით, რომლითაც ის გადის.

მედივიჰ

წერტილი არის ერთგვარი აბსტრაქტული ობიექტი. წერტილს აქვს კოორდინატები, მაგრამ არ აქვს მასა და ზომები. გეომეტრიაში ყველაფერი ზუსტად წერტილიდან იწყება, ეს არის ყველა სხვა ფიგურის დასაწყისი (მწერლობაშიც, სხვათა შორის, წერტილის გარეშე სიტყვის დასაწყისი არ იქნება). სწორი ხაზი არის მანძილი ორ წერტილს შორის.

ლეონიდ კუტნი

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ ყველაფერი და ყველაფერი. მაგრამ ჩნდება კითხვა: იმუშავებს თუ არა ეს განმარტება კონკრეტულ მეცნიერებაში? იმის მიხედვით, რაც გვაქვს, აზრი არ აქვს წერტილის, წრფის და სიბრტყის განსაზღვრას. ძალიან მომეწონა არტურის გამონათქვამები, მინდა დავამატო, რომ წერტილს ბევრი თვისება აქვს: არ აქვს სიგრძე, სიგანე, სიმაღლე, მასა და წონა და ა.შ. მაგრამ წერტილის მთავარი თვისება ის არის, რომ ნათლად მიუთითებს წერტილის მდებარეობაზე. ობიექტი, ობიექტი სიბრტყეზე, სივრცეში. ამიტომაც გვჭირდება წერტილი!მაგრამ ჭკვიანი მკითხველი იტყვის, რომ მაშინ შეიძლება წიგნი, სკამი, საათი და სხვა რამ მივიღოთ პუნქტად. Აბსოლუტურად სწორი! აქედან გამომდინარე, აზრი არ აქვს პუნქტის განსაზღვრას. პატივისცემით, L.A. Kutniy

სწორი ხაზი არის გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი კონცეფცია.

ეს წერტილი არის პუნქტუაციის ნიშანი წერილობით მრავალ ენაზე.

ასევე, წერტილი მორზეს კოდის ერთ-ერთი სიმბოლოა

ამდენი განმარტება :D

წერტილის, წრფის, სიბრტყის განმარტებები მე მივეცი ჯერ კიდევ მე-20 საუკუნის 80-იანი წლების ბოლოს და 90-იანი წლების დასაწყისში. ლინკს ვაძლევ:

https://yadi.sk/d/bn5Cr4iirZwDP

328 გვერდიან ტომში ამ ცნებების შემეცნებითი არსი აღწერილია სრულიად ახალ ასპექტში, რომლებიც ახსნილია რეალური ფიზიკური მსოფლმხედველობისა და მე არსებობის განცდის საფუძველზე, რაც ნიშნავს "მე" ვარსებობ, ისევე როგორც სამყარო. თავად, რომელსაც მე ვეკუთვნი, არსებობს.

ყველაფერი წერია ეს სამუშაოდასტურდება კაცობრიობის მიერ დიდი ხნის წინ აღმოჩენილი და ჯერ კიდევ შესწავლილი ბუნების და მისი თვისებების შესახებ ამ მომენტშიდრო. მათემატიკა იმდენად რთული გახდა გასაგებად და გასაგებად, რათა გამოიყენოს მისი აბსტრაქტული სურათები ტექნოლოგიური მიღწევების პრაქტიკაში. საფუძვლების გამოვლენის შემდეგ, რომლებიც ფუნდამენტური პრინციპებია, შესაძლებელია სტუდენტისთვისაც კი აუხსნას დაწყებითი სკოლამიზეზები, რომლებიც საფუძვლად უდევს სამყაროს არსებობას. წაიკითხეთ და მიუახლოვდით სიმართლეს. გაბედეთ, სამყარო, რომელშიც ჩვენ ვარსებობთ, იხსნება თქვენს წინაშე ახალი შუქით.

არსებობს თუ არა „წერტილის“ ცნების განმარტება მათემატიკაში, გეომეტრიაში.

მიხაილ ლევინი

"განუსაზღვრელი კონცეფცია" არის განმარტება?

სინამდვილეში, სწორედ ცნებების გაურკვევლობა იძლევა მათემატიკის გამოყენებას სხვადასხვა ობიექტზე.

მათემატიკოსს შეუძლია თქვას კიდეც "წერტილში ვგულისხმობ ევკლიდეს სიბრტყეს, სიბრტყეში - ევკლიდეს წერტილს" - შეამოწმეთ ყველა აქსიომა და მიიღეთ ახალი გეომეტრიაან ახალი თეორემები.

საქმე იმაშია, რომ A ტერმინის განსასაზღვრად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ტერმინი B. B-ს განსაზღვრისთვის გჭირდებათ ტერმინი C. და ასე შემდეგ ad infinitum. და ამ უსასრულობისგან თავის დასაღწევად, ადამიანმა უნდა მიიღოს ზოგიერთი ტერმინი განმარტებების გარეშე და მათზე ააგოს სხვათა განმარტებები. ©

გრიგორი პივენი

მათემატიკაში Piven Grigory A წერტილი არის სივრცის ნაწილი, რომელიც აბსტრაქტულად (სარკეულად) აღებულია, როგორც მინიმალური სიგრძის სეგმენტი 1-ის ტოლი, რომელიც გამოიყენება სივრცის სხვა ნაწილების გასაზომად. მაშასადამე, ადამიანი ირჩევს წერტილის შკალას მოხერხებულობისთვის, პროდუქტიული გაზომვის პროცესისთვის: 1მმ, 1სმ, 1მ, 1კმ, 1ა. ე., 1 ქ. წელიწადი. და ა.შ.

ასევე იხილეთ: http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_07

აბსტრაქცია მათემატიკაში ორნახევარი ათასწლეულია გამოიყენება. განზომილებიანი წერტილი, რაც ეწინააღმდეგება არა მარტო საღი აზრი, არამედ ცოდნა მიმდებარე სამყაროს შესახებ, მიღებული ისეთი მეცნიერებებით, როგორიცაა ფიზიკა, ქიმია, კვანტური მექანიკადა ინფორმატიკა.

სხვა აბსტრაქციებისგან განსხვავებით, უგანზომილებიანი მათემატიკური წერტილის აბსტრაქცია არ ახდენს რეალობის იდეალიზებას, ამარტივებს მის შემეცნებას, არამედ მიზანმიმართულად ამახინჯებს მას, აძლევს მას საპირისპირო მნიშვნელობას, რაც, კერძოდ, ფუნდამენტურად შეუძლებელს ხდის უმაღლესი განზომილებების სივრცის გაგებას და შესწავლას!

უგანზომილებიანი წერტილის აბსტრაქციის გამოყენება მათემატიკაში შეიძლება შევადაროთ საბაზისო გამოყენებას ფულადი ერთეულინულოვანი ხარჯით. საბედნიეროდ, ეკონომიკას ამაზე არ უფიქრია.

მოდით დავამტკიცოთ უგანზომილებიანი წერტილის აბსტრაქციის აბსურდულობა.

თეორემა. მათემატიკური წერტილი მოცულობითია.

მტკიცებულება.

ვინაიდან მათემატიკაში

წერტილი_ზომა = 0,

სასრული (არანულოვანი) სიგრძის სეგმენტისთვის გვაქვს

სეგმენტის_ზომა = 0 + 0 + ... + 0 = 0.

სეგმენტის მიღებული ნულოვანი ზომა, როგორც მისი შემადგენელი წერტილების მიმდევრობა, ეწინააღმდეგება სეგმენტის სასრული სიგრძის პირობას. გარდა ამისა, ნულოვანი წერტილის ზომა აბსურდულია იმით, რომ ნულების ჯამი არ არის დამოკიდებული ტერმინების რაოდენობაზე, ანუ სეგმენტში "ნულოვანი" წერტილების რაოდენობა არ ახდენს გავლენას სეგმენტის ზომაზე.

აქედან გამომდინარე, ორიგინალური ვარაუდი მათემატიკური წერტილის ნულოვანი ზომის შესახებ არასწორია.

ამრიგად, შეიძლება ითქვას, რომ მათემატიკურ წერტილს აქვს არანულოვანი (სასრული) ზომა. ვინაიდან წერტილი ეკუთვნის არა მხოლოდ სეგმენტს, არამედ იმ სივრცეს, რომელშიც მდებარეობს სეგმენტი, მას აქვს სივრცის განზომილება, ანუ მათემატიკური წერტილი არის მოცულობითი. ქ.ე.დ.

შედეგი.

ზემოთ მოყვანილი მტკიცებულება, შესრულებული მათემატიკური აპარატის გამოყენებით უმცროსი ჯგუფი საბავშვო ბაღიამყარებს სიამაყეს მღვდლებისა და „ყველა მეცნიერების დედოფლის“ ადეპტების უსაზღვრო სიბრძნით, რომლებმაც მოახერხეს ათასწლეულების გავლა და შთამომავლობისთვის თავდაპირველი სახით შენახვა კაცობრიობის უძველესი ილუზიებით.

მიმოხილვები

ძვირფასო ალექსანდრე! მათემატიკაში არ ვარ ძლიერი, მაგრამ იქნებ მითხრათ სად და ვის მიერ არის მითითებული, რომ წერტილი ნულის ტოლია? კიდევ ერთი რამ, მას აქვს უსასრულო მცირე რაოდენობით, კონვენციამდე, მაგრამ საერთოდ არ არის ნული. ამრიგად, ნებისმიერი სეგმენტი შეიძლება ჩაითვალოს ნულამდე, რადგან არსებობს სხვა სეგმენტი, რომელიც შეიცავს უსასრულო ნაკრებისაწყისი სეგმენტები, უხეშად რომ ვთქვათ. იქნებ არ უნდა ავურიოთ მათემატიკა და ფიზიკა. მათემატიკა არის მეცნიერება ყოფიერების შესახებ, ფიზიკა არის არსებულის შესახებ. პატივისცემით.

აქილევსი ორჯერ დაწვრილებით და არაერთხელ ვახსენე:
"რატომ არ დაეწია აქილევსი კუს"
"აქილევსი და კუ - პარადოქსი კუბში"

შესაძლოა, ზენონის პარადოქსის ერთ-ერთი გამოსავალი არის ის, რომ სივრცე დისკრეტულია და დრო უწყვეტი. მან ჩათვალა, როგორც შენთვის შესაძლებელია, ორივე დისკრეტულია. სხეულს შეუძლია გარკვეული დროით დარჩეს სივრცეში რაღაც მომენტში. მაგრამ ის არ შეიძლება იყოს ერთდროულად სხვადასხვა ადგილას. ეს ყველაფერი, რა თქმა უნდა, სამოყვარულოა, ისევე როგორც მთელი ჩვენი დიალოგი. პატივისცემით.
სხვათა შორის, თუ წერტილი არის 3D, რა არის მისი ზომები?

დროის დისკრეტულობა მოჰყვება, მაგალითად, აპორიას „ისარი“. "ერთდროულად დარჩენა სხვადასხვა ადგილას" შეიძლება იყოს ელექტრონი მხოლოდ ფიზიკოსებისთვის, რომლებსაც, პრინციპში, არ ესმით და არ ეთანხმებიან არც ეთერის სტრუქტურას და არც 4-განზომილებიანი სივრცის სტრუქტურას. მე არ ვიცი ამ ფენომენის სხვა მაგალითები. ჩვენს საუბარში „მოყვარულობას“ ვერ ვხედავ. პირიქით, ყველაფერი ძალიან მარტივია: წერტილი ან განზომილებიანია, ან აქვს ზომა; უწყვეტობა და უსასრულობა ან არსებობს ან არ არსებობს. მესამე არ არის მოცემული - ან ჭეშმარიტი ან მცდარი! საფუძვლებიმათემატიკოსები, სამწუხაროდ, აგებულნი არიან ცრუ დოგმებზე, მიღებული უცოდინრობის გამო 2500 წლის წინ.

წერტილის ზომა დამოკიდებულია მოგვარებული პრობლემის მდგომარეობაზე და საჭირო სიზუსტეზე. მაგალითად, თუ მექანიზმი განკუთვნილია მაჯის საათი, მაშინ სიზუსტე შეიძლება შემოიფარგლოს ატომის ზომით, ანუ რვა ათობითი ადგილით. თავად ატომი აქ იქნება მათემატიკური წერტილის ფიზიკური ანალოგი. შეიძლება დაგჭირდეთ სადმე 16-სიმბოლოიანი სიზუსტე; მაშინ წერტილის როლს შეასრულებს ეთერის ნაწილაკი. გაითვალისწინეთ, რომ საუბარი პრაქტიკაში თითქოსდა „უსასრულო“ სიზუსტეზე გადადის ველურ სისულელედ, ან, რბილად რომ ვთქვათ, აბსურდში.

მე მაინც ვერ გავიგე: არსებობს აზრი? თუ ის ობიექტურად არსებობს, მაშასადამე, მას აქვს გარკვეული ფიზიკური ღირებულება, თუ არსებობს სუბიექტურად, ჩვენი გონების აბსტრაქციის სახით, მაშინ მას აქვს მათემატიკური მნიშვნელობა. ნულს არაფერი აქვს, ის არ არსებობს, ეს არის არარსებობის აბსტრაქტული განმარტება მათემატიკაში ან სიცარიელის ფიზიკაში. წერტილი თავისთავად არ არსებობს ურთიერთობის მიღმა. როგორც კი მეორე წერტილი გამოჩნდება, ჩნდება სეგმენტი - რაღაც და ა.შ. ეს თემა შეიძლება უსასრულოდ განვითარდეს. ერთად uv.

მომეჩვენა, რომ მოვიყვანე კარგი მაგალითი, მაგრამ ალბათ არ არის საკმარისად დეტალური. ობიექტურად, არსებობს სამყარო, რომელსაც მეცნიერება იცნობს და ამჟამად იცნობს ძირითადად მათემატიკური მეთოდები. მათემატიკა ცნობს სამყაროს კონსტრუქციით მათემატიკური მოდელები. ამ მოდელების ასაგებად, ძირითადი მათემატიკური აბსტრაქციები, კერძოდ, როგორიცაა: წერტილი, წრფე, უწყვეტობა, უსასრულობა. ეს აბსტრაქციები ძირითადია, რადგან აღარ არის შესაძლებელი მათი შემდგომი დაყოფა და გამარტივება. თითოეული ძირითადი აბსტრაქცია შეიძლება იყოს ადეკვატური ობიექტური რეალობა(მართალია) თუ არა (მცდარი). ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი აბსტრაქცია თავდაპირველად მცდარია, რადგან ისინი ეწინააღმდეგება უახლეს ცოდნას რეალური სამყაროს შესახებ. ასე რომ, ეს აბსტრაქციები ხელს უშლის სწორი გაგება რეალური სამყარო. შეიძლება როგორმე შეეგუო ამას, სანამ მეცნიერება სწავლობდა სამგანზომილებიან სამყაროს. თუმცა, უგანზომილებიანი წერტილისა და უწყვეტობის აბსტრაქციები უმაღლესი განზომილების ყველა სამყაროს პრინციპში შეუცნობს ხდის!

სამყაროს აგური - წერტილი - არ შეიძლება იყოს სიცარიელე. ყველამ იცის, რომ სიცარიელისგან არაფერი მოდის. ფიზიკოსებმა, რომლებიც ეთერს არარსებულად აცხადებდნენ, სამყარო სიცარიელეებით ავსებდნენ. მე მჯერა, რომ მათემატიკა თავისი ცარიელი წერტილით უბიძგებს მათ ამ სისულელემდე. მე არ ვსაუბრობ 4D-ზე მაღალი განზომილების სამყაროების ატომებზე - წერტილებზე. ასე რომ, თითოეული განზომილებისთვის განუყოფელი (პირობითად) მათემატიკური წერტილის როლს ასრულებს ამ სამყაროს (სივრცე, მატერია) (პირობითად) განუყოფელი ატომი. 3D-სთვის - ფიზიკური ატომი, 4D-სთვის - ეთერის ნაწილაკი, 5D-სთვის - ასტრალური ატომი, 6D-სთვის - გონებრივი ატომი და ა.შ. პატივისცემით,

მაშ, აქვს თუ არა სამყაროს აგურს რაიმე აბსოლუტური მნიშვნელობა? და რას წარმოადგენს ის, თქვენი აზრით, ეთერულ თუ მენტალურ სამყაროში. მეშინია ვიკითხო თვით სამყაროებზე. ინტერესით...

ეთერის ნაწილაკები (ეს ატომები არ არის!) არის ელექტრონ-პოზიტრონის წყვილი, რომლებშიც თავად ნაწილაკები ბრუნავენ ერთმანეთთან შედარებით სინათლის სიჩქარით. ეს სრულად ხსნის ყველა ნუკლეონის სტრუქტურას, გამრავლებას ელექტრომაგნიტური რხევებიდა ყველა ეფექტი ე.წ ფიზიკური ვაკუუმი. აზროვნების ატომის სტრუქტურა ვინმესთვის უცნობია. არსებობს მხოლოდ მტკიცებულება, რომ ყველა ყველაზე უმაღლესი სამყაროებიმასალა, ანუ მათ აქვთ საკუთარი ატომები. აბსოლუტის საკითხამდე. თუმცა ირონიულად ხარ. მართლა ჭიის ხვრელებიდა დიდი აფეთქებებიუფრო დამაჯერებლად მიგაჩნიათ?

რა არის აქ ირონია, ცოტა გაოგნებული ინფორმაციის ასეთი ზვავის შემდეგ. მე, თქვენგან განსხვავებით, არ ვარ პროფესიონალი და მიჭირს რაიმეს თქმა სივრცეების ხუთ-ექვსგანზომილებიანობაზე. მე სულ ჩვენს სულგრძელ აზრზე ვარ... რამდენადაც მე მესმის, თქვენ წინააღმდეგი ხართ მატერიალური უწყვეტობისა და საქმე იმაშია, რომ თქვენ გაქვთ ნამდვილად არსებული "დემოკრატიული" ატომი. "სამყაროს აგური". შეიძლება მე ვიყავი უყურადღებო, მაგრამ მაინც, ნუ მოგერიდებათ გავიმეორო, რა არის მისი სტრუქტურა, ფიზიკური პარამეტრები, ზომები და ა.შ.
და ასევე უპასუხეთ, არსებობს თუ არა ერთეული თავისთავად, როგორც ასეთი, რაიმე ურთიერთობის მიღმა? Გმადლობთ.

რაც შეეხება იმას, თუ რა არის საზომი და განზომილების ერთეულები, ახლა შეგვიძლია გადავიდეთ რეალურ გაზომვებზე. AT სკოლის მათემატიკაორი საზომი ინსტრუმენტი- (1) სახაზავი მანძილების გასაზომად და (2) პროტრაქტორი კუთხეების გასაზომად.

Წერტილი

მანძილი ყოველთვის იზომება ნებისმიერ ორ წერტილს შორის. პრაქტიკული თვალსაზრისით, წერტილი არის პატარა ლაქა, რომელიც რჩება ქაღალდზე ფანქრით ან კალმით დაჭერისას. წერტილის მითითების კიდევ ერთი, უფრო სასურველი გზა არის ჯვრის დახატვა ორი თხელი ხაზით, რომელიც ადგენს წერტილიმათი კვეთები. წიგნების ნახატებზე წერტილი ხშირად გამოსახულია როგორც პატარა შავი წრე. მაგრამ ეს ყველაფერი მხოლოდ მიახლოებებია. ვიზუალური სურათებიმაგრამ მკაცრი მათემატიკური გაგებით, წერტილი - ეს არის წარმოსახვითი ობიექტი, რომლის ზომა ყველა მიმართულებით არის ნული. მათემატიკოსებისთვის მთელი სამყარო წერტილებისგან შედგება. წერტილები ყველგანაა. როცა კალამს ქაღალდზე ვყრით ან ჯვარს ვხატავთ, ჩვენ არ ვქმნით ახალი წერტილი, ოღონდ მხოლოდ არსებულს მიანიშნოთ, რომ ვინმეს ყურადღება მიიპყროთ. თუ სხვა რამ არ არის მითითებული, გასაგებია, რომ პუნქტები ფიქსირდება და არ ცვლის მათ შედარებითი პოზიცია. მაგრამ ძნელი არ არის მოძრავი წერტილის წარმოდგენა, რომელიც გადაადგილდება ადგილიდან ადგილზე, თითქოს ერწყმის ერთს ფიქსირებული წერტილი, შემდეგ მეორეზე.

პირდაპირ

ორ წერტილზე სახაზავის მიმაგრებით ჩვენ შეგვიძლია გავავლოთ სწორი ხაზი მათ შორის და მეტიც, ერთადერთი გზა. წარმოსახვითი მათემატიკური სწორიწარმოსახვითი იდეალური მმართველის გასწვრივ დახატული აქვს ნულოვანი სისქე და ვრცელდება ორივე მიმართულებით უსასრულობამდე. რეალურ ნახატში ეს წარმოსახვითი დიზაინი იღებს ფორმას:

სინამდვილეში, ამ სურათზე ყველაფერი არასწორია. აქ ხაზის სისქე აშკარად აღემატება ნულს და არ შეიძლება ითქვას, რომ ხაზი უსასრულობამდე ვრცელდება. მიუხედავად ამისა, ასეთი არასწორი ნახატები ძალზე სასარგებლოა, როგორც ფანტაზიის საყრდენი და ჩვენ მათ მუდმივად გამოვიყენებთ. იმისათვის, რომ უფრო მოსახერხებელი იყოს ერთი წერტილის მეორისგან განსხვავება, ისინი ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ასოები ლათინური ანბანი. ამ ფიგურაში, მაგალითად, წერტილები აღინიშნება ასოებით ადა ბ. ხაზი, რომელიც გადის წერტილებს ადა ბ, ავტომატურად იღებს სახელს „direct აბ". მოკლედ, აღნიშვნა ( აბ), სადაც სიტყვა „სწორი“ გამოტოვებულია და მრგვალი ფრჩხილები. ხაზები ასევე შეიძლება იყოს ეტიკეტირებული მცირე ასო. ზემოთ მოცემულ ფიგურაში სწორი ხაზი აბაღინიშნება ასოთი ნ.

წერტილების მიღმა ადა ბსწორ ხაზზე ნარსებობს უამრავი სხვა წერტილი, რომელთაგან თითოეული შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც გადაკვეთა სხვა ხაზთან. ერთი და იმავე წერტილის მეშვეობით შეიძლება ბევრი ხაზის დახატვა.

თუ ვიცით, რომ წრფეზე არის არათანაბარი წერტილები ა, ბ, Cდა დ, მაშინ ის სამართლიანად შეიძლება აღინიშნოს არა მხოლოდ როგორც ( AB), არამედ როგორ ( AC), (BD), (CD) და ა.შ.

ხაზის სეგმენტი. ჭრის სიგრძე. მანძილი წერტილებს შორის

ორი წერტილით შემოსაზღვრული წრფის ნაწილს ეწოდება სეგმენტი. ეს შემზღუდველი წერტილებიც ეკუთვნის სეგმენტს და მას უწოდებენ. მთავრდება. სეგმენტი, რომლის ბოლო წერტილები წერტილებშია ადა ბ, აღინიშნება როგორც "სეგმენტი აბან, ცოტა უფრო მოკლე, [ აბ].

თითოეული სეგმენტი ხასიათდება სიგრძე- "ნაბიჯების" რაოდენობა (შესაძლოა წილადი), რომელიც უნდა გადაიდგას სეგმენტის გასწვრივ ერთი ბოლოდან მეორეში მისასვლელად. ამ შემთხვევაში, თავად „ნაბიჯის“ სიგრძე არის მკაცრად ფიქსირებული მნიშვნელობა, რომელიც აღებულია როგორც საზომი ერთეული. ფურცელზე დახატული ხაზის სეგმენტების სიგრძე ყველაზე მოხერხებულად იზომება სანტიმეტრი. თუ სეგმენტის ბოლო წერტილები ეცემა წერტილებს ადა ბ, მაშინ მისი სიგრძე აღინიშნება | აბ|.

ქვეშ მანძილიორ წერტილს შორის არის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე. თუმცა, ფაქტობრივად, მანძილის გასაზომად არ არის საჭირო სეგმენტის დახატვა - საკმარისია ორივე წერტილს მიამაგროთ სახაზავი (რომელზეც წინასწარ არის მონიშნული „ნაბიჯების“ კვალი). ვინაიდან წერტილი გამოგონილი ობიექტია მათემატიკაში, არაფერი გვიშლის ხელს, გამოვიყენოთ ჩვენს წარმოსახვაში იდეალური სახაზავი, რომელიც ზომავს მანძილს აბსოლუტური სიზუსტით. ამასთან, არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ნამდვილი მმართველი, რომელიც გამოიყენება ქაღალდზე ჯვრების ლაქებზე ან ცენტრებზე, საშუალებას გაძლევთ დააყენოთ მანძილი მხოლოდ დაახლოებით - ერთი მილიმეტრის სიზუსტით. მანძილი ყოველთვის არ არის უარყოფითი.

წერტილის მდებარეობა ხაზზე

მოდით მივცეთ სწორი ხაზი. ჩვენ ვნიშნავთ მასზე თვითნებურ წერტილს და აღვნიშნავთ ასოთი ო. გვერდით დავდოთ რიცხვი 0. ორიდან ერთი შესაძლო მიმართულებებისწორი ხაზის გასწვრივ ჩვენ დავარქმევთ "დადებითს", ხოლო მის საპირისპიროდ - "უარყოფითს". ჩვეულებრივ, დადებითი მიმართულება აღებულია მარცხნიდან მარჯვნივ ან ქვემოდან ზევით, მაგრამ ეს არ არის აუცილებელი. მონიშნეთ დადებითი მიმართულება ისრით, როგორც ნაჩვენებია სურათზე:

ახლა ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მდებარეობს ხაზზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ იგი პოზიცია. წერტილის პოზიცია ამოცემულია მნიშვნელობით, რომელიც შეიძლება იყოს უარყოფითი, ნულიან დადებითი. მისი აბსოლუტური მნიშვნელობაწერტილებს შორის მანძილის ტოლი ოდა ა(ანუ სეგმენტის სიგრძე ოა), და ნიშანი განისაზღვრება წერტილიდან მიმართულებით ოაზრამდე მისასვლელად უნდა იმოძრაო ა. თუ თქვენ გჭირდებათ პოზიტიური მიმართულებით მოძრაობა, მაშინ ნიშანი დადებითია. თუ ის უარყოფითია, მაშინ ნიშანი უარყოფითია. სიტყვის "პოზიციის" ნაცვლად სიტყვა " კოორდინაცია».

ირაციონალური და რეალური (რეალური) რიცხვები

როდესაც საქმე გვაქვს რეალურ ნახატთან და სკოლის სახაზავის გამოყენებით განვსაზღვრავთ რეალური წერტილის პოზიციას რეალურ ხვრელზე, ვიღებთ მნიშვნელობას დამრგვალებულ მილიმეტრამდე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შედეგი არის მნიშვნელობა, რომელიც აღებულია შემდეგი სერიიდან:

0 მმ, 1 მმ, −1 მმ, 2 მმ, −2 მმ, 3 მმ, −3 მმდა ა.შ.

შედეგი არ შეიძლება იყოს ტოლი, მაგალითად, 1/3 სმ, რადგან, როგორც ვიცით, სანტიმეტრის მესამედი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო პერიოდული წილადი

0,333333333... სმ,

რომელიც დამრგვალების შემდეგ უნდა იყოს 0.3-ის ტოლი სმ.

სხვა საქმეა, როცა წარმოსახვაში იდეალურ მათემატიკური ობიექტების მანიპულირებას ვახდენთ.

უპირველეს ყოვლისა, ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ მარტივად უარი თქვათ საზომი ერთეულებზე და იმოქმედოთ ექსკლუზიურად განზომილებიანი რაოდენობით. შემდეგ მივდივართ იმ გეომეტრიულ კონსტრუქციაზე, რომელიც გავიარეთ რაციონალური რიცხვიდა რომელიც ჩვენ დავასახელეთ ნომრის ხაზი:

ვინაიდან სიტყვა „ხაზი“ გეომეტრიაში უკვე მძიმედ „დატვირთულია“, ხშირად იგივე კონსტრუქციას უწოდებენ რიცხვითი ღერძი ან უბრალოდ ღერძი.

მეორეც, ჩვენ კარგად შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ, რომ წერტილის კოორდინატი მოცემულია გარკვეული პერიოდულობით ათობითი, მოსწონს

უფრო მეტიც, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ უსასრულობა არაპერიოდულიწილადი, როგორიცაა

1 ,01 001 0001 00001 000001 0000001 ...

1 ,23 45 67 89 1011 1213 1415 1617 1819 2021 ...

ასეთ წარმოსახვით რიცხვებს, რომლებიც წარმოდგენილია როგორც უსასრულო, განუმეორებელი ათობითი წილადები, ეწოდება ირაციონალური. ირაციონალური რიცხვები ჩვენთვის უკვე ნაცნობ რაციონალურ რიცხვებთან ერთად ქმნიან ე.წ მოქმედებსნომრები. სიტყვის "მართებულის" ნაცვლად ჩვენ ასევე ვიყენებთ სიტყვას " რეალური". წერტილის ნებისმიერი წარმოსახვითი პოზიცია წრფეზე შეიძლება გამოისახოს როგორც რეალური რიცხვი. და პირიქით, თუ მოგვეცემა რაიმე რეალური რიცხვი x, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ წერტილი X, რომლის პოზიცია მოცემულია ნომრით x.

მიკერძოება

დაე იყოს ა- წერტილის კოორდინატი ა, ა ბ- წერტილის კოორდინატი ბ. შემდეგ ღირებულება

ვ = ბ − ა

არის გადაადგილება, რომელიც თარგმნის აზრს აზუსტად ბ. ეს განსაკუთრებით აშკარა ხდება, თუ წინა თანასწორობა გადაიწერება როგორც

ბ = ა + ვ.

ზოგჯერ სიტყვის "გადაადგილების" ნაცვლად იყენებენ სიტყვას " ვექტორი". ადვილი მისახვედრია ეს პოზიცია xთვითნებური წერტილი Xსხვა არაფერია, თუ არა ოფსეტი, რომელიც თარგმნის წერტილს ო(კოორდინატით ნულის ტოლი) წერტილამდე X:

x= 0 + x.

გადაადგილებები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს, ასევე გამოკლდეს ერთმანეთს. ასე რომ, თუ კომპენსაცია ( ბ − ა) ითარგმნება წერტილი აზუსტად ბდა კომპენსაცია ( გ − ბ) წერტილი ბზუსტად C, შემდეგ ოფსეტური

(ბ − ა) + (გ − ბ) = გ − ა

თარგმნის აზრს აზუსტად C.

Შენიშვნა.საგანთა ლოგიკით აქ უნდა დაზუსტდეს, თუ როგორ ხდება შეკრება და გამოკლება ირაციონალური რიცხვები, ვინაიდან მიკერძოება შეიძლება იყოს ირაციონალური. რა თქმა უნდა, მათემატიკოსები ზრუნავდნენ შესაბამისი ფორმალური პროცედურების შემუშავებაზე, მაგრამ პრაქტიკაში ჩვენ ამას არ შევეხებით, რადგან გამოსავლისთვის პრაქტიკული ამოცანებიყოველთვის საკმარისია სავარაუდო გამოთვლები მომრგვალებული მნიშვნელობებით. ამ დროისთვის, ჩვენ უბრალოდ ვითვალისწინებთ, რომ ცნებები "მიმატება" და "გამოკლება" - ისევე როგორც "გამრავლება" და "გაყოფა" - სწორად არის განსაზღვრული ნებისმიერი ორი რეალური რიცხვისთვის (იმ გაფრთხილებით, რომელზედაც ვერ გაყოფთ. ნული).

აქ, ალბათ, მიზანშეწონილი იქნება აღვნიშნოთ დახვეწილი განსხვავება „გადაადგილებისა“ და „დისტანციის“ ცნებებს შორის. მანძილი ყოველთვის არ არის უარყოფითი. ეს არის, ფაქტობრივად, ოფსეტური აღებული აბსოლუტური მნიშვნელობა. ასე რომ, თუ ოფსეტური

ვ = ბ − ა

თარგმნის აზრს აზუსტად ბ, შემდეგ მანძილი სწერტილებს შორის ადა ბუდრის

ს = |v| = |ბ − ა|.

ეს ტოლობა რჩება ჭეშმარიტი, მიუხედავად იმისა, თუ რომელი რიცხვია მეტი - აან ბ.

თვითმფრინავი

პრაქტიკული გაგებით, თვითმფრინავი არის ქაღალდის ფურცელი, რომელზეც ჩვენ ვხატავთ ჩვენს გეომეტრიულ ნახატებს. წარმოსახვითი მათემატიკური თვითმფრინავიგანსხვავდება ფურცლისგან იმით, რომ მას აქვს ნულოვანი სისქე და შეუზღუდავი ზედაპირი, რომელიც ვრცელდება სხვადასხვა მხარეებიუსასრულობამდე. გარდა ამისა, ფურცლისგან განსხვავებით, მათემატიკური სიბრტყე აბსოლუტურად ხისტია: ის არასოდეს იხრება და ნაოჭდება - მაშინაც კი, თუ იგი მოწყვეტილია სამუშაო მაგიდიდან და რაიმე სახით განთავსდება სივრცეში.

თვითმფრინავის მდებარეობა სივრცეში ცალსახად არის მოცემული სამი წერტილით (თუ ისინი არ არიან რომელიმე სწორ ხაზზე). ამის უკეთ ვიზუალიზაციისთვის, მოდით დავხატოთ სამი თვითნებური ქულები, ო, ადა ბდა დახაზეთ ორი სწორი ხაზი მათ შორის OAდა OBროგორც სურათზეა ნაჩვენები:

უკვე რამდენადმე უფრო ადვილია წარმოსახვაში თვითმფრინავის „გაჭიმვა“ ორ გადამკვეთ ხაზზე, ვიდრე მისი „დაყრა“ სამ წერტილზე. მაგრამ კიდევ უფრო მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ კიდევ რამდენიმე დამატებით კონსტრუქციას გავაკეთებთ. ავიღოთ რამდენიმე ქულა შემთხვევით: ერთი ხაზის ნებისმიერ წერტილში OA, ხოლო მეორე - ხაზის ნებისმიერ ადგილას OB. დახაზეთ ახალი ხაზი წერტილების ამ წყვილში. შემდეგ, ანალოგიურად, ვირჩევთ წერტილების სხვა წყვილს და ვხაზავთ მათ შორის სხვა ხაზს. ამ პროცედურის მრავალჯერ გამეორებით, ვიღებთ რაღაც ქსელს:

ასეთ სტრუქტურაზე თვითმფრინავის დადება უკვე საკმაოდ მარტივია - მით უმეტეს, რომ ეს წარმოსახვითი ქსელი შეიძლება იყოს ისეთი სქელი, რომ მთელ თვითმფრინავს დაფაროს ხარვეზების გარეშე.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ სიბრტყეზე ავიღებთ წყვილს, რომლებიც არ ემთხვევა ერთმანეთს და გავავლებთ მათ სწორ ხაზს, მაშინ ეს სწორი ხაზი აუცილებლად იმავე სიბრტყეში იქნება.

Აბსტრაქტული

Წერტილი (ა, ბდა ა.შ.): წარმოსახვითი ობიექტი, რომლის ზომა ყველა მიმართულებით არის ნული.

პირდაპირ (ნ, მან ( AB)): უსასრულოდ თხელი ხაზი; გაიარა ორი წერტილი ( ადა ბ) მმართველის გასწვრივ ერთმნიშვნელოვნად; ვრცელდება ორივე მიმართულებით უსასრულობამდე.

ხაზის სეგმენტი ([AB]): წრფის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ორი წერტილით ( ადა ბ) - სეგმენტის ბოლოები, რომლებიც ასევე ითვლება სეგმენტის კუთვნილება.

ჭრის სიგრძე(|AB|): (ფრაქციული) სანტიმეტრების რაოდენობა (ან სხვა საზომი ერთეული), რომელიც ჯდება ბოლოებს შორის ( ადა ბ).

მანძილი ორ წერტილს შორის: ამ წერტილებზე დამთავრებული წრფის სეგმენტის სიგრძე.

წერტილის მდებარეობა ხაზზე (კოორდინაცია): მანძილი წერტილიდან წინასწარ შერჩეულ ცენტრამდე (ასევე სწორ ხაზზე დევს) პლიუს ან მინუს ნიშნით მინიჭებული, იმისდა მიხედვით, თუ ცენტრის რომელ მხარეს მდებარეობს წერტილი.

მოცემულია წერტილის პოზიცია სწორ ხაზზე მოქმედებს(რეალური)ნომერი, კერძოდ, ათობითი წილადი, რომელიც შეიძლება იყოს ან (1) სასრული ან უსასრულო პერიოდული ( რაციონალური რიცხვი), ან (2) უსასრულო არაპერიოდული ( ირაციონალური რიცხვები).

მიკერძოება, რომელიც თარგმნის აზრს ა(კოორდინატით ა) ზუსტად ბ(კოორდინატით ბ): ვ = ბ − ა.

მანძილი უდრის გადაადგილებას, აღებული აბსოლუტური სიდიდით: | AB| = |ბ − ა|.

თვითმფრინავი: უსაზღვროდ თხელი ქაღალდის ფურცელი, რომელიც ვრცელდება სხვადასხვა მიმართულებით უსასრულობამდე; ცალსახად განისაზღვრება სამი წერტილით, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე.

კრიტიკული წერტილის კონცეფცია შეიძლება განზოგადდეს დიფერენცირებადი რუკების შემთხვევაში და თვითნებური მრავალფეროვნების დიფერენცირებადი რუკების შემთხვევაში. f: N n → M m (\displaystyle f:N^(n)\ to M^(m)). ამ შემთხვევაში, კრიტიკული წერტილის განმარტება არის ის, რომ რუკების იაკობის მატრიცის რანგი f (\displaystyle f)მას აქვს მაქსიმუმზე ნაკლები შესაძლო ღირებულება, ტოლია .

კრიტიკული წერტილებიფუნქციები და რუკების თამაში მნიშვნელოვანი როლიმათემატიკის ისეთ სფეროებში, როგორიცაა დიფერენციალური განტოლებები, ვარიაციების გაანგარიშება, სტაბილურობის თეორია და მექანიკა და ფიზიკა. გლუვი რუკების კრიტიკული წერტილების შესწავლა კატასტროფის თეორიის ერთ-ერთი მთავარი საკითხია. კრიტიკული წერტილის კონცეფცია ასევე განზოგადებულია ფუნქციების შემთხვევაში, რომლებიც განსაზღვრულია უსასრულო ფუნქციურ სივრცეებზე. ასეთი ფუნქციების კრიტიკული წერტილების ძიება არის მნიშვნელოვანი ნაწილივარიაციების გაანგარიშება. ფუნქციონალების კრიტიკულ წერტილებს (რომლებიც, თავის მხრივ, ფუნქციებია) ე.წ ექსტრემალები.

ფორმალური განმარტება

კრიტიკული(ან განსაკუთრებულიან სტაციონარული) მუდმივად დიფერენცირებადი რუკების წერტილი f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))წერტილი ეწოდება ამ რუკების დიფერენციალს f ∗ = ∂ f ∂ x (\displaystyle f_(*)=(\frac (\ნაწილობრივი f)(\ნაწილობრივი x)))არის დეგენერატი წრფივი ტრანსფორმაციაშესაბამისი ტანგენტური სივრცეები T x 0 R n (\displaystyle T_(x_(0))\mathbb (R) ^(n))და T f (x 0) R m (\displaystyle T_(f(x_(0)))\mathbb (R) ^(m)), ანუ ტრანსფორმაციის გამოსახულების განზომილება f ∗ (x 0) (\displaystyle f_(*)(x_(0)))უფრო პატარა წთ (n, m) (\displaystyle \წთ\(n,m\)). კოორდინატთა აღნიშვნაში for n = m (\displaystyle n=m)ეს ნიშნავს, რომ jacobian არის განმსაზღვრელი jacobi matrix of maping f (\displaystyle f), შედგება ყველა ნაწილობრივი წარმოებულისგან ∂ f j ∂ x i (\ ჩვენების სტილი (\ frac (\ ნაწილობრივი f_(j)) (\ ნაწილობრივი x_(i))))- ერთ წერტილში ქრება. ფართები და R m (\displaystyle \mathbb (R) ^(m))ამ განმარტებაში შეიძლება შეიცვალოს ჯიშები N n (\displaystyle N^(n))და M m (\displaystyle M^(m))იგივე ზომები.

სარდის თეორემა

ჩვენების მნიშვნელობას კრიტიკულ წერტილში მისი ეწოდება კრიტიკული. სარდის თეორემის მიხედვით, ნებისმიერი საკმარისად გლუვი რუკის კრიტიკული მნიშვნელობების ნაკრები f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))აქვს ნულოვანი ლებეგის ზომა (თუმცა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რაოდენობის კრიტიკული წერტილი, მაგალითად, იდენტური რუკებისთვის, ნებისმიერი წერტილი კრიტიკულია).

მუდმივი რანგის რუქები

თუ წერტილის სიახლოვეს x 0 ∈ R n (\displaystyle x_(0)\in \mathbb (R) ^(n))მუდმივად დიფერენცირებადი რუკების რანგი f: R n → R m (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(m))იგივე რიცხვის ტოლია r (\displaystyle r), შემდეგ ამ წერტილის სიახლოვეს x 0 (\displaystyle x_(0))არის ადგილობრივი კოორდინატები, რომლებიც ორიენტირებულია x 0 (\displaystyle x_(0)), ხოლო მისი გამოსახულების მიმდებარედ - წერტილები y 0 = f (x 0) (\displaystyle y_(0)=f(x_(0)))- არის ადგილობრივი კოორდინატები (y 1 , … , y m) (\ჩვენების სტილი (y_(1),\ldots ,y_(m)))ორიენტირებული f (\displaystyle f)მოცემულია ურთიერთობებით:

Y 1 = x 1 , … , y r = x r , y r + 1 = 0 , … , y m = 0. ),\ y_(r+1)=0,\ \ლდოტები ,\ y_(მ)=0.)

კერძოდ, თუ r = n = m (\displaystyle r=n=m), მაშინ არის ლოკალური კოორდინატები (x 1 , … , x n) (\ჩვენების სტილი (x_(1),\ldots ,x_(n)))ორიენტირებული x 0 (\displaystyle x_(0))და ლოკალური კოორდინატები (y 1 , … , y n) (\displaystyle (y_(1),\ldots ,y_(n)))ორიენტირებული y 0 (\displaystyle y_(0)), ისეთი, რომ ისინი აჩვენებენ f (\displaystyle f)იდენტურია.

ხდება მ = 1

Როდესაც ამ განმარტებასნიშნავს, რომ გრადიენტი ∇ f = (f x 1 ′ , … , f x n ′) (\displaystyle \nabla f=(f"_(x_(1)),\ldots ,f"_(x_(n))))ქრება ამ ეტაპზე.

დავუშვათ, რომ ფუნქცია f: R n → R (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\ to \mathbb (R) )აქვს სიგლუვის კლასი მინიმუმ C 3 (\displaystyle C^(3)). ფუნქციის კრიტიკული წერტილი ვდაურეკა არადეგენერატი, თუ შეიცავს ჰესიანს | ∂ 2 f ∂ x 2 | (\displaystyle (\Bigl |)(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))(\Bigr |))განსხვავდება ნულიდან. არადეგენერაციული კრიტიკული წერტილის სამეზობლოში არის კოორდინატები, რომლებშიც ფუნქციონირებს ვაქვს კვადრატული ნორმალური ფორმა (მორზის ლემა).

მორზეს ლემის ბუნებრივი განზოგადება დეგენერაციული კრიტიკული წერტილებისთვის არის ტუჟრონის თეორემა:ფუნქციის გადაგვარებული კრიტიკული წერტილის მიმდებარედ ვ, დიფერენცირებადი უსასრულო რიცხვიჯერ() სასრული სიმრავლე µ (\displaystyle \mu)არის კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც გლუვი ფუნქციააქვს ხარისხის მრავალწევრის ფორმა μ + 1 (\displaystyle \mu +1)(როგორც P μ + 1 (x) (\ჩვენების სტილი P_(\mu +1)(x))შეიძლება აიღოთ ფუნქციის ტეილორის პოლინომი f (x) (\displaystyle f(x))თავდაპირველი კოორდინატების წერტილში) .

ზე m = 1 (\displaystyle m=1)აზრი აქვს ვიკითხოთ ფუნქციის მაქსიმუმზე და მინიმუმზე. ცნობილი განცხადების მიხედვით მათემატიკური ანალიზი, მუდმივად დიფერენცირებადი ფუნქცია f (\displaystyle f), განსაზღვრულია მთელ სივრცეში R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))ან მის ღია ქვეჯგუფში, შეუძლია მიაღწიოს ადგილობრივი მაქსიმუმი(მინიმუმი) მხოლოდ კრიტიკულ წერტილებში და თუ წერტილი არადეგენერატია, მაშინ მატრიცა (∂ 2 f ∂ x 2) = (∂ 2 f ∂ x i ∂ x j) , (\displaystyle (\Bigl ()(\frac (\ ნაწილობრივი ^(2)f)(\ნაწილობრივი x^(2)))( \Bigr))=(\Bigl ()(\frac (\partial ^(2)f)(\partial x_(i)\partial x_(j)))(\Bigr)),) i , j = 1 , … , n , (\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,)უნდა იყოს მასში ნეგატიურად (დადებითად) განსაზღვრული. ეს უკანასკნელიც არის საკმარისი მდგომარეობაადგილობრივი მაქსიმუმი (შესაბამისად, მინიმალური).

ხდება ნ = მ = 2

Როდესაც n=m=2ჩვენ გვაქვს რუქა ვთვითმფრინავი სიბრტყეზე (ან ორგანზომილებიანი მანიფოლდი სხვა ორგანზომილებიან კოლექტორზე). დავუშვათ, რომ ჩვენება ვდიფერენცირებადია უსასრულო რაოდენობის ჯერ ( C ∞ (\displaystyle C^(\infty ))). ამ შემთხვევაში, რუკების ტიპიური კრიტიკული წერტილები ვარის ისეთები, რომლებშიც იაკობის მატრიცის განმსაზღვრელი ნულის ტოლია, მაგრამ მისი წოდება უდრის 1-ს და აქედან გამომდინარეობს რუკის დიფერენციალი. ვაქვს ერთგანზომილებიანი ბირთვი ასეთ წერტილებში. ტიპიურობის მეორე პირობა არის ის, რომ განხილული წერტილის სამეზობლოში უკუ გამოსახულების სიბრტყეზე, კრიტიკული წერტილების სიმრავლე ქმნის რეგულარულ მრუდს. სდა მრუდის თითქმის ყველა წერტილში სბირთვი ker f ∗ (\displaystyle \ker \,f_(*))არ ეხება ს, მაშინ როცა ის წერტილები, სადაც ეს ასე არ არის, იზოლირებულია და მათზე ტანგენცია პირველი რიგისაა. პირველი ტიპის კრიტიკულ წერტილებს უწოდებენ ნაკეცების წერტილებიდა მეორე ტიპი შეკრების წერტილები. ნაკეცები და ნაკეცები სიბრტყიდან სიბრტყემდე რუკების სინგულარობის ერთადერთი სახეობაა, რომლებიც სტაბილურია მცირე აშლილობების მიმართ: მცირე აშლილობისას, დაკეცვისა და დაკეცვის წერტილები მხოლოდ ოდნავ მოძრაობენ მრუდის დეფორმაციასთან ერთად. ს, მაგრამ არ გაქრეს, არ გადაგვარდეს და არ დაიშალოთ სხვა სინგულარობად.