Ideea intuitivă a numărului este aparent la fel de veche ca umanitatea însăși, deși este, în principiu, imposibil de urmărit cu certitudine toate etapele incipiente ale dezvoltării sale. Înainte ca o persoană să învețe să numere sau să inventeze cuvinte pentru numere, el avea, fără îndoială, o idee vizuală, intuitivă a numărului, care i-a permis să distingă între o persoană și două persoane, sau două și mai multe persoane. Ce oameni primitivi la început știau doar „unul”, „doi” și „multe”, este confirmat de faptul că în unele limbi, de exemplu, în greacă, există trei forme gramaticale: singular, număr dublu și plural. Mai târziu, omul a învățat să distingă între doi și trei copaci și între trei și patru persoane. Numărarea a fost asociată inițial cu un set foarte specific de obiecte, iar prenumele numerelor erau adjective. De exemplu, cuvântul „trei” a fost folosit doar în combinațiile „trei copaci” sau „trei oameni”; ideea că aceste seturi au ceva în comun – conceptul de trinitate – cere grad înalt abstractizare. Despre faptul că a apărut contul înainte de venire Acest nivel de abstractizare este evidențiat de faptul că cuvintele „unu” și „primul”, precum și „doi” și „al doilea”, în multe limbi nu au nimic în comun unul cu celălalt, în timp ce cuvintele „unu” care se află în afara contului primitiv, „doi”, „multe”, cuvintele „trei” și „al treilea”, „patru” și „al patrulea” indică în mod clar relația dintre numerele cardinale și ordinale.

Numele numerelor, exprimând idei foarte abstracte, au apărut, fără îndoială, mai târziu decât primele simboluri brute pentru desemnarea numărului de obiecte dintr-o anumită populație. LA cele mai vechi timpuriînregistrările numerice primitive au fost făcute sub formă de crestături pe un băț, noduri pe o frânghie așezate într-un șir de pietricele și s-a înțeles că există o corespondență unu-la-unu între elementele setului care se numără și simboluri ale înregistrării numerice. Dar pentru a citi astfel de înregistrări numerice, numele numerelor nu au fost folosite direct. Acum recunoaștem dintr-o privire seturi de două, trei și patru elemente; seturile formate din cinci, șase sau șapte elemente sunt oarecum mai greu de recunoscut dintr-o privire. Iar dincolo de această limită, este practic imposibil să stabilim numărul lor prin ochi, iar analiza este necesară fie sub formă de relatare, fie într-o anumită structurare a elementelor. Numărarea pe etichete pare să fi fost prima tehnică folosită în cazuri similare: au fost localizate crestături de pe etichete anumite grupuri la fel ca atunci când se numără buletinele de vot, acestea sunt adesea grupate în pachete de cinci sau zece. Numărarea degetelor era foarte răspândită și este foarte posibil ca numele unor numere să provină tocmai din această metodă de numărare.

O caracteristică importantă a contului este conectarea numelor numerelor cu o anumită schemă de numărare. De exemplu, cuvântul „douăzeci și trei” nu este doar un termen care înseamnă un grup de obiecte bine definit (prin numărul de elemente); este un termen compus care înseamnă „de două ori zece și trei”. Aici este clar vizibil rolul numărului zece ca unitate colectivă sau fundație; și într-adevăr, mulți oameni numără cu zeci, pentru că, așa cum a notat Aristotel, avem zece degete pe mâini și pe picioare. Din același motiv s-au folosit bazele cinci sau douăzeci. În stadiile foarte timpurii ale dezvoltării istoriei omenirii, numerele 2, 3 sau 4 au fost luate ca baze ale sistemului numeric; uneori s-au folosit bazele 12 și 60 pentru unele măsurători sau calcule.

O persoană a început să numere cu mult înainte de a învăța să scrie, așa că nu a supraviețuit niciun document scris care să mărturisească cuvintele care denotau numere în antichitate. Triburile nomade se caracterizează prin nume orale de numere, dar în ceea ce privește cele scrise, nevoia lor a apărut abia odată cu trecerea la un mod de viață stabilit, formarea comunităților agricole. De asemenea, era nevoie de un sistem de înregistrare a numerelor și atunci s-au pus bazele dezvoltării matematicii.

Tipuri de bază de numere

Spre deosebire de octave, sedenioane S nu au proprietatea de alternativitate, dar păstrează proprietatea de asociativitate a puterii.

Pentru a reprezenta un întreg pozitiv x în memoria computerului, acesta este convertit în sistemul de numere binar. Numărul rezultat în sistemul de numere binar x 2 este o notație automată a corespunzătoare numar decimal x 10. Pentru a scrie numere negative, așa-numitele. un cod suplimentar al unui număr, care se obține prin adăugarea unuia la reprezentarea inversată a modulului unui număr negativ dat în sistemul numeric binar.

Reprezentarea numerelor reale în memoria computerului (în informatică termenul de număr în virgulă mobilă este folosit pentru a le desemna) are unele limitări asociate cu sistemul de numere utilizat, precum și cu cantitatea limitată de memorie alocată pentru numere. Astfel, doar unele dintre numerele reale pot fi reprezentate cu acuratețe în memoria computerului fără pierderi. În cea mai comună schemă, un număr în virgulă mobilă este scris ca un bloc de biți, dintre care unii sunt mantisa numărului, alții sunt gradul și un bit este alocat pentru a reprezenta semnul numărului (dacă este necesar, bitul de semn poate fi absent).

Număr este o abstractizare folosită pentru caracteristici cantitative obiecte. Apărând înapoi în societate primitivă din nevoile contului, conceptul de număr s-a schimbat și s-a îmbogățit și s-a transformat în cel mai important concept matematic. Prin caractere scrise(simbolurile) numerele sunt folosite pentru a scrie numere.

Tipuri de bază de numere

Primit cu cont natural; numerele naturale se notează cu . Acea. (uneori zero este inclus și în mulțimea numerelor naturale, adică). Numerele naturale sunt închise la adunare și înmulțire (dar nu și la scădere sau împărțire). Numerele naturale sunt comutative și asociative la adunare și înmulțire, iar înmulțirea numerelor naturale este distributivă la adunare.

Numere întregi, obținute prin unirea numerelor naturale cu mulțimea numerelor negative și zero, se notează cu . Numerele întregi sunt închise la adunare, scădere și înmulțire (dar nu și împărțire).

Numere rationale sunt numere reprezentate ca m/n (n≠0), unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Pentru numerele raționale, toate cele patru operații aritmetice „clasice” sunt definite: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea (cu excepția împărțirii cu zero). Semnul este folosit pentru a desemna numere raționale.

Numerele reale (reale). reprezintă o extensie a mulțimii numerelor raționale, închisă sub unele (important pentru analiză matematică) operațiuni trecere la limită. Mulțimea numerelor reale se notează cu . Poate fi privit ca o completare a câmpului numerelor raționale cu ajutorul unei norme, care este obișnuită valoare absolută. Pe lângă numerele raționale, include un set de numere iraționale care nu pot fi reprezentate ca raport de numere întregi. Pe lângă împărțirea în rațional și irațional, ele se împart și în algebrice și transcendentale. Mai mult, fiecare număr transcendental este irațional, fiecare număr rațional este algebric.

Numere complexe, care sunt o extensie a mulțimii numerelor reale. Ele pot fi scrise sub formă z = x + iy, Unde i- așa-zisul. unitate imaginară pentru care i 2 = − 1. Numerele complexe sunt folosite în rezolvarea problemelor mecanica cuantică, hidrodinamica, teoria elasticitatii etc.

Pentru seturile de numere enumerate, următoarea expresie este valabilă:

Numerele naturale care au ca factori doar pe ele însele și pe unul. Rând numere prime are forma: Orice număr natural N poate fi reprezentat ca produs al puterilor numerelor prime: 121968=2^4*3^2*5^0*7^1*11^2. Această proprietate este utilizată pe scară largă în criptografia practică.

Numere - tipuri, concepte și operații, numere naturale și alte tipuri de numere.

Număr - concept fundamental matematică, care servește la determinarea caracteristicilor cantitative, numerotarea, compararea obiectelor și a părților lor. Diverse operații aritmetice sunt aplicabile numerelor: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponențiarea și altele.

Numerele implicate în operație se numesc operanzi. În funcție de acțiunea efectuată, ei primesc denumiri diferite. LA caz general Schema de funcționare poate fi reprezentată după cum urmează:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

În operația de împărțire, primul operand se numește dividend (acesta este numele numărului care este împărțit). Al doilea (prin care se împarte) este un divizor, iar rezultatul este un coeficient (afișează de câte ori divizibilul este mai mare decât divizorul).

Tipuri de numere

Operatiunea de divizare poate implica diverse numere. Rezultatul împărțirii poate fi un număr întreg sau o fracție. În matematică există următoarele tipuri numere:

• Numerele naturale sunt folosite în numărare. Dintre acestea, se remarcă o submulțime de numere prime, având doar doi divizori: unul și el însuși. Toate celelalte, cu excepția lui 1, se numesc compuse și au mai mult de doi divizori (exemple de numere prime: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 etc.);
• Numerele întregi - o mulțime formată din numerele lor negative, pozitive și zero. La împărțirea unui număr întreg la altul, câtul poate fi întreg sau real (fracțional). Printre acestea, se poate distinge un subset de numere perfecte - egal cu suma toți divizorii săi (inclusiv 1) cu excepția lui însuși. Grecii antici cunoșteau doar patru numere perfecte. Secvența numerelor perfecte: 6, 28, 496, 8128, 33550336… Până acum, nu se cunoaște niciun număr perfect impar;
• Rațional - reprezentabil ca o fracție a / b, unde a este numărătorul și b este numitorul (coeficientul unor astfel de numere nu este de obicei calculat);
• Real (real) - conține un număr întreg și o parte fracțională. Setul include rațional și ir numere rationale(reprezentat ca o fracție zecimală infinită neperiodică). Coeficientul unor astfel de numere, de regulă, este o valoare reală.

Există mai multe caracteristici asociate cu implementarea operație aritmetică- diviziuni. Înțelegerea lor este importantă pentru a obține rezultatul corect:

• Nu poți împărți la zero (în matematică, această operație nu are sens);
• Împărțirea întregului este o operație care calculează numai întreaga parte(fracționarea este aruncată);
• Calculul restului unei diviziuni întregi vă permite să obțineți ca rezultat numărul întreg rămas după finalizarea operației (de exemplu, când împărțiți 17 la 2, partea întreagă este 8, restul este 1).

Pentru a înțelege mai bine natura sacră a numărului, este util să ne despărțim pentru un moment de o abordare pur ezoterică și să vedem cum se îmbină cu ideile. stiinta conventionala despre forma numerelor. Dicţionar enciclopedic scrie următoarele despre număr: „Numărul, unul dintre conceptele de bază ale matematicii; izvorât din cele mai vechi timpuri și extins și generalizat treptat. În legătură cu relatarea articole individuale A apărut conceptul de numere întregi pozitive (naturale), apoi ideea infinitității seriei naturale de numere: 1, 2, 3, 4... . Conceptul de număr negativ a apărut în rândul indienilor în secolele VI-XI. Nevoie în expresie exactă relațiile de mărimi (de exemplu, raportul dintre diagonala unui pătrat și latura sa) au condus la introducerea numerelor iraționale, care sunt exprimate prin numere raționale doar aproximativ; raţional şi numere irationale constituie mulţimea numerelor reale. Teoria numerelor reale și-a primit dezvoltarea finală abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea în legătură cu nevoile analizei matematice. În legătură cu soluția pătratului și ecuații cubice introdus în secolul al XVI-lea numere complexe„. Matematica împarte numerele în mai multe grupe sau varietăți, fiecare dintre acestea putând fi considerată din punct de vedere obișnuit, sau poate din punct de vedere metafizic.

Relația numerelor

Numerele reale, care sunt uniunea mulțimii numerelor raționale și a mulțimii numerelor iraționale. Orice număr real poate fi, în principiu, reprezentat pe o linie de coordonate în așa fel încât fiecare număr real și fiecare punct de pe această dreaptă să corespundă unul altuia. Un număr real poate fi orice număr pozitiv sau negativ sau zero. Din punct de vedere metafizic acest grup numerele corespund planului material material al ființei și este un semn al cantității. Cu ajutorul numerelor reale se exprimă măsurătorile tuturor mărimilor fizice.Numerele sunt raționale, care pot fi reprezentate ca o fracție zecimală infinită. Ele sunt de forma m/n, unde m și n sunt numere întregi și u nu este egal cu 0. Fiecare infinit zecimal este un număr rațional. Suma, diferența, produsul și câtul numerelor raționale sunt de asemenea considerate raționale. Numerele raționale includ numere întregi, numere fracționale, numere pozitive, numere negative și chiar zero. Din punct de vedere metafizic, numerele raționale se referă la acele mărimi care pot fi măsurate cu certitudine și precizie.

Tipuri de numere

Numerele iraționale se referă la grupul de numere reale care pot fi exprimate sub forma unei zecimale infinite fracție neperiodică. Ele nu pot fi exprimate exact ca m/n, unde m și n sunt numere întregi. Exemple de astfel de numere iraționale sunt rădăcina pătrată a lui 2; 0,1010010001; lg2; cos20±; .... Din punct de vedere metafizic, numerele iraționale aparțin domeniului acelor fenomene evazive lume subtilă care nu poate fi măsurat cu o precizie absolută. Vizualizare validă numerele sunt considerate un fel de numere complexe, care includ numere de forma x + iy, unde x și y sunt numere reale, iar i este așa-numita unitate imaginară (un număr al cărui pătrat este -1); x se numește partea reală și y se numește partea imaginară a numerelor complexe. Numerele complexe care nu sunt reale (pentru<>0), sunt uneori numite numere imaginare, pentru x=0 numerele complexe sunt numite pur imaginare. Cu alte cuvinte, numere imaginare sunt acele numere complexe a căror parte reală este egală cu zero și care sunt notate cu z=bi. Din punct de vedere metafizic, numerele complexe sunt astfel de cantități care poartă un plan sacru. Numerele sunt, de asemenea, împărțite în numere pozitive, care includ numere reale mai mari decât zero și numere negative, opus celor pozitive, este mai mic decât zero. Din punct de vedere metafizic, totul numere pozitive a se referi la lume fizică, iar cele negative – către planul subtil al ființei, adică către zona astral-mentală.

Totuși, mai sus a fost vorba doar despre natura externă, lipsită de sacralitate, pur cantitativă a numărului. Există însă și un aspect sacru pur intern al numărului, necunoscut matematicii moderne și care predetermina natura manifestării numerelor. X vorbește bine despre asta.

„Numerele în simbolism nu sunt doar o expresie a cantității, ci idei - forțe, fiecare cu caracterul său aparte. înțelegere modernă sunt numai înveliș exterior. Toate numerele sunt derivate de la unul (care este echivalent cu punctul mistic, nedezvăluit și fără dimensiune). Mai departe, numărul care a apărut din unitate este cufundat din ce în ce mai adânc în materie, în procese din ce în ce mai complexe, în „lume”. Primele zece cifre din sistemul grecesc (sau douăsprezece în tradiție orientală) sunt legate de spirit: sunt, în esență, arhetipuri și simboluri. Restul este produsul unei combinații a acestor numere de bază. Grecii antici erau foarte interesați de simbolismul numerelor. De exemplu, Pitagora a remarcat că „totul este aranjat după numere”. Platon a considerat numărul ca esență a armoniei, iar armonia ca bază a cosmosului și a omului, susținând că ritmurile armoniei sunt „de același fel cu vibrațiile periodice ale sufletului nostru”. Filosofia numerelor a fost dezvoltată în continuare de evrei, gnostici și cabaliști, inclusiv de către alchimiști. Aceleași concepte universale de bază se găsesc în Gândirea orientală- de exemplu, în Lao Tzu: „Unul naște doi, doi naște trei și unul vine din trei” - o nouă unitate sau comandă nouă- ca patru. Logica simbolică modernă și teoria grupurilor revin la idee măsurare cantitativă ca bază a calității. Pire credea că legile naturii și spiritul uman se bazează pe principii generaleși poate fi situat pe aceleași linii”.

Tipuri de numere. Numere reale sunt de asemenea subîmpărțite în numere algebrice și non-algebrice. Un număr algebric este unul care satisface ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Aceste numere includ numere: rădăcina lui 2; rădăcina lui Z; Numerele non-algebrice sau transcendentale sunt numere care nu satisfac nicio ecuație algebrică cu coeficienți întregi. Numerele transcendentale aparțin grupului numerelor iraționale, deși nu întotdeauna numerele iraționale sunt transcendentale. Un număr a^b este considerat transcendental dacă numerele a și b sunt numere algebrice, dar in acelasi timp<>0; A<>1 și în - număr irațional. Numerele transcendentale sunt sinusurile multor mărimi raționale, precum și logaritmi zecimali numere întregi nereprezentate de unul urmat de zerouri. Cel mai exemple celebre Numerele transcendentale sunt s (a căror valoare aproximativă este 2,718281) și PI (a căror valoare aproximativă este 3,1415296...)

P. D. Uspensky împarte matematica ca știință a numerelor în două tipuri:

a) matematica finitelor si constante, care este o disciplină artificială creată pentru a rezolva sarcini specifice pe date condiționate;

b) matematica infinitului şi variabile, care este o cunoaștere mai exactă a lumii reale. Exemple de matematică de al doilea tip care încalcă axiomele artificiale ale matematicii de primul tip sunt așa-numitele „numere transfinite” care se află dincolo de infinit.