Fiecare operație aritmetică devine uneori prea greoaie pentru a fi înregistrată și încearcă să o simplifice. Odinioară era la fel cu operația de adăugare. Era necesar ca oamenii să efectueze adăugiri repetate de același tip, de exemplu, pentru a calcula costul a o sută de covoare persane, al căror cost este de 3 monede de aur pentru fiecare. 3+3+3+…+3 = 300. Din cauza greutății, a fost inventat pentru a reduce notația la 3 * 100 = 300. De fapt, notația „de trei ori o sută” înseamnă că trebuie să luați o sută. tripleti si adauga-le impreuna. Înmulțirea a prins rădăcini, a câștigat popularitate generală. Dar lumea nu stă pe loc, iar în Evul Mediu a devenit necesar să se efectueze înmulțiri repetate de același tip. Îmi amintesc de o veche ghicitoare indiană despre un înțelept care a cerut boabe de grâu în următoarea cantitate ca recompensă pentru munca depusă: pentru prima celulă a tablei de șah a cerut un bob, pentru a doua - două, a treia - patru , al cincilea - opt și așa mai departe. Așa a apărut prima înmulțire a puterilor, deoarece numărul de boabe era egal cu doi cu puterea numărului celulei. De exemplu, pe ultima celulă ar fi 2*2*2*…*2 = 2^63 de boabe, care este egal cu un număr de 18 caractere, care, de fapt, este sensul ghicitorii.

Operația de ridicare la o putere a luat rădăcini destul de repede și a devenit rapid necesară, de asemenea, să se efectueze adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea gradelor. Acesta din urmă merită luat în considerare mai detaliat. Formulele de adăugare a puterilor sunt simple și ușor de reținut. În plus, este foarte ușor de înțeles de unde provin ele dacă operația de putere este înlocuită cu înmulțire. Dar mai întâi trebuie să înțelegeți terminologia elementară. Expresia a ^ b (se citește „a la puterea lui b”) înseamnă că numărul a trebuie înmulțit cu el însuși de b ori, iar „a” se numește baza gradului, iar „b” este exponentul. Dacă bazele puterilor sunt aceleași, atunci formulele sunt derivate destul de simplu. Exemplu specific: găsiți valoarea expresiei 2^3 * 2^4. Pentru a ști ce ar trebui să se întâmple, ar trebui să aflați răspunsul pe computer înainte de a începe soluția. Introducând această expresie în orice calculator online, motor de căutare, tastând „înmulțirea puterilor cu baze diferite și la fel” sau într-un pachet matematic, rezultatul va fi 128. Acum să scriem această expresie: 2^3 = 2*2*2, și 2^4 = 2 *2*2*2. Rezultă că 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Rezultă că produsul puterilor cu aceeași bază este egal cu baza ridicată la o putere egală cu suma celor două puteri anterioare.

Ai putea crede că acesta este un accident, dar nu: orice alt exemplu nu poate decât să confirme această regulă. Astfel, în general, formula arată astfel: a^n * a^m = a^(n+m) . Există, de asemenea, o regulă că orice număr la puterea zero este egal cu unu. Aici ar trebui să ne amintim regula puterilor negative: a^(-n) = 1 / a^n. Adică, dacă 2^3 = 8, atunci 2^(-3) = 1/8. Folosind această regulă, putem demonstra egalitatea a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) poate fi redus și rămâne unul. Din aceasta, se deduce regula că câtul puterilor cu aceeași bază este egal cu această bază într-un grad egal cu câtul dintre dividend și divizor: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Exemplu: Simplificați expresia 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Înmulțirea este o operație comutativă, așa că exponenții de înmulțire trebuie mai întâi adăugați: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. În continuare, ar trebui să vă ocupați de împărțirea într-un grad negativ. Este necesar să se scadă exponentul divizor din exponentul dividendului: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. rezultă că operația de împărțire cu un grad negativ este identică cu operația de înmulțire cu un exponent pozitiv similar. Deci răspunsul final este 8.

Există exemple în care are loc multiplicarea necanonică a puterilor. Înmulțirea puterilor cu baze diferite este foarte adesea mult mai dificilă și uneori chiar imposibilă. Ar trebui date mai multe exemple de diverse abordări posibile. Exemplu: simplificați expresia 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Evident, există o înmulțire a puterilor cu baze diferite. Dar, trebuie remarcat faptul că toate bazele sunt puteri diferite ale unui triplu. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Folosind regula (a^n) ^m = a^(n*m) , ar trebui să rescrieți expresia într-o formă mai convenabilă: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Răspuns: 3^11. În cazurile în care există baze diferite, regula a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n funcționează pentru indicatori egali. De exemplu, 3^3 * 7^3 = 21^3. În caz contrar, atunci când există baze și indicatori diferiți, este imposibil să faci o înmulțire completă. Uneori puteți simplifica parțial sau puteți recurge la ajutorul tehnologiei informatice.

Dacă trebuie să ridicați un anumit număr la o putere, puteți utiliza . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietăți ale gradelor.

Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.

De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Deci de 16 ori 64=4x4x4x4x4 care este tot 1024.

Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.

Acum să folosim regula. 16=4 2 , sau 2 4 , 64=4 3 , sau 2 6 , în timp ce 1024=6 4 =4 5 , sau 2 10 .

Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă în alt mod: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.

Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugarea exponenților, sau un exponent, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.

Astfel, putem, fără a înmulți, să spunem imediat că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Această regulă este valabilă și la împărțirea numerelor cu puteri, dar în acest caz, e din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2 , care în numerele obișnuite este 32:8=4, adică 2 2 . Să rezumam:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, unde m și n sunt numere întregi.

La prima vedere, ar putea părea că înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16 în această formă, adică 2 3 și 2 4, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în acele cazuri când numărul poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele expresiilor exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8×9 este 2 3 x 3 2 , caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu este răspunsul, nici răspunsul nu este între cei doi.

Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.

Adunarea și scăderea puterilor

Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.

Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.

Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.

Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .

De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.

Dar grade diverse variabileși diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.

Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .

Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.

Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtraendului trebuie modificate în mod corespunzător.

Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Înmulțirea puterii

Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.

Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.

Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .

Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.

Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.

Deci, a n .a m = a m+n .

Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;

Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;

Asa de, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.

Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.

1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Dacă a + b sunt înmulțite cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică

Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.

Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.

Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Împărțirea gradelor

Numerele de putere pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub formă de fracție.

Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .

Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..

Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.

Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.

Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.

Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri

1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.

2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.

3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un prim numărător -2.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .

4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.

5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.

6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).

7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .

8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Răspuns: a/a.

proprietăți de grad

Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali și zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.

Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemplele de exponent.

Proprietatea #1
Produsul puterilor

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.

a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.

• Simplificați expresia.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentă ca diplomă.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentă ca diplomă.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.

Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243

Proprietatea #2
Diplome private

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.

• Scrieți coeficientul ca putere
  (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
• Calculati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4

Răspuns: t = 3 4 = 81

Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.

Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.

Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4

Proprietatea #3
Exponentiatie

Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.

(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.

Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.

Cum să înmulți puterile

Cum să înmulțim puterile? Ce puteri pot fi multiplicate și care nu? Cum se înmulțește un număr cu o putere?

În algebră, puteți găsi produsul puterilor în două cazuri:

1) dacă gradele au aceeași bază;

2) dacă gradele au aceiași indicatori.

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza trebuie să rămână aceeași, iar exponenții trebuie adăugați:

Când înmulțiți grade cu aceiași indicatori, indicatorul total poate fi scos din paranteze:

Luați în considerare cum să multiplicați puterile, cu exemple specifice.

Unitatea din exponent nu este scrisă, dar la înmulțirea gradelor, acestea iau în considerare:

La înmulțire, numărul de grade poate fi oricare. Trebuie amintit că nu puteți scrie semnul de înmulțire înaintea literei:

În expresii, exponențiarea este efectuată mai întâi.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu o putere, trebuie mai întâi să efectuați exponențiarea și numai apoi - înmulțirea:

Înmulțirea puterilor cu aceeași bază

Acest tutorial video este disponibil prin abonament

Ai deja un abonament? A intra

În această lecție, vom învăța cum să înmulțim puteri cu aceeași bază. În primul rând, amintim definiția gradului și formulăm o teoremă asupra validității egalității . Apoi dăm exemple de aplicare a acesteia la anumite numere și o demonstrăm. De asemenea, vom aplica teorema pentru a rezolva diverse probleme.

Subiect: Grad cu un indicator natural și proprietățile acestuia

Lecția: Înmulțirea puterilor cu aceleași baze (formulă)

1. Definiții de bază

Definitii de baza:

n- exponent,

— n-a-a putere a unui număr.

2. Enunțul teoremei 1

Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nși k egalitatea este adevărată:

Cu alte cuvinte: dacă A- orice număr; nși k numere naturale, atunci:

De aici regula 1:

3. Explicarea sarcinilor

Concluzie: cazuri speciale au confirmat corectitudinea teoremei nr. 1. Să o demonstrăm în cazul general, adică pentru orice Ași orice natural nși k.

4. Demonstrarea teoremei 1

Dat un număr A- orice; numerele nși k- natural. Dovedi:

Dovada se bazează pe definiția gradului.

5. Rezolvarea exemplelor folosind teorema 1

Exemplul 1: Prezentă ca diplomă.

Pentru a rezolva următoarele exemple, folosim teorema 1.

g)

6. Generalizarea teoremei 1

Iată o generalizare:

7. Rezolvarea exemplelor folosind o generalizare a teoremei 1

8. Rezolvarea diverselor probleme folosind teorema 1

Exemplul 2: Calculați (puteți folosi tabelul de grade de bază).

A) (conform tabelului)

b)

Exemplul 3: Scrieți ca putere cu baza 2.

A)

Exemplul 4: Determinați semnul numărului:

, A - negativ deoarece exponentul la -13 este impar.

Exemplul 5:Înlocuiți ( ) cu o putere cu o bază r:

Avem, adică.

9. Rezumând

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al. Algebra 7. Ediţia a VI-a. M.: Iluminismul. 2010

1. Asistent școlar (Sursa).

1. Exprimați ca grad:

a B C D E)

3. Scrie ca putere cu baza 2:

4. Determinați semnul numărului:

A)

5. Înlocuiți ( ) cu o putere a unui număr cu o bază r:

a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6

Înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți

În această lecție, vom studia înmulțirea puterilor cu aceiași exponenți. Mai întâi, să ne amintim definițiile și teoremele de bază despre înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceleași baze și ridicarea unei puteri la o putere. Apoi formulăm și demonstrăm teoreme privind înmulțirea și împărțirea puterilor cu aceiași exponenți. Și apoi, cu ajutorul lor, vom rezolva o serie de probleme tipice.

Reamintire a definițiilor și teoremelor de bază

Aici A- baza gradului

— n-a-a putere a unui număr.

Teorema 1. Pentru orice număr Ași orice natural nși k egalitatea este adevărată:

La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții, baza rămâne neschimbată.

Teorema 2. Pentru orice număr Ași orice natural nși k, astfel încât n > k egalitatea este adevărată:

La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții sunt scăzuți, iar baza rămâne neschimbată.

Teorema 3. Pentru orice număr Ași orice natural nși k egalitatea este adevărată:

Toate teoremele de mai sus au fost despre puteri cu aceleași temeiuri, această lecție va lua în considerare grade cu același indicatori.

Exemple de înmulțire a puterilor cu aceiași exponenți

Luați în considerare următoarele exemple:

Să scriem expresiile pentru determinarea gradului.

Concluzie: Din exemple, puteți vedea asta , dar acest lucru trebuie încă dovedit. Formulăm teorema și o demonstrăm în cazul general, adică pentru oricare Ași bși orice natural n.

Afirmația și demonstrarea teoremei 4

Pentru orice numere Ași bși orice natural n egalitatea este adevărată:

Dovada Teorema 4 .

Prin definiția gradului:

Așa că am dovedit asta .

Pentru a multiplica puteri cu același exponent, este suficient să înmulțiți bazele și să lăsați exponentul neschimbat.

Afirmația și demonstrarea teoremei 5

Formulăm o teoremă pentru împărțirea puterilor cu aceiași exponenți.

Pentru orice număr Ași b() și orice natural n egalitatea este adevărată:

Dovada Teorema 5 .

Să scriem și prin definiția gradului:

Enunțarea teoremelor în cuvinte

Deci am dovedit că.

Pentru a împărți grade cu aceiași exponenți unul în celălalt, este suficient să împărțiți o bază la alta și să lăsați exponentul neschimbat.

Rezolvarea problemelor tipice folosind teorema 4

Exemplul 1: Exprimați-vă ca un produs al puterilor.

Pentru a rezolva următoarele exemple, folosim teorema 4.

Pentru a rezolva următorul exemplu, amintiți-vă formulele:

Generalizarea teoremei 4

Generalizarea teoremei 4:

Rezolvarea exemplelor folosind teorema generalizată 4

Continuarea rezolvării problemelor tipice

Exemplul 2: Scrieți ca grad de produs.

Exemplul 3: Scrieți ca putere cu un exponent de 2.

Exemple de calcul

Exemplul 4: Calculați în cel mai rațional mod.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. si altele.Algebra 7 .M .: Educatie. 2006

2. Asistent școlar (Sursa).

1. Prezentă ca produs al puterilor:

A) ; b) ; în); G) ;

2. Notați ca gradul produsului:

3. Scrieți sub forma unui grad cu indicatorul 2:

4. Calculați în cel mai rațional mod.

Lecție de matematică pe tema „Înmulțirea și împărțirea puterilor”

Secțiuni: Matematică

Scopul pedagogic:

elevul va învăța să distingă între proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu un exponent natural; aplica aceste proprietati in cazul acelorasi baze;

studentul va avea ocazia să poată efectua transformări de grade cu baze diferite și să poată efectua transformări în sarcini combinate.

Sarcini:

organizează munca elevilor prin repetarea materialului studiat anterior;

asigura nivelul de reproducere prin efectuarea de exercitii de diverse tipuri;

organizează autoevaluarea elevilor prin testare.

Unitățile de activitate ale doctrinei: determinarea gradului cu un indicator natural; componente ale gradului; definiția privat; legea asociativă a înmulțirii.

I. Organizarea unei demonstraţii de însuşire a cunoştinţelor existente de către elevi. (pasul 1)

a) Actualizarea cunoștințelor:

2) Formulați o definiție a gradului cu un indicator natural.

a n \u003d a a a a ... a (n ori)

b k \u003d b b b b a ... b (de k ori) Justificați-vă răspunsul.

II. Organizarea autoevaluării stagiarului după gradul de deținere a experienței relevante. (pasul 2)

Test pentru autoexaminare: (lucrare individuală în două versiuni.)

A1) Exprimați produsul 7 7 7 7 x x x ca putere:

A2) Exprimați ca produs gradul (-3) 3 x 2

A3) Calculați: -2 3 2 + 4 5 3

Selectez numărul de sarcini din test în conformitate cu pregătirea nivelului clasei.

Pentru test, dau o cheie pentru autotestare. Criterii: trece-esec.

III. Sarcină educațională și practică (pasul 3) + pasul 4. (elevii înșiși vor formula proprietățile)

calculați: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?

Simplificați: a 2 a 20 =? b 30 b 10 b 15 = ?

În cursul rezolvării problemelor 1) și 2), elevii propun o soluție, iar eu, ca profesor, organizez o clasă pentru a găsi o modalitate de simplificare a puterilor la înmulțirea cu aceleași baze.

Profesor: găsiți o modalitate de a simplifica puterile atunci când înmulțiți cu aceeași bază.

Pe cluster apare o intrare:

Se formulează tema lecției. Înmulțirea puterilor.

Profesor: veniți cu o regulă pentru împărțirea gradelor cu aceleași baze.

Raționament: ce acțiune verifică diviziunea? a 5: a 3 = ? că a 2 a 3 = a 5

Revin la schema - un grup și suplimentez intrarea - ..la împărțire, scădeți și adăugați subiectul lecției. ...și împărțirea gradelor.

IV. Comunicarea către studenți a limitelor cunoștințelor (ca minim și maxim).

Profesor: sarcina minimului pentru lecția de astăzi este să înveți cum să aplici proprietățile înmulțirii și împărțirii puterilor cu aceleași baze, iar maximul: să aplici înmulțirea și împărțirea împreună.

Scrie pe tabla : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n

V. Organizarea studiului de material nou. (pasul 5)

a) Conform manualului: Nr. 403 (a, c, e) sarcini cu redactare diferită

Nr 404 (a, e, f) muncă independentă, apoi organizez o verificare reciprocă, dau cheile.

b) Pentru ce valoare a lui m este valabilă egalitatea? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

Sarcină: veniți cu exemple similare pentru împărțire.

c) nr. 417 (a), nr. 418 (a) Capcane pentru elevi: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6 ; a 16: a 8 \u003d a 2.

VI. Rezumarea a ceea ce s-a învățat, efectuarea lucrărilor de diagnosticare (care încurajează studenții, nu profesorii, să studieze acest subiect) (pasul 6)

munca de diagnosticare.

Test(așezați cheile pe spatele testului).

Opțiuni de sarcină: prezentați ca grad coeficientul x 15: x 3; reprezintă ca putere produsul (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; pentru care m este egalitatea a 16 a m = a 32 adevărat; aflați valoarea expresiei h 0: h 2 cu h = 0,2; se calculează valoarea expresiei (5 2 5 0) : 5 2 .

Rezumatul lecției. Reflecţie.Împărțim clasa în două grupe.

Găsiți argumentele grupei I: în favoarea cunoașterii proprietăților gradului, iar grupa II - argumente care vor spune că vă puteți descurca fără proprietăți. Ascultăm toate răspunsurile, tragem concluzii. În lecțiile ulterioare, puteți oferi date statistice și puteți denumi rubrica „Nu se potrivește în capul meu!”

O persoană obișnuită mănâncă 32 10 2 kg de castraveți în timpul vieții.

Viespa este capabilă să efectueze un zbor non-stop de 3,2 10 2 km.

Când sticla crapă, fisura se propagă cu o viteză de aproximativ 5 10 3 km/h.

O broasca mananca peste 3 tone de tantari in timpul vietii. Folosind gradul, scrieți în kg.

Cel mai prolific este peștele oceanic - luna (Mola mola), care depune până la 300.000.000 de ouă cu un diametru de aproximativ 1,3 mm într-o singură depunere. Scrieți acest număr folosind o diplomă.

VII. Teme pentru acasă.

Referință istorică. Ce numere se numesc numere Fermat.

P.19. #403, #408, #417

Cărți folosite:

Manual „Algebra-7”, autori Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și alții.

Material didactic pentru clasa a VII-a, L.V. Kuznetsova, L.I. Zvovich, S.B. Suvorov.

Enciclopedia de matematică.

Jurnalul „Quantum”.

Proprietăți ale gradelor, formulări, dovezi, exemple.

După ce gradul numărului este determinat, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol, vom oferi proprietățile de bază ale gradului unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradului și, de asemenea, vom arăta cum aceste proprietăți sunt aplicate atunci când rezolvăm exemple.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali

Prin definiția unui grad cu exponent natural, gradul lui n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a . Pe baza acestei definiții și folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n , generalizarea lui a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;

proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze a m:a n =a m−n ;

proprietatea gradului produsului (a b) n =a n b n , extensia sa (a 1 a 2 a k) n = a 1 n a 2 n a k n ;

proprietatea câtului în natură (a:b) n =a n:b n ;

exponențiația (a m) n =a m n , generalizarea ei (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 ·n 2 ·... n k ;

compararea gradului cu zero:

• dacă a>0, atunci a n >0 pentru orice n natural;
• dacă a=0, atunci a n =0;
• dacă a 2 m >0 , dacă a 2 m−1 n ;
• dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci pentru 0m n , iar pentru a>0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, iar părțile lor din dreapta și din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m a n = a m + n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n = a m a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice număr natural m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unui grad cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m a n poate fi scris ca produs . Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este puterea lui a cu exponent natural m+n , adică a m+n . Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, conform proprietății principale a gradului, putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Să verificăm validitatea acestuia, pentru care calculăm valorile expresiilor 2 2 ·2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiația, avem 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 și 2 5 =2 2 2 2 2=32 , deoarece obținem valori egale, atunci egalitatea 2 2 2 3 = 2 5 este adevărat și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea principală a unui grad bazată pe proprietățile înmulțirii poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci pentru orice număr k de numere naturale n 1 , n 2 , …, n k egalitatea a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k este adevărată.

De exemplu, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .

Puteți trece la următoarea proprietate a grade cu un indicator natural - proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n , egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a face dovada acestei proprietăți, să discutăm despre sensul condițiilor suplimentare din enunț. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că este imposibil să împărțim la zero. Se introduce condiția m>n pentru a nu depăși exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n, exponentul a m−n este un număr natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă când m−n) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă când m m−n a n =a (m−n) + n = a m Din egalitatea obținută a m−n a n = a m și din relația de înmulțire cu împărțire rezultă că a m−n este o putere parțială a a m și a n Aceasta dovedește proprietatea puterilor parțiale cu aceleași baze.

Să luăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, proprietatea considerată a gradului corespunde egalității π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Acum luați în considerare proprietatea gradului de produs: gradul natural n al produsului a oricăror două numere reale a și b este egal cu produsul gradelor a n și b n , adică (a b) n =a n b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural, avem . Ultimul produs, bazat pe proprietățile înmulțirii, poate fi rescris ca , care este egal cu a n b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la gradul de produs a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea naturală a gradului n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

Pentru claritate, arătăm această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7, avem .

Următoarea proprietate este proprietate naturală: câtul numerelor reale a și b , b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n , adică (a:b) n =a n:b n .

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Deci (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n , iar din egalitatea (a:b) n b n =a n rezultă că (a:b) n este un coeficient de a n la b n .

Să scriem această proprietate folosind exemplul unor numere specifice: .

Acum hai să ne dăm voce proprietatea de exponentiare: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea lui a cu exponent m·n , adică (a m) n =a m·n .

De exemplu, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dovada proprietății puterii într-un grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea considerată poate fi extinsă la grad în grad în grad și așa mai departe. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, să dăm un exemplu cu numere specifice: ((((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Începem prin a demonstra proprietatea de comparație a zero și a puterii cu un exponent natural.

Mai întâi, să justificăm că a n >0 pentru orice a>0 .

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii ne permit să afirmăm că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea lui a cu exponent natural n este, prin definiție, produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a gradul lui n este un număr pozitiv. În virtutea proprietății dovedite 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice n natural cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0 .

Să trecem la baze negative.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, notăm-l ca 2 m , unde m este un număr natural. Apoi . Conform regulii înmulțirii numerelor negative, fiecare dintre produsele formei a a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv. iar gradul a 2 m . Iată exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza lui a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3 17 n n este produsul părților din stânga și din dreapta ale n inegalități adevărate a proprietăți ale inegalităților, inegalitatea fiind demonstrată este de forma a n n . De exemplu, datorită acestei proprietăți, inegalitățile 3 7 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre cele două grade cu indicatori naturali și aceleași baze pozitive mai mici decât unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mic; iar de două grade cu indicatori naturali și aceleași baze mai mari decât unul, gradul este mai mare, al cărui indicator este mai mare. Ne întoarcem la dovada acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0m n . Pentru a face acest lucru, scriem diferența a m − a n și o comparăm cu zero. Diferența scrisă după scoaterea a n din paranteze va lua forma a n ·(a m−n −1) . Produsul rezultat este negativ ca produsul dintre un număr pozitiv a n și un număr negativ a m−n −1 (a n este pozitiv ca putere naturală a unui număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este negativă, deoarece m−n >0 datorita conditiei initiale m>n , de unde rezulta ca pentru 0m−n este mai mica decat unu). Prin urmare, a m − a n m n , care trebuia demonstrat. De exemplu, dăm inegalitatea corectă.

Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1, a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul lui n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1, gradul unui m−n este mai mare decât unu . Prin urmare, a m − a n >0 și a m >a n , ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2 .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți întregi

Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali, enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, astfel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali exprimate prin egalități rămân valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele gradelor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate proprietățile gradelor cu exponenți întregi:

• a m a n \u003d a m + n;
• a m: a n = a m−n ;
• (a b) n = a n b n ;
• (a:b) n =a n:b n ;
• (a m) n = a m n ;
• dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a n n și a−n>b−n ;
• dacă m și n sunt numere întregi, și m>n , atunci pentru 0m n , iar pentru a>1, inegalitatea a m >a n este satisfăcută.

Pentru a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Nu este greu de demonstrat fiecare dintre aceste proprietăți, pentru aceasta este suficient să folosim definițiile gradului cu exponent natural și întreg, precum și proprietățile acțiunilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea puterii este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătăm că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) și (a −p) −q =a (−p) (−q) . S-o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost demonstrată în subsecțiunea anterioară. Dacă p=0 , atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0 q =a 0 =1 , de unde (a 0) q =a 0 q . În mod similar, dacă q=0 , atunci (a p) 0 =1 și a p 0 =a 0 =1 , de unde (a p) 0 =a p 0 . Dacă ambele p=0 și q=0 , atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0 0 =a 0 =1 , de unde (a 0) 0 =a 0 0 .

Să demonstrăm acum că (a −p) q =a (−p) q . Prin definiția unui grad cu un exponent întreg negativ , atunci . După proprietatea coeficientului în grad, avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie este, prin definiție, o putere de forma a −(p q) , care, în virtutea regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p) q .

În mod similar .

Și .

Prin același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale gradului cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile scrise, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a −n >b −n , care este adevărată pentru orice întreg negativ −n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a . Scriem și transformăm diferența dintre părțile din stânga și din dreapta acestei inegalități: . Deoarece prin condiția a n n , prin urmare, b n − a n >0 . Produsul a n ·b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca un cât de numere pozitive b n − a n și a n b n . De unde a −n >b −n , care trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a gradelor cu exponenți întregi este dovedită în același mod ca proprietatea analogă a gradelor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit gradul cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, grade cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și grade cu exponenți întregi. Și anume:

1. proprietatea produsului de puteri cu aceeași bază pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
2. proprietatea puterilor parţiale cu aceleaşi baze pentru a>0;
3. proprietatea produsului fracționat pentru a>0 și b>0 și dacă și , atunci pentru a≥0 și (sau) b≥0;
4. proprietatea coeficientului la o putere fracționară pentru a>0 și b>0 și dacă , atunci pentru a≥0 și b>0;
5. grad proprietate în grad pentru a>0 și dacă și, atunci pentru a≥0;
6. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali egali: pentru orice numere pozitive a și b, a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p ;
7. proprietatea de a compara puteri cu exponenți raționali și baze egale: pentru numerele raționale p și q, p>q pentru 0p q, iar pentru a>0, inegalitatea a p >a q .

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar, pe proprietățile rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să dăm dovada.

Prin definiția gradului cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea gradului cu exponent întreg, obținem , de unde, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar exponentul gradului obținut poate fi convertit astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari se demonstrează exact în același mod:


Restul egalităților sunt dovedite prin principii similare:


Ne întoarcem la dovada următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p . Scriem numărul rațional p ca m/n , unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condițiile p 0 în acest caz vor fi echivalente cu condițiile m 0, respectiv. Pentru m>0 și am m . Din această inegalitate, prin proprietatea rădăcinilor, avem , iar întrucât a și b sunt numere pozitive, atunci, pe baza definiției gradului cu exponent fracționar, inegalitatea rezultată poate fi rescrisă ca , adică a p p .

În mod similar, când m m >b m , de unde , adică și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q , p>q pentru 0p q , iar pentru a>0 inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, să obținem fracțiile obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiția p>q va corespunde condiției m 1 >m 2, care rezultă din regula de comparare a fracțiilor ordinare cu aceiași numitori. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali, pentru 0m 1 m 2 , iar pentru a>1, inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în ceea ce privește proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise, respectiv, ca și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, respectiv. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0p q , iar pentru a>0, inegalitatea a p >a q .

Proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietăți ale gradelor cu exponenți iraționali:

1. a p a q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. pentru orice numere pozitive a și b , a 0 este valabilă inegalitatea a p p, iar pentru p p >b p ;
7. pentru numerele iraționale p și q , p>q pentru 0p q , iar pentru a>0 inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

• Algebră - clasa a X-a. Ecuații trigonometrice Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice” Materiale suplimentare Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentarii, feedback, sugestii! Toate materialele […]
• A fost deschis un concurs pentru postul de „VÂNZĂTOR – CONSULTANT”: Responsabilități: vânzarea de telefoane mobile și accesorii pentru serviciul de comunicații mobile pentru abonații Beeline, Tele2, MTS conectarea planurilor tarifare și a serviciilor Beeline și Tele2, MTS […]
• Un paralelipiped cu formula Un paralelipiped este un poliedru cu 6 fețe, fiecare dintre ele fiind un paralelogram. Un cuboid este un cuboid cu fiecare față un dreptunghi. Orice paralelipiped este caracterizat de 3 […]
• ORTOGRAFIA Н ȘI НН ÎN DIFERITE PĂRȚI DE VORBA 2. Numiți excepțiile de la aceste reguli. 3. Cum să distingem un adjectiv verbal cu sufixul -n- de un participiu cu […]
• INSPECȚIA GOSTEKHNADZOR AL REGIUNII BRYANSK Chitanța plății taxei de stat (Descărcare-12,2 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane fizice (Descărcare-12 kb) Cereri de înregistrare pentru persoane juridice (Descărcare-11,4 kb) 1. La înmatricularea unei mașini noi: 1.cerere 2.pașaport […]
• Societatea pentru Protecția Drepturilor Consumatorului Astana Pentru a obține un cod PIN pentru a accesa acest document pe site-ul nostru, trimiteți un mesaj SMS cu textul zan la numărul Abonaților operatorilor GSM (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) prin trimiterea unui SMS în cameră, […]
• Adoptă o lege privind gospodăriile familiale Adoptă o lege federală privind alocarea gratuită fiecărui cetăţean dispus Federația Rusă sau o familie de cetățeni ai unui teren pentru amenajarea unui Kin's Homestead pe acesta în următoarele condiții: 1. Lotul este alocat pentru […]
• Pivoev V.M. Filosofia și metodologia științei: manual pentru masteranți și absolvenți Petrozavodsk: Editura PetrSU, 2013. - 320 p. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]

Lecție pe tema: „Reguli pentru înmulțirea și împărțirea puterilor cu exponenți aceiași și diferiți. Exemple”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre. Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a VII-a
Manual pentru manualul Yu.N. Makarycheva Manual pentru manualul A.G. Mordkovici

Scopul lecției: învățați cum să efectuați operații cu puterile unui număr.

Pentru început, să ne amintim conceptul de „putere a unui număr”. O expresie precum $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ poate fi reprezentată ca $a^n$.

Reversul este de asemenea adevărat: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Această egalitate se numește „înregistrarea gradului ca produs”. Ne va ajuta să stabilim cum să înmulțim și să împărțim puterile.
Tine minte:
A- baza gradului.
n- exponent.
În cazul în care un n=1, ceea ce înseamnă numărul A luată o dată şi respectiv: $a^n= 1$.
În cazul în care un n=0, atunci $a^0= 1$.

De ce se întâmplă acest lucru, putem afla când ne familiarizăm cu regulile de înmulțire și împărțire a puterilor.

reguli de multiplicare

a) Dacă se înmulțesc puteri cu aceeași bază.
Pentru $a^n * a^m$, scriem puterile ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Figura arată că numărul A am luat n+m ori, atunci $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Exemplu.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Această proprietate este convenabilă de utilizat pentru a simplifica munca atunci când creșteți un număr la o putere mare.
Exemplu.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Dacă puterile sunt înmulțite cu o bază diferită, dar cu același exponent.
Pentru $a^n * b^n$, scriem puterile ca produs: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Dacă schimbăm factorii și numărăm perechile rezultate, obținem: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Deci $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemplu.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

regulile de împărțire

a) Baza gradului este aceeași, exponenții sunt diferiți.
Luați în considerare împărțirea unui grad cu un exponent mai mare prin împărțirea unui grad cu un exponent mai mic.

Deci, este necesar $\frac(a^n)(a^m)$, Unde n>m.

Scriem gradele sub formă de fracție:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Pentru comoditate, scriem împărțirea ca o fracție simplă.

Acum să reducem fracția.

Rezultă: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Mijloace, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Această proprietate va ajuta la explicarea situației cu ridicarea unui număr la o putere de zero. Să presupunem că n=m, atunci $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Exemple.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Bazele gradului sunt diferite, indicatorii sunt aceiași.
Să presupunem că aveți nevoie de $\frac(a^n)( b^n)$. Scriem puterile numerelor sub formă de fracție:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Să ne imaginăm pentru comoditate.

Folosind proprietatea fracțiilor, împărțim o fracție mare într-un produs al celor mici, obținem.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
În consecință: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Exemplu.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Primul nivel

Gradul și proprietățile sale. Ghid cuprinzător (2019)

De ce sunt necesare diplome? Unde ai nevoie de ele? De ce trebuie să petreci timp studiindu-le?

Pentru a afla totul despre diplome, pentru ce sunt acestea, cum să vă folosiți cunoștințele în viața de zi cu zi, citiți acest articol.

Și, bineînțeles, cunoașterea diplomelor te va aduce mai aproape de promovarea cu succes a OGE sau a examenului de stat unificat și de a intra în universitatea visurilor tale.

Sa mergem sa mergem!)

Notă importantă! Dacă, în loc de formule, vedeți farfurie, ștergeți memoria cache. Pentru a face acest lucru, apăsați CTRL+F5 (pe Windows) sau Cmd+R (pe Mac).

PRIMUL NIVEL

Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.

Acum voi explica totul în limbaj uman folosind exemple foarte simple. Fiţi atenți. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.

Să începem cu adăugarea.

Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.

Acum înmulțirea.

Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Ei observă mai întâi unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.

Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți tabla înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…

Iată tabla înmulțirii. Repeta.

Și încă unul, mai frumos:

Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Corect - ridicarea unui număr la o putere.

Ridicarea unui număr la o putere

Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.

Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.

Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.

Exemplul #1 din viața reală

Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.

Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.

Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().

Ați observat că am înmulțit același număr de la sine pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece se înmulțește același număr, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule. Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.

Exemplul #2 din viața reală

Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului... Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau ... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?

Exemplul #3 din viața reală

Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, de altfel, se măsoară în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru de dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi metru cu metru vor intra în piscina dvs.

Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?

Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:

Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.

Ei bine, pentru a te convinge in sfarsit ca gradele au fost inventate de mocasini si vicleni pentru a-si rezolva problemele vietii, si nu pentru a-ti crea probleme, iata inca cateva exemple din viata.

Exemplul #4 din viața reală

Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?

Exemplul #5 din viața reală

Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să-ți amintești că trei până la a patra putere este sau.

Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.

Termeni și concepte... ca să nu se încurce

Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...

Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.

Iată o poză ca să fii sigur.

Ei bine, în termeni generali, pentru a generaliza și a aminti mai bine ... Un grad cu o bază „” și un indicator „” se citește ca „în grad” și se scrie după cum urmează:

Puterea unui număr cu exponent natural

Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Ce crezi că sunt aceste numere?

Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.

Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. Cu câteva mii de ani în urmă, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?

Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul acestuia, atunci obțineți un număr irațional.

Rezumat:

Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică, întreg și pozitiv).

1. Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
2. A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
3. A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:

Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
.

Proprietăți de grad

De unde au venit aceste proprietăți? Îți voi arăta acum.

Să vedem ce este și ?

Prioritate A:

Câți multiplicatori există în total?

Este foarte simplu: am adăugat factori factori, iar rezultatul sunt factori.

Dar, prin definiție, acesta este gradul unui număr cu exponent, adică: , care trebuia demonstrat.

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie:

Exemplu: Simplificați expresia.

Decizie: Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie sa fie acelasi motiv!
Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

numai pentru produse ale puterilor!

Sub nicio formă nu trebuie să scrii asta.

2. adică -a-a putere a unui număr

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Se dovedește că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea a treia a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem?

Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Grad cu o bază negativă

Până în acest punct, am discutat doar care ar trebui să fie exponentul.

Dar care ar trebui să fie baza?

În grade de la indicator natural baza poate fi orice număr. Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar.

Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ? Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu, se dovedește.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ai reușit?

Iată răspunsurile: În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv.

Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu!

6 exemple de practică

Analiza soluției 6 exemple

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.

Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.

Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

întreg numim numerele naturale, contrariile lor (adica luate cu semnul "") si numarul.

număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.

Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.

Orice număr la puterea zero este egal cu unu:

Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?

Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:

Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut același lucru ca și -. Cu ce ​​număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.

Putem face același lucru cu un număr arbitrar:

Să repetăm ​​regula:

Orice număr la puterea zero este egal cu unu.

Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).

Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.

Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțim un număr normal cu același într-un grad negativ:

De aici este deja ușor de exprimat dorit:

Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:

Deci, haideți să formulăm regula:

Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).

Să rezumam:

I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .

III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .

Sarcini pentru soluție independentă:

Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:

Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:

Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu le-ai putut rezolva și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!

Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.

Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?

Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.

Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:

Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:

Acum amintiți-vă regula "grad la grad":

Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?

Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.

Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.

Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .

Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .

Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:

Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.

Nici unul!

Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!

Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu numitor par, adică expresia nu are sens.

Ce zici de exprimare?

Dar aici apare o problemă.

Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.

Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.

Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).

Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.

Astfel, dacă:

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:

5 exemple de practică

Analiza a 5 exemple pentru antrenament

Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.

Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru grade cu exponent rațional, cu excepția

Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.

De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;

...putere zero- acesta este, parcă, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar o anumită „pregătire a un număr”, și anume un număr;

...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real.

Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))

De exemplu:

Decide pentru tine:

Analiza solutiilor:

1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:

Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:

LA acest caz,

Se pare că:

Răspuns: .

2. Aducem fracțiile în exponenți în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele ordinare. Primim, de exemplu:

Raspuns: 16

3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

NIVEL AVANSAT

Definiţia degree

Gradul este o expresie de forma: , unde:

• — baza gradului;
• - exponent.

Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)

Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:

Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)

Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:

erecție la putere zero:

Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.

Dacă exponentul este întreg negativ număr:

(pentru că este imposibil de împărțit).

Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.

Exemple:

Gradul cu exponent rațional

• - numar natural;
• este un număr întreg;

Exemple:

Proprietăți de grad

Pentru a facilita rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.

Să vedem: ce este și?

Prioritate A:

Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:

Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:

Q.E.D.

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : .

Exemplu : Simplificați expresia.

Decizie : Este important de reținut că în regula noastră neapărat trebuie să aibă aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:

O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!

Sub nicio formă nu ar trebui să scriu asta.

La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:

Să o rearanjam astfel:

Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:

De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar nu poți face niciodată asta în total:!

Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.

Putere cu o bază negativă.

Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie indicator grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .

Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?

De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? DAR? ?

Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive ne înmulțim între ele, rezultatul va fi pozitiv.

Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.

Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:

1. chiar grad, - număr pozitiv.
2. Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
3. Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
4. Zero la orice putere este egal cu zero.

Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ai reușit? Iată răspunsurile:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.

În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).

Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.

Și din nou folosim definiția gradului:

Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:

Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.

Calculați valorile expresiilor:

Soluții :

Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!

Primim:

Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.

Dacă îl înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:

Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit prin schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!

Să revenim la exemplu:

Și din nou formula:

Deci acum ultima regulă:

Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:

Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:

Exemplu:

Gradul cu exponent irațional

Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).

Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un număr întreg negativ - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.

Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.

Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.

Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)

De exemplu:

Decide pentru tine:

1)

2)

3)

Raspunsuri:

1. Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
2. Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:

REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ

grad se numește expresie de forma: , unde:

Gradul cu exponent întreg

grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).

Gradul cu exponent rațional

grad, al cărui indicator sunt numerele negative și fracționale.

Gradul cu exponent irațional

exponent al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.

Proprietăți de grad

Caracteristicile diplomelor.

• Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
• Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
• Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
• Zero este egal cu orice putere.
• Orice număr până la puterea zero este egal.

ACUM AI UN CUVÂNT...

Cum iti place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.

Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii.

Și mult succes la examene!