Jedno percento je stotina čísla. Tento koncept sa používa vtedy, keď je potrebné uviesť pomer podielu k celku. Okrem toho je možné niekoľko hodnôt porovnať ako percentá, pričom nevyhnutne uvádzame, ku ktorému celému číslu sa percentá počítajú. Napríklad výdavky sú o 10 % vyššie ako príjmy alebo cena lístkov na vlak vzrástla o 15 % oproti cestovnému z predchádzajúceho roka. Percento nad 100 znamená, že podiel je väčší ako celok, ako sa to často stáva pri štatistických výpočtoch.
Úrok ako finančný pojem - platba, dlžník veriteľovi za poskytnutie peňazí na dočasné použitie. V podnikaní existuje výraz „pracovať pre záujem“. AT tento prípad rozumie sa, že výška odmeny závisí od zisku alebo obratu (provízie). Nedá sa zaobísť bez výpočtu záujmu o účtovníctvo, podnikanie, bankovníctvo. Na zjednodušenie výpočtov bola vyvinutá online kalkulačka percent.
Kalkulačka vám umožňuje vypočítať:
- Percento nastavenej hodnoty.
- Percento zo sumy (daň zo skutočnej mzdy).
- Percento rozdielu (DPH od ).
- A oveľa viac...
Pri riešení úloh na percentuálnej kalkulačke musíte pracovať s tromi hodnotami, z ktorých jedna je neznáma (podľa dané parametre premenná sa vypočítava). Scenár výpočtu by sa mal vybrať na základe špecifikovaných podmienok.
Príklady výpočtov
1. Vypočítajte percento z čísla
Ak chcete nájsť číslo, ktoré je 25% z 1 000 rubľov, potrebujete:
- 1 000 × 25 / 100 = 250 rubľov
- Alebo 1 000 × 0,25 = 250 rubľov.
Ak chcete vypočítať na bežnej kalkulačke, musíte vynásobiť 1 000 číslom 25 a stlačiť tlačidlo %.
2. Definícia celého čísla (100 %)
Vieme, že 250 rubľov. je 25 % z nejakého čísla. Ako to vypočítať?
Urobme jednoduchý pomer:
- 250 rub. - 25 %
- Y rub. - 100 %
- Y \u003d 250 × 100 / 25 \u003d 1 000 rubľov.
3. Percento medzi dvoma číslami
Predpokladajme zisk 800 rubľov, ale dostali 1 040 rubľov. Aké je percento prekročenia?
Podiel bude:
- 800 rub. - 100 %
- 1 040 RUB – Y %
- Y = 1040 × 100 / 800 = 130 %
Prekročenie plánu zisku - 30%, to znamená realizácia - 130%.
4. Výpočet nie zo 100 %
Napríklad predajňu s tromi oddeleniami navštívi 100 % zákazníkov. V oddelení potravín - 800 ľudí (67%), v oddelení chemikálií pre domácnosť - 55. Aké percento kupujúcich prichádza do oddelenia chemikálií pre domácnosť?
Pomer:
- 800 návštevníkov – 67 %
- 55 návštevníkov – Y %
- Y = 55 × 67 / 800 = 4,6 %
5. Aké percento je jedno číslo menšie ako druhé
Cena tovaru klesla z 2 000 na 1 200 rubľov. O koľko percent komodita zlacnela alebo o koľko percent je 1200 menej ako 2000?
- 2 000 - 100 %
- 1 200 – Y %
- Y = 1 200 × 100 / 2 000 = 60 % (60 % až 1 200 z roku 2000)
- 100 % − 60 % = 40 % (číslo 1200 je o 40 % menšie ako 2000)
6. O koľko percent je jedno číslo väčšie ako druhé
Plat sa zvýšil z 5 000 na 7 500 rubľov. O koľko percent sa zvýšil plat? O koľko percent je 7500 viac ako 5000?
- 5 000 rubľov. - 100 %
- 7 500 rubľov. - Y %
- Y = 7 500 × 100 / 5 000 = 150 % (na obrázku 7 500 je 150 % z 5 000)
- 150 % – 100 % = 50 % (číslo 7 500 je o 50 % väčšie ako 5 000)
7. Zvýšte počet o určité percento
Cena tovaru S je vyššia ako 1 000 rubľov. o 27 %. Aká je cena položky?
- 1 000 rub. - 100 %
- S - 100 % + 27 %
- S \u003d 1 000 × (100 + 27) / 100 \u003d 1 270 rubľov.
Online kalkulačka výrazne uľahčuje výpočty: je potrebné vybrať typ výpočtu, zadať číslo a percento (v prípade výpočtu percentá- druhé číslo), uveďte presnosť výpočtu a zadajte príkaz na spustenie akcií.
Dnes pokračujeme v sérii videonávodov o percentuálnych problémoch z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Konkrétne budeme úplne analyzovať dva skutočné úlohy z Jednotnej štátnej skúšky a opäť sa presvedčíme, aké dôležité je pozorne si prečítať stav problému a správne ho interpretovať.
Takže prvá úloha znie:
Úloha. Problém B1 vyriešilo správne len 95 % a 37 500 absolventov mesta. Koľko ľudí správne vyriešilo úlohu B1?
Na prvý pohľad sa zdá, že ide o nejakú úlohu pre čiapky. Páči sa mi to:
Úloha. Na strome bolo 7 vtákov. 3 z nich odleteli. Koľko vtákov preletelo?
Poďme si to však spočítať. Budeme riešiť proporčnou metódou. Máme teda 37 500 študentov – to je 100 %. A tiež existuje určitý počet x študentov, čo je 95% tých veľmi šťastných, ktorí správne vyriešili úlohu B1. Zapíšeme si to:
37 500 — 100%
X – 95 %
Musíte urobiť pomer a nájsť x. Dostaneme:
Pred nami klasický pomer, ale pred použitím vlastnosti main a jej krížovým vynásobením navrhujem obe časti rovnice vydeliť 100. Inými slovami, v čitateli každého zlomku prečiarkneme dve nuly. Prepíšme výslednú rovnicu:
Podľa základnej vlastnosti proporcie sa súčin krajných členov rovná súčinu stredných členov. Inými slovami:
x = 375 95
Je to pekné veľké čísla, takže ich musíte vynásobiť stĺpcom. Pripomínam, že na skúške z matematiky je prísne zakázané používať kalkulačku. Dostaneme:
x = 35625
Celková odpoveď: 35 625. Toľko ľudí z pôvodných 37 500 vyriešilo úlohu B1 správne. Ako vidíte, tieto čísla sú dosť blízko, čo dáva zmysel, pretože 95 % je tiež veľmi blízko 100 %. Vo všeobecnosti je prvá úloha vyriešená. Prejdime k druhému.
Problém so záujmom č. 2
Úloha. Problém B9 vyriešilo správne len 80 % zo 45 000 absolventov mesta. Koľko ľudí vyriešilo problém B9 nesprávne?
Riešime rovnakým spôsobom. Spočiatku to bolo 45 000 absolventov - to je 100%. Z tohto počtu potom treba vybrať x absolventov, čo by malo byť 80% pôvodného počtu. Urobíme pomer a vyriešime:
45 000 — 100%
x – 80 %
Znížime jednu nulu v čitateli a menovateli 2. zlomku. Prepíšme výslednú konštrukciu ešte raz:
Hlavná vlastnosť proporcie: súčin extrémnych pojmov sa rovná súčinu stredných. Dostaneme:
45 000 8 = x 10
Je to najjednoduchšie lineárna rovnica. Vyjadrime z nej premennú x:
x = 45 000 8:10
Znížime jednu nulu na 45 000 a na 10, menovateľ zostane jedna, takže všetko, čo potrebujeme, je nájsť hodnotu výrazu:
x = 4500 8
Môžete, samozrejme, urobiť to isté ako naposledy a vynásobte tieto čísla stĺpcom. Nesťažujme si však život a namiesto násobenia stĺpcom si osmičku rozložíme na faktory:
x = 4500 2 2 2 = 9 000 2 2 = 36 000
A teraz - najdôležitejšia vec, o ktorej som hovoril na samom začiatku hodiny. Musíte si pozorne prečítať stav problému!
Čo potrebujeme vedieť? Koľko ľudí vyriešilo úlohu B9 nesprávne. A práve sme našli tých ľudí, ktorí sa rozhodli správne. Ukázalo sa, že ich je 80 %. pôvodné číslo, t.j. 36 000. To znamená, že na to, aby sme dostali konečnú odpoveď, musíme od pôvodného počtu študentov odpočítať našich 80 %. Dostaneme:
45 000 − 36 000 = 9000
Výsledné číslo 9000 je odpoveďou na problém. Celkovo v tomto meste zo 45-tisíc maturantov vyriešilo problém B9 nesprávne 9-tisíc ľudí. Všetko, úloha je vyriešená.
Z hľadiska matematiky je podiel rovnosťou dvoch pomerov. Vzájomná závislosť je charakteristická pre všetky časti podielu, ako aj ich nemenný výsledok. Môžete pochopiť, ako vytvoriť pomer, oboznámením sa s vlastnosťami a vzorcom pomeru. Na pochopenie princípu riešenia proporcií bude stačiť zvážiť jeden príklad. Iba priamym riešením proporcií sa môžete ľahko a rýchlo naučiť tieto zručnosti. A tento článok pomôže čitateľovi v tomto.
Vlastnosti pomeru a vzorec
- Obrátenie proporcií. V prípade, že daná rovnosť vyzerá ako 1a: 2b = 3c: 4d, napíšte 2b: 1a = 4d: 3c. (Okrem toho, 1a, 2b, 3c a 4d sú základné čísla, iné ako 0).
- násobenie danými členmi krížové proporcie. AT doslovný výraz vyzerá to takto: 1a: 2b = 3c: 4d a písanie 1a4d = 2b3c bude ekvivalentné. Súčin extrémnych častí ľubovoľného pomeru (čísla na hranách rovnosti) je teda vždy rovná produktu stredné časti (čísla umiestnené v strede rovnosti).
- Pri zostavovaní podielu môže byť užitočná aj jeho vlastnosť ako permutácia krajných a stredných členov. Vzorec rovnosti 1a: 2b = 3c: 4d možno zobraziť nasledujúcimi spôsobmi:
- 1a: 3c = 2b: 4d (pri preskupení stredných členov podielu).
- 4d: 2b = 3c: 1a (keď sa preusporiadajú krajné členy podielu).
- Dokonale pomáha pri riešení pomeru jeho vlastnosti nárastu a poklesu. S 1a: 2b = 3c: 4d napíšte:
- (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (rovnosť rastúcim podielom).
- (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (rovnosť klesajúcim podielom).
- Proporcie môžete vytvárať pridávaním a odčítaním. Keď je pomer zapísaný ako 1a:2b = 3c:4d, potom:
- (1a + 3c): (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (podiel sa spočítava).
- (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (podiel sa odpočíta).
- Tiež pri riešení podielu obsahujúceho zlomkové alebo veľké čísla môžete oba jeho členy vydeliť alebo vynásobiť rovnaké číslo. Napríklad zložky pomeru 70:40=320:60 možno zapísať takto: 10*(7:4=32:6).
- Variant riešenia podielu s percentami vyzerá takto. Zapíšte si napríklad 30=100%, 12=x. Teraz by ste mali vynásobiť stredné členy (12 * 100) a vydeliť známym extrémom (30). Odpoveď teda znie: x=40 %. Podobným spôsobom je možné, ak je to potrebné, vynásobiť známe extrémne členy a rozdeliť ich daným priemerným číslom, čím sa získa požadovaný výsledok.
Ak máte záujem o konkrétny pomerný vzorec, potom v najjednoduchšej a najbežnejšej verzii je pomerom taká rovnosť (vzorec): a / b \u003d c / d, v ktorom a, b, c a d sú štyri non - nulové čísla.
§ 125. Pojem pomeru.
Proporcia je rovnosť dvoch pomerov. Tu sú príklady rovnosti nazývanej proporcie:
Poznámka. Názvy množstiev v pomeroch nie sú uvedené.
Podiely sa zvyčajne čítajú takto: 2 súvisí s 1 (jedna), keďže 10 súvisí s 5 (prvý podiel). Môžete to čítať inak, napríklad: 2 je toľkokrát väčšie ako 1, koľkokrát je 10 väčšie ako 5. Tretí podiel môžeme čítať takto: - 0,5 je toľkokrát menšie ako 2, koľkokrát 0,75 je menej ako 3.
Čísla v pomere sa nazývajú členov podielu. Podiel teda pozostáva zo štyroch výrazov. Prvý a posledný člen, teda člen stojaci na okrajoch, sa nazývajú extrémna, a podmienky podielu, ktoré sú v strede, sa nazývajú priemerčlenov. To znamená, že v prvom pomere budú čísla 2 a 5 krajnými členmi a čísla 1 a 10 strednými členmi podielu.
§ 126. Hlavná vlastnosť pomeru.
Zvážte pomer:
Jeho extrémne a stredné členy násobíme oddelene. Súčin extrému 6 4 \u003d 24, súčin priemeru 3 8 \u003d 24.
Zvážte iný pomer: 10: 5 \u003d 12: 6. Tu tiež násobíme oddelene extrémne a stredné pojmy.
Súčin extrému 10 6 \u003d 60, súčin priemeru 5 12 \u003d 60.
Hlavná vlastnosť proporcie: súčin extrémnych členov podielu sa rovná súčinu jeho stredných členov.
AT všeobecný pohľad hlavná vlastnosť podielu je napísaná takto: ad = bc .
Pozrime sa na to v niekoľkých proporciách:
1) 12: 4 = 30: 10.
Tento pomer je pravdivý, pretože pomery, z ktorých sa skladá, sú rovnaké. Zároveň, ak vezmeme súčin krajných členov podielu (12 10) a súčin jeho stredných členov (4 30), uvidíme, že sú si navzájom rovné, t.
12 10 = 4 30.
2) 1 / 2: 1 / 48 = 20: 5 / 6
Pomer je správny, čo sa dá ľahko overiť zjednodušením prvého a druhého vzťahu. Hlavná vlastnosť podielu bude mať formu:
1 / 2 5 / 6 = 1 / 48 20
Je ľahké vidieť, že ak napíšeme takú rovnosť, v ktorej súčin dvoch ľubovoľných čísel je na ľavej strane a súčin dvoch ďalších čísel na pravej strane, potom z týchto štyri čísla môžete urobiť pomer.
Majme rovnosť, ktorá obsahuje štyri čísla, vynásobené v pároch:
tieto štyri čísla môžu byť členmi proporcie, čo nie je ťažké napísať, ak vezmeme prvý súčin ako súčin extrémnych členov a druhý ako súčin stredných. Zverejnenú rovnosť možno dosiahnuť napríklad týmto pomerom:
Vo všeobecnosti z rovnosti ad = bc môžete získať nasledujúce proporcie:
Nasledujúce cvičenie urobte sami. Vzhľadom na súčin dvoch párov čísel napíšte pomer zodpovedajúci každej rovnosti:
a) 16 = 23;
b) 2 15 = b 5.
§ 127. Výpočet neznámych členov podielu.
Hlavná vlastnosť podielu vám umožňuje vypočítať ktorýkoľvek z podmienok podielu, ak nie je známy. Zoberme si pomer:
X : 4 = 15: 3.
V tomto pomere je jeden extrémny výraz neznámy. Vieme, že v každom pomere sa súčin extrémnych členov rovná súčinu stredných členov. Na základe toho môžeme napísať:
X 3 = 4 15.
Po vynásobení 4 x 15 môžeme túto rovnicu prepísať takto:
X 3 = 60.
Pozrime sa na túto rovnosť. V ňom je prvý faktor neznámy, druhý faktor je známy a produkt je známy. Vieme, že na nájdenie neznámeho faktora stačí rozdeliť produkt iným (známym) faktorom. Potom sa ukáže:
X = 60:3, resp X = 20.
Skontrolujme nájdený výsledok dosadením čísla 20 namiesto X v tomto pomere:
Pomer je správny.
Zamyslime sa nad tým, aké akcie sme museli vykonať, aby sme vypočítali neznámy extrémny člen podielu. Zo štyroch členov pomeru nám bol neznámy iba jeden extrém; boli známe dva stredný a druhý extrém. Aby sme našli extrémny člen podielu, najprv sme vynásobili stredné členy (4 a 15) a potom rozdelili nájdený produkt známym extrémnym členom. Teraz ukážeme, že akcie by sa nezmenili, keby želaný extrémny termín podielu nebol na prvom, ale až na poslednom mieste. Zoberme si pomer:
70: 10 = 21: X .
Zapíšme si hlavnú vlastnosť podielu: 70 X = 10 21.
Vynásobením čísel 10 a 21 prepíšeme rovnosť do tohto tvaru:
70 X = 210.
Tu je jeden faktor neznámy, na jeho výpočet stačí rozdeliť súčin (210) iným faktorom (70),
X = 210: 70; X = 3.
Môžeme to teda povedať každý extrémny člen podielu sa rovná súčinu priemerov delených druhým extrémom.
Prejdime teraz k výpočtu neznámeho stredného členu. Zoberme si pomer:
30: X = 27: 9.
Napíšme hlavnú vlastnosť podielu:
30 9 = X 27.
Vypočítame súčin 30 krát 9 a preusporiadame časti poslednej rovnosti:
X 27 = 270.
Poďme nájsť neznámy faktor:
X = 270:27, príp X = 10.
Skontrolujeme pomocou náhrady:
30:10 = 27:9. Pomer je správny.
Zoberme si iný pomer:
12:b= X : 8. Napíšme hlavnú vlastnosť podielu:
12 . 8 = 6 X . Vynásobením 12 a 8 a preskupením častí rovnice dostaneme:
6 X = 96. Nájdite neznámy faktor:
X = 96:6, resp X = 16.
teda každý stredný člen podiel sa rovná súčinu extrémov, delený iným priemerom.
Nájdite neznáme členy nasledujúcich proporcií:
1) a : 3= 10:5; 3) 2: 1 / 2 = X : 5;
2) 8: b = 16: 4; 4) 4: 1 / 3 = 24: X .
Dva najnovšie pravidlá vo všeobecnosti sa to dá napísať takto:
1) Ak pomer vyzerá takto:
x: a = b: c , potom
2) Ak pomer vyzerá takto:
a: x = b: c , potom
§ 128. Zjednodušenie pomeru a preskupenia jeho členov.
V tejto časti odvodíme pravidlá, ktoré nám umožnia zjednodušiť pomer v prípade, že obsahuje veľké čísla alebo zlomkové výrazy. Transformácie, ktoré neporušujú pomer, zahŕňajú:
1. Súčasné zvýšenie alebo zníženie oboch členov ľubovoľného pomeru rovnakým počtom krát.
PRÍKLAD 40:10 = 60:15.
Vynásobením oboch členov prvého vzťahu 3-krát dostaneme:
120:30 = 60: 15.
Podiel sa nezmenil.
Zmenšením oboch členov druhého vzťahu 5-krát dostaneme:
Opäť sme dostali správny pomer.
2. Súčasné zvýšenie alebo zníženie oboch predchádzajúcich alebo oboch nasledujúcich výrazov v rovnakom počte opakovaní.
Príklad. 16:8 = 40:20.
Zdvojnásobme predchádzajúce členy oboch vzťahov:
Dostal správny pomer.
Znížime ďalšie členy oboch vzťahov 4-krát:
Podiel sa nezmenil.
Získané dva závery možno zhrnúť takto: Podiel sa neporuší, ak súčasne zvýšime alebo znížime ktorýkoľvek krajný člen podielu a ktorýkoľvek stredný člen rovnakým počtom krát.
Napríklad štvornásobným znížením 1. krajného a 2. stredného člena pomeru 16:8 = 40:20 dostaneme:
3. Súčasné zvýšenie alebo zníženie všetkých členov podielu rovnakým počtom krát. Príklad. 36:12 = 60:20. Zväčšíme všetky štyri čísla 2-krát:
Podiel sa nezmenil. Znížime všetky štyri čísla 4-krát:
Pomer je správny.
Uvedené transformácie umožňujú po prvé zjednodušiť proporcie a po druhé ich oslobodiť od zlomkových členov. Uveďme si príklady.
1) Nech existuje pomer:
200: 25 = 56: X .
V ňom sú členy prvého vzťahu relatívne veľké čísla, a ak by sme chceli nájsť hodnotu X , potom by sme museli vykonať výpočty na týchto číslach; ale vieme, že pomer nie je porušený, ak sú oba členy pomeru delené rovnakým číslom. Vydeľte každú z nich 25. Podiel bude mať tvar:
8:1 = 56: X .
Získali sme tak pohodlnejší podiel, z ktorého X možno nájsť v mysli:
2) Vezmite pomer:
2: 1 / 2 = 20: 5.
V tomto pomere je zlomkový výraz (1/2), z ktorého sa môžete zbaviť. Aby sme to dosiahli, budeme musieť tento člen vynásobiť napríklad 2. Nemáme však právo zvyšovať stredný člen podielu; je potrebné spolu s ním zvýšiť jeden z extrémnych pojmov; potom pomer nebude porušený (na základe prvých dvoch bodov). Zvýšme prvý z extrémnych výrazov
(2 2) : (2 1 / 2) = 20: 5 alebo 4: 1 = 20:5.
Zvýšme druhý extrémny výraz:
2: (2 1 / 2) = 20: (2 5) alebo 2: 1 = 20: 10.
Uvažujme o troch ďalších príkladoch uvoľnenia podielu od zlomkových členov.
Príklad 1. 1/4: 3/8 = 20:30.
Prineste zlomky do spoločný menovateľ:
2 / 8: 3 / 8 = 20: 30.
Vynásobením oboch členov prvého vzťahu číslom 8 dostaneme:
Príklad 2. 12: 15/14 \u003d 16: 10/7. Priveďme zlomky k spoločnému menovateľovi:
12: 15 / 14 = 16: 20 / 14
Oba nasledujúce výrazy vynásobíme 14, dostaneme: 12:15 \u003d 16:20.
Príklad 3. 1/2: 1/48 = 20: 5/6.
Vynásobme všetky pomery číslom 48:
24: 1 = 960: 40.
Pri riešení problémov, v ktorých sa vyskytujú nejaké proporcie, je často potrebné preusporiadať podmienky pomeru na rôzne účely. Zvážte, ktoré obmeny sú legálne, t. j. neporušujú proporcie. Zoberme si pomer:
3: 5 = 12: 20. (1)
Preusporiadaním extrémnych výrazov v ňom dostaneme:
20: 5 = 12:3. (2)
Teraz preusporiadame stredné výrazy:
3:12 = 5: 20. (3)
Preskupujeme extrémne aj stredné výrazy súčasne:
20: 12 = 5: 3. (4)
Všetky tieto proporcie sú správne. Teraz položme prvý vzťah na miesto druhého a druhý na miesto prvého. Získajte pomer:
12: 20 = 3: 5. (5)
V tomto pomere urobíme rovnaké permutácie, aké sme robili predtým, t. j. najprv preusporiadame krajné členy, potom stredné a nakoniec extrémne aj stredné súčasne. Ukážu sa ďalšie tri proporcie, ktoré budú tiež spravodlivé:
5: 20 = 3: 12. (6)
12: 3 = 20: 5. (7)
5: 3 = 20: 12. (8)
Takže z jedného daného pomeru preskupením získate 7 ďalších proporcií, čo spolu s týmto tvorí 8 proporcií.
Platnosť všetkých týchto proporcií je obzvlášť ľahko odhalená, keď zadávanie písmen. 8 pomerov získaných vyššie má tvar:
a: b = c: d; c:d = a:b;
d:b = c:a; b:d = a:c;
a:c = b:d; c:a = d:b;
d:c=b:a; b:a = d:c.
Je ľahké vidieť, že v každom z týchto pomerov má hlavná vlastnosť podobu:
ad = p.n.l.
Tieto permutácie teda neporušujú spravodlivosť pomeru a v prípade potreby ich možno použiť.
V minulom videonávode sme uvažovali nad riešením percentuálnych problémov pomocou proporcií. Potom sme podľa stavu problému potrebovali nájsť hodnotu tej či onej veličiny.
Tentoraz sú nám už zadané počiatočné a konečné hodnoty. Preto v úlohách bude potrebné nájsť percentá. Presnejšie, o koľko percent sa zmenila tá či oná hodnota. Vyskúšajme.
Úloha. Tenisky stoja 3200 rubľov. Po zvýšení ceny začali stáť 4 000 rubľov. O koľko percent sa zvýšila cena tenisiek?
Riešime teda proporciou. Prvý krok - pôvodná cena sa rovnala 3200 rubľov. Preto je 3200 rubľov 100%.
Okrem toho sme dostali konečnú cenu - 4 000 rubľov. Ide o neznáme percento, preto ho označme ako x . Získame nasledujúcu konštrukciu:
3200 — 100%
4 000 – x %
No a stav problému je zapísaný. Robíme pomer:
Zlomok vľavo je dokonale zmenšený o 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Okrem toho môžete znížiť o 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Dostaneme nasledujúci pomer:
Využime základnú vlastnosť proporcie: súčin krajných členov sa rovná súčinu stredných. Dostaneme:
8 x = 100 10;
8x = 1000.
Toto je obvyklá lineárna rovnica. Odtiaľto nájdeme x:
x=1000:8=125
Takže sme dostali konečné percento x = 125. Je však číslo 125 riešením problému? V žiadnom prípade! Pretože úloha vyžaduje, aby ste zistili, o koľko percent bola navýšená cena tenisiek.
O koľko percent - to znamená, že musíme nájsť zmenu:
∆ = 125 − 100 = 25
Dostali sme 25% – o toľko bola zvýšená pôvodná cena. Toto je odpoveď: 25.
Problém B2 pre zaujímavosť č.2
Prejdime k druhej úlohe.
Úloha. Tričko stálo 1800 rubľov. Po znížení ceny to začalo stáť 1530 rubľov. O koľko percent bola znížená cena košele?
Podmienku preložíme do matematický jazyk. Počiatočná cena 1800 rubľov je 100%. A konečná cena je 1530 rubľov - poznáme ju, ale nie je známe, koľko percent je z pôvodnej hodnoty. Preto ho označujeme x. Získame nasledujúcu konštrukciu:
1800 — 100%
1530 - x%
Na základe výsledného záznamu zostavíme pomer:
Pre zjednodušenie ďalších výpočtov oddeľme obe časti. daná rovnica o 100. Inými slovami, čitateľ ľavého a pravý zlomok prečiarkneme dve nuly. Dostaneme:
Teraz opäť použijeme základnú vlastnosť proporcie: súčin extrémnych členov sa rovná súčinu priemerných.
18 x = 1530 1;
18x = 1530.
Zostáva nájsť x:
x = 1530: 18 = (765 2) : (9 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Dostali sme, že x = 85. Ale ako v predchádzajúcom probléme, toto číslo samo o sebe nie je odpoveďou. Vráťme sa k našej kondícii. Teraz vieme, že nová cena po znížení je 85 % zo starej ceny. A aby ste našli zmeny, potrebujete zo starej ceny, t.j. 100%, odpočítať nová cena, t.j. 85 %. Dostaneme:
∆ = 100 − 85 = 15
Toto číslo bude odpoveďou: Vezmite prosím na vedomie: presne 15 a v žiadnom prípade 85. To je všetko! Problém je vyriešený.
Pozorní žiaci sa určite opýtajú: prečo sme v prvej úlohe pri hľadaní rozdielu odčítali začiatočné číslo od výsledného čísla a pri druhej úlohe presne naopak: od počiatočných 100 % sme odčítali výsledných 85 %?
Poďme si to vyjasniť. Formálne je v matematike zmena množstva vždy rozdielom medzi konečná hodnota a počiatočné. Inými slovami, v druhom probléme by sme nemali dostať 15, ale -15.
Toto mínus by však v žiadnom prípade nemalo byť zahrnuté v odpovedi, pretože to už bolo zohľadnené v stave pôvodného problému. Píše sa tam o znížení ceny. Zníženie ceny o 15 % je rovnaké ako zvýšenie ceny o -15 %. Preto pri riešení a odpovedi úlohy stačí napísať len 15 - bez mínusov.
Dúfam, že v tomto momente sme všetko pochopili. Týmto sa naša dnešná lekcia končí. Do skorého videnia!
