უმარტივესი ტიპის ვიბრაციებია ჰარმონიული ვიბრაციები- რყევები, რომლებშიც რხევის წერტილის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან იცვლება დროთა განმავლობაში სინუსების ან კოსინუსების კანონის მიხედვით.

ასე რომ, წრეწირის გარშემო ბურთის ერთგვაროვანი ბრუნვით, მისი პროექცია (ჩრდილი სინათლის პარალელურ სხივებში) ასრულებს ჰარმონიულ რხევად მოძრაობას ვერტიკალურ ეკრანზე (ნახ. 1).

ჰარმონიული ვიბრაციების დროს წონასწორობის პოზიციიდან გადაადგილება აღწერილია განტოლებით (მას კინემატიკური კანონი ეწოდება ჰარმონიული მოძრაობა) ფორმის:

სადაც x - გადაადგილება - მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს რხევის წერტილის პოზიციას t დროს წონასწორობის პოზიციასთან მიმართებაში და იზომება წონასწორობის პოზიციიდან წერტილის პოზიციამდე მანძილით. ამ მომენტშიდრო; A - რხევის ამპლიტუდა - სხეულის მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან; T - რხევის პერიოდი - ერთი სრული რხევის დრო; იმათ. დროის უმცირესი პერიოდი, რომლის შემდეგაც მეორდება რხევის დამახასიათებელი ფიზიკური სიდიდეების მნიშვნელობები; - საწყისი ეტაპი;

რხევის ფაზა t დროს. რხევის ფაზა არის არგუმენტი პერიოდული ფუნქცია, რომელიც მოცემული რხევის ამპლიტუდის დროს განსაზღვრავს სხეულის რხევითი სისტემის მდგომარეობას (გადაადგილება, სიჩქარე, აჩქარება) ნებისმიერ დროს.

თუ შიგნით საწყისი მომენტიდროთა განმავლობაში, რხევის წერტილი მაქსიმალურად არის გადაადგილებული წონასწორობის პოზიციიდან, შემდეგ და წერტილის გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან იცვლება კანონის შესაბამისად.

თუ რხევის წერტილი at არის სტაბილური წონასწორობის მდგომარეობაში, მაშინ წერტილის გადაადგილება წონასწორობის პოზიციიდან იცვლება კანონის შესაბამისად.

V-ის ღირებულება, პერიოდის ორმხრივი და რიცხვის ტოლი 1 წამში შესრულებულ სრულ რხევებს რხევების სიხშირე ეწოდება:

თუ დროში t სხეული აკეთებს N სრულ რხევებს, მაშინ

ღირებულება , რომელიც აჩვენებს რამდენ რხევას აკეთებს სხეული s-ში, ე.წ ციკლური (წრიული) სიხშირე.

ჰარმონიული მოძრაობის კინემატიკური კანონი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

გრაფიკულად, რხევის წერტილის გადაადგილების დამოკიდებულება დროზე წარმოდგენილია კოსინუსით (ან სინუსოიდით).

ნახაზი 2, a გვიჩვენებს რხევის წერტილის გადაადგილების დროზე დამოკიდებულებას წონასწორობის პოზიციიდან შემთხვევისთვის.

მოდით გავარკვიოთ, როგორ იცვლება რხევის წერტილის სიჩქარე დროთა განმავლობაში. ამისათვის ჩვენ ვიპოვით ამ გამოთქმის დროის წარმოებულს:

სადაც არის სიჩქარის პროექციის ამპლიტუდა x ღერძზე.

ეს ფორმულა აჩვენებს, რომ ჰარმონიული რხევების დროს სხეულის სიჩქარის პროექცია x ღერძზე ასევე იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით იმავე სიხშირით, განსხვავებული ამპლიტუდით და უსწრებს შერევის ფაზას (ნახ. 2, ბ) .

აჩქარების დამოკიდებულების გასარკვევად, ჩვენ ვპოულობთ სიჩქარის პროექციის დროის წარმოებულს:

სადაც არის აჩქარების პროექციის ამპლიტუდა x ღერძზე.

ჰარმონიული რხევებისთვის, აჩქარების პროექცია იწვევს ფაზურ ცვლას k-ით (ნახ. 2, გ).

ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ დამოკიდებულების გრაფიკები

ამის გათვალისწინებით, აჩქარების ფორმულა შეიძლება დაიწეროს

იმათ. ჰარმონიული რხევებისთვის, აჩქარების პროექცია პირდაპირპროპორციულია გადაადგილებისა და საპირისპირო ნიშნით, ე.ი. აჩქარება მიმართულია გადაადგილების საპირისპირო მიმართულებით.

ამრიგად, აჩქარების პროექცია არის გადაადგილების მეორე წარმოებული, მაშინ მიღებული თანაფარდობა შეიძლება დაიწეროს როგორც:

ბოლო თანასწორობა ეწოდება ჰარმონიული რხევების განტოლება.

ფიზიკურ სისტემას, რომელშიც ჰარმონიული რხევები შეიძლება არსებობდეს, ეწოდება ჰარმონიული ოსცილატორიდა ჰარმონიული რხევების განტოლება - ჰარმონიული ოსცილატორის განტოლება.

ჰარმონიული ტალღის განტოლება

ჰარმონიული რხევის განტოლება ადგენს სხეულის კოორდინატის დამოკიდებულებას დროზე

კოსინუს გრაფიკს აქვს მაქსიმალური მნიშვნელობა საწყის მომენტში, ხოლო სინუს გრაფიკს აქვს ნულოვანი მნიშვნელობა საწყის მომენტში. თუ წონასწორობის პოზიციიდან დავიწყებთ რხევის გამოკვლევას, მაშინ რხევა გაიმეორებს სინუსოიდს. თუ ვიწყებთ რხევის განხილვას მაქსიმალური გადახრის პოზიციიდან, მაშინ რხევა აღწერს კოსინუსს. ან ასეთი რხევა შეიძლება აღწერილი იყოს სინუსური ფორმულით საწყისი ფაზათი.

სიჩქარისა და აჩქარების ცვლილება ჰარმონიული რხევისას

დროთა განმავლობაში იცვლება არა მხოლოდ სხეულის კოორდინატი სინუსის ან კოსინუსის კანონის მიხედვით. მაგრამ ისეთი სიდიდეები, როგორიცაა ძალა, სიჩქარე და აჩქარება, ასევე იცვლება ანალოგიურად. ძალა და აჩქარება მაქსიმალურია, როდესაც რხევადი სხეული იმყოფება ექსტრემალური პოზიციები, სადაც გადაადგილება მაქსიმალურია და ტოლია ნულის, როდესაც სხეული გადის წონასწორობის მდგომარეობაში. სიჩქარე, პირიქით, უკიდურეს პოზიციებში ნულის ტოლია და როდესაც სხეული გადის წონასწორობის მდგომარეობას, აღწევს მაქსიმალურ მნიშვნელობას.

თუ რხევა აღწერილია კოსინუსის კანონის მიხედვით

თუ რხევა აღწერილია სინუსური კანონის მიხედვით

მაქსიმალური სიჩქარისა და აჩქარების მნიშვნელობები

v(t) და a(t) დამოკიდებულების განტოლებების ანალიზის შემდეგ, შეიძლება გამოვიცნოთ, რომ სიჩქარისა და აჩქარების მაქსიმალური მნიშვნელობები იღებს როდის ტრიგონომეტრიული ფაქტორიარის 1 ან -1. განისაზღვრება ფორმულით

დროის ცვლილებები სინუსოიდური კანონის მიხედვით:

სადაც X- მერყევი რაოდენობის მნიშვნელობა დროის მომენტში ტ, მაგრამ- დიაპაზონი , ω - წრიული სიხშირე, φ არის რხევების საწყისი ეტაპი, φt + φ ) არის რხევების მთლიანი ფაზა. ამავე დროს, ღირებულებები მაგრამ, ω და φ - მუდმივი.

რხევადი მნიშვნელობის მქონე მექანიკური ვიბრაციისთვის Xარის, კერძოდ, გადაადგილება და სიჩქარე, ამისთვის ელექტრული რხევები- ძაბვა და დენი.

იღებს ჰარმონიულ ვიბრაციას განსაკუთრებული ადგილიყველა სახის რხევებს შორის, რადგან ეს არის რხევების ერთადერთი ტიპი, რომლის ფორმა არ არის დამახინჯებული რომელიმეში გავლისას. ერთგვაროვანი გარემო, ანუ ჰარმონიული რხევების წყაროდან გავრცელებული ტალღები ასევე ჰარმონიული იქნება. ნებისმიერი არაჰარმონიული ვიბრაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ჰარმონიული ვიბრაციის ჯამის (ინტეგრალის) სახით (ჰარმონიული ვიბრაციების სპექტრის სახით).

ენერგიის გარდაქმნები ჰარმონიული ვიბრაციების დროს.

რხევების პროცესში ხდება პოტენციური ენერგიის გადასვლა Wpკინეტიკურად კდა პირიქით. წონასწორობის პოზიციიდან მაქსიმალური გადახრის მდგომარეობაში პოტენციური ენერგია მაქსიმალურია, კინეტიკური ენერგია ნული. წონასწორობის მდგომარეობაში დაბრუნებასთან ერთად, რხევადი სხეულის სიჩქარე იზრდება და მასთან ერთად იზრდება. კინეტიკური ენერგიაწონასწორობის მდგომარეობაში მაქსიმუმს აღწევს. შემდეგ პოტენციური ენერგია ნულამდე ეცემა. კისრის შემდგომი მოძრაობა ხდება სიჩქარის შემცირებით, რომელიც ნულამდე ეცემა, როდესაც გადახრა მეორე მაქსიმუმს მიაღწევს. პოტენციური ენერგია აქ იზრდება მის საწყის (მაქსიმალურ) მნიშვნელობამდე (ხახუნის არარსებობის შემთხვევაში). ამრიგად, კინეტიკური და პოტენციური ენერგიების რხევები ხდება ორმაგი (თვით ქანქარის რხევებთან შედარებით) სიხშირით და ანტიფაზაშია (ანუ მათ შორის არის ფაზური ცვლა ტოლი. π ). მთლიანი ვიბრაციის ენერგია ვუცვლელი რჩება. დრეკადობის ძალის მოქმედებით რხევადი სხეულისთვის ის უდრის:

სადაც ვ მ- სხეულის მაქსიმალური სიჩქარე (წონასწორობის მდგომარეობაში), x მ = მაგრამ- დიაპაზონი.

საშუალების ხახუნის და წინააღმდეგობის არსებობის გამო უფასო ვიბრაციებიდაშლა: მათი ენერგია და ამპლიტუდა დროთა განმავლობაში მცირდება. ამიტომ, პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება არა თავისუფალი, არამედ იძულებითი რხევები.

პროგრესულთან ერთად და ბრუნვის მოძრაობებიმექანიკაში სხეულები, რხევითი მოძრაობები ასევე დიდ ინტერესს იწვევს. მექანიკური ვიბრაციები ეწოდება სხეულების მოძრაობას, რომლებიც მეორდება ზუსტად (ან დაახლოებით) რეგულარული ინტერვალებით. რხევადი სხეულის მოძრაობის კანონი მოცემულია დროის გარკვეული პერიოდული ფუნქციით x = ვ (ტ). გრაფიკული გამოსახულებაეს ფუნქცია იძლევა ვიზუალურ წარმოდგენას რხევითი პროცესის მიმდინარეობის დროში.

მარტივი რხევადი სისტემების მაგალითებია დატვირთვა ზამბარზე ან მათემატიკური გულსაკიდი(ნახ. 2.1.1).

მექანიკური ვიბრაციები, როგორიცაა რხევითი პროცესებინებისმიერი სხვა ფიზიკური ბუნება შეიძლება იყოს უფასოდა იძულებული. უფასო ვიბრაციები მზადდება გავლენის ქვეშ შინაგანი ძალები სისტემა წონასწორობიდან სისტემის გამოყვანის შემდეგ. სიმძიმის რხევები ზამბარზე ან ქანქარის რხევები თავისუფალი რხევებია. ვიბრაციები მოქმედების ქვეშ გარეპერიოდულად ცვალებად ძალებს უწოდებენ იძულებული .

რხევითი პროცესის უმარტივესი ტიპი მარტივია ჰარმონიული ვიბრაციები , რომლებიც აღწერილია განტოლებით

x = x m cos (ω ტ + φ 0).

Აქ x- სხეულის გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, x m - რხევის ამპლიტუდა, ანუ მაქსიმალური გადაადგილება წონასწორული პოზიციიდან, ω - ციკლური ან წრიული სიხშირე ყოყმანი, ტ- დრო. მნიშვნელობა კოსინუსის ნიშნის ქვეშ φ = ω ტ+ φ 0 ეწოდება ფაზაჰარმონიული პროცესი. ზე ტ= 0 φ = φ 0, ამიტომ ფ 0 ეწოდება საწყისი ეტაპი. მინიმალური დროის ინტერვალი, რომლის შემდეგაც სხეულის მოძრაობა მეორდება, ეწოდება რხევის პერიოდი თ. ფიზიკური რაოდენობა, რხევის პერიოდის საპასუხო, ე.წ რხევის სიხშირე:

რხევის სიხშირე ვგვიჩვენებს რამდენი ვიბრაცია ხდება 1 წამში. სიხშირის ერთეული - ჰერცი(ჰც). რხევის სიხშირე ვდაკავშირებულია ω ციკლურ სიხშირესთან და რხევის პერიოდთან თკოეფიციენტები:

ნახ. 2.1.2 აჩვენებს სხეულის პოზიციებს რეგულარული ინტერვალებით ჰარმონიული ვიბრაციებით. ასეთი სურათის მიღება შესაძლებელია ექსპერიმენტულად, რხევადი სხეულის განათებით სინათლის ხანმოკლე პერიოდული ციმციმებით ( სტრობოსკოპული განათება). ისრები წარმოადგენს სხეულის სიჩქარის ვექტორებს დროის სხვადასხვა მომენტში.

ბრინჯი. 2.1.3 ასახავს ცვლილებებს, რომლებიც ხდება ჰარმონიული პროცესის გრაფიკზე, თუ იცვლება რხევების ამპლიტუდა xმ, ან პერიოდი თ(ან სიხშირე ვ), ან საწყისი ფაზა φ 0 .

ზე რხევითი მოძრაობასხეულები სწორი ხაზის გასწვრივ (ღერძი ოქსი) სიჩქარის ვექტორი ყოველთვის მიმართულია ამ სწორი ხაზის გასწვრივ. სიჩქარე υ = υ xსხეულის მოძრაობა განისაზღვრება გამოხატულებით

მათემატიკაში შეფარდების ლიმიტის პოვნის პროცედურა Δ-ზე ტ→ 0 ეწოდება ფუნქციის წარმოებულის გამოთვლას x (ტ) დროის მიხედვით ტდა აღინიშნება როგორც ან როგორც x"(ტ) ან ბოლოს როგორც . მოძრაობის ჰარმონიული კანონისთვის წარმოებულის გამოთვლა იწვევს შემდეგ შედეგს:

ტერმინის + π / 2 გამოჩენა კოსინუს არგუმენტში ნიშნავს ცვლილებას საწყის ფაზაში. სიჩქარის მაქსიმალური მოდულის მნიშვნელობები υ = ω x m მიიღწევა დროის იმ მომენტებში, როდესაც სხეული გადის წონასწორობის პოზიციებს ( x= 0). აჩქარება განისაზღვრება ანალოგიურად ა = აxჰარმონიული ვიბრაციების მქონე სხეულები:

აქედან გამომდინარე აჩქარება აუდრის υ ფუნქციის წარმოებულს ( ტ) დროის მიხედვით ტ, ან ფუნქციის მეორე წარმოებული x (ტ). გამოთვლები იძლევა:

ამ გამოთქმაში მინუს ნიშანი ნიშნავს აჩქარებას ა (ტ) ყოველთვის აქვს ნიშანი, საპირისპირო ნიშანიმიკერძოება x (ტ) და, შესაბამისად, ნიუტონის მეორე კანონის მიხედვით, ძალა, რომელიც სხეულს აიძულებს შეასრულოს ჰარმონიული რხევები, ყოველთვის მიმართულია წონასწორობის პოზიციისკენ ( x = 0).

რყევებიეწოდება მოძრაობები ან პროცესები, რომლებიც ხასიათდება დროში გარკვეული განმეორებით. ოსცილატორული პროცესები ფართოდ არის გავრცელებული ბუნებაში და ტექნოლოგიაში, მაგალითად, საათის ქანქარის რხევა, ცვლადი. ელექტროობაროდესაც ქანქარა რხევა, მისი მასის ცენტრის კოორდინატი იცვლება საქმეში ალტერნატიული დენიძაბვა და დენი იცვლება წრედში. ფიზიკური ბუნებარხევები შეიძლება იყოს განსხვავებული, ამიტომ განასხვავებენ მექანიკურ, ელექტრომაგნიტურ და ა.შ რხევებს, თუმცა სხვადასხვა რხევადი პროცესები აღწერილია ერთი და იგივე მახასიათებლებით და იგივე განტოლებები. აქედან გამომდინარეობს მიზანშეწონილობა ერთიანი მიდგომავიბრაციების შესასწავლად განსხვავებული ფიზიკური ბუნება.

რყევებს ე.წ უფასო, თუ ისინი შესრულებულია მხოლოდ სისტემის ელემენტებს შორის მოქმედი შიდა ძალების გავლენის ქვეშ, მას შემდეგ, რაც სისტემა ამოღებულია წონასწორობის პოზიციიდან. გარე ძალებიდა თავისთვის დარჩა. უფასო ვიბრაციები ყოველთვის დამსხვრეული რხევები , რადგან ში რეალური სისტემებიენერგიის დანაკარგები გარდაუვალია. ენერგიის დაკარგვის გარეშე სისტემის იდეალიზებულ შემთხვევაში, თავისუფალ რხევებს (გრძელდება სანამ სასურველია) ე.წ. საკუთარი.

უმარტივესი ტიპის თავისუფალი დაუცველი რხევებია ჰარმონიული რხევები -რყევები, რომლებშიც მერყევი მნიშვნელობა დროთა განმავლობაში იცვლება სინუსების (კოსინუსების) კანონის მიხედვით. ბუნებასა და ტექნოლოგიაში შემხვედრ რხევებს ხშირად ჰარმონიულთან მიახლოებული ხასიათი აქვთ.

ჰარმონიული ვიბრაციები აღწერილია განტოლებით, რომელსაც ეწოდება ჰარმონიული ვიბრაციების განტოლება:

სადაც მაგრამ- რყევების ამპლიტუდა, მერყევი მნიშვნელობის მაქსიმალური მნიშვნელობა X; - ბუნებრივი რხევების წრიული (ციკლური) სიხშირე; - რხევის საწყისი ფაზა დროის მომენტში ტ= 0; - რხევის ფაზა დროის მომენტში ტ.რხევის ფაზა განსაზღვრავს რხევადი სიდიდის მნიშვნელობას მოცემულ დროს. ვინაიდან კოსინუსი იცვლება +1-დან -1-მდე, მაშინ Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები +-დან აადრე - მაგრამ.

დრო თ, რომლისთვისაც სისტემა ასრულებს ერთ სრულ რხევას, ე.წ რხევის პერიოდი. დროს თრხევის ფაზა იზრდება 2-ით π , ე.ი.

სად . (14.2)

რხევის პერიოდის ორმხრივი

ანუ სრული რხევების რაოდენობას დროის ერთეულზე ეწოდება რხევის სიხშირე. (14.2) და (14.3) შედარება მივიღებთ

სიხშირის ერთეული არის ჰერცი (Hz): 1 Hz არის სიხშირე, რომლის დროსაც ხდება ერთი სრული რხევა 1 წამში.

სისტემებს, რომლებშიც შეიძლება მოხდეს თავისუფალი ვიბრაცია, ეწოდება ოსცილატორები . რა თვისებები უნდა ჰქონდეს სისტემას, რომ მასში მოხდეს თავისუფალი რხევები? მექანიკური სისტემაუნდა ჰქონდეს სტაბილური წონასწორობის პოზიცია, გასვლისას რომელიც ჩნდება ძალის აღდგენა წონასწორობისკენ. ეს პოზიცია შეესაბამება, როგორც ცნობილია, მინიმუმს პოტენციური ენერგიასისტემები. განვიხილოთ რამდენიმე რხევითი სისტემა, რომლებიც აკმაყოფილებენ ჩამოთვლილ თვისებებს.