Ako nájsť LCM (najmenší spoločný násobok)

Spoločný násobok dvoch celých čísel je celé číslo, ktoré je bezo zvyšku rovnomerne deliteľné oboma danými číslami.

Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel je najmenší zo všetkých celých čísel, ktorý je deliteľný rovnomerne a bezo zvyšku oboma danými číslami.

Metóda 1. LCM môžete nájsť pre každé z daných čísel tak, že zapíšete vo vzostupnom poradí všetky čísla, ktoré získate vynásobením 1, 2, 3, 4 atď.

Príklad pre čísla 6 a 9.
Číslo 6 vynásobíme postupne 1, 2, 3, 4, 5.
Získame: 6, 12, 18 , 24, 30
Číslo 9 vynásobíme postupne 1, 2, 3, 4, 5.
Získame: 9, 18 , 27, 36, 45
Ako vidíte, LCM pre čísla 6 a 9 bude 18.

Táto metóda je vhodná, keď sú obe čísla malé a je ľahké ich vynásobiť postupnosťou celých čísel. Sú však chvíle, keď potrebujete nájsť LCM pre dvojciferné resp trojciferné čísla, a tiež vtedy, keď existujú tri alebo dokonca viac počiatočných čísel.

Metóda 2. LCM nájdete rozšírením pôvodné čísla na hlavné faktory.
Po rozklade je potrebné z výsledného radu prvočiniteľov vyškrtnúť rovnaké čísla. Zostávajúce čísla prvého čísla budú koeficientom pre druhé a zostávajúce čísla druhého čísla budú koeficientom pre prvé.

Príklad pre číslo 75 a 60.
Najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na hlavné faktory:
75 = 3 * 5 * 5 a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ako vidíte, faktory 3 a 5 sa vyskytujú v oboch riadkoch. Mentálne ich „preškrtávame“.
Zapíšme si zostávajúce faktory zahrnuté v expanzii každého z týchto čísel. Pri rozklade čísla 75 sme nechali číslo 5 a pri rozklade čísla 60 sme nechali 2 * 2
Aby sme teda určili LCM pre čísla 75 a 60, musíme vynásobiť zostávajúce čísla z rozšírenia 75 (toto je 5) číslom 60 a čísla zostávajúce z rozšírenia čísla 60 (toto sú 2 * 2 ) násobíme 75. To znamená, že pre lepšie pochopenie hovoríme, že násobíme „krížom“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Takto sme našli LCM pre čísla 60 a 75. Toto je číslo 300.

Príklad. Určte LCM pre čísla 12, 16, 24
AT tento prípad, naše akcie budú o niečo komplikovanejšie. Najprv však, ako vždy, rozložíme všetky čísla na prvočísla
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Aby sme správne určili LCM, vyberieme najmenšie zo všetkých čísel (toto je číslo 12) a postupne prechádzame jeho faktormi, pričom ich prečiarkneme, ak aspoň jeden z ďalších radov čísel má rovnaký násobiteľ, ktorý ešte nebol prečiarknutý. von.

Krok 1 . Vidíme, že 2 * 2 sa vyskytuje vo všetkých radoch čísel. Prečiarkneme ich.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Krok 2. In hlavné faktoryčíslo 12, zostáva len číslo 3. Ale je prítomné v prvočiniteľoch čísla 24. Z oboch riadkov prečiarkneme číslo 3, pričom pri čísle 16 sa neočakáva žiadna akcia.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ako vidíte, pri rozklade čísla 12 sme „preškrtali“ všetky čísla. Takže nález NOC je dokončený. Zostáva len vypočítať jeho hodnotu.
Pre číslo 12 berieme zostávajúce faktory z čísla 16 (najbližšie vo vzostupnom poradí)
12 * 2 * 2 = 48
Toto je NOC

Ako vidíte, v tomto prípade bolo nájdenie LCM o niečo ťažšie, ale keď ho potrebujete nájsť pre tri alebo viac čísel, tadiaľto vám to umožní rýchlejšie. Obidva spôsoby nájdenia LCM sú však správne.

Druhé číslo: b=

Oddeľovač číslicŽiadny oddeľovač medzery „ “

výsledok:

najväčší spoločný deliteľ GCD( a,b)=6

Najmenší spoločný násobok LCM( a,b)=468

Najväčší prirodzené číslo, ktorými sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku, sa nazýva najväčší spoločný deliteľ(gcd) týchto čísel. Označuje sa gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) alebo hcf(a,b).

Najmenší spoločný násobok(LCM) dvoch celých čísel aab je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné aab bezo zvyšku. Označené LCM(a,b) alebo lcm(a,b).

Celé čísla a a b sa nazývajú nesúdeliteľné ak nemajú iných spoločných deliteľov ako +1 a -1.

Najväčší spoločný deliteľ

Nech sa dajú dve kladné čísla a 1 a a 2 1). Je potrebné nájsť spoločného deliteľa týchto čísel, t.j. nájsť také číslo λ , ktorý delí čísla a 1 a a 2 v rovnakom čase. Poďme si popísať algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo znamenať celé číslo.

Nechaj a 1 ≥ a 2 a nechať

kde m 1 , a 3 sú nejaké celé čísla, a 3 <a 2 (zvyšok z rozdelenia a 1 na a 2 by malo byť menej a 2).

Predstierajme to λ rozdeľuje a 1 a a 2, potom λ rozdeľuje m 1 a 2 a λ rozdeľuje a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. tvrdenie článku "Deliteľnosť čísel. Znak deliteľnosti"). Z toho vyplýva, že každý spoločný deliteľ a 1 a a 2 je spoločný deliteľ a 2 a a 3. Opak platí aj vtedy, ak λ spoločný deliteľ a 2 a a 3, potom m 1 a 2 a a 1 =m 1 a 2 +a 3 sa tiež delia na λ . Preto spoločný deliteľ a 2 a a 3 je tiež spoločný deliteľ a 1 a a 2. Pretože a 3 <a 2 ≤a 1 , potom môžeme povedať, že riešenie problému nájdenia spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 zredukovaný na jednoduchší problém hľadania spoločného deliteľa čísel a 2 a a 3 .

Ak a 3 ≠0, potom môžeme deliť a 2 na a 3. Potom

,

kde m 1 a a 4 sú nejaké celé čísla, ( a 4 zvyšok divízie a 2 na a 3 (a 4 <a 3)). Podobným uvažovaním dospejeme k záveru, že spoločné deliče čísel a 3 a a 4 je rovnaký ako spoločný deliteľ čísel a 2 a a 3 a tiež so spoločnými deliteľmi a 1 a a 2. Pretože a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... čísla, ktoré neustále klesajú, a keďže medzi nimi je konečný počet celých čísel a 2 a 0, potom v určitom kroku n, zvyšok divízie a n na a n+1 sa bude rovnať nule ( a n+2=0).

.

Každý spoločný deliteľ λ čísla a 1 a a 2 je tiež deliteľ čísel a 2 a a 3 , a 3 a a 4 , .... a n a a n+1. Platí to aj naopak, spoločné deliče čísel a n a a n+1 sú tiež deliče čísel a n-1 a a n , .... , a 2 a a 3 , a 1 a a 2. Ale spoločný deliteľ a n a a n+1 je číslo a n+1, pretože a n a a n+1 sú deliteľné a n+1 (pripomeňme si to a n+2=0). V dôsledku toho a n+1 je tiež deliteľ čísel a 1 a a 2 .

Všimnite si, že číslo a n+1 je najväčší deliteľ čísla a n a a n+1 , keďže najväčší deliteľ a n+1 je samo o sebe a n+1. Ak a n + 1 môže byť reprezentované ako súčin celých čísel, potom sú tieto čísla tiež spoločnými deliteľmi čísel a 1 a a 2. číslo a n+1 sa nazývajú najväčší spoločný deliteľčísla a 1 a a 2 .

čísla a 1 a a 2 môžu byť kladné aj záporné čísla. Ak sa jedno z čísel rovná nule, potom sa najväčší spoločný deliteľ týchto čísel bude rovnať absolútnej hodnote druhého čísla. Najväčší spoločný deliteľ nulových čísel nie je definovaný.

Vyššie uvedený algoritmus sa nazýva Euklidov algoritmus nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch celých čísel.

Príklad nájdenia najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel 630 a 434.

• Krok 1. Vydeľte číslo 630 číslom 434. Zvyšok je 196.
• Krok 2. Vydeľte číslo 434 číslom 196. Zvyšok je 42.
• Krok 3. Vydeľte číslo 196 číslom 42. Zvyšok je 28.
• Krok 4. Vydeľte číslo 42 číslom 28. Zvyšok je 14.
• Krok 5. Vydeľte číslo 28 číslom 14. Zvyšok je 0.

V kroku 5 je zvyšok delenia 0. Preto je najväčší spoločný deliteľ čísel 630 a 434 14. Všimnite si, že čísla 2 a 7 sú tiež deliteľmi čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definícia 1. Nech je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2 sa rovná jednej. Potom sa volajú tieto čísla coprime čísla ktoré nemajú spoločného deliteľa.

Veta 1. Ak a 1 a a 2 relatívne prvočísla, a λ nejaké číslo, potom ľubovoľný spoločný deliteľ čísel λa 1 a a 2 je tiež spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Dôkaz. Zvážte Euklidov algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa čísel a 1 a a 2 (pozri vyššie).

.

Z podmienok vety vyplýva, že najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, a preto a n a a n+1 je 1. T.j. a n+1=1.

Všetky tieto rovnosti vynásobme λ , potom

.

Nech je spoločný deliteľ a 1 λ a a 2 je δ . Potom δ vstupuje ako faktor v a 1 λ , m 1 a 2 λ a v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Pozri "Deliteľnosť čísel", vyhlásenie 2). Ďalej δ vstupuje ako faktor v a 2 λ a m 2 a 3 λ , a teda vstupuje ako faktor do a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Takýmto uvažovaním sme o tom presvedčení δ vstupuje ako faktor v a n-1 λ a m n-1 a n λ , a teda v a n-1 λ −m n-1 a n λ =a n+1 λ . Pretože a n+1 = 1, potom δ vstupuje ako faktor v λ . Preto to číslo δ je spoločný deliteľ čísel λ a a 2 .

Zvážte špeciálne prípady vety 1.

Dôsledok 1. Nechaj a a c prvočísla sú relatívne b. Potom ich produkt ac je prvočíslo vzhľadom na b.

naozaj. Z vety 1 ac a b majú rovnakých spoločných deliteľov ako c a b. Ale čísla c a b coprime, t.j. majú jediného spoločného deliteľa 1. Potom ac a b majú tiež jediného spoločného deliteľa 1. Preto ac a b obojstranne jednoduché.

Dôsledok 2. Nechaj a a b coprime čísla a nech b rozdeľuje ak. Potom b rozdeľuje a k.

naozaj. Z podmienky tvrdenia ak a b majú spoločného deliteľa b. Na základe vety 1, b musí byť spoločným deliteľom b a k. V dôsledku toho b rozdeľuje k.

Dôsledok 1 možno zovšeobecniť.

Dôsledok 3. 1. Nechajte čísla a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m sú prvočísla relatívne k číslu b. Potom a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , súčin týchto čísel je prvočíslo vzhľadom na číslo b.

2. Nech máme dva rady čísel

tak, že každé číslo v prvom rade je prvočíslo vzhľadom na každé číslo v druhom rade. Potom produkt

Je potrebné nájsť také čísla, ktoré sú deliteľné každým z týchto čísel.

Ak je číslo deliteľné a 1, potom to vyzerá sa 1, kde s nejaké číslo. Ak q je najväčší spoločný deliteľ čísel a 1 a a 2, potom

kde s 1 je nejaké celé číslo. Potom

je najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2 .

a 1 a a 2 coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 a a 2:

Nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

Z uvedeného vyplýva, že ľubovoľný násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 musí byť násobkom čísel ε a a 3 a naopak. Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε a a 3 je ε jeden . Ďalej násobok čísel a 1 , a 2 , a 3 , a 4 musí byť násobkom čísel ε 1 a aštyri . Nech je najmenší spoločný násobok čísel ε 1 a a 4 je ε 2. Zistili sme teda, že všetky násobky čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa zhodujú s násobkami nejakého konkrétneho čísla ε n , ktorý sa nazýva najmenší spoločný násobok daných čísel.

V konkrétnom prípade, keď čísla a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2, ako je znázornené vyššie, má tvar (3). Ďalej od r a 3 prvočíslo vzhľadom na čísla a 1 , a 2, potom a 3 je prvočíslo relatívne číslo a jeden · a 2 (dôsledok 1). Čiže najmenší spoločný násobok čísel a 1 ,a 2 ,a 3 je číslo a jeden · a 2 · a 3. Argumentujúc podobným spôsobom, dospejeme k nasledujúcim tvrdeniam.

Vyhlásenie 1. Najmenší spoločný násobok prvočíselných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sa rovná ich súčinu a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Vyhlásenie 2. Akékoľvek číslo, ktoré je deliteľné každým zo základných čísel a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je deliteľné aj ich súčinom a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Násobok čísla je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Najmenší spoločný násobok (LCM) skupiny čísel je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné každým číslom v skupine. Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok, musíte nájsť prvočísla daných čísel. LCM možno vypočítať aj pomocou množstva iných metód, ktoré sú použiteľné pre skupiny dvoch alebo viacerých čísel.

Kroky

Séria násobkov

Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, ak sú zadané dve čísla, ktoré sú obe menšie ako 10. Ak sú zadané veľké čísla, použite inú metódu.

• Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 5 a 8. Ide o malé čísla, preto je možné použiť túto metódu.

1. Násobok čísla je číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné daným číslom. Viacnásobné čísla nájdete v tabuľke násobenia.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 5, sú: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Napíšte sériu čísel, ktoré sú násobkami prvého čísla. Urobte to pod násobkami prvého čísla, aby ste porovnali dva riadky čísel.

   • Napríklad čísla, ktoré sú násobkami 8, sú: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

3. Nájdite najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v oboch radoch násobkov. Možno budete musieť napísať dlhé série násobkov, aby ste našli súčet. Najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v oboch radoch násobkov, je najmenší spoločný násobok.

   • Napríklad najmenšie číslo, ktoré sa vyskytuje v rade násobkov 5 a 8, je 40. Preto je 40 najmenší spoločný násobok 5 a 8.

   Prvotná faktorizácia

   1. Pozrite sa na tieto čísla. Tu opísanú metódu je najlepšie použiť, ak sú zadané dve čísla, ktoré sú obe väčšie ako 10. Ak sú zadané menšie čísla, použite inú metódu.

      • Nájdite napríklad najmenší spoločný násobok čísel 20 a 84. Každé z čísel je väčšie ako 10, preto je možné použiť túto metódu.

   2. Faktorizujte prvé číslo. To znamená, že musíte nájsť také prvočísla, keď vynásobíte, dostanete dané číslo. Po nájdení hlavných faktorov ich zapíšte ako rovnosť.

      • Napríklad, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\krát 10=20) a 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísla čísla 20 sú teda čísla 2, 2 a 5. Zapíšte ich ako výraz: .

   3. Faktor druhé číslo do prvočiniteľov. Urobte to rovnakým spôsobom, ako ste rozkladali prvé číslo, teda nájdite také prvočísla, ktoré po vynásobení dostanú toto číslo.

      • Napríklad, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) a 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísla čísla 84 sú teda čísla 2, 7, 3 a 2. Zapíšte ich ako výraz: .

   4. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla. Napíšte také faktory ako operáciu násobenia. Pri zapisovaní každého faktora ho prečiarknite v oboch výrazoch (výrazoch, ktoré popisujú rozklad čísel na prvočísla).

      • Napríklad spoločný činiteľ pre obe čísla je 2, tak napíšte 2 × (\displaystyle 2\times ) a prečiarknite 2 v oboch výrazoch.
      • Spoločný faktor pre obe čísla je ďalší faktor 2, tak napíšte 2 × 2 (\displaystyle 2\time 2) a prečiarknite druhé 2 v oboch výrazoch.

   5. Pridajte zostávajúce faktory do operácie násobenia. Ide o faktory, ktoré nie sú prečiarknuté v oboch výrazoch, teda faktory, ktoré nie sú spoločné pre obe čísla.

      • Napríklad vo výraze 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) obe dvojky (2) sú prečiarknuté, pretože ide o spoločné faktory. Faktor 5 nie je prečiarknutý, preto zapíšte operáciu násobenia takto: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\time 2\time 5)
      • Vo výraze 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obe dvojky (2) sú tiež prečiarknuté. Faktory 7 a 3 nie sú prečiarknuté, preto operáciu násobenia zapíšte takto: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

   6. Vypočítajte najmenší spoločný násobok. Ak to chcete urobiť, vynásobte čísla v písomnej operácii násobenia.

      • Napríklad, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže najmenší spoločný násobok 20 a 84 je 420.

   Hľadanie spoločných deliteľov

   1. Nakreslite mriežku ako pri hre piškvorky. Takáto mriežka pozostáva z dvoch rovnobežných čiar, ktoré sa pretínajú (v pravom uhle) s dvoma ďalšími rovnobežnými čiarami. Výsledkom budú tri riadky a tri stĺpce (mriežka vyzerá veľmi podobne ako znak #). Napíšte prvé číslo do prvého riadku a druhého stĺpca. Napíšte druhé číslo do prvého riadku a tretieho stĺpca.

      • Napríklad nájdite najmenší spoločný násobok 18 a 30. Napíšte 18 do prvého riadka a druhého stĺpca a napíšte 30 do prvého riadka a tretieho stĺpca.

   2. Nájdite deliteľa spoločného pre obe čísla. Napíšte to do prvého riadku a prvého stĺpca. Je lepšie hľadať prvočíselníkov, ale nie je to podmienkou.

      • Napríklad 18 a 30 sú párne čísla, takže ich spoločný deliteľ je 2. Napíš teda 2 do prvého riadku a prvého stĺpca.

   3. Vydeľte každé číslo prvým deliteľom. Každý podiel napíšte pod príslušné číslo. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel.

      • Napríklad, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napíšte 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napíšte 15 pod 30.

   4. Nájdite deliteľa spoločného pre oba kvocienty. Ak takýto deliteľ neexistuje, preskočte nasledujúce dva kroky. V opačnom prípade zapíšte deliteľa do druhého riadku a prvého stĺpca.

      • Napríklad 9 a 15 sú deliteľné 3, preto napíšte 3 do druhého riadku a prvého stĺpca.

   5. Vydeľte každý podiel druhým deliteľom. Každý výsledok delenia zapíšte pod príslušný kvocient.

      • Napríklad, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napíšte 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napíšte 5 pod 15.

   6. V prípade potreby doplňte mriežku o ďalšie bunky. Opakujte vyššie uvedené kroky, kým podiely nebudú mať spoločného deliteľa.

   7. Zakrúžkujte čísla v prvom stĺpci a poslednom riadku mriežky. Potom napíšte zvýraznené čísla ako operáciu násobenia.

      • Napríklad čísla 2 a 3 sú v prvom stĺpci a čísla 3 a 5 sú v poslednom riadku, takže operáciu násobenia napíšte takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

   8. Nájdite výsledok násobenia čísel. Tým sa vypočíta najmenší spoločný násobok dvoch daných čísel.

      • Napríklad, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže najmenší spoločný násobok 18 a 30 je 90.

   Euklidov algoritmus

   1. Pamätajte na terminológiu spojenú s operáciou delenia. Dividenda je číslo, ktoré sa delí. Deliteľ je číslo, ktorým sa má deliť. Kvocient je výsledkom delenia dvoch čísel. Zvyšok je číslo, ktoré zostane po delení dvoch čísel.

      • Napríklad vo výraze 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odpočinok. 3:
        15 je deliteľné
        6 je deliteľ
        2 je súkromný
        3 je zvyšok.

Pokračujme v diskusii o najmenšom spoločnom násobku, ktorú sme začali v časti LCM - Najmenší spoločný násobok, definícia, príklady. V tejto téme zvážime spôsoby, ako nájsť LCM pre tri alebo viac čísel, analyzujeme otázku, ako nájsť LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Vzťah medzi najmenším spoločným násobkom a najväčším spoločným deliteľom sme už stanovili. Teraz sa naučíme, ako definovať LCM prostredníctvom GCD. Po prvé, poďme zistiť, ako to urobiť pre kladné čísla.

Definícia 1

Najmenší spoločný násobok môžete nájsť pomocou najväčšieho spoločného deliteľa pomocou vzorca LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Príklad 1

Je potrebné nájsť LCM čísel 126 a 70.

Riešenie

Vezmime si a = 126 , b = 70 . Dosaďte hodnoty vo vzorci na výpočet najmenšieho spoločného násobku cez najväčšieho spoločného deliteľa LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Nájde GCD čísel 70 a 126. Na to potrebujeme Euklidov algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , teda gcd (126 , 70) = 14 .

Vypočítajme LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

odpoveď: LCM (126, 70) = 630.

Príklad 2

Nájdite číslo 68 a 34.

Riešenie

GCD je v tomto prípade ľahké nájsť, pretože 68 je deliteľné 34. Vypočítajte najmenší spoločný násobok pomocou vzorca: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

odpoveď: LCM(68,34) = 68.

V tomto príklade sme použili pravidlo na nájdenie najmenšieho spoločného násobku kladných celých čísel a a b: ak je prvé číslo deliteľné druhým, potom sa LCM týchto čísel bude rovnať prvému číslu.

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Teraz sa pozrime na spôsob, ako nájsť LCM, ktorý je založený na rozklade čísel na prvočísla.

Definícia 2

Aby sme našli najmenší spoločný násobok, musíme vykonať niekoľko jednoduchých krokov:

• tvoríme súčin všetkých prvočísel čísel, pre ktoré potrebujeme nájsť LCM;
• z ich získaných produktov vylúčime všetky hlavné faktory;
• produkt získaný po odstránení spoločných prvočísel sa bude rovnať LCM daných čísel.

Tento spôsob hľadania najmenšieho spoločného násobku je založený na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Ak sa pozriete na vzorec, je jasné: súčin čísel a a b sa rovná súčinu všetkých faktorov, ktoré sa podieľajú na rozširovaní týchto dvoch čísel. V tomto prípade sa GCD dvoch čísel rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v rozkladoch týchto dvoch čísel.

Príklad 3

Máme dve čísla 75 a 210 . Môžeme ich vypočítať takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Ak vytvoríte súčin všetkých faktorov dvoch pôvodných čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Ak vylúčime faktory spoločné pre čísla 3 a 5, dostaneme súčin nasledujúceho tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pre čísla 75 a 210.

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 441 a 700 , pričom sa obe čísla rozložia na prvočiniteľa.

Riešenie

Nájdite všetky prvočísla čísel uvedených v podmienke:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva reťazce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Súčin všetkých faktorov, ktoré sa podieľali na rozšírení týchto čísel, bude vyzerať takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poďme nájsť spoločné faktory. Toto číslo je 7. Vylučujeme ho zo všeobecného produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje sa, že NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odpoveď: LCM (441, 700) = 44100.

Uveďme ešte jednu formuláciu metódy na nájdenie LCM rozkladom čísel na prvočiniteľa.

Definícia 3

Predtým sme z celkového počtu vylúčili faktory spoločné pre obe čísla. Teraz to urobíme inak:

• Rozložme obe čísla na prvočísla:
• doplniť k súčinu prvočísel prvého čísla chýbajúce činitele druhého čísla;
• dostaneme súčin, ktorým bude požadovaná LCM dvoch čísel.

Príklad 5

Vráťme sa k číslam 75 a 210 , pre ktoré sme už hľadali LCM v jednom z predchádzajúcich príkladov. Rozdeľme ich na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Na súčin faktorov 3 , 5 a 5 číslo 75 doplniť chýbajúce faktory 2 a 7 čísla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Príklad 6

Je potrebné vypočítať LCM čísel 84 a 648.

Riešenie

Rozložme čísla z podmienky na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Pridajte k súčinu faktorov 2 , 2 , 3 a 7 čísla 84 chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a
3 čísla 648 . Dostaneme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Toto je najmenší spoločný násobok 84 a 648.

odpoveď: LCM (84, 648) = 4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Bez ohľadu na to, s koľkými číslami máme čo do činenia, algoritmus našich akcií bude vždy rovnaký: postupne nájdeme LCM dvoch čísel. Pre tento prípad existuje veta.

Veta 1

Predpokladajme, že máme celé čísla a 1 , a 2 , ... , k. NOC m k z týchto čísel sa zistí sekvenčný výpočet m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k − 1, ak) .

Teraz sa pozrime na to, ako sa dá veta aplikovať na konkrétne problémy.

Príklad 7

Musíte vypočítať najmenší spoločný násobok štyroch čísel 140 , 9 , 54 a 250 .

Riešenie

Predstavme si notáciu: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Začnime výpočtom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Použime euklidovský algoritmus na výpočet GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Získame: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Preto m 2 = 1 260.

Teraz vypočítajme podľa rovnakého algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . V priebehu výpočtov dostaneme m 3 = 3 780.

Zostáva nám vypočítať m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podľa rovnakého algoritmu. Získame m 4 \u003d 94 500.

LCM štyroch čísel z príkladu podmienky je 94500 .

odpoveď: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Ako vidíte, výpočty sú jednoduché, ale dosť pracné. Ak chcete ušetriť čas, môžete ísť iným spôsobom.

Definícia 4

Ponúkame vám nasledujúci algoritmus akcií:

• rozložiť všetky čísla na prvočísla;
• k súčinu faktorov prvého čísla doplňte chýbajúce faktory súčinu druhého čísla;
• pridať chýbajúce faktory tretieho čísla k produktu získanému v predchádzajúcej fáze atď.;
• výsledný súčin bude najmenší spoločný násobok všetkých čísel z podmienky.

Príklad 8

Je potrebné nájsť LCM piatich čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Riešenie

Rozložme všetkých päť čísel na prvočísla: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvočísla, čo je číslo 7, nemožno zahrnúť do prvočísel. Takéto čísla sa zhodujú s ich rozkladom na prvočísla.

Teraz zoberme súčin prvočiniteľov 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a pripočítajme k nim chýbajúce činitele druhého čísla. Rozložili sme číslo 6 na 2 a 3. Tieto faktory sú už v súčine prvého čísla. Preto ich vynechávame.

Pokračujeme v dopĺňaní chýbajúcich násobiteľov. Obrátime sa na číslo 48, zo súčinu prvočiniteľov, z ktorých vezmeme 2 a 2. Potom pridáme jednoduchý faktor 7 zo štvrtého čísla a faktory 11 a 13 z piateho. Získame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je najmenší spoločný násobok z piatich pôvodných čísel.

odpoveď: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Nájdenie najmenšieho spoločného násobku záporných čísel

Aby sa našiel najmenší spoločný násobok záporných čísel, musia sa tieto čísla najskôr nahradiť číslami s opačným znamienkom a potom by sa mali výpočty vykonať podľa vyššie uvedených algoritmov.

Príklad 9

LCM(54,-34) = LCM(54,34) a LCM(-622,-46,-54,-888) = LCM(622,46,54,888).

Takéto akcie sú prípustné vzhľadom na skutočnosť, že ak sa prijme, že a a − a- opačné čísla
potom množina násobkov a sa zhoduje s množinou násobkov čísla − a.

Príklad 10

Je potrebné vypočítať LCM záporných čísel − 145 a − 45 .

Riešenie

Zmeňme čísla − 145 a − 45 na ich opačné čísla 145 a 45 . Teraz pomocou algoritmu vypočítame LCM (145, 45) = 145 45: GCD (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305, pričom sme predtým určili GCD pomocou Euklidovho algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel − 145 a − 45 rovná sa 1 305 .

odpoveď: LCM (- 145, - 45) = 1 305 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Téma "Viacnásobné čísla" sa študuje v 5. ročníku strednej školy. Jeho cieľom je zlepšiť písomné a ústne zručnosti matematických výpočtov. V tejto lekcii sú predstavené nové pojmy - "viacnásobné čísla" a "deliteľky", rozpracúva sa technika hľadania deliteľov a násobkov prirodzeného čísla, schopnosť nájsť LCM rôznymi spôsobmi.

Táto téma je veľmi dôležitá. Poznatky na ňom možno uplatniť pri riešení príkladov so zlomkami. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločného menovateľa výpočtom najmenšieho spoločného násobku (LCM).

Násobok A je celé číslo, ktoré je deliteľné A bezo zvyšku.

Každé prirodzené číslo má nekonečný počet jeho násobkov. Považuje sa za najmenej. Násobok nemôže byť menší ako samotné číslo.

Je potrebné dokázať, že číslo 125 je násobkom čísla 5. Aby ste to dosiahli, musíte vydeliť prvé číslo druhým. Ak je 125 deliteľné 5 bez zvyšku, odpoveď je áno.

Táto metóda je použiteľná pre malé čísla.

Pri výpočte LCM existujú špeciálne prípady.

1. Ak potrebujete nájsť spoločný násobok pre 2 čísla (napríklad 80 a 20), kde jedno z nich (80) je deliteľné bezo zvyšku druhým (20), potom je toto číslo (80) najmenšie násobok týchto dvoch čísel.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ak dve nemajú spoločného deliteľa, potom môžeme povedať, že ich LCM je súčinom týchto dvoch čísel.

LCM (6, 7) = 42.

Zvážte posledný príklad. 6 a 7 vo vzťahu k 42 sú deliče. Delia násobok bezo zvyšku.

V tomto príklade sú 6 a 7 párové deliče. Ich súčin sa rovná najväčšiemu násobku (42).

Číslo sa nazýva prvočíslo, ak je deliteľné iba samo sebou alebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostatné sa nazývajú kompozitné.

V inom príklade musíte určiť, či 9 je deliteľ vzhľadom na 42.

42:9=4 (zvyšok 6)

Odpoveď: 9 nie je deliteľom 42, pretože odpoveď má zvyšok.

Deliteľ sa líši od násobku tým, že deliteľ je číslo, ktorým sa delia prirodzené čísla, a samotný násobok je deliteľný týmto číslom.

Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b, vynásobený ich najmenším násobkom, dá súčin samotných čísel a a b.

Konkrétne: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Spoločné násobky pre komplexnejšie čísla sa nachádzajú nasledujúcim spôsobom.

Nájdite napríklad LCM pre 168, 180, 3024.

Tieto čísla rozložíme na prvočísla, zapíšeme ich ako súčin mocnin:

168 = 2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.