გაკვეთილის შეჯამება

"ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები"

ფიზიკურ-მათემატიკური პროფილის მე-11 კლასი.

თათარსტანის რესპუბლიკის ზელენოდოლსკის მუნიციპალური ოლქი

ვალიევა ს.ზ.

გაკვეთილის თემა: ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

გაკვეთილის მიზანი: 1. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა ხერხის შესწავლა.

1. 
   განზოგადების უნარის გამომუშავება, ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდების სწორად შერჩევა.
2. 
   დამოუკიდებლობის განვითარება, მეტყველების წიგნიერების განათლება

გაკვეთილის ტიპი:სემინარი.
Გაკვეთილის გეგმა:

1. 
   ორგანიზების დრო
2. 
   ახალი მასალის სწავლა
3. 
   დამაგრება
4. 
   Საშინაო დავალება
5. 
   გაკვეთილის შეჯამება

გაკვეთილების დროს
მე. ორგანიზების დრო:გაკვეთილის თემის მესიჯი, გაკვეთილის მიზანი.

წინა გაკვეთილზე განვიხილეთ კვადრატული ფესვების შემცველი ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა მათი კვადრატში. ამ შემთხვევაში ვიღებთ შედეგის განტოლებას, რომელიც ზოგჯერ იწვევს გარე ფესვების გაჩენას. შემდეგ კი განტოლების ამოხსნის სავალდებულო ნაწილია ფესვების შემოწმება. ჩვენ ასევე განვიხილეთ განტოლებების ამოხსნა კვადრატული ფესვის განმარტების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, შემოწმება შეიძლება გამოტოვდეს. ამასთან, განტოლებების ამოხსნისას, ყოველთვის არ არის საჭირო დაუყოვნებლივ გადავიდეთ განტოლების გადასაჭრელად ალგორითმების „ბრმა“ გამოყენებაზე. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ამოცანებში საკმაოდ ბევრი განტოლებაა, რომელთა ამოხსნისას აუცილებელია ამოხსნის მეთოდის არჩევა, რომელიც საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ განტოლებები უფრო მარტივად და სწრაფად. ამიტომ აუცილებელია ვიცოდეთ ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდებიც, რომლებსაც დღეს გავეცნობით. მანამდე კლასი დაყოფილი იყო 8 შემოქმედებით ჯგუფად და მათ მიეცათ კონკრეტული მაგალითები კონკრეტული მეთოდის არსის გამოსავლენად. ჩვენ მათ სიტყვას ვაძლევთ.

II. ახალი მასალის სწავლა.

თითოეული ჯგუფიდან 1 მოსწავლე უხსნის ბავშვებს როგორ ამოხსნან ირაციონალური განტოლებები. მთელი კლასი უსმენს და იღებს ჩანაწერებს მათ ამბავს.

1 გზა. ახალი ცვლადის დანერგვა.

ამოხსენით განტოლება: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

პასუხი: -3; 5.

2 გზა. ODZ კვლევა.

განტოლების ამოხსნა

ODZ:


x \u003d 2. შემოწმებით დავრწმუნდებით, რომ x \u003d 2 არის განტოლების ფესვი.

3 გზა. განტოლების ორივე მხარის გამრავლება კონიუგატულ ფაქტორზე.

+
(გამრავლეთ ორივე მხარე -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, აქედან გამომდინარე x=1. შემოწმებით ჩვენ დავრწმუნდით, რომ x \u003d 1 არის ამ განტოლების ფესვი.

4 გზა. განტოლების სისტემაში შემცირება ცვლადის შემოღებით.

განტოლების ამოხსნა

მოდით = თქვენ,
=v.

ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით. ჩვენ ვიღებთ u = 2, v = 2. აქედან გამომდინარე,

ვიღებთ x = 1.

პასუხი: x = 1.

5 გზა. სრული კვადრატის შერჩევა.

განტოლების ამოხსნა

მოდით გავხსნათ მოდულები. იმიტომ რომ -1≤cos0.5x≤1, შემდეგ -4≤cos0.5x-3≤-2, ასე რომ. ანალოგიურად,

შემდეგ მივიღებთ განტოლებას

x = 4πn, nZ.

პასუხი: 4πn, nZ.

6 გზა. შეფასების მეთოდი

განტოლების ამოხსნა

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, განსაზღვრებით, მარჯვენა მხარე -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

ვიღებთ
იმათ. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. განტოლების ამოხსნით ფაქტორინგით მივიღებთ x = 2, x = -2

მეთოდი 7: ფუნქციების ერთფეროვნების თვისებების გამოყენება.

ამოხსენით განტოლება. ფუნქციები მკაცრად იზრდება. მზარდი ფუნქციების ჯამი იზრდება და ამ განტოლებას აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. შერჩევით ვპოულობთ x = 1.

8 გზა. ვექტორების გამოყენება.

ამოხსენით განტოლება. ODZ: -1≤х≤3.

მოდით ვექტორი
. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის მარცხენა მხარე. ვიპოვოთ მათი სიგრძის ნამრავლი. ეს არის მარჯვენა მხარე. მივიღე
, ე.ი. ვექტორები a და b არის კოლინარული. აქედან
. მოდი ორივე მხარე გავასწოროთ. განტოლების ამოხსნით, ვიღებთ x \u003d 1 და x \u003d
.

1. 
   კონსოლიდაცია.(თითოეულ სტუდენტს ეძლევა სამუშაო ფურცელი)

წინა ზეპირი სამუშაო

იპოვნეთ იდეა განტოლებების ამოხსნისთვის (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(ჩანაცვლება)

4. (სრული კვადრატის შერჩევა)

5.
(განტოლების სისტემაში შემცირება ცვლადის შემოღებით.)

6.
(მიმდებარე გამოსახულებით გამრავლებით)

7.
რადგან
. ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

8. რადგან თითოეული წევრი არის არაუარყოფითი, ჩვენ მათ ვატოლებთ ნულს და ვხსნით სისტემას.

9. 3

10. იპოვეთ განტოლების (ან ფესვების ნამრავლი, თუ რამდენიმეა) ფესვი.

წერილობითი დამოუკიდებელი ნამუშევარი შემდგომი გადამოწმებით

ამოხსენით 11,13,17,19 განტოლებები

განტოლებების ამოხსნა:

12. (x + 6) 2 -

14.

შეფასების მეთოდი

ფუნქციების ერთფეროვნების თვისებების გამოყენება.

ვექტორების გამოყენება.

1. 
   ამ მეთოდებიდან რომელი გამოიყენება სხვა ტიპის განტოლებების ამოსახსნელად?
2. 
   ამ მეთოდებიდან რომელი მოგეწონათ ყველაზე მეტად და რატომ?

1. 
   საშინაო დავალება: ამოხსენით დარჩენილი განტოლებები.

ბიბლიოგრაფია:

1. 
   ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. M: განმანათლებლობა, 2009 წ

1. 
   დიდაქტიკური მასალები ალგებრაზე და ანალიზის პრინციპები მე-11 კლასისთვის /ბ.მ. ივლევი, ს.მ. საჰაკიანი, ს.ი. შვარცბურდი. – მ.: განმანათლებლობა, 2003 წ.
2. 
   Mordkovich A.G. ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი. 10 - 11 უჯრედი: ზოგადი განათლების დავალების წიგნი. ინსტიტუტები. - M.: Mnemosyne, 2000 წ.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. დამოუკიდებელი და საკონტროლო მუშაობა ალგებრაზე და ანალიზის პრინციპებზე 10-11 კლასებისთვის. – მ.: ილექსა, 2004 წ
4. 
   KIM USE 2002 - 2010 წწ

6. ალგებრული სიმულატორი. A.G. Merzlyak, V.B. Polonsky, M.S. იაკირი. სახელმძღვანელო სკოლის მოსწავლეებისა და აბიტურიენტებისთვის. მოსკოვი.: "ილექსა" 2001 წ.
7. განტოლებები და უტოლობა. გადაწყვეტის არასტანდარტული მეთოდები. სასწავლო - მეთოდური სახელმძღვანელო. 10-11 კლასი. S.N. Oleinik, M.K. პოტაპოვი, P.I. პასიჩენკო. მოსკოვი. "ბუსტარდი". 2001 წ

ირაციონალური განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიცავს ფუნქციას ფესვის ნიშნის ქვეშ. Მაგალითად:

ასეთი განტოლებები ყოველთვის წყდება 3 ეტაპად:

1. გამოყავით ფესვი. ანუ თუ ფესვის გარდა ტოლობის ნიშნის მარცხნივ არის სხვა რიცხვები ან ფუნქციები, ეს ყველაფერი ნიშნის შეცვლით მარჯვნივ უნდა გადავიდეს. ამავდროულად, მარცხნივ უნდა დარჩეს მხოლოდ რადიკალი - ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე.
2. 2. განტოლების ორივე მხარეს ვაკვერცხებთ. ამავე დროს, გახსოვდეთ, რომ ფესვის დიაპაზონი არის ყველა არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარეობს ფუნქცია მარჯვნივ ირაციონალური განტოლებაასევე უნდა იყოს არაუარყოფითი: g (x) ≥ 0.
3. მესამე ნაბიჯი ლოგიკურად გამომდინარეობს მეორედან: თქვენ უნდა შეასრულოთ შემოწმება. ფაქტია, რომ მეორე საფეხურზე შეიძლება გვქონდეს დამატებითი ფესვები. და მათი ამოღების მიზნით, აუცილებელია მიღებული კანდიდატური რიცხვების ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში და შეამოწმოთ: არის თუ არა სწორი რიცხვითი ტოლობა ნამდვილად მიღებული?

ირაციონალური განტოლების ამოხსნა

მოდით გავუმკლავდეთ ჩვენს ირაციონალურ განტოლებას, რომელიც მოცემულია გაკვეთილის დასაწყისში. აქ ფესვი უკვე იზოლირებულია: ტოლობის ნიშნის მარცხნივ არაფერია ფესვის გარდა. მოდი ორივე გვერდი გავაფორმოთ:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x2
x 2 - 4x - 12 = 0

ჩვენ ვხსნით მიღებულ კვადრატულ განტოლებას დისკრიმინანტის მეშვეობით:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 \u003d -2

რჩება მხოლოდ ამ რიცხვების საწყის განტოლებაში ჩანაცვლება, ე.ი. შეასრულეთ შემოწმება. მაგრამ აქაც კი შეგიძლიათ გააკეთოთ სწორი გადაწყვეტილება საბოლოო გადაწყვეტილების გასამარტივებლად.

როგორ გავამარტივოთ გადაწყვეტილება

დავფიქრდეთ: რატომ ვამოწმებთ ირაციონალური განტოლების ამოხსნის ბოლოს? ჩვენ გვინდა დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენი ფესვების ჩანაცვლებისას ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ იქნება არაუარყოფითი რიცხვი. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ უკვე ზუსტად ვიცით, რომ ეს არის არაუარყოფითი რიცხვი მარცხნივ, რადგან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი (რის გამოც ჩვენს განტოლებას ირაციონალური ეწოდება) განსაზღვრებით არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები.

ამიტომ, ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა შევამოწმოთ არის ის, რომ ფუნქცია g ( x ) = 5 − x, რომელიც არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ, არის არაუარყოფითი:

g(x) ≥ 0

ჩვენ ვანაცვლებთ ჩვენს ფესვებს ამ ფუნქციაში და ვიღებთ:

გ (x 1) \u003d გ (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
გ (x 2) = გ (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

მიღებული მნიშვნელობებიდან გამომდინარეობს, რომ ფესვი x 1 = 6 არ ჯდება, რადგან ორიგინალური განტოლების მარჯვენა მხარეს ჩანაცვლებისას მივიღებთ უარყოფით რიცხვს. მაგრამ ფესვი x 2 \u003d −2 ჩვენთვის საკმაოდ შესაფერისია, რადგან:

1. ეს ფესვი არის ორივე მხარის აწევით მიღებული კვადრატული განტოლების ამონახსნი ირაციონალური განტოლებამოედანზე.
2. საწყისი ირაციონალური განტოლების მარჯვენა მხარე, როდესაც ფესვი x 2 = −2 ჩანაცვლებულია, იქცევა დადებით რიცხვად, ე.ი. არითმეტიკული ფესვის დიაპაზონი არ ირღვევა.

ეს არის მთელი ალგორითმი! როგორც ხედავთ, რადიკალებით განტოლებების ამოხსნა არც ისე რთულია. მთავარია არ დაგავიწყდეთ მიღებული ფესვების შემოწმება, წინააღმდეგ შემთხვევაში დიდი ალბათობაა ზედმეტი პასუხების მიღება.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება

"კუდინსკაიას მე-2 საშუალო სკოლა"

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის გზები

დაასრულა: ეგოროვა ოლგა,

ხელმძღვანელი:

მასწავლებელი

მათემატიკა,

უმაღლესი კვალიფიკაცია

შესავალი....……………………………………………………………………………………… 3

ნაწილი 1. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები…………………………………6

1.1 C ნაწილის ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა……………………………………………………………

ნაწილი 2. ინდივიდუალური ამოცანები…………………………………………….....………...24

პასუხები………………………………………………………………………………………….25

ბიბლიოგრაფია…….…………………………………………………………………….26

შესავალი

ზოგადსაგანმანათლებლო სკოლაში მიღებული მათემატიკური განათლება ზოგადი განათლებისა და თანამედროვე ადამიანის ზოგადი კულტურის აუცილებელი კომპონენტია. თითქმის ყველაფერი, რაც გარშემორტყმულია თანამედროვე ადამიანს, ამა თუ იმ გზით უკავშირდება მათემატიკას. და ფიზიკის, ინჟინერიისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების უახლესი მიღწევები ეჭვს არ ტოვებს, რომ მომავალში ვითარება იგივე დარჩება. აქედან გამომდინარე, მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადაწყვეტა მცირდება სხვადასხვა ტიპის განტოლებების ამოხსნით, რომელთა ამოხსნა უნდა ვისწავლოთ. ერთ-ერთი ასეთი ტიპია ირაციონალური განტოლებები.

ირაციონალური განტოლებები

განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობს (ან რაციონალურ ალგებრულ გამოხატვას უცნობიდან) რადიკალური ნიშნით ეწოდება ირაციონალური განტოლება. ელემენტარულ მათემატიკაში ირაციონალური განტოლებების ამონახსნებს ეძებენ რეალური რიცხვების სიმრავლეში.

ნებისმიერი ირაციონალური განტოლება ელემენტარული ალგებრული ოპერაციების დახმარებით (გამრავლება, გაყოფა, განტოლების ორივე ნაწილის აწევა მთელ რიცხვამდე) შეიძლება შემცირდეს რაციონალურ ალგებრულ განტოლებამდე. გასათვალისწინებელია, რომ მიღებული რაციონალური ალგებრული განტოლება შეიძლება არ იყოს თავდაპირველი ირაციონალური განტოლების ექვივალენტური, კერძოდ, შეიძლება შეიცავდეს „ზედმეტ“ ფესვებს, რომლებიც არ იქნება თავდაპირველი ირაციონალური განტოლების ფესვები. მაშასადამე, მიღებული რაციონალური ალგებრული განტოლების ფესვების აღმოჩენის შემდეგ, აუცილებელია შეამოწმოთ, იქნება თუ არა რაციონალური განტოლების ყველა ფესვი ირაციონალური განტოლების ფესვები.

ზოგადად, ძნელია რაიმე ირაციონალური განტოლების ამოხსნის რაიმე უნივერსალური მეთოდის მითითება, რადგან სასურველია, რომ თავდაპირველი ირაციონალური განტოლების გარდაქმნების შედეგად, არა მხოლოდ რაიმე რაციონალური ალგებრული განტოლება მივიღოთ ფესვებს შორის. რომელიც იქნება ამ ირაციონალური განტოლების ფესვები, მაგრამ რაციონალური ალგებრული განტოლება წარმოიქმნება რაც შეიძლება მცირე ხარისხის მრავალწევრებისგან. რაციონალური ალგებრული განტოლების მიღების სურვილი, რომელიც წარმოიქმნება უმცირესი ხარისხის მრავალწევრებისგან, საკმაოდ ბუნებრივია, რადგან რაციონალური ალგებრული განტოლების ყველა ფესვის პოვნა თავისთავად საკმაოდ რთული ამოცანაა, რომლის ამოხსნაც შეგვიძლია მხოლოდ ძალიან შეზღუდული რაოდენობით. შემთხვევების.

ირაციონალური განტოლებების სახეები

ლუწი ხარისხის ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა ყოველთვის უფრო მეტ პრობლემას იწვევს, ვიდრე უცნაური ხარისხის ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა. უცნაური ხარისხის ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ODZ არ იცვლება. ამიტომ ქვემოთ განვიხილავთ ირაციონალურ განტოლებებს, რომელთა ხარისხი ლუწია. არსებობს ორი სახის ირაციონალური განტოლებები:

2..

განვიხილოთ პირველი მათგანი.

odz განტოლება: f(x)≥ 0. ODZ-ში განტოლების მარცხენა მხარე ყოველთვის არაუარყოფითია, ამიტომ ამონახსნი შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა გ(x)≥ 0. ამ შემთხვევაში, განტოლების ორივე მხარე არაუარყოფითია და ხარისხობრივია 2 ნიძლევა ეკვივალენტურ განტოლებას. ჩვენ ამას მივიღებთ

მივაქციოთ ყურადღება იმ ფაქტს, რომ ხოლო ODZ შესრულებულია ავტომატურად და თქვენ არ შეგიძლიათ დაწეროთ იგი, მაგრამ მდგომარეობაგ(x) ≥ 0 უნდა შემოწმდეს.

Შენიშვნა: ეს არის ეკვივალენტობის ძალიან მნიშვნელოვანი პირობა. პირველ რიგში, ის ათავისუფლებს მოსწავლეს გამოკვლევის აუცილებლობისგან და ამონახსნების პოვნის შემდეგ, შეამოწმეთ პირობა f(x) ≥ 0 - ძირეული გამოხატვის არაუარყოფითობა. მეორეც, ის ყურადღებას ამახვილებს მდგომარეობის შემოწმებაზეგ(x) ≥ 0 არის მარჯვენა მხარის არაუარყოფითობა. ყოველივე ამის შემდეგ, კვადრატის შემდეგ, განტოლება ამოხსნილია ანუ, ორი განტოლება წყდება ერთდროულად (მაგრამ რიცხვითი ღერძის სხვადასხვა ინტერვალებზე!):

1. - სად გ(x)≥ 0 და

2. - სადაც g(x) ≤ 0.

იმავდროულად, ბევრი, ODZ-ის პოვნის სასკოლო ჩვევის მიხედვით, ზუსტად საპირისპიროს აკეთებს ასეთი განტოლებების ამოხსნისას:

ა) ამონახსნების პოვნის შემდეგ შეამოწმეთ პირობა f(x) ≥ 0 (რომელიც ავტომატურად კმაყოფილდება), დაუშვით არითმეტიკული შეცდომები და მიიღეთ არასწორი შედეგი;

ბ) უგულებელყოს მდგომარეობაგ(x) ≥ 0 - და ისევ პასუხი შეიძლება იყოს არასწორი.

Შენიშვნა: ეკვივალენტობის პირობა განსაკუთრებით სასარგებლოა ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას, რომლებშიც ODZ-ის პოვნა დაკავშირებულია ტრიგონომეტრიული უტოლობების ამოხსნასთან, რაც ბევრად უფრო რთულია, ვიდრე ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა. ტრიგონომეტრიულ განტოლებებში ლუწი პირობების შემოწმება გ(x)≥ 0 ყოველთვის ადვილი არ არის.

განვიხილოთ მეორე სახის ირაციონალური განტოლებები.

. მოდით განტოლება . მისი ODZ:

ODZ-ში ორივე მხარე არაუარყოფითია და კვადრატი იძლევა ეკვივალენტურ განტოლებას ვ(x) =გ(x).ამიტომ, ODZ-ში ან

გადაწყვეტის ამ მეთოდით საკმარისია შეამოწმოთ ერთ-ერთი ფუნქციის არანეგატიურობა - შეგიძლიათ აირჩიოთ უფრო მარტივი.

ნაწილი 1. ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

1 მეთოდი. რადიკალებისგან განთავისუფლება განტოლების ორივე მხარის თანმიმდევრულად აწევით შესაბამის ბუნებრივ ძალამდე

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის ყველაზე ხშირად გამოყენებული მეთოდი არის რადიკალებისგან განთავისუფლების მეთოდი განტოლების ორივე ნაწილის შესაბამის ბუნებრივ ხარისხზე თანმიმდევრული აწევით. ამ შემთხვევაში, გასათვალისწინებელია, რომ როდესაც განტოლების ორივე ნაწილი კენტ ხარისხზეა აყვანილი, მიღებული განტოლება ორიგინალის ტოლფასია, ხოლო როდესაც განტოლების ორივე ნაწილი აყვანილია ლუწი სიმძლავრემდე, განტოლება, ზოგადად, ორიგინალური განტოლების არაეკვივალენტური იქნება. ამის მარტივად დამოწმება შესაძლებელია განტოლების ორივე მხარის ნებისმიერ თანაბარ ხარისხზე აწევით. ეს ოპერაცია იწვევს განტოლებას , რომლის ამონახსნები არის ამონახსნების სიმრავლეთა გაერთიანება: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. თუმცა, მიუხედავად ეს ნაკლი არის განტოლების ორივე ნაწილის გარკვეულ (ხშირად თანაბარ) სიმძლავრემდე აყვანის პროცედურა, რომელიც არის ყველაზე გავრცელებული პროცედურა ირაციონალური განტოლების რაციონალურ განტოლებამდე დასაყვანად.

ამოხსენით განტოლება:

სად არის რამდენიმე მრავალწევრი. რეალური რიცხვების სიმრავლეში ფესვის ამოღების ოპერაციის განსაზღვრის ძალით, უცნობის დასაშვები მნიშვნელობები https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 height=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

ვინაიდან 1-ლი განტოლების ორივე ნაწილი იყო კვადრატში, შეიძლება აღმოჩნდეს, რომ მე-2 განტოლების ყველა ფესვი არ იქნება საწყისი განტოლების ამონახსნები, აუცილებელია ფესვების შემოწმება.

ამოხსენით განტოლება:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

განტოლების ორივე მხარის კუბში აწევით, მივიღებთ

იმის გათვალისწინებით, რომ https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(ბოლო განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ფესვები, რომლებიც, ზოგადად რომ ვთქვათ, არ არის ფესვები განტოლება ).

ამ განტოლების ორივე მხარეს ავწევთ კუბამდე: . განტოლებას ხელახლა ვწერთ x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. შემოწმებით ვადგენთ, რომ x1 = 0 არის განტოლების უცხო ფესვი (-2 ≠ 1) და x2 = 1 აკმაყოფილებს ორიგინალური განტოლება.

პასუხი: x = 1.

2 მეთოდი. პირობების მიმდებარე სისტემის შეცვლა

ლუწი რიგის რადიკალების შემცველი ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას პასუხებში შეიძლება აღმოჩნდეს უცხო ფესვები, რომელთა ამოცნობა ყოველთვის ადვილი არ არის. იმისთვის, რომ გაადვილდეს ზედმეტი ფესვების ამოცნობა და გაუქმება, ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას იგი დაუყოვნებლივ იცვლება პირობების მიმდებარე სისტემით. სისტემაში დამატებითი უტოლობა რეალურად ითვალისწინებს ამოხსნილი განტოლების ODZ-ს. შეგიძლიათ ცალკე იპოვოთ ODZ და მოგვიანებით გაითვალისწინოთ, მაგრამ სასურველია გამოიყენოთ პირობების შერეული სისტემები: ნაკლებია რაიმეს დავიწყების, განტოლების ამოხსნის პროცესში გათვალისწინების საშიშროება. ამიტომ, ზოგიერთ შემთხვევაში უფრო რაციონალურია შერეულ სისტემებზე გადასვლის მეთოდის გამოყენება.

ამოხსენით განტოლება:

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

ეს განტოლება სისტემის ტოლფასია

პასუხი:განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

3 მეთოდი. n-ე ფესვის თვისებების გამოყენება

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება n-ე ხარისხის ფესვის თვისებები. არითმეტიკული ფესვი n-ეგრადუსი შორის ადარეკეთ არაუარყოფით ნომერზე, n-მე რომლის ხარისხი უდრის ა. Თუ n-თუნდაც ( 2n), შემდეგ a ≥ 0, წინააღმდეგ შემთხვევაში ფესვი არ არსებობს. Თუ n-კენტი ( 2 n+1), მაშინ a არის ნებისმიერი და = - ..gif" width="45" height="19"> შემდეგ:

2.

3.

4.

5.

რომელიმე ამ ფორმულის გამოყენებისას, ფორმალურად (მითითებული შეზღუდვების გათვალისწინების გარეშე), უნდა გავითვალისწინოთ, რომ თითოეული მათგანის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ODZ შეიძლება განსხვავებული იყოს. მაგალითად, გამოთქმა განისაზღვრება f ≥ 0და გ ≥ 0, და გამოთქმა არის როგორც f ≥ 0და გ ≥ 0, ისევე, როგორც f ≤ 0და გ ≤ 0.

თითოეული 1-5 ფორმულისთვის (მითითებული შეზღუდვების გათვალისწინების გარეშე), მისი მარჯვენა ნაწილის ODZ შეიძლება იყოს უფრო ფართო, ვიდრე მარცხენას ODZ. აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლების გარდაქმნები ფორმულების ფორმალური გამოყენებით 1-5 "მარცხნიდან მარჯვნივ" (როგორც ისინი წერია) იწვევს განტოლებას, რომელიც არის ორიგინალის შედეგი. ამ შემთხვევაში, შეიძლება გამოჩნდეს ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები, ამიტომ გადამოწმება სავალდებულო ნაბიჯია თავდაპირველი განტოლების ამოხსნისას.

განტოლებების ტრანსფორმაციები ფორმულების ფორმალური გამოყენებით 1-5 "მარჯვნიდან მარცხნივ" მიუღებელია, რადგან შესაძლებელია ვიმსჯელოთ თავდაპირველი განტოლების ODZ-ზე და, შესაბამისად, ფესვების დაკარგვაზე.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

რაც ორიგინალის შედეგია. ამ განტოლების ამოხსნა მცირდება განტოლებათა სიმრავლის ამოხსნამდე .

ამ ნაკრების პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> საიდანაც ვპოულობთ. ამრიგად, ფესვები ეს განტოლება შეიძლება იყოს მხოლოდ რიცხვები (-1) და (-2) დამოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი აკმაყოფილებს ამ განტოლებას.

პასუხი: -1,-2.

ამოხსენით განტოლება: .

ამოხსნა: იდენტობებიდან გამომდინარე, შეცვალეთ პირველი ტერმინი . გაითვალისწინეთ, რომ მარცხენა მხარეს ორი არაუარყოფითი რიცხვის ჯამია. „ამოიღეთ“ მოდული და მსგავსი ტერმინების მოტანის შემდეგ ამოხსენით განტოლება. ვინაიდან ვიღებთ განტოლებას. მას შემდეგ, რაც და , შემდეგ https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

პასუხი: x = 4.25.

4 მეთოდი. ახალი ცვლადების დანერგვა

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის კიდევ ერთი მაგალითია ახალი ცვლადების შემოტანის გზა, რომლის მიმართაც მიიღება უფრო მარტივი ირაციონალური განტოლება ან რაციონალური განტოლება.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნა განტოლების შეცვლით მისი შედეგით (ძირების შემდგომი შემოწმებით) შეიძლება განხორციელდეს შემდეგნაირად:

1. იპოვეთ საწყისი განტოლების ODZ.

2. გადადით განტოლებიდან მის დასკვნამდე.

3. იპოვეთ მიღებული განტოლების ფესვები.

4. შეამოწმეთ, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვები საწყისი განტოლების ფესვები.

შემოწმება შემდეგია:

ა) შემოწმებულია ODZ-ის თითოეული ნაპოვნი ფესვის კუთვნილება თავდაპირველ განტოლებასთან. ის ფესვები, რომლებიც არ მიეკუთვნება ODZ-ს, უცხოა საწყისი განტოლებისთვის.

ბ) თავდაპირველი განტოლების ODZ-ში შემავალი თითოეული ფესვისთვის მოწმდება აქვს თუ არა ერთი და იგივე ნიშნები თითოეული განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, რომლებიც წარმოიქმნება თავდაპირველი განტოლების ამოხსნის პროცესში. ის ფესვები, რომლებისთვისაც ლუწი სიმძლავრემდე აყვანილი ნებისმიერი განტოლების ნაწილებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ, ორიგინალური განტოლებისთვის უცხოა.

გ) მხოლოდ ის ფესვები, რომლებიც ეკუთვნის თავდაპირველი განტოლების ODZ-ს და რომელთა თითოეული განტოლების ორივე ნაწილი, რომელიც წარმოიქმნება თავდაპირველი განტოლების ამოხსნის პროცესში და ამაღლებულია ლუწი ხარისხზე, აქვს იგივე ნიშნები, მოწმდება პირდაპირი ჩანაცვლებით ორიგინალური განტოლება.

გადაწყვეტის ასეთი მეთოდი გადამოწმების მითითებული მეთოდით შესაძლებელს ხდის თავიდან აიცილოთ უხერხული გამოთვლები ბოლო განტოლების თითოეული ნაპოვნი ფესვის თავდაპირველში პირდაპირი ჩანაცვლების შემთხვევაში.

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება:

.

ამ განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების ნაკრები:

დაყენებით, ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ განტოლებას

ან მისი ეკვივალენტური განტოლება

რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს როგორც კვადრატული განტოლება . ამ განტოლების ამოხსნით, მივიღებთ

.

მაშასადამე, თავდაპირველი ირაციონალური განტოლების ამონახსნის სიმრავლე არის შემდეგი ორი განტოლების ამონახსნების სიმრავლეების გაერთიანება:

, .

ამ განტოლების ორივე მხარე კუბიკით და მივიღებთ ორ რაციონალურ ალგებრულ განტოლებას:

, .

ამ განტოლებების ამოხსნისას, აღმოვაჩენთ, რომ ამ ირაციონალურ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x = 2 (დამოწმება არ არის საჭირო, რადგან ყველა ტრანსფორმაცია ექვივალენტურია).

პასუხი: x = 2.

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება:

აღნიშნეთ 2x2 + 5x - 2 = t. შემდეგ ორიგინალური განტოლება მიიღებს ფორმას . მიღებული განტოლების ორივე ნაწილის კვადრატში და მსგავსი ტერმინების მოყვანით, ვიღებთ განტოლებას, რომელიც არის წინა განტოლების შედეგი. მისგან ვპოულობთ t=16.

უცნობ x-ს რომ დავუბრუნდეთ, ვიღებთ განტოლებას 2x2 + 5x - 2 = 16, რაც თავდაპირველის შედეგია. შემოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ მისი ფესვები x1 \u003d 2 და x2 \u003d - 9/2 არის ორიგინალური განტოლების ფესვები.

პასუხი: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 მეთოდი. იდენტობის განტოლების ტრანსფორმაცია

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას არ უნდა დაიწყოთ განტოლების ამოხსნა განტოლებების ორივე ნაწილის ბუნებრივ ხარისხზე აწევით, ირაციონალური განტოლების ამოხსნის რაციონალური ალგებრული განტოლების ამოხსნის მცდელობით. პირველ რიგში, საჭიროა დავინახოთ, შესაძლებელია თუ არა განტოლების იდენტური ტრანსფორმაციის განხორციელება, რაც მნიშვნელოვნად გაამარტივებს მის ამოხსნას.

ამოხსენით განტოლება:

მოქმედი მნიშვნელობების ნაკრები ამ განტოლებისთვის: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> გაყავით ეს განტოლება.

.

ჩვენ ვიღებთ:

a = 0-ისთვის, განტოლებას არ ექნება ამონახსნები; for , განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, რადგან რომელიმესთვის Xგანტოლების დასაშვები მნიშვნელობების სიმრავლეს მიეკუთვნება, განტოლების მარცხენა მხარეს გამოხატულება დადებითია;

როდესაც განტოლებას აქვს ამონახსნი

იმის გათვალისწინებით, რომ განტოლების დასაშვები ამონახსნების სიმრავლე განისაზღვრება პირობით, საბოლოოდ მივიღებთ:

ამ ირაციონალური განტოლების ამოხსნისას, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> განტოლების ამონახსნი იქნება . ყველა სხვა მნიშვნელობებისთვის Xგანტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

მაგალითი 10:

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

სისტემის კვადრატული განტოლების ამონახსნი იძლევა ორ ფესვს: x1 \u003d 1 და x2 \u003d 4. მიღებული ფესვებიდან პირველი არ აკმაყოფილებს სისტემის უტოლობას, შესაბამისად x \u003d 4.

შენიშვნები.

1) იდენტური გარდაქმნების განხორციელება საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ გადამოწმების გარეშე.

2) უტოლობა x - 3 ≥0 ეხება იდენტურ გარდაქმნებს და არა განტოლების დომენს.

3) განტოლების მარცხენა მხარეს არის კლებადი ფუნქცია, ამ განტოლების მარჯვენა მხარეს კი მზარდი ფუნქცია. კლებადი და მზარდი ფუნქციების გრაფიკებს მათი განსაზღვრის დომენების გადაკვეთაზე შეიძლება ჰქონდეს არაუმეტეს ერთი საერთო წერტილი. ცხადია, ჩვენს შემთხვევაში, x = 4 არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსციზა.

პასუხი: x = 4.

6 მეთოდი. განტოლებების ამოხსნისას ფუნქციების განსაზღვრის დომენის გამოყენება

ეს მეთოდი ყველაზე ეფექტურია განტოლებების გადაჭრისას, რომლებიც მოიცავს ფუნქციებს https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> და იპოვით მისი ფართობის განმარტებებს. (ვ)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, მაშინ თქვენ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა განტოლება ჭეშმარიტი ინტერვალის ბოლოებში, უფრო მეტიც, თუ< 0, а b >0, მაშინ აუცილებელია ინტერვალების შემოწმება (a;0)და . E(y)-ში ყველაზე პატარა მთელი რიცხვია 3.

უპასუხე: x = 3.

8 მეთოდი. წარმოებულის გამოყენება ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას

ყველაზე ხშირად, წარმოებული მეთოდის გამოყენებით განტოლებების ამოხსნისას, გამოიყენება შეფასების მეთოდი.

მაგალითი 15:

ამოხსენით განტოლება: (1)

გამოსავალი: https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> ან (2). განიხილეთ ფუნქცია ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> საერთოდ და შესაბამისად იზრდება. მაშასადამე, განტოლება უდრის განტოლებას, რომელსაც აქვს ფესვი, რომელიც არის საწყისი განტოლების ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 16:

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება:

ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის სეგმენტი. ვიპოვოთ ამ ფუნქციის მნიშვნელობის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის წარმოებულს ვ(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ვ(x)სეგმენტის ბოლოებში და წერტილში: ასე რომ, მაგრამ და, შესაბამისად, თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ იმ პირობით https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 " height="19 src=" > შემოწმება აჩვენებს, რომ რიცხვი 3 არის ამ განტოლების ფესვი.

პასუხი: x = 3.

9 მეთოდი. ფუნქციონალური

გამოცდებში ისინი ზოგჯერ გვთავაზობენ განტოლებების ამოხსნას, რომლებიც შეიძლება დაიწეროს ფორმაში, სადაც არის გარკვეული ფუნქცია.

მაგალითად, რამდენიმე განტოლება: 1) 2) . მართლაც, პირველ შემთხვევაში , მეორე შემთხვევაში . ამიტომ, ამოხსენით ირაციონალური განტოლებები შემდეგი დებულების გამოყენებით: თუ ფუნქცია მკაცრად იზრდება სიმრავლეზე Xდა ნებისმიერისთვის, მაშინ განტოლებები და ა.შ. ექვივალენტურია სიმრავლეში X .

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> მკაცრად იზრდება კომპლექტში R,და https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > რომელსაც აქვს უნიკალური ფესვი ამიტომ, ეკვივალენტურ განტოლებას (1) ასევე აქვს უნიკალური ფესვი

პასუხი: x = 3.

მაგალითი 18:

ამოხსენით ირაციონალური განტოლება: (1)

კვადრატული ფესვის განსაზღვრის ძალით მივიღებთ, რომ თუ განტოლებას (1) აქვს ფესვები, მაშინ ისინი მიეკუთვნებიან სიმრავლეს https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width=" 163" height="47" >.(2)

განვიხილოთ ფუნქცია https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> მკაცრად იზრდება ამ კომპლექტზე ნებისმიერი ..gif" width="100" სიმაღლე = "41"> რომელსაც აქვს ერთი ფესვი ამიტომ, და მისი ექვივალენტი ნაკრებში Xგანტოლებას (1) აქვს ერთი ფესვი

პასუხი: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

ამოხსნა: ეს განტოლება შერეული სისტემის ტოლფასია

განტოლებებს, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ფესვის ნიშნის ქვეშ, ირაციონალური ეწოდება.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდები, როგორც წესი, ემყარება ირაციონალური განტოლების (გარკვეული გარდაქმნების დახმარებით) ჩანაცვლების შესაძლებლობას რაციონალური განტოლებით, რომელიც ან თავდაპირველი ირაციონალური განტოლების ექვივალენტია ან მისი შედეგია. ყველაზე ხშირად, განტოლების ორივე მხარე ერთსა და იმავე სიძლიერეზეა აყვანილი. ამ შემთხვევაში მიიღება განტოლება, რომელიც ორიგინალის შედეგია.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი:

1) თუ ფესვის ინდექსი არის ლუწი რიცხვი, მაშინ რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი; ძირის მნიშვნელობა ასევე არაუარყოფითია (ძირის განმარტება ლუწი მაჩვენებლით);

2) თუ ფესვის ინდექსი კენტი რიცხვია, მაშინ რადიკალური გამოხატულება შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი; ამ შემთხვევაში ფესვის ნიშანი იგივეა, რაც ძირეული გამოხატვის ნიშანი.

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა

მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ.
x 2 - 3 \u003d 1;
განტოლების მარცხენა მხრიდან -3-ს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს და ვასრულებთ მსგავსი ტერმინების შემცირებას.
x 2 \u003d 4;
მიღებულ არასრულ კვადრატულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი -2 და 2.

შევამოწმოთ მიღებული ფესვები, ამისთვის ჩავანაცვლებთ x ცვლადის მნიშვნელობებს თავდაპირველ განტოლებაში.
ექსპერტიზა.
როდესაც x 1 \u003d -2 - მართალია:
როდესაც x 2 \u003d -2- მართალია.
აქედან გამომდინარეობს, რომ თავდაპირველ ირაციონალურ განტოლებას აქვს ორი ფესვი -2 და 2.

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა .

ეს განტოლება შეიძლება ამოხსნას იგივე მეთოდით, როგორც პირველ მაგალითში, მაგრამ ჩვენ ამას სხვაგვარად გავაკეთებთ.

მოდით ვიპოვოთ ამ განტოლების ODZ. კვადრატული ფესვის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ ამ განტოლებაში ერთდროულად ორი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს:

მოცემული განტოლების ODZ: x.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 3განტოლების ამოხსნა =+ 2.

ამ განტოლებაში ODZ-ის პოვნა საკმაოდ რთული ამოცანაა. მოდი განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x2=0.
შემოწმების შემდეგ დავადგინეთ, რომ x 2 \u003d 0 არის დამატებითი ფესვი.
პასუხი: x 1 \u003d 1.

მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება x =.

ამ მაგალითში ODZ ადვილი მოსაძებნია. ამ განტოლების ODZ: x[-1;).

მოდით ამ განტოლების ორივე მხარე კვადრატში მივიღოთ, შედეგად მივიღებთ განტოლებას x 2 \u003d x + 1. ამ განტოლების ფესვები:

აღმოჩენილი ფესვების შემოწმება რთულია. მაგრამ, მიუხედავად იმისა, რომ ორივე ფესვი ეკუთვნის ODZ-ს, შეუძლებელია იმის მტკიცება, რომ ორივე ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვები. ეს გამოიწვევს შეცდომას. AT ამ საქმესირაციონალური განტოლება უდრის ორი უტოლობისა და ერთი განტოლების კომბინაციას:

x+10 და x0 და x 2 \u003d x + 1, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ ირაციონალური განტოლების უარყოფითი ფესვი ზედმეტია და უნდა განადგურდეს.

მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება += 7.

განტოლების ორივე მხარე კვადრატში გავავლოთ და შევასრულოთ მსგავსი წევრების შემცირება, გადავიტანოთ ტერმინები განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეზე და გავამრავლოთ ორივე ნაწილი 0,5-ზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას
= 12, (*), რაც ორიგინალის შედეგია. ისევ კვადრატში გავავლოთ განტოლების ორივე მხარე. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას (x + 5) (20 - x) = 144, რაც თავდაპირველის შედეგია. შედეგად მიღებული განტოლება მცირდება x 2 - 15x + 44 =0 ფორმამდე.

ამ განტოლებას (რომელიც ასევე ორიგინალის შედეგია) აქვს ფესვები x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. ორივე ფესვი, როგორც ჩეკი აჩვენებს, აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას.

რეპ. x 1 = 4, x 2 = 11.

კომენტარი. განტოლებების კვადრატში მოყვანისას მოსწავლეები ხშირად (*) ტიპის განტოლებებში ამრავლებენ ძირეულ გამოსახულებებს, ანუ განტოლების = 12-ის ნაცვლად წერენ განტოლებას. = 12. ეს არ იწვევს შეცდომებს, ვინაიდან განტოლებები განტოლებების შედეგია. თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ ზოგად შემთხვევაში, რადიკალური გამონათქვამების ასეთი გამრავლება იძლევა არაეკვივალენტურ განტოლებებს.

ზემოთ განხილულ მაგალითებში შესაძლებელი იყო ჯერ ერთი რადიკალის გადატანა განტოლების მარჯვენა მხარეს. შემდეგ განტოლების მარცხენა მხარეს დარჩება ერთი რადიკალი, ხოლო განტოლების ორივე მხარის კვადრატში გამოყვანის შემდეგ რაციონალური ფუნქცია მიიღება განტოლების მარცხენა მხარეს. ეს ტექნიკა (რადიკალის მარტოობა) საკმაოდ ხშირად გამოიყენება ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას.

მაგალითი 6. ამოხსენით განტოლება-= 3.

პირველი რადიკალი გამოვყოთ, ვიღებთ განტოლებას
=+ 3, რაც ორიგინალის ექვივალენტურია.

ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ განტოლებას

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, რომელიც ტოლია განტოლების

4x - 5 = 3 (*). ეს განტოლება არის ორიგინალური განტოლების შედეგი. განტოლების ორივე მხარის კვადრატში მივდივართ განტოლებამდე
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3), ან

7x2 - 13x - 2 = 0.

ეს განტოლება არის (*) განტოლების შედეგი (და, შესაბამისად, თავდაპირველი განტოლება) და აქვს ფესვები. პირველი ფესვი x 1 = 2 აკმაყოფილებს თავდაპირველ განტოლებას, ხოლო მეორე x 2 =- არა.

პასუხი: x = 2.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ჩვენ დაუყოვნებლივ, ერთ-ერთი რადიკალის იზოლირების გარეშე, თავდაპირველი განტოლების ორივე ნაწილს კვადრატში გავხსნით, საკმაოდ რთული გარდაქმნები მოგვიწევს.

ირაციონალური განტოლებების ამოხსნისას, გარდა რადიკალების იზოლაციისა, გამოიყენება სხვა მეთოდებიც. განვიხილოთ უცნობის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების მაგალითი (დამხმარე ცვლადის შემოღების მეთოდი).