VIII კლასი: თემა 3. ფიგურების ფართობები. Პითაგორას თეორემა.

1. ფართობის ცნება. თანაბარი ფიგურები.

თუ სიგრძე არის წრფის რიცხვითი მახასიათებელი, მაშინ ფართობი არის დახურული ფიგურის რიცხვითი მახასიათებელი. მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ კარგად ვიცნობთ არეალის ცნებას ყოველდღიური ცხოვრებიდან, ადვილი არ არის ამ კონცეფციის მკაცრი განმარტება. გამოდის, რომ დახურული ფიგურის ფართობს შეიძლება ეწოდოს ნებისმიერი არაუარყოფითი სიდიდე, რომელსაც აქვს შემდეგი ფიგურების ფართობის გაზომვის თვისებები:

თანაბარ ფიგურებს აქვთ თანაბარი ფართობები. თუ ეს დახურული ფიგურა იყოფა რამდენიმე დახურულ ფიგურად, მაშინ ფიგურის ფართობი უდრის მისი შემადგენელი ფიგურების ფართობების ჯამს (სურათი 1-ზე დაყოფილია ნფიგურები; ამ შემთხვევაში, ფიგურის ფართობი, სადაც სი- კვადრატი მეფიგურა).

პრინციპში, შეიძლება გამოვიდეს რაოდენობების ნაკრები, რომლებსაც აქვთ ჩამოყალიბებული თვისებები და, შესაბამისად, ახასიათებენ ფიგურის ფართობს. მაგრამ ყველაზე ნაცნობი და მოსახერხებელი არის ის მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს კვადრატის ფართობს, როგორც მისი მხარის კვადრატს. მოდით ვუწოდოთ ამ "განლაგებას" ფიგურების ფართობის გაზომვის მესამე თვისება:

კვადრატის ფართობი უდრის მისი მხარის კვადრატს (სურათი 2).

ამ განსაზღვრებით, ფიგურების ფართობი იზომება კვადრატულ ერთეულებში ( სმ 2, კმ 2, ჰა=100მ 2).

ფიგურები თანაბარი ფართობების მქონე ეწოდება თანაბარი ზომით .

კომენტარი: თანაბარ ფიგურებს აქვთ თანაბარი ფართობები, ანუ თანაბარი ფიგურები ტოლია ზომით. მაგრამ თანაბარი ზომის ფიგურები შორს არის ყოველთვის ტოლისაგან (მაგალითად, ნახაზი 3 გვიჩვენებს კვადრატს და ტოლფერდა სამკუთხედს, რომელიც შედგება თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედებისგან (სხვათა შორის, ასეთი ფიგურები დაურეკა თანაბრად შედგენილი ); ნათელია, რომ კვადრატი და სამკუთხედი ზომით თანაბარია, მაგრამ არა ტოლი, რადგან ისინი არ არიან გადანაწილებული).

შემდეგი, ჩვენ ვიღებთ ფორმულებს ყველა ძირითადი ტიპის მრავალკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად (მართკუთხედის ფართობის პოვნის ცნობილი ფორმულის ჩათვლით), ფიგურების ფართობის გაზომვის ფორმულირებულ თვისებებზე დაყრდნობით.

2. ოთხკუთხედის ფართობი. პარალელოგრამის ფართობი.

მართკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა: მართკუთხედის ფართობი უდრის მისი ორი მიმდებარე გვერდის ნამრავლს (სურათი 4).

მოცემული:

Ა Ბ Გ Დ- მართკუთხედი;

ახ.წ=ა, AB=ბ.

დაამტკიცე: SABCD=ა× ბ.

მტკიცებულება:

1. გააგრძელეთ გვერდი ABსეგმენტისთვის BP=ადა გვერდითი ახ.წ- სეგმენტისთვის DV=ბ. ავაშენოთ პარალელოგრამი APRV(სურათი 4). ვინაიდან რ ა=90°, APRV- ოთხკუთხედი. სადაც AP=ა+ბ=AV, Þ APRVარის კვადრატი გვერდით ( ა+ბ).

2. აღნიშნეთ ძვ.წÇ რ.ვ.=თ, CDÇ პიარი=ქ. მერე BCQP- კვადრატი გვერდით ა, CDVT- კვადრატი გვერდით ბ, CQRT- გვერდებით მართკუთხედი ადა ბ.

პარალელოგრამის ფართობის გამოთვლის ფორმულა: პარალელოგრამის ფართობი უდრის მისი სიმაღლისა და ფუძის ნამრავლს (სურათი 5).

კომენტარი: პარალელოგრამის ფუძე ეწოდება იმ მხარეს, რომელზედაც სიმაღლეა დახატული; ნათელია, რომ პარალელოგრამის ნებისმიერი მხარე შეიძლება იყოს ფუძე.

მოცემული:

Ა Ბ Გ Დ– პ/გ;

BH^ახ.წ, ჰÎ ახ.წ.

დაამტკიცე: SABCD=ახ.წ× BH.

მტკიცებულება:

1. მიიყვანეთ ძირამდე ახ.წსიმაღლე CF(სურათი 5).

2. ძვ.წïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p/g განსაზღვრებით. რ ჰ=90°, Þ BCFH- ოთხკუთხედი.

3. BCFH– p/g, Þ თვისებით p/g BH=CF, Þ დ BAH=დ CDFჰიპოტენუზისა და ფეხის გასწვრივ ( AB=CDქ.პ/გ-ის მიხედვით, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+სდ CDF=SABCF+სდ BAH=SBCFH=BH× ძვ.წ=BH× ახ.წ. #

3. სამკუთხედის ფართობი.

სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა: სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი სიმაღლისა და ფუძის ნამრავლის ნახევარს (სურათი 6).

კომენტარი: სამკუთხედის საფუძველი შიგნით ამ საქმესდაასახელეთ მხარე, რომლისკენაც სიმაღლეა დახატული. სამკუთხედის სამი გვერდიდან ნებისმიერი შეიძლება იყოს მისი საფუძველი.

მოცემული:

BD^AC, დÎ AC.

დაამტკიცე: .

მტკიცებულება:

1. დაასრულეთ D ABC p/y-მდე ABKCზევით გავლის გზით ბსწორი ბ.კïê ACდა ზემოდან C- სწორი CKïê AB(სურათი 6).

2. დ ABC=დ KCBსამი მხრიდან ( ძვ.წ- გენერალი, AB=KCდა AC=კბქ. p/g-ის მიხედვით), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

დასკვნა 2: თუ გავითვალისწინებთ p/y D ABCსიმაღლით ახმიზიდული ჰიპოტენუზისკენ ძვ.წ, მაშინ . ამრიგად, p/y-ში D-ke ჰიპოტენუზასთან მიზიდული სიმაღლე უდრის მისი ფეხების პროდუქტის შეფარდებას ჰიპოტენუზასთან. . ეს თანაფარდობა ხშირად გამოიყენება პრობლემების გადასაჭრელად.

4. სამკუთხედის ფართობის პოვნის ფორმულის შედეგები: თანაბარი სიმაღლის ან ფუძის მქონე სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა; ტოლი სამკუთხედები ფიგურებში; ამოზნექილი ოთხკუთხედის დიაგონალებით წარმოქმნილი სამკუთხედების ფართობის თვისება.

სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულიდან ელემენტარული გზით მიჰყვება ორი დასკვნა:

1. თანაბარი სიმაღლის მქონე სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა უდრის მათი ფუძეების თანაფარდობას (სურათზე 8 ).

2. თანაბარი ფუძის მქონე სამკუთხედების ფართობის თანაფარდობა უდრის მათი სიმაღლეების თანაფარდობას (სურათზე 9 ).

კომენტარი: პრობლემების გადაჭრისას ძალიან ხშირია სამკუთხედები საერთო სიმაღლით. ამ შემთხვევაში, როგორც წესი, მათი ფუძეები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, ხოლო ფუძის მოპირდაპირე წვერო საერთოა (მაგალითად, 10 სურათზე ს 1:ს 2:ს 3=ა:ბ:გ). თქვენ უნდა ისწავლოთ ასეთი სამკუთხედების მთლიანი სიმაღლის დანახვა.

ასევე, სასარგებლო ფაქტები გამომდინარეობს სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულიდან, რომელიც საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ თანაბარი ფართობის სამკუთხედები ფიგურებში:

1. თვითნებური სამკუთხედის მედიანა ყოფს მას თანაბარი ფართობის ორ სამკუთხედად (სურათზე 11 D ABMდა დ ACMსიმაღლე ახ- ზოგადი და ბაზები BMდა ᲡᲛტოლია მედიანის განმარტებით; აქედან გამომდინარეობს, რომ დ ABMდა დ ACMთანაბარი არიან).

2. პარალელოგრამის დიაგონალები ყოფს მას თანაბარი ფართობის ოთხ სამკუთხედად. (სურათზე 12 AOარის სამკუთხედის მედიანა ABDწინა წმ სამკუთხედების გამო p/g, z დიაგონალების თვისებით ABOდა ADOთანაბარი არიან; რადგან BOარის სამკუთხედის მედიანა ABC, სამკუთხედები ABOდა BCOთანაბარი არიან; რადგან COარის სამკუთხედის მედიანა BCD, სამკუთხედები BCOდა DCOთანაბარი არიან; ამრიგად, სდ ADO=სდ ABO=სდ BCO=სდ DCO).

3. ტრაპეციის დიაგონალები ყოფს მას ოთხ სამკუთხედად; ორი მათგანი, გვერდების მიმდებარედ, ტოლია (სურათი 13).

მოცემული:

Ა Ბ Გ Დ- ტრაპეცია;

ძვ.წïê ახ.წ; ACÇ BD=ო.

დაამტკიცე: სდ ABO=სდ DCO.

მტკიცებულება:

1. დავხატოთ სიმაღლეები ბფდა CH(სურათი 13). შემდეგ დ ABDდა დ ACDბაზა ახ.წ- ზოგადი და სიმაღლეები ბფდა CHთანაბარი არიან; Þ სდ ABD=სდ ACD.

2. სდ ABO=სდ ABD ‑ სდ AOD=სდ ACD ‑ სდ AOD=სდ DCO. #

თუ ამოზნექილი ოთხკუთხედის დიაგონალებს დახატავთ (სურათი 14), წარმოიქმნება ოთხი სამკუთხედი, რომელთა არეები ერთმანეთთან დაკავშირებულია ძალიან ადვილად დასამახსოვრებელი თანაფარდობით. ამ მიმართების წარმოშობა ეყრდნობა მხოლოდ სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულას; თუმცა ლიტერატურაში იშვიათად გვხვდება. როგორც სასარგებლოა პრობლემების გადაჭრაში, ის მიმართება, რომელიც ჩამოყალიბდება და დადასტურდება ქვემოთ, იმსახურებს დიდ ყურადღებას:

ამოზნექილი ოთხკუთხედის დიაგონალებით წარმოქმნილი სამკუთხედების ფართობების თვისება: თუ ამოზნექილი ოთხკუთხედის დიაგონალები Ა Ბ Გ Დიკვეთება ერთ წერტილში ო, შემდეგ (სურათი 14).

Ა Ბ Გ Დ- ამოზნექილი ოთხკუთხედი;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

მტკიცებულება:

1. ბფ- საერთო სიმაღლე D AOBდა დ BOC; Þ სდ AOB:სდ BOC=AO:CO.

2. დ.ჰ.- საერთო სიმაღლე D AODდა დ COD; Þ სდ AOD:სდ COD=AO:CO.

5. თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების ფართობების შეფარდება.

თეორემა თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების ფართობების შეფარდების შესახებ: თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების არეები დაკავშირებულია ამ კუთხეების შემოსაზღვრული გვერდების ნამრავლებად (სურათი 15).

მოცემული:

დ ABC, დ ა 1ბ 1C 1;

Ð BAC=Ð ბ 1ა 1C 1.

დაამტკიცე:

.

მტკიცებულება:

1. დააყენეთ სხივზე ABხაზის სეგმენტი AB 2=ა 1ბ 1 და სხივზე AC- ხაზის სეგმენტი AC 2=ა 1C 1 (სურათი 15). შემდეგ დ AB 2C 2=D ა 1ბ 1C 1 ორ მხარეს და მათ შორის კუთხე ( AB 2=ა 1ბ 1 და AC 2=ა 1C 1 კონსტრუქციით, ხოლო Р ბ 2AC 2=რ ბ 1ა 1C 1 პირობით). ნიშნავს,.

2. დააკავშირეთ წერტილები Cდა ბ 2.

3. CH- საერთო სიმაღლე D AB 2Cდა დ ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. სამკუთხედის ბისექტრის თვისება.

თეორემების გამოყენებით თანაბარი კუთხით სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობაზე და თანაბარი სიმაღლეების მქონე სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობაზე, ჩვენ უბრალოდ ვამტკიცებთ უკიდურესად სასარგებლო ფაქტს ამოცანების გადასაჭრელად, რომელიც პირდაპირ არ არის დაკავშირებული ფიგურების ფართობებთან:

სამკუთხედის ბისექტრის თვისება:სამკუთხედის ბისექტრი ყოფს გვერდს, რომელზედაც ის არის დახატული, მათ მიმდებარე გვერდების პროპორციულ მონაკვეთებად.

მოცემული:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

მტკიცებულება:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. 1 და 2 პუნქტებიდან ვიღებთ: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

კომენტარი:ვინაიდან უკიდურესი წევრები ან შუა წევრები შეიძლება შეიცვალოს სწორი პროპორციით, უფრო მოსახერხებელია სამკუთხედის ბისექტრის თვისების დამახსოვრება შემდეგი ფორმით (სურათი 16):.

7. ტრაპეციის ფართობი.

ტრაპეციის ფართობის გამოთვლის ფორმულა: ტრაპეციის ფართობი უდრის მისი სიმაღლის ნამრავლს და ფუძეების ჯამის ნახევარს.

მოცემული:

Ა Ბ Გ Დ- ტრაპეცია;

ძვ.წïê ახ.წ;

BH- სიმაღლე.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

მტკიცებულება:

1. დახაზეთ დიაგონალი BDდა სიმაღლე დ.ფ.(სურათი 17). BHDF– ოთხკუთხედი, Þ BH = დ.ფ..

შედეგი: თანაბარი სიმაღლის მქონე ტრაპეციის ფართობების თანაფარდობა უდრის მათი შუახაზების თანაფარდობას (ან ფუძეების ჯამების თანაფარდობას).

8. ორმხრივი პერპენდიკულარული დიაგონალებით ოთხკუთხედის ფართობი.

ორმხრივი პერპენდიკულარული დიაგონალებით ოთხკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა: ორმხრივი პერპენდიკულარული დიაგონალებით ოთხკუთხედის ფართობი უდრის მისი დიაგონალების ნამრავლის ნახევარს.

Ა Ბ Გ Დ- ოთხკუთხედი;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

მტკიცებულება:

1. აღნიშნეთ ACÇ BD=ო. Იმდენად, რამდენადაც AC^BD, AO- სიმაღლე D ABD, ა CO- სიმაღლე D CBD(სურათები 18a და 18b ამოზნექილი და არაამოზნექილი ოთხკუთხედების შემთხვევებისთვის, შესაბამისად).

2.
("+" ან "-" ნიშნები შეესაბამება ამოზნექილი და არაამოზნექილი ოთხკუთხედების შემთხვევებს). #

პითაგორას თეორემა უაღრესად მნიშვნელოვან როლს თამაშობს მრავალფეროვანი პრობლემების გადაჭრაში; ის საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის უცნობი გვერდი მისი ორი ცნობილი გვერდის გათვალისწინებით. პითაგორას თეორემის მრავალი მტკიცებულება არსებობს. აქ არის უმარტივესი მათგანი, კვადრატისა და სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულებზე დაყრდნობით:

Პითაგორას თეორემა: მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის ფეხების კვადრატების ჯამს.

მოცემული:

დ ABC- p / y;

Ð ა=90°.

დაამტკიცე:

ძვ.წ 2=AB 2+AC 2.

მტკიცებულება:

1. აღნიშნეთ AC=ა, AB=ბ. სხივზე დავდოთ ABხაზის სეგმენტი BP=ა, და სხივზე AC- ხაზის სეგმენტი CV=ბ(სურათი 19). მოდით გავიაროთ წერტილი პპირდაპირი პიარიïê AV, და წერტილის მეშვეობით ვ- პირდაპირი VRïê AP. მერე APRV- p/g განსაზღვრებით. ამასთან, ვინაიდან Р ა=90°, APRV- ოთხკუთხედი. და მას შემდეგ AV=ა+ბ=AP, APRV- კვადრატი გვერდით ა+ბ, და SAPRV=(ა+ბ) 2. მოდით გავყოთ მხარე პიარიწერტილი ქსეგმენტებად PQ=ბდა QR=ადა გვერდითი რ.ვ.- წერტილი თსეგმენტებად RT=ბდა სატელევიზიო=ა.

2.დ ABC=დ PQB=დ RTQ=დ VCTორ ფეხზე, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, ძვ.წ=QB=TQ=CTდა https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. რადგან ძვ.წ=QB=TQ=CT, CBQT- რომბი. ამავე დროს, რ QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAC=90°; Þ CBQTარის კვადრატი და SCBQT=ძვ.წ 2.

4. . Ისე, ძვ.წ 2=AB 2+AC 2. #

პითაგორას შებრუნებული თეორემა არის მართკუთხა სამკუთხედის ნიშანი, ანუ ის საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ არის თუ არა სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედის სამი ცნობილი გვერდით.

ინვერსიული პითაგორას თეორემა: თუ სამკუთხედის გვერდის კვადრატი უდრის მისი დანარჩენი ორი გვერდის კვადრატების ჯამს, მაშინ ეს სამკუთხედი მართკუთხაა, ხოლო ყველაზე გრძელი გვერდი არის ჰიპოტენუზა.

მოცემული:

ძვ.წ 2=AB 2+AC 2.

დაამტკიცე:დ ABC- p / y;

Ð ა=90°.

მტკიცებულება:

1. ავაშენოთ მართი კუთხე ა 1 და გვერდზე მოათავსეთ სეგმენტები ა 1ბ 1=ABდა ა 1C 1=AC(სურათი 20). მიღებულ p/y-ში დ ა 1ბ 1C 1 პითაგორას თეორემით ბ 1C 12=ა 1ბ 12+ა 1C 12=AB 2+AC 2; მაგრამ პირობით AB 2+AC 2=ძვ.წ 2; Þ ბ 1C 12=ძვ.წ 2, Y ბ 1C 1=ძვ.წ.

2.დ ABC=დ ა 1ბ 1C 1 სამ მხარეს ( ა 1ბ 1=ABდა ა 1C 1=ACმშენებლობით, ბ 1C 1=ძვ.წპუნქტიდან 1), Þ Ð ა=Ð ა 1=90°, Þ D ABC- p / a. #

მართკუთხა სამკუთხედები, რომელთა გვერდის სიგრძე მთელი რიცხვია, ეწოდება პითაგორას სამკუთხედები , და შესაბამისი ნატურალური რიცხვების სამეული არის პითაგორას სამეული . პითაგორას სამეული სასარგებლოა დასამახსოვრებლად (ამ რიცხვებიდან უფრო დიდი უდრის დანარჩენი ორის კვადრატების ჯამს). აქ არის რამდენიმე პითაგორას სამეული:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

მართკუთხა სამკუთხედი 3, 4, 5 გვერდებით ეგვიპტეში გამოიყენებოდა მართი კუთხის ასაგებად და ამიტომ ასეთი სამკუთხედი დაურეკა ეგვიპტური .

10. ჰერონის ფორმულა.

ჰერონის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ თვითნებური სამკუთხედის ფართობი მისი სამი ცნობილი გვერდით და შეუცვლელია მრავალი პრობლემის გადასაჭრელად.

ჰერონის ფორმულა: სამკუთხედის ფართობი გვერდებით ა, ბდა გგამოითვლება შემდეგი ფორმულით: , სად არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

მოცემული:

ძვ.წ=ა; AC=ბ; AB=გ.). მერე .

4. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება სიმაღლეზე სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელ ფორმულაში: . #

1. სწორი ჭრასწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი წერტილით. სეგმენტი არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი წერტილით (სეგმენტის ბოლოები). სეგმენტს აქვს დასაწყისიც და დასასრულიც. სეგმენტი აღინიშნება ან სეგმენტი AB.

ქულები ადა ბდაურეკა სეგმენტის ბოლოები. ყველა სხვა პუნქტი ე.წ შიდა წერტილებისეგმენტი.

სეგმენტის ბოლოებს შორის მანძილი ეწოდება გრძელიდა აღვნიშნავთ |AB|.

სეგმენტის ყველა წერტილი დევს იმავე სწორ ხაზზე, რომელიც გადის მის ბოლოებზე.

2. ორი მონაცემის შემდეგწერტილები, რომლებიც იმავე სიბრტყეშია, შეგიძლიათ დახაზოთ ერთი სწორი ხაზი. შესაძლებელია სწორი ხაზის დახაზვა ნებისმიერ ორ წერტილში და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი

3. თუ ორი წრფე იკვეთება, მაშინ მათ აქვთ ერთი წერტილი, ხოლო თუ წრფეები პარალელურია, მაშინ არცერთი! ორი ხაზი იკვეთება, ანუ მათ აქვთ მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი. ხაზების გადაკვეთის წერტილის განსაზღვრა: ორი წრფის გადაკვეთის წერტილს ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილი ეწოდება.

4. რა არის სხივი და რა არის ნახევრად სიბრტყე? სხივი არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელსაც აქვს დასაწყისი, მაგრამ არა დასასრული და აქვს მიმართულება

თუ ხაზს გაავლებთ და მასზე მონიშნავთ O წერტილს, მაშინ ის გაყოფს ხაზს ორ ნაწილად, რომელთაგან თითოეულს ეწოდება O წერტილიდან გამომავალი სხივი (ამ სხივებს დამატებით უწოდებენ). O წერტილს სხივის დასაწყისს უწოდებენ. სხივი სწორი ხაზის ნაწილს ეწოდება, რომელიც შედგება ყველა წერტილისგან, რომელიც მდებარეობს სწორი ხაზის ფიქსირებული წერტილის ერთ მხარეს., და ეს წერტილი თავად, ე.წ სხივის დასაწყისი . საერთო წარმოშობის ერთი და იგივე ხაზის სხვადასხვა სხივებს უწოდებენ დამატებითი . აქსიომა. სწორი ხაზი ყოფს თვითმფრინავს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. იმათ. ნებისმიერი წრფე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს, რომელთაგან თითოეულს ნახევრად სიბრტყე ეწოდება, თავად ხაზს კი ამ ნახევრად სიბრტყეებიდან თითოეულის საზღვარი.

5. კუთხე უკანთურმეთვითმფრინავის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია ორი სხივით. თავად სხივებს კუთხის გვერდებს უწოდებენ, საერთო წერტილს, საიდანაც სხივები გამოდიან, კუთხის წვერო. კუთხე არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიცწარმოიქმნება ერთი და იმავე წერტილიდან მომდინარე ორი სხივი.კუთხის წვერო არის წერტილი, საიდანაც გამოდის სხივები. კუთხის მხარე ერთ-ერთი ასეთი სხივია 6. ორი ერთმანეთის შემავსებელი სხივი ქმნის განვითარებულ კუთხეს. ამ კუთხის გვერდები ერთად ქმნიან სწორ ხაზს, რომელზეც დევს გაშლილი კუთხის წვერო. (საერთო წარმოშობის ერთი და იგივე ხაზის სხვადასხვა სხივებს უწოდებენ დამატებითი ) . გაფართოებული კუთხე -არის კუთხე, რომლის გვერდები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს. მაგალითად AOV.

7. რას ნიშნავს სიტყვები "სხივი ყოფს კუთხეს ორ კუთხედ"?როდესაც სხივი ყოფს კუთხეს ორ კუთხედ, მთელი კუთხის გრადუსული ზომა უდრის ამ კუთხეების გრადუსიანი ზომების ჯამს. Ray OS ყოფს AOB კუთხეს შუაზე.

8. რა ფიგურებს უწოდებენ ტოლებს?

ფორმებს, რომლებიც ემთხვევა ზედმიწევისას, ეწოდება EQUAL. ორ გეომეტრიულ ფიგურას ტოლი ეწოდება, თუ შესაძლებელია მათი გაერთიანება ზედმეტად

9. აუხსენით როგორ შევადაროთ ორი სეგმენტიდა როგორ შევადაროთ 2 კუთხე.ერთ სეგმენტს მეორეზე ათავსებ ისე, რომ პირველის ბოლო გასწორდეს მეორის ბოლოს, თუ დანარჩენი ორი ბოლო არ არის გასწორებული, მაშინ სეგმენტები არ არის ტოლი, თუ გასწორებულია, მაშინ ისინი ტოლია. 2 სეგმენტის შესადარებლად, თქვენ უნდა შეადაროთ მათი სიგრძე, 2 კუთხის შესადარებლად, თქვენ უნდა შეადაროთ მათი ხარისხის ზომა, ამბობენ, რომ ორი კუთხე ტოლია, თუ მათი ზედმიწევნით შესაძლებელია. იმის დასადგენად, ტოლია თუ არა ორი გაუფართოვებელი კუთხე, აუცილებელია ერთი კუთხის გვერდი გავაერთიანოთ მეორის გვერდთან ისე, რომ დანარჩენი ორი გვერდი იყოს გაერთიანებული გვერდების ერთსა და იმავე მხარეს..ერთი კუთხე დადგით მეორე კუთხეში ისე, რომ მათი წვეროები ერთ მხარეს ემთხვეოდეს, დანარჩენი ორი კი გასწორებული გვერდების იმავე მხარეს იყოს. თუ ერთი კუთხის მეორე მხარე გასწორებულია მეორე კუთხის მეორე მხარესთან, მაშინ ეს კუთხეები ტოლია. (კუთხეები ისე დააწყვეთ, რომ ერთის მხარე მეორის გვერდით იყოს, ხოლო დანარჩენი ორი გასწორებული გვერდების ერთსა და იმავე მხარეს. თუ მეორე ორი მხარე გასწორებულია, მაშინ კუთხეები მთლიანად გასწორებულია, რაც ნიშნავს. ისინი თანაბარი არიან.)

10. რომელ წერტილს ეწოდება სეგმენტის შუა წერტილი?სეგმენტის შუა წერტილი არის წერტილი, რომელიც ყოფს მოცემულ სეგმენტს ორ თანაბარ ნაწილად. წერტილს, რომელიც ყოფს სეგმენტს შუაზე, ეწოდება სეგმენტის შუა წერტილი.

11. ბისექტორი(ლათინური bi- "ორმაგი" და sectio "გაჭრა") კუთხეს უწოდებენ სხივს, რომელიც გამოდის კუთხის ზემოდან და გადის მის შიდა მხარეში, რომელიც ქმნის ორ თანაბარ კუთხეს თავის გვერდებთან. ან სხივი, რომელიც გამოდის კუთხის წვეროდან და ყოფს ორ თანაბარ კუთხედ კუთხის ბისექტორი.

12. როგორ ხდება სეგმენტების გაზომვა.ერთი საშუალების შესაბამისი სეგმენტის გაზომვა, იმის გასარკვევად, რამდენჯერ შეიცავს ერთეულს ან ერთეულის ზოგიერთ ნაწილს. მანძილის გაზომვახორციელდება ერთეულად აღებულ გარკვეულ სეგმენტთან შედარებით. თქვენ შეგიძლიათ გაზომოთ სეგმენტის სიგრძე სახაზავი ან საზომი ლენტის გამოყენებით. აუცილებელია ერთი სეგმენტის მეორეზე გადატანა, რომელიც ავიღეთ საზომ ერთეულად, რათა მათი ბოლოები გასწორდეს.

? 13. როგორ არის დაკავშირებული AB და CD სეგმენტების სიგრძეები, თუ: ა) AB და CD სეგმენტები ტოლია; ბ) არის AB სეგმენტი CD სეგმენტზე ნაკლები?

ა) AB და CD სეგმენტების სიგრძე ტოლია. ბ) AB სეგმენტის სიგრძე ნაკლებია სეგმენტის სიგრძეზე CD.

14. წერტილი C ყოფს AB სეგმენტს ორ სეგმენტად. როგორ არის დაკავშირებული AB, AC და CB სეგმენტების სიგრძეები? AB სეგმენტის სიგრძე უდრის სეგმენტების სიგრძის ჯამს AC დაCB. AB სეგმენტის სიგრძის საპოვნელად დაამატეთ AC და CB სეგმენტების სიგრძეები.

15. რა არის დიპლომი? რას აჩვენებს კუთხის ხარისხი?? კუთხეები იზომება სხვადასხვა ერთეულებში. ეს შეიძლება იყოს გრადუსი, რადიანები. ყველაზე ხშირად, კუთხეები იზომება გრადუსით. (ეს ხარისხი არ უნდა აგვერიოს ტემპერატურის საზომთან, სადაც ასევე გამოიყენება სიტყვა „ხარისხი“). კუთხეების გაზომვა ემყარება მათ შედარებას საზომ ერთეულად აღებულ კუთხესთან. ჩვეულებრივ, კუთხის საზომ ერთეულად იღებენ გრადუსს - კუთხე, რომელიც უდრის განვითარებული კუთხის 1/180-ს. ხარისხი არის გეომეტრიაში სიბრტყის კუთხეების ერთეული. (როგორც გეომეტრიული კუთხეების საზომი ერთეული, აღებულია ხარისხი - განვითარებული კუთხის ნაწილი.) .

კუთხის ხარისხის საზომი გვიჩვენებს რამდენჯერ ჯდება მოცემულ კუთხეში გრადუსი და მისი ნაწილები - წუთი და წამი , ანუ გრადუსის საზომი - მნიშვნელობა, რომელიც ასახავს კუთხის გვერდებს შორის გრადუსების, წუთებისა და წამების რაოდენობას.

16. ხარისხის რომელ ნაწილს ეწოდება წუთი და რომელ ნაწილს - წამი? 1/60 გრადუსს ეწოდება წუთი, ხოლო წუთის 1/60 - წამს. წუთები აღინიშნება ნიშნით "′", ხოლო წამები - "″" ნიშნით.

? 17. როგორ არის დაკავშირებული ორი კუთხის ხარისხის ზომები, თუ: ა) ეს კუთხეები ტოლია; ბ) ერთი კუთხე ნაკლებია მეორეზე?ა) კუთხეების ხარისხიანი ზომა იგივეა. ბ) ერთი კუთხის გრადუსული ზომა ნაკლებია მეორე კუთხის გრადუსულ ზომაზე.

18. Ray OC ყოფს AOB კუთხეს ორ კუთხედ. როგორ არის დაკავშირებული AOB, AOC და COB კუთხეების ხარისხის ზომები?როდესაც სხივი ყოფს კუთხეს ორ კუთხედ, მთელი კუთხის გრადუსული ზომა უდრის ამ კუთხეების გრადუსული ზომების ჯამს. კუთხის გრადუსიანი ზომა AOB უდრის მისი ნაწილების ხარისხის ზომების ჯამს AOC და COB.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდის გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შეიძლება არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ, ჩამოტვირთოთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის მიზნები:გაიმეორეთ თემა "პარალელოგრამის ფართობი". გამოიტანეთ სამკუთხედის ფართობის ფორმულა, შემოიტანეთ თანაბარი ზომის ფიგურების კონცეფცია. ამოცანების ამოხსნა თემაზე „ტოლი ზომის ფიგურების ფართობები“.

გაკვეთილების დროს

I. გამეორება.

1) ზეპირად დასრულებული ნახატის მიხედვით გამოიტანეთ პარალელოგრამის ფართობის ფორმულა.

2) რა კავშირია პარალელოგრამის გვერდებსა და მათზე ჩამოშვებულ სიმაღლეებს შორის?

(დასრულებული ნახაზის მიხედვით)

ურთიერთობა უკუპროპორციულია.

3) იპოვეთ მეორე სიმაღლე (დასრულებული ნახაზის მიხედვით)

4) იპოვეთ პარალელოგრამის ფართობი დასრულებული ნახაზის მიხედვით.

გადაწყვეტილება:

5) შეადარეთ S1, S2, S3 პარალელოგრამების ფართობები. (მათ თანაბარი ფართობები აქვთ, ყველას აქვს ფუძე a და სიმაღლე h).

განმარტება: თანაბარი ფართობის მქონე ფიგურებს ტოლი ეწოდება.

II. Პრობლემის გადაჭრა.

1) დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი წრფე, რომელიც გადის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში, ყოფს მას 2 ტოლ ნაწილად.

გადაწყვეტილება:

2) პარალელოგრამში ABCD CF და CE სიმაღლეები. დაამტკიცეთ, რომ AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) მოცემულია ტრაპეცია a და 4a ფუძეებით. შესაძლებელია თუ არა მის ერთ-ერთ წვეროზე სწორი ხაზების დახატვა, ტრაპეციის გაყოფა თანაბარი ფართობის 5 სამკუთხედად?

გადაწყვეტილება:შეუძლია. ყველა სამკუთხედი ტოლია.

4) დაამტკიცეთ, რომ თუ ავიღებთ A წერტილს პარალელოგრამის მხარეს და დავუკავშირებთ წვეროებს, მაშინ მიღებული სამკუთხედის ფართობი ABC უდრის პარალელოგრამის ფართობის ნახევარს.

გადაწყვეტილება:

5) ტორტს პარალელოგრამის ფორმა აქვს. კიდი და კარლსონი ყოფენ მას ასე: კიდი მიუთითებს ტორტის ზედაპირზე არსებულ წერტილზე, კარლსონი კი ტორტს ჭრის 2 ნაწილად ამ წერტილიდან გამავალი სწორი ხაზის გასწვრივ და თავისთვის იღებს ერთ-ერთ ნაჭერს. ყველას სურს უფრო დიდი ნაჭერი. სად უნდა დაასრულოს ბავშვმა?

გადაწყვეტილება:დიაგონალების გადაკვეთის ადგილზე.

6) მართკუთხედის დიაგონალზე აირჩიეს წერტილი და გავლეს სწორი ხაზები მართკუთხედის გვერდების პარალელურად. მოპირდაპირე მხარეს ჩამოყალიბდა 2 მართკუთხედი. შეადარეთ მათი სფეროები.

გადაწყვეტილება:

III. თემის შესწავლა "სამკუთხედის ფართობი"

დაიწყეთ დავალება:

"იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი, რომლის ფუძე არის a და სიმაღლე h."

ბიჭები, თანაბარი ზომის ფიგურების კონცეფციის გამოყენებით, ამტკიცებენ თეორემას.

ავაშენოთ სამკუთხედი პარალელოგრამზე.

სამკუთხედის ფართობი არის პარალელოგრამის ფართობის ნახევარი.

ვარჯიში: დახაზეთ თანაბარი სამკუთხედები.

გამოიყენება მოდელი (ქაღალდისგან ამოჭრილია 3 ფერადი სამკუთხედი და წებოვანია).

სავარჯიშო ნომერი 474. "შეადარეთ ორი სამკუთხედის ფართობი, რომლებშიც მოცემული სამკუთხედი იყოფა მის მედიანასთან."

სამკუთხედებს აქვთ იგივე ფუძეები a და იგივე სიმაღლე h. სამკუთხედებს აქვთ იგივე ფართობი

დასკვნა: თანაბარი ფართობის მქონე ფიგურებს ტოლი ეწოდება.

კითხვები კლასისთვის:

1. თანაბარი ფიგურები ერთნაირი ზომისაა?
2. ჩამოაყალიბეთ საპირისპირო განცხადება. Მართალია?
3. Მართალია:
   ა) ტოლგვერდა სამკუთხედები ფართობით ტოლია?
   ბ) ტოლი გვერდების მქონე ტოლგვერდა სამკუთხედები ტოლია?
   გ) ტოლი გვერდების მქონე კვადრატები ტოლია?
   დ) დაამტკიცეთ, რომ ერთმანეთის მიმართ დახრილობის სხვადასხვა კუთხით ერთი და იგივე სიგანის ორი ზოლის გადაკვეთით წარმოქმნილი პარალელოგრამები ტოლია. იპოვეთ უმცირესი ფართობის პარალელოგრამი, რომელიც წარმოიქმნება იმავე სიგანის ორი ზოლის გადაკვეთით. (ჩვენება მოდელზე: თანაბარი სიგანის ზოლები)

IV. Წინ გადადგმული ნაბიჯია!

დაფაზე ეწერა არჩევითი დავალებები:

1. „სამკუთხედი გაჭერით ორი სწორი ხაზით ისე, რომ ნაჭრები მართკუთხედად დაკეცოთ“.

გადაწყვეტილება:

2. „მართკუთხედი სწორხაზოვნად გაჭერით 2 ნაწილად, საიდანაც შეგიძლიათ გააკეთოთ მართკუთხა სამკუთხედი“.

გადაწყვეტილება:

3) მართკუთხედში შედგენილია დიაგონალი. ერთ-ერთ მიღებულ სამკუთხედში დახატულია მედიანა. იპოვეთ თანაფარდობა ფიგურების ფართობებს შორის .

გადაწყვეტილება:

პასუხი:

3. ოლიმპიადის ამოცანებიდან:

ოთხკუთხედში ABCD წერტილი E არის AB-ის შუა წერტილი, რომელიც დაკავშირებულია D წვეროსთან და F არის CD-ის შუა წერტილი, B წვეროსთან. დაამტკიცეთ, რომ EBFD ოთხკუთხედის ფართობი 2-ჯერ ნაკლებია ოთხკუთხედის ფართობზე. Ა Ბ Გ Დ.

ამოხსნა: დახაზეთ დიაგონალი BD.

სავარჯიშო ნომერი 475.

”დახაზეთ სამკუთხედი ABC. B წვერის მეშვეობით დახაზეთ 2 სწორი ხაზი ისე, რომ ეს სამკუთხედი დაყოს 3 სამკუთხედად თანაბარი ფართობებით.

გამოიყენეთ თალესის თეორემა (გაყავით AC 3 თანაბარ ნაწილად).

V. დღის ამოცანა.

მისთვის მე ავიღე დაფის უკიდურესი მარჯვენა ნაწილი, რომელზეც ვწერ დღევანდელ დავალებას. ბავშვებმა შეიძლება გადაწყვიტონ, შეიძლება არ გადაწყვიტონ. ამ პრობლემას დღეს კლასში არ მოვაგვარებთ. უბრალოდ, დაინტერესებულებს შეუძლიათ ჩამოწერონ, მოაგვარონ სახლში ან შესვენებაზე. ჩვეულებრივ, უკვე შესვენების დროს, ბევრი ბიჭი იწყებს პრობლემის მოგვარებას, თუ ისინი გადაწყვეტენ, ისინი აჩვენებენ გამოსავალს და მე ვაფიქსირებ მას სპეციალურ ცხრილში. შემდეგ გაკვეთილზე ჩვენ აუცილებლად დავუბრუნდებით ამ პრობლემას, გაკვეთილის მცირე ნაწილს მივუძღვნით მის ამოხსნას (და ახალი ამოცანის დაწერა შეიძლება დაფაზე).

„პარალელოგრამი იჭრება პარალელოგრამში. დანარჩენი გაყავით 2 თანაბარი ზომის ფიგურად.

გადაწყვეტილება:სეკანტი AB გადის O და O1 პარალელოგრამების დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში.

დამატებითი პრობლემები (ოლიმპიადის პრობლემებიდან):

1) „ტრაპეციაში ABCD (AD || BC), A და B წვეროები დაკავშირებულია M წერტილთან, გვერდითი CD-ის შუა წერტილთან. ABM სამკუთხედის ფართობი არის მ. იპოვეთ ABCD ტრაპეციის ფართობი.

გადაწყვეტილება:

სამკუთხედები ABM და AMK თანაბარი ფიგურებია, რადგან AM არის მედიანა.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

პასუხი: SABCD = 2მ.

2) "ტრაპეცია ABCD (AD || BC) დიაგონალები იკვეთება O წერტილში. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედები AOB და COD ტოლი ფართობებია."

გადაწყვეტილება:

S ∆BCD = S ∆ABC, რადგან მათ აქვთ საერთო ფუძე ძვ.წ. და იგივე სიმაღლე.

3) თვითნებური სამკუთხედის ABC გვერდი გაშლილია B წვეროს მიღმა ისე, რომ BP = AB, გვერდი AC გაფართოვდება A წვეროს მიღმა ისე, რომ AM = CA, გვერდი BC გაშლილია C წვეროს მიღმა ისე, რომ KS = BC. რამდენჯერ არის RMK სამკუთხედის ფართობი მეტი ABC სამკუთხედის ფართობზე?

გადაწყვეტილება:

სამკუთხედში MVS: MA = AC, ასე რომ BAM სამკუთხედის ფართობი უდრის ABC სამკუთხედის ფართობს. სამკუთხედში სამუშაო სადგური: BP = AB, ასე რომ BAM სამკუთხედის ფართობი უდრის სამკუთხედის ABP ფართობს. სამკუთხედში ARS AB = BP, ასე რომ BAC სამკუთხედის ფართობი უდრის BPC სამკუთხედის ფართობს. სამკუთხედში VRK: BC \u003d SC, შესაბამისად, სამკუთხედის VRS ფართობი უდრის სამკუთხედის RKS ფართობს. სამკუთხედში AVK: BC = SC, ასე რომ BAC სამკუთხედის ფართობი უდრის ASC სამკუთხედის ფართობს. სამკუთხედში MSC: MA = AC, ასე რომ, KAM სამკუთხედის ფართობი უდრის ASC სამკუთხედის ფართობს. ვიღებთ 7 ტოლ სამკუთხედს. ნიშნავს,

პასუხი: MRK სამკუთხედის ფართობი 7-ჯერ აღემატება ABC სამკუთხედის ფართობს.

4) დაკავშირებული პარალელოგრამები.

2 პარალელოგრამი განლაგებულია ისე, როგორც ნახატზეა ნაჩვენები: მათ აქვთ საერთო წვერო და თითოეული პარალელოგრამის კიდევ ერთი წვერო დევს მეორე პარალელოგრამის გვერდებზე. დაამტკიცეთ, რომ პარალელოგრამების ფართობები ტოლია.

გადაწყვეტილება:

და , ნიშნავს,

გამოყენებული ლიტერატურის სია:

1. სახელმძღვანელო "გეომეტრია 7-9" (ავტორები L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (მოსკოვი, "განმანათლებლობა", 2003).
2. სხვადასხვა წლის ოლიმპიადის ამოცანები, კერძოდ, სახელმძღვანელოდან "მათემატიკური ოლიმპიადების საუკეთესო ამოცანები" (შეადგინა A.A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
3. მრავალი წლის მუშაობის განმავლობაში დაგროვილი ამოცანების შერჩევა.

მრავალკუთხედების ფართობის გამოთვლისას გამოიყენება მარტივი ხრიკი, რომელსაც ეწოდება დაყოფის მეთოდი. განვიხილოთ მრავალკუთხედები და ნაჩვენებია ნახ. 1, რომელიც გვიჩვენებს, თუ როგორ დავყოთ ეს მრავალკუთხედები იმავე რაოდენობის შესაბამისად თანაბარ ნაწილად (თანაბარი ნაწილები აღინიშნება იგივე რიცხვებით). მრავალკუთხედების შესახებ და თქვით, რომ ისინი თანაბრად შედგენილია. ზოგადად, მრავალკუთხედებს უწოდებენ თანაბრად შედგენილნი, თუ მრავალკუთხედის გარკვეულწილად სასრულ ნაწილებად დაჭრით, შესაძლებელია ამ ნაწილების სხვაგვარად განლაგებით, მათგან მრავალკუთხედის გაკეთება. ადვილი მისახვედრია, რომ შემდეგი თეორემა მართალია: თანაბარი ზომის მრავალკუთხედებს აქვთ იგივე ფართობი, ან, როგორც ამბობენ, თანაბარი ფართობია. მაგალითად, პარალელოგრამი თანაბრად არის დაშორებული მართკუთხედთან (ნახ. 2) და, შესაბამისად, მართკუთხედის ფართობის ფორმულის ცოდნით, აღმოვაჩენთ, რომ პარალელოგრამის ფართობი ტოლია მისი მხარის სიგრძისა და შესაბამისი სიმაღლის ნამრავლი.

ეს მაგალითი ასახავს დაყოფის მეთოდს, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ მრავალკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, ცდილობს მისი დაყოფა სასრულ ნაწილებად ისე, რომ ამ ნაწილებიდან შესაძლებელი იყოს ჩამოყალიბება. უფრო მარტივი მრავალკუთხედი, რომლის ფართობი უკვე ვიცით. მაგალითად, სამკუთხედი თანაბარი მანძილით არის დაშორებული პარალელოგრამთან, რომელსაც აქვს იგივე ფუძე და ნახევარი სიმაღლე (ნახ. 3); აქედან ადვილად გამოდის სამკუთხედის ფართობის ფორმულა. მრავალკუთხედების ფართობის გამოთვლის ეს მეთოდი ცნობილი იყო ევკლიდესთვის, რომელიც ცხოვრობდა 2000 წელზე მეტი ხნის წინ.

საყურადღებოა, რომ საპირისპირო თეორემა ასევე მართებულია ზემოაღნიშნული თეორემისთვის: თუ ორი მრავალკუთხედი ზომით თანაბარია, მაშინ ისინი თანაბარი შემადგენლობით არიან. ეს თეორემა დადასტურდა XIX საუკუნის პირველ ნახევარში. უნგრელი მათემატიკოსის ფ. ბოლიაის და გერმანელი ოფიცრისა და მათემატიკოსის პ. გერვინის მიერ შეიძლება აიხსნას შემდეგნაირად: თუ არსებობს ჯანჯაფილი მრავალკუთხედის სახით და სრულიად განსხვავებული ფორმის მრავალკუთხა ყუთი, მაგრამ იგივე ფართობი, მაშინ შეგიძლიათ ჯანჯაფილის ნამცხვარი დაჭრათ სასრულ ნაჭრებად ისე, რომ წარმატებით მოათავსოთ ამ ყუთში.

ბოლაი-ჟერვინის თეორემასთან დაკავშირებით ჩნდება კითხვა დამატებითი შეზღუდვების დაწესების შესახებ იმ ნაწილების რაოდენობაზე ან განლაგებაზე, რომლებიც ქმნიან თანაბარ ფართობის მრავალკუთხედებს. მაგალითად, წარმოვიდგინოთ თვითმფრინავი, როგორც ფერადი ქაღალდის ფურცელი, რომლის ერთი მხარე წითელია, მეორე კი თეთრი. თუ ასეთი ქაღალდიდან ორი თანაბარი ზომის წითელი მრავალკუთხედი ამოიჭრება, მაშინ ჩნდება კითხვა, შეიძლება თუ არა ერთი მათგანის დაჭრა ნაჭრებად, საიდანაც შესაძლებელი იქნება მეორის ტოლი წითელი მრავალკუთხედის დამატება. ნებადართულია ნაწილების გადატანა თეთრ, არასწორ მხარეს გადაბრუნების გარეშე. ამ კითხვაზე პასუხიც დადებითია.

ამ პრობლემის ვარიანტი შესთავაზეს მოსკოვის ერთ-ერთ მათემატიკურ ოლიმპიადაზე შემდეგი კომიკური ფორმით. ექსცენტრიულმა კონდიტერმა გამოაცხვა ნამცხვარი (და ტორტს, ჯანჯაფილისგან განსხვავებით, ზემოდან კრემი აქვს) სკალენის სამკუთხედის ფორმის. ნამცხვრისთვის ყუთიც გაუკეთეს, მაგრამ დაუდევრობის გამო არასწორად დააწებეს ისე, რომ ნამცხვარი და ყუთი ერთმანეთის მიმართ სიმეტრიული აღმოჩნდა (სურ. 4). აუცილებელია (რაც შეიძლება ზომიერად) ნამცხვარი დავჭრათ ნაჭრებად, რომლებიც შეიძლება ჩადოთ ამ ყუთში. რა თქმა უნდა, ნამცხვრის ნაწილების კრემის დადება არ შეიძლება.

ნაწილების მოწყობაზე დამატებითი მოთხოვნების დაწესებასთან დაკავშირებული საინტერესო შედეგი მიიღეს 1952 წელს შვეიცარიელმა მათემატიკოსებმა გ.ჰადვიგერმა და პ.გლურმა: თანაბარი ფართობის ორი მრავალკუთხედის თანასწორობის დადგენა შესაძლებელია დანაყოფების გამოყენებით, რომლებშიც შესაბამისი ნაწილებია. პარალელური მხარეები. ერთი შეხედვით, ეს წარმოუდგენლადაც კი ჩანს: ძნელი დასაჯერებელია, რომ ორი თანაბარი სამკუთხედი, რომლებიც ერთმანეთის მიმართ ბრუნავს თვითნებური კუთხით (ნახ. 5) ყოველთვის შეიძლება დაიყოს თანაბარ ნაწილებად, შესაბამისი პარალელური გვერდებით. მიუხედავად ამისა, არსებობს ამ სამკუთხედების ისეთი დაყოფა, რომ ნაწილები, რომლებშიც იყოფა ერთი სამკუთხედი, მიიღება მეორე სამკუთხედის შესაბამისი ნაწილებიდან პარალელური თარგმნებით ან ცენტრალური სიმეტრიით. იგივე ეხება ტოლი ფართობის ნებისმიერ ორ მრავალკუთხედს. თუმცა, მხოლოდ ნაწილების პარალელური გადატანა არ შეიძლება. მაგალითად, როგორც არ უნდა დავჭრათ პარალელოგრამი ნაწილებად, შეუძლებელია ამ ნაწილებისგან სამკუთხედის გაკეთება პარალელური თარგმნებით.

ამ კითხვებისადმი ინტერესი გამოიწვია ცნობილმა მოხსენებამ „მათემატიკური პრობლემები“, რომელიც წაიკითხა გამოჩენილმა მათემატიკოსმა დ. ჰილბერტმა მათემატიკოსთა მეორე საერთაშორისო კონგრესზე, რომელიც გაიმართა XIX-XX საუკუნეების მიჯნაზე. ჰილბერტის მიერ დასმული ოცდასამი პრობლემადან უმეტესობა მათემატიკის ახალ, სწრაფად განვითარებად დარგებს ეხება. და მხოლოდ ერთი პრობლემა - მესამე - უკავშირდება სკოლის გეომეტრიის საკითხებს. ჰილბერტი ყურადღებას ამახვილებს იმ ფაქტზე, რომ სამკუთხა პირამიდის მოცულობის გაანგარიშებისას, ევკლიდეს დროიდან, გამოიყენება საკმაოდ რთული გადასასვლელი ზღვრამდე (იხ. ლიმიტი) (და ახლა - ინტეგრაცია), ხოლო ფართობის გაანგარიშებისას. სამკუთხედს ვაკეთებთ ზღვრამდე მსგავსი გადასასვლელის გარეშე. ჰილბერტის პრობლემის არსი არის ამ „ზედმეტი“ (პლანიმეტრიასთან შედარებით) გავლის ზღვრამდე გამოყენების გამართლება, ე.ი. იმის დასამტკიცებლად, რომ ამის გარეშე შეუძლებელია პოლიედრების მოცულობების თეორიის აგება. 1900 წელს მ. დენმა გადაჭრა ჰილბერტის მესამე პრობლემა და დაადასტურა, რომ რეგულარული ტეტრაედონი და თანაბარი ზომის კუბი არ არიან თანაბარი ზომის. ჰილბერტმა იწინასწარმეტყველა, რომ ამ კითხვას შეეძლო მიეღო მათემატიკურად საინტერესო და მდიდარი თეორიის შექმნა მრავალკუთხედებისა და მრავალწახნაგების თანასწორობის შესახებ. ჰილბერტის პროგნოზი ბრწყინვალედ ახდა; თანაბარი შემადგენლობის თანამედროვე თეორიის ულამაზესი ნაგებობა მეცნიერის ღირსეული ძეგლია.