პარალელური ხაზების განმარტება. პარალელურია ორი სწორი ხაზი, რომლებიც დევს ერთ სიბრტყეში და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.
სწორი ხაზები AB და CD (სურ. 57) იქნება პარალელური. მათი პარალელურობა ზოგჯერ წერილობით გამოიხატება: AB || CD.
თეორემა 34. ერთი და იმავე მესამედის პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია.
მოცემულია სწორი ხაზები CD და EF AB-ზე პერპენდიკულარული (ნახ. 58)
CD ⊥ AB და EF ⊥ AB.
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ CD || EF.
მტკიცებულება. CD და EF წრფეები რომ არ იყვნენ პარალელური, ისინი გადაიკვეთებიან M წერტილში. ამ შემთხვევაში, M წერტილიდან AB წრფეზე ჩამოვა ორი პერპენდიკულარი, რაც შეუძლებელია (თეორემა 11), აქედან გამომდინარეობს წრფე CD || EF (CHTD).
თეორემა 35. ორი წრფე, რომელთაგან ერთი პერპენდიკულარულია, მეორე კი მესამეზე, ყოველთვის იკვეთება.
მოცემულია ორი ხაზი EF და CG, რომელთაგან EF ⊥ AB და CG არის ირიბი AB-ზე (სურ. 59).
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ CG შეხვდება EF ხაზს ან რომ CG არ არის EF-ის პარალელურად.
მტკიცებულება. C წერტილიდან აღვადგენთ პერპენდიკულარულ CD წრფეს AB, შემდეგ C წერტილში წარმოიქმნება კუთხე DCG, რომელსაც იმდენჯერ გავიმეორებთ, რომ CK წრფე დაეცემა AB წრფეს ქვემოთ. დავუშვათ, რომ ამისათვის ჩვენ ვიმეორებთ კუთხეს DCG n-ჯერ, როგორც
ანალოგიურად, ჩვენ გამოვსახავთ CE წრფეს AB წრფეზე ასევე n-ჯერ, ისე, რომ CN = nCE.
C, E, L, M, N წერტილებიდან ვაშენებთ პერპენდიკულარებს LL", MM", NN". სივრცე, რომელიც შეიცავს ორ პარალელურ სეგმენტს CD, NN" და CN სეგმენტს შორის იქნება n-ჯერ მეტი ვიდრე სივრცე ორ პერპენდიკულარებს შორის CD. , EF და სეგმენტი CE, ამიტომ DCNN" = nDCEF.
DCK კუთხით შემოსაზღვრული სივრცე შეიცავს DCNN სივრცეს, შესაბამისად,
DCK > CDNN" ან
nDCG > nDCEF, საიდანაც
DCG > DCEF.
ბოლო უტოლობა შეიძლება მოხდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც ხაზი CG ტოვებს DCEF სივრცეს მისი გაგრძელების დროს, ანუ როდესაც ხაზი CG ხვდება EF წრფეს, შესაბამისად, ხაზი CG არ არის CF (PTD) პარალელურად.
თეორემა 36. ერთ-ერთი პარალელის პერპენდიკულარული წრფე ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.
მოცემულია ორი პარალელური ხაზი AB და CD და წრფე EF CD-ზე პერპენდიკულარული (სურ. 60).
AB || CD, EF ⊥ CD
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ EF ⊥ AB.
მტკიცებულება. თუ AB წრფე იყო EF-ის ირიბი, მაშინ ორი წრფე CD და AB გადაიკვეთება, რადგან CD ⊥ EF და AB ირიბია EF-ზე (თეორემა 35), ხოლო AB და CD წრფეები არ იქნება პარალელური, რაც ეწინააღმდეგება ამ მდგომარეობას, შესაბამისად, ხაზი EF არის CD (PTD) პერპენდიკულარული.
კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება ორი წრფის მესამე ხაზის გადაკვეთით. AB და CD ორი წრფის გადაკვეთაზე EF მესამე ხაზით (სურ. 61) წარმოიქმნება რვა კუთხე α, β, γ, δ, λ, μ, ν, ρ. ეს კუთხეები იღებენ სპეციალურ სახელებს.
ოთხ კუთხეს α, β, ν და ρ ეწოდება გარე.
ოთხი კუთხე γ, δ, λ, μ ეწოდება შიდა.
ოთხი კუთხე β, γ, μ, ν და ოთხი კუთხე α, δ, λ, ρ ეწოდება ცალმხრივი, რადგან ისინი დგანან EF ხაზის ერთ მხარეს.
გარდა ამისა, კუთხეები, წყვილებში აღებისას, იღებენ შემდეგ სახელებს:
β და μ კუთხეებს უწოდებენ შესაბამისი . ამ წყვილის გარდა, იგივე შესაბამისი კუთხეები იქნება კუთხეების წყვილი:γ და ν, α და λ, δ და ρ.
კუთხეების δ და μ, ასევე γ და λ წყვილებს უწოდებენ შიდა ჯვარედინი ტყუილი .
β და ρ კუთხეების წყვილები, ასევე α და ν ეწოდება გარეგანი ჯვარედინი დაწოლა .
კუთხეების γ და μ, ასევე δ და λ წყვილებს უწოდებენ შიდა ცალმხრივი .
β და ν კუთხეების წყვილები, ასევე α და ρ ეწოდება გარე ცალმხრივი .
ორი ხაზის პარალელურად ყოფნის პირობები
თეორემა 37. ორი სწორი წრფე პარალელურია, თუ მესამეს გადაკვეთაზე ისინი ტოლია: 1) შესაბამისი კუთხეები, 2) შიდა ჯვარედინი, 3) გარე ჯვარედინი და, ბოლოს, თუ 4) შინაგანის ჯამი. -გვერდითი უდრის ორ სწორ ხაზს, 5) გარე ცალმხრივი ჯამი უდრის ორ სწორ ხაზს.
მოდით დავამტკიცოთ თეორემის თითოეული ეს ნაწილი ცალ-ცალკე.
1 შემთხვევა. შესაბამისი კუთხეებია(სურ. 62).
მოცემული. β და μ კუთხეები ტოლია.
მტკიცებულება. თუ AB და CD წრფეები გადაიკვეთება Q წერტილში, მაშინ მიიღება სამკუთხედი GQH, რომელშიც გარე კუთხე β უდრის შიდა კუთხეს μ, რაც ეწინააღმდეგება თეორემა 22-ს, შესაბამისად, წრფეები AB და CD არ არის. იკვეთება ან AB || CD (ChTD).
მე-2 შემთხვევა. შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები ტოლია, ანუ δ = μ.
მტკიცებულება. δ = β, როგორც ვერტიკალური, δ = μ ვარაუდით, შესაბამისად β = μ. ანუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია და ამ შემთხვევაში წრფეები პარალელურია (1 შემთხვევა).
მე-3 შემთხვევა. გარე ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები ტოლია, ანუ β = ρ.
მტკიცებულება. β = ρ პირობით, μ = ρ ვერტიკალურად, შესაბამისად β = μ, ვინაიდან შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ეს გულისხმობს, რომ AB || CD (1-ლი შემთხვევა).
მე-4 შემთხვევა. შიდა ცალმხრივი ჯამი უდრის ორ სწორ ხაზსან γ + μ = 2d.
მტკიცებულება. β + γ = 2d როგორც მიმდებარე ერთეულების ჯამი, γ + μ = 2d ვარაუდით. მაშასადამე, β + γ = γ + μ, საიდანაც β = μ. შესაბამისი კუთხეები ტოლია, შესაბამისად, AB || CD.
მე-5 შემთხვევა. გარე ცალმხრივი ჯამი უდრის ორ სწორ ხაზს, ანუ β + ν = 2d.
მტკიცებულება. μ + ν = 2d როგორც მიმდებარე ერთეულების ჯამი, β + ν = 2d ვარაუდით. მაშასადამე, μ + ν = β + ν, საიდანაც μ = β. შესაბამისი კუთხეები ტოლია, შესაბამისად, AB || CD.
ამრიგად, ყველა შემთხვევაში AB || CD (ChTD).
თეორემა 38(უკუ 37). თუ ორი წრფე პარალელურია, მაშინ მათი მესამე წრფის გადაკვეთაზე ტოლი იქნება: 1) შიდა ჯვარედინიანი კუთხეები, 2) გარე ჯვარედინი კუთხეები, 3) შესაბამისი კუთხეები და უდრის ორ სწორ ხაზს 4) ჯამი შიდა ცალმხრივი და 5) გარე ცალმხრივი კუთხეების ჯამი.
მოცემულია ორი პარალელური ხაზი AB და CD, ანუ AB || CD (სურ. 63).
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი პირობა დაკმაყოფილებულია.
1 შემთხვევა. მოდით გადავკვეთოთ ორი პარალელური წრფე AB და CD მესამე ირიბი ხაზით EF. აღნიშნეთ G და H-ით EF წრფის AB და CD წრფეების გადაკვეთის წერტილები. GH წრფის შუა წერტილის O წერტილიდან ვყრით CD წრფეს პერპენდიკულარულს და ვაგრძელებთ მანამ, სანამ არ გადაკვეთს AB წრფეს P წერტილში. წრფე OQ CD-ზე პერპენდიკულარული ასევე AB-ის პერპენდიკულარულია (თეორემა 36). მართკუთხა სამკუთხედები OPG და OHQ ტოლია, რადგან OG = OH აგებულებით, ∠ HOQ= ∠ POG, როგორც ვერტიკალური კუთხეები, შესაბამისად OP = OQ.
აქედან გამომდინარეობს, რომ δ = μ, ე.ი. შიდა ჯვარედინ დაწოლის კუთხეები თანაბარია.
მე-2 შემთხვევა. თუ AB || CD, შემდეგ δ = μ, და ვინაიდან δ = β და μ = ρ, მაშინ β = ρ, ე.ი. გარე ჯვარედინი დაწოლის კუთხეები თანაბარია.
მე-3 შემთხვევა. თუ AB || CD, შემდეგ δ = μ, და რადგან δ = β, მაშინ β = μ, შესაბამისად, შესაბამისი კუთხეები ტოლია.
მე-4 შემთხვევა. თუ AB || CD, შემდეგ δ = μ, და რადგან δ + γ = 2d, მაშინ μ + γ = 2d, ე.ი. შიდა ცალმხრივი ჯამი უდრის ორ სწორ ხაზს.
მე-5 შემთხვევა. თუ AB || CD, შემდეგ δ = μ.
ვინაიდან μ + ν = 2d, μ = δ = β, შესაბამისად ν + β = 2d, ე.ი. გარე ცალმხრივის ჯამი უდრის ორ სწორ ხაზს.
ამ თეორემებიდან გამომდინარეობს შედეგი. წერტილის გავლით, მხოლოდ ერთი წრფის გაყვანა შეიძლება მეორე ხაზის პარალელურად.
თეორემა 39. მესამეს პარალელურად ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია.
მოცემულია სამი ხაზი (სურ. 64) AB, CD და EF, რომელთაგან AB || EF, CD || EF.
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ AB || CD.
მტკიცებულება. მოდით გადავკვეთოთ ეს წრფეები მეოთხე წრფესთან GH.
თუ AB || EF, მაშინ ∠ α = ∠ γ როგორც შესაბამისი. თუ CD || EF, მაშინ ∠ β = ∠ γ ისევე როგორც შესაბამისი. აქედან გამომდინარე, ∠ α = ∠ β .
თუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია, შესაბამისად, AB || CD (ChTD).
თეორემა 40. პარალელური გვერდების მქონე იმავე სახელწოდების კუთხეები ტოლია.
ABC და DEF ერთი და იგივე სახელის (ორივე მწვავე ან ორივე ბლაგვი) კუთხეების გათვალისწინებით, მათი გვერდები პარალელურია, ანუ AB || DE, BC || EF (სურ. 65).
ამის დამტკიცებაა საჭირო ∠ B= ∠ ე.
მტკიცებულება. ჩვენ ვაგრძელებთ DE მხარეს, სანამ არ გადაკვეთს BC წრფეს G წერტილში, შემდეგ
∠ E = ∠ G როგორც შესაბამისი DG მესამე ხაზის BC და EF პარალელურ გვერდების გადაკვეთიდან.
∠ B = ∠ G როგორც BC წრფის AB და DG პარალელური გვერდების გადაკვეთის შესაბამისი, შესაბამისად
∠ E = ∠ B (RTD).
თეორემა 41. საპირისპირო კუთხეები პარალელური გვერდებით ავსებენ ერთმანეთს ორ სწორ ხაზს.
მოცემულია ორი მოპირდაპირე კუთხე ABC და DEF (სურ. 66) პარალელური გვერდებით, შესაბამისად, AB || DE და BC || EF.
საჭიროა დაამტკიცოთ, რომ ABC + DEF = 2d.
მტკიცებულება. ჩვენ ვაგრძელებთ DE ხაზს, სანამ ის არ გადაკვეთს BC წრფეს G წერტილში.
∠B+ ∠ DGB = 2d, როგორც შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი, რომელიც წარმოიქმნება BC მესამე წრფის პარალელური AB და DG გადაკვეთით.
∠ DGB = ∠ DEF, როგორც შესაბამისი, შესაბამისად,
∠B+ ∠ DEF = 2d (PTD).
თეორემა 42. პერპენდიკულარული გვერდების მქონე კუთხეები ტოლია და საპირისპირო კუთხეები ავსებენ ერთმანეთს ორ სწორ ხაზს.
განვიხილოთ ორი შემთხვევა: როდესაც ა) კუთხეები ერთნაირია და როდესაც ბ) ისინი საპირისპიროა.
1 შემთხვევა. ორი იდენტური კუთხის DEF და ABC (ნახ. 67) გვერდები პერპენდიკულარულია, ანუ DE ⊥ AB, EF ⊥ BC.
საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ ∠ DEF = ∠ ABC.
მტკიცებულება. დახაზეთ BM და BN ხაზები B წერტილიდან DE და EF წრფეების პარალელურად ისე, რომ
BM || DE, BN || EF.
ეს ხაზები ასევე პერპენდიკულარულია მოცემული ABC კუთხის გვერდებზე, ე.ი.
BM ⊥ AB და BN ⊥ BC.
როგორც ∠ NBC = d, ∠ MBA = d, შემდეგ
∠NBC= ∠MBA(a)
NBA კუთხისთვის ტოლობის (a) ორივე მხრიდან გამოკლებით, ჩვენ ვპოულობთ
∠ MBN=∠ABC
ვინაიდან კუთხეები MBN და DEF ერთი და იგივე სახელია და პარალელური გვერდებით, ისინი ტოლია (თეორემა 40).
∠ MBN = ∠DEF(ბ)
(a) და (b) განტოლებები გულისხმობს თანასწორობას
∠ ABC = ∠ DEF (phd).
მე-2 შემთხვევა. კუთხეები GED და ABC პერპენდიკულარული გვერდებით საპირისპიროა.
საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ ∠ GED + ∠ ABC = 2d (ნახ. 67).
მტკიცებულება. GED და DEF კუთხეების ჯამი ორი მართი კუთხის ტოლია.
GED + DEF = 2d
DEF = ABC, ასე რომ
GED + ABC = 2d (pthd).
თეორემა 43. სხვა პარალელურ წრფეებს შორის პარალელური წრფეების ნაწილები ტოლია.
მოცემულია ოთხი ხაზი AB, BD, CD, AC (სურ. 68), რომელთაგან AB || CD და BD || AC.
საჭიროა იმის დამტკიცება, რომ AB = CD და BD = AC.
მტკიცებულება. C წერტილის B წერტილთან BC სეგმენტით დაკავშირება, მივიღებთ ორ ტოლ სამკუთხედს ABC და BCD, რადგან
ძვ.წ - საერთო მხარე,
∠ α = ∠ β (როგორც შიდა გადაკვეთა BC მესამე ხაზის AB და CD პარალელური წრფეების კვეთიდან),
∠ γ = ∠ δ (როგორც შიდა ჯვარედინი ხაზები BC წრფის BD და AC პარალელური წრფეების გადაკვეთიდან).
ამრიგად, სამკუთხედებს აქვთ ტოლი გვერდი და მასზე ორი თანაბარი კუთხე.
საპირისპირო ტოლი კუთხეები α და β არის ტოლი გვერდები AC და BD, ხოლო მოპირდაპირე ტოლი კუთხეები γ და δ არის ტოლი გვერდები AB და CD, შესაბამისად,
AC = BD, AB = CD (PTD).
თეორემა 44. პარალელური ხაზები ერთმანეთისგან თანაბრად დაშორებულია მთელ სიგრძეზე.
წერტილის მანძილი წრფედან განისაზღვრება წერტილიდან ხაზამდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის სიგრძით. CD-დან AB-ის პარალელურად A და B წერტილის მანძილის დასადგენად, AC და BD პერპენდიკულარები A და B წერტილებიდან ჩამოვუშვით.
მოცემული წრფე AB CD-ის პარალელურად, წრფის სეგმენტები AC და BD პერპენდიკულარულია CD წრფეზე, ანუ AB || CD, AC ⊥ DC, BD ⊥ CD (სურ. 69).
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ AC = BD.
მტკიცებულება. წრფეები AC და BD, რომლებიც ორივე CD-ზე პერპენდიკულარულია, პარალელურია და, შესაბამისად, AC და BD, როგორც პარალელების ნაწილების პარალელურებს შორის, ტოლია, ანუ AC = BD (phd).
თეორემა 45(უკუ 43). თუ ოთხი გადამკვეთი წრფის საპირისპირო ნაწილები ტოლია, მაშინ ეს ნაწილები პარალელურია.
მოცემულია ოთხი გადამკვეთი სწორი ხაზი, რომელთა საპირისპირო ნაწილები ტოლია: AB = CD და BD = AC (სურ. 68).
საჭიროა დაამტკიცოს, რომ AB || CD და BD || AC.
მტკიცებულება. დააკავშირეთ B და C წერტილები BC წრფესთან. სამკუთხედები ABC და BDC ტოლია, რადგან
ძვ.წ - საერთო მხარე,
AB = CD და BD = AC კონვენციით.
აქედან
∠ α = ∠ β , ∠ γ = ∠ δ
აქედან გამომდინარე,
AC || BD, AB || CD (ChTD).
თეორემა 46. სამკუთხედის კუთხეების ჯამი ორი მართი კუთხის ტოლია.
სამკუთხედი ABC მოცემულია (სურ. 70).
საჭიროა დაამტკიცოთ, რომ A + B + C = 2d.
მტკიცებულება. დახაზეთ CF წრფე C წერტილიდან AB მხარის პარალელურად. C წერტილში იქმნება სამი კუთხე BCA, α და β. მათი ჯამი უდრის ორ სწორ ხაზს:
BCA+ α + β = 2d
α = B (როგორც შიდა ჯვარედინი კუთხეები AB და CF პარალელური წრფეების BC წრფესთან გადაკვეთაზე);
β = A (როგორც შესაბამისი კუთხეები AB და CF წრფეების AD წრფესთან გადაკვეთაზე).
α და β კუთხეების ჩანაცვლება მათი ღირებულებები, ჩვენ ვიღებთ:
BCA + A + B = 2d (phd).
ამ თეორემიდან გამომდინარეობს შემდეგი დასკვნა:
დასკვნა 1. სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის მის მიმდებარე შიდა კუთხეების ჯამს.
მტკიცებულება. მართლაც, 70-იანი ნახატიდან,
∠BCD= ∠ α + ∠ β
ვინაიდან ∠ α = ∠ B, ∠ β = ∠ A, მაშინ
∠BCD= ∠ A + ∠ B.
შედეგი 2. მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხეების ჯამი სწორი კუთხის ტოლია.
მართლაც, მართკუთხა სამკუთხედში (ნახ. 40)
A + B + C = 2d, A = d, აქედან გამომდინარე
B + C = d.
დასკვნა 3. სამკუთხედს არ შეიძლება ჰქონდეს ერთზე მეტი მართი ან ერთი ბლაგვი კუთხე.
შედეგი 4. ტოლგვერდა სამკუთხედში თითოეული კუთხე არის 2/3 d .
მართლაც, ტოლგვერდა სამკუთხედში
A + B + C = 2d.
ვინაიდან A = B = C, მაშინ
3A=2d, A=2/3d.
111*. დახაზეთ პერპენდიკულარი A წერტილიდან სიბრტყემდე, რომელიც მოცემულია: ა) BCD სამკუთხედით (სურ. 109, ა); ბ) კვალი (სურ. 109.6); გ) სამკუთხედი BCD (სურ. 109, გ). ყველა შემთხვევაში ააგეთ პერპენდიკულარის ფუძე მოცემულ სიბრტყეზე.
ამოხსნა, ა) B წერტილის გავლით (სურ. 109, დ) ვხატავთ მოცემული სიბრტყის შუბლის B-1-ს, ხოლო D წერტილის გავლით - ჰორიზონტალურ D-2-ს. წინა. სასურველი პერპენდიკულურის პროექცია გადის "b" 1 "პერპენდიკულარულზე, ხოლო ჰორიზონტალურზე - d-2-ის პერპენდიკულარულის გავლით. სიბრტყეზე პერპენდიკულარული.ვვსვავთ მას ჰორიზონტალურად გამომავალ სიბრტყეში R (ვაყენებთ Rh-ის შემდეგ) და ვპოულობთ გადაკვეთის ხაზს.
ამ სიბრტყის კვეთა სამკუთხედის სიბრტყესთან არის სწორი ხაზი NM. ვიღებთ წერტილს k "- პერპენდიკულარულის ფუძის შუბლის პროექცია - და k"-ით ვპოულობთ k.
ბ) ნახ. 109, წინა. პერპენდიკულარის პროექცია დახატულია მართი კუთხით P ϑ კვალზე, ხოლო ჰორიზონტალური პროექცია არის სწორი კუთხით P h. პერპენდიკულარულის საყრდენის ასაგებად მას (ნახ. 109, გ) ვასკვნით წინა-პროექციულ სიბრტყეში R, ვაშენებთ R და P სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს - სწორი ხაზი MN. ვიღებთ კ წერტილს - ჰორიზონტს. პერპენდიკულარულის ფუძის პროექცია; მისგან ვპოულობთ კ.
გ) ჰორიზონტალური B-1 (ნახ. 109, ა) დახატვით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს სწორი ხაზი x-ღერძის პარალელურია. აქედან ვასკვნით, რომ სამკუთხედის სიბრტყე პროფილ-პროექციულია. ამიტომ, მასზე პერპენდიკულარული არის სწორი პროფილი.
ვაშენებთ სამკუთხედისა და A წერტილის პროფილის პროექციებს. A-დან "ვხატავთ პერპენდიკულარს c" d ". წერტილი k" არის პერპენდიკულარულის ფუძის პროფილის პროექცია. k"-ით ვპოულობთ k"-ს და k-ს იმავე სახელწოდების სასურველი პერპენდიკულურის პროგნოზებზე.
112. იპოვეთ A წერტილიდან გამოყვანილი პერპენდიკულარების ფუძეები:
ა) BC და DE პარალელური ხაზებით განსაზღვრულ სიბრტყეს (სურ. 110, ა);
ბ) SBCD პირამიდის SCD სახის სიბრტყემდე (სურ. 110, ბ);
გ) პირამიდის SBCD სახის SBD სიბრტყემდე (სურ. 110, გ).
113*. ააგეთ CD და EF პარალელური ხაზებით მოცემულ სიბრტყეზე AB წრფის წერტილებიდან ამ სიბრტყემდე გამოყვანილი პერპენდიკულარების ფუძეების ლოკუსი (სურ. 111, ა)
გადაწყვეტილება. წერტილების სასურველი ადგილია (ნახ. 111, ბ) K 1 K 2 სიბრტყეების გადაკვეთის წრფე, 1) მოცემული და 2) მასზე პერპენდიკულარული, დახატული AB სწორი ხაზით.
ჩვენ ვახორციელებთ (სურ. 111, გ) მოცემულ სიბრტყეში ჰორიზონტალურ C-1 და შუბლის C-2. წინა. პერპენდიკულარების პროგნოზები პერპენდიკულარულია c"2-ზე", ხოლო ჰორიზონტალური პროგნოზები c-1-ზე.
წერტილების სასურველი ლოკუსის ასაგებად ვპოულობთ (რიო. 111, დ) დახატული პერპენდიკულარების მოცემულ სიბრტყესთან გადაკვეთის K 1 და K 2 წერტილებს. სწორი ხაზი K 1 K 2 არის სასურველი ადგილი.
114. CDE სამკუთხედით მოცემულ სიბრტყეზე ააგეთ AB წრფის წერტილებიდან ამ სიბრტყემდე გამოყვანილი პერპენდიკულარების ფუძეების ლოკუსი (სურ. 112).
115*. A წვეროდან დახაზეთ ABC სამკუთხედის სიბრტყის პერპენდიკულარი (სურ. 113, ა) და გამოყავით მასზე l სიგრძის სეგმენტი.
გადაწყვეტილება. პერპენდიკულარულის ასაგებად ვხატავთ (ნახ. 113, 6) სამკუთხედის სიბრტყის ჰორიზონტალურ ხაზს A-1 და ფრეიალურ ხაზს A-2; წინა. პერპენდიკულურის პროექცია პერპენდიკულარულია a"2-ზე", ხოლო ჰორიზონტალური პროექცია არის a-1-ზე.
შემდგომი კონსტრუქცია (ნახ. 113, გ) მსგავსია 20-ე ამოცანაში შესრულებულის. ხაზები "d" და ad არის სასურველი სეგმენტის პროგნოზები.
ამ პრობლემას ორი გამოსავალი აქვს. მეორე შემთხვევაში აუცილებელია გავაგრძელოთ პერპენდიკულარული მოცემული სიბრტყის მეორე მხარეს.
116. D წერტილიდან დახაზეთ AB და CD პარალელური წრფეებით მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარი და გამოყავით მასზე l სიგრძის სეგმენტი (სურ. 114).
117*. ააგეთ წერტილების ლოკუსი ზოგიერთი სიბრტყიდან l მანძილზე. მიეცით გამოსავალი იმ შემთხვევებისთვის, როდესაც სიბრტყე მოცემულია სამკუთხედით ABC (ნახ. 115, ა) ან კვალით (ნახ. 115, ბ).
გადაწყვეტილება. წერტილების სასურველი ლოკუსი არის მოცემული სიბრტყის პარალელურად ორი სიბრტყე და მდებარეობს მის ორივე მხარეს l მანძილზე.
ნახ. 115c გვიჩვენებს ერთ ასეთ თვითმფრინავს. ამ სიბრტყის ასაგებად (ნახ. 115, დ), ვხატავთ პერპენდიკულარს ამ სიბრტყის ნებისმიერი წერტილიდან (მაგალითად, C)
სიბრტყეზე (ყურადღება მიაქციეთ, რომ მოცემულ სამკუთხედში გვერდი AC არის ჰორიზონტალური, ხოლო BC არის შუბლის) და მასზე გამოვყოთ სეგმენტი KS სიგრძით l. შემდეგ K წერტილის მეშვეობით (სურ. 115, ე) ვხატავთ სწორ ხაზებს KN და KM, პარალელურად მაინც ABC სამკუთხედის BC და AC გვერდებთან.
თუ თვითმფრინავი მოცემულია კვალით (ნახ. 115, ბ), მაშინ მოსახერხებელია წერტილის აღება ერთ-ერთ კვალზე. ნახ. 115, e, წერტილი N აღებულია კვალი P ϑ . ამ წერტილიდან დახატვა კვადრატის პერპენდიკულარულად. P და მასზე l-ის ტოლი სეგმენტი გამოვყოფთ, K წერტილიდან ვხაზავთ (ნახ. 1 \ 5, გ) ჰორიზონტალურ CD-ს და სასურველი სიბრტყის შუბლის AB-ს.
118. ააგეთ კვადრატიდან დაშორებული წერტილების ლოკუსი. P (სურ. 116) მანძილზე l. მიეცით ორი გამოსავალი.
119*. დახაზეთ BC წრფეზე პერპენდიკულარი A წერტილიდან, სანამ არ გადაიკვეთება EF წრფესთან (სურ. 117, ა).
გადაწყვეტილება. A წერტილიდან გამოყვანილი BC წრფის პერპენდიკულარების ადგილი კვადრატულია. P, რომელიც გადის A წერტილში BC სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად (სურ. 117, ბ). ამ სიბრტყის EF წრფესთან გადაკვეთის K წერტილი არის სასურველი პერპენდიკულარის EF წრფესთან გადაკვეთის წერტილი.
ნახ. 117, ჩვენ დავსახეთ სიბრტყე BC-ზე პერპენდიკულარული, შუბლის AM და ჰორიზონტალური AN. ჩვენ განვსაზღვრავთ ამ სიბრტყესთან EF სწორი ხაზის გადაკვეთის K წერტილს (ნახ. 117, დ), რომელიც მოიცავს EF-ს წინა პროექციულ სიბრტყეში R (დააყენეთ იგი როგორც კვალი R ϑ); k"a" და ka - სასურველი პერპენდიკულარულის პროგნოზები.
120. დახაზეთ პერპენდიკულარი A წერტილიდან BC წრფემდე, სანამ არ გადაკვეთს EF წრფეს (სურ. 118).
121*. A წერტილში გავავლოთ ხაზი, რომელიც კვეთს BC და ED წრფეებს (სურ. 119, ა).
გადაწყვეტილება. A წერტილში გამავალი და ED წრფის გადამკვეთი ხაზების ლოკუსი არის ამ ელემენტებით განსაზღვრული სიბრტყე (ნახ. 119, ბ). თუ ავაშენებთ ასეთ სიბრტყეს და ვიპოვით მისი გადაკვეთის K წერტილს მეორე წრფესთან (BC), მაშინ სასურველი ხაზი გაივლის A და K წერტილებს. ასეთი კონსტრუქცია შესრულებულია ნახ. 119, c და 119, d, სადაც ჯერ A წერტილით განსაზღვრული სიბრტყე და ED წრფე გამოიხატება AED სამკუთხედით, შემდეგ კი ამ სამკუთხედის სიბრტყესთან მეორე წრფის (BC) გადაკვეთის K წერტილი არის. ნაპოვნია.
სასურველი ხაზი გადის A და K წერტილებს და კვეთს ED წრფეს M წერტილში (ნახ. 119.6). რა თქმა უნდა, პროექციის ზუსტი კონსტრუქციით, m და m "უნდა იყოს შეერთების ხაზზე m" m, x ღერძის პერპენდიკულარულად.
ამ პრობლემის გადაჭრა შეიძლება სხვა გზით: აიღეთ ორი სიბრტყე - ერთი განსაზღვრული A წერტილით და ED წრფე (როგორც კეთდება ნახ. 119, c), ხოლო მეორე A წერტილით და BC წრფით. ამ ორი სიბრტყის n გადაკვეთის ხაზი იქნება სასურველი სწორი ხაზი, რომელიც გაივლის A წერტილს და კვეთს BC ED-ში,
122. დახაზეთ A წერტილის გადამკვეთი წრფე:
ა) პირამიდის SBCD ფუძის SD კიდე და BC გვერდი (ნახ. 120, ა),
ბ) პრიზმის ზედა ფუძის კიდე BG და გვერდი EF (სურ. 120.6).
123*. ააგეთ A და B წერტილებისგან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი (სურ. 121, ა).
გადაწყვეტილება. სასურველი ლოკუსი არის სიბრტყე, რომელიც გადის მასზე პერპენდიკულარული AB სეგმენტის შუა წერტილში.
ჩვენ ვყოფთ AB სეგმენტის პროგნოზებს შუაზე (ნახ. 121, ბ). შუა (C წერტილი) გავლით ვხატავთ სასურველი სიბრტყის ჰორიზონტალურ CD ⊥ AB და შუბლის CE ⊥ AB (ნახ. 121, გ). იმისათვის, რომ ეს სიბრტყე კვალის სახით გამოვხატოთ, უნდა მიუთითოთ პროგნოზების ღერძი და ავაშენოთ მინიმუმ ფრონტი. ჰორიზონტალური კვალი (პუნქტი N, სურ. 121, ა) და მისი მეშვეობით გავავლოთ შესაბამისი კვალი pl. გვ. კვალი Р ϑ ⊥ a"b", და კვალი P h ⊥ ab (ან || nс).
124. ააგეთ A და B წერტილებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი (სურ. 122, a და b). პირველ შემთხვევაში გაეცით პასუხი უკვალოდ, ხოლო მეორეში - კვალდაკვალ.
125*. ააგეთ K წერტილის გამოტოვებული პროექცია, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული A და B წერტილებისგან (სურ. 123, ა).
გადაწყვეტილება. ვინაიდან A და B წერტილებიდან თანაბარი დაშორებული სივრცეში ყველა წერტილის ლოკუსი არის სიბრტყე, რომელიც გადის მასზე პერპენდიკულარული AB სეგმენტის შუა წერტილში, წერტილი K უნდა ეკუთვნოდეს ამ სიბრტყეს.
ნახ. 123b, ასეთი სიბრტყე განისაზღვრება შუბლის CE და ჰორიზონტალური CD, რომელიც გადის AB სეგმენტის შუაში.
ვხატავთ (სურ. 123, გ) k "წინ. პროექცია" 1" ჰორიზონტალურ სიბრტყემდე და ვაშენებთ მის ჰორიზონტალურ პროექციას, რომელზედაც აღვნიშნავთ k წერტილს - K- წერტილის სასურველ პროექციას.
126. ააგეთ CD სეგმენტის გამოტოვებული პროექცია, რომლის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული A და B წერტილებისგან (სურ. 124).
127*. ააგეთ სიბრტყეზე ორი მოცემული A და B წერტილიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი: ა) სიბრტყე მოცემულია პარალელური ხაზებით (სურ. 125, ა); ბ) სიბრტყე მოცემულია კვალით (სურ. 125, ბ).
გადაწყვეტილება. ვინაიდან A და B წერტილებიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ადგილი არის სიბრტყე, რომელიც გადის AB სეგმენტის შუაზე მასზე პერპენდიკულარული (ნახ. 125, c), სასურველი ლოკუსი იქნება ამ სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი მოცემულთან ( სწორი ხაზი MN).
ნახ. 125, d, AB სეგმენტის პერპენდიკულარული სიბრტყე მის შუაში გამოიხატება შუბლის KS და ჰორიზონტალური TS.
ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი, რაც ხდება DE და FG წრფეების გადაკვეთის წერტილების მოძიებით (ნახ. 125, e), მოცემული სიბრტყის განსაზღვრით, ჰორიზონტალური TS-ით გამოხატული სიბრტყით და შუბლის KS (იხ. ამოცანა 86).
ნახ. 125, e სიბრტყე Q, მის შუაში AB სეგმენტზე პერპენდიკულარული, გამოიხატება კვალით. ვპოულობთ P და Q სიბრტყეების ერთგვაროვანი კვალის გადაკვეთის M და N წერტილებს და მათში ვატარებთ სასურველ ხაზს MN (სურ. 125, გ).
128. ააგეთ A და B წერტილებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი:
ა) CDE სამკუთხედით განსაზღვრულ სიბრტყეზე (სურ. 126, ა);
ბ) მოედანზე. P (ნახ. 126, ბ).
129* მოყვანილია CDE სამკუთხედის სიბრტყე და სწორი AB (სურ. 127, ა). ამ სიბრტყეში დახაზეთ ხაზი, რომელიც კვეთს AB-ს მართი კუთხით.
გადაწყვეტილება. სასურველი ხაზი აღმოჩნდება (სურ. 127, ბ) სამკუთხედის (P) სიბრტყის გადაკვეთის ხაზად pl. Q, AB-ზე პერპენდიკულარული და გადის AB-ის მოცემულ სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილში (K).
ამიტომ ვპოულობთ (სურ. 127, გ) AB წრფის გადაკვეთის K წერტილს CDE სამკუთხედის სიბრტყესთან. დამხმარე სიბრტყედ აღებული იქნა AB წრფივი ხაზით გავლებული ფროფოპროექტირების სიბრტყე R. k და k პროექციების აღმოჩენის შემდეგ, მათში ვხატავთ AB-ზე პერპენდიკულარული სიბრტყის ჰორიზონტალური და წინა ნაწილის პროექციებს (ნახ. 127, დ). სიბრტყეების გადაკვეთის სასურველი ხაზის ასაგებად ვპოულობთ (ნახ. 127, ე) წერტილი (მ"; მ) გვერდითი სამკუთხედის ED კვეთის სიბრტყეს K წერტილის გავლით. ხაზი MK (m "k"; mk) არის სასურველი ხაზი
130. მოცემულია AB წრფე და CD და EF პარალელური წრფეებით განსაზღვრული სიბრტყე. დახაზეთ ამ სიბრტყეში სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს AB სწორ ხაზს მარჯვენა კუთხით (სურ. 128).
131. მოცემულია სწორი AB და pl. R. ამ სიბრტყეში დახაზეთ სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს AB წრფეს მარჯვენა კუთხით (სურ. 129).
132*. მოცემულია LMN სამკუთხედის სიბრტყე და AE და FG წრფეები. ააგეთ პარალელოგრამი, რომლის გვერდი AD დევს AE წრფეზე, გვერდი AB პარალელურია სამკუთხედის სიბრტყის პარალელურად, B წვერო ეკუთვნის FG წრფეს, დიაგონალი BD არის AD გვერდის პერპენდიკულარული (ნახ. 130, a).
გადაწყვეტილება. გამოვსახოთ ამოხსნის გეგმა (სურ. 130, ბ და გ).
1. A წერტილის გავლით გაიარეთ სიბრტყე (P) სამკუთხედის LMN სიბრტყის პარალელურად.
2. იპოვეთ FG წრფის გადაკვეთის წერტილი (B) pl. რ.
3. B წერტილის გავლით დახაზეთ სიბრტყე (Q) AE წრფეზე პერპენდიკულარული.
4. იპოვეთ AE წრფის გადაკვეთის წერტილი (D) pl. ქ.
5. დახაზეთ AB მონაკვეთი და მის პარალელურად სწორი ხაზი D წერტილის გავლით, ხოლო B-ის გავლით - AD-ის პარალელურად სწორი ხაზი.
ნახ. 130, c და d გვიჩვენებს კვადრატის აგებულებას. P სამკუთხედის LMN სიბრტყის პარალელურად. pl. P წერტილი A-მდე მოცემულია ორი A-1 და A-2 გადამკვეთი წრფეებით, რომელთაგან A-1 პარალელურია LM-ის, ხოლო A-2 არის LN-ის პარალელურად.
იგივე ფიგურები აჩვენებს FG წრფის გადაკვეთის B წერტილის pl. P, რომლისთვისაც ფრონტალურად პროექციული სიბრტყე S არის დახატული FG-ს მეშვეობით, მოცემული S ϑ კვალით. ჰორიზონტი. P და S სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის 1-2 პროექცია კვეთს ჰორიზონტს. პროექცია fg ბ წერტილში. b წერტილიდან ვპოულობთ b"-ის პროექციას f"g-ზე".
ნახ. 130, d გვიჩვენებს კვადრატის აგებულებას. Q AE-ს პერპენდიკულარული. ეს სიბრტყე დახაზულია B წერტილის გავლით და გამოიხატება ჰორიზონტალური B-4 და შუბლის B-3, AE-ზე პერპენდიკულარული. იმავე ნახატზე ნაჩვენებია D წერტილის აგება, რომელშიც AE წრფე კვეთს pl. Q გამოხატული ჰორიზონტალური B-4 და შუბლის B-3.
ჰორიზონტალურად გამომავალი სიბრტყე T დახატულია AE-ს მეშვეობით, გამოხატული მისი კვალით T h , აგებულია T და Q სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის 3-4 და 3"4" პროექციები და d" და d პროგნოზები.
ნახ. 130, e გვიჩვენებს სასურველი პარალელოგრამის კონსტრუქციას, რომლისთვისაც პარალელოგრამის ორი გვერდის a "b" და ab, "d" და ad პროექციები, შემდეგ კი b "c" || ა"დ"; ძვ.წ. || რეკლამა; d"c" || a "b და dc || ab. c და c წერტილები უნდა იყოს cc რგოლზე", x ღერძის პერპენდიკულარულად.
133. მოცემულია სამკუთხედი LMN და წრფეები AE და FG. ააგეთ პარალელოგრამი, რომლის გვერდი AD დევს AE წრფეზე, გვერდი AB პარალელურია სამკუთხედის სიბრტყის პარალელურად, B წვერო ეკუთვნის FG წრფეს, BD დიაგონალი AD გვერდის პერპენდიკულარულია (სურ. 131).
134*. A წერტილის გავლით დახაზეთ კვადრატის პარალელურად. P და CDE სამკუთხედის სიბრტყე (სურ. 132, ა).
გადაწყვეტილება. თუ სასურველი ხაზი ერთდროულად უნდა იყოს ორი სიბრტყის პარალელურად, მაშინ ის პარალელურად უნდა იყოს ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის პარალელურად.
(ბრინჯი, 132, ბ). წარმოგიდგენთ ორ დამხმარე თვითმფრინავს T და S, ვპოულობთ MN სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს (ნახ. 132, გ). b "f" და bf სასურველი წრფის პროექციები გადის a"-ზე და პარალელურად მათთან ამავე სახელწოდების MN წრფის პროექციებისა (სურ. 132, დ).
i3s. A წერტილის გავლით დახაზეთ კვადრატის პარალელურად. P და DE და DF გადამკვეთი ხაზებით მოცემული სიბრტყე (სურ. 133).
136. A წერტილის გავლით კვადრატის პარალელურად დახაზეთ სწორი ხაზი. P და პარალელური ხაზებით DE და FG მოცემული სიბრტყე (ნახ. 134).
137*. დახაზეთ სწორი ხაზები, რომელთაგან თითოეული გამოყოფილია კვადრატიდან. P დაშორებით l 1, ხოლო სიბრტყიდან, რომელიც მოცემულია BC სწორი ხაზით და A წერტილით, l 2 მანძილზე (სურ. 135, ა).
გადაწყვეტილება. გამოსავალი ეფუძნება სწორი ხაზების ლოკუსის იდეას, რომლებიც დაშორებულია მოცემული სიბრტყიდან გარკვეული მანძილით, ანუ მოცემული სიბრტყის პარალელურად.
სასურველი ხაზები არის ორი სიბრტყის Q გადაკვეთის MN წრფეები, კვადრატის პარალელურად. P და მდებარეობს მის ორივე მხარეს. მანძილი l 1, ორით
სიბრტყეები S მოცემული სიბრტყეებიდან მეორეს პარალელურად და მისგან დაშორებული l 2 მანძილით. სულ შეიძლება იყოს ოთხი ასეთი ხაზი. ნახ. 135b გვიჩვენებს ერთ-ერთ მათგანს.
ნახ. 135, c გვიჩვენებს: 1) კვადრატის პერპენდიკულარულის დახატვა. P მასში აღებული M 1 წერტილიდან და K 1 წერტილის აგება ამ პერპენდიკულარზე M 1 K 1 \u003d l 1 მანძილზე; 2) A წერტილით მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარული დახაზვა და BC სწორი ხაზი A წერტილიდან (ჰორიზონტალური ხაზის A-2 და წინა ხაზის A-3 გამოყენებით) და K 2 წერტილის აგება ამ პერპენდიკულარზე AK 2 \u003d მანძილზე ლ 2
ნახ. 135, d გვიჩვენებს გავლას K 1 pl.Q წერტილით pl-ის პარალელურად. P და K 2 სიბრტყის წერტილის გავლით, რომელიც გამოხატულია ჰორიზონტალური K 2 5 და შუბლის K 2 6, შესაბამისად, ჰორიზონტალური A-2 და შუბლის A-3 პარალელურად, რომლებიც მიეკუთვნება A წერტილით მოცემულ სიბრტყეს და სწორი ხაზი ძვ.წ.
ნახ. 135, d a line of intersection of pl. Q და სიბრტყე S, გამოხატული ჰორიზონტალური K 2 5 და შუბლის K 2 6. შედეგად მიღებული ხაზი MN პარალელურია ორივე მოცემული სიბრტყის.
138. დახაზეთ ერთ-ერთი სწორი ხაზი, კვადრატიდან დაშორებული. P დაშორებით l 1 და ABC სამკუთხედის სიბრტყიდან l 2 მანძილზე (სურ. 136).
139*. დახაზეთ წრფე, რომელიც კვეთს მოცემულ AB და CD წრფეებს და პარალელურია EF წრფესთან (სურ. 137, ა).
გადაწყვეტილება. გამოვსახოთ პრობლემის გადაჭრის გეგმა (რნ. 137, ბ).
1. დახაზეთ სიბრტყე (Q) CD ხაზის გასწვრივ EF წრფის პარალელურად.
2. იპოვეთ წერტილი (K), რომელზეც AB წრფე კვეთს კვადრატს. ქ.
3. დახაზეთ წრფე (KM) K წერტილის გასწვრივ მოცემული EF წრფის პარალელურად.
ნახ. 137, სკვერის მშენებლობაში ნაჩვენებია. Q, რომელიც გადის წრფე CD და პარალელური ხაზი EF Pl. Q გამოიხატება წრფე CD და DG წრფივი, რომელიც კვეთს მას, გაყვანილია EF-ის პარალელურად D წერტილით.
ნახ. 137, c გვიჩვენებს K წერტილის კონსტრუქციას, რომელშიც სწორი AB კვეთს კვადრატს. Q. AB ხაზი ჩასმულია შუბლზე გამომავალ სიბრტყეში R, რომელიც გამოიხატება მისი კვალით R ϑ. pl. R კვეთს მოედანს. Q სწორი ხაზით 1-2. 1-2-ისა და აბ-ის გადაკვეთაზე მიიღება k-ის პროექცია; k წერტილით ვპოულობთ წინა მხარეს. პროექცია k".
საბოლოოდ, ნახ. 137, d გვიჩვენებს სასურველი ხაზის კმ და კ "მ" პროგნოზებს: k "m" || e"f" და კმ || ეფ. რა თქმა უნდა, პროგნოზები m "და m უნდა იქნას მიღებული კავშირის ხაზზე m" m, x-ღერძის პერპენდიკულარულად.
140. დახაზეთ წრფე, რომელიც კვეთს მოცემულ AB და CD წრფეებს და პარალელურია EF წრფესთან (სურ. 138).
141. დახაზეთ წრფე, რომელიც კვეთს მოცემულ AB და CD წრფეებს EF წრფის პარალელურად (სურ. 139).
142*. მოცემული ხაზები EF, MN, KL და HI. ააგეთ ABCD მართკუთხედი, რომელშიც AB გვერდი პარალელურია EF წრფესთან, A წვერო დევს წრფეზე KL, წვერო B მდებარეობს MN წრფეზე და წვერო C მდებარეობს HI წრფეზე (ნახ. 140, a).
გადაწყვეტილება. მხარე AB უნდა კვეთდეს KL და MN და იყოს EF-ის პარალელურად (იხ. ამოცანა 139).
თუ (სურ. 140.6) KL-ზე მდებარე G წერტილიდან მაინც გავავლოთ EF-ის პარალელურად სწორი ხაზი, მაშინ მივიღებთ pl. Q EF-ის პარალელურად. შემდეგი, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ სიბრტყის გადაკვეთის B წერტილი MN წრფესთან და B წერტილის გავლით მიაპყროთ კვადრატს. Q. სწორი ხაზი EF-ის პარალელურად. ეს ხაზი AB კვეთს ხაზებს MN და KL და არის EF-ის პარალელურად.
კონსტრუქცია ნაჩვენებია ნახ. 140 წ. ვინაიდან BC და AB გვერდები ერთმანეთის პერპენდიკულარული უნდა იყოს, ვხატავთ (სურ. 140, გზამკვლევი) B pl წერტილიდან. P, AB გვერდის პერპენდიკულარული და ააგეთ მისი გადაკვეთის C წერტილი HI წრფესთან.
გაავლეთ ხაზები A და C წერტილებში (სურ. 140, d და e), BC და AB წრფეების პარალელურად, სანამ ისინი არ იკვეთება D წერტილში.
143.. მოცემულია პირამიდა SEFG და ხაზი MN (სურ. 141). ააგეთ ABCD მართკუთხედი AB გვერდით MN წრფის პარალელურად, A წვერო დევს SF კიდეზე, AB წვერო დევს EG ფუძის მხარეს, წვერო D დევს SE კიდეზე.
144. მოცემულია პირამიდა SEFG და ხაზი MN (სურ. 142). ააშენეთ ABCD მართკუთხედი AB გვერდით MN წრფის პარალელურად, A წვერო დევს SG კიდეზე, წვერო B დევს EF კიდეზე და წვერო D დევს SF კიდეზე.
145*. გაავლეთ ხაზი A წერტილის გავლით ED და FG პარალელური წრფეებით მოცემულ სიბრტყის პარალელურად და BC წრფეს კვეთს (სურ. 143, a).
გადაწყვეტილება. პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ შეადგინოთ შემდეგი გეგმა (სურ. 143, ბ):
1) დახაზეთ სიბრტყე (P) A წერტილის გავლით მოცემული სიბრტყის პარალელურად;
2) იპოვნეთ კვადრატზე თვითმფრინავის გადაკვეთის წერტილი (K). R;
3) დახაზეთ სასურველი ხაზი AK.
ნახ. 143, pl. A წერტილით დახატული P გამოიხატება სწორი ხაზით AM || ED (a "m" || e "d", am || ed) და ჰორიზონტალური AN, ჰორიზონტის შესანარჩუნებლად. რომლის პროგნოზები
ჰორიზონტალური E-1 აღებულია ED და FG (an || ef) ხაზებით განსაზღვრულ სიბრტყეში. ნახ. 143, d გვიჩვენებს K წერტილის აგებულებას, რომელშიც მოცემული BC წრფე კვეთს კვადრატს. R: ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყე დახატულია BC (ეს არის გამოხატული
R ϑ-ის შემდეგ, აგებულია 2 "3" და 2-3 სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზის პროგნოზები P და R, წერტილი k მიიღება 2-3 და bс წრფის გადაკვეთაზე. კ პროექციით მოიძებნება პროექცია k. სასურველი წრფის პროექცია a "k" და ak.
146. A წერტილის გავლით (სურ. 144) გაავლეთ კვადრატის პარალელურად სწორი ხაზი. P და გადამკვეთი ხაზი BC.
147. A წერტილის გავლით (სურ. 145) გავავლოთ ხაზი DE და DF გადამკვეთი წრფეების მიერ მოცემული სიბრტყის პარალელურად და BC წრფეზე.
148*. ააგეთ A, B და C წერტილებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი (სურ. 146, a),
გადაწყვეტილება. სასურველი გეომეტრიული ადგილია P და Q სიბრტყეების MN გადაკვეთის ხაზი MN (ნახ. 146, ბ), შესაბამისად, AB და BC სეგმენტების პერპენდიკულარული და ამ სეგმენტების შუა წერტილებში K 1 და K 2 წერტილებში გამავალი. ნახ. 146, ეს
თვითმფრინავები გამოიხატება მათი კვალით. (სურ. 146, დ) სიბრტყეების ამავე სახელწოდების კვალის გადაკვეთის წერტილების გამოყენებით ვაშენებთ მათი გადაკვეთის MN ხაზს.
149. ააგეთ A, B და C წერტილებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი (სურ. 147).
150*. სამკუთხედი ABC მოცემულია (სურ. 148, ა). ააგეთ პირამიდა SABC, რომლის S წვერო თანაბრად არის დაშორებული A, B და C წერტილებიდან. მანძილი S წერტილიდან კვადრატამდე. V არის 1,7 ჯერ მისი მანძილი კვადრატამდე. ნ.
გადაწყვეტილება. A, B და C წერტილებიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ლოკუსი (იხ. ამოცანა 148 *) არის MN სიბრტყეების Q და P გადაკვეთის ხაზი, გავლებული მათზე პერპენდიკულარული AB და BC სეგმენტების შუა წერტილებში (K 1 და K 2). (სურ. 148, ბ და გ). წვერო S უნდა იყოს ამ ხაზზე. წერტილების ლოკუსი, რომლის ორდინატი 1,7-ჯერ აღემატება აპლიკაციას, არის ღერძული სიბრტყე T; მისი პროფილის კვალი T ω გადის (სურ. 148, გ) წერტილი O და წერტილი, რომლის მანძილი
y ღერძი არის 10 ერთეული, ხოლო z ღერძამდე 17 ერთეული. წერტილი S ეკუთვნის ამ სიბრტყეს. პროფილის პროექცია s "პირამიდის მწვერვალზე მდებარეობს m" n" გადაკვეთაზე T ω კვალით (სურათზე, ნახაზის გასამარტივებლად, აგებულია MN სწორ ხაზზე მდებარე D წერტილის პროფილის პროექცია. s-დან ვხვდებით s-ს და s-ს. სურ. 148-ზე ნაჩვენებია სასურველი პირამიდის d პროგნოზები.
151. მოყვანილია სამკუთხედი ABC (სურ. 149). ააგეთ SABC პირამიდის პროექციები, რომლის წვეროც S თანაბრად არის დაშორებული ABC-ის ფუძის წვეროებიდან და დევს კვადრატში. ვ.
152*. მოცემულია A, L, M და N წერტილები (სურ. 150, ა). ააგეთ პარალელოგრამი ABCD, რომლის წვერო B დევს კვადრატზე. H, გვერდითი CD - სწორ ხაზზე, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული L, M და N წერტილებიდან, D წვერო თანაბარი მანძილით დაშორებული V და H სიბრტყეებიდან.
გადაწყვეტილება. ვინაიდან სასურველი პარალელოგრამის გვერდითი CD უნდა იყოს სამი წერტილიდან თანაბარი მანძილის სწორ ხაზზე, ვიწყებთ ამ სწორი ხაზის აგებით. მსგავსი კონსტრუქცია უკვე შეგვხვდა: სწორი EF მიიღება, როგორც ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი (ნახ. 150, 6 და გ) P და Q, რომლებიც დახატულია LM და MN სეგმენტების პერპენდიკულურად მათი შუა წერტილებით. ამ ხაზის D წერტილი იპოვება იმ პირობით, რომ
ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული კვადრატიდან. V და pl. H (სურ. 150, d): ვხატავთ დამხმარე წრფეს f "5 f წერტილის გავლით x ღერძის იმავე კუთხით, როგორც სწორი f" e ", ვიღებთ d წერტილს პროექციაზე ef და მის გასწვრივ d", უფრო მეტიც, d "6 = d-6.
ამრიგად, მივიღეთ საჭირო პარალელოგრამის ერთ-ერთი წვერო (დ წერტილი) და ამ წერტილში გამავალი მხარის მიმართულება (სწორი ხაზი EF). მოცემულის გავლით
წერტილი A არის სწორი ხაზი EF-ის პარალელურად, ვიღებთ AB მხარეს, რადგან ვიცით, რომ B წერტილი უნდა იყოს კვადრატში. ნ.
რჩება პარალელოგრამის პროექციების აგების დასრულება "b" და ab (ნახ. 150.6), b "c" || a"d" და bc || რეკლამა წერტილები c" და c უნდა იყოს "c"-სთან კავშირის ხაზზე, x ღერძის პერპენდიკულარულად.
153. მოცემულია A, L, M და N წერტილები (სურ. 151). ააგეთ პარალელოგრამი ABCD, რომლის წვერო B დევს კვადრატზე. H, გვერდითი CD დევს სწორ ხაზზე, რომელიც თანაბარი დაშორებულია L, M და N წერტილებისგან, წვერო D არის თანაბარი მანძილისგან pl. V და pl.H
154. მოყვანილია სამკუთხედი ABC (სურ. 152). ააგეთ SABC პირამიდის პროექციები, რომლის წვერო A, B და C წერტილებისგან თანაბარი მანძილითაა დაშორებული და კვადრატიდან თანაბარ მანძილზეა. V და pl. ჰ.
წრფის გადაკვეთა სიბრტყესთან და ორი სიბრტყის გადაკვეთა
სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის აგება საპროექტო სიბრტყესთანმცირდება დიაგრამაზე წერტილის მეორე პროექციის აგებამდე, რადგან წერტილის ერთი პროექცია ყოველთვის დევს საპროექციო სიბრტყის კვალზე, რადგან ყველაფერი, რაც საპროექტო სიბრტყეშია, პროეცირდება სიბრტყის ერთ-ერთ კვალზე. ნახ. 224,a გვიჩვენებს EF სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის აგებას ABC სამკუთხედის ფრონტალურ სიბრტყესთან (V სიბრტყეზე პერპენდიკულარული) V სიბრტყეზე ABC სამკუთხედი დაპროექტებულია a "c" სეგმენტში. სწორი ხაზის და წერტილი k "იყოს ამ წრფეზე და იქნება e "f"-ის "c"-სთან გადაკვეთის წერტილში. ჰორიზონტალური პროექცია აგებულია პროექციის კავშირის ხაზის გამოყენებით. ხილვადობა a. სწორი ხაზი ABC სამკუთხედის სიბრტყესთან მიმართებით განისაზღვრება ABC სამკუთხედის პროექციების ფარდობითი პოზიციით და სწორი EF სიბრტყეზე V სიბრტყეზე. ნახვის მიმართულება ნახაზზე 224, a მითითებულია ისრით ეს განყოფილება. ხილული იქნება სწორი ხაზის, რომლის შუბლის პროექცია სამკუთხედის პროექციის ზემოთ არის. k წერტილიდან მარცხნივ სწორი ხაზის პროექცია არის სამკუთხედის პროექციის ზემოთ, შესაბამისად, ეს მონაკვეთი ჩანს. H თვითმფრინავში.
ნახ. 224, b, სწორი EF კვეთს ჰორიზონტალურ სიბრტყეს P. შუბლის პროექცია k "პუნქტის K - EF სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილი P სიბრტყესთან - იქნება პროექციის e გადაკვეთის წერტილში" f "სიბრტყის Pv კვალით, ვინაიდან ჰორიზონტალური სიბრტყე არის წინაპროექციული სიბრტყე. K წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია k გვხვდება საპროექციო შეერთების ხაზის გამოყენებით.
ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის აგებამცირდება ამ ორი სიბრტყისთვის საერთო ორი წერტილის პოვნამდე. ეს საკმარისია გადაკვეთის ხაზის ასაგებად, რადგან გადაკვეთის ხაზი არის სწორი ხაზი, ხოლო სწორი ხაზი განისაზღვრება ორი წერტილით. როდესაც საპროექტო სიბრტყე კვეთს სიბრტყეს ზოგად პოზიციაზე, გადაკვეთის ხაზის ერთ-ერთი პროექცია ემთხვევა იმ სიბრტყის კვალს, რომელიც მდებარეობს პროექციების სიბრტყეში, რომელზედაც საპროექტო სიბრტყე პერპენდიკულარულია. ნახ. 225, და MN გადაკვეთის ხაზის შუბლის პროექცია m "n" ემთხვევა ფრონტალური პროექციის სიბრტყის P კვალს და ნახ. 225b, ჰორიზონტალური პროექცია kl ემთხვევა ჰორიზონტალურად გამომავალი სიბრტყის R-ის კვალს. გადაკვეთის ხაზის სხვა პროგნოზები აგებულია საპროექციო კავშირის ხაზების გამოყენებით.
წრფის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილის აგებაზოგადი პოზიცია (ნახ. 226, ა) შესრულებულია დამხმარე საპროექციო სიბრტყის R გამოყენებით, რომელიც დახატულია მოცემული სწორი ხაზით EF. აგებულია R დამხმარე სიბრტყის 12 გადაკვეთის ხაზი ABC სამკუთხედის მოცემულ სიბრტყესთან, R სიბრტყეში მიიღება ორი სწორი ხაზი: EF - მოცემული ხაზი და 12 - გადაკვეთის აგებული ხაზი, რომლებიც იკვეთება K წერტილში. .
K წერტილის პროგნოზების პოვნა ნაჩვენებია ნახ. 226ბ. კონსტრუქციები ხორციელდება შემდეგი თანმიმდევრობით.
დამხმარე ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყე R გამოყვანილია სწორი EF ხაზით. მისი კვალი R H ემთხვევა EF სწორი ხაზის ჰორიზონტალურ პროექციას.
R სიბრტყის 12 გადაკვეთის ხაზის შუბლის პროექცია 1"2" სამკუთხედის ABC მოცემულ სიბრტყესთან აგებულია საპროექციო ხაზების გამოყენებით, ვინაიდან ცნობილია გადაკვეთის ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია. იგი ემთხვევა R სიბრტყის R H ჰორიზონტალურ კვალს.
განისაზღვრება K წერტილის ფრონტალური პროექცია k", რომელიც მდებარეობს ამ სწორი ხაზის შუბლის პროექციის გადაკვეთაზე გადაკვეთის ხაზის 1"2" პროექციასთან. წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია აგებულია პროექციის გამოყენებით. კავშირის ხაზი.
ABC სამკუთხედის სიბრტყის მიმართ წრფის ხილვადობა განისაზღვრება კონკურენტი წერტილების მეთოდით. პროექციების შუბლის სიბრტყეზე სწორი ხაზის ხილვადობის დასადგენად (ნახ. 226, ბ) ვადარებთ 3 და 4 წერტილების Y კოორდინატებს, რომელთა შუბლის პროგნოზები ემთხვევა ერთმანეთს. მე-3 წერტილის Y-კოორდინატი, რომელიც დევს BC წრფეზე, ნაკლებია მე-4 წერტილის Y-კოორდინატზე, რომელიც დევს EF წრფეზე. შესაბამისად, წერტილი 4 უფრო ახლოს არის დამკვირვებელთან (ხედვის მიმართულება მითითებულია ისრით) და სწორი ხაზის პროექცია გამოსახულია ხილულ სიბრტყეზე V. ხაზი გადის სამკუთხედის წინ. K წერტილიდან მარცხნივ წრფე დახურულია ABC სამკუთხედის სიბრტყით.
ხილვადობა ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე ნაჩვენებია 1 და 5 წერტილების Z კოორდინატების შედარებით. ვინაიდან Z 1 > Z 5 , წერტილი 1 ჩანს. მაშასადამე, 1 წერტილიდან მარჯვნივ (K წერტილამდე) ხაზი EF უხილავია.
ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის ასაგებად გამოიყენება დამხმარე სეკანტური სიბრტყეები. ეს ნაჩვენებია ნახ. 227 ა. ერთი სიბრტყე მოცემულია სამკუთხედით ABC, მეორე მოცემულია პარალელური ხაზებით EF და MN. მოცემულ სიბრტყეებს (სურ. 227, ა) კვეთს მესამე დამხმარე სიბრტყე. მშენებლობის სიმარტივის მიზნით, ჰორიზონტალური ან ფრონტალური სიბრტყეები აღებულია დამხმარე თვითმფრინავებად. AT ამ საქმესდამხმარე სიბრტყე R არის ჰორიზონტალური სიბრტყე. იგი კვეთს მოცემულ სიბრტყეებს 12 და 34 სწორ ხაზებზე, რომლებიც გადაკვეთაზე იძლევა K წერტილს, რომელიც ეკუთვნის სამივე სიბრტყეს და, შესაბამისად, ორ მოცემულ სიბრტყეს, ანუ მოცემული სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე დევს. მეორე წერტილი გვხვდება Q მეორე დამხმარე სიბრტყის გამოყენებით. ნაპოვნი ორი წერტილი K და L განსაზღვრავს ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზს.
ნახ. 227b, დამხმარე სიბრტყე R მოცემულია შუბლის გაღვიძებით. R სიბრტყის 1 "2" და 3"4 გადაკვეთის ხაზების შუბლის პროგნოზები მოცემულ სიბრტყეებთან ემთხვევა Rv სიბრტყის შუბლის კვალს, რადგან სიბრტყე R პერპენდიკულარულია V სიბრტყის და ყველაფერი, რაც არის. მასში (გადაკვეთის ხაზების ჩათვლით) დაპროექტებულია მის შუბლის კვალზე Rv. ამ ხაზების ჰორიზონტალური პროექციები აგებულია საპროექციო კავშირის ხაზების გამოყენებით, რომლებიც შედგენილია 1", 2", 3", 4" წერტილების ფრონტალური პროექციებიდან კვეთამდე. შესაბამისი ხაზების ჰორიზონტალური პროექციებით 1, 2, 3, 4 წერტილებზე. აგებული გადაკვეთის ხაზების ჰორიზონტალური პროექციები ვრცელდება მანამ, სანამ ისინი ერთმანეთს გადაკვეთენ k წერტილში, რაც არის K წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია, რომელიც ეკუთვნის ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი. ამ წერტილის შუბლის პროექცია არის კვალზე Rv.
გადაკვეთის წრფეს მიკუთვნებული მეორე წერტილის ასაგებად ასახულია მეორე დამხმარე სიბრტყე Q. კონსტრუქციის მოხერხებულობისთვის სიბრტყე Q იხატება C წერტილის R სიბრტყის პარალელურად. შემდეგ ხაზების ჰორიზონტალური პროექციების აგება. სიბრტყის Q გადაკვეთის ABC სამკუთხედის სიბრტყესთან და პარალელური წრფეებით მოცემულ სიბრტყეში, საკმარისია იპოვო ორი წერტილი: c და 5 და გაავლო სწორი ხაზები მათში 12 კვეთის ხაზების ადრე აგებული პროგნოზების პარალელურად. 34, რადგან სიბრტყე Q ║ R. ამ წრფეების გაგრძელებამდე, სანამ ისინი ერთმანეთს არ გადაიკვეთებიან, მიიღება L წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია, რომელიც მიეკუთვნება მოცემული სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს. L წერტილის შუბლის პროექცია l" დევს Q v კვალზე და აგებულია პროექციის შეერთების ხაზის გამოყენებით. K და L წერტილების ამავე სახელწოდების პროექციების შეერთებით მიიღება სასურველი გადაკვეთის ხაზის პროექციები. .
თუ ავიღებთ წრფეს ერთ-ერთ გადამკვეთ სიბრტყეში და ავაშენებთ ამ წრფის სხვა სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილს, მაშინ ეს წერტილი მიეკუთვნება ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს, ვინაიდან იგი ორივე მოცემულ სიბრტყეს ეკუთვნის. მეორე წერტილიც ანალოგიურად ავაშენოთ, შეგვიძლია ვიპოვოთ ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი, ვინაიდან სწორი ხაზის ასაგებად ორი წერტილია საკმარისი. ნახ. 228 გვიჩვენებს სამკუთხედებით მოცემული ორი სიბრტყის გადაკვეთის წრფის ასეთ კონსტრუქციას.
ამ კონსტრუქციისთვის აღებულია სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი და აგებულია ამ გვერდის გადაკვეთის წერტილი მეორე სამკუთხედის სიბრტყესთან. თუ ეს ვერ მოხერხდა, აიღეთ იგივე სამკუთხედის მეორე მხარე, შემდეგ მესამე. თუ ამან არ გამოიწვია სასურველი წერტილის პოვნა, აგებულია მეორე სამკუთხედის გვერდების პირველთან გადაკვეთის წერტილები.
ნახ. 228 აგებულია EF წრფის გადაკვეთის წერტილი ABC სამკუთხედის სიბრტყესთან. ამისათვის, დამხმარე ჰორიზონტალურად გამომავალი სიბრტყე S დახაზულია EF სწორი ხაზის მეშვეობით და აგებულია ამ სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის შუბლის პროექცია 1 "2" ABC სამკუთხედის სიბრტყესთან. გადაკვეთის ხაზის შუბლის პროექცია 1 "2", რომელიც კვეთს EF სწორი ხაზის შუბლის პროექციას e "f"-ს, იძლევა M წერტილის გადაკვეთის შუბლის m "პროექციას. M წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია m გვხვდება გამოყენებით. საპროექციო შეერთების ხაზი. მეორე წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება მოცემული სამკუთხედების სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს, - წერტილი N - BC წრფის გადაკვეთის წერტილი DEF სამკუთხედის სიბრტყესთან. BC წრფის გავლით, ფრონტ- დახატულია R სიბრტყე R, ხოლო H სიბრტყეზე BC წრფის ჰორიზონტალური პროექციების გადაკვეთა და 34 გადაკვეთის წრფე იძლევა n წერტილს - სასურველი წერტილის ჰორიზონტალურ პროექციას. მოცემული სამკუთხედების ხილული მონაკვეთები განისაზღვრება კონკურენტი წერტილების გამოყენებით. თითოეული საპროექციო სიბრტყისთვის ცალ-ცალკე.ამისთვის შეარჩიეთ წერტილი ერთ-ერთ საპროექციო სიბრტყეზე, რომელიც წარმოადგენს ორი კონკურენტი წერტილის პროექციას.ხილვადობა განისაზღვრება ამ წერტილების მეორე პროგნოზებიდან მათი კოორდინატების შედარებით.
მაგალითად, 5 და 6 წერტილები არის bc და de ჰორიზონტალური პროგნოზების გადაკვეთის წერტილები. შუბლის პროექციის სიბრტყეზე, ამ წერტილების პროგნოზები არ ემთხვევა. მათი Z კოორდინატების შედარებისას ისინი აღმოაჩენენ, რომ მე-5 წერტილი ხურავს მე-6 წერტილს, რადგან Z 5 კოორდინატი მეტია Z 6 კოორდინატზე. მაშასადამე, მე-5 წერტილიდან მარცხნივ, DE მხარე უხილავია.
პროექციების შუბლის სიბრტყეზე ხილვადობა განისაზღვრება კონკურენტული 4 და 7 წერტილების გამოყენებით, რომლებიც მიეკუთვნებიან DE და BC სეგმენტებს, მათი კოორდინატების Y 4 და Y 7 შედარება, ვინაიდან Y 4 > Y 7, მხარე DE სიბრტყეზე V ჩანს.
უნდა აღინიშნოს, რომ სამკუთხედის სიბრტყესთან სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის აგებისას, გადაკვეთის წერტილი შეიძლება იყოს სამკუთხედის სიბრტყის გარეთ. ამ შემთხვევაში გადაკვეთის ხაზს მიკუთვნებული მიღებული წერტილების შეერთებით შემოიჭრება მხოლოდ მისი ის ნაწილი, რომელიც ორივე სამკუთხედს ეკუთვნის.
გადახედეთ კითხვებს
1. წერტილის რომელი კოორდინატები განსაზღვრავენ მის მდებარეობას V სიბრტყეში?
2. რა არის წერტილის Y კოორდინატი და Z კოორდინატი?
3. როგორ არის განლაგებული დიაგრამაზე H პროექციების სიბრტყის პერპენდიკულარული მონაკვეთის პროგნოზები? პროექციის V სიბრტყის პერპენდიკულარული?
4. როგორ განლაგებულია დიაგრამაზე ჰორიზონტალური და ფრონტალური პროექციები?
5. ჩამოაყალიბეთ ძირითადი პოზიცია წერტილის სწორ ხაზთან კუთვნილების შესახებ.
6. როგორ განვასხვავოთ დიაგრამაზე გადამკვეთი წრფეები?
7. რა ქულებს უწოდებენ საკონკურსო?
8. როგორ განვსაზღვროთ ორი წერტილიდან რომელია ხილული, თუ მათი პროგნოზები შუბლის პროექციის სიბრტყეზე ემთხვევა?
9. ჩამოაყალიბეთ ძირითადი პოზიცია სწორი ხაზისა და სიბრტყის პარალელურობის შესახებ.
10. როგორია წრფის სიბრტყის გადაკვეთის წერტილის აგება ზოგად მდგომარეობაში?
11. როგორია ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის აგება ზოგად პოზიციაზე?
