Definícia. Vpustiť n opakované pokusy (testy) nejaký event ALE prišiel n A raz.
číslo n A nazývaná frekvencia udalosti ALE a pomer
sa nazýva relatívna frekvencia (alebo frekvencia) udalosti ALE v tejto sérii testov.
Relatívne frekvenčné vlastnosti
Relatívna frekvencia udalosti má nasledujúce vlastnosti.
1. Frekvencia akejkoľvek udalosti leží v rozmedzí od nuly do jednej, t.j.
2. Frekvencia nemožné podujatie rovná sa nule, t.j.
3. Frekvencia istá udalosť rovná sa 1, t.j.
4. Frekvencia súčtu dvoch nezlučiteľné udalosti sa rovná súčtu frekvencií (frekvencií) týchto dejov, t.j. ak =Ø, tak
Frekvencia má nehnuteľnosť , nazývaná nehnuteľnosť štatistická stabilita : so zvýšeným počtom experimentov (t. j. so zvýšením n ) frekvencia udalosti nadobúda hodnoty blízke pravdepodobnosti tejto udalosti R .
Definícia. Štatistická pravdepodobnosť udalosti Ačíslo, okolo ktorého kolíše relatívna frekvencia udalosti, sa nazýva ALE s dostatočne veľkým počtom testov (experimentov) n .
Pravdepodobnosť udalosti ALE označené symbolom R (ALE ) alebo R (ALE ). Vzhľad listu ako symbolu pojmu „pravdepodobnosť“ R určená jeho prítomnosťou na prvom mieste v anglické slovo pravdepodobnosť - pravdepodobnosť.
Podľa túto definíciu
Vlastnosti štatistická pravdepodobnosť
1. Štatistická pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti ALE je medzi nulou a jednotkou, t.j.
2. Štatistická pravdepodobnosť nemožnej udalosti ( ALE= Ø) sa rovná nule, t.j.
3. Štatistická pravdepodobnosť určitej udalosti ( ALE= Ω) sa rovná jednej, t.j.
4. Súčet štatistickej pravdepodobnosti nezlučiteľné udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, t.j. ak A B= Ø teda
Klasická definícia pravdepodobnosti
Nechajte experiment vykonať s n výsledky, ktoré možno znázorniť ako skupinu nezlučiteľných rovnako pravdepodobných udalostí. Prípad, ktorý spôsobil, že udalosť nastala ALE , sa nazýva priaznivý alebo priaznivý, t.j. deje w spôsobí udalosť ALE , w A .
Definícia. Pravdepodobnosť udalosti ALE nazývaný pomer čísla m prípadov priaznivých pre túto udalosť, k celkovému počtu n prípady, t.j.
Vlastnosti "klasickej" pravdepodobnosti
1. axióma nezápornosť : pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti ALE je nezáporná, t.j.
R(ALE) ≥ 0.
2. axióma normalizácie : pravdepodobnosť určitej udalosti ( ALE= Ω) sa rovná jednej:
3. axióma aditívnosť : pravdepodobnosť súčtu nezlučiteľné udalosti (alebo pravdepodobnosť výskytu jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí) sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, t.j. ak A B=Ø teda
Pravdepodobnosť udalosti: R() = 1 – R(ALE).
Pre pravdepodobnosť udalosti, ktorá je súčtom akýkoľvek dve udalosti ALE a AT, správny vzorec je:
Ak udalosti ALE a AT nemôže nastať v dôsledku jedného testu súčasne, t.j. inými slovami, ak A B- nemožná udalosť, nazývajú sa nezlučiteľné alebo nezlučiteľné , a potom R(A B) = 0 a vzorec pre pravdepodobnosť súčtu udalostí má obzvlášť jednoduchú formu:
Ak udalosti ALE a AT môžu nastať v dôsledku jedného testu, sú tzv kompatibilné .
Užitočný algoritmus
Pri hľadaní pravdepodobností pomocou klasická definícia pravdepodobnosť by sa mala riadiť nasledujúcim algoritmom.
1. Je potrebné jasne pochopiť, čo je experiment.
2. Jasne uveďte, o akú udalosť ide ALE, ktorej pravdepodobnosť sa má nájsť.
3. Jasne formulujte, čo bude predstavovať elementárnu udalosť v uvažovanom probléme. Po sformulovaní a definovaní elementárnej udalosti by sa mali skontrolovať tri podmienky, ktoré musí spĺňať súbor výsledkov, t.j. Ω.
6. Podľa klasickej definície pravdepodobnosti určite
Pri riešení problémov najčastejšia chyba je fuzzy chápanie toho, čo sa považuje za elementárnu udalosť w , a od toho závisí správnosť konštrukcie množiny a správnosť výpočtu pravdepodobnosti udalosti. Zvyčajne sa v praxi najjednoduchší výsledok berie ako elementárna udalosť, ktorú nemožno „rozdeliť“ na jednoduchšie.
Relatívna frekvencia patrí spolu s pravdepodobnosťou k základným pojmom teórie pravdepodobnosti.
Relatívna frekvencia udalosti sa týkajú pomeru počtu pokusov, v ktorých sa udalosť vyskytla, k celkovému počtu skutočne vykonaných pokusov. Teda relatívna frekvencia udalosti A sa určuje podľa vzorca
W(A) = m/n,
kde m je počet výskytov udalosti, n – celkový počet testy.
Pri porovnaní definícií pravdepodobnosti a relatívnej frekvencie sme dospeli k záveru: definícia pravdepodobnosti nevyžaduje, aby sa testy vykonávali v skutočnosti; určenie relatívnej frekvencie však predpokladá, že testy boli skutočne vykonané. Inými slovami, pravdepodobnosť sa počíta pred zážitkom, relatívna frekvencia - po zážitku.
Príklad 1 Oddelenie technickej kontroly zistilo 3 neštandardné diely v dávke 80 náhodne vybraných dielov. Relatívna frekvencia výskytu neštandardných dielov
W(A) =3/80.
Príklad 2 Na terč bolo vypálených 24 rán a zaznamenaných bolo 19 zásahov. Relatívna miera zásahov
W(A) =19/24.
Dlhodobé pozorovania ukázali, že ak rovnaké podmienky vytvoriť experimenty, v ktorých je počet testov dostatočne veľký, potom relatívna frekvencia odhalí vlastnosť stability. Táto nehnuteľnosť je čo v rôzne skúsenosti relatívna frekvencia sa mení len málo(čím menej, tým viac testov sa robí), kolíše okolo nejakého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo existuje šanca, že k udalosti dôjde.
Teda ak empiricky je nastavená relatívna frekvencia, potom výsledné číslo môžeme brať ako približnú hodnotu pravdepodobnosti.
Vzťah medzi relatívnou frekvenciou a pravdepodobnosťou bude podrobnejšie a presnejšie popísaný nižšie. Teraz ilustrujme vlastnosť stability na príkladoch.
Príklad 3 Podľa švédskych štatistík je relatívna frekvencia narodenia dievčat v roku 1935. Podľa mesiacov je charakterizovaný nasledujúcimi číslami (čísla sú usporiadané v poradí mesiacov od januára): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Relatívna frekvencia kolíše okolo čísla 0,482, čo možno považovať za približnú hodnotu pravdepodobnosti mať dievčatá.
Všimnite si, že štatistiky rôznych krajinách uveďte približne rovnakú hodnotu relatívnej frekvencie.
Príklad 4 Uskutočnili sa opakované pokusy hádzaním mince, pri ktorých sa rátal počet výskytov „erbu“. Výsledky niekoľkých experimentov sú uvedené v tabuľke.1.
Tu sa relatívne frekvencie mierne odchyľujú od čísla 0,5 a čím menej, tým menej ďalšie číslo testy. Napríklad pri 4040 pokusoch je odchýlka 0,0069, ale pri 24000 pokusoch je to len 0,0005. Ak vezmeme do úvahy, že pravdepodobnosť, že sa pri hode mincou objaví „erb“, je 0,5, opäť vidíme, že relatívna frekvencia kolíše okolo pravdepodobnosti.
§ 7. Ohraničenosť klasickej definície pravdepodobnosti. Štatistická pravdepodobnosť
Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že počet základných výsledkov pokusu je konečný. V praxi však veľmi často existujú pokusy, ktorých počet možných výsledkov je nekonečný. V takýchto prípadoch klasická definícia neplatí. Už táto okolnosť poukazuje na obmedzenia klasickej definície. Uvedený nedostatok možno odstrániť najmä zavedením geometrických pravdepodobností (pozri § 8) a samozrejme použitím axiomatickej pravdepodobnosti (pozri § 3, poznámka).
Väčšina slabá stránka Klasická definícia hovorí, že je veľmi často nemožné reprezentovať výsledok testu ako súbor elementárnych udalostí. Ešte ťažšie je naznačiť dôvody, pre ktoré sa elementárne udalosti považujú za rovnako pravdepodobné. Zvyčajne sa o rovnosti základných výsledkov testu hovorí z hľadiska symetrie. Predpokladá sa teda, že napr kocky má formu pravidelný mnohosten(kocka) a vyrobený z homogénny materiál. Problémy, pri ktorých sa dá vychádzať z úvah o symetrii, sú však v praxi veľmi zriedkavé. Z tohto dôvodu sa popri klasickej definícii pravdepodobnosti používajú aj iné definície, najmä štatistická definícia: relatívna frekvencia alebo jej blízke číslo sa považuje za štatistickú pravdepodobnosť udalosti. Napríklad, ak je výsledok dostatočný Vysoké číslo testoch sa ukázalo, že relatívna frekvencia je veľmi blízka číslu 0,4, potom toto číslo môžeme brať ako štatistickú pravdepodobnosť udalosti.
Je ľahké skontrolovať, že vlastnosti pravdepodobnosti, ktoré vyplývajú z klasickej definície (pozri § 3), sú zachované aj v štatistickej definícii pravdepodobnosti. V skutočnosti, ak je udalosť pravdivá, potom m =n a relatívna frekvencia
m/n = n/n = 1,
tie. štatistická pravdepodobnosť určitej udalosti (ako v prípade klasickej definície) sa rovná jednej.
Ak udalosť nie je možná, potom m= 0 a teda relatívna frekvencia
0/n = 0,
tie. štatistická pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
Pre akúkoľvek udalosť 0 m n a teda relatívna frekvencia
0 m/n 1,
tie. štatistická pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti leží medzi nulou a jednou.
Za existenciu štatistickej pravdepodobnosti udalosti A požadovaný:
a) možnosť, aspoň v zásade, vykonať neobmedzený počet skúšok, v každom z nich event A sa vyskytuje alebo nevyskytuje;
b) stabilita relatívnych frekvencií vzhľad A v rôznych sériách dostatočne veľkého počtu testov.
nevýhodou štatistická definícia je nejednoznačnosť štatistickej pravdepodobnosti; takže v uvedenom príklade možno brať ako pravdepodobnosť udalosti nielen 0,4, ale aj 0,39; 0,41 atď.
geometrické pravdepodobnosti
Aby sa prekonala nevýhoda klasickej definície pravdepodobnosti, ktorá spočíva v tom, že nie je použiteľná na testy s nekonečné číslo výsledky, zadajte geometrické pravdepodobnosti- pravdepodobnosť zasiahnutia oblasti bodu (segmentu, časti roviny atď.).
Nechajte segment l tvorí súčasť segmentu L. Pre segment L náhodný bod. To znamená splnenie nasledujúcich predpokladov: nastavená hodnota môže byť v ktoromkoľvek bode segmentu L, pravdepodobnosť pádu bodu na segment l je úmerná dĺžke tohto segmentu a nezávisí od jeho umiestnenia vzhľadom na segment L. Za týchto predpokladov pravdepodobnosť pádu bodu na segment l je definovaná rovnosťou
P= Dĺžka l/ Dĺžka L.
Príklad 1. Pre segment OA dĺžka L číselná os Vôl náhodný bod B(X). Nájdite pravdepodobnosť, že menší zo segmentov OB a BA má dlhú dĺžku L
rozhodnutie. Rozdeľme segment OA bodky C a D na 3 rovnaké časti. Požiadavka úlohy bude splnená, ak bod B(X) pripadá na segment CD dĺžka L/3. Požadovaná pravdepodobnosť
P = (L /3)/L = 1/3.
Nechajte plochú postavu g tvorí súčasť plochej postavy G. Na postave G náhodne sa hodí bodka. To znamená splnenie nasledujúcich predpokladov: hodený bod môže byť v ktoromkoľvek bode obrazca G, pravdepodobnosť, že hodený bod zasiahne figúrku gúmerné ploche tohto obrázku a nezávisí od jeho polohy vzhľadom na G, ani z formulára g. Za týchto predpokladov pravdepodobnosť pádu bodu do obrazca g je definovaná rovnosťou
P= Oblasť g/ Námestie G.
Príklad 2 V rovine sú nakreslené dve sústredné kružnice, ktorých polomery sú 5 a 10 cm. Nájdite pravdepodobnosť, že bod náhodne hodený do veľkého kruhu spadne do kruhu tvoreného zostrojenými kruhmi. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť zasiahnutia bodu v plochá postava je úmerná ploche tohto obrázku a nezávisí od jeho polohy vzhľadom na veľký kruh.
rozhodnutie. Oblasť prstenca (obrázky g)
Sg\u003d p (10 2 - 5 2) \u003d 75 p.
Oblasť veľkého kruhu (obrázky G)
S G= p102 = 100 p.
Požadovaná pravdepodobnosť
P\u003d 75 p / (100 p) \u003d 0,75.
Príklad 3 Signalizačné zariadenie prijíma signály z dvoch zariadení a príjem každého zo signálov je rovnako možný v ktoromkoľvek okamihu časového intervalu trvania T. Okamihy príchodu signálu sú na sebe nezávislé. Signalizačné zariadenie funguje, ak je rozdiel medzi okamihmi príjmu signálov menší ako t(t<T). Nájdite pravdepodobnosť, že signalizačné zariadenie bude fungovať včas T, ak každé zo zariadení vysiela jeden signál.
rozhodnutie. Označme momenty príchodu signálov z prvého a druhého zariadenia X a r. Na základe podmienky problému musia byť splnené dvojité nerovnosti: 0 X T, 0 r T.Predstavme si pravouhlý súradnicový systém xOy. V tomto systéme sú dvojité nerovnosti splnené súradnicami ľubovoľného bodu štvorca OTAT(obr. 1).
Tento štvorec teda možno považovať za postavu G, ktorých súradnice bodov predstavujú všetky možné hodnoty momentov príchodu signálu.
Signalizačné zariadenie funguje, ak je rozdiel medzi okamihmi príjmu signálov menší ako t, t.j. ak r-X<t pri r>X a X-r<t pri X>r, alebo, čo je to isté,
r<X+t pri r>X, (*)
r >X-t pri r<X. (**)
Pre tieto body obrázku platí nerovnosť (*). G, ktoré ležia nad čiarou r = X a pod čiarou r = X+t;nerovnosť (**) nastáva pre body umiestnené pod čiarou r= X a vyššie rovno r = X-t.
Ako je možné vidieť z obr.1. všetky body, ktorých súradnice spĺňajú nerovnosti (*) a (**), patria do tieňovaného šesťuholníka. Tento šesťuholník teda možno považovať za postavu g, ktorých súradnice bodov sú priaznivé časové okamihy X a r.
Požadovaná pravdepodobnosť
P= Pl. g/ Pl. G = (T 2 - (T - t) 2)/T 2 = (t(2T - t))/T 2 .
Poznámka 1. Vyššie uvedené definície sú špeciálnymi prípadmi všeobecnej definície geometrickej pravdepodobnosti. Ak označíme mieru (dĺžku, plochu, objem) plochy cez mes, potom pravdepodobnosť zasiahnutia bodu náhodne hodeného (vo vyššie uvedenom zmysle) do plochy g- časť regiónu G, rovná sa
P=mes g/ mes G.
Poznámka 2. V prípade klasickej definície je pravdepodobnosť určitej (nemožnej) udalosti rovná jednej (nule); pravdivé sú aj opačné tvrdenia (ak je napríklad pravdepodobnosť udalosti nulová, potom je udalosť nemožná). V prípade geometrickej definície pravdepodobnosti sa opačné tvrdenia neuplatňujú. Napríklad pravdepodobnosť, že hodený bod zasiahne jeden konkrétny bod v oblasti G je nula, ale táto udalosť môže nastať, a preto nie je nemožná.
Úlohy
1. V krabici je 50 rovnakých dielov, z toho 5 lakovaných. Náhodne sa vyžrebuje jeden kus. Nájdite pravdepodobnosť, že extrahovaná časť bude natretá
Odpovedzte. p = 0,1.
2. Hodí sa kocka. Nájdite pravdepodobnosť získania párneho počtu bodov.
Odpovedzte. p = 0,5.
3. Účastníci žrebovania vyžrebujú z políčka žetóny s číslami od 1 do 100. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo prvého náhodne vyžrebovaného žetónu neobsahuje číslo 5.
Odpovedzte. p = 0,81.
4. Vo vrecúšku je 5 rovnakých kociek. Na všetkých stranách každej kocky je napísané jedno z týchto písmen: o, p, p, s, m. Nájdite pravdepodobnosť, že slovo „šport“ možno prečítať na kockách roztiahnutých po jednej a umiestnených „v jednom riadku“ “.
Odpovedzte. p = 1/120.
5. Na každej zo šiestich rovnakých kariet je vytlačené jedno z nasledujúcich písmen: a, t, m, p, s, o. Karty sú starostlivo zmiešané. Nájdite pravdepodobnosť, že slovo „lano“ možno prečítať na štyroch vytiahnutých kartách po jednej a usporiadaných „v jednom riadku“.
Odpovedzte. p = 1/ = 1/360.
6. Kocka, ktorej všetky strany sú maľované, sa rozreže na tisíc kociek rovnakej veľkosti, ktoré sa potom dôkladne premiešajú. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vylosovaná kocka bude mať farebné plochy: a) jednu; b) dva; o tretej hodine.
Odpovedzte. a) 0,384; b) 0,096; c) 0,008.
7. Zo starostlivo premiešanej kompletnej sady 28 kociek domino sa náhodne extrahuje kosť. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá náhodne vytiahnutá kosť môže byť pripojená k prvej, ak prvá kosť: a) sa ukáže ako dvojitá; b) neexistuje dvojitý.
Odpovedzte. a) 2/9; b) 4.9.
8. V zámku je päť kotúčov na spoločnej osi. Každý disk je rozdelený do šiestich sektorov, na ktorých sú napísané rôzne písmená. Zámok sa otvorí iba vtedy, ak každý kotúč zaujíma jednu špecifickú polohu vzhľadom na telo zámku. Nájdite pravdepodobnosť, že zámok bude možné otvoriť s ľubovoľným usporiadaním diskov.
Odpovedzte. p = 1/6 5 .
9. Na jednej poličke je náhodne umiestnených osem rôznych kníh. Nájdite pravdepodobnosť, že dve konkrétne knihy budú umiestnené vedľa seba.
Odpovedzte. p= 7*2!*6!/8! = ¼.
10. Knižnica pozostáva z desiatich rôznych kníh, pričom päť kníh stojí 4 ruble, tri knihy - každá po jednom ruble a dve knihy - každá po 3 ruble. Nájdite pravdepodobnosť, že dve náhodne vybrané knihy stoja 5 USD.
Odpovedzte. p = 
11. V dávke 100 dielov našlo oddelenie technickej kontroly 5 neštandardných dielov. Aká je relatívna frekvencia výskytu neštandardných častí?
Odpovedzte. w = 0,05.
12. Pri streľbe z pušky sa ukázalo, že relatívna frekvencia zasiahnutia cieľa je 0,85. Zistite počet zásahov, ak bolo celkovo vypálených 120 výstrelov.
Odpovedzte. 102 zásahov.
13. Pre segment OA dĺžka Lčíselná os Vôl náhodný bod B(X).Nájdite pravdepodobnosť, že menší zo segmentov OB a BA má dĺžku menšiu ako L/3. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť, že bod zasiahne segment, je úmerná dĺžke segmentu a nezávisí od jeho polohy na reálnej osi.
Odpovedzte. p = 2/3.
14. Vnútorný polomer kruhu R náhodne sa hodí bodka. Nájdite pravdepodobnosť, že bod je vo vnútri štvorca vpísaného do kruhu. Predpokladá sa, že pravdepodobnosť pádu bodu do štvorca je úmerná ploche štvorca a nezávisí od jeho polohy vzhľadom na kruh.
P = 7/16.
Kapitola druhá
Klasická definícia pravdepodobnosti
Pravdepodobnosť - jeden zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti. Existuje niekoľko definícií tohto pojmu. Pravdepodobnosť je číslo, ktoré charakterizuje mieru možnosti výskytu udalosti.
Každý z možných výsledkov testu je tzv elementárny výsledok (elementárna udalosť). Označenia: …,
Tie elementárne výsledky, v ktorých nastane udalosť, ktorá nás zaujíma, zavoláme priaznivý.
Príklad: Urna obsahuje 10 rovnakých loptičiek, z ktorých 4 sú čierne a 6 je bielych. Udalosť – z urny sa vyžrebuje biela guľa. Počet priaznivých výsledkov, pri ktorých sa budú žrebovať biele loptičky z urny, sú 4.
Pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre udalosť k ich celkovému počtu sa nazýva pravdepodobnosť udalosti; zápis V našom príklade 
Pravdepodobnosť udalosti nazvime pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nezlučiteľných základných výsledkov, ktoré tvoria ucelenú skupinu,
kde je počet základných výsledkov v prospech udalosti; počet všetkých možných elementárnych výsledkov testu.
Pravdepodobnostné vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť určitej udalosti sa rovná jednej, t.j.
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová, t.j. e.
3. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je kladné číslo medzi nulou a jednotkou, t.j. e.
alebo 
Berúc do úvahy vlastnosti 1 a 2, pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosť
4 . Základné vzorce kombinatoriky
Kombinatorika študuje počet kombinácií podliehajúcich určitým podmienkam, ktoré môžu byť zložené z danej konečnej množiny prvkov ľubovoľnej povahy. Pri priamom výpočte pravdepodobností sa často používajú kombinatorikové vzorce. Uvádzame najčastejšie používané z nich.
Permutácie kombinácie mien pozostávajúce z rovnakých rôznych prvkov a líšia sa len poradím ich usporiadania.
Počet všetkých možných permutácií
kde 
To sa uznáva
Príklad. Počet trojciferných čísel, keď každá číslica je na obrázku trojciferného čísla zahrnutá len raz, je
Umiestnenia nazývané kombinácie tvorené rôznymi prvkami prvkami, ktoré sa líšia buď zložením prvkov, alebo ich poradím. Počet všetkých možných umiestnení
Príklad. Počet signálov zo 6 vlajok rôznych farieb, prijatých 2:
Kombinácie nazývané kombinácie zložené z rôznych prvkov prvkami, ktoré sa líšia aspoň jedným prvkom. Počet kombinácií
Príklad. Počet spôsobov, ako vybrať dve časti z krabice obsahujúcej 10 častí:
Počty umiestnení, permutácií a kombinácií súvisia podľa rovnosti
Pri riešení problémov používa kombinatorika tieto pravidlá:
Pravidlo súčtu. Ak nejaký objekt možno vybrať zo množiny objektov spôsobmi a iný objekt možno vybrať spôsobmi, potom buď , alebo možno vybrať spôsobmi.
pravidlo produktu. Ak môže byť objekt vybraný z kolekcie objektov spôsobmi a po každom takomto výbere môže byť objekt vybraný spôsobmi, potom je možné spôsobmi vybrať pár objektov v tomto poradí.
Relatívna frekvencia tiež je základný koncept teórie pravdepodobnosti.
Relatívna frekvencia udalosti sú pomerom počtu pokusov, v ktorých sa udalosť objavila, k celkovému počtu skutočne vykonaných pokusov a je určený vzorcom
,
kde je počet výskytov udalosti v pokusoch, celkový počet pokusov.
Porovnaním definícií pravdepodobnosti a relatívnej frekvencie sme dospeli k záveru, že definícia pravdepodobnosti nevyžaduje testovanie a definícia relatívnej frekvencie zahŕňa skutočné testovanie.
Dlhodobé pozorovania ukazujú, že pri vykonávaní experimentov za rovnakých podmienok má relatívna frekvencia vlastnosť stability. Táto vlastnosť spočíva v tom, že v rôznych sériách experimentov sa relatívna frekvencia testov v jednotlivých sériách len málo mení a kolíše okolo určitého konštantného čísla. Toto konštantné číslo je pravdepodobnosť, že udalosť nastane.
Klasická definícia pravdepodobnosti má niekoľko nevýhod:
1) počet elementárnych výsledkov testu je konečný, v praxi môže byť tento počet nekonečný;
2) veľmi často nemožno výsledok testu reprezentovať ako súbor elementárnych udalostí;
Z týchto dôvodov sa spolu s klasickou definíciou pravdepodobnosti používa štatistická definícia: v kvalitu štatistická pravdepodobnosť udalosti majú relatívnu frekvenciu.
V klasickej definícii je pravdepodobnosť udalosti určená rovnosťou Р(А)=m/n, kde m je počet elementárnych výsledkov testu, ktoré podporujú vzhľad udalosti А; n je celkový počet možných výsledkov elementárneho testu.
Predpokladá sa, že elementárne výsledky tvoria kompletnú skupinu a sú rovnako pravdepodobné.
Relatívna frekvencia udalosti A: W(A)=m/n, kde m je počet pokusov, v ktorých sa udalosť A vyskytla; n je celkový počet vykonaných testov.
V štatistickej definícii sa relatívna frekvencia udalosti berie ako pravdepodobnosť udalosti.
Príklad: sú hodené dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na padnutých tvárach je párny a na aspoň jednej z kociek sa objaví šestka.
Rozhodnutie: jeden bod, ..., šesť bodov sa môže objaviť na spadnutej strane „prvej“ kocky. podobných šesť základných výsledkov je možných pri hode „druhou“ kockou. Každý z výsledkov „prvého“ hodu možno skombinovať s každým z výsledkov „druhého“ hodu. celkový počet elementárnych výsledkov testu je 6 * 6 = 36. Tieto výsledky tvoria ucelenú skupinu a vzhľadom na symetriu kostí sú rovnako možné. Priaznivé udalosti sú 5 ťahov: 1) 6,2; 2) 6,4; 3) 6,6; 4) 2,6; 5) 4,6;
Požadovaná pravdepodobnosť: P(A)=5/36
Môžete tiež nájsť zaujímavé informácie vo vedeckom vyhľadávači Otvety.Online. Použite vyhľadávací formulár:
Viac k téme 3. Relatívna frekvencia. Stabilita relatívnych frekvencií. Štatistická definícia pravdepodobnosti.:
- 4. Klasická definícia pravdepodobnosti. Relatívna frekvencia udalosti. štatistická pravdepodobnosť. geometrická pravdepodobnosť.
- 27. Štatistická definícia vzorky. Variačné rady a ich grafické znázornenie. Polygón a histogram frekvencií (relatívne frekvencie).
- 39. Konštrukcia intervalového variačného radu. Histogram frekvencií a relatívne frekvencie.
- 4. Pravdepodobnosť odchýlky relatívnej frekvencie od konštantnej pravdepodobnosti v nezávislých testoch
Relatívna frekvencia. Relatívna frekvenčná stabilita
Relatívna frekvencia patrí spolu s pravdepodobnosťou k základným pojmom teórie pravdepodobnosti.
Relatívna frekvencia udalosti sa týkajú pomeru počtu pokusov, v ktorých sa udalosť vyskytla, k celkovému počtu skutočne vykonaných pokusov. Relatívna frekvencia udalosti A je teda určená vzorcom
kde m je počet výskytov udalosti, n je celkový počet pokusov.
Pri porovnaní definícií pravdepodobnosti a relatívnej frekvencie sme dospeli k záveru: definícia pravdepodobnosti nevyžaduje, aby sa testy vykonávali v skutočnosti; určenie relatívnej frekvencie predpokladá, že testy boli skutočne vykonané. Inými slovami, pravdepodobnosť sa vypočíta pred zážitkom a relatívna frekvencia po zážitku.
Príklad 1. Oddelenie technickej kontroly zistilo 3 neštandardné diely v dávke 80 náhodne vybraných dielov. Relatívna frekvencia výskytu neštandardných dielov
Príklad 2 Na terč bolo vypálených 24 rán a zaznamenaných bolo 19 zásahov. Relatívna miera zásahov
Dlhodobé pozorovania ukázali, že ak sa experimenty uskutočňujú za rovnakých podmienok, pričom v každom z nich je počet testov dostatočne veľký, potom relatívna frekvencia vykazuje vlastnosť stability. Táto nehnuteľnosť je že v rôznych experimentoch sa relatívna frekvencia mení málo (čím menej, tým viac testov sa robí), kolíše okolo určitého konštantného čísla. Ukázalo sa, že toto konštantné číslo je pravdepodobnosť výskytu udalosti.
Ak je teda relatívna frekvencia empiricky stanovená, výsledné číslo možno považovať za približnú hodnotu pravdepodobnosti.
Vzťah medzi relatívnou frekvenciou a pravdepodobnosťou bude podrobnejšie a presnejšie popísaný nižšie. Teraz ilustrujme vlastnosť stability na príkladoch.
Príklad 3 Podľa švédskych štatistík relatívnu frekvenciu narodení dievčat v roku 1935 podľa mesiacov charakterizujú tieto čísla (čísla sú usporiadané v poradí mesiacov od januára): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.
Relatívna frekvencia kolíše okolo čísla 0,482, čo možno považovať za približnú hodnotu pravdepodobnosti mať dievčatá.
Všimnite si, že štatistiky rôznych krajín uvádzajú približne rovnakú hodnotu relatívnej frekvencie.
Príklad 4. Opakované pokusy sa uskutočňovali hádzaním mince, ktorá počítala počet výskytov „erbu“. Výsledky niekoľkých experimentov sú uvedené v tabuľke. jeden.
Tu sa relatívne frekvencie mierne odchyľujú od čísla 0,5 a prietok je menší, čím väčší je počet testov. Napríklad pri 4040 pokusoch je odchýlka 0,0069 a pri 24 000 pokusoch je to len 0,0005. Ak vezmeme do úvahy, že pravdepodobnosť, že sa pri hode mincou objaví „erb“, je 0,5, opäť vidíme, že relatívna frekvencia kolíše okolo pravdepodobnosti .
