ជំពូក III ។ ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ
§ 40. Hyperbole ។
អ៊ីពែបូល។ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ ចំណុចយន្តហោះសម្រាប់ម៉ូឌុលនីមួយៗនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះគឺថេរ និង ចម្ងាយតិចជាងរវាងចំណុចទាំងនេះ។
ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ល្បិចអ៊ីពែបូឡាស ហើយចម្ងាយរវាងពួកវាគឺ ប្រសព្វចម្ងាយ។
សម្គាល់ foci នៃអ៊ីពែបូឡាដោយអក្សរ F 1 និង F 2 ។
អនុញ្ញាតឱ្យ ប្រវែងប្រសព្វ| F 1 F 2 | = ២ ជាមួយ.
ប្រសិនបើ M គឺជាចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា (រូបភាព 112) បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នា | F 1 M | - | F 2 M | ថេរ។ កំណត់វាតាមរយៈ 2 ក, យើងទទួលបាន
| | F 1 M | - | F 2 M | | = ២ ក. (1)
ចំណាំថាតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា 2 ក< 2ជាមួយ, i.e. ក< с .
សមភាព (1) គឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា។
យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោនេដើម្បីឱ្យអ័ក្ស abscissa ឆ្លងកាត់ foci នៃអ៊ីពែបូឡា។ គូរអ័ក្ស y កាត់កណ្តាលផ្នែក F 1 F 2 កាត់កែងទៅវា (រូបភាព 113) ។
បន្ទាប់មក foci នៃអ៊ីពែបូឡានឹងជាចំនុច F 1 (- គ; 0) និង F 2 ( គ; 0).
អនុញ្ញាតឱ្យ M ( X; នៅ) គឺជាចំណុចណាមួយនៃអ៊ីពែបូឡា
| F 1 M | = √( x+c) 2 + y 2 និង | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .
តម្លៃជំនួស | F 1 M | និង | F 2 M | នៅក្នុងសមីការ (1) យើងទទួលបាន
| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2ក. (2)
សមីការដែលយើងទទួលបានគឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡានៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស។ សមីការនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់សាមញ្ញជាង។
អនុញ្ញាតឱ្យ X > 0 បន្ទាប់មកសមីការ (2) អាចត្រូវបានសរសេរដោយគ្មានសញ្ញាម៉ូឌុលដូចខាងក្រោម:
√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2ក,
√(x+c) 2 + y 2 =2ក + √(x-c) 2 + y 2 (3)
ចូរធ្វើការ៉េទាំងសងខាងនៃសមភាពលទ្ធផល៖
(x + គ) 2 + នៅ 2 = 4ក 2 + 4ក √(x-c) 2 + y 2 + (x - គ) 2 + នៅ 2 .
បន្ទាប់ពីភាពសាមញ្ញ និងការផ្លាស់ប្តូរសមស្រប
√(x-c) 2 + y 2 = គ / ក x - ក, (4)
(x - គ) 2 + នៅ 2 = (គ / ក x - ក) 2 ,
យើងមកដល់សមីការ
(5)
តាមនិយមន័យអ៊ីពែបូល។ ក< ជាមួយ, នោះហើយជាមូលហេតុដែល ជាមួយ 2 - ក 2 - លេខវិជ្ជមាន. ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ ខ 2, ឧ. ដាក់ ខ 2 = ជាមួយ 2 - ក២. បន្ទាប់មកសមីការ (5) យកទម្រង់
បែងចែកពាក្យដោយពាក្យទៅជា ខ 2, យើងទទួលបានសមីការ
ប្រសិនបើ X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:
√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2ក,
និងតាមរបៀបដូចគ្នានឹងករណី X > 0 ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់ (6) ។
សមីការ (6) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា.
មតិយោបល់។ Squaring ផ្នែកទាំងពីរនៃ Eqs ។ (3) និង (4) មិនបំពានលើសមមូលនៃសមីការទេ។ ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (3) គឺជាក់ស្តែងមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ Xនិង នៅ. ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (4) ក៏តែងតែមិនអវិជ្ជមានដែរ។ នៅ X > ក ផ្នែកខាងស្តាំសមីការ (4) គឺវិជ្ជមាន, ចាប់តាំងពី
គ / ក x - ក > គ / ក ក - ក = គ - ក > 0
ដូច្នេះ ចំណុចបន្ថែមអាចលេចឡើងក្រោមលក្ខខណ្ឌ 0 ប៉ុណ្ណោះ។ < X< а ប៉ុន្តែពីសមីការ (6) វាធ្វើតាមនោះ។ x 2 /ក 2 > ១, ឧ. | x | > ក.
កិច្ចការទី 1 ។សរសេរ សមីការ Canonicalអ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
M (-5; 9/4) ប្រសិនបើប្រវែងប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ 10 ។
ចាប់តាំងពី |F 1 F 2 |= 10 បន្ទាប់មក ជាមួយ= 5. ចូរយើងសរសេរសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា
តាមលក្ខខណ្ឌ ចំណុច M (-5; 9/4) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡា ដូច្នេះ
សមីការទីពីរដើម្បីកំណត់ ក 2 និង ខ 2 ផ្តល់សមាមាត្រ
ខ 2 = ជាមួយ 2 -ក 2 = 25 -ក 2 .
ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធ
ស្វែងរក ក 2 =16, ខ 2 = 9. សមីការដែលចង់បាននឹងជាសមីការ
កិច្ចការទី 2 ។បង្ហាញថាសមីការ
20x 2 - 29y 2 = 580
គឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា។ ស្វែងរកកូអរដោនេនៃល្បិច។
ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 580 យើងទទួលបាន
នេះគឺជាសមីការអ៊ីពែរបូលដែល ក 2 = 29, ខ 2 = 20.
ពីទំនាក់ទំនង គ 2 = ក 2 + ខ 2 ស្វែងរក គ 2 = 29 + 20 = 49, ជាមួយ= 7. ដូច្នេះ foci នៃអ៊ីពែបូឡាគឺស្ថិតនៅចំណុច F 1 (-7; 0) និង F 2 (7; 0) ។
1. សមីការទូទៅនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។
សមីការណាមួយនៃដឺក្រេទីពីរទាក់ទងនឹង x និង y នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់
កន្លែងដែលផ្តល់ឱ្យ មេគុណថេរ, និង 
កំណត់បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។ ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។ ខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរមានបួនប្រភេទ៖ រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា។ ពួកគេទាំងអស់អាចទទួលបានដោយការកាត់កោណជាមួយនឹងយន្តហោះហើយដូច្នេះពួកគេត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ សេះ។
សមីការខ្សែកោងអាចមកពីពួកវា លក្ខណៈសម្បត្តិធរណីមាត្រជាទីតាំងនៃចំណុចមួយចំនួនដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់។
2. រង្វង់។រង្វង់ត្រូវបានគេហៅថា កន្លែងធរណីមាត្រចំនុចនៃយន្តហោះដែលស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថា កណ្តាល។
ប្រសិនបើ r ជាកាំនៃរង្វង់ ហើយចំនុច C () គឺជាចំនុចកណ្តាលរបស់វា នោះសមីការនៃរង្វង់មានទម្រង់៖
. (12.2)
ប្រសិនបើចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ស្របគ្នានឹងប្រភពដើម នោះសមីការរង្វង់មានទម្រង់ Canonical សាមញ្ញបំផុត៖ 
.
ឧទាហរណ៍ 14 ។សរសេរសមីការសម្រាប់រង្វង់ឆ្លងកាត់ចំណុច
A(5; 0) និង B(1; 4) ប្រសិនបើកណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ x - y - 3 = 0 ។
ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច M - កណ្តាលនៃអង្កត់ធ្នូ AB:
នោះគឺ M (3; 2) ។
កណ្តាលនៃរង្វង់គឺនៅលើកាត់កែងដែលបានស្តារឡើងវិញពីពាក់កណ្តាលនៃចម្រៀក AB ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ AB៖
, ឬ x + y − 5 = 0 ។
ចំណោទនៃបន្ទាត់ AB គឺ -1 ដូច្នេះជម្រាលនៃកាត់កែង 
. សមីការកាត់កែង
y - 2 \u003d 1 (x - 3) ឬ x - y - 1 \u003d 0 ។
កណ្តាលនៃរង្វង់ C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ x + y - 3 = 0 យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាក៏ដូចជានៅលើកាត់កែង x - y - 1 = 0 នោះគឺកូអរដោនេនៃមជ្ឈមណ្ឌលបំពេញប្រព័ន្ធ។ នៃសមីការ៖
x − y − 3 = 0
x - y - 1 \u003d 0 ។
ដូច្នេះ x = 2, y = 1 និងចំនុច C(2; 1) ។
កាំរង្វង់ ស្មើនឹងប្រវែងផ្នែក CA៖
សមីការរង្វង់៖ (x − 2) 2 + (y-1) 2 \u003d ១០.
3. ពងក្រពើ។ពងក្រពើគឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយដែលទៅចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរដែលស្មើនឹងធំជាងចម្ងាយរវាង foci ។ សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើគឺ៖
. (12.3)
នៅទីនេះ - អ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់រាងពងក្រពើ គឺជា semiaxis តូច ហើយប្រសិនបើចំងាយរវាង foci គឺ 2c បន្ទាប់មក 
. តម្លៃ 
ត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ និងកំណត់លក្ខណៈរង្វាស់នៃការបង្ហាប់។ ចាប់តាំងពីជាមួយ< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .
ផ្ទាល់ 
និង 
ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃរាងពងក្រពើ។ Directrixes នៃរាងពងក្រពើមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ r ជាវ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វនៃចំណុច M នោះ d គឺជាចម្ងាយពីចំណុចនេះទៅ directrix ម្ខាងដោយផ្ដោត នោះ .
ឧទាហរណ៍ ១៥.សរសេរសមីការសម្រាប់ពងក្រពើដែល foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស x ស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម ដោយដឹងថាអ័ក្សសំខាន់របស់វាគឺ 8 ហើយចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 16 ។
ដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាសមីការ Directrix 
; ចម្ងាយ directrix 
ដូច្នេះ 
; ដោយសារតែ 
, នោះ។ 
នោះគឺ c = 2 ។
ដោយសារតែ 
, នោះ។ 
.
សមីការពងក្រពើ៖ 
.
ចំណាំ៖ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ 
បន្ទាប់មក foci នៃពងក្រពើស្ថិតនៅលើអ័ក្ស y និង ; សមីការ directrix៖ 
; វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ .
ឧទាហរណ៍ 16សរសេរសមីការសម្រាប់ពងក្រពើដែល foci ស្ថិតនៅស៊ីមេទ្រីលើអ័ក្ស y ទាក់ទងនឹងប្រភពដើម ដោយដឹងថាចម្ងាយរវាង foci គឺ 2c = 24 ភាពប្លែក 
.
សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើគឺ៖ 
.
ដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា c = 12. ចាប់តាំងពី 
, នោះ។ 
នោះគឺ 
.
ដោយសារតែ 
, នោះ។
សមីការពងក្រពើ៖ 
.
4. អ៊ីពែបូឡា។អ៊ីពែបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែល តម្លៃដាច់ខាតភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរនៃយន្តហោះដូចគ្នា ហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង , តិចជាងចម្ងាយរវាង foci ( 
).
សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់៖
, (12.4)
កន្លែងណា 
.
អ៊ីពែបូឡាមានពីរសាខា ហើយមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សកូអរដោនេ។ ពិន្ទុ 
និង 
ហៅថាកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា។ ផ្នែកបន្ទាត់ 
ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា និងផ្នែក 
ចំណុចតភ្ជាប់ 
និង 
, - អ័ក្សស្រមើលស្រមៃ។ អ៊ីពែបូឡាមាន asymptotes ពីរដែលសមីការគឺ 
. អាកប្បកិរិយា 
ត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡា។ ត្រង់, ផ្តល់ដោយសមីការ 
ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា។ វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វនៃសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា៖ .
វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វនៃសាខាខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា៖ .
សមីការ 
ក៏ជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាមួយដែរ ប៉ុន្តែអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡានេះគឺជាផ្នែកនៃអ័ក្ស OY នៃប្រវែង។ ពិន្ទុ 
និង 
បម្រើជាចំណុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា។ សាខារបស់អ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងលើ និងខាងក្រោម សំរបសំរួលយន្តហោះ. អ៊ីពែបូឡាពីរ 
និង 
ត្រូវបានគេហៅថា conjugate hyperbolas ។
ឧទាហរណ៍ ១៧.ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ។ បង្កើតសមីការសាមញ្ញបំផុតនៃអ៊ីពែបូឡាដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M ( 
).
តាមនិយមន័យនៃ eccentricity យើងមាន 
, ឬ 
.
ប៉ុន្តែ 
ដូច្នេះ។ ចាប់តាំងពីចំណុច M ( 
) គឺនៅលើអ៊ីពែបូឡា 
. ពីទីនេះ 
.
ដូច្នេះសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែលចង់បានមានទម្រង់៖ 
.
ឧទាហរណ៍ 18 ។មុំរវាង asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡាគឺ 60°។ គណនាភាពខុសប្រក្រតីនៃអ៊ីពែបូឡា។
ជម្រាលនៃអ៊ីពែបូឡា asymptote 
. ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា 
.
តម្លៃជំនួស ជម្រាល, យើងទទួលបាន
.
ឧទាហរណ៍ 19 ។សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡាដែលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
M(9; 8) ប្រសិនបើ asymtotes នៃ hyperbola ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 
.
ពីសមីការ asymptote យើងមាន 
. ដោយសារចំនុច M(9; 8) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡា កូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា ពោលគឺឧ។ 
.
ដើម្បីស្វែងរក semiaxes នៃអ៊ីពែបូឡា យើងមានប្រព័ន្ធ៖
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធយើងទទួលបាន 
សមីការដែលចង់បានរបស់អ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់៖ 
.
5. ប៉ារ៉ាបូឡា។ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលមានលំនឹងពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍ និងពីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហៅថា directrix ។ ប្រសិនបើ directrix ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 
ហើយការផ្តោតអារម្មណ៍គឺស្ថិតនៅចំណុច F() បន្ទាប់មកសមីការប៉ារ៉ាបូឡាមានទម្រង់៖
. (12.5)
ប៉ារ៉ាបូឡានេះមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ។
សមីការ 
គឺជាសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។
ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា 
ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត 
.
ឧទាហរណ៍ 20 ។ផ្សំសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានចំនុចកំពូលនៅដើម ស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស OY ហើយកាត់អង្កត់ធ្នូប្រវែង 8 នៅលើផ្នែក bisector នៃមុំកូអរដោនេទីមួយ និងទីបី។
សមីការប៉ារ៉ាបូឡាដែលចង់បានមានទម្រង់ 
.
សមីការ Bisector y \u003d x ។ ចូរកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា និងប៊ីស៊ីកទ័រ៖ 
ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន O(0; 0) និង M(2p; 2p)។
ប្រវែងអង្កត់ធ្នូ OM = 
.
តាមលក្ខខណ្ឌ យើងមាន៖ OM \u003d ៨, ពីណា 2p \u003d ៨.
សមីការប៉ារ៉ាបូឡាដែលចង់បាន 
.
សមីការយន្តហោះ
IN កូអរដោណេ Cartesianយន្តហោះនីមួយៗត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដឺក្រេទីមួយក្នុងមិនស្គាល់ x, y, និង z ហើយសមីការដឺក្រេទីមួយនីមួយៗក្នុងចំនួនមិនស្គាល់ចំនួនបីកំណត់ប្លង់មួយ។
ចូរយកវ៉ិចទ័របំពានដោយមានការចាប់ផ្តើមនៅត្រង់ចំណុច 
. ចូរយើងទាញយកសមីការនៃទីតាំងនៃចំណុច M(x, y, z) សម្រាប់វ៉ិចទ័រនីមួយៗ 
កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។ ចូរយើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ៖
សមីការលទ្ធផលគឺលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង x, y, z ដូច្នេះវាកំណត់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅវ៉ិចទ័រ។ វ៉ិចទ័រ 
ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ ការពង្រីកតង្កៀបនៅក្នុងសមីការយន្តហោះលទ្ធផល និងបង្ហាញលេខ 
អក្សរ D យើងតំណាងវាក្នុងទម្រង់៖
អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0. (13.2)
សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ. A, B, C និង D គឺជាមេគុណនៃសមីការ A 2 + B 2 + C 2 0 ។
1. សមីការមិនពេញលេញយន្តហោះ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃយន្តហោះមួយ មេគុណពីរ ឬបីស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការនៃយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។ អាចណែនាំខ្លួន ករណីបន្ទាប់:
1) D = 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម;
2) A = 0 - យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក;
3) B = 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy;
4) C = 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz;
5) A = B = 0 - យន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ XOY;
6) A \u003d C \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ XOZ;
7) B = C = 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ YOZ;
8) A \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអុក;
9) B = D = 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស Oy;
10) C \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអូហ្ស;
11) A = B = D = 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ XOY;
12) A = C = D = 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ XOZ;
13) C \u003d B \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ YOZ ។
2. សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក។
ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ D 0 នោះវាអាចត្រូវបានបំលែងទៅជាទម្រង់
, (13.3)
ដែលត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែក។ 
- កំណត់ប្រវែងនៃផ្នែកដែលកាត់ចេញដោយយន្តហោះនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។
3. សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ។
សមីការ
កន្លែងណា 
គឺជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ 
, បានហៅ សមីការធម្មតា។យន្តហោះ។ ដើម្បីនាំយកសមីការទូទៅនៃយន្តហោះទៅជាទម្រង់ធម្មតា វាត្រូវតែគុណនឹងកត្តាធម្មតា៖ 
,
ក្នុងករណីនេះសញ្ញានៅពីមុខឫសត្រូវបានជ្រើសរើសពីលក្ខខណ្ឌ 
.
ចម្ងាយ ឃ ពីចំណុច 
ទៅយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត: .
4. សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច
ចូរយកចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ M(x,y,z) ហើយភ្ជាប់ចំណុច M1 ជាមួយនឹងចំនុចដែលនៅសល់ទាំងបី។ យើងទទួលបានវ៉ិចទ័របី។ ដើម្បីឱ្យវ៉ិចទ័របីជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដូចគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលពួកវាជា coplanar ។ លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័របីគឺសមភាពទៅសូន្យនៃពួកវា ផលិតផលចម្រុះនោះគឺជា។
ការសរសេរសមភាពនេះក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោណេនៃចំនុច យើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន៖
. (13.5)
5. មុំរវាងយន្តហោះ។
យន្តហោះអាចស្របគ្នា ស្របគ្នា ឬប្រសព្វគ្នាបង្កើតបានជា មុំ dihedral. អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ សមីការទូទៅនិង។ ដើម្បីឱ្យប្លង់ស្របគ្នា វាចាំបាច់ដែលកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលបំពេញសមីការទីមួយក៏នឹងបំពេញសមីការទីពីរផងដែរ។
នេះនឹងកើតឡើងប្រសិនបើ 
.
ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មកយន្តហោះគឺស្របគ្នា។
មុំដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ ស្មើនឹងមុំបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់ពួកគេ។ កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖ 
ប្រសិនបើ នោះយន្តហោះគឺកាត់កែង។
ឧទាហរណ៍ 21. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ពីរចំណុច 
និង 
កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។
យើងសរសេរសមីការដែលចង់បាន ទិដ្ឋភាពទូទៅ:. ដោយសារយន្តហោះត្រូវឆ្លងកាត់ចំនុច ហើយ កូអរដោនេនៃចំនុចត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះ។ ការជំនួសកូអរដោណេនៃចំនុច ហើយយើងទទួលបាន៖ និង .
ពីលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះយើងមាន: 
. វ៉ិចទ័រ 
ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះដែលចង់បាន ហើយដូច្នេះកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា៖ .
ផ្សំសមីការដែលទទួលបានយើងមាន៖
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធយើងទទួលបាន៖ 
, 
, 
, 
.
សមីការដែលចង់បានមានទម្រង់៖ .
វិធីទីពីរ។ វ៉ិចទ័រធម្មតា។ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យមានកូអរដោនេ 
. វ៉ិចទ័រ 
. វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលត្រូវការគឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រ 
, i.e. collinear ទៅផលិតផលវ៉ិចទ័រ 
. គណនា ផលិតផលវ៉ិចទ័រ: 
.
វ៉ិចទ័រ 
. ចូរសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ៖
ឬសមីការដែលចង់បាន។
និយមន័យ . អ៊ីពែបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុច ភាពខុសគ្នាពីចំណុចនីមួយៗទៅចំណុចពីរដែលហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ
ចូរយើងយកប្រព័ន្ធកូអរដោណេដើម្បីឱ្យ foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស abscissa ហើយប្រភពដើមនៃកូអរដោនេបែងចែកផ្នែក F 1 F 2 ជាពាក់កណ្តាល (រូបភាព 30) ។ កំណត់ F 1 F 2 = 2c ។ បន្ទាប់មក F 1 (c; 0); F2 (-c; 0)
MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - កាំប្រសព្វអ៊ីពែបូល
យោងតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា r 1 - r 2 = const ។
ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ 2a
បន្ទាប់មក r 2 - r 1 = ± 2a ដូច្នេះ៖
=>
សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា
ដោយសារសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា x និង y ស្ថិតក្នុងអំណាចស្មើគ្នា នោះប្រសិនបើចំណុច M 0 (x 0; y 0) ស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡា នោះពិន្ទុ M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0) ។
ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ។
នៅពេល y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a ។ ចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡានឹងជាចំណុច A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0) ។
. ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីការសិក្សាត្រូវបានអនុវត្តនៅត្រីមាសទី 1 
1) នៅ 
y មានតម្លៃស្រមើស្រមៃ ដូច្នេះចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយ abscissas 
មិនមាន
2) នៅ x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡា
3) សម្រាប់ x> a; y > 0. លើសពីនេះទៅទៀត ដោយមានការកើនឡើងដោយគ្មានដែនកំណត់ក្នុង x សាខានៃអ៊ីពែបូឡាទៅកាន់ភាពគ្មានកំណត់។
វាធ្វើតាមថាអ៊ីពែបូឡាគឺជាខ្សែកោងដែលមានសាខាគ្មានកំណត់ពីរ។
P 6. Asymtotes នៃ hyperbola មួយ។
ពិចារណារួមជាមួយនឹងសមីការ 
សមីការបន្ទាត់ត្រង់ 
TO 
ខ្សែកោងនឹងស្ថិតនៅខាងក្រោមបន្ទាត់ត្រង់ (រូបភាពទី 31)។ ពិចារណាចំណុច N (x, Y) និង M (x, y) ដែល abscissas គឺដូចគ្នា និង Y - y \u003d MN ។ ពិចារណាពីប្រវែងនៃផ្នែក MN
ចូរយើងស្វែងរក 
ដូច្នេះ ប្រសិនបើចំណុច M ដែលរំកិលតាមអ៊ីពែបូឡាក្នុងត្រីមាសទីមួយ ផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ នោះចម្ងាយរបស់វាពីបន្ទាត់ត្រង់ 
ថយចុះ និងមានទំនោរទៅសូន្យ។
ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីបន្ទាត់ត្រង់មានទ្រព្យសម្បត្តិដូចគ្នា។ 
.
និយមន័យ។ បន្ទាត់ផ្ទាល់ទៅ
ខ្សែកោងខិតទៅជិតមិនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា asymtotes ។
និង 
ដូច្នេះសមីការនៃ asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡា 
.
asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែង ដែលម្ខាងគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស x និងស្មើនឹង 2a និងមួយទៀតគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y និងស្មើនឹង 2b និងកណ្តាល។ ស្ថិតនៅប្រភពដើម (រូបភាព 32) ។
P 7. ភាពប្លែក និង directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា
r 2 – r 1 = ± 2a សញ្ញា + សំដៅលើសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា
សញ្ញា - សំដៅទៅលើសាខាខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា
និយមន័យ។ ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺជាសមាមាត្រនៃចម្ងាយរវាង foci នៃអ៊ីពែបូឡានេះទៅនឹងចម្ងាយរវាងចំនុចកំពូលរបស់វា។
. ចាប់តាំងពី c > a, ε > 1
យើងបង្ហាញពីកាំប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃភាពប្លែក៖
និយមន័យ
. តោះហៅបន្ទាត់
កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយមានទីតាំងនៅចម្ងាយពីកណ្តាលរបស់វាដោយ directrix នៃអ៊ីពែរបូលដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង foci ខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេង។
ធ 
ដូចជាសម្រាប់ hyperbole 
ជាលទ្ធផល directrixes នៃ hyperbola ស្ថិតនៅចន្លោះចំនុចកំពូលរបស់វា (រូបភាព 33)។ សូមឱ្យយើងបង្ហាញថាសមាមាត្រនៃចម្ងាយនៃចំណុចណាមួយនៃអ៊ីពែបូឡាទៅនឹងការផ្តោតអារម្មណ៍និង directrix ដែលត្រូវគ្នាគឺជាថេរនិងស្មើនឹងε។
P. 8 ប៉ារ៉ាបូឡា និងសមីការរបស់វា។
អំពី 
និយមន័យ។
ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍ និងពីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហៅថា directrix ។
ដើម្បីចងក្រងសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា ចូរយើងយកអ័ក្ស x ជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ការផ្តោតអារម្មណ៍ F 1 កាត់កែងទៅ directrix ហើយពិចារណាអ័ក្ស x ដែលដឹកនាំពី directrix ទៅផ្តោត។ ចំពោះប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ យើងយកចំណុចកណ្តាល O នៃចម្រៀកពីចំនុច F ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រវែងដែលយើងសម្គាល់ដោយទំ (រូបភាព 34) ។ បរិមាណ p នឹងត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប៉ារ៉ាបូល។ ចំណុចសំរបសំរួលផ្តោត 
.
អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y) ជាចំណុចបំពាននៃប៉ារ៉ាបូឡា។
តាមនិយមន័យ 
នៅ 2 = 2px គឺជាសមីការ Canonical នៃ parabola
ដើម្បីកំណត់ប្រភេទប៉ារ៉ាបូឡា យើងបំប្លែងសមីការរបស់វា។ 
នេះបង្កប់ន័យ។ ដូច្នេះចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺនៅដើម ហើយអ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺ x ។ សមីការ y 2 \u003d -2px ជាមួយ p វិជ្ជមាន ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅសមីការ y 2 \u003d 2px ដោយជំនួស x ជាមួយ -x ហើយក្រាហ្វរបស់វាមើលទៅដូចជា (រូបភាព 35) ។
នៅ 
សមីការ x 2 \u003d 2py គឺជាសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានចំនុចកំពូលនៅចំណុច O (0; 0) ដែលសាខារបស់ពួកគេត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងលើ។
X 
2 \u003d -2ru - សមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលដើមគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ដែលសាខាត្រូវបានតម្រង់ទៅខាងក្រោម (រូបភាព 36) ។
ប៉ារ៉ាបូឡាមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីមួយ។.
ប្រសិនបើ x គឺទៅអំណាចទីមួយ ហើយ y គឺទៅអំណាចទីពីរ នោះអ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីគឺ x ។
ប្រសិនបើ x ទៅថាមពលទីពីរ ហើយ y គឺទៅអំណាចទីមួយ នោះអ័ក្សស៊ីមេទ្រីគឺជាអ័ក្ស y ។
ចំណាំ ១.
សមីការ directrix នៃ parabola មានទម្រង់
.
ចំណាំ ២.
ចាប់តាំងពីសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា
, នោះ។ε
ប៉ារ៉ាបូឡាគឺ 1 ។ε
= 1
.
ផ្តល់សមីការនៃពងក្រពើ។
ដំណោះស្រាយ៖
យើងសរសេរសមីការនៃពងក្រពើក្នុងទម្រង់ Canonical៖ 
.
ពីទីនេះ 
. ការប្រើប្រាស់ទំនាក់ទំនង 
, យើងស្វែងរក 
. អាស្រ័យហេតុនេះ 
.
យោងតាមរូបមន្ត 
ស្វែងរក 
.
សមីការ Directrix 
មើលទៅដូចជា 
, ចម្ងាយរវាងពួកគេ។ 
.
យោងតាមរូបមន្ត 
រក abscissa នៃចំណុច, ចម្ងាយពីដែលទៅចំណុច 
ស្មើនឹង ១២៖
. តម្លៃជំនួស xនៅក្នុងសមីការនៃរាងពងក្រពើ យើងរកឃើញលំដាប់នៃចំណុចទាំងនេះ៖
ដូច្នេះចំនុច A(7;0) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។
បញ្ហា 56 ។
សរសេរសមីការសម្រាប់ពងក្រពើឆ្លងកាត់ចំណុច។
ដំណោះស្រាយ៖
យើងកំពុងស្វែងរកសមីការពងក្រពើក្នុងទម្រង់ 
.
ចាប់តាំងពីពងក្រពើឆ្លងកាត់ចំណុច 
បន្ទាប់មក កូអរដោនេរបស់ពួកគេបំពេញសមីការពងក្រពើ៖ 
. ការគុណសមភាពទីពីរដោយ (-4) ហើយបន្ថែមទៅទីមួយ យើងរកឃើញ 
.
ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ 
នៅក្នុងសមីការទីមួយយើងរកឃើញ 
. ដូច្នេះសមីការដែលចង់បាន 
.
បញ្ហា 57 ។
;
.
អ៊ីពែបូឡា
អ៊ីពែបូល។បន្ទាត់មួយត្រូវបានគេហៅថាមានចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នាក្នុងចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ 
និង 
គឺជាតម្លៃថេរ (មិនស្មើនឹងសូន្យ និងតិចជាងចម្ងាយរវាងចំណុច 
និង 
).
ពិន្ទុ 
និង 
ហៅ ល្បិចអ៊ីពែបូល សូមឱ្យចម្ងាយរវាង foci 
. ម៉ូឌុលនៃចម្ងាយពីចំណុចអ៊ីពែបូឡាទៅ foci 
និង 
តំណាងដោយ 
. តាមលក្ខខណ្ឌ 
.
,
កន្លែងណា 
- កូអរដោនេ ចំណុចបំពានអ៊ីពែបូល
.
សមីការ 
ហៅ សមីការ Canonicalអ៊ីពែបូល
អ៊ីពែបូលមានពីរ asymtotes
.
ភាពចម្លែកអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថាជាលេខ 
. សម្រាប់ hyperbole ណាមួយ។ 
.
កាំប្រសព្វនៃចំណុចអ៊ីពែបូឡាហៅថាផ្នែកបន្ទាត់ដែលភ្ជាប់ចំណុចនេះជាមួយ foci 
និង 
. ប្រវែងរបស់ពួកគេ។ 
និង 
ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖
ផ្ទាល់ 
ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា។ ដូចក្នុងករណីពងក្រពើ ចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំនាក់ទំនង 
.
បញ្ហា 58 ។
ស្វែងរកចម្ងាយរវាង foci និង eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡា 
.
ចម្លើយ៖
.
បញ្ហា 59 ។
សរសេរសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ ( 
) កំណត់ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា។
ចម្លើយ៖
.
បញ្ហា ៦០.
សរសេរសមីការ Canonical នៃស៊ីមេទ្រីអ៊ីពែបូឡា អំពីអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើវាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ 
និងភាពចម្លែកគឺ 
.
ចម្លើយ៖
.
កិច្ចការ 61 ។
ស្វែងរកសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែលកំពូលស្ថិតនៅលើ foci ហើយ foci របស់ពួកគេស្ថិតនៅចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ 
.
ចម្លើយ៖
.
បញ្ហា 62 ។
កំណត់ទីតាំងនៃចំណុច 
, ចម្ងាយពីបន្ទាត់ត្រង់ 
ពាក់កណ្តាលដូចមុនចំនុច 
.
ចម្លើយ៖
.
បញ្ហា 63 ។
សរសេរសមីការនៃស៊ីមេទ្រីអ៊ីពែបូឡា ទាក់ទងនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ប្រសិនបើវាឆ្លងកាត់ចំណុច 
,
.
ចម្លើយ៖
.
កិច្ចការ 64 ។
សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ asymptotes របស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 
ហើយអ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច 
.
ចម្លើយ៖
.
បញ្ហា ៦៥.
តើចំណុចណាដែលមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះ កូអរដោនេនៃការបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖
.
ប៉ារ៉ាបូឡា
ប៉ារ៉ាបូឡាហៅថាបន្ទាត់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះដែលស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ 
(ផ្តោត) និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ 
(នាយក) ។
ដើម្បីទាញយកសមីការ Canonical នៃ parabola អ័ក្ស 
ឆ្លងកាត់ការផ្តោតអារម្មណ៍ 
កាត់កែងទៅនឹង directrix 
នៅក្នុងទិសដៅពី directrix ទៅការផ្តោតអារម្មណ៍; ប្រភពដើមនៃកូអរដោណេត្រូវបានគេយកនៅកណ្តាលផ្នែករវាងការផ្តោតអារម្មណ៍ 
និងចំណុច 
ចំនុចប្រសព្វអ័ក្ស 
ជាមួយនាយកសាលា 
. ប្រសិនបើតំណាងដោយ 
ចម្ងាយផ្តោតសំខាន់ពី directrix បន្ទាប់មក 
ហើយសមីការ directrix នឹងមើលទៅដូច 
.
នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស សមីការប៉ារ៉ាបូឡាមានទម្រង់៖ 
. សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃ parabola.
