Expressões matemáticas (fórmulas) multiplicação abreviada(o quadrado da soma e diferença, o cubo da soma e diferença, a diferença de quadrados, a soma e diferença de cubos) são extremamente insubstituíveis em muitas áreas das ciências exatas. Essas entradas de 7 caracteres são insubstituíveis ao simplificar expressões, resolver equações, multiplicar polinômios, reduzir frações, resolver integrais e muito mais. Portanto, será muito útil descobrir como eles são obtidos, para que servem e, o mais importante, como lembrá-los e aplicá-los. Então aplicando fórmulas de multiplicação abreviadas na prática, o mais difícil será ver o que está X e o que tem. Obviamente, não há restrições uma e b não, o que significa que pode ser qualquer expressão numérica ou literal.

E então aqui estão eles:

Primeiro x 2 - em 2 = (x - y) (x + y).Calcular diferença de quadrados duas expressões, é necessário multiplicar as diferenças dessas expressões por suas somas.

Segundo (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Encontrar soma ao quadrado duas expressões, você precisa adicionar ao quadrado da primeira expressão duas vezes o produto da primeira expressão pela segunda mais o quadrado da segunda expressão.

Terceiro (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Calcular diferença ao quadrado duas expressões, você precisa subtrair do quadrado da primeira expressão duas vezes o produto da primeira expressão pela segunda mais o quadrado da segunda expressão.

Quarto (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 anos + 3x 2 + em 3. Calcular cubo de soma duas expressões, você precisa adicionar ao cubo da primeira expressão três vezes o produto do quadrado da primeira expressão e da segunda, mais três vezes o produto da primeira expressão e o quadrado da segunda, mais o cubo da expressão segunda expressão.

Quinto (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 anos + 3x 2 - às 3. Calcular cubo de diferença duas expressões, é necessário subtrair do cubo da primeira expressão três vezes o produto do quadrado da primeira expressão pela segunda mais três vezes o produto da primeira expressão e o quadrado da segunda menos o cubo da segunda expressão.

sexto x 3 + e 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Calcular soma de cubos duas expressões, você precisa multiplicar as somas da primeira e da segunda expressões pelo quadrado incompleto da diferença dessas expressões.

sétimo x 3 - às 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Para fazer um cálculo diferenças do cubo duas expressões, é necessário multiplicar a diferença da primeira e da segunda expressões pelo quadrado incompleto da soma dessas expressões.

Não é difícil lembrar que todas as fórmulas são usadas para fazer cálculos na direção oposta (da direita para a esquerda).

A existência dessas regularidades era conhecida há cerca de 4 mil anos. Eles foram amplamente utilizados pelos habitantes da antiga Babilônia e Egito. Mas naquelas épocas eles eram expressos verbalmente ou geometricamente e não usavam letras nos cálculos.

Vamos analisar prova de soma quadrada(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Esse regularidade matemática provou o antigo cientista grego Euclides, que trabalhou em Alexandria no século 3 aC, ele usou o método geométrico de provar a fórmula para isso, já que os cientistas da antiga Hélade não usavam letras para denotar números. Eles em todos os lugares não usavam “a 2”, mas “quadrado no segmento a”, não “ab”, mas “retângulo entre os segmentos a e b”.

Fórmulas de multiplicação abreviadas (FSU) são usadas para exponenciar e multiplicar números e expressões. Muitas vezes, essas fórmulas permitem que você faça cálculos de forma mais compacta e rápida.

Neste artigo, listaremos as principais fórmulas para multiplicação abreviada, agruparemos em uma tabela, consideraremos exemplos de uso dessas fórmulas e também nos debruçaremos sobre os princípios de provar fórmulas de multiplicação abreviadas.

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Pela primeira vez, o tema da FSU é considerado dentro do curso "Álgebra" para a 7ª série. Abaixo estão 7 fórmulas básicas.

Fórmulas de multiplicação abreviadas

1. fórmula soma quadrada: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. fórmula quadrada de diferença: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. fórmula do cubo soma: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. fórmula do cubo de diferença: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. fórmula de diferença de quadrados: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. fórmula para a soma dos cubos: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. fórmula da diferença do cubo: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

As letras a, b, c nestas expressões podem ser quaisquer números, variáveis ​​ou expressões. Para facilidade de uso, é melhor aprender as sete fórmulas básicas de cor. Nós os resumimos em uma tabela e os damos abaixo, circulando-os com uma caixa.

As primeiras quatro fórmulas permitem calcular o quadrado ou o cubo da soma ou diferença de duas expressões, respectivamente.

A quinta fórmula calcula a diferença de quadrados de expressões multiplicando sua soma e diferença.

A sexta e a sétima fórmulas são, respectivamente, a multiplicação da soma e diferença de expressões pelo quadrado incompleto da diferença e pelo quadrado incompleto da soma.

A fórmula de multiplicação abreviada às vezes também é chamada de identidades de multiplicação abreviadas. Isso não é surpreendente, pois toda igualdade é uma identidade.

Ao resolver exemplos práticos, fórmulas de multiplicação abreviadas são frequentemente usadas com partes esquerda e direita reorganizadas. Isso é especialmente conveniente ao fatorar um polinômio.

Fórmulas de multiplicação abreviadas adicionais

Não nos limitaremos ao curso de álgebra da 7ª série e adicionaremos mais algumas fórmulas à nossa tabela FSU.

Primeiro, considere a fórmula binomial de Newton.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Aqui C n k são os coeficientes binomiais que estão na linha número n no triângulo de Pascal. Os coeficientes binomiais são calculados pela fórmula:

Cnk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Como você pode ver, a FSU para o quadrado e o cubo da diferença e a soma é um caso especial da fórmula binomial de Newton para n=2 e n=3, respectivamente.

Mas e se houver mais de dois termos na soma a ser elevada a uma potência? A fórmula para o quadrado da soma de três, quatro ou mais termos será útil.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Outra fórmula que pode ser útil é a fórmula da diferença das enésimas potências de dois termos.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Esta fórmula é geralmente dividida em duas fórmulas - respectivamente para graus pares e ímpares.

Para expoentes pares 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Para expoentes ímpares 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

As fórmulas para a diferença de quadrados e a diferença de cubos, você adivinhou, são casos especiais desta fórmula para n = 2 e n = 3, respectivamente. Para a diferença de cubos, b também é substituído por - b .

Como ler fórmulas de multiplicação abreviadas?

Daremos as formulações apropriadas para cada fórmula, mas primeiro vamos lidar com o princípio da leitura de fórmulas. A maneira mais fácil de fazer isso é com um exemplo. Vamos pegar a primeira fórmula para o quadrado da soma de dois números.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Eles dizem: o quadrado da soma de duas expressões a e b é igual à soma do quadrado da primeira expressão, duas vezes o produto das expressões e o quadrado da segunda expressão.

Todas as outras fórmulas são lidas de forma semelhante. Para a diferença ao quadrado a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2, escrevemos:

o quadrado da diferença de duas expressões aeb é igual à soma dos quadrados dessas expressões menos duas vezes o produto da primeira e da segunda expressões.

Vamos ler a fórmula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. O cubo da soma de duas expressões a e b é igual à soma dos cubos dessas expressões, três vezes o produto do quadrado da primeira expressão e da segunda, e três vezes o produto do quadrado da segunda expressão e a primeira expressão.

Continuamos lendo a fórmula para a diferença de cubos a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. O cubo da diferença de duas expressões a e b é igual ao cubo da primeira expressão menos três vezes o quadrado da primeira expressão e da segunda, mais três vezes o quadrado da segunda expressão e da primeira expressão, menos o cubo da segunda expressão.

A quinta fórmula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferença de quadrados) é a seguinte: a diferença dos quadrados de duas expressões é igual ao produto da diferença e a soma das duas expressões.

Expressões como a 2 + a b + b 2 e a 2 - a b + b 2 por conveniência são chamadas, respectivamente, de quadrado incompleto da soma e quadrado incompleto da diferença.

Com isso em mente, as fórmulas para a soma e diferença de cubos são lidas da seguinte forma:

A soma dos cubos de duas expressões é igual ao produto da soma dessas expressões e o quadrado incompleto de sua diferença.

A diferença dos cubos de duas expressões é igual ao produto da diferença dessas expressões pelo quadrado incompleto de sua soma.

Prova FSU

Provar FSU é bastante simples. Com base nas propriedades da multiplicação, realizaremos a multiplicação das partes das fórmulas entre parênteses.

Por exemplo, considere a fórmula para o quadrado da diferença.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Para elevar uma expressão à segunda potência, a expressão deve ser multiplicada por ela mesma.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Vamos expandir os colchetes:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

A fórmula foi comprovada. Os outros FSOs são provados de forma semelhante.

Exemplos de aplicação do FSO

O objetivo de usar fórmulas de multiplicação curtas é multiplicar e exponenciar expressões de forma rápida e concisa. No entanto, este não é todo o escopo do FOE. Eles são amplamente utilizados na redução de expressões, frações redutoras, polinômios de fatoração. Vamos dar exemplos.

Exemplo 1. FSO

Vamos simplificar a expressão 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Aplique a fórmula da soma dos quadrados e obtenha:

9 anos - (1 + 3 anos) 2 = 9 anos - (1 + 6 anos + 9 anos 2) = 9 anos - 1 - 6 anos - 9 anos 2 = 3 anos - 1 - 9 anos 2

Exemplo 2. FSO

Reduza a fração 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Notamos que a expressão no numerador é a diferença de cubos e no denominador - a diferença de quadrados.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Reduzimos e obtemos:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUs também ajudam a calcular os valores das expressões. O principal é ser capaz de perceber onde aplicar a fórmula. Vamos mostrar isso com um exemplo.

Vamos elevar o número 79 ao quadrado. Em vez de cálculos complicados, escrevemos:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Parece que um cálculo complexo foi realizado rapidamente com apenas o uso de fórmulas de multiplicação abreviadas e uma tabela de multiplicação.

Outro ponto importante- seleção do quadrado do binômio. A expressão 4 x 2 + 4 x - 3 pode ser convertida em 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tais transformações são amplamente utilizadas na integração.

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Ao calcular polinômios algébricos, para simplificar os cálculos, usamos fórmulas de multiplicação abreviadas . Existem sete dessas fórmulas no total. Todos eles precisam ser conhecidos de cor.

Também deve ser lembrado que em vez de a e b em fórmulas, pode haver números e quaisquer outros polinômios algébricos.

Diferença de quadrados

A diferença dos quadrados de dois números é igual ao produto da diferença desses números e sua soma.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

soma quadrada

O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro número mais duas vezes o produto do primeiro número e o segundo mais o quadrado do segundo número.

(uma + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Observe que com esta fórmula de multiplicação reduzida, é fácil encontrar os quadrados de números grandes sem usar uma calculadora ou multiplicação longa. Vamos explicar com um exemplo:

Encontre 112 2 .

Vamos decompor 112 na soma de números cujos quadrados nos lembramos bem.2
112 = 100 + 1

Escrevemos a soma dos números entre colchetes e colocamos um quadrado sobre os colchetes.
112 2 = (100 + 12) 2

Vamos usar a fórmula da soma quadrada:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Lembre-se de que a fórmula da soma quadrada também é válida para qualquer polinômio algébrico.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Aviso!!!

(a + b) 2 diferente de a 2 + b 2

O quadrado da diferença

O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro número menos o dobro do produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo número.

(uma - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Vale lembrar também uma transformação muito útil:

(a - b) 2 = (b - a) 2
A fórmula acima é provada simplesmente expandindo os parênteses:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

cubo de soma

O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro número mais três vezes o quadrado do primeiro número vezes o segundo mais três vezes o produto do primeiro vezes o quadrado do segundo mais o cubo do segundo.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Lembrar dessa fórmula de aparência "terrível" é bastante simples.

Aprenda que um 3 vem primeiro.

Os dois polinômios no meio têm coeficientes de 3.

NOlembre-se que qualquer número elevado a zero é 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). É fácil ver que na fórmula há uma diminuição no grau a e um aumento no grau b. Você pode verificar isso:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Aviso!!!

(a + b) 3 diferente de a 3 + b 3

cubo de diferença

O cubo da diferença entre dois números é igual ao cubo do primeiro número menos três vezes o quadrado do primeiro número e o segundo mais três vezes o produto do primeiro número pelo quadrado do segundo menos o cubo do segundo .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Esta fórmula é lembrada como a anterior, mas apenas levando em consideração a alternância dos sinais "+" e "-". O primeiro membro de um 3 é precedido por um "+" (de acordo com as regras da matemática, não o escrevemos). Isso significa que o próximo membro será precedido por "-", depois novamente "+", etc.

(a - b) 3 = + um 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

A soma dos cubos ( Não confundir com o cubo de soma!)

A soma dos cubos é igual ao produto da soma de dois números pelo quadrado incompleto da diferença.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

A soma dos cubos é o produto de dois colchetes.

O primeiro parêntese é a soma de dois números.

O segundo colchete é o quadrado incompleto da diferença de números. O quadrado incompleto da diferença é chamado de expressão:

A 2 - ab + b 2
Este quadrado está incompleto, pois no meio, em vez de um produto duplo, há um produto comum de números.

Cube Diferença (Não confundir com o Cubo Diferencial!!!)

A diferença de cubos é igual ao produto da diferença de dois números pelo quadrado incompleto da soma.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Tenha cuidado ao escrever caracteres.Deve-se lembrar que todas as fórmulas acima também são usadas da direita para a esquerda.

Uma maneira fácil de lembrar fórmulas de multiplicação abreviadas, ou... Triângulo de Pascal.

É difícil lembrar as fórmulas da multiplicação abreviada? O caso é fácil de ajudar. Você só precisa lembrar como uma coisa tão simples como o triângulo de Pascal é representada. Então você se lembrará dessas fórmulas sempre e em todos os lugares, ou melhor, não se lembre, mas restaure.

O que é o Triângulo de Pascal? Este triângulo consiste nos coeficientes que entram na expansão de qualquer potência de um binômio da forma em um polinômio.

Vamos decompô-lo, por exemplo:

Neste registro, é fácil lembrar que no início há um cubo do primeiro e no final - o cubo do segundo número. Mas o que está no meio é difícil de lembrar. E mesmo o fato de que em cada termo seguinte o grau de um fator diminui o tempo todo e o segundo aumenta - é fácil notar e lembrar, é mais difícil lembrar os coeficientes e sinais (mais ou menos?).

Então, primeiro as probabilidades. Você não precisa memorizá-los! Nas margens do caderno, desenhamos rapidamente o triângulo de Pascal, e aqui estão eles - os coeficientes, já à nossa frente. Começamos a desenhar com três unidades, uma acima, duas abaixo, à direita e à esquerda - sim, já se obtém um triângulo:

A primeira linha, com um um, é zero. Depois vem o primeiro, segundo, terceiro e assim por diante. Para obter a segunda linha, você precisa adicionar uns novamente ao longo das bordas e, no centro, escrever o número obtido adicionando os dois números acima:

Escrevemos a terceira linha: novamente ao longo das bordas da unidade e, novamente, para obter o próximo número em uma nova linha, adicione os números acima na anterior:

Como você deve ter adivinhado, obtemos em cada linha os coeficientes da expansão de um binômio em um polinômio:

Bem, é ainda mais fácil lembrar os sinais: o primeiro é o mesmo do binômio expandido (nós colocamos a soma, que significa mais, a diferença, que significa menos), e depois os sinais se alternam!

Isso é uma coisa tão útil - o triângulo de Pascal. Aproveitar!

Eles são usados ​​para simplificar cálculos, bem como a decomposição de polinômios em fatores, a rápida multiplicação de polinômios. A maioria das fórmulas de multiplicação abreviadas pode ser obtida do binômio de Newton - você verá isso em breve.

Fórmulas para quadrados frequentemente usado em cálculos. Começam a ser estudadas no currículo escolar desde a 7ª série até o final do treinamento, as fórmulas de quadrados e cubos, os alunos devem saber de cor.

Fórmulas de cubo não são muito complexos e precisam ser conhecidos ao reduzir polinômios a uma forma padrão, para simplificar o aumento da soma ou diferença de uma variável e um número para um cubo.

As fórmulas marcadas em vermelho são obtidas do agrupamento anterior de termos semelhantes.

Fórmulas para a quarta e quinta potências no curso escolar, poucos serão úteis, no entanto, existem tarefas no estudo de matemática superior em que você precisa calcular os coeficientes nos graus.

Fórmulas de graduação n são pintados em termos de coeficientes binomiais usando fatoriais como segue

Exemplos de aplicação de fórmulas de multiplicação abreviadas

Exemplo 1. Calcule 51^2.

Decisão. Se você tiver uma calculadora, poderá encontrá-la facilmente

Eu estava brincando - todo mundo é sábio com uma calculadora, sem ela ... (não vamos falar de coisas tristes).

Sem calculadora e conhecendo as regras acima, encontramos o quadrado do número pela regra

Exemplo 2 Encontre 99^2.

Decisão. Aplique a segunda fórmula

Exemplo 3: Quadratura de uma expressão
(x+y-3).

Decisão. Consideramos mentalmente a soma dos dois primeiros termos como um termo e, de acordo com a segunda fórmula para multiplicação abreviada, temos

Exemplo 4. Encontre a diferença de quadrados
11^2-9^2.

Decisão. Como os números são pequenos, você pode simplesmente substituir os valores dos quadrados

Mas nosso objetivo é completamente diferente - aprender a usar fórmulas de multiplicação abreviadas para simplificar os cálculos. Para este exemplo, aplique a terceira fórmula

Exemplo 5. Encontre a diferença de quadrados
17^2-3^2 .

Decisão. Neste exemplo, você já vai querer aprender as regras para reduzir os cálculos a uma linha

Como você pode ver, não fizemos nada incrível.

Exemplo 6: Simplifique uma expressão
(x-y)^2-(x+y)^2.

Decisão. Você pode dispor os quadrados e, posteriormente, agrupar termos semelhantes. No entanto, pode-se aplicar diretamente a diferença de quadrados

Simples e sem soluções longas.

Exemplo 7. Cubra um polinômio
x^3-4.

Decisão. Vamos aplicar a fórmula de multiplicação abreviada de 5

Exemplo 8. Escreva como uma diferença de quadrados ou sua soma
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29

Decisão. a) Reorganize os termos

b) Simplifique com base no raciocínio anterior

Exemplo 9. Expandir uma fração racional

Decisão. Aplicar a fórmula da diferença de quadrados

Nós compomos um sistema de equações para determinar as constantes

Adicionamos a segunda equação à primeira equação triplicada. Substituímos o valor encontrado na primeira equação

Por fim, a expansão assume a forma

Muitas vezes é necessário expandir uma fração racional antes de integrar para reduzir o poder do denominador.

Exemplo 10. Usando o binômio de Newton, pinte
expressão (x-a)^7.

Decisão. Você provavelmente já sabe o que é o binômio de Newton. Se não, então abaixo estão os coeficientes binomiais

Eles são formados da seguinte forma: existem unidades ao longo da borda, os coeficientes entre eles na linha inferior são formados pela soma dos superiores vizinhos. Se estivermos procurando uma diferença até certo ponto, os sinais no cronograma alternam de mais para menos. Assim, para a sétima ordem, obtemos o seguinte alinhamento

Observe também com atenção como os indicadores mudam - para a primeira variável, eles diminuem em um em cada período seguinte, respectivamente, para o segundo - eles aumentam em um. Em suma, os indicadores devem ser sempre iguais ao grau de decomposição (= 7).

Acho que com base no material acima você será capaz de resolver problemas no binômio de Newton. Aprenda fórmulas de multiplicação abreviadas e aplique onde puder simplificar os cálculos e economizar tempo na tarefa.

Na lição anterior, lidamos com fatoração. Dominamos dois métodos: tirar o fator comum dos colchetes e agrupar. Neste tutorial, o seguinte método poderoso: fórmulas de multiplicação abreviadas. Em uma nota curta - FSU.

Fórmulas de multiplicação abreviadas (quadrado de soma e diferença, cubo de soma e diferença, diferença de quadrados, soma e diferença de cubos) são essenciais em todos os ramos da matemática. Eles são usados ​​para simplificar expressões, resolver equações, multiplicar polinômios, reduzir frações, resolver integrais, etc. etc. Em suma, há todas as razões para lidar com eles. Entenda de onde eles vêm, por que são necessários, como lembrá-los e como aplicá-los.

Entendemos?)

De onde vêm as fórmulas de multiplicação abreviadas?

As igualdades 6 e 7 não são escritas de uma maneira muito usual. Como o contrário. Isso é proposital.) Qualquer igualdade funciona tanto da esquerda para a direita quanto da direita para a esquerda. Nesse registro, fica mais claro de onde vem o FOE.

Eles são retirados da multiplicação.) Por exemplo:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

É isso, sem truques científicos. Nós apenas multiplicamos os colchetes e damos os semelhantes. É assim que acontece todas as fórmulas de multiplicação abreviadas. abreviado multiplicação é porque nas próprias fórmulas não há multiplicação de colchetes e redução de semelhantes. Reduzido.) O resultado é dado imediatamente.

A FSU precisa saber de cor. Sem os três primeiros, você não pode sonhar com um triplo, sem o resto - cerca de quatro com cinco.)

Por que precisamos de fórmulas de multiplicação abreviadas?

Há duas razões para aprender, até mesmo memorizar, essas fórmulas. O primeiro - uma resposta pronta na máquina reduz drasticamente o número de erros. Mas este não é o motivo principal. E aqui está a segunda...

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