Tämän opetusvideon aiheena ovat liikeominaisuudet sekä rinnakkaiskäännös. Oppitunnin alussa toistamme jälleen liikkeen käsitteen, sen päätyypit - aksiaali- ja keskisymmetria. Sen jälkeen tarkastellaan kaikkia liikkeen ominaisuuksia. Analysoidaan "rinnakkaissiirron" käsitettä, mihin sitä käytetään, nimetään sen ominaisuudet.

Teema: Liike

Oppitunti: Liike. Liikeominaisuudet

Todistetaan lause: liikkuessaan segmentti siirtyy segmenttiin.

Selvitetään lauseen muotoilu kuvan 1 avulla. 1. Jos tietyn janan MN päät näkyvät liikkeen aikana joissakin pisteissä M 1 ja N 1, vastaavasti, mikä tahansa janan MN piste P menee välttämättä janan M 1 N 1 johonkin pisteeseen P 1, ja päinvastoin, janan M 1 N 1 jokaiseen pisteeseen Q 1 näytetään jokin janan MN piste Q.

Todiste.

Kuten kuvasta voidaan nähdä, MN = MP + PN.

Anna pisteen P mennä johonkin tason pisteeseen P 1 ". Liikkeen määritelmä tarkoittaa segmenttien MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 pituuksien yhtäläisyyttä. "N 1. Näistä yhtälöistä seuraa, että M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, eli piste Р 1 "kuuluu jana M 1 N 1 ja osuu yhteen pisteen P 1 kanssa, muuten yllä olevan yhtälön sijasta kolmion epäyhtälö M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 olisi tosi. että siirrettäessä mikä tahansa janan MN piste P väistämättä menee johonkin janan M 1 N 1 pisteeseen P 1. Lauseen toinen osa (koskee pistettä Q 1) todistetaan täsmälleen samalla tavalla .

Todistettu lause pätee kaikkiin liikkeisiin!

Lause: liikkuessa kulma menee samaan kulmaan.

Olkoon RAOB annettu (kuva 2). Ja annetaan jokin liike, jossa kärki РО menee pisteeseen О 1 ja pisteet A ja B - vastaavasti pisteisiin А 1 ja В 1 .

Tarkastellaan kolmioita AOB ja A 1 O 1 B 1 . Lauseen ehdon mukaan pisteet A, O ja B liikkuvat siirtyessään pisteisiin A 1, O 1 ja B 1, vastaavasti. Siksi pituudet AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 ja AB \u003d A 1 B 1 ovat yhtä suuret. Siten AOB \u003d A 1 O 1 B 1 kolmelta puolelta. Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa vastaavien kulmien O ja O 1 yhtäläisyys.

Joten mikä tahansa liike säilyttää kulmat.

Liikkeen perusominaisuuksista seuraa paljon seurauksia, erityisesti se, että mikä tahansa hahmo liikkeen aikana kartoitetaan sitä vastaavaksi kuvioksi.

Harkitse toista liikettä - yhdensuuntaista siirtoa.

Rinnakkaissiirto jollekin tietylle vektorille kutsutaan sellaista tason kartoitusta itseensä, jossa jokainen tason piste M menee saman tason pisteeseen M 1, joka (kuva 3).

Todistetaan se rinnakkaiskäännös on liike.

Todiste.

Harkitse mielivaltainen segmentti MN (kuvio 4). Siirtyy piste M pisteeseen M 1 rinnakkaissiirron aikana ja piste N - pisteeseen N 1. Tässä tapauksessa rinnakkaissiirron ehdot täyttyvät: ja . Harkitse nelikulmiota

MM 1 N 1 N. Sen kaksi vastakkaista sivua (MM 1 ja NN 1) ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset rinnakkaisten translaatioehtojen sanelemana. Siksi tämä nelikulmio on suunnikas yhden jälkimmäisen merkin mukaan. Tämä tarkoittaa, että suunnikkaan kahdella muulla sivulla (MN ja M 1 N 1) on yhtä pitkiä, joka oli todistettava.

Näin ollen rinnakkaissiirto on todellakin liikettä.

Tehdään yhteenveto. Tunnemme jo kolme liiketyyppiä: aksiaalinen symmetria, keskussymmetria ja rinnakkaissiirto. Olemme osoittaneet, että liikkuessaan segmentti siirtyy segmentiksi ja kulma samaan kulmaan. Lisäksi voidaan osoittaa, että suora siirtyy suoraksi liikkeessä ja ympyrä samansäteiseksi ympyräksi.

1. Atanasyan L. S. ym. Geometria luokat 7-9. Opetusohjelma varten koulutusinstituutiot. - M.: Koulutus, 2010.

2. Farkov A. V. Geometriakokeet: luokka 9. L. S. Atanasyanin ja muiden oppikirjaan - M .: Tentti, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometria, tili. 7-11 solulle. yleistä inst. - M.: Enlightenment, 1995.

1. venäjä koulutusportaali ().

2. Festivaali pedagogisia ajatuksia « Julkinen oppitunti» ().

1. Atanasyan (katso viitteet), s. 293, § 1, kohta 114.

Lause massakeskuksen liikkeestä.

Joissakin tapauksissa järjestelmän (erityisesti jäykän kappaleen) liikkeen luonteen määrittämiseksi riittää, että tiedetään sen massakeskuksen liikelaki. Jos esimerkiksi heittää kiveä kohteeseen, sinun ei tarvitse tietää ollenkaan, kuinka se kaatuu lennon aikana, vaan on tärkeää selvittää osuuko se kohteeseen vai ei. Tätä varten riittää, kun tarkastellaan tämän kehon jonkin pisteen liikettä.

Tämän lain löytämiseksi siirrymme järjestelmän liikeyhtälöihin ja lisäämme niiden vasen ja oikea osa termi kerrallaan. Sitten saamme:

Muunnetaan tasa-arvon vasen puoli. Massakeskuksen sädevektorin kaavasta saadaan:

Ottamalla tämän yhtälön molemmista osista toisen kerran derivaatta ja huomioimalla, että summan derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa, löydämme:

missä on järjestelmän massakeskipisteen kiihtyvyys. Koska omaisuuden sisäisen järjestelmän voimia, sitten korvaamalla kaikki löydetyt arvot, saamme lopulta:

Yhtälö ja ilmaisee lauseen järjestelmän massakeskuksen liikkeestä: järjestelmän massan ja sen massakeskuksen kiihtyvyyden tulo on geometrinen summa kaikki järjestelmään vaikuttavat ulkoiset voimat. Vertaamalla materiaalin pisteen liikeyhtälöön, saamme lauseen toisen lausekkeen: järjestelmän massakeskipiste liikkuu aineellisena pisteenä, jonka massa on yhtä suuri kuin koko järjestelmän massa ja johon kohdistuu kaikki järjestelmään vaikuttavat ulkoiset voimat.

Projisoimalla tasa-arvon molemmat puolet koordinaattiakseleille, saamme:

Nämä yhtälöt ovat massakeskuksen liikedifferentiaaliyhtälöt suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän akseleiden projektioissa.

Todistetun lauseen merkitys on seuraava.

1) Lause perustelee pistedynamiikan menetelmiä. Yhtälöistä voidaan nähdä, että ratkaisut, jotka saamme, kun tarkastelemme annettua kappaletta materiaalina pisteenä, määräävät tämän kappaleen massakeskuksen liikelain, nuo. niillä on hyvin erityinen merkitys.

Erityisesti, jos keho liikkuu eteenpäin, sen liikkeen määrää täysin massakeskuksen liike. Näin ollen progressiivisesti liikkuvaa kappaletta voidaan aina pitää materiaalina pisteenä, jolla on massa, yhtä suuri kuin massa kehon. Muissa tapauksissa kehoa voidaan pitää aineellisena pisteenä vain silloin, kun käytännössä kehon asennon määrittämiseen riittää sen massakeskuksen sijainnin tiedostaminen.

2) Lause sallii minkä tahansa järjestelmän massakeskuksen liikelakia määritettäessä jättää huomioimatta kaikki aiemmin tuntemattomat sisäiset voimat. Tämä on sen käytännön arvo.

Joten auton liike vaakatasossa voi tapahtua vain toiminnan alaisena ulkoiset voimat, kitkavoimat, jotka vaikuttavat pyöriin tien sivulta. Ja auton jarruttaminen on myös mahdollista vain näillä voimilla, ei jarrupalojen ja jarrurummun välisen kitkan avulla. Jos tie on tasainen, pyörät jarruttavat kuinka paljon tahansa, ne liukuvat eivätkä pysäytä autoa.

Tai lentävän ammuksen räjähdyksen jälkeen (toiminnan alaisena sisäisiä voimia) osat, sen palaset, hajoavat niin, että niiden massakeskipiste liikkuu samaa rataa pitkin.

Mekaanisen järjestelmän massakeskuksen liikettä koskevaa lausetta tulisi käyttää mekaniikan ongelmien ratkaisemiseen, jotka vaativat:

Määritä mekaaniseen järjestelmään (useimmiten kiinteään kappaleeseen) kohdistettujen voimien mukaan massakeskuksen liikelaki;

Tekijä: annettu laki mekaaniseen järjestelmään kuuluvien kappaleiden liikkeet, löytää ulkoisten sidosten reaktiot;

Määritä mekaaniseen järjestelmään kuuluvien kappaleiden annetun keskinäisen liikkeen mukaan näiden kappaleiden liikelaki suhteessa johonkin kiinteään vertailukehykseen.

Tätä lausetta käyttämällä voidaan laatia yksi mekaanisen järjestelmän liikeyhtälöistä, jolla on useita vapausasteita.

Tehtäviä ratkaistaessa käytetään usein lauseen seurauksia massakeskipisteen liikkeestä mekaaninen järjestelmä.

Seuraus 1. Jos päävektori mekaaniseen järjestelmään kohdistuvat ulkoiset voimat, nolla, silloin järjestelmän massakeskus on levossa tai liikkuu tasaisesti ja suoraviivaisesti. Koska massakeskuksen kiihtyvyys on nolla, .

Johtopäätös 2. Jos ulkoisten voimien päävektorin projektio jollakin akselilla on nolla, niin järjestelmän massakeskipiste joko ei muuta asemaansa tämän akselin suhteen tai liikkuu tasaisesti sen suhteen.

Jos esimerkiksi kaksi voimaa alkaa vaikuttaa kehoon muodostaen parin (kuva 38), niin massakeskipiste Kanssa se liikkuu samaa rataa pitkin. Ja itse keho pyörii massakeskuksen ympäri. Ja sillä ei ole väliä, missä pari voimaa käytetään.

Muuten, statiikassa osoitimme, että parin vaikutus kehoon ei riipu siitä, missä sitä käytetään. Tässä olemme osoittaneet, että rungon pyöriminen tapahtuu keskiakselin ympäri Kanssa.

Kuva 38

Lause kineettisen momentin muutoksesta.

Mekaanisen järjestelmän kineettinen momentti suhteessa kiinteään keskustaan O on mitta järjestelmän liikkeestä tämän keskuksen ympärillä. Tehtäviä ratkaistaessa ei yleensä käytetä itse vektoria, vaan sen projektioita kiinteän koordinaattijärjestelmän akseleille, joita kutsutaan kineettisiksi momenteiksi akselin ympäri. Esimerkiksi - järjestelmän kineettinen momentti suhteessa kiinteään akseliin Oz .

Mekaanisen järjestelmän liikemäärä on summa vauhtia tähän järjestelmään sisältyvät pisteet ja elimet. Harkitse tapoja määrittää kulmamomentti aineellinen kohta ja kiinteä runko erilaisiin tilaisuuksiin heidän liikkeensä.

Aineelliselle pisteelle, jonka massa on nopeus, kulmamomentti jonkin akselin ympäri Oz määritellään tämän pisteen liikemäärävektorin momentiksi valitun akselin ympäri:

Pisteen kulmamomentti katsotaan positiiviseksi, jos pisteen liike tapahtuu akselin positiivisen suunnan puolelta vastapäivään.

Jos piste tekee monimutkaisen liikkeen, sen kulmaliikemäärän määrittämiseksi liikemäärävektoria tulee pitää suhteellisten ja siirrettävien liikkeiden määrien summana (kuva 41).

Mutta missä on etäisyys pisteestä pyörimisakseliin ja

Riisi. 41

Kulmamomenttivektorin toinen komponentti voidaan määritellä samalla tavalla kuin voimamomentti akselin ympäri. Mitä tulee voimaan, arvo on nolla, jos suhteellinen nopeusvektori on samassa tasossa kuin translaatiokiertoakseli.

Jäykän kappaleen kineettinen momentti suhteessa kiinteään keskustaan ​​voidaan määritellä kahden komponentin summana: ensimmäinen niistä kuvaa kappaleen liikkeen translaatioosaa yhdessä sen massakeskipisteen kanssa, toinen kappaleen liikettä. järjestelmä massakeskuksen ympärillä:

Jos keho suorittaa translaatioliikettä, toinen komponentti on yhtä suuri kuin nolla

Jäykän kappaleen kineettinen momentti lasketaan yksinkertaisimmin, kun se pyörii kiinteän akselin ympäri

missä on kappaleen hitausmomentti pyörimisakselin suhteen.

Lause mekaanisen järjestelmän kulmamomentin muutoksesta sen liikkuessa kiinteän keskuksen ympäri muotoillaan seuraavasti: mekaanisen järjestelmän liikemäärävektorin kokonaisaikaderivaata suhteessa johonkin kiinteään keskukseen O suuruus ja suunta on yhtä suuri kuin mekaaniseen järjestelmään kohdistuvien ulkoisten voimien päämomentti, joka on määritelty suhteessa samaan keskustaan

missä - Pääasia kaikki keskustaan ​​vaikuttavat ulkoiset voimat O.

Ratkaistaessa ongelmia, joissa kappaleiden katsotaan pyörivän kiinteän akselin ympäri, he käyttävät lausetta liikemäärän muutoksesta suhteessa kiinteään akseliin

Mitä tulee massakeskuksen liikettä koskevaan lauseeseen, niin liikemäärän muutosta koskevalla lauseella on seurauksia.

Johtopäätös 1. Jos kaikkien ulkoisten voimien päämomentti jonkin kiinteän keskuksen suhteen on nolla, niin mekaanisen järjestelmän kineettinen momentti suhteessa tähän keskustaan ​​pysyy muuttumattomana.

Johtopäätös 2. Jos kaikkien ulkoisten voimien päämomentti jonkin kiinteän akselin ympäri on nolla, niin mekaanisen järjestelmän liikemomentti tämän akselin ympäri pysyy muuttumattomana.

Liikemäärän muutosteoreemaa käytetään ratkaisemaan ongelmia, joissa tarkastellaan mekaanisen järjestelmän liikettä, joka koostuu kiinteän akselin ympäri pyörivästä keskuskappaleesta ja yhdestä tai useammasta kappaleesta, jonka liike liittyy keskeiseen. kierteiden avulla kappaleet voivat liikkua keskusrungon pintaa pitkin tai sen kanavissa sisäisten voimien vaikutuksesta. Tämän lauseen avulla voidaan määrittää keskuskappaleen pyörimislain riippuvuus jäljellä olevien kappaleiden asennosta tai liikkeestä.

Tasoliikkeet ja niiden ominaisuudet. Esimerkkejä liikkeistä. Liikkeiden luokittelu. Liikeryhmä. Liikkeen soveltaminen ongelmanratkaisuun

Liike- tämä on kuvioiden muunnos, jossa pisteiden väliset etäisyydet säilyvät. Jos kaksi hahmoa yhdistetään tarkasti toisiinsa liikkeen avulla, niin nämä luvut ovat samat, yhtä suuret.

Liike on tason π bijektiivinen muunnos φ, jonka alla eri pisteille X, Y є π relaatio XY  φ(X)φ(Y) täyttyy.

Liikkeen ominaisuudet:

1. Koostumus φ ◦ ψ kaksi liikettä ψ , φ on liike.

Asiakirja: Anna hahmon F liikkeellä käännettynä ψ hahmoksi F ' ja kuva F ' on käännetty sanalla liike φ hahmoksi F ''. Anna pointin X lukuja F menee asiaan X ' luvut F ja toisen osan aikana piste X ' luvut F ' menee asiaan X '' lukuja F ''. Sitten hahmon muunnos F hahmoksi F '', jossa mielivaltainen piste X lukuja F menee asiaan X '' lukuja F '', säilyttää pisteiden välisen etäisyyden ja on siksi myös liike.

Kappaleen tallennus alkaa aina viimeisestä osasta, koska koostumuksen tulos on lopullinen kuva - se on asetettu linjaan alkuperäisen kanssa: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Jos φ – liike, sitten muutos φ -1 on myös liikettä.

Asiakirja: Anna muodon muuttua F hahmoksi F ' kääntää erilaisia ​​kohtia lukuja F kuvan eri kohdissa F '. Anna mielivaltainen piste X lukuja F tämän muutoksen alla menee pisteeseen X ' luvut F ’.

Muodon muunnos F ' hahmoksi F , jossa kohta X ' menee asiaan X , kutsutaan annetun käänteismuunnokseksi . Jokaiselle liikkeelle φ on mahdollista määritellä vastasuuntainen liike, joka on merkitty φ -1 .

Muutos siis käänteinen liike, on myös liike.

On selvää, että muutos φ -1 täyttää tasa-arvot: f◦f-1 = f-1◦f = ε , missä ε on identtinen näyttö.

3. Sävellysten assosiatiivisuus: Olkoon φ 1 , φ 2 , φ 3 – vapaaehtoisia liikkeitä. Silloin φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Se tosiasia, että liikkeiden koostumuksella on assosiatiivisuuden ominaisuus, antaa meille mahdollisuuden määrittää aste φ kanssa luonnollinen indikaattori n .

Laitetaanpa φ 1= φ ja φ n +1= φ n◦ φ , jos n≥ 1 . Näin liike φ n saatu n - useita johdonmukainen soveltaminen liikkeet φ .

4. Suoruuden säilyminen: Yhdellä suoralla sijaitsevat pisteet siirtyvät liikkuessaan yhdellä suoralla oleviksi pisteiksi ja niiden suhteellinen asennon järjestys säilyy.

Tämä tarkoittaa, että jos pisteitä A ,B ,C Makaa yhdellä suoralla linjalla (tällaisia ​​pisteitä kutsutaan kollineaarisiksi), siirry pisteisiin A 1 ,B1 ,C1 , silloin nämä pisteet ovat myös viivalla; jos kohta B sijaitsee pisteiden välissä A ja C , sitten se pointti B1 sijaitsee pisteiden välissä A 1 ja C1 .

Doc. Anna pointin B suoraan AC sijaitsee pisteiden välissä A ja C . Todistakaamme, että pistettä A 1 ,B1 ,C1 makaa samalla linjalla.

Jos pisteet A 1 ,B1 ,C1 Älä makaa yhdellä suoralla, niin ne ovat jonkin kolmion kärkipisteitä A 1 B 1 C 1 . Niin A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Liikkeen määritelmästä seuraa, että AC <AB +eKr .

Kuitenkin segmenttien mittausominaisuudella AC =AB +eKr .

Olemme tulleet ristiriitaan. Eli pointti B1 sijaitsee pisteiden välissä A 1 ja C1 .

Sanotaanpa pointti A 1 sijaitsee pisteiden välissä B1 , ja C1 . Sitten A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , ja siten AB +AC =eKr . Mutta tämä on tasa-arvon vastaista. AB +eKr =AC .

Siis piste A 1 ei ole pisteiden välissä B1 , ja C1 .

Se voidaan todistaa samalla tavalla, että kohta C1 ei voi olla pisteiden välissä A 1 ja B1 . Koska kolmesta pisteestä A 1 ,B1 ,C1 yksi on kahden muun välissä, tämä kohta voi olla vain B1 . Lause on todistettu täydellisesti.

Seuraus. Liikkeessä suora viiva kuvataan suoraksi, säde säteeksi, jana segmentiksi ja kolmio yhtäläiseksi kolmioksi.

Jos merkitsemme X:llä tason pistejoukkoa ja φ(X):llä joukon X kuvaa φ:n liikkeen alaisena, ts. kaikkien pisteiden joukko muotoa φ(x), jossa x є X, niin voimme antaa oikeamman muotoilun tästä ominaisuudesta:

Olkoon φ liike, A, B, C kolme erilaista kollineaarista pistettä.

Tällöin pisteet φ(A), φ(B), φ(C) ovat myös kollineaarisia.

Jos l on suora, niin φ(l) on myös suora.

Jos joukko X on säde (segmentti, puolitaso), niin joukko φ(X) on myös säde (segmentti, puolitaso).

5. Siirrettäessä palkkien väliset kulmat säilyvät.

Doc. Anna olla AB ja AC - kaksi pisteestä lähtevää sädettä A ei makaa samalla suoralla. Liikkuessaan nämä säteet muuttuvat puoliviivoiksi (säteiksi) A 1 B 1 ja A 1 C 1 . Koska liike säilyttää etäisyydet, sitten kolmiot ABC ja A 1 B 1 C 1 ovat yhtä suuret kolmannen kolmion yhtäläisyyden kriteerin mukaan (jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen kolmion kolme sivua, niin nämä kolmiot ovat yhtä suuret). Kolmioiden yhtäläisyydestä seuraa kulmien yhtäläisyys BAC ja B 1 A 1 C 1 , joka oli todistettava.

6. Mikä tahansa liike säilyttää säteiden yhteissuunnan ja lippujen saman suunnan.

Säteet l A ja paunaa nimeltään yhteissuuntainen(samansuuntainen, nimitys: l A paunaa ) jos toinen niistä sisältyy toiseen tai jos ne yhdistetään rinnakkaissiirrolla. LippuF = (π l , l o) on puolitason liitto πl ja säde lo.

Piste O - lipun alku, säde lo alkaen pisteestä O - lipputanko πl - puolitaso reunalla l .

Doc. Anna olla φ - vapaaehtoinen liike l A paunaa -samansuuntaiset säteet, joiden origo on pisteissä MUTTA ja AT vastaavasti. Otetaan käyttöön merkintä: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (MUTTA ), l B1= φ (paunaa ),KOHDASSA 1 = φ (MUTTA ).Jos säteet l A ja paunaa sijaitsevat samalla suoralla, jolloin toinen niistä sisältyy toiseen suuntaavuuden vuoksi. Ottaen huomioon l A  paunaa , saamme φ (l A )  φ (paunaa ), eli l A1 l B1 (symboli  tarkoittaa elementtien osajoukon sisällyttämistä tai yhtäläisyyttä elementtijoukkoon.) Jos kuitenkin l A, l B makaa eri linjoilla, anna sitten n = (AB ). Sitten on olemassa sellainen puolitaso n , mitä l A, l B  n . Täältä φ (l A ),φ (paunaa ) φ (n ). Sikäli kuin φ (n ) on puolitaso ja sen raja sisältää pisteitä A 1 ja KOHDASSA 1 , ymmärrämme sen taas l A, l B ohjattu yhdessä.

Sovelletaan liikettä φ samansuuntaisiin lippuihin F= (πl,l A ), G= (πm ,m B Harkitse tapausta, jossa pisteet A ja B ottelu. Jos suoraan l ja m ovat erilaisia, lippujen sama suunta tarkoittaa, että joko (1) l A πm , m A  π'l tai (2) l A π' m ,m A  πl . Yleisyyden menettämättä voimme olettaa, että ehto (1) täyttyy. Sitten φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). Tämä tarkoittaa samaa lippujen suuntausta φ (F ) ja φ (G ).Jos suora l ,m ottelu, sitten joko F=G tai F = G'. Tästä seuraa, että liput φ (F ) ja φ (G ) ovat samansuuntaisia.

Anna nyt pisteitä A ja B eri. Merkitse n suora viiva ( AB ). On selvää, että on olemassa samansuuntaisia ​​säteitä n A ja Huom ja puoli lentokonetta n niin että lippu F 1 = (πn, nA ) ohjataan yhdessä F , ja lippu G 1 = (π n , n B , ) ohjataan yhdessä G. Keinot φ (F ) ja φ (G ) ovat yhtä suuntaisia. Lause on todistettu.

Esimerkkejä liikkeistä:

1) rinnakkainen käännös - sellainen kuvion muunnos, jossa kaikki hahmon pisteet liikkuvat samaan suuntaan saman etäisyyden verran.

2) symmetria suoran linjan suhteen (aksiaalinen tai peilisymmetria). muunnos σ lukuja F hahmoksi F', jossa jokainen sen piste X menee asiaan X', joka on symmetrinen annetun suoran suhteen l, kutsutaan symmetriamuunnokseksi suhteessa linjaan l. Samaan aikaan luvut F ja F' kutsutaan symmetriseksi viivan suhteen l.

3) käännä pisteen ympäri. Kääntämällä konetta ρ tämän pisteen ympärillä O kutsutaan liikkeeksi, jossa jokainen tästä pisteestä lähtevä säde pyörii saman kulman läpi α samaan suuntaan

"Tason liikkeiden ja joidenkin niiden ominaisuuksien tutkiminen". sivu 21/21

Tason liikkeiden tutkiminen

ja jotkin niiden ominaisuudet

Sisältö

Liiketeorian kehityksen historiasta.

Liikkeiden määritelmä ja ominaisuudet.

Kuvioiden yhteensopivuus.

Liikkeiden tyypit.

4.1. Rinnakkaissiirto.

4.2. Vuoro.

4.3. Symmetria suorasta viivasta.

4.4 Liukuva symmetria.

5. Aksiaalisymmetrian erityisominaisuuksien tutkiminen.

6. Muiden liikkeiden olemassaolon mahdollisuuden tutkiminen.

7. Liikkuvuuslause. Kahdenlaisia ​​liikkeitä.

8. Liikkeiden luokittelu. Challin lause.

Liikkeet geometristen muunnosten ryhmänä.

Liikkeiden soveltaminen ongelmanratkaisuun.

Kirjallisuus.

Liiketeorian kehityshistoria.

Ensimmäisenä, joka alkoi todistaa joitain geometrisia väitteitä, pidetään antiikin kreikkalaisena matemaatikkona Thales Miletuksesta(625-547 eaa.). Thalesin ansiosta geometria alkoi muuttua käytännöllisistä säännöistä todelliseksi tieteeksi. Ennen Thalesta todisteita ei yksinkertaisesti ollut olemassa!

Kuinka Thales suoritti todistuksensa? Tätä tarkoitusta varten hän käytti liikkeitä.

Liike - tämä on kuvioiden muunnos, jossa pisteiden väliset etäisyydet säilyvät. Jos kaksi hahmoa yhdistetään tarkasti toisiinsa liikkeen avulla, niin nämä luvut ovat samat, yhtä suuret.

Tällä tavalla Thales todisti joukon geometrian ensimmäisiä lauseita. Jos tasoa kierretään jäykkänä kokonaisuutena jonkin pisteen ympäri O 180 o, palkki OA menee jatkoon OA ’ . Sellaisella kääntyminen (kutsutaan myös keskussymmetria keskitetty O ) jokainen piste MUTTA siirtyy johonkin pisteeseen MUTTA ’ , mitä O on janan keskipiste AA ’ (Kuva 1).

Kuva 1 Kuva 2

Anna olla O - pystysuorien kulmien yhteinen kärki AOB ja MUTTA ’ OV ’ . Mutta sitten on selvää, että kun käännetään 180°, toisen pystykulman sivut siirtyvät vain toisen sivuille, ts. nämä kaksi kulmaa ovat kohdakkain. Tämä tarkoittaa, että pystykulmat ovat yhtä suuret (kuva 2).

Todistaa kulmien yhtäläisyyden tasakylkisen kolmion pohjassa, Thales käytti aksiaalinen symmetria : hän yhdisti tasakylkisen kolmion kaksi puoliskoa taivuttamalla piirrosta kulman puolittajaa pitkin kärjessä (kuva 3). Samalla tavalla Thales osoitti, että halkaisija puolittaa ympyrän.

Kuva 3 Kuva 4

Soveltuva Thales ja toinen liike - rinnakkaissiirto , jossa kaikki kuvion pisteet ovat siirtyneet tiettyyn suuntaan saman etäisyyden verran. Hänen avullaan hän todisti lauseen, joka nyt kantaa hänen nimeään:

jos kulman toiselle puolelle jätetään yhtä suuret segmentit ja näiden osien päiden läpi vedetään yhdensuuntaisia ​​viivoja, kunnes ne leikkaavat kulman toisen puolen, saadaan samat segmentit myös kulman toiselle puolelle(Kuva 4).

Muinaisina aikoina liikkeen ideaa käyttivät myös kuuluisat Euclid, "Beginnings" -kirjan kirjoittaja - kirja, joka on selvinnyt yli kaksi tuhatta vuotta. Eukleides oli Ptolemaios I:n aikalainen, joka hallitsi Egyptissä, Syyriassa ja Makedoniassa vuosina 305-283 eaa.

Liikkeet olivat implisiittisesti läsnä esimerkiksi Eukleideen päättelyssä kolmioiden yhtäläisyyden merkkejä todistaessaan: "Asetetaan kolmio toiselle sillä ja sillä tavalla." Eukleideen mukaan kahta lukua kutsutaan samanarvoisiksi, jos ne voidaan "yhdistää" kaikilla pisteillään, ts. siirtämällä yhtä hahmoa yhtenäisenä kokonaisuutena, voidaan se tarkasti asettaa toisen hahmon päälle. Euklidiselle liike ei ollut vielä matemaattinen käsite. Aksioomijärjestelmästä, jonka hän esitti ensimmäisen kerran "Periaatteissa", tuli perusta geometriselle teorialle ns. Euklidinen geometria.

Nykyaikana matemaattisten tieteenalojen kehitys jatkuu. Analyyttinen geometria luotiin 1000-luvulla. Matematiikan professori Bolognan yliopistossa Bonaventure Cavalieri(1598-1647) julkaisee esseen "Geometria, esitetty uudella tavalla jakamattoman jatkuvan avulla." Cavalierin mukaan mitä tahansa litteää hahmoa voidaan pitää sarjana yhdensuuntaisia ​​viivoja tai "jälkiä", jotka viiva jättää liikkuessaan yhdensuuntaisesti itsensä kanssa. Samalla tavalla annetaan käsitys kappaleista: ne muodostuvat tasojen liikkuessa.

Liiketeorian jatkokehitys liittyy ranskalaisen matemaatikon ja tieteen historioitsijan nimeen Michel Chall(1793-1880). Vuonna 1837 hän julkaisi teoksen "Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen". Schall todistaa oman geometrisen tutkimuksensa aikana tärkeimmän lauseen:

jokainen tason suuntaa säilyttävä liike on joko

rinnakkaissiirto tai kierto,

mikä tahansa tason suuntaa muuttava liike on joko aksiaalinen

symmetria tai liukuva symmetria.

Challin lauseen todistus on suoritettu kokonaisuudessaan tämän tiivistelmän kohdassa 8.

Tärkeä rikastus, jonka geometria on velkaa 1800-luvulle, on geometristen muutosten teorian, erityisesti matemaattisen liiketeorian (siirtymien) luominen. Tähän mennessä oli tarpeen antaa luokitus kaikille olemassa oleville geometrisille järjestelmille. Tämän ongelman ratkaisi saksalainen matemaatikko Christian Felix Klein(1849-1925).

Vuonna 1872 Erlangenin yliopiston professorina Klein piti luennon aiheesta "Uusimpien geometristen tutkimusten vertaileva katsaus". Hänen esittämä ajatus kaiken geometrian uudelleenajattelusta liiketeorian pohjalta oli ns. "Erlangen-ohjelma".

Kleinin mukaan tietyn geometrian rakentamiseksi sinun on määritettävä joukko elementtejä ja joukko muunnoksia. Geometrian tehtävänä on tutkia niitä elementtien välisiä suhteita, jotka pysyvät muuttumattomina tietyn ryhmän kaikissa muunnoksissa. Esimerkiksi Eukleideen geometria tutkii niitä kuvioiden ominaisuuksia, jotka pysyvät muuttumattomina liikkeen aikana. Toisin sanoen, jos yksi kuvio saadaan toisesta liikkeellä (tällaisia ​​​​kuvioita kutsutaan kongruenteiksi), näillä hahmoilla on sama geometriset ominaisuudet.

Tässä mielessä liikkeet muodostavat geometrian ja viiden perustan kongruenssiaksioomat riippumaton ryhmä erottaa ne modernin geometrian aksioomajärjestelmästä. Tämän täydellisen ja melko tiukan aksioomijärjestelmän, joka tiivistää kaikki aikaisemmat tutkimukset, ehdotti saksalainen matemaatikko. David Gilbert(1862-1943). Hänen 20 aksiooman järjestelmä, joka on jaettu viiteen ryhmään, julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1899 kirjassa "Geometrian perusteet".

Vuonna 1909 saksalainen matemaatikko Friedrich Schur(1856-1932) Thalesin ja Kleinin ideoita seuraten kehitti toisen geometrian aksioomajärjestelmän - joka perustuu liikkeiden huomioimiseen. Hänen järjestelmässään erityisesti Hilbertin kongruenssiaksioomien ryhmän sijaan kolmen hengen ryhmä liikkeen aksioomat.

Liikkeiden tyyppejä ja joitakin tärkeitä ominaisuuksia käsitellään yksityiskohtaisesti tässä esseessä, mutta ne voidaan ilmaista lyhyesti seuraavasti: liikkeet muodostavat ryhmän, joka määrittää ja määrittää euklidisen geometrian.

Liikkeiden määritelmä ja ominaisuudet.

Siirtämällä tämän kuvion kutakin pistettä jollakin tavalla, saadaan uusi kuva. Sanotaan, että tämä luku on vastaanotettu muunnos tästä. Figuurin muuttumista toiseksi kutsutaan liikkeeksi, jos se säilyttää pisteiden väliset etäisyydet, ts. kääntää mitkä tahansa kaksi pistettä X ja Y yksi muoto per piste X ’ ja Y ’ toinen kuva niin XY = X ’Y ’.

Määritelmä. Muodonmuutos, joka säilyttää etäisyyden

pisteiden välillä kutsutaan tämän kuvion liikkeeksi.

! Kommentti: geometrian liikkeen käsite liittyy tavanomaiseen siirtymäajatukseen. Mutta jos siirtämisestä puhuttaessa kuvittelemme jatkuvan prosessin, niin geometriassa vain kuvion alku- ja loppu (kuva)sijainnilla on meille merkitystä. Tämä geometrinen lähestymistapa eroaa fyysisestä.

Liikkuessa eri pisteet vastaavat eri kuvia ja jokaista pistettä X yksi luku asetetaan vastaamaan ainoaa piste X ’ toinen hahmo. Tämän tyyppistä muunnosa kutsutaan yksi-yhteen tai bijektiivinen.

Mitä tulee liikkeisiin, termiä "lukujen tasa-arvo" (suorat viivat, segmentit, tasot jne.) käytetään sijaan. "yhdenmukaisuus" ja symbolia käytetään  . Merkkiä є käytetään ilmaisemaan kuulumista, ja tätä silmällä pitäen voimme antaa oikeamman määritelmän liikkeelle:

Liike on tason π bijektiivinen muunnos φ, jonka alla millä tahansa

erilaisia ​​kohtia X, Y є π suhdetta XY  φ (X ) φ (Y ).

Kahden liikkeen peräkkäisen suorituksen tulosta kutsutaan sävellys. Jos liike tehdään ensin φ , jota seuraa liike ψ , niin näiden liikkeiden koostumus on merkitty ψ ◦ φ .

Yksinkertaisin esimerkki liikkeestä on identiteettinäyttö (on tapana merkitä - ε ), jossa jokaisessa kohdassa X , joka kuuluu tasoon, tätä pistettä itseään verrataan, ts. ε (X ) = X .

Tarkastellaan joitain liikkeiden tärkeitä ominaisuuksia.

C omaisuutta 1.

Lemma 2. 1. Sävellysφ ◦ ψ kaksi liikettäψ , φ on liike.

Todiste.

Anna hahmon F liikkeellä käännettynä ψ hahmoksi F ' ja kuva F ' on käännetty sanalla liike φ hahmoksi F ''. Anna pointin X lukuja F menee asiaan X ' luvut F ja toisen osan aikana piste X ' luvut F ' menee asiaan X '' lukuja F ''. Sitten hahmon muunnos F hahmoksi F '', jossa mielivaltainen piste X lukuja F menee asiaan X '' lukuja F '', säilyttää pisteiden välisen etäisyyden ja on siksi myös liike.

Huomaa, että sävellyksen äänitys alkaa aina viimeisestä osasta, koska koostumuksen tulos on lopullinen kuva - se on asetettu linjaan alkuperäisen kanssa:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C omaisuutta 2.

Lemma 2.2 . Josφ – liike, sitten muutosφ -1 on myös liikettä.

Todiste.

Anna muodon muuttua F hahmoksi F ' kääntää kuvion eri kohdat F kuvan eri kohdissa F '. Anna mielivaltainen piste X lukuja F tämän muutoksen alla menee pisteeseen X ' luvut F ’.

Muodon muunnos F ' hahmoksi F , jossa kohta X ' menee asiaan X , kutsutaan muunnos käänteinen annetulle. Jokaiselle liikkeelle φ on mahdollista määritellä vastasuuntainen liike, joka on merkitty φ -1 .

Väittäen samalla tavalla kuin ominaisuuden 1 todistus, voimme varmistaa, että liikkeelle käänteinen muunnos on myös liike.

On selvää, että muutos φ -1 täyttää tasa-arvot:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , missä ε on identtinen näyttö.

Kiinteistö 3 (koostumusten assosiatiivisuus).

Lemma 2.3. Olkoon φ 1 , φ 2 , φ 3 - vapaaehtoiset liikkeet. Sitten φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Se tosiasia, että liikkeiden koostumuksella on assosiatiivisuuden ominaisuus, antaa meille mahdollisuuden määrittää aste φ luonnollisella indikaattorilla n .

Laitetaanpa φ 1 = φ ja φ n+1 = φ n ◦ φ , jos n ≥ 1 . Näin liike φ n saatu n - Useita peräkkäisiä liikkeitä φ .

C omaisuutta 4 (suoruuden säilyttäminen).

Lause 2. 1. Pisteet, jotka sijaitsevat samalla suoralla, siirtyvät liikkuessaan pisteiksi,

Liike painovoiman vaikutuksen alaisia ​​kappaleita

Opintojaksot >> Fysiikka

Lentoreittien tyyppi niitä liikkeet vahvistaa... aero- ja hydrodynamiikka on lisääntynyt opiskella liikkeet kiinteät aineet kaasussa ja ... kitka) on omaisuutta oikeita nesteitä vastustaa... tynnyri ja kone horisontti käsivarret tehty jonkin verran injektio,...

Opiskelu sähkönjohtavuusjakaumat ylipuristetuissa räjähdysaalloissa kondensoituneissa räjähteissä

Diplomityö >> Kemia

... tutkimusta sähköfyysinen ominaisuuksia... tulokset ja niitä analyysi 2.1 ... räjähdystuotteet sisään kone Chapman-Jouguet ... antaa sinun laskea liikettä puoliklassinen elektroni. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O jonkin verran systemaattisia virheitä johtavuutta mitatessa...

Ominaisuudet tekniset materiaalit (2)

Käytännön työt >> Teollisuus, tuotanto

OSA I Rakenneteräkset ja lejeeringit Rakenneteräkset ovat koneenosien (koneenrakennusteräkset), rakenteiden ja rakenteiden (rakennusteräkset) valmistukseen tarkoitettuja teräksiä. Hiilirakenneteräkset Hiilirakenneteräkset...

Liikkeet säilyttävät etäisyydet ja säilyttävät siten kaikki kuvioiden geometriset ominaisuudet, koska ne määräytyvät etäisyyksien mukaan. Tässä vaiheessa saamme eniten yleiset ominaisuudet vetoamalla todisteisiin tapauksissa, joissa se ei ole ilmeistä.

Ominaisuus 1. Kolme samalla suoralla olevaa pistettä, siirryttäessä kolmeen samalla suoralla olevaan pisteeseen, ja kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, kolmeen pisteeseen, jotka eivät ole samalla suoralla.

Anna liikkeen muuttaa pisteet pisteiksi, jolloin yhtälöt pätevät

Jos pisteet A, B, C ovat samalla suoralla, niin yksi niistä, esimerkiksi piste B, on kahden muun välissä. Tässä tapauksessa ja yhtälöistä (1) seuraa, että . Ja tämä yhtäläisyys tarkoittaa, että piste B on pisteiden A ja C välissä. Ensimmäinen väite on todistettu. Toinen seuraa ensimmäisestä ja liikkeen palautuvuudesta (ristiriidalla).

Ominaisuus 2. Segmentti muunnetaan segmentiksi liikkeen avulla.

Olkoon janan AB päät yhdistetty pisteisiin A ja B. Otetaan mikä tahansa janan AB piste X. Sitten, kuten ominaisuuden 1 todistuksessa, voidaan todeta, että sen kuva - piste sijaitsee janalla AB pisteiden A ja B välillä. Lisäksi jokainen piste

Janan A B Y on janan AB jonkin pisteen Y kuva. Nimittäin piste Y, joka poistetaan pisteestä A etäisyydellä A Y. Siksi jana AB siirretään liikkeellä janalle AB.

Ominaisuus 3. Liikkuessaan säteestä tulee säde, suora viiva - suoraksi viivaksi.

Todista nämä väitteet itse. Ominaisuus 4. Kolmio muunnetaan kolmioksi liikkeellä, puolitaso puolitasoksi, taso tasoksi, yhdensuuntaiset tasot- yhdensuuntaisissa tasoissa.

Kolmio ABC on täytetty janoilla, jotka yhdistävät kärjen A pisteisiin X vastakkainen puoli eKr. (kuva 26.1). Liike osoittaa segmentille BC jonkin janan BC ja pisteelle A - pisteen A, joka ei ole suoralla BC. Tämä liike määrittää kullekin segmentille AX janan AX, jossa piste X on kohdassa BC. Kaikki nämä segmentit AX täyttävät kolmion ABC.

Kolmio menee siihen

Puolitaso voidaan esittää äärettömästi laajenevien kolmioiden liittona, jossa yksi sivu on puolitason rajalla

(Kuva 26.2). Siksi puolitaso siirtyy puolitasoon liikkuessaan.

Vastaavasti taso voidaan esittää äärettömästi laajenevien kolmioiden liittona (kuva 26.3). Siksi lentokone kartoitetaan liikkuessaan tasolle.

Koska liike säilyttää etäisyydet, hahmojen väliset etäisyydet eivät muutu liikkuessa. Tästä seuraa erityisesti, että liikkeiden aikana yhdensuuntaiset tasot siirtyvät yhdensuuntaisiksi tasoiksi.

Ominaisuus 5. Liikkuessaan tetraedrin kuva on tetraedri, puoliavaruuden kuva on puoliavaruus, avaruuden kuva on koko avaruus.

Tetrahedron ABCD on pisteen D ja kaikkiin mahdollisiin pisteisiin X yhdistävien janaosien liitto kolmio ABC(Kuva 26.4). Liikkuessaan segmentit kartoitetaan segmenteiksi, ja siksi tetraedri muuttuu tetraedriksi.

Puoliavaruus voidaan esittää laajenevien tetraedrien liittona, jonka kantat ovat puoliavaruuden rajatasolla. Siksi puoliavaruuden kuva on liikkuessaan puoliavaruus.

Avaruutta voidaan pitää äärettömästi laajenevien tetraedrien liittona. Siksi liikkuessa avaruus kartoitetaan kaikkeen tilaan.

Ominaisuus 6. Siirrettäessä kulmat säilyvät, eli jokainen kulma kartoitetaan samantyyppiseen ja samansuuruiseen kulmaan. Sama pätee dihedraalisiin kulmiin.

Liikkuessaan puolitaso kartoitetaan puolitasoon. Kuten kupera kulma on kahden puolitason leikkauspiste, ja ei-kupera kulma ja kaksitasoinen kulma ovat puolitasojen liitto, jolloin liikkuessaan kupera kulma siirtyy kuperaksi kulmaksi ja ei-kupera

kulma ja dihedraalinen kulma, vastaavasti, ei-kuperaksi ja dihedraalikulmaksi.

Kuvataan pisteestä O lähtevät säteet a ja b säteet a ja b, jotka lähtevät pisteestä O. Otetaan kolmio OAB, jonka kärjet A on säteellä a ja B säteellä b (kuva 26.5). . Se tulee näkyviin tasainen kolmio BAB, jonka kärjet A on säteellä a ja B säteellä b. Näin ollen säteiden a, b ja a, b väliset kulmat ovat yhtä suuret. Siksi kulmien suuruudet säilyvät liikuttaessa.

Näin ollen suorien viivojen ja siten suoran ja tason kohtisuoraisuus säilyy. Muistaa suoran ja tason välisen kulman määritelmät ja suureet dihedraalinen kulma, huomaamme, että näiden kulmien arvot säilyvät.

Ominaisuus 7. Liikkeet säilyttävät ruumiiden pinta-alat ja tilavuudet.

Itse asiassa, koska liike säilyttää kohtisuoran, korkeuden liike (kolmiot, tetraedrit, prismat jne.) muuttuu korkeuksiksi (näiden kolmioiden kuvat, tetraedrit, prismat jne.). Tässä tapauksessa näiden korkeuksien pituudet säilyvät. Siksi kolmioiden pinta-alat ja tetraedrien tilavuudet säilyvät liikkeiden aikana. Tämä tarkoittaa, että sekä polygonien alueet että monitahojen tilavuudet säilyvät. Saavutetaan kaarevien pintojen pinta-alat ja tällaisten pintojen rajoittamien kappaleiden tilavuudet rajoittaa siirtymiä monitahoisten pintojen ja monitahoisten kappaleiden tilavuuksien alueilla. Siksi ne säilyvät liikkeiden aikana.