Consideremos três raios a, b, c, que emanam do mesmo ponto e não estão no mesmo plano. Um ângulo triédrico (abc) é uma figura composta de "três ângulos planos (ab), (bc) e (ac) (Fig. 2). Esses ângulos são chamados de faces de um ângulo triédrico, e seus lados são arestas, as O vértice comum dos ângulos planos é chamado Os ângulos diedros formados pelas faces de um ângulo triédrico são chamados ângulos diedros de um ângulo triédrico.

O conceito de ângulo poliédrico é definido de forma semelhante (Fig. 3).

Poliedro

Na estereometria, são estudadas figuras no espaço, chamadas corpos. Visualmente, um corpo (geométrico) deve ser imaginado como uma parte do espaço ocupada por um corpo físico e delimitada por uma superfície.

Um poliedro é um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos (Fig. 4). Um poliedro é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada polígono plano em sua superfície. A parte comum de tal plano e a superfície de um poliedro convexo é chamada de face. As faces de um poliedro convexo são polígonos convexos planos. Os lados das faces são chamados de arestas do poliedro e os vértices são chamados de vértices do poliedro.

Vamos explicar o que foi dito no exemplo de um cubo familiar (Fig. 5). O cubo é um poliedro convexo. Sua superfície é composta por seis quadrados: ABCD, BEFC, .... São suas faces. As arestas do cubo são os lados desses quadrados: AB, BC, BE,.... Os vértices do cubo são os vértices dos quadrados: A, B, C, D, E, .... O cubo tem seis faces, doze arestas e oito vértices.

Os poliedros mais simples - prismas e pirâmides, que serão o objeto principal de nosso estudo - daremos definições que, em essência, não utilizam o conceito de corpo. Serão definidos como figuras geométricas com indicação de todos os pontos do espaço que lhes pertencem. O conceito de corpo geométrico e sua superfície em caso Geral será dado mais tarde.

EXPLICAÇÃO DO TEXTO DA LIÇÃO:

Na planimetria, um dos objetos de estudo é o ângulo.

Um ângulo é uma figura geométrica que consiste em um ponto - o vértice do ângulo e dois raios que emanam deste ponto.

Dois ângulos, um lado, que são comuns e os outros dois são a continuação um do outro, são chamados de adjacentes em planimetria.

A bússola pode ser vista como um modelo de um ângulo plano.

Lembre-se do conceito de ângulo diedro.

Esta é uma figura formada por uma linha reta a e dois semiplanos com um limite comum a que não pertencem ao mesmo plano em geometria é chamado de ângulo diedro. Meios planos são as faces de um ângulo diedro. A linha reta a é a aresta do ângulo diedro.

O telhado da casa demonstra claramente o ângulo diedro.

Mas o telhado da casa na figura dois é feito na forma de uma figura formada por seis cantos planos com um vértice comum, de modo que os cantos são tomados em uma certa ordem e cada par de cantos adjacentes, incluindo o primeiro e o último, tem um lado comum. Como se chama esse tipo de telhado?

Na geometria, uma figura composta de ângulos

E os ângulos que compõem esse ângulo são chamados de ângulos planos. Os lados dos ângulos planos são chamados de arestas de um ângulo poliédrico. O ponto O é chamado de vértice do vértice.

Exemplos de ângulos poliédricos podem ser encontrados no tetraedro e no cuboide.

As faces do tetraedro DBA, ABC, DBC formam um ângulo poliédrico BADC. Mais frequentemente, é chamado de ângulo triédrico.

Em um paralelepípedo, as faces AA1D1D, ABCD, AA1B1B formam um ângulo triédrico AA1DB.

Bem, o telhado da casa é feito na forma de um canto hexagonal. Consiste em seis cantos planos.

Várias propriedades são válidas para um ângulo poliédrico. Vamos formulá-los e prová-los. Diz aqui que a afirmação

Primeiro, para qualquer ângulo poliédrico convexo existe um plano que cruza todas as suas arestas.

Considere como prova o ângulo poliédrico OA1A2 A3…An.

Por definição, é convexo. Um ângulo é chamado convexo se estiver em um lado do plano de cada um de seus ângulos planos.

Como pela condição este ângulo é convexo, então os pontos O, A1, A2, A3, An estão em um lado do plano OA1A2

Tracemos a linha média KM do triângulo OA1A2 e escolha entre as arestas OA3, OA4, OA aresta que forma o menor ângulo diedro com o plano OCM. Deixe esta ser a borda OAi. (Oa total)

Consideremos o semiplano α com o limite CM dividindo o ângulo diedro OKMAi em dois ângulos diedros. Todos os vértices de A a An estão de um lado do plano α e o ponto O do outro lado. Portanto, o plano α intercepta todas as arestas do ângulo poliédrico. A afirmação foi comprovada.

Ângulos poliédricos convexos têm outra propriedade importante.

A soma dos ângulos planos de um ângulo poliédrico convexo é menor que 360°.

Considere um ângulo poliédrico convexo com um vértice no ponto O. Em virtude da afirmação provada, existe um plano que intercepta todas as suas arestas.

Desenhemos tal plano α, deixe-o cruzar as arestas do ângulo nos pontos A1, A2, A3, e assim por diante An.

O plano α cortará o triângulo da área externa do ângulo plano. A soma dos ângulos é 180°. Obtemos que a soma de todos os ângulos planos de А1ОА2 a АnОА1 é igual à expressão que transformamos, esta expressão reagrupamos os termos, obtemos

Nesta expressão, os valores indicados entre parênteses são as somas dos ângulos planos do ângulo triédrico e, como você sabe, são maiores que o ângulo do terceiro plano.

Esta desigualdade pode ser escrita para todos os ângulos triédricos que formam um dado ângulo poliédrico.

Portanto, obtemos a seguinte continuação da igualdade

A resposta obtida prova que a soma dos ângulos planos de um ângulo poliédrico convexo é menor que 360 ​​graus.

№1 Data05.09.14

Geometria do assunto

Aula 11

Tópico da lição: O conceito de um ângulo poliédrico. ângulo triangular.

Lições objetivas:

introduzir os conceitos: “ângulos triédricos”, “ângulos poliédricos”, “poliedro”;

familiarizar os alunos com os elementos dos ângulos triédricos e poliédricos, um poliedro, bem como as definições de um ângulo poliédrico convexo e as propriedades dos ângulos planos de um ângulo poliédrico;

continuar a trabalhar no desenvolvimento de representações espaciais e imaginação espacial, bem como o pensamento lógico dos alunos.

Tipo de lição: aprendendo novo material

DURANTE AS AULAS

1. Momento organizacional.

Cumprimentar os alunos, verificar a prontidão da turma para a aula, organizar a atenção dos alunos, divulgar os objetivos gerais da aula e seu plano.

2. Formação de novos conceitos e métodos de ação.

Tarefas: Garantir a percepção, compreensão e memorização do material estudado pelos alunos. Garantir que os alunos dominem a metodologia de reprodução do material estudado, para promover a compreensão filosófica dos conceitos, leis, regras, fórmulas que estão sendo assimiladas. Estabelecer a correção e consciência do material estudado pelos alunos, identificar lacunas na compreensão primária, realizar uma correção. Garantir que os alunos correlacionem sua experiência subjetiva com os signos do conhecimento científico.

Sejam dados três raiosuma, b es s ponto de partida comumO (Fig. 1.1). Esses três raios não estão necessariamente no mesmo plano. Na figura 1.2, os raiosb ecom deitar em um aviãoR, um raiouma não está neste plano.

Raiosuma, b ecom pares definem três ângulos planos distinguidos por arcos (Fig. 1.3).

Considere uma figura que consiste nos três ângulos indicados acima e na parte do espaço limitada por esses ângulos planos. Essa figura espacial é chamadaângulo triédrico (Figura 2).

Raiosuma, b e com chamadoarestas de um ângulo triédrico, e os cantos: = AOC, = AOB,

= COB , limitando o ângulo triédrico, - suarostos. Esses cantos formamsuperfície triédrica. PontoO chamadovértice de um ângulo triédrico. Um ângulo triédrico pode ser denotado da seguinte forma: OABC

Tendo examinado cuidadosamente todos os ângulos poliédricos mostrados na Figura 3, podemos concluir que cada um dos ângulos poliédricos tem o mesmo número de arestas e faces:

4 faces e um vértice;

um canto de cinco lados tem 5 arestas, 5 faces e um vértice;

• 
  um canto hexagonal tem 6 arestas, 6 faces e um vértice, etc.

Os ângulos poliédricos são convexo e não convexo.

Imagine que tiramos quatro raios de origem comum, como na Figura 4. Neste caso, temosângulo poliédrico não convexo.

Definição 1. Um ângulo poliédrico é chamado de ângulo convexo,se eleencontra-se em um lado do plano de cada uma de suas faces.

Em outras palavras, um ângulo poliédrico convexo sempre pode ser colocado por qualquer uma de suas faces em algum plano. Você pode ver que no caso mostrado na Figura 4, isso nem sempre é possível. O ângulo tetraédrico mostrado na Figura 4 não é convexo.

Observe que em nosso tutorial, se dissermos “ângulo poliédrico”, queremos dizer que é convexo. Se o ângulo poliédrico considerado não for convexo, isso será discutido separadamente.

Propriedades dos cantos planos de um canto poliédrico

Teorema 1.Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma dos outros dois ângulos planos.

Teorema 2.A soma dos valores de todos os ângulos planos de um ângulo poliédrico convexo é menor que 360°.

3. Aplicação. Formação de competências e habilidades.

Objetivos: Garantir que os alunos apliquem os conhecimentos e métodos de ação de que necessitam para o SW, criar condições para que os alunos identifiquem formas individuais de aplicar o que aprenderam.

6. Encenar informações sobre o dever de casa.

Objetivos: Garantir que os alunos compreendam o propósito, o conteúdo e os métodos de fazer os trabalhos de casa.

§1 (1.1, 1.2) p. 4, nº 9.

7. Resumindo a lição.

Objetivo: Fazer uma avaliação qualitativa do trabalho da turma e dos alunos individualmente.

8. Estágio de reflexão.

Tarefas: Iniciar a reflexão dos alunos sobre a autoavaliação das suas atividades. Garantir que os alunos aprendam os princípios de autorregulação e cooperação.

Conversa sobre:

O que você achou interessante na aula?

O que não está claro?

O que o professor deve prestar atenção na próxima aula?

Como você avalia seu trabalho em sala de aula?

slide 1

A figura formada pela superfície especificada e uma das duas partes do espaço delimitada por ela é chamada de ângulo poliédrico. O vértice comum S é chamado de vértice do ângulo poliédrico. Os raios SA1, …, SAn são chamados de arestas do ângulo poliédrico, e os próprios ângulos planos A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 são chamados de faces do ângulo poliédrico. Um ângulo poliédrico é denotado pelas letras SA1…An, indicando o vértice e os pontos em suas arestas. A superfície formada por um conjunto finito de ângulos planos A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 com um vértice comum S, em que os ângulos vizinhos não têm pontos comuns, exceto os pontos de um raio comum, e os ângulos não vizinhos têm sem pontos comuns, exceto por um vértice comum, chamaremos de superfície poliédrica.

slide 2


Dependendo do número de faces, os ângulos poliédricos são triédricos, tetraédricos, pentédricos, etc.

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CANTOS TRIÉDRICOS

Teorema. Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é menor que a soma de seus outros dois ângulos planos. Demonstração: Considere o ângulo triédrico SABC. Seja o maior de seus ângulos planos o ângulo ASC. Então as desigualdades ASB ASC

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Propriedade. A soma dos ângulos planos de um ângulo triédrico é menor que 360°. Da mesma forma, para ângulos triédricos com vértices B e C, as seguintes desigualdades são válidas: ABС

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ÂNGULOS POLIÉDRICOS CONVEXOS

Um ângulo poliédrico é chamado convexo se for uma figura convexa, ou seja, junto com quaisquer dois de seus pontos, contém inteiramente o segmento que os conecta. A figura mostra exemplos de ângulos poliédricos convexos e não convexos. Propriedade A soma de todos os ângulos planos de um ângulo poliédrico convexo é menor que 360°. A prova é semelhante à prova da propriedade correspondente para um ângulo triédrico.

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Ângulos poliédricos verticais

As figuras mostram exemplos de ângulos verticais triédricos, tetraédricos e pentédricos. Os ângulos verticais são iguais.

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Medição de ângulos poliédricos

Como o valor do grau de um ângulo diedro desenvolvido é medido pelo valor do grau do ângulo linear correspondente e é igual a 180°, assumiremos que o valor do grau de todo o espaço, que consiste em dois ângulos diedros desenvolvidos, é 360° . O valor de um ângulo poliédrico, expresso em graus, mostra que parte do espaço o ângulo poliédrico dado ocupa. Por exemplo, o ângulo triédrico de um cubo ocupa um oitavo do espaço e, portanto, seu valor de grau é 360o:8 = 45o. O ângulo triédrico em um prisma n-gonal regular é igual à metade do ângulo diedro na aresta lateral. Considerando que este ângulo diedro é igual, obtemos que o ângulo triédrico do prisma é igual.

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Medição de ângulos triédricos*

Derivamos uma fórmula que expressa o valor de um ângulo triédrico em termos de seus ângulos diedros. Vamos descrever uma esfera unitária próxima ao vértice S do ângulo triédrico e denotar os pontos de interseção das arestas do ângulo triédrico com esta esfera A, B, C. Os planos das faces do ângulo triédrico dividem esta esfera em seis digons esféricos iguais aos pares correspondentes aos ângulos diedros do ângulo triédrico dado. O triângulo esférico ABC e o triângulo esférico A "B" C simétrico a ele são a interseção de três digons. Portanto, a soma dupla dos ângulos diedros é 360o mais o valor quádruplo do ângulo triédrico, ou  SA + SB + SC = 180o + 2SABC.

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Medição de ângulos poliédricos*

Seja SA1…An um ângulo convexo de n faces. Dividindo-o em ângulos triédricos, traçando as diagonais A1A3, …, A1An-1 e aplicando-lhes a fórmula resultante, teremos:  SA1 + … + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1…An. Ângulos poliédricos também podem ser medidos por números. De fato, trezentos e sessenta graus de todo o espaço correspondem ao número 2π. Passando de graus para números na fórmula resultante, teremos: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

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Exercício 1

Pode haver um ângulo triédrico com cantos planos: a) 30°, 60°, 20°; b) 45°, 45°, 90°; c) 30°, 45°, 60°? Nenhuma resposta; b) não; c) sim.

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Exercício 2

Dê exemplos de poliedros cujas faces, que se interceptam nos vértices, formam apenas: a) ângulos triédricos; b) cantos tetraédricos; c) cantos de cinco lados. Resposta: a) Tetraedro, cubo, dodecaedro; b) octaedro; c) icosaedro.

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Exercício 3

Os dois ângulos planares de um ângulo triédrico são 70° e 80°. Qual é o limite do ângulo do terceiro plano? Resposta: 10º

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Exercício 4

Os ângulos planos de um ângulo triédrico são 45°, 45° e 60°. Encontre o ângulo entre os planos de ângulos planos de 45°. Resposta: 90º.

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Exercício 5

Em um ângulo triédrico, dois ângulos planos são 45° cada; o ângulo diedro entre eles é certo. Encontre o terceiro canto plano. Resposta: 60o.

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Exercício 6

Os ângulos planos de um ângulo triédrico são 60°, 60° e 90°. Segmentos iguais OA, OB, OC são plotados em suas arestas a partir do vértice. Encontre o ângulo diedro entre o plano do ângulo de 90° e o plano ABC. Resposta: 90º.

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Exercício 7

Cada ângulo plano de um ângulo triédrico é 60°. Em uma de suas bordas, um segmento igual a 3 cm é colocado a partir do topo e uma perpendicular é abaixada de sua extremidade até a face oposta. Encontre o comprimento desta perpendicular. Resposta: veja

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Exercício 8

Encontre o lugar geométrico dos pontos internos de um ângulo triédrico equidistante de suas faces. Resposta: Um raio cujo vértice é o vértice de um ângulo triédrico que se encontra na linha de intersecção dos planos que dividem os ângulos diedros ao meio.

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Exercício 9

Encontre o lugar geométrico dos pontos internos de um ângulo triédrico equidistante de suas arestas. Resposta: Uma semirreta cujo vértice é o vértice de um ângulo triédrico situado na linha de interseção dos planos que passam pelas bissetrizes dos ângulos planos e perpendiculares aos planos desses ângulos.

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Exercício 10

Para os ângulos diedros do tetraedro temos: , de onde 70o30". Para os ângulos triédricos do tetraedro temos: 15o45". Resposta: 15o45". Encontre os valores aproximados dos ângulos triédricos do tetraedro.

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Exercício 11

Encontre os valores aproximados dos ângulos tetraédricos do octaedro. Para os ângulos diedros do octaedro temos: , de onde 109o30". Para os ângulos tetraédricos do octaedro temos: 38o56". Resposta: 38o56".

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Exercício 12

Encontre os valores aproximados dos ângulos de cinco lados do icosaedro. Para os ângulos diedros do icosaedro temos: , de onde 138o11". Para os ângulos pentaédricos do icosaedro temos: 75o28". Resposta: 75o28".

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Exercício 13

Para os ângulos diedros do dodecaedro temos: , de onde 116o34". Para os ângulos triédricos do dodecaedro temos: 84o51". Resposta: 84o51". Encontre os valores aproximados dos ângulos triédricos do dodecaedro.

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Exercício 14

Em uma pirâmide quadrangular regular SABCD, o lado da base é de 2 cm, a altura é de 1 cm. Encontre o ângulo tetraédrico no topo desta pirâmide. Solução: As pirâmides indicadas dividem o cubo em seis pirâmides iguais com vértices no centro do cubo. Portanto, o ângulo de 4 lados no topo da pirâmide é um sexto do ângulo de 360°, ou seja, igual a 60o. Resposta: 60o.

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Exercício 15

Em uma pirâmide triangular regular, as arestas laterais são iguais a 1, os ângulos no topo são 90o. Encontre o ângulo triédrico no topo desta pirâmide. Solução: As pirâmides indicadas dividem o octaedro em oito pirâmides iguais com vértices no centro O do octaedro. Portanto, o ângulo de 3 lados no topo da pirâmide é um oitavo do ângulo de 360°, ou seja, igual a 45o. Resposta: 45o.

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Exercício 16

Em uma pirâmide triangular regular, as arestas laterais são iguais a 1, e a altura Encontre o ângulo triédrico no topo desta pirâmide. Solução: As pirâmides indicadas dividem o tetraedro regular em quatro pirâmides iguais com vértices no centro do tetraedro. Portanto, o ângulo de 3 lados no topo da pirâmide é um quarto do ângulo de 360°, ou seja, é igual a 90o. Resposta: 90º.

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Definições. Vamos tomar vários ângulos (Fig. 37): ASB, BSC, CSD, que, adjacentes em série, estão localizados no mesmo plano ao redor do vértice comum S.

Vamos girar o plano angular ASB em torno do lado comum SB de modo que este plano faça algum ângulo diedro com o plano BSC. Então, sem alterar o ângulo diedro resultante, nós o giramos em torno da linha reta SC para que o plano BSC faça algum ângulo diedro com o plano CSD. Vamos continuar essa rotação sequencial em torno de cada lado comum. Se, neste caso, o último lado de SF for combinado com o primeiro lado de SA, será formada uma figura (Fig. 38), chamada ângulo poliédrico. Ângulos ASB, BSC,... são chamados cantos planos ou rostos, seus lados SA, SB, ... são chamados costelas, e o vértice comum S- cumeângulo multifacetado.

Cada aresta é também uma aresta de algum ângulo diedro; portanto, em um ângulo poliédrico, existem tantos ângulos diedros e tantos ângulos planos quantos são as arestas nele. O menor número de faces em um ângulo poliédrico é três; esse ângulo é chamado triedro. Pode haver ângulos de quatro lados, cinco lados, etc.

Um ângulo poliédrico é denotado por uma única letra S colocada no vértice, ou por uma série de letras SABCDE, das quais a primeira designa o vértice e as outras são as arestas na ordem de sua localização.

Um ângulo poliédrico é chamado de convexo se estiver todo localizado em um lado do plano de cada uma de suas faces, que se estende indefinidamente. Tal é, por exemplo, o ângulo mostrado no desenho 38. Ao contrário, o ângulo no desenho 39 não pode ser chamado de convexo, pois está localizado em ambos os lados da face ASB ou da face BSC.

Se todas as faces de um ângulo poliédrico são interceptadas por um plano, então um polígono é formado na seção ( abcde ). Em um ângulo poliédrico convexo, esse polígono também é convexo.

Consideraremos apenas ângulos poliédricos convexos.

Teorema. Em um ângulo triédrico, cada ângulo plano é menor que a soma dos outros dois ângulos planos.

Seja no ângulo triédrico SABC (Fig. 40) o maior dos ângulos planos o ângulo ASC.

Vamos plotar o ângulo ASD neste ângulo, que é igual ao ângulo ASB, e desenhar uma linha reta AC interceptando SD em algum ponto D. Coloque SB = SD. Conectando B com A e C, obtemos \(\Delta\)ABC, em que

AD+DC< АВ + ВС.

Os triângulos ASD e ASB são congruentes porque cada um contém um ângulo igual entre lados iguais: portanto AD = AB. Portanto, se descartarmos os termos iguais AD e AB na desigualdade derivada, obtemos que DC< ВС.

Agora notamos que os triângulos SCD e SCB têm dois lados de um iguais a dois lados do outro, e os terceiros lados não são iguais; neste caso, um ângulo maior se opõe ao maior desses lados; meios,

∠CSD< ∠ CSВ.

Somando o ângulo ASD ao lado esquerdo desta desigualdade, e o ângulo ASB igual a ele ao lado direito, obtemos a desigualdade que precisava ser provada:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Provamos que mesmo o maior ângulo plano é menor que a soma dos outros dois ângulos. Então o teorema está provado.

Consequência. Subtraia de ambas as partes da última desigualdade no ângulo ASB ou no ângulo CSB; Nós temos:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

Considerando essas desigualdades da direita para a esquerda, e levando em consideração que o ângulo ASC como o maior dos três ângulos é maior que a diferença dos outros dois ângulos, concluímos que em um ângulo triédrico, cada ângulo plano é maior que a diferença dos outros dois ângulos.

Teorema. Em um ângulo poliédrico convexo, a soma de todos os ângulos planares é menor que 4d (360°) .

Vamos cruzar as faces (Fig. 41) do ângulo convexo SABCDE com algum plano; a partir disso na seção obtemos um convexo n-gon ABCDE.

Aplicando o teorema provado anteriormente a cada um dos ângulos triédricos cujos vértices estão nos pontos A, B, C, D e E, paholim:

∠ABC< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

Vamos somar todas essas desigualdades termo a termo. Então, no lado esquerdo, obtemos a soma de todos os ângulos do polígono ABCDE, que é igual a 2 dn - 4d , e à direita - a soma dos ângulos dos triângulos ABS, SBC, etc., exceto aqueles ângulos que se encontram no vértice S. Denotando a soma desses últimos ângulos pela letra X , obtemos após a adição:

2dn - 4d < 2n - x .

Já que nas diferenças 2 dn - 4d e 2 n - x minuendos são iguais, então para a primeira diferença ser menor que a segunda, é necessário que o subtraendo 4 d foi mais do que subtraído X ; significa 4 d > X , ou seja X < 4d .

Os casos mais simples de igualdade de ângulos triédricos

Teoremas. Os ângulos triédricos são iguais se eles têm:

1) por um ângulo diedro igual fechado entre dois ângulos planos respectivamente iguais e igualmente espaçados, ou

2) ao longo de um ângulo plano igual entre dois ângulos diedros respectivamente iguais e igualmente espaçados.

1) Sejam S e S 1 dois ângulos triédricos (Fig. 42), em que ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1 , ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (e esses ângulos iguais estão igualmente localizados) e diedro o ângulo AS é igual ao ângulo diedro A 1 S 1 .

Vamos embutir o ângulo S 1 no ângulo S de modo que os pontos S 1 e S, as linhas S 1 A 1 e SA e os planos A 1 S 1 B 1 e ASB coincidam. Então a aresta S 1 B 1 irá ao longo de SB (devido à igualdade dos ângulos A 1 S 1 B 1 e ASB), o plano A 1 S 1 C 1 irá ao longo de ASC (devido à igualdade dos ângulos diedros), e a aresta S 1 C 1 irá ao longo da aresta SC (devido à igualdade dos ângulos A 1 S 1 C 1 e ASC). Assim, os ângulos triédricos serão combinados por todas as suas arestas, ou seja, serão iguais.

2) O segundo critério, como o primeiro, é comprovado por uma incorporação.

Ângulos poliédricos simétricos

Como você sabe, os ângulos verticais são iguais quando se trata de ângulos formados por linhas retas ou planos. Vamos ver se esta afirmação é verdadeira para ângulos poliédricos.

Continuamos (Fig. 43) todas as arestas do ângulo SABCDE além do vértice S, então outro ângulo poliédrico SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 é formado, que pode ser chamado vertical em relação à primeira curva. É fácil ver que ambos os ângulos têm ângulos planos e diedros iguais, respectivamente, mas ambos estão na ordem inversa. De fato, se imaginarmos um observador que olha de fora do ângulo poliédrico em seu vértice, as arestas SA, SB, SC, SD, SE parecerão localizadas no sentido anti-horário, enquanto olha para o ângulo SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 , ele vê as arestas SA 1 , S² 1 , ... localizadas no sentido horário.

Ângulos poliédricos com ângulos planos e diedros respectivamente iguais, mas localizados na ordem inversa, não podem ser combinados durante a incorporação; isso significa que eles não são iguais. Esses ângulos são chamados simétrico(em relação ao topo S). Mais sobre a simetria de figuras no espaço será discutido abaixo.

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