Характеристика Рогожкина Александра Павловича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области,1998 года рождения

В данной школе Александр обучается с первого класса.

Из полной семьи. Отец Рогожкин Павел Олегович, военнослужащий, образование средне - профессиональное. Мать Рогожкина Елена Анатольевна, делопроизводитель, образование высшее. В семье воспитывается один. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию сына.

За время обучения Александр зарекомендовал себя как способным, организованным и старательным учеником. Средний балл успеваемости составляет -5. Интерес проявляет к естественным наукам. Любимые предметы – математика, информатика, физкультура.

Обладает хорошей памятью, развитой речью. Посещает факультативные занятия по математике, русскому языку. Александр неоднократно принимал участие в школьных, муниципальных, всероссийских, международных олимпиадах и конкурсах. В 2014/15 учебном году награжден дипломом I степени дистанционного международного блиц – турнира по математике проекта «Новый урок».

На протяжении многих лет выполнял работу старосты по учебной работе и спортивного сектора.

По характеру Александр - уравновешенный, выдержанный, общительный, отзывчивый, коммуникативный юноша. Тактичен. Принципиален. Стиль взаимоотношений с одноклассниками и педагогами основан на взаимопонимании, поддержке, сотрудничестве. Юноша пользуется уважением среди одноклассников и педагогов.

Обладает лидерскими качествами.

Александр имеет хороший уровень физической подготовки.

Посещает секции по баскетболу и волейболу. В 2014/15 учебном году награжден грамотой за II место в соревновании по волейболу по Оленегорскому району.

Активно принимает участие в общественной жизни школы и класса. Занимался в 10 классе в школьном ансамбле "Юность".

В свободное время посещает спортивные тренировки, любит слушать музыку.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Кондратьева Екатерина обучалась в ФГКОУ СОШ № 151 с 2012 года.

Воспитывается в полной интеллигентной и благополучной семье. Отец - военнослужащий, мать - экономист. Имеет младшего брата. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию дочери.

У Екатерины наиболее выражены гуманитарные способности. Любимые предметы – история, обществознание. Посещала факультативные занятия по математике, русскому языку. Катя неоднократно принимала участие в школьных и муниципальных олимпиадах.

Екатерина творчески развитая личность. Окончила школу искусств по художественному отделению. Девушка активно участвовала в общественной жизни школы и класса.

Любимое занятие художественная деятельность, танцы, музыка.

Ответственно относится к выполнению общественных поручений.

По характеру Екатерина - уравновешенная, выдержанная девушка. Тактична. Принципиальна. Пользуется уважением среди одноклассников и педагогов.

Отрицательным влияниям не поддается, имеет свое мнение и умеет его отстаивать.

Вредных привычек не имеет.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Буренковой Ксении Игоревны ученицы 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области,1998 года рождения

Буренкова Ксения обучалась в ФГКОУ СОШ № 151 с 2012 года.

Здорова. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Из полной семьи. Отец Буренков Игорь Николаевич, военнослужащий, образование высшее. Мать Буренкова Дина Анатольевна, домохозяйка, образование средне – техническое. Имеет младшего брата. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию дочери.

За время учебы в школе проявила хорошие способности к обучению. Любит предметы гуманитарного цикла. Посещала факультативные занятия по математике, русскому языку. Ксения - участник всероссийских, международных олимпиад и конкурсов.

Девушка принимала участие в общественной жизни школы и класса. Активна в трудовых делах. Посещала спортивную секцию волейбола.

В свободное время любит заниматься рукоделием, спортом.

Ксения по характеру общительная, отзывчивая, искренняя, открытая, коммуникативная. Стиль взаимоотношений с одноклассниками и педагогами основан на взаимопонимании, поддержке, сотрудничестве. Девушка пользуется уважением в классном коллективе. Ее отличает умение отстаивать свои взгляды и убеждения.

Ответственно относится к выполнению общественных поручений.

На учете в полиции не состояла.

Характеристика дана для представления по месту требования.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Кондратьевой Екатерины Алексеевны ученицы 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области,1998 года рождения

Екатерина поступила в ФГКОУ СОШ № 151 2012 году в девятый класс. Ранее обучалась в ФГКОУ СОШ № 138 г. Трехгорного – 1 Челябинской области.

Здорова. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Семья полная, материально обеспеченная. Екатерина в семье старшая сестра. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию дочери.

Средний балл успеваемости – 4,6. В целом в учебе старательная. Имеет способности к гуманитарным наукам. Любимые предметы – история, обществознание. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещала факультативные занятия по математике, русскому языку.

Екатерина - участник предметных муниципальных олимпиад.

Активно принимает участие в общественной жизни школы и класса. Посещала школу искусств « художественное отделение». Ответственно относится к выполнению общественных поручений.

В свободное время любит заниматься рисованием, танцами, пением.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества, к табакокурению относится отрицательно.

На учете в полиции не состояла.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Ксения поступила в ФГКОУ СОШ № 151 2012 году в девятый класс. Ранее обучалась в

ФГКОУ СОШ № 152 г. Саратова – 63.

Здорова. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Воспитывается в полной семье. Отец Буренков Игорь Николаевич, военнослужащий, образование высшее. Мать Буренкова Дина Анатольевна, домохозяйка, образование средне – техническое. Ксения в семье старшая сестра. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию дочери.

Средний балл успеваемости – 4,8. В целом в учебе старательная. Имеет способности к гуманитарным наукам. Любимые предметы - биология, химия, физкультура. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещала факультативные занятия по математике, русскому языку.

Ксения - активный участник предметных, международных олимпиад и конкурсов. В 2014/15 году награждена дипломами 1 степени по биологии международной олимпиаде "Зима 2015" и 3 степени в конкурсе «Волшебство природы.

По мере возможностей, принимает участие во внеклассных мероприятиях. Активна в трудовых делах. Посещает спортивную секцию волейбола.

В свободное время любит заниматься рукоделием, заниматься спортом.

К ученикам и учителям – отношение уважительно. В классе занимает ведомое положение. Среди одноклассников пользуется уважением.

На учете в полиции не состояла.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Белова Владимира Игоревича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области, 1997 года рождения
В данной школе Владимир обучается с первого класса.
Семья полная, материально обеспеченная. Владимир в семье старший сын. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию сына.

По темпераменту Владимир скорее флегматик, ответственный, уравновешенный, старательный ученик.

Средний балл успеваемости – 4,3. Мотивация к обучению присутствует, но избирательно. Отдает предпочтение урокам физики, математике, русскому языку. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещал факультативные занятия по математике, русскому языку.

Владимир активный участник предметных олимпиад и конкурсов.

Общественная активность высокая. Активно участвует в школьных и классных мероприятиях.

В классе занимает ведомое положение. В общении с преподавателями и одноклассниками вежлив и дружелюбен. Со всеми имеет ровные отношения.

Ответственно относится к выполнению общественных поручений.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Туркова Александра Александровича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области, 1997 года рождения
В данной школе Александр обучается с первого класса.

Семья полная, материально обеспеченная. Александр в семье старший сын. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию сына.
Здоров. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Средний балл успеваемости – 4,07. Любимые предметы - физика, информатика, физкультура. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещал факультативные занятия по математике, русскому языку.

Александр активный участник всероссийских и международных конкурсов.

Турков Александр характеризуется как дисциплинированный, скромный, сдержанный, уравновешенный, рассудительный ученик. Имеет спокойный характер, избегает конфликтных ситуаций, тактичен. Подается чужому влиянию.

В свободное время любит слушать музыку, общаться в Интернете.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества, к табакокурению относится отрицательно.

На учете в полиции не состоял.

Характеристика выдана для предоставления в военкомат.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Дроздова Валентина Витальевича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области, 1997 года рождения
В данной школе Валентин обучается с первого класса.
Семья полная, материально обеспеченная. Валентин в семье средний сын. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию сына.

Состояние здоровья хорошее.

По темпераменту Валентин скорее флегматик, веселый, уравновешенный, рассудительный ученик.

Средний балл успеваемости – 4,1. Любимые предметы- физика, математика, русский язык, физкультура. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещал факультативные занятия по математике, русскому языку.

Валентин активный участник всероссийских конкурсов.

Дроздов имеет хороший уровень физической подготовки.
Посещает секции рукопашного боя и хоккея. Принимал участие в районных и всероссийских соревнованиях по рукопашному бою. В 2014 году стал серебряным призером Всероссийского турнира по рукопашному бою в г. Москве.

Активно принимает участие в общественной жизни школы и класса. Занимается в школьном ансамбле "Юность".
Он добрый, отзывчивый, надежный товарищ. Пользуется авторитетом и уважением учащихся.

В общении с одноклассниками и преподавателями вежлив и дружелюбен. Со всеми имеет ровные отношения.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества, к табакокурению относится отрицательно.

На учете в полиции не состоял.

Характеристика выдана для предоставления в военкомат.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Гулевского Романа Андреевича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области, 1997 года рождения

В данной школе Роман обучается с первого класса.
Семья неполная, воспитанием сына занимается мама. Отношения в семье доброжелательные.

Состояние здоровья хорошее.

По темпераменту Роман скорее сангвиник, ответственный, активный, энергичный, общительный, любознательный, целеустремленный ученик. Имеет собственное мнение, которое часто отстаивает. Быстро адаптируется к новым условиям, легко сходиться с людьми.

Средний балл успеваемости - 5. Любимые предметы - физика, информатика, физкультура. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещал факультативные занятия по математике, русскому языку.

Роман активный участник предметных олимпиад и конкурсов. В 2014 году награжден дипломом 1 степени по физике и информатике в международном конкурсе "Молодежное движение".

Активно принимает участие в общественной жизни школы и класса. Занимается в школьном ансамбле "Юность".

В классе лидер. Имеет организаторские способности. Среди одноклассников пользуется уважением.

В общении с преподавателями и одноклассниками вежлив, доброжелателен.
Роман имеет хороший уровень физической подготовки.
Посещает секцию рукопашного боя. Принимал участие в районных и всероссийских соревнованиях по рукопашному бою, всероссийской олимпиаде муниципального этапа по физической культуре.

В свободное время посещает тренировки, любит слушать музыку, общаться в Интернете.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества, к табакокурению относится отрицательно.

На учете в полиции не состоял.

Характеристика выдана для предоставления в военкомат.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Яскунова Дмитрия ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области,1997 года рождения

В данной школе Дмитрий обучается с первого класса.

Семья полная, материально обеспеченная. Дмитрий в семье младший сын. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию сына.

Здоров. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Средний балл успеваемости – 3,7. Любимые предметы – история, обществознание. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещал факультативные занятия по математике, русскому языку.

Дмитрий активный участник всероссийских и международных конкурсов.

Яскунов Дмитрий характеризуется как дисциплинированный, уравновешенный, рассудительный ученик. Имеет спокойный характер, избегает конфликтных ситуаций, тактичен.

В классе занимает ведомое положение. Среди одноклассников пользуется уважением. В общении с преподавателями и одноклассниками вежлив и дружелюбен.

Активно принимает участие в общественной жизни школы и класса. Занимается в школьном ансамбле "Юность". Посещает спортивную секцию баскетбола.

В свободное время любит слушать музыку, заниматься спортом.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества. Имеет вредную привычку курение.

На учете в полиции не состоял.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Шумилова Сергея Ильича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области, 1999 года рождения

В данной школе Сергей обучается с первого класса.

Семья полная, материально обеспеченная. Сергей в семье старший сын. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют должное внимание воспитанию сына.
Здоров. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Средний балл успеваемости – 3,4. Любимые предметы - биология, география. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещает факультативные занятия по математике и русскому языку.

Сергей активный участник всероссийских и международных олимпиад.

Шумилов Сергей характеризуется как дисциплинированный, сдержанный, уравновешенный, рассудительный ученик. Имеет спокойный характер, избегает конфликтных ситуаций, тактичен.

В классе занимает ведомое положение. Среди одноклассников пользуется уважением. В общении с преподавателями и одноклассниками вежлив и дружелюбен.

Активно принимает участие в общественной жизни школы и класса. Занимался в 10 классе в школьном ансамбле "Юность".

В свободное время любит слушать музыку.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества, к табакокурению относится отрицательно.

На учете в полиции не состоял.

Характеристика выдана для предоставления в военкомат.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Характеристика Терехина Ивана Сергеевича ученика 11 класса ФГКОУ СОШ № 151 г. Оленегорска - 2, Мурманской области,1998 года рождения

В данной школе Иван обучается с восьмого класса.

Здоров. По физическому развитию соответствует возрастным нормам.

Семья полная, материально обеспеченная. Иван в семье младший сын. Взаимоотношения в семье уважительные. Родители уделяют надлежащее внимание воспитанию сына.

За время обучения Иван зарекомендовал себя как способным, организованным и старательным учеником. Средний балл успеваемости составляет – 5. Интерес проявляет к точным наукам. Любимые предметы - физика, мировая художественная культура. Обладает хорошей памятью, развитой речью. На уроках - внимательный, активный. Не допускает пропусков уроков и нарушения дисциплины. Посещает факультативные занятия по математике и русскому языку.

Иван активный участник школьных, муниципальных, международных олимпиад и конкурсов. В 2014/15 учебном году награжден дипломом II степени дистанционного международного блиц – турнира по математике проекта «Новый урок», 2015/16 учебном году – грамотой за III место школьного тура олимпиады по физике.

Добросовестно относится к выполнению общественных поручений. На протяжении многих лет выполнял работу учебного сектора.

Терехин Иван характеризуется как дисциплинированный, трудолюбивый, сдержанный, скромный, уравновешенный, рассудительный ученик. Имеет спокойный характер, избегает конфликтных ситуаций, тактичен.

В классе занимает ведомое положение. Среди одноклассников пользуется уважением. В общении с преподавателями и одноклассниками вежлив и дружелюбен.

Активно участвует в общественной жизни школы, культмассовых мероприятиях.

В свободное время любит слушать музыку, занимается моделированием и рисованием.

Склонности к противоправному и антиобщественному поведению нет, не употребляет алкогольные и наркотические вещества, к табакокурению относится отрицательно.

На учете в полиции не состоял.

Характеристика выдана для предоставления в военкомат.

Директор школы Брыкова Ю.Н.

Классный руководитель Дягилева О.Ю.

Определенный интеграл (см. рисунок слева) представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f (x) , снизу — осью Ох , а слева и справа прямыми x=a и х= b.

Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:

Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла.

Пример 1.

Найдем первообразную F (x) для подынтегральной функции f (x)=3x²-2x+1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л) .

Пример 2.

Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

Полученный результат

выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(x+1) 4 , осью Ох и прямыми: х=0 (осью Оy) и х=1.

График функции y=(x+1) 4 - парабола, ветви которой направлены вверх,

а вершина находится в точке О′(-1; 0).

Площадь этой криволинейной трапеции:

В самом деле, u = sinx, du = d (sinx) = cosxdx. Тогда:

Пример 5. (такой же пример со сложным аргументом у тригонометрических функций).

А теперь пример на ту же формулу 4) (лист Интегралы ), только в качестве u будет использована функция косинуса, а именно: u =cosx, отсюда du =-sinxdx.

Пример 6.

Пример 7.

В следующих примерах мы также будем подводить функцию под знак интеграла, а затем применять формулу 2) (лист ):

Пример 8.

Пример 9.

И примеры чуть сложнее:

Пример 10.

Пример 11 .

Пример 4 . ∫(sin²x+cos²x) dx.

Решение.

Применяем основное тригонометрическое тождество: sin²α+cos²α=1 . (*)

∫(sin²x+cos²x) dx=∫1· dx=∫dx=x+C.

Пример 5. ∫2sinxcosxdx.

Решение.

Используем формулу синуса двойного аргумента: sin2α=2sinαcosα (**) и упростим подынтегральное выражение.

∫2sinxcosxdx=∫sin2xdx=½∫sin2xd (2x)=-1/2cos2x+C.

Пример 6. ∫sin3xcos3xdx. Решаем аналогично примеру 5.

Решение .

∫sin3xcos3xdx=∫1/2sin6xdx=½∫sin6xdx=(½)· (1/6)∫sin6xd (6x)=- (1/12) cos6x+C.

В примерах 5 и 6 мы использовали формулу 7) : ∫sinudu=-cosu+C (лист Интегралы ), причем, интегрировали путем подведения под знак дифференциала.

Пример 7 . ∫(sinx+cosx)²dx.

Решение.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы двух выражений: (a+b)²=a²+2ab+b² .

∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx. Теперь в подынтегральном выражении можно увидеть сразу 2 тригонометрические формулы (*) и (**).

∫(sinx+cosx)²dx=∫(sin²x+2sinxcosx+cos²x) dx=∫(1+sin2x) dx=

=∫dx+∫sin2xdx=∫dx+½∫sin2xd (2x)=x-1/2cos2x+C.

Пример 8 . ∫2sin²xdx.

Решение.

Применим тригонометрическую формулу понижения степени для квадрата синуса данного аргумента: 2sin²α=1-cos2α.

∫2sin²xdx=∫(1-cos2x) dx=∫dx-∫cos2xdx=∫dx-½∫cos2xd (2x)=x-1/2sin2x+C.

Пример 9. ∫2cos²xdx.

Решение.

Применяем формулу понижения степени для квадрата косинуса аргумента: 2cos²α=1+cos2α. Тогда:

∫2cos²xdx=∫(1+cos2x) dx=∫dx+∫cos2xdx=∫dx+½∫cos2xd (2x)=x+1/2sin2x+C.

Пример 10 (аналогичный примеру 8). ∫2sin²5xdx.

Решение.

∫2sin²5xdx=∫(1-cos10x) dx=∫dx- (1/10)∫cos10xd (10x)=x- (1/10) sin10x+C.

Пример 11 (аналогичный примеру 9). ∫2cos²(x/2) dx.

Решение.

∫2cos²(x/2) dx=∫(1+cosx) dx=∫dx+∫cosxdx=x+sinx+C.

Пример 12. ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx.

Решение.

Преобразуем подынтегральное выражение по формуле (**) — синуса двойного аргумента:

8sinxcosxcos2xcos4x=2·2·2·sinx·cosx·cos2x·cos4x=

2sinxcosx·2·2·cos2x·cos4x=sin2x·2·2·cos2x·cos4x=

2sin2xcos2x·2·cos4x=sin4x·2cos4x=sin8x.

Итак, ∫8sinxcosxcos2xcos4xdx=∫sin8xdx=1/8∫sin8xd (8x)=- (1/8) cos8x+C.

Подводим под знак дифференциала (3х+π/4). Тогда d (3x+π/4) = 3dx, значит, чтобы значение данного выражения не изменилось, поставим перед знаком интеграла 1/3.

Пример 4.

Чтобы применить формулу 9). , нужно подвести под знак дифференциала (4х- π/5). Отсюда следует: d (4х-π/5)=4dx. Перед знаком интеграла поставим множитель ¼.

А можно ли под знак дифференциала подводить нелинейную функцию? Да, если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух множителей: один множитель — сложная функция от какой-то нелинейной функции, а другой множитель есть производная от этой нелинейной функции. Рассмотрим сказанное на примерах.

Найти неопределенные интегралы.

Пример 1 . ∫(2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 dx = ∫(x 2 + x + 2) 5 d (x 2 + x + 2) =(x²+x+2) 6 : 6 + C.

Что представляет собой данное подынтегральное выражение? Произведение степенной функции от (х 2 + х + 2) и множителя (2х + 1), который равен производной от основания степени: (х 2 + х + 2)" = 2х + 1.

Это и позволило нам подвести (2х + 1) под знак дифференциала:

∫u 5 du=u 6 : 6+ C. (Формула 1). )

Проверка. (F (x)+ C)" =((x²+x+2) 6 : 6 + C)′=1/6 · 6 (x 2 + x + 2) 5 · (x 2 + x + 2)" =

=(x 2 + x + 2) 5 · (2x + 1) = (2x + 1)(x 2 + x + 2) 5 = f (x).

Пример 2. ∫(3x 2 – 2x + 3)(x 3 - x 2 + 3x + 1) 5 dx = ∫(x 3 – x 2 + 3x + 1) 5 d (x 3 – x 2 + 3x + 1) =

=(x³- x²+3x+1) 6 : 6 + C

И чем этот пример отличается от примера 1? Да ничем! Та же пятая степень с основанием (х 3 – х 2 + 3х + 1) умножается на трехчлен (3х 2 – 2х + 3), который является производной основания степени: (х 3 – х 2 + 3х + 1)" = 3х 2 – 2х + 3. Это основание степени мы и подвели под знак дифференциала, от чего значение подынтегрального выражения не изменилось, а затем применили ту же формулу 1). (

Что такое непосредственное интегрирование? Это интегрирование с использованием свойств и простейшей таблицы интегралов ( . Рассмотренный метод подведения под знак дифференциала (занятие ) также относится к непосредственному интегрированию, так как нашей новой переменной служила линейная функция вида u=kx+b, но никаких новых букв мы не использовали, а просто применяли свойство VI (Интегралы ), а именно:

Это свойство значительно расширяет таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией. В занятии мы учились применять метод подведения переменной под знак дифференциала , используя формулы 1) и 2) (Интегралы ), причем, прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, мы приводили данный интеграл к виду:

∫f (φ(x))φ′(x) dx=∫f (u) du, где u=φ(x).

5) (Интегралы ), а именно формулы:

В примере 1 неявно подразумевалось u=9x-2 , что и позволило нам применить свойство VI и формулу 5), в результате чего под знак дифференциала мы подвели (9х-2). Перед знаком интеграла стоит множитель 1/9, так как d (9x-2)=9dx .

Рассмотрим пример на применение формулы 4) ( ), а именно, формулы:

В примере 2 неявно подразумевается u=25x-1 , поэтому, под знак дифференциала подвели 25х-1, отсюда du=25dx . Вот почему перед интегралом стоит множитель 1/25.

Урок и презентация на тему: "Определение логарифма. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Определение логарифма

Ребята, мы продолжаем изучать различные понятия, связанные с показательными функциями. Сегодня мы столкнемся с понятием логарифма .

Давайте рассмотрим показательное уравнение: $3^x=3$.

Построив два графика функции $y=3^x$ и $y=3$, можно легко найти решение: $х=1$ – абсцисса (точка пересечения наших графиков). Тем же способом мы можем легко найти решение уравнения $3^x=9$. Но как быть в случае, если $3^x=6$ или $3^x=8$? Когда математики столкнулись с этой проблемой, они ввели новый символ, который назвали логарифмом.

Решением уравнения $3^x=6$ будет число: $x=\log_3{6}$.
Читается, как логарифм по основанию 3 числа 6. У логарифма всегда есть основание и число, из которого он вычисляется.
Мы рассмотрели частный случай, теперь давайте введем конкретное определение, которое поможет нам решать различные задачи.

Определение.
Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от одного основанию числа a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

На математическом языке наше определение будет выглядеть так: решением уравнения $a^x=b;a>0,b>0,a≠1$ будет единственный корень $x=\log_a{b}$ (логарифм числа b по основанию a).

Примеры логарифма

Рассмотрим конкретные примеры:
$\log_3{81}=4, \ так \ как \ 3^4=81$.
$\log_2{\frac{1}{8}}=-3, \ так \ как \ 2^{-3}=\frac{1}{8}$.
$\log_{\frac{1}{4}}{16}=-2, \ так \ как \ (\frac{1}{4})^{-2}=16$.
$\log_9{3}=\frac{1}{2}, так \ как \ 9^\frac{1}{2}=3$.

Особое внимание надо обратить на три формулы, для них тоже можно сделать небольшую памятку:

1. $\log_a{a}=1$.
2. $\log_a{1}=0$.
3. $\log_a{a^b}=b$.

Примеры нахождение логарифма числа

Давайте посмотрим на конкретные примеры:
$\log_8{8}=1; \ \log_{10}{1}=0; \ \log_4{4^5}=5; \ \log_{10}{10}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$

Давайте напишем более точное определение логарифма: $a^{\log_a{b}}=b,a>0,a≠1,b>0.$
То есть, возведя положительное число а, отличное от единицы, в степень логарифм по основанию а числа b получится число b.

Примеры:

$5^{\log_5{10}}=10;$ $\frac{1}{2}^{\log_{\frac{1}{2}}{3}}=3; $ $ 50^{\log_{50}{51}}=51$

Процесс нахождения логарифма числа обычно называется логарифмированием . Операция возведения в степень и логарифмирования являются обратными операциями. Стоит учитывать, что основание у обеих операций одинаковое. В нашем утверждении легко убедиться:
При вычислении логарифмов, обычно вычисление можно свести к решению показательного уравнения.
Ребята, обратите внимание, что логарифм по основанию 10 называются десятичным логарифмом и его принято обозначать символом lg.

Например:
$\log_{10}{4}=\lg4; \ \log_{10}{8}=\lg8 $.

Пример.
Вычислить: а) $\log_4{512}; \ б) \log_{\sqrt{5}}{\sqrt{25}}; \ в) \log_{\frac{1}{3}}{9\sqrt{3}} $.
Решение.
а) То число, которое мы получим в ответе, примем за неизвестное х, тогда:
$\log_4{512}=x;\\ 4^x=512;\\ 2^{2x}=2^9;\\ 2x=9;\\ x=4.5;\\ Ответ: \log_4{512}=4,5 $

Б) Пусть:
$\log_{\sqrt{5}}{(\sqrt{25})}=x;\\ (\sqrt{5})^x=\sqrt{25};\\ 5^{\frac{x}{2}}=5^{\frac{2}{3}};\\ \frac{x}{2}=\frac{2}{3};\\ x=\frac{4}{3};$

Ответ: $\log_{\sqrt{5}}{(\sqrt{25})}=\frac{4}{3}.$

В) Пусть:
$\log_{\frac{1}{3}}{(9\sqrt{3})}=x; \\ (\frac{1}{3})^x=9\sqrt{3};\\ 3^{-x}=3^2*3^{\frac{1}{2}};\\ 3^{-x}=3^{\frac{5}{2}};\\ x=-\frac{5}{2};$

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} {(9\sqrt{3})}=-\frac{5}{2}$.

Задачи для самостоятельного нахождения логарифмов

Вычислить:
$а) \log_5{(125)}; \ б)\log_{\sqrt{5}}{(\frac{1}{25})}; \ в)\log_{\frac{1}{4}}{(16)}; \\ г)\log_9{(27)}; \ д)\log_{\sqrt{25}}{(\sqrt{125})}; \ е)\log_{\frac{1}{9}}({27}{\sqrt{27})}.$

Характеристика

ФИО.

ФИО обучалась в... с первого класса. За время обучения овладела общеучебными и предметными навыками на высоком уровне. Владеет современными компьютерными технологиями. Выпускницу отличает общая эрудиция, стремление к самообразованию и саморазвитию, способность к креативному мышлению.

С особым интересом изучает химию и биологию, много читает, развиты художественные способности. Победитель школьной олимпиады по химии, районной олимпиады по экологии.

... – личность, ориентированная на общечеловеческие ценности, обладающая задатками интеллигентности и высокой культуры. Это искренний, доброжелательный, сострадательный человек, ответственный за свои поступки, стремящийся к гармоничным отношениям между людьми. Немногословная, скромная девушка умеет четко обозначить свою нравственную позицию, отстоять свои взгляды и убеждения.

Стиль взаимоотношений с одноклассниками и педагогами основан на взаимопонимании, поддержке и сотрудничестве. Девушка пользуется уважением и безусловным признанием в классном коллективе, в школьном сообществе и среди педагогов. Терпимость, ответственность за себя и за других, гуманность, творческое начало, стремление к успеху – черты личности выпускницы, востребованные современным обществом, достойным членом которого она будет.

Директор школы

Классный руководитель

Предварительный просмотр:

Характеристика

ФИО, выпускника 11а класса... .

ФИО демонстрирует достаточный уровень базовых знаний, необходимый для продолжения обучения, владеет общеучебными и предметными умениями и навыками, владеет современными компьютерными технологиями. Выпускник умеет ориентироваться в учебной, социальной ситуации на основе лично освоенных предметных знаний, культурного наследия, норм социального поведения и межличностного общения. …. умеет систематизировать материал в пределах учебной темы, способен рассуждать, знает способы рациональной работы, способен применять свои знания на практике. Развито самосознание и адекватная самооценка, потребность в самопознании.

… – развитая личность, способная к самоопределению с выраженной гражданской позицией и чувством патриотизма. Юноша демонстрирует социальную взрослость, ответственность за свои поступки,обладает правовой культурой. ... коммуникативен, общителен. Его стиль общения в коллективе с педагогами, учащимися основан на взаимопонимании, поддержке, сотрудничестве, взаимоуважении, терпимости. В классном коллективе пользовался уважением и симпатией. Его отличают умение отстаивать свои взгляды и убеждения, умение найти нестандартное решение в неожиданной жизненной ситуации.

… ведет здоровый образ жизни, осознанно относится к своему здоровью. Это непременный участник школьных, районных спортивных мероприятий. Занимался в школьном туристическом кружке, ВПК «Зарничник», что научило его применять простейшие способы оказания первой медицинской помощи, действовать в чрезвычайных ситуациях.

Директор

Классный руководитель

Предварительный просмотр:

Характеристика

выпускницы МБОУ «СОШ №...» ФИО.

На протяжении всех лет обучения …. зарекомендовала себя как старательная, прилежная ученица, ответственно относящаяся к учебе. На уроках дисциплинирована, внимательна, сосредоточена, умеет организовать свою учебную деятельность. Обладает выраженными способностями к рисованию, оформительской деятельности. На протяжении ряда лет обучалась в Художественной школе, успешно сдала выпускные экзамены, защитила работу. Охотно, умело, со знанием дела занималась всеми творческими пректами класса, благодаря ей класс неоднократно являлся победителем в различных школьных конкурсах газет, боевых листков.

Девушка обладает тихим, доброжелательным, покладистым характером, но при неоходимости может отстоять собственные взгляды и личную позицию. Всегда демонстрирует культурное поведение, для выпускницы характерно единство сознания и поведения.

Отношения с одноклассниками и учителями у сложились ровные, основанные на сотрудничестве и взаимоуважении. Легко взаимодействует с большинством учащихся в классе. Всегда занимала активную жизненную позицию. ... - человек по натуре добрый, спокойный, сдержанный, отзывчивый, готовый оказать помощь и поддержку, чем завоевала уважение и симпатию как сверстников, так и педагогов.

К поручениям, труду относится добросовестно.

Директор

Классный руководитель

Предварительный просмотр:

Характеристика

ФИО, выпускницу 11а класса МБОУ «СОШ №...»

Владеет базовыми знаниями и умениями, ориентируется в фундаментальных проблемах изучаемых наук. Понимает смысл каждого из изучаемых предметов. … обладает пытливым, проницательным умом. Любознательна, проницательна. Умеет систематизировать материал в пределах учебной темы, способна рассуждать, делать выводы и обобщать. Выпускница знает способы рациональной работы, способна применять свои знания на практике. Развито самосознание и адекватная самооценка. Девушка способна совместно с другими организовать «мозговой штурм», участвовать в нем. Умеет участвовать в спорах, дискуссиях. Способна отстаивать свои идеи.

Выпускница обладает подвижной эмоциональной сферой. Это легкий в общении человек, умеющий жить в гармонии с собой и окружающими людьми. Жизнерадостность, оптимизм, открытость, дружелюбие - главные черты характера девушки.

Выпускница способна на эмоциональный подъем в творческих ситуациях. Вдохновение, воображение, фантазия, готовность и способность к придумке делают ее незаменимым человеком при реализации творческих проектов. … с детства сочиняет стихи, неоднократно участвовала в конкурсах начинающих поэтов, где успешно представляла свои работы. Хорошо рисует.

Девушка занимает активную жизненную позицию: с готовностью и желанием участвует в различных классных и школьных мероприятиях, спортивных состязаниях, творческих конкурсах, предметных олимпиадах. На протяжении многих лет являлась членом Совета Музея школы, где занималась исследовательской, лекционной деятельностью. В классе курировала сектор связи с ветеранами ВОВ.

Ее стиль общения в коллективе с педагогами, учащимися основан на взаимопонимании, поддержке, сотрудничестве, взаимоуважении, терпимости. В классном коллективе пользовалась уважением и симпатией.

Директор

Классный руководитель

Предварительный просмотр:

Характеристика

ФИО, выпускницы 11а класса МБОУ «СОШ №...»

За время учебы в школе... показала хорошие и отличные знания по всем предметам. На занятиях в школе внимательна, дисциплинированна, аккуратна. Материал, объясняемый учителем, усваивает быстро. Выпускница умеет выстраивать дальнейшие планы обучения, выявлять смысл своей учебной деятельности. Склонна к самоанализу и самооценке. К урокам всегда готова, при подготовке использует дополнительный материал. Выпускница умеет аргументировать свои знания и полученные результаты. Способна воплощать добываемые знания в духовные и материальные деятельностные формы. … - неоднократный участник предметных олимпиад по русскому языку, литературе. Обладает грамотной письменной и устной речью. Умеет планировать своё рабочее и свободное время. ...- интересный собеседник, так как это самобытный, нестандартный, своеобразный человек, имеющий свою точку зрения по большинству вопросов.

Это замкнутая, сдержанная, стеснительная девушка, чуткая к несправеливости. Однако при необходимости умеет отстоять свои взгляды и позицию, определиться в ситуации выбора, проявив при этом твердость и решительность.

В ней развито чувство коллективизма, взаимной поддержки. За свой чуткий и отзывчивый характер среди товарищей пользуется уважением и доверием. Ответственно и добросовестно выполняет обязанности в классном коллективе. Радуется успехам товарищей. Никогда не добивается своего за счет других или во вред им.

Доброта, скромность, отзывчивость – основные черты её характера.

Директор школы

Классный руководитель

Предварительный просмотр:

ХАРАКТЕРИСТИКА

на выпускницу …..

ФИО обучалась в …. с первого класса. За время обучения показала высокий уровень базовых знаний. Обладает образной, эмоциональной устной и письменной речью. Способна к целостному видению проблемы, свободно ориентируется в знаниях на межпредметном уровне.

…. – творчески развитая, социально – ориентированная личность, ориентированная на успех, максимально адаптированная к современным условиям. …. отличает интеллектуальная готовность и способность к продолжению образования, профессиональное самоопределение. Выпускница имеет осознанные познавательные интересы и стремится реализовывать их. Она склонна к рациональной организации своего труда, что дает возможность вести насыщенную жизнь, многое успевать, участвовать в конкурсах: конкурсе проектов «Языковой бум», международном конкурсе сочинений на английском языке, дополнительно заниматься английским языком, быть общественно активным человеком, заметным как в классном коллективе, так и в школьном сообществе.

Выпускница демонстрирует высокую правовую культуру. Её отличает социальная взрослость, ответственность за свои действия, самостоятельность в принятии решений. Честность, принципиальность, умение отстаивать свои взгляды и убеждения – отличительные черты девушки.

Выпускницу уважают и ценят как сверстники, так и педагоги, потому что она открытый, общительный, доброжелательный человек, обладающий чувством юмора, креативным мышлением. С ней интересно общаться – она много знает, оригинально и непредвзято рассуждает, способна найти нестандартное решение в неожиданной жизненной ситуации. В ней ярко выражены гражданская позиция и чувство патриотизма.

Директор

Классный руководитель