რიცხვის ლოგარითმი ნ მიზეზით ა ექსპონენტი ეწოდება X , რომლის ამაღლებაც გჭირდებათ ა ნომრის მისაღებად ნ

იმ პირობით, რომ
,
,

ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ
, ე.ი.
- ეს თანასწორობა არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ლოგარითმებს მე-10 საფუძვლამდე ეწოდება ათობითი ლოგარითმები. Იმის მაგივრად
დაწერე
.

ბაზის ლოგარითმები ე ბუნებრივს უწოდებენ და აღნიშნავენ
.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები.

ნებისმიერი ბაზის ერთიანობის ლოგარითმი არის ნული

ნამრავლის ლოგარითმი უდრის ფაქტორების ლოგარითმების ჯამს.

3) კოეფიციენტის ლოგარითმი ლოგარითმების სხვაობის ტოლია

ფაქტორი
ეწოდება ფუძეზე ლოგარითმებიდან გადასვლის მოდული ა ლოგარითმებს ბაზაზე ბ .

2-5 თვისებების გამოყენებით, ხშირად შესაძლებელია რთული გამოხატვის ლოგარითმის შემცირება ლოგარითმებზე მარტივი არითმეტიკული მოქმედებების შედეგამდე.

Მაგალითად,

ლოგარითმის ასეთ გარდაქმნებს ლოგარითმები ეწოდება. ლოგარითმების საპასუხო გარდაქმნებს პოტენციაცია ეწოდება.

თავი 2. უმაღლესი მათემატიკის ელემენტები.

1. ლიმიტები

ფუნქციის ლიმიტი
არის სასრული რიცხვი A თუ, როცა ცდილობთ xx 0 თითოეული წინასწარ განსაზღვრულისთვის
, არის ნომერი
რომ როგორც კი
, მაშინ
.

ფუნქცია, რომელსაც აქვს ლიმიტი, მისგან განსხვავდება უსასრულოდ მცირე რაოდენობით:
, სადაც - b.m.w., ე.ი.
.

მაგალითი. განიხილეთ ფუნქცია
.

როცა ისწრაფვის
, ფუნქცია წ გადადის ნულზე:

1.1. ძირითადი თეორემები ლიმიტების შესახებ.

მუდმივი მნიშვნელობის ზღვარი უდრის ამ მუდმივ მნიშვნელობას

.

სასრული რაოდენობის ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) ზღვარი ამ ფუნქციების ზღვრების ჯამის (განსხვავების) ტოლია.

სასრული რაოდენობის ფუნქციების ნამრავლის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების ნამრავლის.

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის ზღვარი ტოლია ამ ფუნქციების ზღვრების კოეფიციენტის, თუ მნიშვნელის ზღვარი არ არის ნულის ტოლი.

ღირსშესანიშნავი საზღვრები

,
, სად

1.2. ლიმიტის გაანგარიშების მაგალითები

თუმცა, ყველა ზღვარი ასე მარტივად არ არის გათვლილი. უფრო ხშირად, ლიმიტის გაანგარიშება მცირდება ტიპის გაურკვევლობის გამჟღავნებამდე: ან .

.

2. ფუნქციის წარმოებული

მოდით, გვაქვს ფუნქცია
, უწყვეტი სეგმენტზე
.

არგუმენტი მიიღო გარკვეული სტიმული
. შემდეგ ფუნქცია გაიზრდება
.

არგუმენტის მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობას
.

არგუმენტის მნიშვნელობა
შეესაბამება ფუნქციის მნიშვნელობას.

აქედან გამომდინარე,.

მოდი ვიპოვოთ ამ ურთიერთობის ზღვარი აქ
. თუ ეს ზღვარი არსებობს, მაშინ მას მოცემული ფუნქციის წარმოებული ეწოდება.

მოცემული ფუნქციის 3 წარმოებულის განმარტება
არგუმენტით ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა თვითნებურად ნულისკენ მიისწრაფვის.

ფუნქციის წარმოებული
შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად:

; ; ; .

განმარტება 4 ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია ეწოდება დიფერენციაცია.

2.1. წარმოებულის მექანიკური მნიშვნელობა.

განვიხილოთ ზოგიერთი ხისტი სხეულის ან მატერიალური წერტილის მართკუთხა მოძრაობა.

დაე, დროის რაღაც მომენტში მოძრავი წერტილი
დისტანციაზე იყო საწყისი პოზიციიდან
.

გარკვეული პერიოდის შემდეგ
მან მანძილი გადაინაცვლა
. დამოკიდებულება =- მატერიალური წერტილის საშუალო სიჩქარე
. მოდი ვიპოვოთ ამ თანაფარდობის ზღვარი იმის გათვალისწინებით, რომ
.

შესაბამისად, მატერიალური წერტილის მყისიერი სიჩქარის განსაზღვრა მცირდება გზის წარმოებულის პოვნამდე დროის მიმართ.

2.2. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

დავუშვათ, გვაქვს გრაფიკულად განსაზღვრული გარკვეული ფუნქცია
.

ბრინჯი. 1. წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა

Თუ
, შემდეგ წერტილი
, იმოძრავებს მრუდის გასწვრივ, უახლოვდება წერტილს
.

აქედან გამომდინარე
, ე.ი. წარმოებულის მნიშვნელობა არგუმენტის მნიშვნელობის გათვალისწინებით რიცხობრივად უდრის მოცემულ წერტილში ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენტს ღერძის დადებითი მიმართულებით
.

2.3. ძირითადი დიფერენციაციის ფორმულების ცხრილი.

დენის ფუნქცია

ექსპონენციალური ფუნქცია

ლოგარითმული ფუნქცია

ტრიგონომეტრიული ფუნქცია

შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქცია

2.4. დიფერენციაციის წესები.

წარმოებული

ფუნქციების ჯამის (განსხვავების) წარმოებული

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

2.5. რთული ფუნქციის წარმოებული.

დაუშვით ფუნქცია
ისეთი, რომ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

და
, სადაც ცვლადი ეს არის შუალედური არგუმენტი

რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია მოცემული ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში შუალედური არგუმენტის წარმოებულის x-ის მიმართ.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

3. ფუნქციის დიფერენციალი.

დაე იყოს
, დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალებით
გაუშვი ზე ამ ფუნქციას აქვს წარმოებული

,

მაშინ შეგიძლია დაწერო

(1),

სადაც - უსასრულოდ მცირე რაოდენობა,

რადგან ზე

ტოლობის ყველა პირობის გამრავლება (1)-ზე
ჩვენ გვაქვს:

სად
- ბ.მ.ვ. უმაღლესი წესრიგი.

ღირებულება
ეწოდება ფუნქციის დიფერენციალი
და აღნიშნა

.

3.1. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

დაუშვით ფუნქცია
.

ნახ.2. დიფერენციალური გეომეტრიული მნიშვნელობა.

.

ცხადია, ფუნქციის დიფერენციალი
უდრის მოცემულ წერტილში ტანგენსის ორდინატის ნამატს.

3.2. სხვადასხვა ორდერის წარმოებულები და დიფერენცილები.

Თუ იქ
, მაშინ
პირველ წარმოებულს უწოდებენ.

პირველი წარმოებულის წარმოებულს მეორე რიგის წარმოებული ეწოდება და იწერება
.

ფუნქციის n-ე რიგის წარმოებული
ეწოდება (n-1) რიგის წარმოებული და იწერება:

.

ფუნქციის დიფერენციალურობის დიფერენციალს მეორე დიფერენციალი ან მეორე რიგის დიფერენციალი ეწოდება.

.

.

3.3 ბიოლოგიური ამოცანების ამოხსნა დიფერენციაციის გამოყენებით.

დავალება 1. კვლევებმა აჩვენა, რომ მიკროორგანიზმების კოლონიის ზრდა კანონს ემორჩილება
, სად ნ - მიკროორგანიზმების რაოდენობა (ათასობით), ტ - დრო (დღეები).

ბ) ამ პერიოდში გაიზრდება თუ შემცირდება კოლონიის მოსახლეობა?

უპასუხე. კოლონია გაიზრდება ზომით.

ამოცანა 2. ტბაში წყლის პერიოდულად ტესტირება ხდება პათოგენური ბაქტერიების შემცველობის გასაკონტროლებლად. მეშვეობით ტ ტესტირებიდან დღის შემდეგ, ბაქტერიების კონცენტრაცია განისაზღვრება თანაფარდობით

.

როდის მოვა ტბაში ბაქტერიების მინიმალური კონცენტრაცია და შესაძლებელი იქნება მასში ბანაობა?

ამოხსნა ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ან მინას, როდესაც მისი წარმოებული ნულია.

,

განვსაზღვროთ მაქსიმუმი ან მინ. იქნება 6 დღეში. ამისათვის ჩვენ ვიღებთ მეორე წარმოებულს.

პასუხი: 6 დღის შემდეგ იქნება ბაქტერიების მინიმალური კონცენტრაცია.

ამ სტატიის ყურადღება გამახვილებულია ლოგარითმი. აქ მივცემთ ლოგარითმის განმარტებას, ვაჩვენებთ მიღებულ აღნიშვნას, მოვიყვანთ ლოგარითმების მაგალითებს და ვისაუბრებთ ბუნებრივ და ათობითი ლოგარითმებზე. ამის შემდეგ განიხილეთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმის კონცეფცია წარმოიქმნება პრობლემის გადაჭრისას გარკვეული გაგებით ინვერსიულად, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ მაჩვენებლის ხარისხი ცნობილი მნიშვნელობიდან და ცნობილი ბაზისგან.

მაგრამ საკმარისი პრეამბულა, დროა ვუპასუხოთ კითხვას "რა არის ლოგარითმი"? მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტება.

განმარტება.

b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე, სადაც a>0 , a≠1 და b>0 არის მაჩვენებელი, რომელზედაც თქვენ უნდა აწიოთ რიცხვი a რომ მიიღოთ b შედეგად.

ამ ეტაპზე ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ წარმოთქმულმა სიტყვამ „ლოგარითმი“ დაუყოვნებლივ უნდა წამოჭრას ორი შემდეგი კითხვა: „რა რიცხვი“ და „რის საფუძველზე“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, უბრალოდ არ არსებობს ლოგარითმი, მაგრამ არის მხოლოდ რიცხვის ლოგარითმი ზოგიერთ ბაზაში.

ჩვენ დაუყოვნებლივ გავაცნობთ ლოგარითმის აღნიშვნა: b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც log a b . b რიცხვის ლოგარითმს e ფუძეზე და ლოგარითმს 10 ფუძესთან აქვთ საკუთარი სპეციალური აღნიშვნები, შესაბამისად, lnb და lgb, ანუ წერენ არა log e b, არამედ lnb და არა log 10 b, არამედ lgb.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მოიტანოთ: .
და ჩანაწერები აზრი არ აქვს, რადგან პირველში არის უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში - უარყოფითი რიცხვი ფუძეში, ხოლო მესამეში - ორივე უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ბაზაში.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმების წაკითხვის წესები. ჩანაწერი a b იკითხება როგორც "b-ის ლოგარითმი a ფუძემდე". მაგალითად, log 2 3 არის ლოგარითმი სამიდან 2 ფუძემდე, და არის ლოგარითმი ორი მთელი რიცხვის ორი ფუძის მესამედის კვადრატული ფესვის ხუთიდან. ლოგარითმი e-ს ბაზაზე ეწოდება ბუნებრივი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lnb იკითხება როგორც "ბ-ის ბუნებრივი ლოგარითმი". მაგალითად, ln7 არის შვიდის ბუნებრივი ლოგარითმი და ჩვენ მას წავიკითხავთ, როგორც pi-ს ბუნებრივ ლოგარითმს. 10-ე ბაზის ლოგარითმს ასევე აქვს სპეციალური სახელი - ათობითი ლოგარითმი, ხოლო აღნიშვნა lgb იკითხება როგორც "ათწილადი ლოგარითმი b". მაგალითად, lg1 არის ერთის ათობითი ლოგარითმი, ხოლო lg2.75 არის ორი წერტილის სამოცდათხუთმეტი მეასედის ათობითი ლოგარითმი.

ცალკე ღირს შეჩერება a>0, a≠1 და b>0 პირობებზე, რომლებშიც მოცემულია ლოგარითმის განმარტება. მოდით განვმარტოთ, საიდან მოდის ეს შეზღუდვები. ამაში დაგვეხმარება ფორმის ტოლობა, სახელწოდებით, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

დავიწყოთ a≠1-ით. ვინაიდან ერთი უდრის ერთს ნებისმიერი სიმძლავრის, ტოლობა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი მხოლოდ b=1-ისთვის, მაგრამ log 1 1 შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მიღებულია a≠1.

დავამტკიცოთ a>0 პირობის მიზანშეწონილობა. a=0-ით, ლოგარითმის განმარტებით, გვექნებოდა ტოლობა, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0-ით. მაგრამ მაშინ log 0 0 შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, რადგან ნული ნებისმიერ არანულოვან სიმძლავრემდე არის ნული. ამ გაურკვევლობის თავიდან აცილება შესაძლებელია a≠0 პირობით. და ამისთვის ა<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

და ბოლოს, პირობა b>0 გამომდინარეობს უტოლობიდან a>0 , ვინაიდან , და a დადებითი ფუძის მქონე ხარისხის მნიშვნელობა ყოველთვის დადებითია.

ამ პუნქტის დასასრულს, ჩვენ ვამბობთ, რომ ლოგარითმის გაჟღერებული განმარტება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი არის ბაზის გარკვეული ხარისხი. მართლაც, ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ თუ b=a p, მაშინ b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე უდრის p. ანუ, ტოლობის ჟურნალი a a p =p არის ჭეშმარიტი. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ 2 3 =8, შემდეგ log 2 8=3. ამის შესახებ დაწვრილებით სტატიაში ვისაუბრებთ.

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმების შესწავლას. ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლა, ამ პროცესს ე.წ ლოგარითმი. პირველ რიგში, ჩვენ განვიხილავთ ლოგარითმების გამოთვლას განმარტებით. შემდეგი, განიხილეთ, თუ როგორ არის ნაპოვნი ლოგარითმების მნიშვნელობები მათი თვისებების გამოყენებით. ამის შემდეგ, ჩვენ ვისაუბრებთ ლოგარითმების გამოთვლაზე სხვა ლოგარითმების თავდაპირველად მოცემული მნიშვნელობებით. და ბოლოს, მოდით ვისწავლოთ ლოგარითმების ცხრილების გამოყენება. მთელი თეორია მოცემულია მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით.

გვერდის ნავიგაცია.

ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია სწრაფად და მარტივად შესრულება ლოგარითმის პოვნა განსაზღვრებით. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ ხდება ეს პროცესი.

მისი არსი არის b რიცხვის წარმოდგენა a c სახით, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, რიცხვი c არის ლოგარითმის მნიშვნელობა. ანუ, განმარტებით, ლოგარითმის პოვნა შეესაბამება ტოლობების შემდეგ ჯაჭვს: log a b=log a a c =c .

ასე რომ, ლოგარითმის გამოთვლა, განსაზღვრებით, მიდის ისეთი c რიცხვის პოვნამდე, რომ a c \u003d b და თავად რიცხვი c არის ლოგარითმის სასურველი მნიშვნელობა.

წინა აბზაცების ინფორმაციის გათვალისწინებით, როდესაც ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ რიცხვი მოცემულია ლოგარითმის ფუძის გარკვეული ხარისხით, მაშინვე შეგიძლიათ მიუთითოთ რის ტოლია ლოგარითმი - ის უდრის მაჩვენებელს. ვაჩვენოთ მაგალითები.

მაგალითი.

იპოვეთ log 2 2 −3 და ასევე გამოთვალეთ e 5.3-ის ბუნებრივი ლოგარითმი.

გადაწყვეტილება.

ლოგარითმის განმარტება საშუალებას გვაძლევს დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ log 2 2 −3 = −3. მართლაც, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ფუძე 2-ს -3 ხარისხს.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ლოგარითმს: lne 5.3 =5.3.

პასუხი:

log 2 2 −3 = −3 და lne 5.3 =5.3.

თუ რიცხვი b ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არ არის მოცემული, როგორც ლოგარითმის ფუძის ძალა, მაშინ საჭიროა გულდასმით განიხილოთ შესაძლებელია თუ არა B რიცხვის წარმოდგენა a c სახით. ხშირად ეს წარმოდგენა საკმაოდ აშკარაა, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უდრის ფუძის ხარისხს 1, ან 2, ან 3, ...

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმები log 5 25 და .

გადაწყვეტილება.

ადვილი მისახვედრია, რომ 25=5 2, ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ პირველი ლოგარითმი: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ჩვენ ვაგრძელებთ მეორე ლოგარითმის გამოთვლას. რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 7-ის ხარისხად: (იხილეთ საჭიროების შემთხვევაში). აქედან გამომდინარე, .

გადავიწეროთ მესამე ლოგარითმი შემდეგი ფორმით. ახლა თქვენ ხედავთ ამას , საიდანაც ვასკვნით, რომ . მაშასადამე, ლოგარითმის განმარტებით .

მოკლედ, გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

პასუხი:

ჟურნალი 5 25=2, და .

როდესაც საკმარისად დიდი ნატურალური რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ იმყოფება, არ ავნებს მის პირველ ფაქტორებად დაშლას. ხშირად გვეხმარება ისეთი რიცხვის წარმოდგენაში, როგორიც არის ლოგარითმის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე და, შესაბამისად, ამ ლოგარითმის განსაზღვრებით გამოთვლა.

მაგალითი.

იპოვეთ ლოგარითმის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ლოგარითმების ზოგიერთი თვისება საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ მიუთითოთ ლოგარითმების მნიშვნელობა. ეს თვისებები მოიცავს ერთის ლოგარითმის თვისებას და ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისებას: log 1 1=log a a 0 =0 და log a=log a 1 =1 . ანუ, როდესაც რიცხვი 1 ან რიცხვი a არის ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ლოგარითმის ფუძის ტოლი, მაშინ ამ შემთხვევებში ლოგარითმები შესაბამისად არის 0 და 1.

მაგალითი.

რა არის ლოგარითმები და lg10?

გადაწყვეტილება.

ვინაიდან , ეს გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან .

მეორე მაგალითში რიცხვი 10 ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს, ამიტომ ათეული ლოგარითმი უდრის ერთს, ანუ lg10=lg10 1 =1 .

პასუხი:

და lg10=1.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოთვლა განმარტებით (რაზეც წინა აბზაცში ვისაუბრეთ) გულისხმობს ტოლობის log a a p =p , რომელიც ლოგარითმების ერთ-ერთი თვისებაა.

პრაქტიკაში, როდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ლოგარითმის ფუძე ადვილად არის წარმოდგენილი, როგორც ზოგიერთი რიცხვის სიმძლავრე, ძალიან მოსახერხებელია ფორმულის გამოყენება. , რომელიც შეესაბამება ლოგარითმების ერთ-ერთ თვისებას. განვიხილოთ ლოგარითმის პოვნის მაგალითი, რომელიც ასახავს ამ ფორმულის გამოყენებას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ლოგარითმი .

გადაწყვეტილება.

პასუხი:

.

გამოთვლაში ასევე გამოყენებულია ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ზემოთ არ არის ნახსენები, მაგრამ ამაზე შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ.

ლოგარითმების პოვნა სხვა ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით

ამ პარაგრაფში მოცემული ინფორმაცია აგრძელებს ლოგარითმების თვისებების გამოთვლაში გამოყენების თემას. მაგრამ აქ მთავარი განსხვავება ისაა, რომ ლოგარითმების თვისებები გამოიყენება ორიგინალური ლოგარითმის გამოსახატავად სხვა ლოგარითმით, რომლის მნიშვნელობა ცნობილია. ახსნა-განმარტებისთვის ავიღოთ მაგალითი. ვთქვათ, ვიცით, რომ log 2 3≈1.584963 , შემდეგ შეგვიძლია ვიპოვოთ, მაგალითად, log 2 6 მცირე ტრანსფორმაციის განხორციელებით ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში საკმარისი იყო გამოგვეყენებინა პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. თუმცა, ბევრად უფრო ხშირად თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლოგარითმების თვისებების უფრო ფართო არსენალი, რათა გამოთვალოთ ორიგინალური ლოგარითმი მოცემულების მიხედვით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ 27-ის ლოგარითმი 60-ის საფუძვლამდე, თუ ცნობილია, რომ log 60 2=a და log 60 5=b.

გადაწყვეტილება.

ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჟურნალი 60 27. ადვილი მისახვედრია, რომ 27=3 3, ხოლო ორიგინალური ლოგარითმი, ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამო, შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3·log 60 3.

ახლა ვნახოთ, როგორ შეიძლება გამოისახოს log 60 3 ცნობილი ლოგარითმების მიხედვით. ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმის თვისება საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ტოლობის ჟურნალი 60 60=1. მეორეს მხრივ, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 ლოგი 60 2+ლოგი 60 3+ლოგი 60 5 . ამრიგად, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. აქედან გამომდინარე, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

და ბოლოს, ჩვენ ვიანგარიშებთ თავდაპირველ ლოგარითმს: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ბ.

პასუხი:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 ბ.

ცალკე, აღსანიშნავია ფორმის ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მნიშვნელობა. . ის საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებიდან ნებისმიერი ფუძით ლოგარითმებზე კონკრეტული ფუძის მქონე ლოგარითმებზე, რომელთა მნიშვნელობები ცნობილია ან შესაძლებელია მათი პოვნა. ჩვეულებრივ, ორიგინალური ლოგარითმიდან, გარდამავალი ფორმულის მიხედვით, ისინი გადადიან ლოგარითმებზე ერთ-ერთ 2, e ან 10 ფუძეზე, რადგან ამ ბაზებისთვის არის ლოგარითმების ცხრილები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მათი მნიშვნელობები გარკვეული ხარისხით. სიზუსტის. შემდეგ ნაწილში ჩვენ გაჩვენებთ, თუ როგორ კეთდება ეს.

ლოგარითმების ცხრილები, მათი გამოყენება

ლოგარითმების მნიშვნელობების სავარაუდო გაანგარიშებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ლოგარითმის ცხრილები. ყველაზე ხშირად გამოიყენება ბაზის 2 ლოგარითმის ცხრილი, ბუნებრივი ლოგარითმის ცხრილი და ათობითი ლოგარითმის ცხრილი. ათობითი რიცხვების სისტემაში მუშაობისას მოსახერხებელია ლოგარითმების ცხრილის გამოყენება ათამდე. მისი დახმარებით ჩვენ ვისწავლით ლოგარითმების მნიშვნელობების პოვნას.

წარმოდგენილი ცხრილი საშუალებას გაძლევთ, ათიათასიანი სიზუსტით, იპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები 1.000-დან 9.999-მდე (სამი ათობითი ადგილით). ჩვენ გავაანალიზებთ ლოგარითმის მნიშვნელობის პოვნის პრინციპს ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით კონკრეტული მაგალითის გამოყენებით - ეს უფრო ნათელია. მოდი ვიპოვოთ lg1,256.

ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მარცხენა სვეტში ვპოულობთ 1.256 რიცხვის პირველ ორ ციფრს, ანუ ვპოულობთ 1.2-ს (სიცხადისთვის ეს რიცხვი შემოხაზულია ლურჯად). 1.256 რიცხვის მესამე ციფრი (ნომერი 5) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარცხნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია წითლად). ორიგინალური ნომრის 1.256 მეოთხე ციფრი (ნომერი 6) გვხვდება ორმაგი ხაზის მარჯვნივ პირველ ან ბოლო სტრიქონში (ეს რიცხვი შემოხაზულია მწვანეში). ახლა ჩვენ ვპოულობთ რიცხვებს ლოგარითმების ცხრილის უჯრედებში მონიშნული მწკრივისა და მონიშნული სვეტების გადაკვეთაზე (ეს რიცხვები მონიშნულია ნარინჯისფრად). მონიშნული რიცხვების ჯამი იძლევა ათობითი ლოგარითმის სასურველ მნიშვნელობას მეოთხე ათწილადამდე, ანუ, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

შესაძლებელია თუ არა ზემოთ მოყვანილი ცხრილის გამოყენებით ვიპოვოთ რიცხვების ათობითი ლოგარითმების მნიშვნელობები, რომლებსაც აქვთ სამზე მეტი ციფრი ათწილადის წერტილის შემდეგ და ასევე სცილდებიან საზღვრებს 1-დან 9.999-მდე? Დიახ, შეგიძლია. მოდით აჩვენოთ, თუ როგორ კეთდება ეს მაგალითით.

გამოვთვალოთ lg102.76332. ჯერ უნდა დაწერო ნომერი სტანდარტული ფორმით: 102.76332=1.0276332 10 2 . ამის შემდეგ მანტისა უნდა დამრგვალდეს მესამე ათწილადამდე, გვაქვს 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, მაშინ როცა თავდაპირველი ათობითი ლოგარითმი დაახლოებით უდრის მიღებული რიცხვის ლოგარითმს, ანუ ვიღებთ lg102.76332≈lg1.028·10 2 . ახლა გამოიყენეთ ლოგარითმის თვისებები: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. ბოლოს, lg1.028 ლოგარითმის მნიშვნელობას ვპოულობთ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის მიხედვით lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. შედეგად, ლოგარითმის გამოთვლის მთელი პროცესი ასე გამოიყურება: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

დასასრულს, აღსანიშნავია, რომ ათობითი ლოგარითმების ცხრილის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ნებისმიერი ლოგარითმის სავარაუდო მნიშვნელობა. ამისათვის საკმარისია გამოიყენოთ გარდამავალი ფორმულა, რომ გადავიდეთ ათობითი ლოგარითმებზე, იპოვოთ მათი მნიშვნელობები ცხრილში და შეასრულოთ დარჩენილი გამოთვლები.

მაგალითად, გამოვთვალოთ ჟურნალი 2 3 . ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულის მიხედვით გვაქვს . ათობითი ლოგარითმების ცხრილიდან ვხვდებით lg3≈0.4771 და lg2≈0.3010. ამრიგად, .

ბიბლიოგრაფია.

• კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების 10-11 კლასებისთვის.
• გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკური სასწავლებლების მსურველთათვის).

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან მასთან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

\(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)

მოდი უფრო მარტივად ავხსნათ. მაგალითად, \(\log_(2)(8)\) უდრის სიმძლავრის \(2\) უნდა გაიზარდოს, რომ მიიღოთ \(8\). აქედან ირკვევა, რომ \(\log_(2)(8)=3\).

მაგალითები:		\(\log_(5)(25)=2\)		რადგან \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		რადგან \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		რადგან \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

ლოგარითმის არგუმენტი და საფუძველი

ნებისმიერ ლოგარითმს აქვს შემდეგი "ანატომია":

ლოგარითმის არგუმენტი ჩვეულებრივ იწერება მის დონეზე, ხოლო ფუძე იწერება ლოგარითმის ნიშანთან უფრო ახლოს. და ეს ჩანაწერი ასე იკითხება: "ოცდახუთის ლოგარითმი ხუთის ფუძემდე".

როგორ გამოვთვალოთ ლოგარითმი?

ლოგარითმის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა უპასუხოთ კითხვას: რა ხარისხით უნდა გაიზარდოს საფუძველი არგუმენტის მისაღებად?

მაგალითად, გამოთვალეთ ლოგარითმი: ა) \(\log_(4)(16)\) ბ) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) გ) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ა) რა ძალაზე უნდა გაიზარდოს \(4\) რომ მიიღოთ \(16\)? ცხადია მეორე. Ისე:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

გ) რა სიმძლავრეზე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(5)\) რომ მიიღოთ \(1\)? და რომელი ხარისხი აქცევს ნებისმიერ რიცხვს ერთეულად? ნული, რა თქმა უნდა!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

დ) რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს \(\sqrt(7)\) რომ მიიღოთ \(\sqrt(7)\)? პირველში - პირველი ხარისხის ნებისმიერი რიცხვი თავის ტოლია.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ე) რა სიმძლავრეზე უნდა გაიზარდოს \(3\) რომ მიიღოთ \(\sqrt(3)\)? ჩვენ ვიცით, რომ ეს არის წილადი სიძლიერე და, შესაბამისად, კვადრატული ფესვი არის \(\frac(1)(2)\) სიძლიერე.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

მაგალითი : გამოთვალეთ ლოგარითმი \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

გადაწყვეტილება :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		უნდა ვიპოვოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა, ავღნიშნოთ x-დ. ახლა გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: \(\log_(a)(c)=b\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		რა ბმულებია \(4\sqrt(2)\) და \(8\)? ორი, რადგან ორივე რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორით: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		მარცხნივ ვიყენებთ ხარისხის თვისებებს: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) და \((a^(m))^(n)=a ^ (m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		საფუძვლები თანაბარია, ჩვენ ვაგრძელებთ ინდიკატორების თანასწორობას
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \(\frac(2)(5)\)
		შედეგად მიღებული ფესვი არის ლოგარითმის მნიშვნელობა

უპასუხე : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

რატომ გამოიგონეს ლოგარითმი?

ამის გასაგებად, მოდით ამოხსნათ განტოლება: \(3^(x)=9\). უბრალოდ ემთხვევა \(x\), რათა თანასწორობა იმუშაოს. რა თქმა უნდა, \(x=2\).

ახლა ამოხსენით განტოლება: \(3^(x)=8\).რას უდრის x? Ამაშია ზუსტად ამის აზრი.

ყველაზე გენიალური იტყვის: "X არის ორზე ცოტა ნაკლები". ზუსტად როგორ უნდა ჩაიწეროს ეს რიცხვი? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად მათ გამოიგონეს ლოგარითმი. მისი წყალობით აქ პასუხი შეიძლება დაიწეროს როგორც \(x=\log_(3)(8)\).

მინდა ხაზი გავუსვა იმას, რომ \(\log_(3)(8)\), ასევე ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. დიახ, გამოიყურება უჩვეულო, მაგრამ მოკლეა. რადგან თუ გვინდოდა მისი ათწილადის დაწერა, ასე გამოიყურებოდა: \(1.892789260714.....\)

მაგალითი : ამოხსენით განტოლება \(4^(5x-4)=10\)

გადაწყვეტილება :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) და \(10\) არ შეიძლება შემცირდეს იმავე ბაზაზე. ასე რომ, აქ თქვენ არ შეგიძლიათ ლოგარითმის გარეშე. მოდით გამოვიყენოთ ლოგარითმის განმარტება: \(a^(b)=c\) \(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		გადაატრიალეთ განტოლება ისე, რომ x იყოს მარცხნივ
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		ჩვენს წინაშე. გადაიტანეთ \(4\) მარჯვნივ. და ნუ შეგეშინდებათ ლოგარითმის, მოექეცით მას როგორც ჩვეულებრივ რიცხვს.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		გაყავით განტოლება 5-ზე
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		აქ არის ჩვენი ფესვი. დიახ, უჩვეულოდ გამოიყურება, მაგრამ პასუხი არ არის შერჩეული.

უპასუხე : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ათწილადი და ბუნებრივი ლოგარითმები

როგორც ლოგარითმის განმარტებაშია ნათქვამი, მისი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი დადებითი რიცხვი გარდა ერთი \((a>0, a\neq1)\). და ყველა შესაძლო საფუძველს შორის არის ორი, რომელიც ხდება ისე ხშირად, რომ მათთან ერთად გამოიგონეს სპეციალური მოკლე აღნიშვნა ლოგარითმებისთვის:

ბუნებრივი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის საფუძველია ეილერის რიცხვი \(e\) (უდრის დაახლოებით \(2.7182818…\)), ხოლო ლოგარითმი იწერება როგორც \(\ln(a)\).

ე.ი. \(\ln(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(e)(a)\)

ათწილადი ლოგარითმი: ლოგარითმი, რომლის ფუძეა 10, იწერება \(\lg(a)\).

ე.ი. \(\lg(a)\) იგივეა, რაც \(\log_(10)(a)\), სადაც \(a\) არის რაღაც რიცხვი.

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ლოგარითმს ბევრი თვისება აქვს. ერთ-ერთ მათგანს ეწოდება "ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა" და ასე გამოიყურება:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ეს თვისება პირდაპირ გამომდინარეობს განმარტებიდან. ვნახოთ, როგორ გაჩნდა ეს ფორმულა.

გაიხსენეთ ლოგარითმის მოკლე განმარტება:

თუ \(a^(b)=c\), მაშინ \(\log_(a)(c)=b\)

ანუ \(b\) იგივეა, რაც \(\log_(a)(c)\). მაშინ ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ \(\log_(a)(c)\) \(b\)-ის ნაცვლად ფორმულაში \(a^(b)=c\) . აღმოჩნდა \(a^(\log_(a)(c))=c\) - მთავარი ლოგარითმული იდენტობა.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ლოგარითმების დანარჩენი თვისებები. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ და გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები ლოგარითმებით, რომელთა პირდაპირ გამოთვლა რთულია.

მაგალითი : იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(36^(\log_(6)(5))\)

გადაწყვეტილება :

უპასუხე : \(25\)

როგორ დავწეროთ რიცხვი ლოგარითმის სახით?

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ნებისმიერი ლოგარითმი მხოლოდ რიცხვია. პირიქითაც მართალია: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმად. მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ \(\log_(2)(4)\) უდრის ორს. შემდეგ შეგიძლიათ დაწეროთ \(\log_(2)(4)\) ორის ნაცვლად.

მაგრამ \(\log_(3)(9)\) ასევე უდრის \(2\), ასე რომ თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაწეროთ \(2=\log_(3)(9)\) . ანალოგიურად, \(\log_(5)(25)\), და \(\log_(9)(81)\) და ა.შ. ანუ გამოდის

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ამრიგად, თუ გვჭირდება, შეგვიძლია დავწეროთ ორივე ლოგარითმად ნებისმიერი ფუძით სადმე (განტოლებაში, თუნდაც გამოხატულებაში, თუნდაც უტოლობაში) - უბრალოდ ჩაწერეთ კვადრატული ფუძე არგუმენტად.

იგივეა სამმაგი - ის შეიძლება დაიწეროს როგორც \(\log_(2)(8)\), ან როგორც \(\log_(3)(27)\), ან როგორც \(\log_(4)( 64) \) ... აქ არგუმენტად ვწერთ ფუძეს კუბში:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

და ოთხთან ერთად:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

და მინუს ერთით:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

და ერთი მესამედით:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

ნებისმიერი რიცხვი \(a\) შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ლოგარითმის სახით \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

მაგალითი : იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

გადაწყვეტილება :

უპასუხე : \(1\)