Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.
Henkilötietojen kerääminen ja käyttö
Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.
Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.
Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.
Mitä henkilötietoja keräämme:
- Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.
Kuinka käytämme henkilötietojasi:
- Meidän keräämä henkilökohtaisia tietoja antaa meille mahdollisuuden ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisia tarjouksia, kampanjat ja muut tapahtumat ja tulevat tapahtumat.
- Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
- Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, tietojen analysointiin ja erilaisia tutkimuksia parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja antaaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
- Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.
Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille
Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.
Poikkeukset:
- Tarvittaessa - lain, oikeuden määräyksen mukaisesti, oikeudenkäynnissä ja/tai julkisten pyyntöjen tai pyyntöjen perusteella valtion virastot Venäjän federaation alueella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuuden, lainvalvontaviranomaisten tai muiden julkisten tärkeitä tilaisuuksia.
- Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.
Henkilötietojen suoja
Suojelemme varotoimia - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.
Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla
Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.
Oppitunnin tarkoitus:
- Toista kaavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.
- Harkitse kolmea päätapaa valita juuria ratkaiseessasi trigonometriset yhtälöt:
valinta epäyhtälöllä, valinta nimittäjällä ja valinta aukolla.
Laitteet: multimedialaitteet.
Metodologinen kommentti.
- Kiinnitä oppilaiden huomio oppitunnin aiheen tärkeyteen.
- Trigonometriset yhtälöt, jotka vaativat juurivalintaa, löytyvät usein temaattisista KÄYTÄ testit;
tällaisten ongelmien ratkaisu antaa sinun vahvistaa ja syventää opiskelijoiden aiemmin hankittuja tietoja.
Tuntien aikana
Toisto. On hyödyllistä muistaa kaavat yksinkertaisimpien trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi (näyttö).
| Arvot | Yhtälö | Kaavat yhtälöiden ratkaisemiseen |
| sinx=a | ||
| sinx=a | klo yhtälöllä ei ole ratkaisuja | |
| a = 0 | sinx=0 | |
| a = 1 | sinx=1 |
 |
| a = -1 | sinx=-1 |
 |
| cosx=a | ||
| cosx=a | yhtälöllä ei ole ratkaisuja | |
| a = 0 | cosx=0 |
 |
| a = 1 | cosx=1 | |
| a = -1 | cosx=-1 |
 |
| tgx=a | ||
| ctgx=a |
Kun valitaan juuria trigonometrisissa yhtälöissä, kirjoitetaan yhtälöiden ratkaisuja sinx=a, cosx=a yhdistelmämuodossa on perusteltua. Tarkistamme tämän, kun ratkaisemme ongelmia.
Yhtälöiden ratkaisu.
Tehtävä. ratkaise yhtälö 
Päätös. Tämä yhtälö vastaa seuraavaa järjestelmää
Harkitse ympyrää. Merkitsemme siihen jokaisen järjestelmän juuret ja merkitsemme kaarella ympyrän sen osan, jossa epäyhtälö ( riisi. yksi)
Riisi. yksi
Me ymmärrämme sen 
ei voi olla ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön.
Vastaus:
Tässä tehtävässä suoritimme juurien valinnan epätasa-arvon perusteella.
Seuraavassa tehtävässä valitsemme nimittäjällä. Tätä varten valitsemme osoittajan juuret, mutta siten, että ne eivät ole nimittäjän juuria.
Tehtävä 2. Ratkaise yhtälö.
Päätös. Kirjoitamme yhtälön ratkaisun käyttämällä peräkkäisiä ekvivalentteja siirtymiä.
Yhtälön ja järjestelmän epäyhtälön ratkaiseminen laittamamme ratkaisussa erilaisia kirjaimia, jotka edustavat kokonaislukuja. Kuvasta havainnollistaen, merkitsemme ympyrään yhtälön juuret ympyröillä ja nimittäjän juuret ristillä (kuva 2.)
Riisi. 2
Kuvasta näkyy selvästi, että 
on alkuperäisen yhtälön ratkaisu.
Kiinnitetään opiskelijoiden huomio siihen, että juurien valinta oli helpompaa systeemillä, jossa piirrettiin vastaavat pisteet ympyröille.
Vastaus:
Tehtävä 3. ratkaise yhtälö
3sin2x = 10 cos 2 x - 2/
Etsi kaikki yhtälön juuret, segmenttiin kuuluvaa.
Päätös. Tässä tehtävässä suoritetaan juurien valinta väliltä, jonka tehtävän ehto määrittelee. Juurten valinta välissä voidaan tehdä kahdella tavalla: lajittelemalla muuttujan arvot kokonaislukuille tai ratkaisemalla epäyhtälö.
AT annettu yhtälö valitsemme juuret ensimmäisellä tavalla ja seuraavassa tehtävässä ratkaisemalla epäyhtälön.
Käytetään pääasiaa trigonometrinen identiteetti ja sinin kaksoiskulmakaava. Saamme yhtälön
6sinxcosx = 10cos 2 x - sin 2 x - cos 2 x, nuo. sin2x – 9cos2x+ 6sinxcosx = 0
Koska muuten sinx = 0, joka ei voi olla, koska ei ole kulmia, joille sekä sini että kosini nolla mielessä sin 2 x + cos 2 x = 0.
Jaa yhtälön molemmat puolet arvolla cos 2x. Saada tg2x+ 6tgx – 9 = 0/
Anna olla tgx = t, sitten t 2 + 6t - 9 = 0, t 1 = 2, t 2 = -8.
tgx = 2 tai tg = -8;
Tarkastellaan jokaista sarjaa erikseen etsimällä pisteitä intervallin sisältä ja yksi piste sen vasemmalla ja oikealla puolella.
Jos k = 0, sitten x=arctg2. Tämä juuri kuuluu tarkasteltavaan väliin.
Jos k = 1, sitten x=arctg2+. Tämä juuri kuuluu myös tarkasteltavaan väliin.
Jos k = 2, sitten 
. On selvää, että tämä juuri ei kuulu väliimme.
Olemme tarkastelleet yhtä pistettä tämän välin oikealla puolella, joten k = 3,4,… ei oteta huomioon.
Jos k = -1, saamme - ei kuulu väliin .
Arvot k = -2, -3, ... ei oteta huomioon.
Tästä sarjasta väliin kuuluu siis kaksi juuria
Kuten edellisessä tapauksessa, varmistamme sen n = 0 ja n = 2, ja näin ollen klo n = –1, –2,…n = 3,4,… saamme juuret, jotka eivät kuulu väliin . Vasta kun n = 1 saamme , joka kuuluu tähän väliin.
Vastaus:
Tehtävä 4. ratkaise yhtälö 6sin2x+2sin2 2x=5 ja osoita väliin kuuluvat juuret.
Päätös. Esitämme yhtälön 6sin2x+2sin2 2x=5 kohtaan toisen asteen yhtälö suhteellisesti cos2x.
Missä cos2x 
Tässä sovelletaan valintamenetelmää väliin käyttämällä kaksois-epäyhtälöä
Kuten kohtaan ottaa vain kokonaislukuja, se on mahdollista vain k = 2, k = 3.
klo k = 2 saamme, klo k = 3 saada .
Vastaus: 
metodologinen kommentti. Nämä neljä tehtävää opettaja suosittelee ratkaisemaan taulun ääressä oppilaiden kanssa. Seuraavan ongelman ratkaisemiseksi on parempi kutsua vahva opiskelija tyttärelle, mikä antaa hänelle maksimaalisen riippumattomuuden päättelyssä.
Tehtävä 5. ratkaise yhtälö
Päätös. Muuttamalla osoittajaa saamme yhtälön yksinkertaisempaan muotoon
Tuloksena oleva yhtälö vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:
Juurten valinta väliltä (0; 5) tehdään se kahdella tavalla. Ensimmäinen menetelmä on ensimmäiselle populaatiojärjestelmälle, toinen menetelmä toiselle populaatiojärjestelmälle.
, 0
Kuten kohtaan on siis kokonaisluku k = 1. Sitten x = on alkuperäisen yhtälön ratkaisu.
Harkitse toista keräysjärjestelmää
Jos n = 0, sitten 
. klo n = -1; -2;… ratkaisuja ei tule.
Jos n=1, 
on järjestelmän ja siten alkuperäisen yhtälön ratkaisu.
Jos n = 2, sitten
Päätöksiä ei tule.
Nro 10 (757) JULKAISTU VUODESTA 1992 mat.1september.ru Numeron teema Tietotesti Projektimme Kilpailut Huomio - Ural Cupin oppitunnin luova analyysi vahvaan kokeeseen "Rinnakkaislinjojen opiskelijan aksiooma" c. 16 c. 20 c. 44 7 6 5 4 3 versio lehdestä 2 n e r. w w olla w. 1 m syyskuu 1. syyskuuta.ru 2014 matematiikka Tilaus verkkosivulla www.1september.ru tai Venäjän postiluettelon mukaan: 79073 (paperiversio); 12717 (CD-versio) Luokat 10–11 Valintakoulutus S. MUGALLIMOVA, pos. Bely Yar, Tjumenin alue trigonometrisen yhtälön juuriyhtälöstä Trigonometrialla matematiikan koulukurssilla on erityinen paikka, ja sitä pidetään perinteisesti vaikeana sekä opettajan esittämiselle että opiskelijoiden omaksumiselle. Tämä on yksi osioista, jonka opiskelua monet pitävät usein "matematiikkana matematiikan vuoksi", sellaisen materiaalin tutkimiseksi, jolla ei ole käytännön arvoa. Samaan aikaan trigonometrista laitteistoa käytetään monissa matematiikan sovelluksissa, ja trigonometristen funktioiden toiminta on välttämätöntä matematiikan opetuksen sisäisten ja tieteidenvälisten yhteyksien toteuttamiseksi. Huomaa, että trigonometrinen materiaali luo hedelmällisen maaperän erilaisten meta-aiheisten taitojen muodostumiselle. Esimerkiksi trigonometrisen yhtälön juurien ja trigonometrisen epäyhtälön ratkaisujen valinnan oppiminen mahdollistaa taidon, joka liittyy sellaisten ratkaisujen löytämiseen, jotka täyttävät annettujen ehtojen yhdistämismenetelmän. Menetelmä juurivalinnan opettamiseen perustuu alla lueteltuihin tosiasioihin. Tieto: - Pisteiden sijainti trigonometrisellä ympyrällä; – trigonometristen funktioiden merkit; – yleisimpiä kulmien arvoja vastaavien pisteiden sijainnit ja niihin liittyvät kulmat pelkistyskaavojen avulla; – trigonometristen funktioiden ja niiden ominaisuuksien kuvaajat. Ymmärtäminen: – että trigonometrisen ympyrän pisteelle on tunnusomaista kolme indikaattoria: 1) pisteen kiertokulma P (1; 0); 2) abskissa, joka vastaa tämän kulman kosinia, ja 3) ordinaatta, joka vastaa tämän kulman siniä; – trigonometrisen yhtälön juuren tietueen polysemia ja juuren tietyn arvon riippuvuus kokonaislukuparametrin arvosta; – säteen kiertokulman arvon riippuvuus täydellisten kierrosten lukumäärästä tai toiminnon ajanjaksosta. Kyky: – merkitä pisteitä trigonometriseen ympyrään, jotka vastaavat säteen positiivisia ja negatiivisia kiertokulmia; – korreloi trigonometristen funktioiden arvot pisteen sijaintiin trigonometrisellä ympyrällä; matematiikka lokakuu 2014 – kirjoita ylös pisteen 3 kiertokulmien arvot. 3. Merkitse mahdollisimman monta pistettä, jotka vastaavat P (1; 0), jotka vastaavat funktion kam annettuja arvoja vastaavia symmetrisiä pisteitä trigonometriseen ympyrään; 1 (esim. | sin x | =). – kirjoita trigono- 2 metristen funktioiden argumenttien arvot funktion kaavion pisteiden mukaisesti- 3.4. Merkitse funktiota vastaavat intervallit ottaen huomioon funktion jaksollisuus sekä määritetyt rajoitukset parillisen ja parittoman funktion arvoille; 3 1 (esimerkiksi − ≤ cos x ≤). – muuttujien arvojen avulla löytääksesi vastaavat pisteet funktioiden kaavioista; 3.5. Annetuille funktion ja rajan arvoille - yhdistääksesi sarjan trigonometriikan juuria argumentin arvoihin, huomioi vastaavat yhtälöt. Vastaavat pisteet ja kirjoita argumentin arvot. Näin ollen trigonomentin tutkimisen yhteydessä (esim. kuvaajaan osoittamiseksi ja metrisen materiaalin tekemiseksi on tarpeen tehdä asianmukaiset merkinnät pisteisiin, jotka täytä seuraavat tehtävät: 5π täyttäen ehdot tg x = 3 ja −3π< x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ- 3π 5π ряющие условию x ∈ − ; . ствующие требуемым значениям тригонометри- 2 2 ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со- 3π 5π ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈ − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить 2 2 π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0. π − cos x ряющие условию x ∈ − ; 2π . 2 Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме tg x = 1, π 3 вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6 cos x < 0. π условия x ∈ − ; 2π , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности 2 корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2 3π 5π ряющие условию x ∈ − ; . 2 2 Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2 3π 5π графика на промежутке − ; . 2 2 Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6 cos x = 0, 16 − x >0. 2 Siten yhtälöllä π on annetulla intervallilla neljä juuria: Yhtälöstä cos x = 0 saadaan: x = + πn, n ∈ Z. 2 π 5π 13π 7π , − . Epäyhtälön 16 ratkaisut – x2 > 0 kuuluvat väliin 6 6 6 6 (–4; 4). Lopuksi korostamme muutamia kohtia. Listataan: Taito, joka liittyy argumentin π π 3, 14 annetut arvot täyttävien ratkaisujen löytämiseen, jos n = 0, niin x = + π ⋅ 0 = ≈ ∈(−4; 4); 2 2 2 on tärkeä monien sovellettavien ongelmien ratkaisemisessa, ja tämä taito on tarpeen muodostaa, jos n = 1, niin x = + π = ≈ ∉(−4; 4); 2 2 2 kk tutkittaessa kaikkea trigonometrisesti, jos n ≥ 1, niin saadaan x arvoja suurempia kuin 4; materiaalia. π π 3, 14 Ongelmanratkaisuprosessissa, jossa jos n = –1, niin x = −π= − ≈ − ∈(−4; 4); 2 2 2 on valittava trigonometrisen yhtälön π 3π 3 ⋅ 3, 14 juuret, keskustellaan opiskelijoiden kanssa, jos n = –2, niin x = − 2π = − ≈− ∉(−4; 4); 2 2 2 eri tapaa suorittaa tämä toiminto, ja jos n ≤ –2, niin saadaan x arvoja pienempiä kuin –4. myös selvittää tapaukset, joissa yksi tai toinen menetelmä voi olla kätevin tai, on- Tällä yhtälöllä on kaksi juurta: ja − . 2 2 liikevaihto, käyttökelvoton. matematiikka lokakuu 2014 32
Takaisin eteenpäin
Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.
Oppitunnin tyyppi: Opiskelun toiston, yleistyksen ja systematisoinnin oppitunti.
Oppitunnin tarkoitus:
- koulutuksellinen: vahvistaa kykyä valita trigonometrisen yhtälön juuret numero ympyrä; kannustaa opiskelijoita hallitsemaan rationaalisia tekniikoita ja menetelmiä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi;
- kehitetään: kehittää loogista ajattelua, kykyä korostaa tärkeintä, yleistää, tehdä oikeita loogisia johtopäätöksiä ;
- koulutuksellinen: tällaisten luonteenominaisuuksien koulutus, kuten sinnikkyys tavoitteen saavuttamisessa, kyky olla eksymättä ongelmatilanteessa.
Laitteet: multimediaprojektori, tietokone.
Tuntien aikana
I. Organisatorinen hetki.
Oppitunnin valmiuden tarkistaminen, tervehdys.
II. Tavoitteiden asettaminen.
Ranskalainen kirjailija Anatole France sanoi kerran: "... Tiedon sulattamiseksi sinun on omaksuttava se ruokahalulla." Noudatetaan siis tätä viisasta neuvoa tänään ja imetään tietoa suurella halulla, koska siitä on sinulle hyötyä lähitulevaisuudessa kokeessa.
Tänään tunnilla jatketaan trigonometristen yhtälöiden juurien valitsemisen taitojen harjoittelua numeroympyrän avulla. Ympyrää on kätevä käyttää sekä valittaessa juuria väliltä, jonka pituus ei ylitä 2π, että siinä tapauksessa, että käänteisten trigonometristen funktioiden arvot eivät ole taulukkomuotoisia. Tehtäviä suorittaessamme käytämme tutkittujen menetelmien ja menetelmien lisäksi myös epästandardeja lähestymistapoja.
III. Perustietojen päivittäminen.
1. Ratkaise yhtälö: (Dia 3-5)
a) cox = 0
b) cosx = 1
c) cosx = -1
d) sinx = 1
e) sinx = 0
f) sinx = -1
g) tgx = 1
h) tgx = 0
2. Täytä tyhjät kohdat: (Dia 6)
sin2x =
cos2x =
1/cos 2x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x - π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =
3. Näytä seuraavat segmentit numeroympyrässä (dia 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π],, [-4π; -5π/2].
4. Käytä Vieta-lausetta ja sen seurauksia, etsi yhtälöiden juuret: (Dia 8)
t2-2t-3=0; 2t2-3t-3 = 0; t2 +4t-5 = 0; 2t2+t-1 = 0; 3t2 +7t=4=0; 2t2 -3t+1=0
IV. Harjoituksia tekemässä.
(Dia 9)
Erilaiset menetelmät trigonometristen lausekkeiden muuntamiseen pakottavat meidät valitsemaan niistä järkevimmän.
1. Ratkaise yhtälöt: (Yksi oppilas päättää laudalla. Loput osallistuvat rationaalisen ratkaisutavan valintaan ja kirjoittavat sen muistikirjaan. Opettaja valvoo oppilaiden päättelyn oikeellisuutta.)
1) 2sin 3x-2sinx+cos 2x=0. Määritä segmenttiin kuuluvat juuret [-7π/2; - 2π].
Päätös.
[-7π/2; -2π]
Otetaan numerot:- 7π/2; -19π/6;-5π/2.
Vastaus: a)π /2+ pn, π /6+2 pn, 5 π /6+2 pn, nЄ Z; b) - 7π/2, -19π/6, -5π/2.
2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Määritä segmenttiin [-π; π/2].
Päätös.
a) Jaa yhtälön molemmat puolet luvullacos 2 x=0. Saamme:
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[-π; π/2]
Otetaan numerot:- π+ arctg3 ; -π/4;arctg3.
Vastaus: a) - π /4+ pn, arctg3+ pn, nЄ Z; b) - π+ arctg3 , -π/4,arctg3.
3) 2sin 2x-3cosx-3=0. Määritä segmenttiin [π; 3π].
Päätös.
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[π; 3π]
Saamme luvut: π; 4π/3; 8π/3;3π.
Vastaus: a) π +2 pn, ±2π /3+2 pn, nЄ Z; b)π, 4π/3, 8π/3,3π.
4) 1/cos2x +4tgx - 6=0 .Ilmoita segmenttiin kuuluvat juuret [ 2π;7π/2] .
Päätös.
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[; 7π/2]
Saamme luvut: 9π/4; 3π-arctg5;1 3π/4.
Vastaus: a)π /4+ pn, - arctg5+ pn, nЄ Z; b)9π/4, 3π-arctg5, 1 3π/4.
5) 1/cos 2 x + 1/sin(x - π/2) = 2. Ilmoita segmenttiin [-2π; -π/2].
Päätös.
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[-2π; -π/2]
Saamme luvut: -5π/3;-π .
Vastaus: a)π +2 pn, ± π /3+2 pn, nЄ Z; b)-5π/3;-π .
2. Työskentele pareittain: (Kaksi opiskelijaa työskentelee sivulaudoilla, loput vihkoissa. Tehtävät tarkistetaan ja analysoidaan.)
Ratkaise yhtälöt:
Päätös.
Olettaen ettätgx≠1 jatgx>0, Valitaan juuret numeroympyrän avulla.Saamme:
x = arccos√2/3+2 pn, nЄ Z.
Vastaus:arccos√2/3+2 pn, nЄ Z.
6cos2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Ilmoita segmenttiin [-3π/2; - π/2].
Päätös.
a) 6(cos 2 x- synti 2 x)-14 cos 2 x-14 cosxsinx=0; 6 cos 2 x-6 synti 2 x-14 cos 2 x-14 cosxsinx=0;
3 synti 2 x+7 cosxsinx+4 cos 2 x=0 Jaa yhtälön molemmat puolet luvullacos 2 x=0. Saamme:
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[-3π/2; -π/2]
Hanki numerot: -5π /4;- π - arctg4/3.
Vastaus: a)- π /4+ pn, - arctg4/3+ pn, nЄ Z; b)-5π/4, -π - arctg4/3.
3. Itsenäinen työ . (Työn valmistuttua opiskelijat vaihtavat muistikirjoja ja tarkistavat luokkatoverinsa työn korjaamalla virheet (jos niitä on) kynällä punaisella musteella.)
Ratkaise yhtälöt:
1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Määritä segmenttiin [-3π; -2π].
Päätös.
a) 2(1- synti 2 x)+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; 2-2 synti 2 x+2 sinx-√2 sinx+√2-2=0; -2 sinx(sinx-1)-√2(sinx-1)=0;
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[-3π; -2π].
Hanki numerot: -11π /4;-9 π /4.
Vastaus: a) π /2+2 pn, - π /4+2 pn, -3 π /4+2 pn, nЄ Z; b)-11π/4, -9π /4 .
2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Määritä segmenttiin kuuluvat juuret
Päätös.
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret.
Hanki numerot: 13π /4;3 π ;4 π .
Vastaus: a)pn, ±3π /4+2 pn, nЄ Z; b) 13 π /4,3 π , 4 π .
3)1/rusketus 2x - 3/sinx+3=0. Määritä segmenttiin kuuluvat juuret [-4π; -5π/2]
Päätös.
b) Valitsemme numeerisen ympyrän avulla segmenttiin kuuluvat juuret[-4π;-5π/2].
Otetaan numerot:-19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.
Vastaus: a)π /2+2 pn, π /6+2 pn, 5 π /6+2 pn, nЄ Z; b)-19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.
V. Oppitunnin yhteenveto.
Trigonometrisiin yhtälöihin pääseminen vaatii hyvä tieto kaavat, kyky soveltaa niitä käytännössä vaatii huomiota ja kekseliäisyyttä.
VI. pohdiskelun vaihe.
(Dia 10)
Pohdiskeluvaiheessa opiskelijoita pyydetään säveltämään synkviini runolliseen muotoon
Ilmaise suhtautumisesi tutkittavaan materiaaliin.
Esimerkiksi:
Ympyrä.
Numeerinen, trigonometrinen.
Opiskelemme, ymmärrämme, olemme kiinnostuneita.
Läsnä kokeessa.
Todellisuus.
VII. Kotitehtäväte.
1. Ratkaise yhtälöt:
2. Käytännön tehtävä.
Kirjoita kaksi trigonometristä yhtälöä, joista jokainen sisältää kaksoisargumenttikaavat.
VIII. Kirjallisuus.
USE-2013: Mathematics: täydellisin painos vakiovaihtoehdot työt/ auto-stat. I.V. Jaštšenko, I.R. Vysotsky; toim. A.L. Semjonova, I.V. Yashchenko - M.: AST: Astrel, 2013.
