Hyperbola និងសមីការ Canonical របស់វា។ ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ

ជំពូក III ។ ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ

§ 40. Hyperbole ។

អ៊ីពែបូល។ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ ចំណុចយន្តហោះសម្រាប់ម៉ូឌុលនីមួយៗនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះគឺថេរ និង ចម្ងាយតិចជាងរវាងចំណុចទាំងនេះ។

ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ល្បិចអ៊ីពែបូឡាស ហើយចម្ងាយរវាងពួកវាគឺ ប្រសព្វចម្ងាយ។

សម្គាល់ foci នៃអ៊ីពែបូឡាដោយអក្សរ F 1 និង F 2 ។
អនុញ្ញាតឱ្យ ប្រវែងប្រសព្វ| F 1 F 2 | = ២ ជាមួយ.

ប្រសិនបើ M - ចំណុចបំពានអ៊ីពែបូឡា (រូបភាព ១១២) បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នា | F 1 M | - | F 2 M | ថេរ។ កំណត់វាតាមរយៈ 2 ក, យើងទទួលបាន

| | F 1 M | - | F 2 M | | = ២ ក. (1)

ចំណាំថាតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា 2 ក< 2ជាមួយ, i.e. ក< с .

សមភាព (1) គឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា។

យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោនេដើម្បីឱ្យអ័ក្ស abscissa ឆ្លងកាត់ foci នៃអ៊ីពែបូឡា។ គូរអ័ក្ស y កាត់កណ្តាលផ្នែក F 1 F 2 កាត់កែងទៅវា (រូបភាព 113) ។

បន្ទាប់មក foci នៃអ៊ីពែបូឡានឹងជាចំនុច F 1 (- គ; 0) និង F 2 ( គ; 0).

អនុញ្ញាតឱ្យ M ( X; នៅ) គឺជាចំណុចណាមួយនៃអ៊ីពែបូឡា

| F 1 M | = √( x+c) 2 + y២ និង | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .

តម្លៃជំនួស | F 1 M | និង | F 2 M | នៅក្នុងសមីការ (1) យើងទទួលបាន

| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2ក. (2)

សមីការដែលយើងទទួលបានគឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស។ សមីការនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញជាង។

អនុញ្ញាតឱ្យ X > 0 បន្ទាប់មកសមីការ (2) អាចត្រូវបានសរសេរដោយគ្មានសញ្ញាម៉ូឌុលដូចខាងក្រោមៈ

√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2ក,

√(x+c) 2 + y 2 =2ក + √(x-c) 2 + y 2 (3)

ចូរធ្វើការ៉េទាំងសងខាងនៃសមភាពលទ្ធផល៖

(x + គ) 2 + នៅ 2 = 4ក 2 + 4ក √(x-c) 2 + y 2 + (x - គ) 2 + នៅ 2 .

បន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញ និងការផ្លាស់ប្តូរសមស្រប

√(x-c) 2 + y 2 = គ / ក x - ក, (4)

(x - គ) 2 + នៅ 2 = (គ / ក x - ក) 2 ,

យើងមកសមីការ

(5)

តាមនិយមន័យអ៊ីពែបូល។ ក< ជាមួយ, នោះហើយជាមូលហេតុដែល ជាមួយ 2 - ក 2 - លេខវិជ្ជមាន. ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ ខ 2, ឧ. ដាក់ ខ 2 = ជាមួយ 2 - ក២. បន្ទាប់មកសមីការ (5) យកទម្រង់

បែងចែកពាក្យដោយពាក្យទៅជា ខ 2, យើងទទួលបានសមីការ

ប្រសិនបើ ក X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2ក,

និងតាមរបៀបដូចគ្នានឹងករណី X > 0 ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់ (6) ។

សមីការ (៦) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា.

មតិយោបល់។ Squaring ផ្នែកទាំងពីរនៃ Eqs ។ (3) និង (4) មិនបំពានលើសមមូលនៃសមីការទេ។ ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (3) គឺជាក់ស្តែងមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ Xនិង នៅ. ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (4) ក៏តែងតែមិនអវិជ្ជមានដែរ។ នៅ X > ក ផ្នែកខាងស្តាំសមីការ (4) គឺវិជ្ជមាន, ចាប់តាំងពី

គ / ក x - ក > គ / ក ក - ក = គ - ក > 0

ដូច្នេះ ចំណុចបន្ថែមអាចលេចឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌ 0 ប៉ុណ្ណោះ។ < X< а ប៉ុន្តែពីសមីការ (6) វាធ្វើតាមនោះ។ x 2 /ក 2 > ១, ឧ. | x | > ក.

កិច្ចការទី 1 ។សរសេរ សមីការ Canonicalអ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
M (-5; 9/4) ប្រសិនបើប្រវែងប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ 10 ។

ចាប់តាំងពី |F 1 F 2 |= 10 បន្ទាប់មក ជាមួយ= 5. ចូរយើងសរសេរសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

តាមលក្ខខណ្ឌ ចំណុច M (-5; 9/4) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡា ដូច្នេះ

សមីការទីពីរដើម្បីកំណត់ ក 2 និង ខ 2 ផ្តល់សមាមាត្រ

ខ 2 = ជាមួយ 2 -ក 2 = 25 -ក 2 .

ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធ

ស្វែងរក ក 2 =16, ខ 2 = 9. សមីការដែលចង់បាននឹងជាសមីការ

កិច្ចការទី 2 ។បង្ហាញថាសមីការ

20x 2 - 29y 2 = 580

គឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃល្បិច។

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 580 យើងទទួលបាន

នេះគឺជាសមីការអ៊ីពែរបូលដែល ក 2 = 29, ខ 2 = 20.
ពីទំនាក់ទំនង គ 2 = ក 2 + ខ 2 ស្វែងរក គ 2 = 29 + 20 = 49, ជាមួយ= 7. ដូច្នេះ foci នៃអ៊ីពែបូឡាគឺស្ថិតនៅចំណុច F 1 (-7; 0) និង F 2 (7; 0) ។

ផ្តល់សមីការនៃពងក្រពើ។

ដំណោះស្រាយ៖

យើងសរសេរសមីការនៃពងក្រពើក្នុងទម្រង់ Canonical៖
.

ពីទីនេះ
. ការប្រើប្រាស់សមាមាត្រ
, យើងស្វែងរក
. អាស្រ័យហេតុនេះ
.

យោងតាមរូបមន្ត ស្វែងរក .

សមីការ Directrix
មើលទៅដូចជា
, ចម្ងាយរវាងពួកគេ។
.

យោងតាមរូបមន្ត
ស្វែងរក abscissa នៃចំណុច, ចម្ងាយពីដែលទៅចំណុច ស្មើ ១២៖

. តម្លៃជំនួស xនៅក្នុងសមីការនៃរាងពងក្រពើ យើងរកឃើញលំដាប់នៃចំណុចទាំងនេះ៖

ដូច្នេះចំនុច A(7;0) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

បញ្ហា 56 ។

សរសេរសមីការសម្រាប់ពងក្រពើឆ្លងកាត់ចំនុច។

ដំណោះស្រាយ៖

យើងកំពុងស្វែងរកសមីការពងក្រពើក្នុងទម្រង់
.

ចាប់តាំងពីពងក្រពើឆ្លងកាត់ចំណុច
បន្ទាប់មក កូអរដោនេរបស់ពួកគេបំពេញសមីការពងក្រពើ៖
. ការគុណសមភាពទីពីរដោយ (-4) ហើយបន្ថែមទៅទីមួយ យើងរកឃើញ
.

ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ នៅក្នុងសមីការទីមួយយើងរកឃើញ
. ដូច្នេះសមីការដែលចង់បាន
.

បញ្ហា 57 ។

;
.

អ៊ីពែបូឡា

អ៊ីពែបូល។ត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ដែលមានចំនុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំនុចដែលផ្តល់អោយពីរ និង គឺជាតម្លៃថេរ (មិនស្មើនឹងសូន្យ និងតិចជាងចម្ងាយរវាងចំណុច និង ).

ពិន្ទុ និង បានហៅ ល្បិចអ៊ីពែបូល សូមឱ្យចម្ងាយរវាង foci
. ម៉ូឌុលនៃចម្ងាយពីចំណុចអ៊ីពែបូឡាទៅ foci និង តំណាងដោយ . តាមលក្ខខណ្ឌ
.

កន្លែងណា
- កូអរដោនេនៃចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា,

សមីការ
បានហៅ សមីការ Canonicalអ៊ីពែបូល

អ៊ីពែបូលមានពីរ asymtotes
.

ភាពចម្លែកអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថាជាលេខ . សម្រាប់ hyperbole ណាមួយ។
.

កាំប្រសព្វនៃចំណុចអ៊ីពែបូឡាហៅថាផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចនេះជាមួយ foci និង . ប្រវែងរបស់ពួកគេ។ និង ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖

ផ្ទាល់
ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា។ ដូចក្នុងករណីពងក្រពើ ចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំនាក់ទំនង .

បញ្ហា 58 ។

ស្វែងរកចម្ងាយរវាង foci និង eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡា
.

ចម្លើយ៖
.

បញ្ហា 59 ។

សរសេរសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ (
) កំណត់ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា។

ចម្លើយ៖
.

បញ្ហា ៦០.

សរសេរសមីការ Canonical នៃស៊ីមេទ្រីអ៊ីពែបូឡា អំពីអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើវាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ
និងភាពចម្លែកគឺ
.

ចម្លើយ៖
.

កិច្ចការ 61 ។

ស្វែងរកសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែលកំពូលស្ថិតនៅលើ foci ហើយ foci របស់ពួកគេស្ថិតនៅចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ
.

ចម្លើយ៖
.

បញ្ហា 62 ។

កំណត់ កន្លែងធរណីមាត្រពិន្ទុ
, ចម្ងាយពីបន្ទាត់ត្រង់
ពាក់កណ្តាលដូចមុនចំនុច
.

ចម្លើយ៖
.

បញ្ហា ៦៣.

សរសេរសមីការនៃស៊ីមេទ្រីអ៊ីពែបូឡា ទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ប្រសិនបើវាឆ្លងកាត់ចំណុច
,
.

ចម្លើយ៖
.

កិច្ចការ 64 ។

សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ asymptotes របស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ
ហើយអ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច
.

ចម្លើយ៖
.

បញ្ហា ៦៥.

តើចំណុចណាដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះ កូអរដោនេនៃការបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

ប៉ារ៉ាបូឡា

ប៉ារ៉ាបូឡាហៅថាបន្ទាត់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលស្មើពីចំណុចដែលបានផ្តល់
(ផ្តោត) និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (នាយក) ។

ដើម្បីទាញយកសមីការ Canonical នៃ parabola អ័ក្ស
ឆ្លងកាត់ការផ្តោតអារម្មណ៍
កាត់កែងទៅនឹង directrix នៅក្នុងទិសដៅពី directrix ទៅការផ្តោតអារម្មណ៍; ប្រភពដើមនៃកូអរដោណេត្រូវបានគេយកនៅកណ្តាលផ្នែករវាងការផ្តោតអារម្មណ៍
និងចំណុច
ចំនុចប្រសព្វអ័ក្ស
ជាមួយនាយកសាលា . ប្រសិនបើតំណាងដោយ ចម្ងាយផ្តោតអារម្មណ៍ពី directrix បន្ទាប់មក
ហើយសមីការ directrix នឹងមើលទៅដូច
.

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស សមីការប៉ារ៉ាបូឡាមានទម្រង់៖
. សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃ parabola.

និយមន័យ . អ៊ីពែបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុច ភាពខុសគ្នាពីចំណុចនីមួយៗទៅចំណុចពីរដែលហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ

ចូរយើងយកប្រព័ន្ធកូអរដោណេដើម្បីឱ្យ foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស abscissa ហើយប្រភពដើមនៃកូអរដោនេបែងចែកផ្នែក F 1 F 2 ជាពាក់កណ្តាល (រូបភាព 30) ។ សម្គាល់ F 1 F 2 = 2c ។ បន្ទាប់មក F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - កាំប្រសព្វអ៊ីពែបូល

យោងតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា r 1 - r 2 = const ។

ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ 2a

បន្ទាប់មក r 2 - r 1 = ±2a ដូច្នេះ៖

=> សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

ដោយសារសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា x និង y ស្ថិតក្នុងអំណាចស្មើគ្នា នោះប្រសិនបើចំណុច M 0 (x 0; y 0) ស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡា នោះពិន្ទុ M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0) ។

ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។

នៅពេល y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a ។ ចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡានឹងជាចំណុច A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0) ។

. ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីការសិក្សាត្រូវបានអនុវត្តនៅត្រីមាសទី 1

1) នៅ
y មានតម្លៃស្រមើស្រមៃ ដូច្នេះចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយ abscissas
មិនមាន

2) នៅ x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡា

3) សម្រាប់ x> a; y > 0. លើសពីនេះទៅទៀត ដោយមានការកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់ក្នុង x សាខានៃអ៊ីពែរបូលទៅកាន់ភាពគ្មានកំណត់។

វាធ្វើតាមថាអ៊ីពែបូឡាគឺជាខ្សែកោងដែលមានសាខាគ្មានកំណត់ពីរ។

P 6. Asymtotes នៃ hyperbola មួយ។

ពិចារណារួមជាមួយនឹងសមីការ
សមីការបន្ទាត់ត្រង់

ទៅ ខ្សែកោងនឹងស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាពទី 31)។ ពិចារណាចំណុច N (x, Y) និង M (x, y) ដែល abscissas គឺដូចគ្នា និង Y - y \u003d MN ។ ពិចារណាពីប្រវែងនៃផ្នែក MN

ចូរយើងស្វែងរក

ដូច្នេះ ប្រសិនបើចំណុច M ដែលផ្លាស់ទីតាមអ៊ីពែបូឡាក្នុងត្រីមាសទីមួយ ផ្លាស់ទីទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ បន្ទាប់មកចម្ងាយរបស់វាពីបន្ទាត់ត្រង់
ថយចុះ និងមានទំនោរទៅសូន្យ។

ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីបន្ទាត់ត្រង់មានទ្រព្យសម្បត្តិដូចគ្នា។
.

និយមន័យ។ បន្ទាត់ផ្ទាល់ទៅ
ខ្សែកោងខិតទៅជិតមិនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា asymtotes ។

និង
ដូច្នេះសមីការនៃ asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡា
.

asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែង ដែលមួយចំហៀងគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស x និងស្មើនឹង 2a និងមួយទៀតគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y និងស្មើនឹង 2b និងកណ្តាល។ ស្ថិតនៅប្រភពដើម (រូបភាព 32) ។

P 7. ភាពប្លែក និង directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា

r 2 – r 1 = ± 2a សញ្ញា + សំដៅលើសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា

សញ្ញា - សំដៅទៅលើសាខាខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា

និយមន័យ។ ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺជាសមាមាត្រនៃចម្ងាយរវាង foci នៃអ៊ីពែបូឡានេះទៅនឹងចម្ងាយរវាងចំនុចកំពូលរបស់វា។

. ចាប់តាំងពី c > a, ε > 1

យើងបង្ហាញពីកាំប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាក្នុងន័យនៃភាពប្លែក៖

និយមន័យ . តោះហៅបន្ទាត់
កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយមានទីតាំងនៅចម្ងាយពីកណ្តាលរបស់វាដោយ directrix នៃអ៊ីពែរបូលដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង foci ខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេង។

ធ
ដូចជាសម្រាប់ hyperbole
ជាលទ្ធផល directrixes នៃ hyperbola ស្ថិតនៅចន្លោះចំនុចកំពូលរបស់វា (រូបភាព 33)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសមាមាត្រនៃចម្ងាយនៃចំណុចណាមួយនៃអ៊ីពែបូឡាទៅនឹងការផ្តោតអារម្មណ៍និង directrix ដែលត្រូវគ្នាគឺជាថេរនិងស្មើនឹងε។

P. 8 Parabola និងសមីការរបស់វា។

អូ
និយមន័យ។ ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍ និងពីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហៅថា directrix ។

ដើម្បីចងក្រងសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា យើងយកអ័ក្ស x ជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ការផ្តោតអារម្មណ៍ F 1 កាត់កែងទៅនឹង directrix ហើយយើងនឹងពិចារណាអ័ក្ស x ដែលដឹកនាំពី directrix ទៅផ្តោត។ ចំពោះប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ យើងយកចំណុចកណ្តាល O នៃចម្រៀកពីចំនុច F ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រវែងដែលយើងសម្គាល់ដោយទំ (រូបភាព 34) ។ បរិមាណ p នឹងត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប៉ារ៉ាបូល។ ចំណុចសំរបសំរួលផ្តោត
.

អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y) ជាចំណុចបំពាននៃប៉ារ៉ាបូឡា។

តាមនិយមន័យ

នៅ 2 = 2px គឺជាសមីការ Canonical នៃ parabola

ដើម្បីកំណត់ប្រភេទប៉ារ៉ាបូឡា យើងបំប្លែងសមីការរបស់វា។
នេះបង្កប់ន័យ។ ដូច្នេះចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺនៅដើម ហើយអ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺ x ។ សមីការ y 2 \u003d -2px ជាមួយ p វិជ្ជមាន ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ y 2 \u003d 2px ដោយជំនួស x ជាមួយ -x ហើយក្រាហ្វរបស់វាមើលទៅដូចជា (រូបភាព 35) ។