Dacă I ​​= f0g, atunci F = R.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Dacă I ​​= f0g, atunci F = R.

Dacă dimensiunea subspații I este egal cu 1, atunci F = C.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Dacă I ​​= f0g, atunci F = R.

Dacă dimensiunea subspații I este egal cu 1, atunci F = C. Fie dimensiunea subspații I mai mult de 1.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

spatiile I. Fie i = p1 u. Apoi

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați liniar sistem independent vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =
i2 =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i = p1 u. Atunci i2 = 1:

Prin în suma i v = + x, unde 2 R, x 2 I.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =										u. Atunci i2 = 1:
			Lema despre descompunerea elementelor din F
			i v = + x, unde				2 R, x 2 I . Conform
					(i + v) 2 I , în		în special, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =										u. Atunci i2 = 1:
			Lema despre descompunerea elementelor din F
			i v = + x, unde				2 R, x 2 I . Conform
					(i + v) 2 I , în		în special, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u. Atunci i2 = 1:

Lema despre descompunerea elementelor din F

i v = + x, unde

2 R, x 2 I .

Conform

(i + v) 2 I ,

în special, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u. Atunci i2 = 1:

Lema despre descompunerea elementelor din F

i v = + x, unde

2 R, x 2 I .

Conform

(i + v) 2 I ,

în special, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =								u. Atunci i2 = 1:
					despre descompunere				elemente din
				i v = + x, unde					2 R, x 2 I .
					(i + v). Avem j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u. Atunci i2 = 1:

despre descompunere

elemente din

i v = + x, unde

2 R, x 2 I .

(i1 + v). Avem j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u. Atunci i2 = 1:

despre descompunerea elementelor

i v = + x, unde

x 2 eu .

(i1 + v). Avem j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u. Atunci i2 = 1:

despre descompunere

elemente

i v = + x, unde

x 2 eu .

(i1 + v). Avem j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =

u. Atunci i2 = 1:

despre descompunere

elemente

i v = + x, unde

x 2 eu .

(i1 + v). Avem j2 = 1,

(i+v)2

i j = i

(i+v)2

(i+v)2

x 2 I :

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =								u. Atunci i2 = 1:
					despre descompunere				elemente din
				i v = + x, unde					2 R, x 2 I .

(i+v)2

Mijloace, ,

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =								u. Atunci i2 = 1:
					despre descompunere				elemente din
				i v = + x, unde					2 R, x 2 I .
					(i + v). Avem j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

I + j + i j ; ; ; 2R

corp cuaternion.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Lasă dimensiunea subspații I mai mult de 1.

Luați un sistem liniar independent de vectori fu; vg liniar

spatiile I. Fie i =								u. Atunci i2 = 1:
					despre descompunere				elemente din
				i v = + x, unde					2 R, x 2 I .
					(i + v). Avem j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
Prin urmare, după lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F ,

I + j + i j ; ; ; 2R

corp cuaternion.

Astfel, dacă spațiu liniar I are dimensiunea 3, atunci F este un corp de cuaternioni.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

subspații I mai mult de 3.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I

Hai sa luam liniar independent

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							X; y; z 2 I :

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

							X; y; z 2 I :

În virtutea leme subspațiale I t = m + i + j + k 2I . Din independență liniară sisteme de vectori fi; j; k; mg următorul-

lovituri că t 6= 0.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

							X; y; z 2 I :

lema subspațială I

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

							X; y; z 2 I :

Se demonstrează că 0 6= t = m + i + j + k 2 I . De lema subspațială I

i t = i m + k j =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

							X; y; z 2 I :

Se demonstrează că 0 6= t = m + i + j + k 2 I . De lema subspațială I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

							X; y; z 2 I :

Se demonstrează că 0 6= t = m + i + j + k 2 I . De lema subspațială I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

În mod similar, putem demonstra că j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

În virtutea lemei despre descompunerea elementelor din F într-o sumă

											X; y; z 2 I :
A dovedit că			0 6= t = m + i + j + k 2 I . Polemă pe subpro-
spațiul I			i t 2 I, j t 2 I,
Punem n =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

N i j = i n j =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

VII.6. Dovada teoremele Frobenius

Rămâne de luat în considerare cazul când dimensiunea subspații I mai mare decât 3. Am demonstrat că atunci F include câmpul de asimetrie al cuaternionilor.

Hai sa luam liniar independent un sistem de vectori fi; j; k; mg, unde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Am găsit n 2 I astfel încât n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Prin lema cu privire la încorporarea câmpului oblic al cuaternionilor în F

i n = ni; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Prin urmare, 2k n = 0, o contradicție.

VII. Teorema Frobenius

Teorema 2. Fie F un corp și R F ,

9i1 ; i2; : : : ; în		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n în :

Atunci F este fie R, fie C, fie corpul cuaternionilor.

Teorema a fost demonstrată.

Atenţie!

e-mail: [email protected]; [email protected]

site-uri web: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Teorema. Orice algebră liniară alternativă peste un câmp numere reale cu diviziunea este normalizat algebră liniară.

Fie o algebră alternativă de diviziune liniară peste câmpul numerelor reale R. Să introducem operația de conjugare în A astfel: dacă elementul a lui A este proporțional cu 1, atunci a = a; dacă a nu este proporțional cu 1, atunci este conținut în subalgebra complexă. În această subalgebră, pentru elementul a, există un element conjugat a, pe care îl luăm ca element conjugat cu a din algebră.

Rezultă direct din definiția lui a că = a și, de asemenea, =ka, unde k R.

Fie a A nu proporțional cu 1. Să considerăm o subalgebră de cuaternion (K, +, . R , .) care conține a. În această subalgebră, pentru un A, există și un element conjugat a. Să arătăm că a coincide cu a.

Elementele a și a, ca conjugate în algebra complexă, îndeplinesc condițiile:

a+a = 2a* 1, unde a R, (14)

a* a = d*1, unde d R. (15)

Elementele a și a, ca conjugate în algebra cuaterniilor, îndeplinesc condițiile:

a + a \u003d 2a 1 * 1, unde a 1 R, (14 ")

a * a = d 1 *1, unde d 1 R. (15 /)

Scădeți din (14) și (15), respectiv (14 /) și (15"). Apoi:

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), apoi a = *1,

acestea. și este proporțional cu 1, ceea ce contrazice ipoteza.

Rezultă de aici că elementul conjugat cu a este același, indiferent dacă considerăm a ca un element al unei subalgebre complexe sau ca un element al unei subalgebre cuaternioane a unei algebre.

În mod similar |a| 2 = aa atât în ​​cazul unei subalgebre complexe, cât și în cazul unei subalgebre cuaternioane a unei algebre, astfel încât modulul elementului a A nu depinde de faptul dacă îl considerăm ca element al unei subalgebre complexe sau cuaternioane. a algebrei.

Atunci pentru orice a, b A egalitățile sunt adevărate:

A+ și = a *. (16)

Dacă a și b aparțin aceleiași subalgebre complexe a algebrei, atunci egalitățile (16) sunt proprietăți, conjugări în această subalgebră. Dacă aparțin unor subalgebre complexe diferite, atunci ele vor fi valabile ca proprietăți de conjugare în subalgebrei cuaternionice a algebrei.

Din = b și din a doua egalitate (16) rezultă că = ba, de unde

a + ba = c* 1, unde c R.

În (A, +, . R , .) definim produsul scalar (a, b) ca

a + ba = 2(a, b) * 1.

Să arătăm că (a, b) satisface toate proprietățile produs punctual:

1) (a, a) > 0 pentru a? 0 și (0, 0) = 0.

Într-adevăr,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

iar modulul unui număr complex, ca și modulul unui cuaternion, este strict pozitiv pentru a? 0 și este egal cu 0 pentru a = 0.

2) (a, b) = (b. a), deoarece

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, apoi (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) pentru k R.

Într-adevăr,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

rezultă din definiția produsului scalar și a primei egalități din (16).

Din (a, a) = |a| 2 1 care = |a|, adică, norma elementului a A coincide cu modulul a atât al numărului complex, cât și al cuaternionului.

Deoarece oricare două elemente a și b din algebră aparțin unei subalgebre complexe sau unui cuaternion, atunci

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Prin urmare, toate proprietățile produsului interior pentru (a, b) sunt satisfăcute. Aceasta implică faptul că algebra este o algebră liniară normată.

Teorema Frobenius generalizată. Orice algebră liniară alternativă peste câmpul numerelor reale cu diviziune și unitate este izomorfă cu una dintre cele patru algebre: câmpul numerelor reale, câmpul numerelor complexe, corpul cuaternionilor sau algebra octavelor.

Din moment ce, după cum s-a dovedit în teorema anterioară Dacă o algebră liniară alternativă peste câmpul numerelor reale cu diviziune și unitate este o algebră liniară normalizată, iar aceasta din urmă, după teorema Hurwitz, este izomorfă fie la câmpul numerelor reale, fie la câmpul numerelor complexe, fie la câmpul oblic al cuaternionilor, sau la algebra octavelor, atunci de aici rezultă enunțul teoremei.

:

YouTube enciclopedic

• 1 / 5

  Fie un corp care conține un corp ca subcorp R (\displaystyle \mathbb (R) ) numere reale și sunt îndeplinite două condiții:

  Cu alte cuvinte, L (\displaystyle \mathbb (L) ) este o algebră de diviziune finită asupra câmpului numerelor reale.

  Teorema Frobenius afirmă că orice astfel de corp L (\displaystyle \mathbb (L) ):

  Rețineți că teorema Frobenius se aplică numai extensiilor cu dimensiuni finite R (\displaystyle \mathbb (R) ). De exemplu, nu acoperă domeniul numerelor hiperreale ale analizei non-standard, care este, de asemenea, o extensie R (\displaystyle \mathbb (R) ), dar nu cu dimensiuni finite. Un alt exemplu este algebra funcțiilor raționale.

  Consecințele și observațiile

  Ultimele trei afirmații formează așa-numitul teorema generalizata Frobenius.

  Algebre de împărțire în câmpul numerelor complexe

  Algebra dimensiunii n peste câmpul numerelor complexe este o algebră a dimensiunii 2n de mai sus R (\displaystyle \mathbb (R) ). Corpul cuaternionului nu este o algebră peste un câmp C (\displaystyle \mathbb (C) ), din centru H (\displaystyle \mathbb (H) ) este un spațiu real unidimensional. Prin urmare, singura diviziune finită-dimensională algebră peste C (\displaystyle \mathbb (C) ) este algebră C (\displaystyle \mathbb (C) ).

  Ipoteza Frobenius

  Teorema conține condiția de asociativitate. Ce se întâmplă dacă refuzi această condiție? Conjectura Frobenius afirmă că, chiar și fără condiția de asociativitate pentru n diferită de 1, 2, 4, 8, în real spațiu liniar R n nu se poate defini structura unei algebre de diviziune. Ipoteza Frobenius a fost dovedită în anii '60. secolul XX.

  Eu gras n>1 in spatiu R n se definește înmulțirea biliniară fără divizori zero, apoi pe sferă S n-1 există n-1 câmpuri vectoriale liniar independente . Din rezultatele obținute de Adams asupra numărului câmpuri vectoriale pe sferă, rezultă că acest lucru este posibil doar pentru sfere S 1 , S 3 , S 7. Aceasta dovedește conjectura lui Frobenius.

  Vezi si

  Literatură

  • Bakhturin Yu. A. Structuri de bază ale algebrei moderne. - M. : Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A. G. Prelegeri despre algebră generală. a 2-a ed. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L. S. Generalizări ale numerelor. - M. : Nauka, 1986. - 120 p. - (Biblioteca „Quantum”, numărul 54).

  Socoteală seturi
  Numere reale și extensiile acestora
  Instrumente de extensie sisteme de numere
  Ierarhia numerelor	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  Este evident că dacă, atunci pentru. Mai mult, vom arăta că pentru p. suficient de mare

  Lema nr. 1. Dacă matricea este nenegativă și ireductibilă, atunci

  Dovada:

  Dacă luăm un vector arbitrar și, atunci. Și să aibă loc vectorul, este evident că Z are macar același număr de elemente pozitive zero ca y. Într-adevăr, dacă presupunem că Z are mai puține componente zero, atunci notăm, atunci și împărțind matricea A în blocuri după cum urmează

  

  Vom avea

  

  Având în vedere că, atunci obținem asta, ceea ce contrazice ireductibilitatea matricei

  Pentru următorul vector, repetăm ​​raționamentul și așa mai departe. Ca rezultat, obținem asta pentru un vector diferit de zero y

  

  Pentru o matrice A ireductibilă diferită de zero, se consideră functie reala r(x) definit pentru vectori nenuli după cum urmează: , (Ax) i - coordonata i-a vector ah

  Din definiție rezultă că, și mai mult, r(x) este cea mai mică valoare, Ce

  Este evident că r(x) este invariant în ceea ce privește înlocuirea lui x cu, așa că în cele ce urmează putem considera o mulțime închisă precum

  

  Cu toate acestea, r(x) poate avea discontinuități în punctele în care coordonata x devine 0, deci luați în considerare un set de vectori și notați. După Lema 1, fiecare vector din N va fi pozitiv și, prin urmare

  Notează prin cel mai mare număr, pentru care, . - raza spectrală a matricei A. Dacă Se poate demonstra că există un vector y astfel încât

  Cometariu. Pot exista și alți vectori în L pentru care r(x) ia valoarea r, deci orice astfel de vector este numit extremal pentru matricea A (Az=rz)

  Interesul pentru numărul r se explică prin următorul rezultat

  Lema nr. 2. Dacă matricea este nenegativă și ireductibilă, atunci numărul este o valoare proprie a matricei A, în plus, fiecare vector extremal pentru A este pozitiv și este vectorul propriu corect pentru A corespunzător valorii proprii r

  Rezultatul principal este teorema Frobenius-Peron pentru matrici continue

  Teorema Frobenius-Peron. Dacă matricea este nenegativă și ireductibilă, atunci:

  A are o valoare proprie pozitivă egală cu raza spectrală a matricei A;

  există un drept pozitiv vector propriu corespunzătoare valorii proprii r.

  valoarea proprie are multiplicitatea algebrică egală cu 1.

  Teorema lui Perón (corolarul). Pozitiv matrice pătrată A are o valoare proprie r pozitivă și reală, care are multiplicitatea algebrică 1 și depășește modulele tuturor celorlalte valori proprii matricea A. Acest r corespunde unui vector propriu pozitiv

  Folosind teorema Frobenius-Peron, se poate găsi valoarea maximă reală a unei matrice fără a utiliza polinomul caracteristic al matricei.

  Consecințele și observațiile

  • Această teoremă este strâns legată de teorema lui Hurwitz asupra algebrelor reale normate. Algebre de diviziune normată - numai $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$și algebra (neasociativă) a numerelor Cayley.
  • Când extindem sistemul de numere complexe, inevitabil pierdem unele proprietăți aritmetice: comutativitate (cuaternioni), asociativitate (algebra Cayley), etc.
  • Nu există un analog al sistemului cuaternion cu două (mai degrabă decât trei) unități de cuaternion.
  • câmpuri $\backslash mathbb\; R$Și $\backslash mathbb\; C$ sunt singurele algebre reale asociative și comutative cu dimensiuni finite fără divizori zero.
  • Corpul Quaternionului $\backslash mathbb\; H$ este singura algebră reală de dimensiune finită asociativă dar necomutativă fără divizori zero.
  • Algebra Cayley este singura algebră neasociativă alternativă reală cu dimensiuni finite fără divizori zero.

  Ultimele trei afirmații formează așa-numitul teorema Frobenius generalizată.

  Algebre de împărțire în câmpul numerelor complexe

  Algebra dimensiunii n peste câmp $\backslash mathbb\; C$ numerele complexe este o algebră a dimensiunilor 2n de mai sus $\backslash mathbb\; R$. Corpul Quaternionului $\backslash mathbb\; H$ nu este o algebră asupra unui câmp $\backslash mathbb\; C$, din centru $\backslash mathbb\; H$ este un spațiu real unidimensional. Prin urmare, singura diviziune finită-dimensională algebră peste $\backslash mathbb\; C$ este algebră $\backslash mathbb\; C$.

  Ipoteza Frobenius

  Teorema conține condiția de asociativitate. Ce se întâmplă dacă refuzi această condiție? Conjectura Frobenius afirmă că, chiar și fără condiția de asociativitate pentru n diferit de 1, 2, 4, 8, într-un spațiu liniar real R n nu se poate defini structura unei algebre de diviziune. Ipoteza Frobenius a fost dovedită în anii '60. secolul XX.

  Eu gras n>1 in spatiu R n se definește înmulțirea biliniară fără divizori zero, apoi pe sferă S n-1 există n-1 câmpuri vectoriale liniar independente . Din rezultatele obținute de Adams asupra numărului câmpuri vectoriale pe sferă, rezultă că acest lucru este posibil doar pentru sfere S 1 , S 3 , S 7. Aceasta dovedește conjectura lui Frobenius.

  Vezi si

  Scrieți o recenzie la articolul „Teorema lui Frobenius”

  Literatură

  • Bakhturin Yu. A. Structuri de bază ale algebrei moderne. - M .: Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A.G.. - M .: Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L.S.. - M .: Nauka, 1986. - 120 p. - (Biblioteca „Quantum”, numărul 54).

  Socoteală seturi

  ) Perioade Aritmetică calculabilă |header2= Numere reale
  și extensiile lor |header3= Instrumente de extensie
  sisteme de numere |heading4= Ierarhia numerelor |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Numere întregi $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Numere rationale $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Numere reale
  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	Numere complexe

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ Cuaternioane $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; puncte$ Octonii $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash puncte$ sedenioane |titlu5= Altele
  sisteme de numere

  |list5=Numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale Totul este împrăștiat. Unchiul a luat-o pe Natasha de pe cal și a condus-o cu mâna pe treptele slăbite de scândură ale verandei. În casă, netencuită, cu pereți din bușteni, nu era foarte curată - nu era clar că scopul oamenilor care locuiau era să nu existe pete, dar nu exista neglijență sesizabilă.
  Pe hol mirosea a mere proaspete, iar piei de lup și de vulpe atârnau. Unchiul și-a condus oaspeții prin holul din față într-o cameră mică cu o masă pliabilă și scaune roșii, apoi într-o cameră de zi cu un mesteacăn. masa rotundași o canapea, apoi într-un birou cu o canapea zdrențuită, un covor uzat și cu portrete ale lui Suvorov, tatăl și mama proprietarului, și el însuși în uniformă militară. În birou se simțea un miros puternic de tutun și de câini. În birou, unchiul le-a rugat pe oaspeți să se așeze și să se facă ca acasă, iar el a plecat. Certul, cu spatele necurățat, a intrat în birou și s-a întins pe canapea, curățându-se cu limba și dinții. Din birou era un coridor în care se vedeau paravane cu perdele rupte. Râsetele și șoaptele femeilor se auzeau din spatele paravanelor. Natasha, Nikolai și Petya s-au dezbrăcat și s-au așezat pe canapea. Petya s-a sprijinit de brațul lui și a adormit imediat; Natasha și Nikolai stăteau în tăcere. Fețele lor ardeau, erau foarte flămânzi și foarte veseli. S-au privit unul la altul (după vânătoare, în cameră, Nikolai nu a mai considerat necesar să-și arate superioritatea masculină față de sora lui); Natasha îi făcu cu ochiul fratelui ei și amândoi nu s-au reținut mult și au râs în hohote, neavând timp să se gândească la o scuză pentru râsul lor.
  Puțin mai târziu, unchiul meu a intrat îmbrăcat cu o haină cazac, pantaloni albaștri și cizme mici. Și Natasha a simțit că tocmai acest costum, în care și-a văzut cu surprindere și batjocură unchiul la Otradnoye, era un adevărat costum, care nu era mai rău decât redingotele și frac. Unchiul era și el vesel; nu numai că nu a fost jignit de râsul fratelui și al surorii sale (nu i-ar fi putut intra în cap că ar putea râde de viața lui), dar el însuși s-a alăturat râsetului lor fără cauză.
  „Așa este tânăra contesă – un marș curat – nu am văzut altul ca acesta!” - spuse el, dându-i lui Rostov o țeavă cu un cibouc lung și punând cealaltă cibouc scurt și tăiat. gest familiarîntre trei degete.
  - Am plecat o zi, desi omul a fost la timp si parca nu s-ar fi intamplat nimic!
  La scurt timp după unchi, ea a deschis ușa, evident că era o fată desculță după sunetul picioarelor ei, iar prin ușă, cu o tavă mare în mâini, a venit un gras, roșiatic, femeie frumoasă 40 de ani, cu bărbia dublă și buze pline și roșii. Ea, cu reprezentativitate ospitalieră și atractivitate în ochi și în fiecare mișcare, s-a uitat în jur la oaspeți și s-a închinat respectuos în fața lor, cu un zâmbet afectuos. În ciuda grosimii mai mult decât de obicei, obligând-o să-și dea pieptul și stomacul în față și să-și țină capul pe spate, această femeie (menajera unchiului) a pășit extrem de ușor. Se apropie de masă, puse tava jos și, cu mâinile ei albe și dolofane, scoase cu îndemânare și aranja sticlele, gustările și dulceațele pe masă. După ce a terminat, ea s-a îndepărtat și a rămas la ușă cu zâmbetul pe buze. „Iată ea și eu! Îl înțelegi acum pe unchiul tău?" înfăţişarea ei i-a spus lui Rostov. Cum să nu înțelegi: nu numai Rostov, ci și Natașa au înțeles unchiul și semnificația sprâncenelor încruntate și zâmbetul fericit, mulțumit de sine, care i-a încrețit puțin buzele în timp ce Anisya Fiodorovna a intrat. Pe tavă erau un herborist, lichioruri, ciuperci, prăjituri de făină neagră pe yurag, fagure, miere fiartă și efervescentă, mere, nuci crude și prăjite și nuci în miere. Apoi Anisya Fyodorovna a adus dulceață cu miere și zahăr și șuncă și pui, proaspăt prăjite.
  Toate acestea erau gospodăria, colecția și dulceața Anisiei Fiodorovna. Toate acestea miroseau și rezonau și aveau gustul lui Anisya Fyodorovna. Totul a rezonat cu sucul, puritate, alb și un zâmbet plăcut.
  — Mănâncă, domnișoară contesa, spunea ea, dându-i lui Natasha un lucru, apoi altul. Natasha a mâncat de toate și i s-a părut că nu a văzut și nici nu a mâncat astfel de prăjituri pe yuraga, cu un asemenea buchet de gemuri, nuci pe miere și un astfel de pui. Anisia Fiodorovna a ieşit. Rostov și unchiul său, spălându-și cina cu lichior de cireșe, au vorbit despre vânătoarea trecută și viitoare, despre Rugai și câinii Ilaginsky. Natasha, cu ochii strălucitori, stătea drept pe canapea, ascultându-i. De câteva ori a încercat să o trezească pe Petya să-i dea ceva de mâncare, dar el a spus ceva de neînțeles, evident că nu se trezea. Natasha era atât de veselă la inimă, atât de fericită în acest nou mediu pentru ea, încât se temea doar că droshky va veni la ea prea curând. După o tăcere accidentală, așa cum se întâmplă aproape întotdeauna cu oamenii care își primesc cunoștințele pentru prima dată în casa lor, unchiul a spus, răspunzând gândului pe care îl aveau oaspeții săi:
  „Așa că îmi trăiesc viața... Dacă mori, este un marș pur – nu va mai rămâne nimic.” Ce păcat atunci!
  Chipul unchiului era foarte semnificativ și chiar frumos când a spus asta. În același timp, Rostov și-a amintit involuntar tot ceea ce a auzit lucruri bune de la tatăl său și de la vecini despre unchiul său. Unchiul meu avea o reputație în tot cartierul provinciei ca fiind cel mai nobil și mai dezinteresat excentric. A fost chemat să judece cauze de familie, a fost numit executor, i s-au încredințat secrete, a fost ales judecător și alte funcții, dar din serviciu public s-a încăpățânat să refuze, petrecând toamna și primăvara pe câmp pe castronul său maro, iarna stând acasă, întins în grădina lui plină de vegetație vara.