ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მეცნიერება, რომლის გამოყენებაც ჩანს ისეთ დისციპლინებში, როგორიცაა ქიმია, ფიზიკა და ბიოლოგიაც კი, არის მათემატიკა. ამ მეცნიერების შესწავლა საშუალებას გაძლევთ განავითაროთ გარკვეული გონებრივი თვისებები, გააუმჯობესოთ კონცენტრაციის უნარი. ერთ-ერთი თემა, რომელიც განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს კურსში „მათემატიკა“ არის წილადების შეკრება და გამოკლება. ბევრ სტუდენტს უჭირს სწავლა. ალბათ ჩვენი სტატია დაგეხმარებათ ამ თემის უკეთ გაგებაში.
როგორ გამოვაკლოთ წილადები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია
წილადები არის იგივე რიცხვები, რომლითაც შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა მოქმედებები. მათი განსხვავება მთელი რიცხვებისგან მდგომარეობს მნიშვნელის არსებობაში. სწორედ ამიტომ, წილადებთან მოქმედებების შესრულებისას საჭიროა მათი ზოგიერთი მახასიათებლისა და წესის შესწავლა. უმარტივესი შემთხვევაა ჩვეულებრივი წილადების გამოკლება, რომელთა მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც ერთი და იგივე რიცხვი. ამ მოქმედების შესრულება რთული არ იქნება, თუ იცით მარტივი წესი:
- მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, საჭიროა გამოკლებული წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ შემცირებული წილადის მრიცხველს. ჩვენ ვწერთ ამ რიცხვს განსხვავების მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელს ვტოვებთ იგივე: k / m - b / m = (k-b) / m.
წილადების გამოკლების მაგალითები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
შემცირებული წილადის "7"-ის მრიცხველს გამოვაკლებთ გამოკლებულ წილადს "3"-ს, მივიღებთ "4". ამ რიცხვს ვწერთ პასუხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ვსვამთ იმავე რიცხვს, რომელიც იყო პირველი და მეორე წილადების მნიშვნელებში - „19“.
ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს კიდევ რამდენიმე ასეთ მაგალითს.
განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, სადაც ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადები გამოკლებულია:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
შემცირებული წილადის "29"-ის მრიცხველიდან რიგრიგობით გამოკლებით ყველა მომდევნო წილადის მრიცხველები - "3", "8", "2", "7". შედეგად მივიღებთ შედეგს „9“, რომელსაც ვწერთ პასუხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ვწერთ რიცხვს, რომელიც არის ყველა ამ წილადის მნიშვნელებში – „47“.
ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
იგივე პრინციპით ხდება ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება.
- იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მრიცხველები. მიღებული რიცხვი არის ჯამის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება: k/m + b/m = (k + b)/m.
ვნახოთ, როგორ გამოიყურება მაგალითში:
1/4 + 2/4 = 3/4.
წილადის პირველი წევრის მრიცხველს - "1" - ვუმატებთ წილადის მეორე წევრის მრიცხველს - "2". შედეგი - "3" - იწერება თანხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელი რჩება იგივე, რაც იყო წილადებში - "4".
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადები და მათი გამოკლება
ჩვენ უკვე განვიხილეთ მოქმედება წილადებით, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელი. როგორც ხედავთ, მარტივი წესების ცოდნა, ასეთი მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ გჭირდებათ მოქმედების შესრულება წილადებით, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი? ბევრი საშუალო სკოლის მოსწავლე დაბნეულია ასეთი მაგალითებით. მაგრამ აქაც თუ იცით ამოხსნის პრინციპი, მაგალითები აღარ გაგიჭირდებათ. აქაც არის წესი, რომლის გარეშეც ასეთი წილადების ამოხსნა უბრალოდ შეუძლებელია.
- 2/3 - ერთი სამი და ერთი ორი აკლია მნიშვნელში:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 ან 7/(3 x 3) - მნიშვნელს აკლია ორი:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 ან 5/(2 x 3) - მნიშვნელს აკლია სამმაგი:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - რიცხვი 18 შედგება 3 x 2 x 3.
- რიცხვი 15 შედგება 5 x 3-ისგან.
- საერთო ჯერადი შედგება შემდეგი ფაქტორებისგან 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90 გაყოფილი 15-ზე. შედეგად მიღებული რიცხვი "6" იქნება მამრავლი 3/15-ისთვის.
- 90 გაყოფილი 18-ზე. შედეგად მიღებული რიცხვი "5" იქნება მამრავლი 4/18-ისთვის.
- გადააქციე ყველა წილადი, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი არასწორად. მარტივი სიტყვებით, ამოიღეთ მთელი ნაწილი. ამისათვის მთელი რიცხვის ნაწილის რიცხვი მრავლდება წილადის მნიშვნელზე, შედეგად მიღებული ნამრავლი ემატება მრიცხველს. რიცხვი, რომელიც მიიღება ამ მოქმედებების შემდეგ, არის არასწორი წილადის მრიცხველი. მნიშვნელი უცვლელი რჩება.
- თუ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ, ისინი უნდა შემცირდეს იმავეზე.
- შეასრულეთ შეკრება ან გამოკლება იგივე მნიშვნელებით.
- არასწორი წილადის მიღებისას აირჩიეთ მთელი ნაწილი.
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის, ისინი უნდა დაიკლოთ ერთსა და იმავე უმცირეს მნიშვნელამდე.
ჩვენ უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს.
წილადის თვისება
იმისთვის, რომ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შევიყვანოთ, გამოსავალში უნდა გამოიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება: მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფის ან გამრავლების შემდეგ მიიღებთ მოცემულის ტოლ წილადს.
ასე, მაგალითად, წილადს 2/3 შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელები, როგორიცაა "6", "9", "12" და ა.შ., ანუ შეიძლება გამოიყურებოდეს ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც არის "3"-ის ნამრავლი. მას შემდეგ რაც გავამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს "2-ზე", მივიღებთ წილადს 4/6. მას შემდეგ რაც გავამრავლებთ საწყისი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს „3“-ზე, მივიღებთ 6/9-ს, ხოლო თუ მსგავს მოქმედებას შევასრულებთ რიცხვით „4“ მივიღებთ 8/12-ს. ერთ განტოლებაში ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
როგორ მივიყვანოთ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელთან
განვიხილოთ, როგორ შევამციროთ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე. მაგალითად, აიღეთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები წილადები. ჯერ უნდა დაადგინოთ რა რიცხვი შეიძლება გახდეს ყველა მათგანის მნიშვნელი. ამის გასაადვილებლად, მოდით დავშალოთ არსებული მნიშვნელები ფაქტორებად.
წილადის 1/2-ისა და წილადის 2/3-ის მნიშვნელის გაანგარიშება შეუძლებელია. 7/9-ის მნიშვნელს აქვს ორი ფაქტორი 7/9 = 7/(3 x 3), წილადის მნიშვნელი 5/6 = 5/(2 x 3). ახლა თქვენ უნდა დაადგინოთ რომელი ფაქტორები იქნება ყველაზე პატარა ამ ოთხივე წილადისთვის. ვინაიდან პირველ წილადს მნიშვნელში აქვს რიცხვი „2“, ეს ნიშნავს, რომ ის უნდა იყოს ყველა მნიშვნელში, 7/9 წილადში არის ორი სამეული, რაც ნიშნავს, რომ ორივე მათგანი ასევე უნდა იყოს მნიშვნელში. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ვადგენთ, რომ მნიშვნელი შედგება სამი ფაქტორისაგან: 3, 2, 3 და უდრის 3 x 2 x 3 = 18.
განვიხილოთ პირველი წილადი - 1/2. მისი მნიშვნელი შეიცავს "2", მაგრამ არ არის ერთი "3", მაგრამ უნდა იყოს ორი. ამისათვის ვამრავლებთ მნიშვნელს ორ სამჯერ, მაგრამ, წილადის თვისების მიხედვით, მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ ორ სამჯერ:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
ანალოგიურად, ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს დარჩენილი წილადებით.
ყველა ერთად ასე გამოიყურება:
როგორ გამოვაკლოთ და დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით
როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად ან გამოკლების მიზნით, ისინი უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავე მნიშვნელზე და შემდეგ გამოიყენონ იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების წესები, რომლებიც უკვე აღწერილია.
განვიხილოთ ეს მაგალითით: 4/18 - 3/15.
18-ისა და 15-ის ჯერადების პოვნა:
მნიშვნელის აღმოჩენის შემდეგ აუცილებელია გამოვთვალოთ კოეფიციენტი, რომელიც განსხვავებული იქნება თითოეული წილადისთვის, ანუ რიცხვი, რომლითაც საჭირო იქნება არა მხოლოდ მნიშვნელის, არამედ მრიცხველის გამრავლებაც. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ რიცხვს, რომელიც აღმოვაჩინეთ (საერთო ჯერადი) იმ წილადის მნიშვნელზე, რომლისთვისაც საჭიროა დამატებითი ფაქტორების დადგენა.
ჩვენი ამოხსნის შემდეგი ნაბიჯი არის თითოეული წილადის მიყვანა მნიშვნელამდე "90".
ჩვენ უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ კეთდება ეს. ვნახოთ, როგორ წერია ეს მაგალითში:
(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
თუ წილადები მცირე რიცხვებით, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ საერთო მნიშვნელი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები მაგალითში.
ანალოგიურად წარმოებული და განსხვავებული მნიშვნელის მქონე.
გამოკლება და მთელი ნაწილების მქონე
წილადების გამოკლება და მათი შეკრება უკვე დეტალურად გავაანალიზეთ. მაგრამ როგორ გამოვაკლოთ თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი? კიდევ ერთხელ გამოვიყენოთ რამდენიმე წესი:
არსებობს კიდევ ერთი გზა, რომლითაც შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ წილადები მთელი რიცხვებით. ამისთვის მოქმედებები ცალ-ცალკე სრულდება მთელი რიცხვებით და ცალ-ცალკე წილადებით და შედეგები ერთად ჩაიწერება.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შედგება წილადებისგან, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელი. იმ შემთხვევაში, როდესაც მნიშვნელები განსხვავებულია, ისინი უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავეზე და შემდეგ მიჰყვეთ მაგალითში ნაჩვენები ნაბიჯებს.
წილადების გამოკლება მთელი რიცხვიდან
წილადებთან მოქმედებების კიდევ ერთი სახეობა არის შემთხვევა, როდესაც წილადს უნდა გამოვაკლოთ ერთი შეხედვით, ასეთი მაგალითი ძნელად ამოსახსნელი ჩანს. თუმცა, აქ ყველაფერი საკმაოდ მარტივია. მის ამოსახსნელად საჭიროა მთელი რიცხვის გადაყვანა წილადად და ისეთი მნიშვნელით, რომელიც გამოკლებულ წილადშია. შემდეგი, ჩვენ ვასრულებთ გამოკლების მსგავს გამოკლებას იგივე მნიშვნელებით. მაგალითად, ასე გამოიყურება:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
ამ სტატიაში მოცემული წილადების გამოკლება (მე-6 კლასი) არის უფრო რთული მაგალითების ამოხსნის საფუძველი, რომლებიც განიხილება შემდგომ კლასებში. ამ თემის ცოდნა მოგვიანებით გამოიყენება ფუნქციების, წარმოებულების და ა.შ. აქედან გამომდინარე, ძალზე მნიშვნელოვანია ზემოთ განხილული წილადების მოქმედებების გაგება და გაგება.
განვიხილოთ წილადი $\frac63$. მისი ღირებულებაა 2, ვინაიდან $\frac63 =6:3 = 2$. რა მოხდება, თუ მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლდება 2-ზე? $\frac63 \ჯერ 2=\frac(12)(6)$. ცხადია, წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა, ამიტომ $\frac(12)(6)$ ასევე უდრის 2-ს, როგორც y. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი 3-ით და მიიღეთ $\frac(18)(9)$, ან 27-ით და მიიღეთ $\frac(162)(81)$ ან 101-ით და მიიღეთ $\frac(606)(303)$. თითოეულ ამ შემთხვევაში იმ წილადის მნიშვნელობა, რომელსაც ვიღებთ მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით არის 2. ეს ნიშნავს, რომ ის არ შეცვლილა.
იგივე ნიმუში შეინიშნება სხვა ფრაქციების შემთხვევაშიც. თუ $\frac(120)(60)$ (უდრის 2) წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იყოფა 2-ზე (შედეგი $\frac(60)(30)$), ან 3-ზე (შედეგი $\). frac(40)(20) $), ან 4-ით ($\frac(30)(15)$) და ასე შემდეგ, მაშინ თითოეულ შემთხვევაში წილადის მნიშვნელობა უცვლელი რჩება და უდრის 2-ს.
ეს წესი ასევე ეხება წილადებს, რომლებიც არ არიან ტოლები. მთელი რიცხვი.
თუ $\frac(1)(3)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამრავლებულია 2-ზე, მივიღებთ $\frac(2)(6)$, ანუ წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა. და რეალურად თუ ტორტს 3 ნაწილად გაყოფთ და ერთს აიღებთ, ან 6 ნაწილად გაყოფთ და 2 ნაწილად აიღებთ, ორივე შემთხვევაში ერთნაირი ღვეზელი მიიღებთ. აქედან გამომდინარე, რიცხვები $\frac(1)(3)$ და $\frac(2)(6)$ იდენტურია. ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი წესი.
ნებისმიერი წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება გამრავლდეს ან გავყოთ იმავე რიცხვზე და წილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.
ეს წესი ძალიან სასარგებლოა. მაგალითად, ის საშუალებას იძლევა ზოგიერთ შემთხვევაში, მაგრამ არა ყოველთვის, თავიდან აიცილოთ ოპერაციები დიდი რაოდენობით.
მაგალითად, შეგვიძლია $\frac(126)(189)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 63-ზე და მივიღოთ $\frac(2)(3)$ წილადი, რომლის გამოთვლაც გაცილებით ადვილია. კიდევ ერთი მაგალითი. შეგვიძლია $\frac(155)(31)$ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავყოთ 31-ზე და მივიღოთ წილადი $\frac(5)(1)$ ან 5, ვინაიდან 5:1=5.
ამ მაგალითში ჩვენ პირველად შევხვდით წილადი, რომლის მნიშვნელი არის 1. ასეთი წილადები მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ გამოთვლებში. უნდა გვახსოვდეს, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება გაიყოს 1-ზე და მისი მნიშვნელობა არ შეიცვლება. ანუ $\frac(273)(1)$ უდრის 273-ს; $\frac(509993)(1)$ უდრის 509993 და ასე შემდეგ. მაშასადამე, ჩვენ არ უნდა გავყოთ რიცხვები ზე, რადგან ყველა მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით 1-ის მნიშვნელით.
ასეთი წილადებით, რომელთა მნიშვნელი 1-ის ტოლია, შეგიძლიათ შეასრულოთ იგივე არითმეტიკული მოქმედებები, როგორც ყველა სხვა წილადთან: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \ჯერ \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
შეიძლება იკითხოთ, რა სარგებლობა მოაქვს მთელი რიცხვის წილადად წარმოჩენას, რომელსაც ექნება ერთეული წრფის ქვეშ, რადგან უფრო მოსახერხებელია მთელი რიცხვით მუშაობა. მაგრამ ფაქტია, რომ მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა საშუალებას გვაძლევს უფრო ეფექტურად შევასრულოთ სხვადასხვა მოქმედებები, როდესაც საქმე გვაქვს ერთდროულად მთელ რიცხვებთან და წილად რიცხვებთან. მაგალითად, ისწავლოს დაამატეთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. დავუშვათ, ჩვენ უნდა დავამატოთ $\frac(1)(3)$ და $\frac(1)(5)$.
ჩვენ ვიცით, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ მხოლოდ წილადები, რომელთა მნიშვნელები ტოლია. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვისწავლოთ როგორ მივიყვანოთ წილადები ასეთ ფორმამდე, როდესაც მათი მნიშვნელები ტოლია. ამ შემთხვევაში ჩვენ კვლავ გვჭირდება ის ფაქტი, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე მისი მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე.
ჯერ $\frac(1)(3)$ წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვამრავლებთ 5-ზე. ვიღებთ $\frac(5)(15)$, წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა. შემდეგ $\frac(1)(5)$ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ვამრავლებთ 3-ზე. მივიღებთ $\frac(3)(15)$, ისევ წილადის მნიშვნელობა არ შეცვლილა. ამიტომ, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
ახლა შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს სისტემა რიცხვების დამატებაზე, რომლებიც შეიცავს როგორც მთელ, ასევე წილად ნაწილებს.
ჩვენ უნდა დავამატოთ $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. პირველ რიგში, ყველა ტერმინს ვაქცევთ წილადებად და ვიღებთ: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. ახლა ყველა წილადი უნდა მივიყვანოთ საერთო მნიშვნელზე, ამისათვის ვამრავლებთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს 12-ზე, მეორეს 4-ზე და მესამეზე 3-ზე. შედეგად მივიღებთ $\frac(36). )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, რაც $\frac(55)(12)$-ის ტოლია. თუ გინდა მოიშორო არასწორი ფრაქცია, ის შეიძლება გადაიქცეს რიცხვად, რომელიც შედგება მთელი რიცხვისა და წილადი ნაწილისგან: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ან $4\frac( 7)(12)$.
ყველა წესი, რაც საშუალებას იძლევა მოქმედებები წილადებთან, რომელიც ახლახან შევისწავლეთ, მოქმედებს უარყოფითი რიცხვების შემთხვევაშიც. ასე რომ, -1: 3 შეიძლება დაიწეროს როგორც $\frac(-1)(3)$, ხოლო 1: (-3) როგორც $\frac(1)(-3)$.
ვინაიდან როგორც უარყოფითი რიცხვის დაყოფა დადებით რიცხვზე, ასევე დადებითი რიცხვის გაყოფა უარყოფითზე უარყოფით რიცხვებში, ორივე შემთხვევაში პასუხს მივიღებთ უარყოფითი რიცხვის სახით. ე.ი
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ან $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. მინუს ნიშანი, როდესაც ასე იწერება, ეხება მთელ წილადს მთლიანობაში და არა ცალკე მრიცხველს ან მნიშვნელს.
მეორეს მხრივ, (-1): (-3) შეიძლება დაიწეროს როგორც $\frac(-1)(-3)$, და რადგან უარყოფითი რიცხვის უარყოფით რიცხვზე გაყოფა იძლევა დადებით რიცხვს, მაშინ $\frac (-1 )(-3)$ შეიძლება დაიწეროს როგორც $+\frac(1)(3)$.
უარყოფითი წილადების შეკრება და გამოკლება ხდება ისევე, როგორც დადებითი წილადების შეკრება და გამოკლება. მაგალითად, რა არის $1- 1\frac13$? ორივე რიცხვი წარმოვიდგინოთ წილადებად და მივიღოთ $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. მოდით შევამციროთ წილადები საერთო მნიშვნელამდე და მივიღოთ $\frac(1 \ჯერ 3)(1 \ჯერ 3)-\frac(4)(3)$, ანუ $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ან $-\frac(1)(3)$.
§ 87. წილადების შეკრება.
წილადების შეკრებას ბევრი მსგავსება აქვს მთელი რიცხვების შეკრებასთან. წილადების დამატება არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ რამდენიმე მოცემული რიცხვი (ტერმინი) გაერთიანებულია ერთ რიცხვში (ჯამში), რომელიც შეიცავს ტერმინების ერთეულების ყველა ერთეულს და წილადს.
თავის მხრივ განვიხილავთ სამ შემთხვევას:
1. ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
3. შერეული რიცხვების შეკრება.
1. ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
განვიხილოთ მაგალითი: 1 / 5 + 2 / 5 .
აიღეთ სეგმენტი AB (სურ. 17), აიღეთ იგი ერთეულად და გაყავით 5 ტოლ ნაწილად, შემდეგ ამ სეგმენტის AC ნაწილი AB სეგმენტის 1/5-ის ტოლი იქნება, ხოლო CD იმავე სეგმენტის ნაწილი. უდრის 2/5 AB-ს.
ნახაზიდან ჩანს, რომ თუ ავიღებთ AD სეგმენტს, მაშინ ის უდრის 3/5 AB-ს; მაგრამ სეგმენტი AD არის ზუსტად AC და CD სეგმენტების ჯამი. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
ამ ტერმინებისა და მიღებული თანხის გათვალისწინებით, ჩვენ ვხედავთ, რომ ჯამის მრიცხველი მიიღეს წევრთა მრიცხველების მიმატებით, ხოლო მნიშვნელი უცვლელი დარჩა.
აქედან ვიღებთ შემდეგ წესს: იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.
განვიხილოთ მაგალითი:
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება.
მოდით დავამატოთ წილადები: 3/4 + 3/8 ჯერ ისინი უნდა შევიყვანოთ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:
შუალედური ბმული 6/8 + 3/8 ვერ დაიწერა; ჩვენ დავწერეთ აქ მეტი სიცხადისთვის.
ამგვარად, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელთან, დაუმატოთ მათი მრიცხველები და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს.
განვიხილოთ მაგალითი (დამატებით ფაქტორებს დავწერთ შესაბამის წილადებზე):
3. შერეული რიცხვების შეკრება.
მოდით დავამატოთ რიცხვები: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
მოდით, ჯერ მივიყვანოთ ჩვენი რიცხვების წილადი ნაწილები საერთო მნიშვნელთან და ხელახლა დავწეროთ ისინი:
ახლა დაამატეთ მთელი და წილადი ნაწილები თანმიმდევრობით:
§ 88. წილადების გამოკლება.
წილადების გამოკლება განისაზღვრება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. ეს არის მოქმედება, რომლითაც ორი ტერმინის და ერთი მათგანის ჯამის გათვალისწინებით, სხვა ტერმინი გვხვდება. რიგრიგობით განვიხილოთ სამი შემთხვევა:
1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.
1. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
განვიხილოთ მაგალითი:
13 / 15 - 4 / 15
ავიღოთ სეგმენტი AB (სურ. 18), ავიღოთ ერთეული და გავყოთ 15 ტოლ ნაწილად; მაშინ ამ სეგმენტის AC ნაწილი იქნება AB-ის 1/15, ხოლო ამავე სეგმენტის AD ნაწილი შეესაბამება 13/15 AB-ს. მოდით გამოვყოთ კიდევ ერთი სეგმენტი ED, ტოლი 4/15 AB.
13/15-ს უნდა გამოვაკლოთ 4/15. ნახაზში ეს ნიშნავს, რომ ED სეგმენტი უნდა გამოკლდეს AD სეგმენტს. შედეგად დარჩება სეგმენტი AE, რომელიც არის AB სეგმენტის 9/15. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:
ჩვენ მიერ გაკეთებული მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სხვაობის მრიცხველი მიღებული იქნა მრიცხველების გამოკლებით და მნიშვნელი იგივე დარჩა.
მაშასადამე, ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა გამოაკლოთ ქვეტრაჰენდის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და დატოვოთ იგივე მნიშვნელი.
2. სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.
მაგალითი. 3/4 - 5/8
ჯერ ეს წილადები შევამციროთ უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე:
შუალედური ბმული 6 / 8 - 5 / 8 დაწერილია აქ სიცხადისთვის, მაგრამ მომავალში მისი გამოტოვება შეიძლება.
ამრიგად, წილადს რომ გამოვაკლოთ წილადი, ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე, შემდეგ გამოაკლოთ წილის მრიცხველი მინუენდის მრიცხველს და ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს მათი სხვაობის ქვეშ.
განვიხილოთ მაგალითი:
3. შერეული რიცხვების გამოკლება.
მაგალითი. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
მოდით მივიყვანოთ წილადის ნაწილები minuend-ისა და subtrahend-ის ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე:
მთლიანს გამოვაკლეთ მთლიანი და წილადი - წილადი. მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც სუბტრაჰენდის წილადი ნაწილი აღემატება მინუენდის წილად ნაწილს. ასეთ შემთხვევებში, თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ერთეული მინუენდის მთელი რიცხვიდან, გაყოთ ის იმ ნაწილებად, რომლებშიც გამოიხატება წილადი ნაწილი და დაუმატოთ მინუენდის წილადი ნაწილი. და შემდეგ გამოკლება შესრულდება ისევე, როგორც წინა მაგალითში:
§ 89. წილადების გამრავლება.
წილადების გამრავლების შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:
1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.
3. მთელი რიცხვის გამრავლება წილადზე.
4. წილადის გამრავლება წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.
6. ინტერესის ცნება.
7. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა. განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.
1. წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე.
წილადის მთელ რიცხვზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გამრავლებას. წილადის (გამრავლების) გამრავლება მთელ რიცხვზე (მულტიპლიკატორზე) ნიშნავს იდენტური წევრთა ჯამის შედგენას, რომელშიც თითოეული წევრი ტოლია გამრავლების, ხოლო წევრთა რაოდენობა ტოლია გამრავლების.
ასე რომ, თუ გჭირდებათ 1/9 7-ზე გამრავლება, მაშინ ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე:
ჩვენ მარტივად მივიღეთ შედეგი, რადგან მოქმედება შემცირდა იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების მიმატებამდე. აქედან გამომდინარე,
ამ მოქმედების გათვალისწინება გვიჩვენებს, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე უდრის ამ წილადის იმდენჯერ გაზრდას, რამდენჯერაც არის ერთეულები მთელ რიცხვში. და რადგან წილადის ზრდა მიიღწევა ან მისი მრიცხველის გაზრდით
ან მისი მნიშვნელის შემცირებით 
, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ან გავამრავლოთ მრიცხველი მთელ რიცხვზე, ან გავყოთ მნიშვნელი მასზე, თუ ასეთი გაყოფა შესაძლებელია.
აქედან ვიღებთ წესს:
წილადის მთელ რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მრიცხველი ამ მთელ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დარჩეს, ან თუ შესაძლებელია, მნიშვნელი გავყოთ ამ რიცხვზე, მრიცხველი უცვლელი დარჩეს.
გამრავლებისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:
2. მოცემული რიცხვის წილადის პოვნა.ბევრი პრობლემაა, რომლებშიც თქვენ უნდა იპოვოთ, ან გამოთვალოთ მოცემული რიცხვის ნაწილი. განსხვავება ამ დავალებებს შორის არის ის, რომ ისინი იძლევიან ზოგიერთი ობიექტის ან საზომი ერთეულის რაოდენობას და თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვის ნაწილი, რომელიც ასევე მითითებულია აქ გარკვეული წილადით. გაგების გასაადვილებლად ჯერ მოვიყვანთ ასეთი პრობლემების მაგალითებს, შემდეგ კი გავაცნობთ მათი გადაჭრის მეთოდს.
დავალება 1.მე მქონდა 60 მანეთი; ამ თანხის 1/3 დავხარჯე წიგნების შესაძენად. რა დაჯდა წიგნები?
დავალება 2.მატარებელმა უნდა გაიაროს A და B ქალაქებს შორის მანძილი 300 კმ-ის ტოლი. მან ამ მანძილის 2/3 უკვე დაფარა. ეს რამდენი კილომეტრია?
დავალება 3.სოფელში 400 სახლია, 3/4 აგურის, დანარჩენი ხის. რამდენი აგურის სახლია?
აქ არის რამოდენიმე პრობლემა, რომლებთანაც უნდა ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის წილადი. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ პრობლემებს მოცემული რიცხვის წილადის საპოვნელად.
პრობლემის გადაწყვეტა 1. 60 რუბლიდან. 1/3 დავხარჯე წიგნებზე; ასე რომ, წიგნების ღირებულების საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი 60 3-ზე:
პრობლემის 2 გადაწყვეტა.პრობლემის მნიშვნელობა ის არის, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 300 კმ-ის 2/3. გამოთვალეთ 300-დან პირველი 1/3; ეს მიიღწევა 300 კმ 3-ზე გაყოფით:
300: 3 = 100 (ეს არის 300-ის 1/3).
300-ის ორი მესამედის საპოვნელად, თქვენ უნდა გააორმაგოთ მიღებული კოეფიციენტი, ანუ გაამრავლოთ 2-ზე:
100 x 2 = 200 (ეს არის 300-ის 2/3).
პრობლემის გადაწყვეტა 3.აქ თქვენ უნდა დაადგინოთ აგურის სახლების რაოდენობა, რომელიც არის 400-ის 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 400-დან 1/4.
400: 4 = 100 (ეს არის 400-ის 1/4).
400-ის სამი მეოთხედის გამოსათვლელად, მიღებული კოეფიციენტი უნდა გაასამმაგდეს, ანუ გამრავლდეს 3-ზე:
100 x 3 = 300 (ეს არის 400-ის 3/4).
ამ პრობლემების გადაწყვეტის საფუძველზე შეგვიძლია გამოვიტანოთ შემდეგი წესი:
მოცემული რიცხვის წილადის მნიშვნელობის საპოვნელად საჭიროა ეს რიცხვი გაყოთ წილადის მნიშვნელზე და მიღებული კოეფიციენტი გაამრავლოთ მის მრიცხველზე.
3. მთელი რიცხვის გამრავლება წილადზე.
ადრე (§ 26) დადგინდა, რომ მთელი რიცხვების გამრავლება უნდა იქნას გაგებული, როგორც იდენტური ტერმინების დამატება (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). ამ აბზაცში (პუნქტი 1) დადგინდა, რომ წილადის გამრავლება მთელ რიცხვზე ნიშნავს ამ წილადის ტოლი იდენტური წევრთა ჯამის პოვნას.
ორივე შემთხვევაში, გამრავლება შედგებოდა იდენტური ტერმინების ჯამის პოვნაში.
ახლა გადავდივართ მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებაზე. აქ შევხვდებით ასეთ, მაგალითად, გამრავლებას: 9 2/3. სავსებით აშკარაა, რომ გამრავლების წინა განმარტება ამ შემთხვევაში არ ვრცელდება. ეს აშკარაა იმ ფაქტიდან, რომ ჩვენ ვერ შევცვლით ასეთ გამრავლებას თანაბარი რიცხვების მიმატებით.
ამის გამო მოგვიწევს გამრავლების ახალი განმარტების მიცემა, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პასუხი გავცეთ კითხვას, თუ რა უნდა გავიგოთ წილადზე გამრავლებით, როგორ უნდა გავიგოთ ეს მოქმედება.
მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლების მნიშვნელობა ნათელია შემდეგი განმარტებიდან: მთელი რიცხვის (გამრავლების) გამრავლება წილადზე (გამრავლება) ნიშნავს მულტიპლიკატორის ამ წილადის პოვნას.
კერძოდ, 9-ის 2/3-ზე გამრავლება ნიშნავს ცხრა ერთეულის 2/3-ის პოვნას. წინა პუნქტში ასეთი პრობლემები მოგვარდა; ასე რომ, ადვილია იმის გარკვევა, რომ ჩვენ მივიღებთ 6-ს.
მაგრამ ახლა ჩნდება საინტერესო და მნიშვნელოვანი კითხვა: რატომ ჰქვია არითმეტიკაში ისეთ ერთი შეხედვით განსხვავებულ მოქმედებებს, როგორიცაა ტოლი რიცხვების ჯამის პოვნა და რიცხვის წილადის პოვნა ერთი და იგივე სიტყვა „გამრავლება“?
ეს იმიტომ ხდება, რომ წინა მოქმედება (რიცხვის გამეორება ტერმინებით რამდენჯერმე) და ახალი მოქმედება (რიცხვის წილადის პოვნა) პასუხობს ერთგვაროვან კითხვებს. ეს ნიშნავს, რომ აქ ჩვენ გამოვდივართ იმ მოსაზრებებიდან, რომ ერთგვაროვანი კითხვები ან ამოცანები წყდება ერთი და იგივე მოქმედებით.
ამის გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი პრობლემა: „1 მ ქსოვილი 50 მანეთი ღირს. რა დაჯდება 4 მ ასეთი ქსოვილი?
ეს პრობლემა მოგვარებულია რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (4) რაოდენობის გამრავლებით, ანუ 50 x 4 = 200 (რუბლი).
ავიღოთ იგივე პრობლემა, მაგრამ მასში ტანსაცმლის რაოდენობა გამოიხატება წილადი რიცხვით: „1 მ ქსოვილი ღირს 50 მანეთი. რა დაჯდება 3/4 მ ასეთი ქსოვილი?
ეს პრობლემა ასევე უნდა გადაწყდეს რუბლის რაოდენობის (50) მეტრის (3/4) გამრავლებით.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ რამდენჯერმე შეცვალოთ მასში არსებული რიცხვები პრობლემის მნიშვნელობის შეუცვლელად, მაგალითად, აიღეთ 9/10 მ ან 2 3/10 მ და ა.შ.
ვინაიდან ამ ამოცანებს ერთი და იგივე შინაარსი აქვთ და მხოლოდ რიცხვებით განსხვავდებიან, მათი ამოხსნისას გამოყენებულ მოქმედებებს ერთსა და იმავე სიტყვას - გამრავლებას ვუწოდებთ.
როგორ მრავლდება მთელი რიცხვი წილადზე?
ავიღოთ ბოლო ამოცანისას შეხვედრილი რიცხვები:
განმარტების მიხედვით უნდა ვიპოვოთ 50-დან 3/4. ჯერ ვიპოვოთ 50-დან 1/4, შემდეგ კი 3/4.
50-დან 1/4 არის 50/4;
50-დან 3/4 არის.
აქედან გამომდინარე.
განვიხილოთ სხვა მაგალითი: 12 5 / 8 = ?
12-დან 1/8 არის 12/8,
12 რიცხვის 5/8 არის .
აქედან გამომდინარე,
აქედან ვიღებთ წესს:
მთელი რიცხვი წილადზე გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი რიცხვი წილადის მრიცხველზე და ეს ნამრავლი აქციოთ მრიცხველად, ხოლო მოცემული წილადის მნიშვნელს ხელი მოაწეროთ მნიშვნელად.
ჩვენ ვწერთ ამ წესს ასოების გამოყენებით:
ამ წესის სრულყოფილად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გამრავლების წესთან, რომელიც ჩამოყალიბებულია § 38-ში.
უნდა გვახსოვდეს, რომ გამრავლების შესრულებამდე უნდა გააკეთოთ (თუ შესაძლებელია) ჭრის, Მაგალითად:
4. წილადის გამრავლება წილადზე.წილადის წილადზე გამრავლებას იგივე მნიშვნელობა აქვს რაც მთელი რიცხვის წილადზე გამრავლებას, ანუ წილადის წილადზე გამრავლებისას უნდა იპოვო წილადი მამრავლში პირველი წილადიდან (გამრავლებით).
კერძოდ, 3/4-ის 1/2-ზე (ნახევარზე) გამრავლება ნიშნავს 3/4-ის ნახევრის პოვნას.
როგორ გავამრავლოთ წილადი წილადზე?
ავიღოთ მაგალითი: 3/4 გამრავლებული 5/7. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა იპოვოთ 5/7 3/4-დან. იპოვეთ ჯერ 1/7 3/4-დან და შემდეგ 5/7
3/4-ის 1/7 ასე იქნება გამოხატული:
5/7 რიცხვები 3/4 გამოისახება შემდეგნაირად:
ამრიგად,
კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8-ჯერ 4/9.
5/8-ის 1/9 არის,
4/9 რიცხვები 5/8 არის.
ამრიგად, 
ამ მაგალითებიდან შეიძლება გამოიტანოს შემდეგი წესი:
წილადის წილადზე გასამრავლებლად მრიცხველი უნდა გაამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე და პირველი ნამრავლი მრიცხველად აქციოთ, ხოლო მეორე ნამრავლი ნამრავლის მნიშვნელად.
ეს არის წესი ზოგადი ხედიშეიძლება დაიწეროს ასე:
გამრავლებისას საჭიროა (თუ შესაძლებელია) შემცირება. განვიხილოთ მაგალითები:
5. შერეული რიცხვების გამრავლება.ვინაიდან შერეული რიცხვები ადვილად შეიძლება შეიცვალოს არასწორი წილადებით, ეს გარემოება ჩვეულებრივ გამოიყენება შერეული რიცხვების გამრავლებისას. ეს ნიშნავს, რომ იმ შემთხვევებში, როდესაც ნამრავლი, ან მამრავლი, ან ორივე ფაქტორი გამოიხატება შერეული რიცხვებით, მაშინ ისინი იცვლება არასწორი წილადებით. გაამრავლეთ, მაგალითად, შერეული რიცხვები: 2 1/2 და 3 1/5. თითოეულ მათგანს ვაქცევთ არასწორ წილადად და შემდეგ გავამრავლებთ მიღებულ წილადებს წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით:
წესი.შერეული რიცხვების გასამრავლებლად ჯერ უნდა გადაიყვანოთ ისინი არასწორ წილადებად და შემდეგ გაამრავლოთ წილადის წილადზე გამრავლების წესის მიხედვით.
Შენიშვნა.თუ ერთ-ერთი ფაქტორი არის მთელი რიცხვი, მაშინ გამრავლება შეიძლება განხორციელდეს განაწილების კანონის საფუძველზე შემდეგნაირად:
6. ინტერესის ცნება.ამოცანების ამოხსნისას და სხვადასხვა პრაქტიკული გამოთვლების შესრულებისას ვიყენებთ ყველა სახის წილადს. მაგრამ უნდა გვახსოვდეს, რომ ბევრი რაოდენობა მათთვის არა რომელიმე, არამედ ბუნებრივ ქვედანაყოფებს აღიარებს. მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეასედი (1/100), ეს იქნება პენი, ორი მეასედი არის 2 კაპიკი, სამი მეასედი არის 3 კაპიკი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის 1/10, ეს იქნება "10 კაპიკი, ან დიმი. შეგიძლიათ აიღოთ რუბლის მეოთხედი, ანუ 25 კაპიკი, ნახევარი რუბლი, ანუ 50 კაპიკი (ორმოცდაათი კაპიკი). აიღეთ, მაგალითად, 2/7 რუბლი, რადგან რუბლი არ იყოფა მეშვიდედ.
წონის საზომი ერთეული, ანუ კილოგრამი, საშუალებას იძლევა, პირველ რიგში, ათობითი ქვედანაყოფები, მაგალითად, 1/10 კგ ან 100 გ. და კილოგრამის ისეთი წილადები, როგორიცაა 1/6, 1/11, 1/ 13 იშვიათია.
ზოგადად, ჩვენი (მეტრული) ზომები არის ათობითი და ნებადართულია ათობითი ქვედანაყოფები.
თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ უაღრესად სასარგებლო და მოსახერხებელია მრავალფეროვან შემთხვევებში, რაოდენობების დაყოფის ერთი და იგივე (ერთგვაროვანი) მეთოდის გამოყენება. მრავალწლიანმა გამოცდილებამ აჩვენა, რომ ასეთი კარგად დასაბუთებული დაყოფა არის "მეასედიანი". განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც დაკავშირებულია ადამიანის პრაქტიკის ყველაზე მრავალფეროვან სფეროებთან.
1. წიგნების ფასი წინა ფასის 12/100-ით შემცირდა.
მაგალითი. წიგნის წინა ფასი 10 მანეთია. იგი 1 რუბლით დაეცა. 20 კოპი.
2. შემნახველი ბანკები წლის განმავლობაში უხდიან მეანაბრეებს შემნახველში ჩადებული თანხის 2/100-ს.
მაგალითი. 500 მანეთი იდება სალაროში, ამ თანხიდან შემოსავალი წელიწადში 10 რუბლია.
3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 5/100-ს.
მაგალითი სკოლაში მხოლოდ 1200 მოსწავლე სწავლობდა, მათგან 60-მა სკოლა დაამთავრა.
რიცხვის მეასედს ეწოდება პროცენტი..
სიტყვა "პროცენტი" ნასესხებია ლათინური ენიდან და მისი ძირი "cent" ნიშნავს ასს. წინადადებასთან ერთად (pro centum) ეს სიტყვა ნიშნავს "ასისთვის". ამ გამოთქმის მნიშვნელობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ თავდაპირველად ძველ რომში პროცენტი იყო ფული, რომელსაც მოვალე უხდიდა გამსესხებელს „ყოველ ასეულზე“. სიტყვა "ცენტი" ისმის ასეთი ნაცნობი სიტყვებით: ცენტნერი (ასი კილოგრამი), სანტიმეტრი (ამბობენ სანტიმეტრი).
მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ, რომ ქარხანამ მის მიერ წარმოებული ყველა პროდუქტის 1/100 წარმოადგინა გასული თვის განმავლობაში, ჩვენ ვიტყვით: გასულ თვეში ქარხანამ გამოუშვა ნარჩენების ერთი პროცენტი. იმის ნაცვლად, რომ ვთქვათ: ქარხანამ დადგენილ გეგმაზე 4/100-ით მეტი პროდუქტი გამოუშვა, ჩვენ ვიტყვით: ქარხანამ გეგმას 4 პროცენტით გადააჭარბა.
ზემოთ მოყვანილი მაგალითები შეიძლება განსხვავებულად გამოითქვას:
1. წიგნების ფასი წინა ფასზე 12 პროცენტით შემცირდა.
2. შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს უხდიან დანაზოგში ჩადებული თანხის 2 პროცენტს წელიწადში.
3. ერთი სკოლის კურსდამთავრებულთა რაოდენობა შეადგენდა სკოლის ყველა მოსწავლის 5 პროცენტს.
ასოს შესამოკლებლად ჩვეულებრივია სიტყვის „პროცენტის“ ნაცვლად % ნიშნის დაწერა.
თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ % ნიშანი ჩვეულებრივ არ იწერება გამოთვლებში, ის შეიძლება ჩაიწეროს პრობლემის განცხადებაში და საბოლოო შედეგში. გამოთვლების შესრულებისას ამ ხატით მთელი რიცხვის ნაცვლად უნდა დაწეროთ წილადი 100-იანი მნიშვნელით.
თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ მთელი რიცხვი მითითებული ხატით წილადით 100 მნიშვნელით:
პირიქით, თქვენ უნდა მიეჩვიოთ 100-იანი მნიშვნელის მქონე წილადის ნაცვლად მითითებული ხატით რიცხვის დაწერას:
7. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა.
დავალება 1.სკოლამ მიიღო 200 კუბური მეტრი. მ შეშა, არყის შეშა შეადგენს 30%-ს. რამდენი არყის ხე იყო იქ?
ამ პრობლემის აზრი ის არის, რომ არყის შეშა იყო მხოლოდ შეშის ნაწილი, რომელიც მიიტანეს სკოლაში და ეს ნაწილი გამოიხატება წილად 30/100. ასე რომ, ჩვენ წინაშე დგას დავალება, ვიპოვოთ რიცხვის წილადი. მის ამოსახსნელად უნდა გავამრავლოთ 200 30/100-ზე (რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანები წყდება რიცხვის წილადზე გამრავლებით.).
ასე რომ, 200-დან 30% უდრის 60-ს.
წილადი 30/100, რომელიც გვხვდება ამ პრობლემაში, შეიძლება შემცირდეს 10-ით. ამ შემცირების განხორციელება თავიდანვე იქნებოდა შესაძლებელი; პრობლემის გადაწყვეტა არ შეიცვლება.
დავალება 2.ბანაკში სხვადასხვა ასაკის 300 ბავშვი იყო. 11 წლის ბავშვები იყო 21%, 12 წლის ბავშვები 61% და ბოლოს 13 წლის 18%. თითოეული ასაკის რამდენი ბავშვი იყო ბანაკში?
ამ პრობლემაში თქვენ უნდა შეასრულოთ სამი გამოთვლა, ანუ თანმიმდევრულად იპოვოთ 11 წლის, შემდეგ 12 წლის და ბოლოს 13 წლის ბავშვების რაოდენობა.
ასე რომ, აქ საჭირო იქნება რიცხვის წილადის სამჯერ პოვნა. Მოდი გავაკეთოთ ეს:
1) რამდენი ბავშვი იყო 11 წლის?
2) რამდენი ბავშვი იყო 12 წლის?
3) რამდენი ბავშვი იყო 13 წლის?
პრობლემის გადაჭრის შემდეგ სასარგებლოა ნაპოვნი რიცხვების დამატება; მათი ჯამი უნდა იყოს 300:
63 + 183 + 54 = 300
ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმასაც, რომ პრობლემის პირობებში მოცემული პროცენტების ჯამი არის 100:
21% + 61% + 18% = 100%
ეს იმაზე მეტყველებს, რომ ბანაკში ბავშვების საერთო რაოდენობა 100%-ად იქნა აღებული.
3 და ჩა 3.მუშა თვეში 1200 მანეთს იღებდა. აქედან 65% კვებაზე დახარჯა, 6% ბინასა და გათბობაზე, 4% გაზზე, ელექტროენერგიასა და რადიოს, 10% კულტურულ საჭიროებებზე და 15% დაზოგა. რა თანხა დაიხარჯა დავალებაში მითითებულ საჭიროებებზე?
ამ პრობლემის გადასაჭრელად 1200 რიცხვის წილადი უნდა იპოვო 5-ჯერ.მოდით გავაკეთოთ.
1) რა თანხა იხარჯება საკვებზე? ამოცანაში ნათქვამია, რომ ეს ხარჯი არის მთელი შემოსავლის 65%, ანუ 1200 რიცხვის 65/100. მოდით გამოვთვალოთ:
2) რა თანხა გადაიხადეს ბინაში გათბობით? წინანდელივით კამათით მივდივართ შემდეგ გამოთვლებამდე:
3) რა თანხა გადაიხადე გაზზე, ელექტროენერგიაში და რადიოში?
4) რა თანხა იხარჯება კულტურულ საჭიროებებზე?
5) რა თანხა დაზოგა მუშამ?
გადამოწმებისთვის სასარგებლოა ამ 5 კითხვაში ნაპოვნი ნომრების დამატება. თანხა უნდა იყოს 1200 რუბლი. ყველა შემოსავალი აღებულია, როგორც 100%, რაც ადვილი შესამოწმებელია პრობლემის განცხადებაში მოცემული პროცენტების დამატებით.
სამი პრობლემა მოვაგვარეთ. მიუხედავად იმისა, რომ ეს ამოცანები სხვადასხვა რამეს ეხებოდა (სკოლისთვის შეშის მიწოდება, სხვადასხვა ასაკის ბავშვების რაოდენობა, მუშის ხარჯები), ისინი ერთნაირად წყდებოდა. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ყველა ამოცანაში საჭირო იყო მოცემული რიცხვების რამდენიმე პროცენტის პოვნა.
§ 90. წილადების დაყოფა.
წილადების გაყოფის შესწავლისას განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:
1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე
3. მთელი რიცხვის გაყოფა წილადზე.
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
6. რიცხვის პოვნა მისი წილადის მიხედვით.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.
განვიხილოთ ისინი თანმიმდევრობით.
1. გაყავით მთელი რიცხვი მთელ რიცხვზე.
როგორც მთელი რიცხვების განყოფილებაში აღინიშნა, გაყოფა არის მოქმედება, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორი ფაქტორის (დივიდენდის) და ამ ფაქტორებიდან ერთ-ერთის (გამყოფის) ნამრავლის გათვალისწინებით, გვხვდება სხვა ფაქტორი.
მთელი რიცხვის დაყოფა მთელ რიცხვზე ჩვენ განვიხილეთ მთელი რიცხვების განყოფილებაში. ჩვენ შევხვდით იქ გაყოფის ორ შემთხვევას: გაყოფა ნარჩენების გარეშე, ან „მთლიანად“ (150: 10 = 15) და გაყოფა ნაშთით (100: 9 = 11 და 1 ნაშთში). ამიტომ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მთელი რიცხვების სფეროში ზუსტი გაყოფა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი, რადგან დივიდენდი ყოველთვის არ არის გამყოფისა და მთელი რიცხვის პროდუქტი. წილადზე გამრავლების შემოღების შემდეგ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მთელი რიცხვების გაყოფის ნებისმიერი შემთხვევა (გამორიცხულია მხოლოდ ნულზე გაყოფა).
მაგალითად, 7-ის 12-ზე გაყოფა ნიშნავს რიცხვის პოვნას, რომლის ნამრავლი 12-ზე იქნება 7. ეს რიცხვი არის წილადი 7/12, რადგან 7/12 12 = 7. კიდევ ერთი მაგალითი: 14: 25 = 14/25, რადგან 14/25 25 = 14.
ამრიგად, მთელი რიცხვის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გააკეთოთ წილადი, რომლის მრიცხველი დივიდენდის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი არის გამყოფი.
2. წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.
გაყავით წილადი 6/7 3-ზე. ზემოთ მოცემული გაყოფის განმარტების მიხედვით, აქ გვაქვს ნამრავლი (6/7) და ერთ-ერთი ფაქტორი (3); საჭიროა ისეთი მეორე ფაქტორის პოვნა, რომელიც 3-ზე გამრავლებისას მისცემს მოცემულ ნამრავლს 6/7. ცხადია, ის ამ პროდუქტზე სამჯერ მცირე უნდა იყოს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენს წინაშე დასახული დავალება იყო წილადის 6/7 3-ჯერ შემცირება.
ჩვენ უკვე ვიცით, რომ წილადის შემცირება შეიძლება მოხდეს მრიცხველის შემცირებით ან მნიშვნელის გაზრდით. ამიტომ, შეგიძლიათ დაწეროთ:
ამ შემთხვევაში მრიცხველი 6 იყოფა 3-ზე, ამიტომ მრიცხველი 3-ჯერ უნდა შემცირდეს.
ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი: 5/8 გაყოფილი 2-ზე. აქ მრიცხველი 5 არ იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მნიშვნელი უნდა გამრავლდეს ამ რიცხვზე:
ამის საფუძველზე შეგვიძლია განვაცხადოთ წესი: წილადის მთელ რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაყოთ წილადის მრიცხველი ამ მთელ რიცხვზე(თუ შესაძლებელია), დატოვეთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ან გაამრავლოთ წილადის მნიშვნელი ამ რიცხვზე, დატოვოთ იგივე მრიცხველი.
3. მთელი რიცხვის გაყოფა წილადზე.
დაე, საჭირო გახდეს 5-ის გაყოფა 1/2-ზე, ანუ იპოვეთ რიცხვი, რომელიც 1/2-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 5. ცხადია, ეს რიცხვი 5-ზე მეტი უნდა იყოს, რადგან 1/2 არის სწორი წილადი. ხოლო რიცხვის სათანადო წილადზე გამრავლებისას ნამრავლი უნდა იყოს ნამრავლზე ნაკლები. უფრო გასაგებად, მოდით დავწეროთ ჩვენი მოქმედებები შემდეგნაირად: 5: 1 / 2 = X , ასე რომ x 1/2 \u003d 5.
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი X , რომელიც 1/2-ზე გამრავლებისას მისცემს 5-ს. ვინაიდან გარკვეული რიცხვის 1/2-ზე გამრავლება ნიშნავს ამ რიცხვის 1/2-ის პოვნას, მაშასადამე, უცნობი რიცხვის 1/2. X არის 5 და მთელი რიცხვი X ორჯერ მეტი, ანუ 5 2 \u003d 10.
ასე რომ 5: 1/2 = 5 2 = 10
მოდით შევამოწმოთ: 
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 6-ის გაყოფა 2/3-ზე. ჯერ ვცადოთ სასურველი შედეგის პოვნა ნახატის გამოყენებით (სურ. 19).
სურ.19
დახაზეთ AB სეგმენტი, რომელიც უდრის ზოგიერთი ერთეულის 6-ს და დაყავით თითოეული ერთეული 3 ტოლ ნაწილად. თითოეულ ერთეულში, სამი მესამედი (3/3) მთელ სეგმენტში AB არის 6-ჯერ დიდი, ე.ი. ე 18/3. ჩვენ ვაკავშირებთ პატარა ფრჩხილების დახმარებით 2-ის 18 მიღებულ სეგმენტს; იქნება მხოლოდ 9 სეგმენტი. ეს ნიშნავს, რომ წილადი 2/3 შეიცავს b ერთეულში 9-ჯერ, ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადი 2/3 არის 9-ჯერ ნაკლები 6 მთელი რიცხვის ერთეულზე. აქედან გამომდინარე,
როგორ მივიღოთ ეს შედეგი ნახაზის გარეშე მხოლოდ გამოთვლების გამოყენებით? ვიკამათებთ შემდეგნაირად: საჭიროა 6-ის გაყოფა 2/3-ზე, ანუ საჭიროა პასუხის გაცემა კითხვაზე, რამდენჯერ შეიცავს 2/3 6-ში. ჯერ გავარკვიოთ: რამდენჯერ არის 1/3. შეიცავს 6-ში? მთლიან ერთეულში - 3 მესამედი, ხოლო 6 ერთეულში - 6-ჯერ მეტი, ანუ 18 მესამედი; ამ რიცხვის საპოვნელად 6 უნდა გავამრავლოთ 3-ზე. აქედან გამომდინარე, 1/3 შეიცავს b ერთეულებში 18-ჯერ, ხოლო 2/3 შეიცავს b-ს არა 18-ჯერ, არამედ იმდენივეჯერ, ანუ 18: 2 = 9. ამიტომ, 6-ის 2/3-ზე გაყოფისას ჩვენ გავაკეთეთ შემდეგი:
აქედან ვიღებთ მთელი რიცხვის წილადზე გაყოფის წესს. მთელი რიცხვი წილადზე რომ გავყოთ, ეს მთელი რიცხვი უნდა გავამრავლოთ მოცემული წილადის მნიშვნელზე და ამ ნამრავლის მრიცხველად აქციოთ, გავყოთ მოცემული წილადის მრიცხველზე.
ჩვენ ვწერთ წესს ასოების გამოყენებით:
ამ წესის სრულყოფილად გასაგებად, უნდა გვახსოვდეს, რომ წილადი შეიძლება ჩაითვალოს კოეფიციენტად. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა ნაპოვნი წესის შედარება რიცხვის კოეფიციენტზე გაყოფის წესთან, რომელიც მოცემულია § 38-ში. გაითვალისწინეთ, რომ იქაც იგივე ფორმულა იქნა მიღებული.
გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:
4. წილადის გაყოფა წილადზე.
დაე, საჭირო გახდეს 3/4-ის გაყოფა 3/8-ზე. რა იქნება რიცხვი, რომელიც მიიღება გაყოფის შედეგად? ის უპასუხებს კითხვას რამდენჯერ შეიცავს წილადი 3/8 წილადში 3/4. ამ საკითხის გასაგებად დავხატოთ ნახატი (სურ. 20).
აიღეთ AB სეგმენტი, აიღეთ ერთეულად, გაყავით 4 ტოლ ნაწილად და მონიშნეთ 3 ასეთი ნაწილი. სეგმენტი AC უდრის AB სეგმენტის 3/4-ს. მოდით, ახლა გავყოთ ოთხი საწყისი სეგმენტიდან თითოეული ნახევრად, შემდეგ AB სეგმენტი დაიყოფა 8 ტოლ ნაწილად და თითოეული ასეთი ნაწილი იქნება AB სეგმენტის 1/8-ის ტოლი. 3 ასეთ სეგმენტს ვაკავშირებთ რკალებით, მაშინ თითოეული სეგმენტი AD და DC იქნება AB სეგმენტის 3/8-ის ტოლი. ნახაზზე ჩანს, რომ 3/8-ის ტოლი სეგმენტი შეიცავს 3/4-ის ტოლ სეგმენტში ზუსტად 2-ჯერ; ასე რომ, გაყოფის შედეგი შეიძლება დაიწეროს ასე:
3 / 4: 3 / 8 = 2
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 15/16-ის გაყოფა 3/32-ზე:
შეგვიძლია ასე ვიმსჯელოთ: უნდა ვიპოვოთ რიცხვი, რომელიც 3/32-ზე გამრავლების შემდეგ მისცემს ნამრავლს 15/16-ის ტოლი. მოდით დავწეროთ გამოთვლები ასე:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 უცნობი ნომერი X შეადგინეთ 15/16
1/32 უცნობი ნომერი X არის,
32/32 ნომრები X კოსმეტიკა .
აქედან გამომდინარე,
ამრიგად, წილადის წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორის მნიშვნელზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი გაამრავლოთ მეორის მრიცხველზე და პირველი ნამრავლი გააკეთოთ მრიცხველი და მრიცხველი. მეორე მნიშვნელი.
მოდით დავწეროთ წესი ასოების გამოყენებით:
გაყოფისას შესაძლებელია აბრევიატურები, მაგალითად:
5. შერეული რიცხვების გაყოფა.
შერეული რიცხვების გაყოფისას ისინი ჯერ უნდა გადაიზარდოს არასწორ წილადებად, შემდეგ კი მიღებული წილადები დაიყოს წილადი რიცხვების გაყოფის წესების მიხედვით. განვიხილოთ მაგალითი:
შერეული რიცხვების გადაქცევა არასწორ წილადებად:
ახლა გავყოთ:
ამრიგად, შერეული რიცხვების გასაყოფად საჭიროა მათი გადაყვანა არასწორ წილადებად და შემდეგ გაყოფა წილადების გაყოფის წესის მიხედვით.
6. რიცხვის პოვნა მისი წილადის მიხედვით.
წილადებზე სხვადასხვა ამოცანებს შორის, ზოგჯერ არის ისეთებიც, რომლებშიც მითითებულია უცნობი რიცხვის ზოგიერთი წილადის მნიშვნელობა და საჭიროა ამ რიცხვის პოვნა. ამ ტიპის ამოცანები შებრუნებული იქნება მოცემული რიცხვის წილადის პოვნის ამოცანზე; იქ რიცხვი იყო მოცემული და საჭირო იყო ამ რიცხვის რაღაც წილადის პოვნა, აქ მოცემულია რიცხვის წილადი და საჭიროა თავად ამ რიცხვის პოვნა. ეს იდეა კიდევ უფრო ნათელი გახდება, თუ ამ ტიპის პრობლემის გადაწყვეტას მივმართავთ.
დავალება 1.პირველ დღეს მინაშენებმა 50 ფანჯარა შეამინეს, რაც აშენებული სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ია. რამდენი ფანჯარაა ამ სახლში?
გადაწყვეტილება.პრობლემა ამბობს, რომ 50 მინის ფანჯარა შეადგენს სახლის ყველა ფანჯრის 1/3-ს, რაც იმას ნიშნავს, რომ სულ 3-ჯერ მეტი ფანჯარაა, ე.ი.
სახლს 150 ფანჯარა ჰქონდა.
დავალება 2.მაღაზიაში გაიყიდა 1500 კგ ფქვილი, რაც მაღაზიაში არსებული ფქვილის მთლიანი მარაგის 3/8-ია. როგორი იყო მაღაზიის ფქვილის საწყისი მარაგი?
გადაწყვეტილება.პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ გაყიდული 1500 კგ ფქვილი მთლიანი მარაგის 3/8-ს შეადგენს; ეს ნიშნავს, რომ ამ მარაგის 1/8 იქნება 3-ჯერ ნაკლები, ანუ მის გამოსათვლელად საჭიროა 1500-ის შემცირება 3-ჯერ:
1500: 3 = 500 (ეს არის მარაგის 1/8).
ცხადია, მთლიანი მარაგი 8-ჯერ მეტი იქნება. აქედან გამომდინარე,
500 8 \u003d 4000 (კგ).
მაღაზიაში ფქვილის საწყისი მარაგი 4000 კგ იყო.
ამ პრობლემის განხილვიდან გამომდინარე, შემდეგი წესი შეიძლება გამოიტანოს.
რიცხვის საპოვნელად მისი წილადის მოცემული მნიშვნელობით საკმარისია ეს მნიშვნელობა გავყოთ წილადის მრიცხველზე და გავამრავლოთ შედეგი წილადის მნიშვნელზე.
ჩვენ გადავწყვიტეთ ორი ამოცანა რიცხვის პოვნის შესახებ მისი წილადის მიხედვით. ასეთი ამოცანები, როგორც ეს ბოლოდან განსაკუთრებით კარგად ჩანს, ორი მოქმედებით წყდება: გაყოფა (ერთი ნაწილის აღმოჩენისას) და გამრავლება (მთელი რიცხვის აღმოჩენისას).
თუმცა წილადების დაყოფის შესწავლის შემდეგ ზემოაღნიშნული ამოცანების ამოხსნა შესაძლებელია ერთ მოქმედებაში, კერძოდ: წილადზე გაყოფა.
მაგალითად, ბოლო დავალება შეიძლება გადაწყდეს ერთი მოქმედებით ასე:
სამომავლოდ მოვაგვარებთ რიცხვის მისი წილადით პოვნის პრობლემას ერთ მოქმედებაში - გაყოფაში.
7. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.
ამ ამოცანებში მოგიწევთ რიცხვის პოვნა, ამ რიცხვის რამდენიმე პროცენტის ცოდნა.
დავალება 1.ამ წლის დასაწყისში შემნახველი ბანკიდან ავიღე 60 მანეთი. შემოსავალი იმ თანხიდან, რომელიც მე ჩავდე დანაზოგში ერთი წლის წინ. რამდენი ფული ჩავდე შემნახველ ბანკში? (სალაროები აძლევენ მეანაბრეებს შემოსავლის 2%-ს წელიწადში.)
პრობლემის აზრი ის არის, რომ გარკვეული თანხა შემნახველ ბანკში ჩავდე და იქ ერთი წელი ვიწექი. ერთი წლის შემდეგ მისგან 60 მანეთი მივიღე. შემოსავალი, რაც ჩემს მიერ ჩადებული თანხის 2/100-ია. რამდენი ფული ჩავდე?
მაშასადამე, ვიცოდეთ ამ ფულის ნაწილი, რომელიც გამოიხატება ორი გზით (რუბლით და წილადებით), უნდა ვიპოვოთ მთელი, ჯერჯერობით უცნობი, თანხა. ეს რიგითი პრობლემაა რიცხვის პოვნისას მისი წილადის მიხედვით. შემდეგი ამოცანები წყდება გაყოფით:
ასე რომ, შემნახველ ბანკში 3000 მანეთი ჩაიდო.
დავალება 2.ორ კვირაში მეთევზეებმა თვიური გეგმა 64%-ით შეასრულეს და 512 ტონა თევზი მოამზადეს. როგორი იყო მათი გეგმა?
პრობლემის მდგომარეობიდან ცნობილია, რომ მეთევზეებმა გეგმის ნაწილი დაასრულეს. ეს ნაწილი უდრის 512 ტონას, რაც გეგმის 64%-ია. რამდენი ტონა თევზია საჭირო გეგმის მიხედვით, არ ვიცით. პრობლემის გადაწყვეტა იქნება ამ რიცხვის პოვნა.
ასეთი ამოცანები წყდება გაყოფით:
ასე რომ, გეგმის მიხედვით, თქვენ უნდა მოამზადოთ 800 ტონა თევზი.
დავალება 3.მატარებელი რიგადან მოსკოვში წავიდა. როდესაც მან 276-ე კილომეტრი გაიარა, ერთ-ერთმა მგზავრმა გამვლელ კონდუქტორს ჰკითხა, რამდენი გზა ჰქონდათ უკვე გავლილი. ამაზე კონდუქტორმა უპასუხა: ”ჩვენ უკვე დავფარეთ მთელი მოგზაურობის 30%. რა მანძილია რიგადან მოსკოვამდე?
პრობლემის მდგომარეობიდან ჩანს, რომ რიგიდან მოსკოვამდე მგზავრობის 30% არის 276 კმ. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მთელი მანძილი ამ ქალაქებს შორის, ანუ ამ ნაწილისთვის ვიპოვოთ მთელი:
§ 91. საპასუხო რიცხვები. გაყოფის შეცვლა გამრავლებით.
აიღეთ წილადი 2/3 და გადააწყვეთ მრიცხველი მნიშვნელის ადგილზე, მივიღებთ 3/2. ჩვენ მივიღეთ ფრაქცია, ამის საპასუხო.
იმისათვის, რომ მიიღოთ წილადის საპასუხო წილადი, თქვენ უნდა დააყენოთ მისი მრიცხველი მნიშვნელის ადგილას, ხოლო მნიშვნელი მრიცხველის ადგილზე. ამ გზით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ წილადი, რომელიც არის ნებისმიერი წილადის საპასუხო. Მაგალითად:
3/4, საპირისპირო 4/3; 5/6, საპირისპირო 6/5
ორ წილადს, რომელსაც აქვს თვისება, რომ პირველის მრიცხველი იყოს მეორის მნიშვნელი და პირველის მნიშვნელი მეორის მრიცხველი, ეწოდება ურთიერთშებრუნებული.
ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი წილადი იქნება 1/2-ის საპასუხო. ცხადია, ეს იქნება 2/1, ან უბრალოდ 2. ვეძებთ ამის საპასუხოდ, მივიღეთ მთელი რიცხვი. და ეს შემთხვევა არ არის იზოლირებული; პირიქით, ყველა წილადისთვის, რომელთა მრიცხველია 1 (ერთი), საპასუხო რიცხვები იქნება მთელი რიცხვები, მაგალითად:
1/3, ინვერსიული 3; 1/5, საპირისპირო 5
ვინაიდან საპასუხო რიცხვების პოვნისას ჩვენ ასევე შევხვდით მთელ რიცხვებს, სამომავლოდ ვისაუბრებთ არა საპასუხო, არამედ ორმხრივებზე.
მოდით გავარკვიოთ, როგორ დავწეროთ მთელი რიცხვის საპასუხო. წილადებისთვის ეს მარტივად წყდება: მრიცხველის ადგილას მნიშვნელი უნდა დააყენოთ. ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის საპასუხო, რადგან ნებისმიერ მთელ რიცხვს შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელი 1. ასე რომ, 7-ის საპასუხო იქნება 1/7, რადგან 7 \u003d 7/1; 10 რიცხვისთვის საპირისპირო არის 1/10, ვინაიდან 10 = 10/1
ეს აზრი შეიძლება სხვაგვარად გამოითქვას: მოცემული რიცხვის საპასუხოობა მიიღება მოცემულ რიცხვზე ერთის გაყოფით. ეს განცხადება მართალია არა მხოლოდ მთელი რიცხვებისთვის, არამედ წილადებისთვისაც. მართლაც, თუ გსურთ დაწეროთ რიცხვი, რომელიც არის წილადის 5/9 საპასუხო, მაშინ შეგვიძლია ავიღოთ 1 და გავყოთ 5/9-ზე, ე.ი.
ახლა ავღნიშნოთ ერთი ქონებაორმხრივი ნომრები, რომლებიც გამოგვადგება: ურთიერთ საპასუხო რიცხვების ნამრავლი უდრის ერთს.Ნამდვილად:
ამ თვისების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ რეციპროკულები შემდეგი გზით. ვიპოვოთ 8-ის საპასუხო.
ასოთი ავღნიშნოთ X , შემდეგ 8 X = 1, შესაბამისად X = 1/8. ვიპოვოთ სხვა რიცხვი, 7/12-ის შებრუნებული, აღვნიშნოთ იგი ასოთი X , შემდეგ 7/12 X = 1, შესაბამისად X = 1:7 / 12 ან X = 12 / 7 .
ჩვენ აქ შემოვიღეთ საპასუხო რიცხვების კონცეფცია, რათა ოდნავ შევავსოთ ინფორმაცია წილადების გაყოფის შესახებ.
როდესაც რიცხვ 6-ს ვყოფთ 3/5-ზე, მაშინ ვაკეთებთ შემდეგს:
განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ გამოთქმას და შეადარეთ მოცემულს: .
თუ გამოთქმას ცალ-ცალკე ავიღებთ, წინასთან კავშირის გარეშე, მაშინ შეუძლებელია ამოხსნათ კითხვა, საიდან გაჩნდა: 6-ის 3/5-ზე გაყოფით თუ 6-ის 5/3-ზე გამრავლებიდან. ორივე შემთხვევაში შედეგი ერთნაირია. ასე რომ, შეგვიძლია ვთქვათ რომ ერთი რიცხვის მეორეზე გაყოფა შეიძლება შეიცვალოს დივიდენდის გამყოფის საპასუხოზე გამრავლებით.
ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები სრულად ადასტურებს ამ დასკვნას.
გაკვეთილის შინაარსიერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
წილადების დამატება ორი ტიპისაა:
- ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
- სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
დავიწყოთ იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებით. აქ ყველაფერი მარტივია. იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი მრიცხველები და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი. მაგალითად, დავუმატოთ წილადები და . ვამატებთ მრიცხველებს და ვტოვებთ მნიშვნელს უცვლელად:
ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ პიცას:
მაგალითი 2დაამატეთ წილადები და.
პასუხი არის არასწორი წილადი. თუ დავალების დასასრული დადგა, მაშინ ჩვეულებრივია არასათანადო წილადებისგან თავის დაღწევა. არასწორი წილადის მოსაშორებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი. ჩვენს შემთხვევაში, მთლიანი ნაწილი ადვილად გამოირჩევა - ორი გაყოფილი ორზე უდრის ერთს:
ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც ორ ნაწილად იყოფა. თუ პიცას მეტ პიცას დაამატებთ, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას:
მაგალითი 3. დაამატეთ წილადები და.
კვლავ დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:
ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ პიცას:
მაგალითი 4იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 
ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. მრიცხველები უნდა დაემატოს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი:
შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას და დაამატებთ მეტ პიცას, მიიღებთ 1 მთლიან პიცას და მეტ პიცას.
როგორც ხედავთ, ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება არ არის რთული. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:
- ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად საჭიროა მათი მრიცხველების დამატება და მნიშვნელი უცვლელი დატოვოთ;
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება
ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. წილადების შეკრებისას ამ წილადების მნიშვნელები უნდა იყოს იგივე. მაგრამ ისინი ყოველთვის არ არიან ერთნაირი.
მაგალითად, წილადების დამატება შეიძლება, რადგან მათ აქვთ იგივე მნიშვნელები.
მაგრამ წილადების ერთდროულად დამატება შეუძლებელია, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.
წილადების ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შემცირების რამდენიმე გზა არსებობს. დღეს ჩვენ განვიხილავთ მხოლოდ ერთ მათგანს, რადგან დამწყებთათვის დანარჩენი მეთოდები შეიძლება რთული ჩანდეს.
ამ მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ პირველი (LCM) ორივე წილადის მნიშვნელებიდან არის მოძიებული. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი ფაქტორი. იგივეს აკეთებენ მეორე წილადთან - NOC იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი ფაქტორი.
შემდეგ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, იქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები.
მაგალითი 1. დაამატეთ წილადები და
უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 6.
LCM (2 და 3) = 6
ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და . ჯერ LCM-ს ვყოფთ პირველი წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 6 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ 2-ს.
შედეგად მიღებული ნომერი 2 არის პირველი დამატებითი ფაქტორი. ჩავწერთ პირველ წილადამდე. ამისათვის ჩვენ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს წილადის ზემოთ და ვწერთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს მის ზემოთ:
იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე და ვიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს. LCM არის რიცხვი 6, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. 6 გავყოთ 2-ზე, მივიღებთ 3-ს.
შედეგად მიღებული ნომერი 3 არის მეორე დამატებითი ფაქტორი. ვწერთ მეორე წილადს. კვლავ ვაკეთებთ პატარა ირიბ ხაზს მეორე წილადის ზემოთ და ვწერთ მის ზემოთ ნაპოვნი დამატებით ფაქტორს:
ახლა ჩვენ მზად ვართ დავამატოთ. რჩება წილადების მრიცხველების და მნიშვნელების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:
კარგად დააკვირდით რა მივედით. მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ დავამატოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:
ასე მთავრდება მაგალითი. დასამატებლად თურმე.
შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას დაუმატებთ პიცას, მიიღებთ ერთ მთლიან პიცას და პიცის მეორე მეექვსედს:
წილადების ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელზე შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. წილადების და საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს ორი ფრაქცია წარმოდგენილი იქნება პიცის ერთი და იგივე ნაჭრებით. განსხვავება მხოლოდ ის იქნება, რომ ამჯერად ისინი დაიყოფიან თანაბარ წილებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე).
პირველ ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ოთხი ცალი ექვსიდან), ხოლო მეორე ნახატზე ნაჩვენებია წილადი (ექვსიდან სამი ცალი). ამ ნაწილების ერთად შეკრებით ვიღებთ (შვიდი ცალი ექვსიდან). ეს წილადი არასწორია, ამიტომ ჩვენ გამოვყავით მასში მთელი რიცხვი. შედეგი იყო (ერთი მთლიანი პიცა და მეორე მეექვსე პიცა).
გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ ეს მაგალითი ძალიან დეტალურად დავხატეთ. საგანმანათლებლო დაწესებულებებში არ არის ჩვეულებრივი წერა ასეთი დეტალურად. თქვენ უნდა შეძლოთ სწრაფად იპოვოთ როგორც მნიშვნელების, ასევე მათზე დამატებითი ფაქტორების LCM, ასევე სწრაფად გაამრავლოთ თქვენი მრიცხველებისა და მნიშვნელების მიერ ნაპოვნი დამატებითი ფაქტორები. სკოლაში ყოფნისას ჩვენ მოგვიწევს ამ მაგალითის დაწერა შემდეგნაირად:
მაგრამ არსებობს მონეტის მეორე მხარეც. თუ მათემატიკის შესწავლის პირველ ეტაპზე დეტალური შენიშვნები არ კეთდება, მაშინ ასეთი კითხვები „საიდან მოდის ეს რიცხვი?“, „რატომ გადაიქცევა წილადები მოულოდნელად სრულიად განსხვავებულ წილადებად? «.
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დამატების გასაადვილებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი ნაბიჯ-ნაბიჯ ინსტრუქციები:
- იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM;
- გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის;
- გავამრავლოთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები მათ დამატებით ფაქტორებზე;
- დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები;
- თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ აირჩიეთ მისი მთელი ნაწილი;
მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 
.
მოდით გამოვიყენოთ ზემოთ მოცემული ინსტრუქციები.
ნაბიჯი 1. იპოვეთ წილადების მნიშვნელების LCM
იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 2, 3 და 4
ნაბიჯი 2. გაყავით LCM თითოეული წილადის მნიშვნელზე და მიიღეთ დამატებითი მამრავლი თითოეული წილადისთვის
LCM გავყოთ პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 2. გავყოთ 12 2-ზე, მივიღებთ 6-ს. მივიღეთ პირველი დამატებითი კოეფიციენტი 6. მას ვწერთ პირველ წილადზე:
ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 12-ს ვყოფთ 3-ზე, ვიღებთ 4. მივიღეთ მეორე დამატებითი ფაქტორი 4. ვწერთ მას მეორე წილადზე:
ახლა ჩვენ ვყოფთ LCM-ს მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მივიღეთ მესამე დამატებითი ფაქტორი 3. ვწერთ მას მესამე წილადზე:
ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ წილადების მრიცხველები და მნიშვნელები თქვენს დამატებით ფაქტორებზე
ჩვენ ვამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს ჩვენს დამატებით ფაქტორებზე:
ნაბიჯი 4. დაამატეთ წილადები, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელები
მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. რჩება ამ წილადების დამატება. დაამატეთ:
დამატება არ ჯდებოდა ერთ სტრიქონზე, ამიტომ დარჩენილი გამოხატულება გადავიტანეთ შემდეგ სტრიქონზე. ეს ნებადართულია მათემატიკაში. როდესაც გამონათქვამი არ ჯდება ერთ სტრიქონზე, ის გადადის შემდეგ სტრიქონზე და აუცილებელია პირველი სტრიქონის ბოლოს და ახალი სტრიქონის დასაწყისში ტოლობის ნიშანი (=). მეორე სტრიქონზე ტოლობის ნიშანი მიუთითებს, რომ ეს არის პირველი ხაზის გამოთქმის გაგრძელება.
ნაბიჯი 5. თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი აირჩიეთ
ჩვენი პასუხი არის არასწორი წილადი. უნდა გამოვყოთ მისი მთელი ნაწილი. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ:
პასუხი მიიღო
ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
წილადის გამოკლების ორი ტიპი არსებობს:
- ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
- სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
ჯერ ვისწავლოთ როგორ გამოვაკლოთ წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. აქ ყველაფერი მარტივია. მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.
მაგალითად, ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა. ამ მაგალითის ამოსახსნელად აუცილებელია მეორე წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ პირველი წილადის მრიცხველს და მნიშვნელი დარჩეს უცვლელი. Მოდი გავაკეთოთ ეს:
ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია ოთხ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:
მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
კვლავ გამოაკელით მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი:
ეს მაგალითი ადვილად გასაგებია, თუ ვიფიქრებთ პიცაზე, რომელიც დაყოფილია სამ ნაწილად. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას:
მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 
ეს მაგალითი მოგვარებულია ზუსტად ისევე, როგორც წინა. პირველი წილადის მრიცხველს უნდა გამოკლოთ დარჩენილი წილადების მრიცხველები:
როგორც ხედავთ, არაფერია რთული ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების გამოკლებაში. საკმარისია შემდეგი წესების გაგება:
- ერთ წილადს მეორეს რომ გამოვაკლოთ, უნდა გამოვაკლოთ მეორე წილადის მრიცხველი პირველი წილადის მრიცხველს და დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი;
- თუ პასუხი არასწორი წილადი აღმოჩნდა, მაშინ მასში მთელი ნაწილი უნდა აირჩიოთ.
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება
მაგალითად, წილადს შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს აქვთ იგივე მნიშვნელები. მაგრამ წილადს არ შეიძლება გამოვაკლოთ წილადი, რადგან ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ. ასეთ შემთხვევებში, წილადები უნდა შემცირდეს იმავე (საერთო) მნიშვნელზე.
საერთო მნიშვნელი გვხვდება იმავე პრინციპის მიხედვით, რომელსაც ვიყენებდით სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრებისას. უპირველეს ყოვლისა, იპოვეთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM. შემდეგ LCM იყოფა პირველი წილადის მნიშვნელზე და მიიღება პირველი დამატებითი კოეფიციენტი, რომელიც იწერება პირველ წილადზე. ანალოგიურად, LCM იყოფა მეორე წილადის მნიშვნელზე და მიიღება მეორე დამატებითი ფაქტორი, რომელიც იწერება მეორე წილადზე.
შემდეგ წილადები მრავლდება მათ დამატებით ფაქტორებზე. ამ მოქმედებების შედეგად, წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცევა წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები.
მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ თქვენ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.
პირველი, ჩვენ ვპოულობთ ორივე წილადის მნიშვნელების LCM-ს. პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 12.
LCM (3 და 4) = 12
ახლა დავუბრუნდეთ წილადებს და
ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს პირველი წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. გავყოთ 12 3-ზე, მივიღებთ 4. ოთხს ვწერთ პირველ წილადზე:
იგივეს ვაკეთებთ მეორე წილადთანაც. LCM-ს ვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 12, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 4. გავყოთ 12 4-ზე, მივიღებთ 3. მეორე წილადს ვწერთ სამმაგს:
ახლა ჩვენ ყველანი მზად ვართ გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:
მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც ერთი და იგივე მნიშვნელი ჰქონდათ. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. ეს მაგალითი ბოლომდე დავასრულოთ:
პასუხი მიიღო
შევეცადოთ გამოვსახოთ ჩვენი გამოსავალი სურათის გამოყენებით. თუ პიცას ამოჭრით პიციდან, მიიღებთ პიცას.
ეს არის გადაწყვეტის დეტალური ვერსია. სკოლაში ყოფნისას ეს მაგალითი უფრო მოკლედ მოგვიწევს გადაჭრას. ასეთი გამოსავალი ასე გამოიყურება:
წილადების და საერთო მნიშვნელის შემცირება ასევე შეიძლება გამოსახული იყოს სურათის გამოყენებით. ამ წილადების საერთო მნიშვნელთან მიყვანისას მივიღებთ წილადებს და . ეს წილადები წარმოდგენილი იქნება ერთი და იგივე პიცის ნაჭრებით, მაგრამ ამჯერად ისინი დაყოფილი იქნება იმავე წილადებად (შემცირებული იმავე მნიშვნელზე):
პირველ სურათზე ნაჩვენებია წილადი (რვა ცალი თორმეტიდან), ხოლო მეორე სურათზე ნაჩვენებია წილადი (სამი ცალი თორმეტიდან). რვა ნაწილიდან სამი ცალი ამოჭრით, თორმეტიდან ხუთ ნაჭერს ვიღებთ. წილადი აღწერს ამ ხუთ ნაწილს.
მაგალითი 2იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 
ამ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელი აქვთ, ამიტომ ჯერ უნდა მიიყვანოთ ისინი ერთსა და იმავე (საერთო) მნიშვნელთან.
იპოვეთ ამ წილადების მნიშვნელების LCM.
წილადების მნიშვნელებია რიცხვები 10, 3 და 5. ამ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი არის 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
ახლა ჩვენ ვპოულობთ დამატებით ფაქტორებს თითოეული წილადისთვის. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ LCM-ს თითოეული წილადის მნიშვნელზე.
ვიპოვოთ დამატებითი ფაქტორი პირველი წილადისთვის. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 10. 30 გავყოთ 10-ზე, მივიღებთ პირველ დამატებით კოეფიციენტს 3. მას ვწერთ პირველ წილადზე:
ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მეორე წილადისთვის. LCM გავყოთ მეორე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მეორე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 3. 30 გავყოთ 3-ზე, მივიღებთ მეორე დამატებით კოეფიციენტს 10. ვწერთ მეორე წილადზე:
ახლა ვპოულობთ დამატებით ფაქტორს მესამე წილადისთვის. LCM გავყოთ მესამე წილადის მნიშვნელზე. LCM არის რიცხვი 30, ხოლო მესამე წილადის მნიშვნელი არის რიცხვი 5. 30 გავყოთ 5-ზე, მივიღებთ მესამე დამატებით კოეფიციენტს 6. მას ვწერთ მესამე წილადზე:
ახლა ყველაფერი მზად არის გამოკლებისთვის. რჩება წილადების გამრავლება მათ დამატებით ფაქტორებზე:
მივედით დასკვნამდე, რომ წილადები, რომლებსაც განსხვავებული მნიშვნელი ჰქონდათ, გადაიქცნენ წილადებად, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე (საერთო) მნიშვნელი. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გამოვაკლოთ ასეთი წილადები. დავასრულოთ ეს მაგალითი.
მაგალითის გაგრძელება არ ჯდება ერთ ხაზზე, ამიტომ გაგრძელებას გადავიტანთ შემდეგ სტრიქონზე. არ დაივიწყოთ ტოლობის ნიშანი (=) ახალ ხაზზე:
პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა და როგორც ჩანს, ყველაფერი გვიწყობს, მაგრამ ზედმეტად შრომატევადი და მახინჯია. ჩვენ უნდა გავაადვილოთ. Რა შეიძლება გაკეთდეს? თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ეს ფრაქცია.
წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ მისი მრიცხველი და მნიშვნელი (gcd) 20 და 30 რიცხვებზე.
ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ 20 და 30 რიცხვების GCD-ს:
ახლა ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს მაგალითს და ვყოფთ წილადის მრიცხველს და მნიშვნელს ნაპოვნი GCD-ზე, ანუ 10-ზე.
პასუხი მიიღო
წილადის რიცხვზე გამრავლება
წილადის რიცხვზე გასამრავლებლად საჭიროა მოცემული წილადის მრიცხველი ამ რიცხვზე გაამრავლოთ და მნიშვნელი იგივე დატოვოთ.
მაგალითი 1. გაამრავლე წილადი 1 რიცხვზე.
წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 1 რიცხვზე
ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ნახევარი 1 დრო. მაგალითად, თუ პიცას 1-ჯერ იღებთ, მიიღებთ პიცას
გამრავლების კანონებიდან ვიცით, რომ თუ გამრავლება და მამრავლი ერთმანეთს ენაცვლება, მაშინ ნამრავლი არ შეიცვლება. თუ გამოთქმა დაიწერება როგორც , მაშინ პროდუქტი კვლავ ტოლი იქნება . ისევ მთელი რიცხვისა და წილადის გამრავლების წესი მუშაობს:
ეს ჩანაწერი შეიძლება გავიგოთ, როგორც ერთეულის ნახევრის აღება. მაგალითად, თუ არის 1 მთლიანი პიცა და ავიღებთ ნახევარს, მაშინ გვექნება პიცა:
მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა
წილადის მრიცხველი გავამრავლოთ 4-ზე
პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:
გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი მეოთხედი 4-ჯერ აღება. მაგალითად, თუ პიცას 4-ჯერ იღებთ, მიიღებთ ორ მთლიან პიცას.
და თუ გავცვლით მამრავლსა და მამრავლს ადგილებზე, მივიღებთ გამოხატულებას. ის ასევე იქნება 2-ის ტოლი. ეს გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც ორი პიცის აღება ოთხი მთლიანი პიციდან:
წილადების გამრავლება
წილადების გასამრავლებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მათი მრიცხველები და მნიშვნელები. თუ პასუხი არასწორი წილადია, თქვენ უნდა აირჩიოთ მასში მთელი ნაწილი.
მაგალითი 1იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.
პასუხი მიიღო. სასურველია ამ ფრაქციის შემცირება. წილადი შეიძლება შემცირდეს 2-ით. შემდეგ საბოლოო ამოხსნა მიიღებს შემდეგ ფორმას:
გამოთქმა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პიცის აღება ნახევარი პიცისგან. ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:
როგორ ავიღოთ ორი მესამედი ამ ნახევრიდან? ჯერ ეს ნახევარი უნდა გაყოთ სამ თანაბარ ნაწილად:
და აიღეთ ორი ამ სამი ნაწილიდან:
პიცას მივიღებთ. გახსოვდეთ, როგორ გამოიყურება პიცა, დაყოფილია სამ ნაწილად:
ამ პიცის ერთი ნაჭერი და ჩვენ მიერ აღებული ორი ნაჭერი იქნება იგივე ზომები:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვსაუბრობთ იმავე ზომის პიცაზე. აქედან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა არის
მაგალითი 2. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა
გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:
პასუხი არის არასწორი წილადი. ავიღოთ მთელი ნაწილი:
მაგალითი 3იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა
გავამრავლოთ პირველი წილადის მრიცხველი მეორე წილადის მრიცხველზე, ხოლო პირველი წილადის მნიშვნელი მეორე წილადის მნიშვნელზე:
პასუხი სწორი წილადი აღმოჩნდა, მაგრამ კარგი იქნება თუ შემცირდება. ამ წილადის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაყოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 105 და 450 რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD).
მაშ ასე, ვიპოვოთ 105 და 450 რიცხვების GCD:
ახლა ჩვენ ვყოფთ ჩვენი პასუხის მრიცხველსა და მნიშვნელს GCD-ზე, რომელიც ახლა ვიპოვეთ, ანუ 15-ზე.
მთელი რიცხვის წილადის სახით წარმოდგენა
ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადის სახით. მაგალითად, რიცხვი 5 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც . აქედან ხუთი არ შეიცვლება მის მნიშვნელობას, რადგან გამოთქმა ნიშნავს "რიცხვი ხუთი გაყოფილი ერთზე" და ეს, როგორც მოგეხსენებათ, უდრის ხუთს:
უკუ ნომრები
ახლა ჩვენ გავეცნობით ძალიან საინტერესო თემას მათემატიკაში. მას "უკუ რიცხვები" ჰქვია.
განმარტება. რიცხვზე გადაბრუნებაა არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისასა აძლევს ერთეულს.
მოდით ჩავანაცვლოთ ამ განმარტებაში ცვლადის ნაცვლად ანომერი 5 და შეეცადეთ წაიკითხოთ განმარტება:
რიცხვზე გადაბრუნება 5 არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებისას 5 აძლევს ერთეულს.
შესაძლებელია თუ არა ისეთი რიცხვის პოვნა, რომელიც 5-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთს? თურმე შეგიძლია. წარმოვადგენთ ხუთს წილადად:
შემდეგ გაამრავლეთ ეს წილადი თავისთავად, უბრალოდ შეცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდით გავამრავლოთ წილადი თავისთავად, მხოლოდ შებრუნებული:
რა იქნება ამის შედეგი? თუ გავაგრძელებთ ამ მაგალითის ამოხსნას, მივიღებთ ერთს:
ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 5-ის ინვერსია არის რიცხვი, რადგან როდესაც 5 მრავლდება ერთზე, მიიღება ერთი.
საპასუხო შეიძლება ასევე მოიძებნოს ნებისმიერი სხვა მთელი რიცხვისთვის.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ საპასუხო ნებისმიერი სხვა წილადისთვის. ამისათვის საკმარისია მისი გადაბრუნება.
წილადის გაყოფა რიცხვზე
ვთქვათ, გვაქვს ნახევარი პიცა:
მოდით თანაბრად გავყოთ ორს შორის. რამდენ პიცას მიიღებს თითოეული?
ჩანს, რომ პიცის ნახევრის გაყოფის შემდეგ მიიღეს ორი თანაბარი ნაჭერი, რომელთაგან თითოეული ქმნის პიცას. ასე რომ, ყველა იღებს პიცას.
წილადების დაყოფა ხდება ორმხრივების გამოყენებით. ორმხრივები საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით.
წილადის რიცხვზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფის ორმხრივად.
ამ წესის გამოყენებით ჩვენ დავწერთ ჩვენი ნახევრის პიცის ორ ნაწილად დაყოფას.
ასე რომ, თქვენ უნდა გაყოთ წილადი 2 რიცხვზე. აქ დივიდენდი არის წილადი და გამყოფი არის 2.
წილადის 2-ზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ეს წილადი გამყოფი 2-ის საპირისპიროზე. გამყოფი 2-ის ორმხრივი არის წილადი. ასე რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ
ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ იმავე მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებას და გამოკლებას. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ შევკრიბოთ და გამოვაკლოთ საერთო წილადები ერთი და იგივე მნიშვნელებით. გამოდის, რომ ალგებრული წილადები იგივე წესებს მისდევენ. ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებთან მუშაობის უნარი ერთ-ერთი ქვაკუთხედია ალგებრულ წილადებთან მუშაობის წესების შესწავლაში. კერძოდ, ამ თემის გაგება გაადვილებს უფრო რთული თემის - სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება და გამოკლების დაუფლებას. გაკვეთილის ფარგლებში შევისწავლით ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესებს, ასევე გავაანალიზებთ არაერთ ტიპურ მაგალითს.
ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესი
სფორ-მუ-ლი-რუ-ემ პრ-ვი-ლო სლო-ჟე-ნია (შენ-ჩი-ტა-ნია) ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბეი ერთ-ერთ-შენთან ერთად - mi-know-on-te-la-mi (ეს არის co-pa-yes-et ანალოგიური ცერის მარჯვნივ ჩვეულებრივი-მაგრამ-ven-nyh-dr-bay-ისთვის): ეს არის დამატებისთვის. ან შენ-ჩი-ტა-ნია ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბეი ერთი-შენ-მი-იცნობ-მე-ონ-ტე-ლა-მი აუცილებელია -ჰო-დი-მო-თან ერთად. -დადექით-დან-ვეტ-სტუ-უ-თ ალ-გებ-რა-ი-ჩე-ლი-ტე-ლეის რიცხვის ჯამი და ნიშანი-მე-ზე-ტელ დატოვეთ იზ-მე-ის გარეშე. არა-ნი.
ჩვენ გავაანალიზებთ ამ უფლება-ვი-ლო-ს როგორც ჩვეულებრივი-მაგრამ ვენის-შოტ-ბიტების მაგალითზე, ასევე ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბეის მაგალითზე.
ჩვეულებრივი წილადებისთვის წესის გამოყენების მაგალითები
მაგალითი 1. წილადების დამატება:.
გადაწყვეტილება
დავამატოთ რიცხვი-თუ არა-ისინი-დაათამაშებენ-დაძლევენ და იგივე დავტოვოთ ნიშანი-me-on-tel. ამის შემდეგ, numer-li-tel და sign-me-on-tel ვყოფთ მარტივ მამრავლებად და სო-კრა-ტიმად. მოდი მივიღოთ: 
.
შენიშვნა: სტანდარტული შეცდომა, მე დავიწყებ რაღაცას კარგი მაგალითის გადაჭრისას, -key-cha-et-sya-სთვის შემდეგში-du-u-sch-so-so-be-so-she-tion : 
. ეს უხეში შეცდომაა, რადგან ხელმოწერის ნიშანი იგივე რჩება, რაც იყო თავდაპირველ ფრაქციებში.
მაგალითი 2. წილადების დამატება:.
გადაწყვეტილება
ეს ზა-და-ჩა არაფერია-ჩა-ეტ-სია წინადან:.
ალგებრული წილადების წესის გამოყენების მაგალითები
ჩვეული-მაგრამ ვენა-ნიჰ დრო-ბეი პერ-რეი-დემიდან ალ-გებ-რა-ი-ჩე-სკიმამდე.
მაგალითი 3. წილადების დამატება:.
გამოსავალი: როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბეის დამატება არაფერია-ის-ჩა-ის-სია-დან ჟე-ნიიდან ჩვეულებრივ-მაგრამ-ვენ-ნიჰ დრო-ბეიდან. ამიტომ, გადაწყვეტის მეთოდი იგივეა:.
მაგალითი 4. თქვენ-პატივისცემის წილადები:.
გადაწყვეტილება
თქვენ-ჩი-ტა-ნიე ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბეი-დან-ჩა-ეთ-სია გართულებიდან მხოლოდ იმით, რომ პი-სი-ვა-ეტ-სიას რიცხვში. განსხვავება-ლი-ტე-ლეის რიცხვში არის-რუნი-ნიჰ-დრო-ბეი. Ისე .
მაგალითი 5. თქვენ-პატივისცემის წილადები:.
გადაწყვეტილება:.
მაგალითი 6. გამარტივება:.
გადაწყვეტილება:.
წესის გამოყენების მაგალითები, რასაც მოჰყვება შემცირება
ფრაქციაში ვინმე-სამოთხე არის რე-ზულ-ტა-ის დამატება ან შენ-ჩი-ტა-ნია, შესაძლებელია თანალამაზად ნიია. გარდა ამისა, არ უნდა დაივიწყოთ ODZ al-geb-ra-i-che-dro-bey.
მაგალითი 7. გამარტივება:.
გადაწყვეტილება:.
სადაც . ზოგადად, თუ ODZ of-of-of-of-of-of-drow-bay owls-pa-yes-et ODZ-თან ერთად სულ-წადი-ყვირილის ODZ-ით, მაშინ მას ვერ მიუთითებთ (ბოლოს და ბოლოს, წილადი, lu-chen-naya in from-ve-those, ასევე არ იარსებებს co-from-vet-stu-u-s-knowing-che-no-yah-re-men-nyh). მაგრამ თუ ODZ არის გაშვებული dro-bay-ის წყარო და from-ve-რომელიც არ არის co-pa-yes-et, მაშინ ODZ მიუთითებს საჭიროება-ho-di-mo.
მაგალითი 8. გამარტივება:.
გადაწყვეტილება:. ამავე დროს, y (გამავალი გათამაშების ODZ არ ემთხვევა რე-ზულ-ტა-ტას ODZ-ს).
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება
შესანახად და შენ-ჩი-ტატ ალ-გებ-რა-და-ჩე-ფრაქციები განსხვავებული-ჩვენ-ვიცნობ-მე-ონ-ტე-ლა-მი, პრო-ვე-დემ ანა-ლო -გიუ-დან ჩვეულებრივი- ოღონდ-ვენ-ნი-მი დრო-ბია-მი და ხელახლა-აღარ-არ-სმით ის ალ-გებ-რა-და-ჩე-ფრაქციებად.
რას-ნახე უმარტივესი მაგალითი ჩვეულებრივი ვენური დარტყმისთვის.
მაგალითი 1.წილადების დამატება:.
გადაწყვეტილება:
გავიხსენოთ მარჯვენა-ვი-ლო-სლო-დროუ-ბეი. ნა-ჩა-ლა წილადებისთვის საჭიროა-ვე-სტი საერთო ნიშან-მე-ტო-ტე-ლუს მიმატება. ზოგადი ნიშნის-მე-ონ-ტე-ლას როლში ჩვეულებრივი-მაგრამ ვენების-ფრედ-ბიტებისთვის, შენ-სტუ-პა-ეტ უმცირესი საერთო ჯერადი(NOK) ნიშნები-მე-ონ-ლეი-ს წყარო.
განმარტება
ყველაზე პატარა ყელ-ტუ-რალ-რიცხვი, ვინმე-სვარჯი ერთდროულად ირთვება რიცხვებად და.
NOC-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა გადაამოწმოთ ჩემი ცოდნა უბრალო მულტიპლიკატორებში, შემდეგ კი აირჩიო ყველაფერი პრო- ბევრი, ბევრია, ზოგიერთი მათგანი ორივეს შორის განსხვავებაში შედის. signs-me-on-the-lei.
; . მაშინ რიცხვების LCM უნდა შეიცავდეს ორ ორს და ორ სამს:.
ზოგადი ნიშნის პოვნის შემდეგ, საჭიროა თითოეულმა დრო-ბეიმ მოიძიოს დამატებითი მულტი-ჟი-ტელი (ფაქ-ტი-ჩე-სკი, საერთო ნიშნის ჩამოსხმისას. ზე-ტელ ნიშან-მე-ზე-ტელ თანა-დან-რეპ-მე-მე წილად).
შემდეგ, თითოეული წილადი მრავლდება ნახევრად ჩენ-ნი-დან ნახევარ-არა-ტელ-ნი მამრავლით. ფრაქციები იგივე-ზე-შენ-იცნობ-მე-ონ-ტე-ლა-მი, საწყობები და შენ-ჩი-ტატი ვინმე ჩვენზე - შესწავლილი წინა გაკვეთილებზე.
By-lu-cha-ჭამა: 
.
პასუხი:.
რას-მიხედე-რიმი ახლა ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბეის ნაოჭი სხვადასხვა ნიშნით-მე-ონ-ტე-ლა-მი. დაიძინე-ჩა-ლა, ჩვენ ვუყურებთ წილადებს, ვიცი-მეთქი, არის თუ არა ზოგიერთი მათგანი-ლა-იუტ-სია ნომერი-ლა-მი.
სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე ალგებრული წილადების შეკრება და გამოკლება
მაგალითი 2.წილადების დამატება:.
გადაწყვეტილება:
რე-შე-ნიას ალ-გო-რიტმი აბ-სო-ლიუტ-მაგრამ ანა-ლო-გი-ჩენ წინა-დუ-შე-მუ პ-მე-რუ. ადვილია საერთო მნიშვნელის აღება მოცემულ წილადებზე: და სრულ მამრავლების დამატება თითოეული მათგანისთვის.
.
პასუხი:.
ასე რომ, სფორ-მუ-ლი-რუ-ემ გართულების ალ-გო-რიტმი და შენ-ჩი-ტა-ნია ალ-გებ-რა-და-ჩე-დრო-ბითები სხვადასხვა-ჩვენ-ვიცნობ-მე-ონ-ტე-ლა-მი:
1. იპოვეთ ყველაზე პატარა საერთო ნიშანი-me-on-tel draw-bay.
2. იპოვნეთ დამატებითი მამრავლები თითოეული გათამაშების წილადისთვის).
3. გააკეთე-გამრავლება-ცოცხალი რიცხვები-თუ არა-ზე-ოტ-ვეტ-სტუ-უ-ს-მდე-ნახევარ-არა-ტელ-ნიე-მრავალჯერადი.
4. დაამატე წილადები, ან დაამატე წილადები, გამოიყენეთ ნაკეცის მარჯვენა ვი-ლა-მი და თქვენ-ჩი-ტა-ნია გათამაშება-ბეი ერთი-თქვენ-იცნობ -მე-ზე--ით. ტე-ლა-მი.
Ras-look-rim ახლა მაგალითი dro-bya-mi-ში, in know-me-on-the-le-there-are-the-are-are-are-are-beech-ven-nye თქვენ-რა-იგივე - tion.
