ძალიან ხშირად, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი არის ალგებრული გამონათქვამები, რომლებიც ჯერ უნდა დაიშალოს ფაქტორებად, შემდეგ კი, მათ შორის იგივეს პოვნისას, გაყოთ როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი, ანუ შეამციროთ წილადი. მე-7 კლასში ალგებრას სახელმძღვანელოს მთელი თავი ეთმობა მრავალწევრის ფაქტორიზაციის ამოცანებს. შეიძლება გაკეთდეს ფაქტორინგი 3 გზა, ისევე როგორც ამ მეთოდების კომბინაცია.

1. შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება

როგორც ცნობილია გავამრავლოთ მრავალწევრი მრავალწევრზე, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია. არსებობს მრავალწევრების გამრავლების მინიმუმ 7 (შვიდი) გავრცელებული შემთხვევა, რომლებიც შედის კონცეფციაში. Მაგალითად,

ცხრილი 1. ფაქტორიზაცია 1-ლი გზით

2. საერთო ფაქტორის ფრჩხილიდან ამოღება

ეს მეთოდი ეფუძნება გამრავლების კანონის გამოყენებას. Მაგალითად,

ორიგინალური გამონათქვამის თითოეულ ტერმინს ვყოფთ იმ ფაქტორზე, რომელსაც ამოვიღებთ და ამავდროულად ვიღებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში (ანუ იმის შედეგი, რაც იყო, რაც ამოვიღებთ, რჩება ფრჩხილებში). პირველ რიგში, თქვენ გჭირდებათ სწორად განსაზღვრეთ მულტიპლიკატორი, რომელიც უნდა იყოს ფრჩხილებში.

ფრჩხილებში პოლინომი ასევე შეიძლება იყოს საერთო ფაქტორი:

„ფაქტორიზაციის“ ამოცანის შესრულებისას განსაკუთრებული სიფრთხილე უნდა გამოიჩინოთ ნიშნების მიმართ, როდესაც ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორი ამოიღებთ. თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლა ფრჩხილებში (ბ - ა), ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს -1 , ხოლო ფრჩხილში თითოეული წევრი იყოფა -1-ზე: (ბ - ა) = - (ა - ბ) .

იმ შემთხვევაში, თუ ფრჩხილებში გამოსახულება კვადრატშია (ან ნებისმიერ თანაბარ ძალაზე), მაშინ ფრჩხილებში მყოფი ნომრები შეიძლება შეიცვალოს სრულიად უფასოდ, რადგან ფრჩხილებიდან ამოღებული მინუსები გამრავლებისას მაინც პლიუსად გადაიქცევა: (ბ - ა) 2 = (ა - ბ) 2, (ბ - ა) 4 = (ა - ბ) 4 და ა.შ…

3. დაჯგუფების მეთოდი

ზოგჯერ გამოხატვის ყველა ტერმინს არ აქვს საერთო ფაქტორი, მაგრამ მხოლოდ ზოგიერთს. მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ ჯგუფის პირობები ფრჩხილებში ისე, რომ თითოეული ფაქტორის ამოღება შეიძლება. დაჯგუფების მეთოდიარის საერთო ფაქტორების ორმაგი ბრეკეტინგი.

4. რამდენიმე მეთოდის ერთდროულად გამოყენება

ზოგჯერ საჭიროა არა ერთი, არამედ რამდენიმე ხერხის გამოყენება პოლინომის ფაქტორებად ერთდროულად გასამრავლებლად.

ეს არის მოკლე შინაარსი თემაზე. "ფაქტორიზაცია". აირჩიეთ შემდეგი ნაბიჯები:

• გადადით შემდეგ აბსტრაქტზე:

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მრავალწევრების გაფართოება პროდუქტის მისაღებად ზოგჯერ დამაბნეველი ჩანს. მაგრამ ეს არც ისე რთულია, თუ ეტაპობრივად გაიგებთ პროცესს. სტატიაში დეტალურადაა აღწერილი კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება.

ბევრს არ ესმის, როგორ მოახდინოს კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება და რატომ კეთდება ეს. თავიდან შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს უსარგებლო ვარჯიშია. მაგრამ მათემატიკაში არაფერი კეთდება ისე. ტრანსფორმაცია აუცილებელია გამოხატვის გასამარტივებლად და გაანგარიშების მოხერხებულობისთვის.

მრავალწევრი, რომელსაც აქვს ფორმა - ax² + bx + c, ეწოდება კვადრატული ტრინომიალი.ტერმინი "ა" უნდა იყოს უარყოფითი ან დადებითი. პრაქტიკაში ამ გამოთქმას კვადრატულ განტოლებას უწოდებენ. ამიტომ, ზოგჯერ ისინი სხვაგვარად ამბობენ: როგორ გავაფართოვოთ კვადრატული განტოლება.

საინტერესოა!კვადრატულ მრავალწევრს უწოდებენ მისი უდიდესი ხარისხის გამო - კვადრატი. და ტრინომიალი - 3 კომპონენტის გამო.

რამდენიმე სხვა სახის მრავალწევრი:

• წრფივი ბინომი (6x+8);
• კუბური ოთხკუთხედი (x³+4x²-2x+9).

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია

ჯერ გამოთქმა ნულის ტოლია, შემდეგ თქვენ უნდა იპოვოთ ფესვების x1 და x2 მნიშვნელობები. შეიძლება არ იყოს ფესვები, შეიძლება იყოს ერთი ან ორი ფესვი. ფესვების არსებობა განისაზღვრება დისკრიმინანტით. მისი ფორმულა ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი: D=b²-4ac.

თუ D-ის შედეგი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. თუ დადებითია, მაშინ ორი ფესვია. თუ შედეგი არის ნული, ფესვი არის ერთი. ფესვები ასევე გამოითვლება ფორმულით.

თუ დისკრიმინანტის გამოთვლა ნულის ტოლფასია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა. პრაქტიკაში, ფორმულა უბრალოდ შემოკლებულია: -b / 2a.

დისკრიმინანტის სხვადასხვა მნიშვნელობის ფორმულები განსხვავებულია.

თუ D დადებითია:

თუ D არის ნული:

ონლაინ კალკულატორები

ინტერნეტში არის ონლაინ კალკულატორი. ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფაქტორიზაციისთვის. ზოგიერთი რესურსი იძლევა გამოსავალი ეტაპობრივად ნახვის შესაძლებლობას. ასეთი სერვისები ხელს უწყობს თემის უკეთ გაგებას, მაგრამ თქვენ უნდა ეცადოთ კარგად გაიგოთ.

სასარგებლო ვიდეო: კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგი

მაგალითები

ჩვენ გთავაზობთ უბრალო მაგალითებს, თუ როგორ უნდა მოხდეს კვადრატული განტოლების ფაქტორიზირება.

მაგალითი 1

აქ ნათლად ჩანს, რომ შედეგი იქნება ორი x, რადგან D დადებითია. ისინი უნდა შეიცვალოს ფორმულაში. თუ ფესვები უარყოფითია, ფორმულაში ნიშანი შებრუნებულია.

ჩვენ ვიცით კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა: a(x-x1)(x-x2). მნიშვნელობებს ვდებთ ფრჩხილებში: (x+3)(x+2/3). მაჩვენებელში ტერმინამდე რიცხვი არ არის. ეს ნიშნავს, რომ არის ერთეული, ის დაბლაა.

მაგალითი 2

ეს მაგალითი ნათლად აჩვენებს, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ განტოლება, რომელსაც აქვს ერთი ფესვი.

შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა:

მაგალითი 3

მოცემული: 5x²+3x+7

პირველ რიგში, ჩვენ ვიანგარიშებთ დისკრიმინანტს, როგორც წინა შემთხვევებში.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ფესვები არ არსებობს.

შედეგის მიღების შემდეგ ღირს ფრჩხილების გახსნა და შედეგის შემოწმება. ორიგინალური ტრინომიალი უნდა გამოჩნდეს.

ალტერნატიული გადაწყვეტა

ზოგმა ვერასოდეს შეძლო დისკრიმინატორთან დამეგობრება. არსებობს კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციის კიდევ ერთი გზა. მოხერხებულობისთვის, მეთოდი ნაჩვენებია მაგალითში.

მოცემული: x²+3x-10

ვიცით, რომ უნდა დავასრულოთ 2 ფრჩხილით: (_)(_). როდესაც გამოთქმა ასე გამოიყურება: x² + bx + c, ჩვენ ვდებთ x ყოველი ფრჩხილის დასაწყისში: (x_) (x_). დარჩენილი ორი რიცხვი არის ნამრავლი, რომელიც იძლევა "c", ანუ -10 ამ შემთხვევაში. იმის გასარკვევად, თუ რა არის ეს რიცხვები, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მხოლოდ შერჩევის მეთოდი. ჩანაცვლებული რიცხვები უნდა ემთხვეოდეს დარჩენილ ტერმინს.

მაგალითად, შემდეგი რიცხვების გამრავლება იძლევა -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. არა.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. არა.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. არა.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. ჯდება.

ასე რომ, x2+3x-10 გამოხატვის ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება: (x-2)(x+5).

Მნიშვნელოვანი!ფრთხილად უნდა იყოთ, რომ ნიშნები არ აირიოთ.

რთული ტრინომის დაშლა

თუ "ა" ერთზე მეტია, სირთულეები იწყება. მაგრამ ყველაფერი არც ისე რთულია, როგორც ჩანს.

ფაქტორიზაციისთვის, ჯერ უნდა ნახოთ, შესაძლებელია თუ არა რაიმეს ფაქტორიზირება.

მაგალითად, მოცემულია გამოთქმა: 3x²+9x-30. აქ ნომერი 3 ამოღებულია ფრჩხილებიდან:

3 (x²+3x-10). შედეგი არის უკვე ცნობილი ტრინომიალი. პასუხი ასე გამოიყურება: 3(x-2)(x+5)

როგორ დავშალოთ, თუ კვადრატში მყოფი ტერმინი უარყოფითია? AT ამ საქმესრიცხვი -1 ამოღებულია ფრჩხილიდან. მაგალითად: -x²-10x-8. გამოთქმა შემდეგ გამოიყურება:

სქემა ოდნავ განსხვავდება წინაგან. მხოლოდ რამდენიმე ახალი რამ არის. ვთქვათ მოცემულია გამოთქმა: 2x²+7x+3. პასუხი ასევე იწერება 2 ფრჩხილში, რომელიც უნდა შეივსოს (_) (_). X იწერება მე-2 ფრჩხილში, ხოლო რაც დარჩა 1-ში. ასე გამოიყურება: (2x_)(x_). წინააღმდეგ შემთხვევაში, წინა სქემა მეორდება.

ნომერი 3 იძლევა ნომრებს:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

განტოლებებს ვხსნით მოცემული რიცხვების შეცვლით. ბოლო ვარიანტი ჯდება. ასე რომ, 2x²+7x+3 გამოხატვის ტრანსფორმაცია ასე გამოიყურება: (2x+1)(x+3).

სხვა შემთხვევები

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გამოხატვის გარდაქმნა. მეორე მეთოდში განტოლების ამოხსნა არ არის საჭირო. მაგრამ ტერმინების პროდუქტად გადაქცევის შესაძლებლობა მოწმდება მხოლოდ დისკრიმინანტის საშუალებით.

ღირს კვადრატული განტოლებების ამოხსნის პრაქტიკა ისე, რომ არ იყოს სირთულეები ფორმულების გამოყენებისას.

სასარგებლო ვიდეო: ტრინომის ფაქტორიზაცია

დასკვნა

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგი ნებისმიერი გზით. მაგრამ უმჯობესია ვიმუშაოთ ორივე ავტომატიზმზე. ასევე, მათ, ვინც აპირებენ თავიანთი ცხოვრების მათემატიკასთან დაკავშირებას, უნდა ისწავლონ კვადრატული განტოლებების კარგად ამოხსნა და მრავალწევრების ფაქტორებად დაშლა. ყველა შემდეგი მათემატიკური თემა აგებულია ამაზე.

განტოლების ფაქტორინგი არის ტერმინების ან გამონათქვამების პოვნის პროცესი, რომლებიც გამრავლებისას მიგვიყვანს საწყის განტოლებამდე. ფაქტორინგი არის სასარგებლო უნარი ძირითადი ალგებრული ამოცანების გადასაჭრელად და ხდება პრაქტიკული აუცილებლობა კვადრატულ განტოლებებთან და სხვა მრავალწევრებთან მუშაობისას. ფაქტორინგი გამოიყენება ალგებრული განტოლებების გასამარტივებლად მათი ამოხსნის გასაადვილებლად. ფაქტორინგი დაგეხმარებათ გამორიცხოთ გარკვეული შესაძლო პასუხები უფრო სწრაფად, ვიდრე თქვენ შეგიძლიათ განტოლების ხელით ამოხსნით.

ნაბიჯები

რიცხვებისა და ძირითადი ალგებრული გამონათქვამების ფაქტორიზაცია

1. რიცხვების ფაქტორიზაცია.ფაქტორინგის კონცეფცია მარტივია, მაგრამ პრაქტიკაში ფაქტორინგი შეიძლება იყოს სახიფათო (რთული განტოლების გათვალისწინებით). მაშ ასე, დავიწყოთ ფაქტორირების კონცეფციით რიცხვების მაგალითის გამოყენებით, გავაგრძელოთ მარტივი განტოლებები და შემდეგ გადავიდეთ რთულ განტოლებაზე. მოცემული რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, რიცხვი 12-ის ფაქტორებია რიცხვები: 1, 12, 2, 6, 3, 4, ვინაიდან 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ რიცხვის ფაქტორები, როგორც მისი გამყოფები, ანუ ის რიცხვები, რომლებზეც მოცემული რიცხვი იყოფა.
   • იპოვნეთ რიცხვის 60-ის ყველა ფაქტორი. ჩვენ ხშირად ვიყენებთ რიცხვს 60 (მაგალითად, საათში 60 წუთი, წუთში 60 წამი და ა.შ.) და ამ რიცხვს აქვს ფაქტორების საკმაოდ დიდი რაოდენობა.
     • 60 მამრავლი: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 და 60.

2. გახსოვდეთ:კოეფიციენტის (რიცხვის) და ცვლადის შემცველი გამოთქმის ტერმინები ასევე შეიძლება ფაქტორირებული იყოს. ამისათვის იპოვეთ კოეფიციენტის მულტიპლიკატორები ცვლადზე. იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოახდინო განტოლების პირობების ფაქტორიზირება, შეგიძლიათ მარტივად გაამარტივოთ ეს განტოლება.

   • მაგალითად, ტერმინი 12x შეიძლება დაიწეროს 12-ისა და x-ის ნამრავლად. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ 12x, როგორც 3(4x), 2(6x) და ა.შ. 12-ის ფაქტორებით, რომლებიც საუკეთესოდ მუშაობს თქვენთვის.
     • შეგიძლიათ ზედიზედ რამდენჯერმე დაალაგოთ 12x. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ არ უნდა გაჩერდეთ 3(4x) ან 2(6x); გააგრძელეთ გაფართოება: 3(2(2x)) ან 2(3(2x)) (ცხადია, 3(4x)=3(2(2x)) და ა.შ.)

3. გამოიყენეთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება ალგებრული განტოლებების ფაქტორიზაციისთვის.იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოხდეს გამოსახულებების რიცხვების და ტერმინების ფაქტორიზაცია (კოეფიციენტები ცვლადებთან ერთად), შეგიძლიათ გაამარტივოთ მარტივი ალგებრული განტოლებები რიცხვის საერთო კოეფიციენტისა და გამოხატვის წევრის პოვნის გზით. ჩვეულებრივ, განტოლების გასამარტივებლად, თქვენ უნდა იპოვოთ უდიდესი საერთო გამყოფი (gcd). ასეთი გამარტივება შესაძლებელია გამრავლების გამანაწილებელი თვისების გამო: ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, c, ტოლობა a (b + c) = ab + ac მართალია.

   • მაგალითი. განათავსეთ განტოლება 12x + 6. პირველი, იპოვეთ 12x-ისა და 6-ის gcd. 6 არის უდიდესი რიცხვი, რომელიც ყოფს 12x-ს და 6-ს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ განათავსოთ ეს განტოლება: 6(2x+1).
   • ეს პროცესი ასევე ეხება განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ უარყოფითი და წილადი წევრები. მაგალითად, x/2+4 შეიძლება დაიშალოს 1/2(x+8); მაგალითად, -7x+(-21) შეიძლება დაიშალოს -7(x+3-ად).

   კვადრატული განტოლებების ფაქტორიზაცია

   1. დარწმუნდით, რომ განტოლება არის კვადრატული ფორმით (ax 2 + bx + c = 0).კვადრატული განტოლებებია: ax 2 + bx + c = 0, სადაც a, b, c არის რიცხვითი კოეფიციენტები, გარდა 0. თუ თქვენ გეძლევათ განტოლება ერთი ცვლადით (x) და ამ განტოლებას აქვს ერთი ან მეტი წევრი მეორე რიგით. ცვლადი, შეგიძლიათ განტოლების ყველა პირობა გადაიტანოთ განტოლების ერთ მხარეს და გაუტოლოთ ნულს.

      • მაგალითად, მოცემული განტოლება: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. ის შეიძლება გარდაიქმნას განტოლებაში x 2 + 6x + 9 = 0, რომელიც არის კვადრატული განტოლება.
      • განტოლებები დიდი რიგის x ცვლადით, მაგალითად, x 3, x 4 და ა.შ. არ არის კვადრატული განტოლებები. ეს არის კუბური განტოლებები, მეოთხე რიგის განტოლებები და ასე შემდეგ (მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ასეთი განტოლებები არ შეიძლება გამარტივდეს კვადრატულ განტოლებამდე x ცვლადი 2-ის ხარისხზე).

   2. კვადრატული განტოლებები, სადაც a \u003d 1, იშლება (x + d) (x + e), სადაც d * e \u003d c და d + e \u003d b.თუ თქვენ მოწოდებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა: x 2 + bx + c \u003d 0 (ანუ x 2-ზე კოეფიციენტი უდრის 1-ს), მაშინ ასეთი განტოლება შეიძლება (მაგრამ არა გარანტირებული) დაიშალოს ზემოაღნიშნულში. ფაქტორები. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ორი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას მიიღებენ "c", ხოლო მიმატებისას - "b". როგორც კი იპოვით ამ ორ რიცხვს (d და e), ჩაანაცვლეთ ისინი შემდეგი გამოსახულებით: (x+d)(x+e), რომელიც ფრჩხილების გახსნისას მივყავართ თავდაპირველ განტოლებამდე.

      • მაგალითად, მოცემული კვადრატული განტოლება x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 და 3+2=5, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გააფართოვოთ განტოლება (x+3)(x+2).
      • უარყოფითი პირობებისთვის, შეიტანეთ შემდეგი მცირე ცვლილებები ფაქტორიზაციის პროცესში:
        • თუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -bx + c, მაშინ ის იშლება: (x-_) (x-_).
        • თუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 -bx-c, მაშინ ის იშლება: (x + _) (x-_).
      • შენიშვნა: სივრცეები შეიძლება შეიცვალოს წილადებით ან ათწილადებით. მაგალითად, განტოლება x 2 + (21/2)x + 5 = 0 იშლება (x + 10) (x + 1/2).

   3. ფაქტორიზაცია საცდელი და შეცდომით.მარტივი კვადრატული განტოლებების ფაქტორირება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების შესაძლო ამონახსნებით ჩანაცვლებით, სანამ არ იპოვით სწორ ამონახსნებს. თუ განტოლებას აქვს ფორმა ax 2 +bx+c, სადაც a>1, შესაძლო ამონახსნები იწერება როგორც (dx +/- _)(ex +/- _), სადაც d და e არის რიცხვითი კოეფიციენტები ნულის გარდა, რომელიც გამრავლებისას იძლევა ა. ან d ან e (ან ორივე კოეფიციენტი) შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი. თუ ორივე კოეფიციენტი 1-ის ტოლია, მაშინ გამოიყენეთ ზემოთ აღწერილი მეთოდი.

      • მაგალითად, მოცემული განტოლება 3x 2 - 8x + 4. აქ 3-ს აქვს მხოლოდ ორი ფაქტორი (3 და 1), ამიტომ შესაძლო ამონახსნები იწერება როგორც (3x +/- _)(x +/- _). ამ შემთხვევაში, -2-ის ინტერვალით, იპოვით სწორ პასუხს: -2*3x=-6x და -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x და -2*-2=4, ანუ ასეთი გაფართოება ფრჩხილების გახსნისას გამოიწვევს საწყისი განტოლების ტერმინებს.

ამ სტატიაში თქვენ იხილავთ ყველა საჭირო ინფორმაციას, რომელიც პასუხობს კითხვას, როგორ მოვახდინოთ რიცხვის ფაქტორიზირება. პირველი, მოცემულია ზოგადი იდეა რიცხვის პირველ ფაქტორებად დაშლის შესახებ, მოცემულია გაფართოების მაგალითები. რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადაყვანის კანონიკური ფორმა ნაჩვენებია შემდეგში. ამის შემდეგ მოცემულია თვითნებური რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი და მოცემულია ამ ალგორითმის გამოყენებით რიცხვების დაშლის მაგალითები. ასევე განიხილება ალტერნატიული მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად დაშალოთ მცირე რიცხვები პირველ ფაქტორებად გაყოფის კრიტერიუმებისა და გამრავლების ცხრილის გამოყენებით.

გვერდის ნავიგაცია.

რას ნიშნავს რიცხვის გამრავლება პირველ ფაქტორებად?

პირველი, მოდით შევხედოთ რა არის ძირითადი ფაქტორები.

გასაგებია, რომ რადგან სიტყვა „ფაქტორები“ არის ამ ფრაზაში, მაშინ ხდება ზოგიერთი რიცხვის ნამრავლი, ხოლო განმსაზღვრელი სიტყვა „პირველი“ ნიშნავს, რომ თითოეული ფაქტორი არის მარტივი რიცხვი. მაგალითად, 2 7 7 23 ფორმის ნამრავლში არის ოთხი ძირითადი ფაქტორი: 2, 7, 7 და 23.

რას ნიშნავს რიცხვის გამრავლება პირველ ფაქტორებად?

ეს ნიშნავს, რომ მოცემული რიცხვი უნდა იყოს წარმოდგენილი როგორც უბრალო ფაქტორების ნამრავლი და ამ ნამრავლის მნიშვნელობა უნდა იყოს თავდაპირველი რიცხვის ტოლი. მაგალითად, განვიხილოთ სამი მარტივი რიცხვის ნამრავლი 2, 3 და 5, ის უდრის 30-ს, ასე რომ, რიცხვის 30-ის გამრავლება მარტივ ფაქტორებად არის 2 3 5. ჩვეულებრივ რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლა იწერება ტოლობის სახით, ჩვენს მაგალითში ასე იქნება: 30=2 3 5 . ცალკე, ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ გაფართოების ძირითადი ფაქტორები შეიძლება განმეორდეს. ეს ნათლად ჩანს შემდეგი მაგალითით: 144=2 2 2 2 3 3 . მაგრამ 45=3 15 ფორმის წარმოდგენა არ არის დაშლა პირველ ფაქტორებად, რადგან რიცხვი 15 არის კომპოზიტური.

ჩნდება შემდეგი კითხვა: "და რა რიცხვები შეიძლება დაიშალოს პირველ ფაქტორებად"?

მასზე პასუხის მოსაძებნად წარმოგიდგენთ შემდეგ მსჯელობას. მარტივი რიცხვები, განსაზღვრებით, ერთზე დიდ რიცხვებს შორისაა. ამ ფაქტის გათვალისწინებით და , შეიძლება ითქვას, რომ რამდენიმე მარტივი ფაქტორის ნამრავლი არის ერთზე მეტი დადებითი მთელი რიცხვი. ამრიგად, ფაქტორიზაცია ხდება მხოლოდ დადებითი მთელი რიცხვებისთვის, რომლებიც 1-ზე მეტია.

მაგრამ ერთ ფაქტორზე მეტი მთელი რიცხვი გადაიქცევა პირველ ფაქტორებად?

ნათელია, რომ არ არსებობს მარტივი მთელი რიცხვების პირველ ფაქტორებად დაშლის საშუალება. ეს იმიტომ ხდება, რომ მარტივ რიცხვებს აქვთ მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი, ერთი და თავად, ამიტომ ისინი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი ან მეტი მარტივი რიცხვის ნამრავლად. თუ მთელი z შეიძლება იყოს წარმოდგენილი a და b მარტივი რიცხვების ნამრავლად, მაშინ გაყოფის კონცეფცია საშუალებას მოგვცემს დავასკვნათ, რომ z იყოფა როგორც a-ზე, ასევე b-ზე, რაც შეუძლებელია z რიცხვის სიმარტივის გამო. თუმცა, ითვლება, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი თავისთავად მისი დაშლაა.

რაც შეეხება შედგენილ რიცხვებს? იშლება თუ არა კომპოზიტური რიცხვები მარტივ ფაქტორებად და ექვემდებარება თუ არა ყველა შედგენილი რიცხვი ასეთ დაშლას? ამ რიგ კითხვებზე დადებით პასუხს იძლევა არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი a, რომელიც 1-ზე მეტია, შეიძლება დაიშალოს მარტივი ფაქტორების ნამრავლად p 1 , p 2 , ..., p n , ხოლო გაფართოებას აქვს ფორმა a=p 1 p 2 .. p n და ეს დაშლა უნიკალურია, თუ არ გავითვალისწინებთ ფაქტორების თანმიმდევრობას

რიცხვის კანონიკური დაშლა პირველ ფაქტორებად

რიცხვის გაფართოებისას, ძირითადი ფაქტორები შეიძლება განმეორდეს. განმეორებადი ძირითადი ფაქტორები შეიძლება უფრო კომპაქტურად დაიწეროს გამოყენებით. მოდით, პირველი ფაქტორი p 1 მოხდეს s 1-ჯერ a რიცხვის დაშლისას, მარტივი ფაქტორი p 2 - s 2-ჯერ და ასე შემდეგ, p n - s n-ჯერ. შემდეგ a რიცხვის ძირითადი ფაქტორიზაცია შეიძლება დაიწეროს როგორც a=p 1 s 1 p 2 s 2 p n s n. წერის ეს ფორმა ე.წ რიცხვის კანონიკური ფაქტორიზაცია მარტივ ფაქტორებად.

მოდით მოვიყვანოთ რიცხვის კანონიკური დაშლის მაგალითი პირველ ფაქტორებად. გაგვაგებინეთ დაშლა 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, მისი კანონიკური ფორმაა 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ რიცხვის ყველა გამყოფი და რიცხვის გამყოფების რაოდენობა.

რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი

იმისათვის, რომ წარმატებით გაუმკლავდეთ რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ამოცანას, თქვენ ძალიან კარგად უნდა იყოთ სტატიაში მოცემული მარტივი და შედგენილი რიცხვების შესახებ ინფორმაცია.

დადებითი მთელი რიცხვის და ერთზე მეტი a რიცხვის გაფართოების პროცესის არსი არითმეტიკის მთავარი თეორემის მტკიცებულებიდან ირკვევა. საქმე იმაშია, რომ თანმიმდევრულად ვიპოვოთ უმცირესი მარტივი გამყოფები p 1 , p 2 , ..., p n რიცხვები a, a 1 , a 2 , ..., a n-1 , რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ტოლობების სერია a=p 1 a 1 , სადაც a 1 = a:p 1, a=p 1 a 1 =p 1 p 2 a 2, სადაც a 2 =a 1:p 2, …, a = p 1 p 2 …p n a n, სადაც a n =a n -1:p n . როდესაც მიიღება a n =1, მაშინ ტოლობა a=p 1 ·p 2 ·…·p n მოგვცემს a რიცხვის საჭირო დაშლას მარტივ ფაქტორებად. აქვე უნდა აღინიშნოს ისიც p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

რჩება საქმე ყოველ საფეხურზე უმცირესი მარტივი გამყოფების პოვნასთან და ჩვენ გვექნება რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმი. მარტივი რიცხვების ცხრილი დაგვეხმარება მარტივი გამყოფების პოვნაში. მოდით ვაჩვენოთ, როგორ გამოვიყენოთ იგი z რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფის მისაღებად.

თანმიმდევრობით ვიღებთ მარტივ რიცხვებს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან (2 , 3 , 5 , 7 , 11 და ასე შემდეგ) და ვყოფთ მათზე მოცემულ z რიცხვს. პირველი მარტივი რიცხვი, რომლითაც z თანაბრად იყოფა, არის მისი უმცირესი მარტივი გამყოფი. თუ z რიცხვი მარტივია, მაშინ მისი უმცირესი მარტივი გამყოფი იქნება თავად რიცხვი z. აქვე უნდა გავიხსენოთ, რომ თუ z არ არის მარტივი რიცხვი, მაშინ მისი უმცირესი მარტივი გამყოფი არ აღემატება რიცხვს, სადაც - z-დან. ამრიგად, თუ მარტივ რიცხვებს შორის, რომლებიც არ აღემატება , არ იყო z რიცხვის ერთი გამყოფი, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ z არის მარტივი რიცხვი (დაწვრილებით ამის შესახებ დაწერილია თეორიის განყოფილებაში სათაურით ეს რიცხვი არის მარტივი ან შედგენილი. ).

მაგალითად, ვაჩვენოთ როგორ ვიპოვოთ 87 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი. ვიღებთ ნომერ 2-ს. 87 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 87:2=43 (დასვენება 1) (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია). ანუ 87-ის 2-ზე გაყოფისას ნაშთი არის 1, ამიტომ 2 არ არის 87 რიცხვის გამყოფი. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მარტივ რიცხვს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, ეს არის რიცხვი 3. 87-ს ვყოფთ 3-ზე, მივიღებთ 87:3=29. ანუ 87 თანაბრად იყოფა 3-ზე, ამიტომ 3 არის 87-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგად შემთხვევაში, a რიცხვის ფაქტორიზაციისთვის, გვჭირდება მარტივი რიცხვების ცხრილი არანაკლებ რიცხვამდე. ამ ცხრილს ყოველ ნაბიჯზე მოგვიწევს მივმართოთ, ამიტომ ის ხელთ უნდა გვქონდეს. მაგალითად, 95 რიცხვის ფაქტორიზაციისთვის დაგვჭირდება 10-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილი (რადგან 10 მეტია). 846 653 რიცხვის დასაშლელად უკვე დაგჭირდებათ 1000-მდე მარტივი რიცხვების ცხრილი (რადგან 1000 მეტია).

ახლა საკმარისი ინფორმაცია გვაქვს დასაწერად რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადაყვანის ალგორითმი. რიცხვის a გაფართოების ალგორითმი შემდეგია:

• მარტივი რიცხვების ცხრილიდან რიცხვების თანმიმდევრულად დახარისხებით, ვპოულობთ a რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს p 1, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ 1 =a:p 1-ს. თუ a 1 =1, მაშინ რიცხვი a არის მარტივი და ეს არის მისი დაშლა მარტივ ფაქტორებად. თუ a 1 უდრის 1-ს, მაშინ გვაქვს a=p 1 ·a 1 და გადავდივართ შემდეგ საფეხურზე.
• ვპოულობთ a 1 რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს p 2-ს, ამისათვის თანმიმდევრულად ვახარისხებთ რიცხვებს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, დაწყებული p 1-ით, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ 2 =a 1:p 2-ს. თუ a 2 =1, მაშინ a რიცხვის სასურველ დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა a=p 1 ·p 2 . თუ a 2 უდრის 1-ს, მაშინ გვაქვს a=p 1 ·p 2 ·a 2 და გადავდივართ შემდეგ საფეხურზე.
• მარტივი რიცხვების ცხრილიდან დაწყებული p 2-ით დაწყებული რიცხვების გავლისას ვპოულობთ a 2 რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს p 3, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ 3 =a 2:p 3 . თუ a 3 =1, მაშინ a რიცხვის სასურველ დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა a=p 1 ·p 2 ·p 3 . თუ a 3 უდრის 1-ს, მაშინ გვაქვს a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 და გადავდივართ შემდეგ საფეხურზე.
• იპოვეთ a n-1 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი p n მარტივი რიცხვების დახარისხებით, დაწყებული p n-1 , ასევე n =a n-1:p n , და a n უდრის 1-ს. ეს ნაბიჯი არის ალგორითმის ბოლო საფეხური, აქ ვიღებთ a რიცხვის საჭირო დაშლას მარტივ ფაქტორებად: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმის თითოეულ საფეხურზე მიღებული ყველა შედეგი სიცხადისთვის წარმოდგენილია შემდეგი ცხრილის სახით, რომელშიც რიცხვები a, a 1, a 2, ..., a n თანმიმდევრულად იწერება ვერტიკალური ზოლის მარცხნივ, ხოლო ზოლის მარჯვნივ - შესაბამისი უმცირესი მარტივი გამყოფები p 1 , p 2 , ..., p n .

რჩება მხოლოდ რამდენიმე მაგალითის განხილვა მიღებული ალგორითმის გამოყენებისას რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლაში.

ძირითადი ფაქტორიზაციის მაგალითები

ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ძირითადი ფაქტორიზაციის მაგალითები. დაშლისას გამოვიყენებთ წინა აბზაცის ალგორითმს. დავიწყოთ მარტივი შემთხვევებით და თანდათან გავართულოთ ისინი, რათა შევხვდეთ ყველა შესაძლო ნიუანსს, რომელიც წარმოიქმნება რიცხვების მარტივ ფაქტორებად დაშლისას.

მაგალითი.

რიცხვი 78 ფაქტორზე გადაიტანეთ მარტივ ფაქტორებად.

გადაწყვეტილება.

ვიწყებთ a=78 რიცხვის პირველი უმცირესი მარტივი გამყოფის p 1 ძიებას. ამისათვის ჩვენ ვიწყებთ მარტივი რიცხვების თანმიმდევრობით დახარისხებას მარტივი რიცხვების ცხრილიდან. ვიღებთ რიცხვს 2 და ვყოფთ მასზე 78, მივიღებთ 78:2=39. რიცხვი 78 იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე, ამიტომ p 1 \u003d 2 არის 78 რიცხვის პირველი ნაპოვნი მთავარი გამყოფი. ამ შემთხვევაში a 1 =a:p 1 =78:2=39 . ასე რომ, მივდივართ a=p 1 ·a 1 ტოლობამდე, რომელსაც აქვს ფორმა 78=2·39. ცხადია, 1 =39 განსხვავდება 1-ისგან, ამიტომ გადავდივართ ალგორითმის მეორე საფეხურზე.

ახლა ჩვენ ვეძებთ a 1 =39 რიცხვის p 2 უმცირეს მარტივ გამყოფს. ჩვენ ვიწყებთ რიცხვების ჩამოთვლას მარტივი ცხრილიდან, დაწყებული p 1 =2-ით. 39 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 39:2=19 (დარჩენილი 1). ვინაიდან 39 თანაბრად არ იყოფა 2-ზე, 2 არ არის მისი გამყოფი. შემდეგ ვიღებთ შემდეგ რიცხვს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან (რიცხვი 3) და ვყოფთ მასზე 39, მივიღებთ 39:3=13. მაშასადამე, p 2 \u003d 3 არის 39 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი, ხოლო a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 39: 3=13. გვაქვს ტოლობა a=p 1 p 2 a 2 სახით 78=2 3 13 . ვინაიდან 2 =13 განსხვავდება 1-ისგან, გადავდივართ ალგორითმის შემდეგ საფეხურზე.

აქ უნდა ვიპოვოთ a 2 =13 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფი. 13 რიცხვის უმცირესი მარტივი გამყოფის p 3 ძიებაში, ჩვენ თანმიმდევრულად დავახარისხებთ რიცხვებს მარტივი რიცხვების ცხრილიდან, დაწყებული p 2 =3-ით. რიცხვი 13 არ იყოფა 3-ზე, ვინაიდან 13:3=4 (დასვენება 1), ასევე 13 არ იყოფა 5-ზე, 7-ზე და 11-ზე, ვინაიდან 13:5=2 (დასვენება 3), 13:7=1. (res. 6) და 13:11=1 (res. 2) . შემდეგი მარტივი რიცხვი არის 13, ხოლო 13 იყოფა მასზე ნაშთების გარეშე, შესაბამისად, 13 რიცხვის ყველაზე პატარა მარტივი გამყოფი p 3 არის თავად რიცხვი 13 და a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. . ვინაიდან 3 =1 , მაშინ ალგორითმის ეს საფეხური ბოლოა და 78 რიცხვის სასურველ დაშლას მარტივ ფაქტორებად აქვს ფორმა 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ) .

პასუხი:

78=2 3 13 .

მაგალითი.

გამოთქვით რიცხვი 83006, როგორც უბრალო ფაქტორების ნამრავლი.

გადაწყვეტილება.

რიცხვის მარტივ ფაქტორებად გადაყვანის ალგორითმის პირველ საფეხურზე ვპოულობთ p 1 =2 და a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503, საიდანაც 83 006=2 41 503 .

მეორე საფეხურზე აღმოვაჩენთ, რომ 2, 3 და 5 არ არის a 1 =41 503 რიცხვის ძირითადი გამყოფები, ხოლო რიცხვი 7 არის, ვინაიდან 41 503: 7=5 929. გვაქვს p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . ამრიგად, 83 006=2 7 5 929.

2 =5 929-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის 7, ვინაიდან 5 929:7=847. ამრიგად, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847, საიდანაც 83 006=2 7 7 847.

შემდგომ ვხვდებით, რომ a 3 =847 რიცხვის p 4 უმცირესი მარტივი გამყოფი უდრის 7-ს. შემდეგ a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, ანუ 83 006=2 7 7 7 121.

ახლა ვპოულობთ a 4 =121 რიცხვის უმცირეს მარტივ გამყოფს, ეს არის რიცხვი p 5 =11 (რადგან 121 იყოფა 11-ზე და არ იყოფა 7-ზე). შემდეგ a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 და 83 006=2 7 7 7 11 11.

და ბოლოს, 5 =11-ის უმცირესი მარტივი გამყოფი არის p 6 =11. შემდეგ a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . ვინაიდან 6 =1, რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლის ალგორითმის ეს საფეხური ბოლოა და სასურველ დაშლას აქვს ფორმა 83 006=2·7·7·7·11·11.

მიღებული შედეგი შეიძლება დაიწეროს როგორც რიცხვის კანონიკური დაშლა მარტივ ფაქტორებად 83 006=2·7 3 ·11 2 .

პასუხი:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 არის მარტივი რიცხვი. მართლაც, მას არ აქვს ძირითადი გამყოფი, რომელიც არ აღემატება ( შეიძლება დაახლოებით შეფასდეს როგორც , რადგან აშკარაა, რომ 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

პასუხი:

897 924 289=937 967 991 .

გაყოფის ტესტების გამოყენება ძირითადი ფაქტორიზაციისთვის

მარტივ შემთხვევებში, თქვენ შეგიძლიათ დაშალოთ რიცხვი პირველ ფაქტორებად ამ სტატიის პირველი პუნქტის დაშლის ალგორითმის გამოყენების გარეშე. თუ რიცხვები არ არის დიდი, მაშინ მათი დაშლა პირველ ფაქტორებად, ხშირად საკმარისია გაყოფის ნიშნების ცოდნა. ჩვენ ვაძლევთ მაგალითებს განმარტებისთვის.

მაგალითად, რიცხვი 10 უნდა დავშალოთ პირველ ფაქტორებად. გამრავლების ცხრილიდან ვიცით, რომ 2 5=10 , ხოლო რიცხვები 2 და 5 აშკარად მარტივია, ამიტომ 10-ის მარტივი ფაქტორიზაცია არის 10=2 5 .

Სხვა მაგალითი. გამრავლების ცხრილის გამოყენებით, ჩვენ ვანაწილებთ რიცხვს 48 მარტივ ფაქტორებად. ვიცით, რომ ექვსი რვა არის ორმოცდარვა, ანუ 48=6 8. თუმცა არც 6 და არც 8 არ არის მარტივი რიცხვები. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ ორჯერ სამი არის ექვსი და ორჯერ ოთხი არის რვა, ანუ 6=2 3 და 8=2 4 . მაშინ 48=6 8=2 3 2 4 . უნდა გვახსოვდეს, რომ ორჯერ ორი არის ოთხი, მაშინ მივიღებთ სასურველ დაშლას პირველ ფაქტორებად 48=2 3 2 2 2 . ეს დაშლა დავწეროთ კანონიკური სახით: 48=2 4 ·3 .

მაგრამ 3400 რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაყოფის ნიშნები. 10-ზე გაყოფის ნიშნები 100-ზე გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ 3400 იყოფა 100-ზე, ხოლო 3400=34 100 და 100 იყოფა 10-ზე, ხოლო 100=10 10, შესაბამისად, 3400=34 10 10. და 2-ზე გაყოფის ნიშნის საფუძველზე შეიძლება ითქვას, რომ თითოეული 34, 10 და 10 ფაქტორი იყოფა 2-ზე, მივიღებთ 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. შედეგად გაფართოების ყველა ფაქტორი მარტივია, ამიტომ ეს გაფართოება სასურველია. რჩება მხოლოდ ფაქტორების გადალაგება ისე, რომ ისინი წავიდნენ ზრდის მიხედვით: 3 400=2 2 2 5 5 17 . ჩვენ ასევე ვწერთ ამ რიცხვის კანონიკურ დაშლას მარტივ ფაქტორებად: 3 400=2 3 5 2 17 .

მოცემული რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლისას შეგიძლიათ თავის მხრივ გამოიყენოთ როგორც გაყოფის ნიშნები, ასევე გამრავლების ცხრილი. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 75, როგორც მარტივი ფაქტორების ნამრავლი. 5-ზე გაყოფის ნიშანი გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ 75 იყოფა 5-ზე, მაშინ როცა მივიღებთ 75=5 15-ს. და გამრავლების ცხრილიდან ვიცით, რომ 15=3 5 , შესაბამისად, 75=5 3 5 . ეს არის 75 რიცხვის სასურველი დაშლა პირველ ფაქტორებად.

ბიბლიოგრაფია.

• ვილენკინი ნ.ია. და ა.შ მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ვინოგრადოვი ი.მ. რიცხვების თეორიის საფუძვლები.
• მიხელოვიჩ შ.ხ. რიცხვების თეორია.
• კულიკოვი ლ.ია. და სხვა ამოცანების კრებული ალგებრაში და რიცხვთა თეორიაში: სახელმძღვანელო ფიზ.-მატ. პედაგოგიური ინსტიტუტების სპეციალობები.