Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele de care aveți nevoie livrare cu succes UTILIZAȚI la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide solutii, capcane si UTILIZAȚI secrete. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul contine 5 subiecte mari, 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Probleme de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referinta, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltare imaginația spațială. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicație vizuală concepte complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru solutie sarcini provocatoare 2 părți ale examenului.
Teorema
Dacă drept, nu aparținând avionului, este paralel cu o dreaptă din acest plan, apoi este și paralel cu planul însuși.
Dovada
Fie α un plan, a o dreaptă care nu se află în el și a1 o dreaptă în planul α paralelă cu dreapta a. Să desenăm planul α1 prin dreptele a și a1. Planele α și α1 se intersectează de-a lungul dreptei a1. Dacă dreapta a ar intersecta planul α, atunci punctul de intersecție ar aparține dreptei a1. Dar acest lucru este imposibil, deoarece liniile a și a1 sunt paralele. Prin urmare, linia a nu intersectează planul α și, prin urmare, este paralelă cu planul α. Teorema a fost demonstrată.
18. Avioane
Dacă două plane paralele se intersectează cu un al treilea, atunci liniile de intersecție sunt paralele.(Fig. 333).
Într-adevăr, conform definiției Liniile paralele sunt drepte care se află în același plan și nu se intersectează. Liniile noastre se află în același plan - planul secant. Ele nu se intersectează, deoarece planurile paralele care le conțin nu se intersectează.
Deci liniile sunt paralele, ceea ce am vrut să demonstrăm.
Proprietăți
§ Dacă planul α este paralel cu fiecare dintre cele două drepte care se intersectează situate în celălalt plan β, atunci aceste plane sunt paralele
§ Dacă două plane paralele sunt intersectate de o treime, atunci liniile de intersecție ale acestora sunt paralele
§ Printr-un punct din afara unui plan dat se poate trasa un plan paralel cu unul dat si, in plus, doar unul
§ Segmentele de drepte paralele mărginite de două plane paralele sunt egale
§ Două unghiuri cu laturile, respectiv paralele și egal direcționate, sunt egale și se află în planuri paralele
19.
Dacă două linii se află în același plan, unghiul dintre ele este ușor de măsurat - de exemplu, folosind un raportor. Și cum se măsoară unghiul dintre linie și plan?
Lasă linia să intersecteze planul și nu într-un unghi drept, ci sub un alt unghi. O astfel de linie se numește oblic.
Să aruncăm o perpendiculară dintr-un punct înclinat pe planul nostru. Conectați baza perpendicularei la punctul de intersecție al înclinului și al planului. Avem proiecția unui plan oblic.
Unghiul dintre o linie și un plan este unghiul dintre o dreaptă și proiecția acesteia pe un plan dat..
Vă rugăm să rețineți - alegem un unghi ascuțit ca unghi între linie și plan.
Dacă o dreaptă este paralelă cu un plan, atunci unghiul dintre linie și plan este zero.
Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, proiecția ei pe plan este un punct. Evident, în acest caz unghiul dintre linie și plan este de 90°.
O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan..
Aceasta este definiția. Dar cum să lucrezi cu el? Cum se verifică dacă o anumită linie este perpendiculară pe toate liniile aflate în plan? La urma urmei, există un număr infinit de ele.
În practică, se aplică semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan:
O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în acel plan.
21. Unghiul diedric- spațială figură geometrică, format din două semiplane care emană dintr-o linie dreaptă, precum și o parte din spațiu delimitată de aceste semiplane.
Se spune că două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedric dintre ele este de 90 de grade.
§ Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.
§ Dacă dintr-un punct aparţinând unuia dintre cei doi planuri perpendiculare, trageți o perpendiculară pe un alt plan, apoi această perpendiculară se află complet în primul plan.
§ Dacă în unul din cele două plane perpendiculare trasăm o perpendiculară pe linia lor de intersecție, atunci această perpendiculară va fi perpendiculară pe al doilea plan.
Două plane care se intersectează formează patru unghiuri diedrice cu o muchie comună: perechi unghiuri verticale sunt egale și suma a două unghiuri adiacente este de 180°. Dacă unul dintre cele patru unghiuri este drept, atunci celelalte trei sunt, de asemenea, egale și drepte. Două plane se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este drept.
Teorema. Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci acele plane sunt perpendiculare.
Fie și două plane astfel încât să treacă prin dreapta AB, perpendiculară și intersectându-se cu ea în punctul A (Fig. 49). Să demonstrăm că _|_ . Planele și se intersectează de-a lungul unei drepte AC și AB _|_ AC, deoarece AB _|_ . Să desenăm o dreaptă AD în plan, perpendiculară pe dreapta AC.
Atunci unghiul BAD este un unghi liniar unghi diedru, educat și . Dar< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Un poliedru este un corp a cărui suprafață este formată dintr-un număr finit de poligoane plate.
1. oricare dintre poligoanele care alcătuiesc poliedrul, se poate ajunge la oricare dintre ele mergând la cel adiacent acestuia, iar de la acesta, la rândul său, la cel adiacent acestuia etc.
Aceste poligoane se numesc chipuri, laturile lor - coaste, iar vârfurile lor sunt culmi poliedru. Cele mai simple exemple de poliedre sunt poliedre convexe, adică granița unei submulțimi mărginite a spațiului euclidian, care este intersecția unui număr finit de semi-spații.
Definiția de mai sus a unui poliedru capătă o semnificație diferită în funcție de modul în care este definit poligonul, pentru care sunt posibile următoarele două opțiuni:
§ Linii întrerupte plate închise (chiar dacă se auto-intersectează);
§ Părţi ale planului delimitate prin linii întrerupte.
În primul caz, obținem conceptul de poliedru stelar. În al doilea, un poliedru este o suprafață compusă din piese poligonale. Dacă această suprafață nu se intersectează, atunci este întreaga suprafață a unui corp geometric, care se mai numește și poliedru. De aici apare a treia definiție a poliedrului, ca însuși corpul geometric.
prismă dreaptă
Prisma se numește Drept daca coaste laterale perpendicular pe baze.
Prisma se numește oblic dacă marginile sale laterale nu sunt perpendiculare pe baze.
O prismă dreaptă are fețe care sunt dreptunghiuri.
Prisma se numește corect dacă bazele sale sunt poligoane regulate.
Aria suprafeței laterale a prismei se numește suma ariilor fețelor laterale.
Suprafața completă a prismei egală cu suma suprafeţei laterale şi a ariilor bazelor
Elemente prisme:
Puncte - numite vârfuri
Segmentele se numesc margini laterale
Poligoanele și - se numesc baze. Avioanele în sine sunt numite și baze.
24. Paralelepiped(din greacă παράλλος - paralel și greaca επιπεδον - plan) - o prismă, a cărei bază este un paralelogram, sau (echivalent) un poliedru, care are șase fețe și fiecare dintre ele este un paralelogram.
§ Paralepipedul este simetric fata de punctul mijlociu al diagonalei sale.
§ Orice segment cu capete aparținând suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei acestuia se împarte de acesta în jumătate; în special, toate diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și îl bisectează.
§ Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.
§ Patrat de lungime diagonala cuboid este egală cu suma pătrate din cele trei dimensiuni ale sale.
Suprafața unui cuboid este egală cu dublul sumei ariilor celor trei fețe ale acestui paralelipiped:
| 1. | S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac) |
25 .Piramida şi elementele ei
Luați în considerare un plan, un poligon care se află în el și un punct S care nu se află în el. Conectați S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc margini laterale. 
Poligonul se numește bază, iar punctul S este numit vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Titlu alternativ piramida triunghiulara – tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara trasă de la vârful ei la planul de bază. 
O piramidă se numește corectă dacă poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.
Programul este conceput pentru a calcula suprafața laterală piramida corecta.
Piramida este un poliedru cu o bază sub formă de poligon, iar fețele rămase sunt triunghiuri cu un vârf comun. 
Formula pentru calcularea suprafeței laterale a unei piramide obișnuite este:
unde p este perimetrul bazei (poligonul ABCDE),
a - apotema (OS);
Apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, care este desenată din vârful acesteia.
Pentru a găsi suprafața laterală a unei piramide obișnuite, introduceți perimetrul piramidei și valorile apotemelor, apoi faceți clic pe butonul „CALCULATE” Programul va determina suprafața laterală a unei piramide obișnuite, a cărei valoare poate fi plasat pe clipboard.
Piramida trunchiată
| O piramidă trunchiată este o parte piramida completaînchis între bază și o secțiune paralelă cu aceasta. | |
| Secțiunea transversală se numește baza superioară a unei piramide trunchiate, iar baza piramidei complete este baza de jos trunchi de piramidă. (Bazele sunt similare.) Fețe laterale trunchi de piramidă - trapez. Într-o piramidă trunchiată 3 n coaste, 2 n culmi, n+ 2 fețe, n(n- 3) diagonale. Distanța dintre bazele superioare și inferioare este înălțimea piramidei trunchiate (segmentul tăiat de la înălțimea piramidei întregi). |  |
| Pătrat suprafata intreaga piramida trunchiată este egală cu suma ariilor fețelor sale. | |
| Volumul piramidei trunchiate ( Sși s- suprafata de baza, H- inaltime) |  |
Corpul de rotație numit corp format ca urmare a rotației unei linii în jurul unei drepte.
Un cilindru circular drept este înscris într-o sferă dacă cercurile bazelor sale se află pe sferă. Bazele cilindrului sunt cercuri mici ale mingii, centrul mingii coincide cu mijlocul axei cilindrului. [ 2 ]
Un cilindru circular drept este înscris într-o sferă dacă cercurile bazelor sale se află pe sferă. Evident, centrul sferei nu se află nici în mijlocul axei cilindrului. [ 3 ]
Volumul oricărui cilindru este egal cu produsul zona de bază la înălțime:
| 1. | V=π r 2 h |
Suprafata intreaga suprafața cilindrului este egală cu suma suprafeței laterale a cilindrului și pătrat dublu baza cilindrului.
Formula pentru calcularea suprafeței totale a unui cilindru este:
27. Un con rotund poate fi obținut prin rotație triunghi dreptunghicîn jurul unuia dintre picioarele sale, deci conul rotund este numit și con de revoluție. Vezi și Volumul unui con rotund
Suprafața totală a unui con circular este egală cu suma ariilor suprafeței laterale a conului și bazei acestuia. Baza unui con este un cerc, iar aria lui este calculată folosind formula pentru aria unui cerc:
| 2. | S=π r l+π r 2=π r(r+l) |
28. Frustum obţinut prin trasarea unei secţiuni paralele cu baza unui con. Corpul delimitat de această secțiune, baza și suprafața laterală a conului se numește trunchi de con. Vezi și Volumul unui trunchi de con
Suprafața totală a unui trunchi de con este egală cu suma ariilor suprafeței laterale a trunchiului de con și a bazelor acestuia. Bazele unui trunchi de con sunt cercuri, iar aria lor este calculată folosind formula pentru aria unui cerc: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)l+ r 2 2)
29. Minge - corp geometric delimitat de o suprafață ale cărei puncte sunt pe toate distanta egala din centru. Această distanță se numește raza sferei.
Sferă(greacă σφαῖρα - minge) - o suprafață închisă, loc geometric puncte din spațiu echidistante de un punct dat, numit centru al sferei. O sferă este un caz special de elipsoid, în care toate cele trei axe (jumătăți de axe, raze) sunt egale. O sferă este suprafața unei mingi.
Aria suprafeței sferice a segmentului sferic (sectorul sferic) și a stratului sferic depinde numai de înălțimea lor și de raza bilei și este egală cu circumferința cercului mare al bilei, înmulțită cu înălțimea.
Volumul mingii egal cu volumul piramidei, a cărei bază are aceeași zonă ca suprafața mingii, iar înălțimea este raza mingii
Volumul unei sfere este de o ori și jumătate mai mic decât volumul unui cilindru circumscris în jurul acesteia.
elemente bile
Segment de bilă Planul de tăiere împarte bila în două segmente de bilă. H- înălțimea segmentului, 0< H < 2 R,
r- raza bazei segmentului,  Volumul segmentului mingii  Aria suprafeței sferice a segmentului sferic |  |
| Stratul sferic Un strat sferic este o parte a unei sfere închisă între două secțiuni paralele. Distanța ( H) între secțiuni se numește înălțimea stratului, și secțiunile în sine - bazele straturilor. Suprafața sferică ( volum) a stratului sferic poate fi găsită ca diferență de zone suprafete sferice(volume) de segmente sferice. |  |
1. Înmulțirea unui vector cu un număr(Fig. 56).
Produs vectorial DAR pe număr λ numit vector LA, al cărui modul este egal cu produsul dintre modulul vectorului DAR pe număr modulo λ :
Direcția nu se schimbă dacă λ > 0 ; se schimbă în sens invers dacă λ < 0 . În cazul în care un λ = −1, apoi vectorul
numit vector, vector opus DAR, și este notat
2. Adăugarea vectorului. Pentru a afla suma a doi vectori DARși LA vector
Apoi suma va fi un vector, începutul căruia coincide cu începutul primului, iar sfârșitul - cu sfârșitul celui de-al doilea. Această regulă de adunare vectorială este numită „regula triunghiului” (Fig. 57). este necesar să se descrie vectorii sumand astfel încât începutul celui de-al doilea vector să coincidă cu sfârșitul primului.
Este ușor de demonstrat că pentru vectori „suma nu se schimbă dintr-o modificare a locurilor termenilor”.
Să mai indicăm o regulă pentru adăugarea vectorilor - „regula paralelogramului”. Dacă combinăm începuturile vectorilor sumand și construim pe ele un paralelogram, atunci suma va fi un vector care coincide cu diagonala acestui paralelogram (Fig. 58).
Este clar că adăugarea conform „regula paralelogramului” duce la același rezultat ca și conform „regula triunghiului”.
„Regula triunghiului” este ușor de generalizat (în cazul mai multor termeni). Pentru a găsi suma vectorilor
Este necesar să combinați începutul celui de-al doilea vector cu sfârșitul primului, începutul celui de-al treilea - cu sfârșitul celui de-al doilea etc. Apoi începutul vectorului Cu coincide cu începutul primului și cu sfârșitul Cu- cu capătul acestuia din urmă (Fig. 59).
3. Scăderea vectorilor. Operația de scădere se reduce la cele două operații anterioare: diferența a doi vectori este suma primului cu vectorul opus celui de-al doilea:
De asemenea, puteți formula „regula triunghiului” pentru scăderea vectorilor: este necesar să combinați începuturile vectorilor DARși LA, atunci diferența lor va fi vectorul
Desenat de la capătul vectorului LA spre sfârșitul vectorului DAR(Fig. 60).
În cele ce urmează, vom vorbi despre vectorul deplasării punct material, adică un vector care leagă pozițiile inițiale și finale ale punctului. De acord că regulile de acțiune introduse asupra vectorilor sunt destul de evidente pentru vectorii de deplasare.
4. Produsul scalar al vectorilor. rezultat produs punctual doi vectori DARși LA este numărul c egal cu produsul modulelor vectorilor și cosinusul unghiului α între
Produsul scalar al vectorilor este utilizat pe scară largă în fizică. Pe viitor, de multe ori va trebui să ne confruntăm cu o astfel de operațiune.
Articolul are în vedere conceptele de paralelism a unei drepte și a unui plan, vor fi luate în considerare principalele definiții și vor fi date exemple. Luați în considerare semnul de paralelism al unei linii drepte la un plan cu condiții necesare și suficiente pentru paralelism, vom rezolva exemple de sarcini în detaliu.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiția 1
Linia și planul se numesc paralel dacă nu au puncte comune, adică nu se intersectează.
Paralelismul este indicat prin „∥”. Dacă în sarcina prin condiție dreapta a și planul α sunt paralele, atunci notația este a ∥ α . Luați în considerare figura de mai jos.
Se crede că linia a, paralelă cu planul α și planul α, paralel cu dreapta a, sunt echivalente, adică linia și planul sunt paralele între ele în orice caz.
Paralelismul unei drepte și al unui plan - semn și condiții de paralelism
Nu este întotdeauna evident că o dreaptă și un plan sunt paralele. De multe ori acest lucru trebuie dovedit. Necesar de folosit condiție suficientă, care va garanta paralelismul. Un astfel de semn se numește semnul paralelismului unei drepte și al unui plan.Se recomandă studierea mai întâi a definiției dreptelor paralele.
Teorema 1
Dacă o dreaptă a, care nu se află în planul α, este paralelă cu dreapta b, care aparține planului α, atunci linia a este paralelă cu planul α.
Luați în considerare teorema folosită pentru a stabili paralelismul unei drepte cu un plan.
Teorema 2
Dacă una dintre cele două linii paralele este paralelă cu un plan, atunci cealaltă dreaptă se află sau este paralelă cu acel plan.
O dovadă detaliată este luată în considerare în manualul claselor 10 - 11 despre geometrie. O condiție necesară și suficientă pentru paralelismul unei drepte cu un plan este posibilă dacă există o definiție a vectorului de direcție al dreptei și a vectorului normal al planului.
Teorema 3
Pentru paralelismul dreptei a, care nu aparține planului α și planului dat, o condiție necesară și suficientă este perpendicularitatea vectorului de direcție pe dreapta cu vector normal avion dat.
Condiția este aplicabilă atunci când este necesar să se dovedească paralelismul în sistem dreptunghiular coordonate spatiu tridimensional. Să ne uităm la dovada detaliată.
Dovada
Să presupunem că linia a din sistemul de coordonate O x y este dată de ecuațiile canonice ale dreptei din spațiu, care au forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z sau ecuații parametrice linie în spațiu x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ , plan α cu ecuații generale ale planului A x + B y + C z + D = 0 .
Prin urmare a → = (a x, a y, a z) este un vector de direcție cu coordonatele dreptei a, n → = (A, B, C) este vectorul normal al planului dat alfa.
Pentru a demonstra perpendicularitatea lui n → = (A , B , C) și a → = (a x , a y , a z) , trebuie să utilizați conceptul de produs scalar. Adică cu produsul a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C, rezultatul trebuie să fie egal cu zero din condiția de perpendicularitate a vectorilor.
Aceasta înseamnă că condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptei și planului se scrie astfel: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Prin urmare a → = (a x , a y , a z) este vectorul de direcție al dreptei a cu coordonate, iar n → = (A , B , C) este vectorul normal al planului α .
Exemplul 1
Să se determine dacă dreapta x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ este paralelă cu planul x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
Decizie
Obținem că linia furnizată nu aparține planului, deoarece coordonatele dreptei M (1 , - 2 , 2) nu se potrivesc. Când înlocuim, obținem că 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
Este necesar să se verifice fezabilitatea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul unei drepte și al unui plan. Obținem că coordonatele vectorului de direcție al dreptei x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ au valorile a → = (2 , 3 , - 4) .
Vectorul normal pentru planul x + 6 y + 5 z + 4 = 0 este n → = (1 , 6 , 5) . Să trecem la calculul produsului scalar al vectorilor a → și n → . Obținem că a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .
Prin urmare, perpendicularitatea vectorilor a → și n → este evidentă. Rezultă că linia și planul sunt paralele.
Răspuns: linia și planul sunt paralele.
Exemplul 2
Să se determine paralelismul dreptei A B în planul de coordonate O y z când coordonatele sunt date A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) .
Decizie
Prin condiție, se poate observa că punctul A (2, 3, 0) nu se află pe axa O x, deoarece valoarea lui x nu este egală cu 0.
Pentru planul O x z, vectorul cu coordonatele i → = (1 , 0 , 0) este considerat a fi un vector normal al acestui plan. Notă vectorul direcție al dreptei A B ca A B → . Acum, folosind coordonatele începutului și sfârșitului, calculăm coordonatele vectorului A B . Obținem că A B → = (2 , - 4 , - 7) . Este necesar să se verifice fezabilitatea condițiilor necesare și suficiente pentru vectorii A B → = (2 , - 4 , - 7) și i → = (1 , 0 , 0) pentru a determina perpendicularitatea acestora.
Să scriem A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 .
De aici rezultă că linia A B c plan de coordonate O y z nu sunt paralele.
Răspuns: nu sunt paralele.
Nu întotdeauna condiția specificată contribuie definire usoara dovada paralelismului unei drepte si a unui plan. Este necesar să se verifice dacă linia a aparține planului α . Mai există o condiție suficientă prin care se dovedește paralelismul.
Pentru o linie dreaptă dată a folosind ecuația a două plane care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0, prin planul α - ecuație generală planul A x + B y + C z + D = 0 .
Teorema 4
O condiție necesară și suficientă pentru paralelismul dreptei a și planului α este absența soluțiilor sistemului. ecuatii lineare, având forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .
Dovada
Din definiție rezultă că dreapta a cu planul α nu trebuie să aibă puncte comune, adică nu trebuie să se intersecteze, doar în acest caz vor fi considerate paralele. Aceasta înseamnă că sistemul de coordonate O x y z nu ar trebui să aibă puncte care îi aparțin și care să satisfacă toate ecuațiile:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , precum și ecuația planului A x + B y + C z + D = 0 .
Prin urmare, un sistem de ecuații care are forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , se numește inconsistent.
Opusul este adevărat: dacă nu există soluții pentru sistemul A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 nu există puncte în O x y z care să satisfacă toate ecuații date simultan. Obținem că nu există un astfel de punct cu coordonate care ar putea fi imediat soluții ale tuturor ecuațiilor A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 iar ecuaţiile A x + B y + C z + D = 0 . Aceasta înseamnă că avem o dreaptă paralelă și un plan, deoarece punctele lor de intersecție sunt absente.
Sistemul de ecuații A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 nu are soluție, atunci când rangul matricei principale este mai mic decât rangul matricei extinse. Acest lucru este verificat de teorema Kronecker-Capelli pentru rezolvarea ecuațiilor liniare. Puteți aplica metoda Gauss pentru a determina incompatibilitatea acesteia.
Exemplul 3
Demonstrați că dreapta x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 este paralelă cu planul 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Decizie
Pentru solutii acest exemplu ar trebui să se mute de la ecuație canonică direct la forma ecuației a două plane care se intersectează. Hai sa o scriem asa:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Pentru a demonstra paralelismul dreptei date x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 cu planul 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , este necesară transformarea ecuațiilor într-un sistem de ecuațiile x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Vedem ca nu este rezolvabil, asa ca vom apela la metoda Gauss.
După ce am scris ecuațiile, obținem că 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
De aici concluzionăm că sistemul de ecuații este inconsecvent, deoarece linia și planul nu se intersectează, adică nu au puncte comune.
Concluzionăm că linia x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 și planul 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 sunt paralele, deoarece condiția necesară și suficientă pentru paralelismul avion cu o linie dată a fost îndeplinită.
Răspuns: linia și planul sunt paralele.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Câteva consecințe ale axiomelor
Teorema 1:
Printr-o linie și un punct care nu se află pe ea trece un avion și, în plus, doar unul.
Dat: M ₵ a
Demonstrați: 1) Există α: a∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α este singurul
Dovada:
1) Pe linie dreaptă și selectați puncte Pși Q. Atunci avem 3 puncte - R, Q, M care nu se află pe aceeași linie.
2) Conform axiomei A1, un plan trece prin trei puncte care nu se află pe o singură dreaptă și, în plus, doar unul, adică. planul α, care conține dreapta a și punctul M, exista.
3) Acum să demonstrăm astaα singurul. Să presupunem că există un plan β care trece atât prin punctul M, cât și prin dreapta a, dar apoi acest plan prin puncteP, Q, M.Și după trei puncte P, Q, M, neîntins pe o singură dreaptă, în virtutea axiomei 1, trece un singur plan.
4) Prin urmare, acest plan coincide cu planul α.Prin urmare 1) Pe o linie dreaptă, dar alegeți puncte Pși Q. Atunci avem 3 puncte - P, Q, M, care nu se află pe aceeaşi linie.Prin urmare α este unic.
Teorema a fost demonstrată.
1) Pe dreapta b, se ia un punct N, care nu coincide cu punctul M, adică N ∈ b, N≠M
2) Atunci avem un punct N, care nu aparține dreptei a. Conform teoremei anterioare, un plan trece printr-o dreaptă și un punct care nu se află pe ea. Să-i spunem planul α. Aceasta înseamnă că un astfel de plan care trece prin dreapta a și punctul N există.
3) Să demonstrăm unicitatea acestui plan. Să presupunem contrariul. Să existe un plan β astfel încât să treacă atât prin dreapta a cât și prin dreapta b. Dar apoi trece și prin dreapta a și punctul N. Dar, după teorema anterioară, acest plan este unic, adică. planul β coincide cu planul α.
4) Deci, am demonstrat existența unui plan unic care trece prin două drepte care se intersectează.
Teorema a fost demonstrată.
Teorema liniilor paralele
Teorema:
Prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o dreaptă paralelă cu dreapta dată.
Dat: drept a, M₵ a
Dovedi:Există o singură directăb ∥ a, M ∈ b
Dovada:
1) Prin dreapta a și punctul M, care nu se află pe ea, se poate desena un singur plan (1 corolar). În planul α se poate trasa o dreaptă b, paralelă cu a, care trece prin M.
2) Să demonstrăm că este singurul. Să presupunem că există o altă dreaptă c care trece prin punctul M și paralelă cu dreapta a. Fie drepte paralele a și c să se afle în planul β. Atunci β trece prin M și linia a. Dar prin dreapta a și punctul M trece planul α.
3) Prin urmare, α și β coincid. Din axioma dreptelor paralele rezultă că dreptele b și c coincid, deoarece există o singură dreaptă în plan care trece prin punct datși paralel cu o dreaptă dată.
Teorema a fost demonstrată.
Definiția dreptelor paralele și proprietățile lor în spațiu sunt aceleași ca și în plan (vezi punctul 11).
În același timp, este posibil încă un caz de aranjare a liniilor în spațiu - linii oblice. Liniile care nu se intersectează și nu se află în același plan se numesc drepte de intersectare.
Figura 121 prezintă aspectul sufrageriei. Vedeți că liniile cărora le aparțin segmentele AB și BC sunt oblice.
Unghiul dintre liniile care se intersectează este unghiul dintre liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest unghi nu depinde de ce linii de intersectare sunt luate.
Se presupune că gradul de măsurare a unghiului dintre liniile paralele este zero.
O perpendiculară comună a două drepte care se intersectează este un segment cu capete pe aceste drepte, care este o perpendiculară pe fiecare dintre ele. Se poate dovedi că două drepte care se intersectează au o perpendiculară comună și, în plus, doar una. Este o perpendiculară comună a planurilor paralele care trec prin aceste drepte.
Distanța dintre liniile care se intersectează este lungimea perpendicularei lor comune. Este egală cu distanța dintre planele paralele care trec prin aceste drepte.
Astfel, pentru a afla distanța dintre dreptele care se intersectează a și b (Fig. 122), este necesar să se deseneze plane paralele a și prin fiecare dintre aceste drepte. Distanța dintre aceste planuri va fi distanța dintre liniile care se intersectează a și b. În figura 122, această distanță este, de exemplu, distanța AB.
Exemplu. Dreptele a și b sunt paralele și liniile c și d se intersectează. Fiecare dintre liniile a și poate intersecta ambele linii
Decizie. Dreptele a și b se află în același plan și, prin urmare, orice dreaptă care intersectează fiecare dintre ele se află în același plan. Prin urmare, dacă fiecare dintre liniile a, b intersectează ambele drepte c și d, atunci liniile s-ar afla în același plan cu liniile a și b și acest lucru nu poate fi, deoarece liniile se intersectează.
42. Paralelismul unei drepte și al unui plan.
O dreaptă și un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează, adică nu au puncte comune. Dacă dreapta a este paralelă cu planul a, atunci se scrie:.
Figura 123 prezintă o dreaptă a paralelă cu planul a.
Dacă o dreaptă care nu aparține unui plan este paralelă cu o dreaptă din acest plan, atunci este și paralelă cu planul însuși (un semn de paralelism al dreptei și al planului).
Această teoremă permite situație specifică Demonstrați că o dreaptă și un plan sunt paralele. Figura 124 prezintă o dreaptă b paralelă cu o dreaptă a situată în planul a, adică de-a lungul dreptei b paralelă cu planul a, adică.
Exemplu. Prin vârf unghi drept Din dreptunghiular triunghiul ABC Un plan este trasat paralel cu ipotenuza la o distanta de 10 cm de aceasta. Proiecțiile catetelor pe acest plan sunt de 30 și 50 cm.Aflați proiecția ipotenuzei pe același plan.
Decizie. Din triunghiuri dreptunghiulare BBVC și (Fig. 125) găsim:
Din triunghiul ABC găsim:
Proiecția ipotenuzei AB pe planul a este . Deoarece AB este paralel cu planul a, atunci So,.
43. Planuri paralele.
Două plane se numesc paralele. dacă nu se intersectează.
Două plane sunt paralele” dacă unul dintre ele este paralel cu două drepte care se intersectează situate într-un alt plan (un semn de paralelism a două plane).
În figura 126, planul a este paralel cu liniile de intersectare a și b aflate în plan, apoi de-a lungul acestor plane sunt paralele.
Printr-un punct din afara unui plan dat se poate trasa un plan paralel cu cel dat și, mai mult, doar unul.
Dacă două plane paralele se intersectează cu un al treilea, atunci liniile de intersecție sunt paralele.
Figura 127 prezintă două plane paralele, iar planul y le intersectează de-a lungul liniilor drepte a și b. Apoi, prin teorema 2.7, putem afirma că dreptele a și b sunt paralele.
Segmentele de drepte paralele cuprinse între două plane paralele sunt egale.
Conform T.2.8, segmentele AB și prezentate în Figura 128 sunt egale, deoarece
Lasă aceste planuri să se intersecteze. Desenați un plan perpendicular pe dreapta intersecției lor. El intersectează aceste planuri de-a lungul a două linii drepte. Unghiul dintre aceste drepte se numește unghiul dintre aceste planuri (Fig. 129). Unghiul dintre planele astfel definite nu depinde de alegerea planului secant.
