बहुत से वास्तविक संख्यातीन सेटों के मिलन के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: सकारात्मक संख्याओं का एक सेट, नकारात्मक संख्याओं का एक सेट और एक संख्या से मिलकर एक सेट - संख्या शून्य। यह इंगित करने के लिए कि संख्या एसकारात्मक, रिकॉर्ड का आनंद लें ए > 0, एक ऋणात्मक संख्या को इंगित करने के लिए दूसरे रिकॉर्ड का उपयोग करें ए< 0 .

धनात्मक संख्याओं का योग और गुणनफल भी धनात्मक संख्याएँ होती हैं। यदि संख्या एऋणात्मक, फिर संख्या -एसकारात्मक (और इसके विपरीत)। किसी भी धनात्मक संख्या a के लिए एक धनात्मक होता है परिमेय संख्या आर, क्या आर< а . ये तथ्य असमानताओं के सिद्धांत को रेखांकित करते हैं।

परिभाषा के अनुसार, असमानता a > b (या समकक्ष, b .)< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, अर्थात्, यदि संख्या a - b धनात्मक है।

विशेष रूप से, असमानता पर विचार करें ए< 0 . इस असमानता का क्या अर्थ है? उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है कि 0 - ए> 0, अर्थात। -ए> 0वरना कौन सी संख्या -एसकारात्मक रूप से। लेकिन यह मामला है अगर और केवल अगर संख्या एनकारात्मक। तो असमानता ए< 0 इसका मतलब है कि संख्या लेकिन नकारात्मक।

अक्सर प्रयोग किया जाता है संकेतन अब(या, जो एक ही है, बी ० ए).
रिकॉर्डिंग अब, परिभाषा के अनुसार, इसका अर्थ है कि या तो ए> बी, या ए = बी. अगर हम प्रविष्टि पर विचार करें अबअनिश्चितकालीन प्रस्ताव के रूप में, फिर संकेतन में गणितीय तर्कलिखा जा सकता है

(ए बी) [(ए> बी) वी (ए = बी)]

उदाहरण 1क्या असमानताएँ 5 0, 0 0 सही हैं?

असमानता 5 0 है यौगिक कथनदो . से मिलकर सरल बातेंएक तार्किक संयोजी "या" (वियोजन) द्वारा जुड़ा हुआ है। या तो 5> 0 या 5 = 0। पहला कथन 5> 0 सत्य है, दूसरा कथन 5 = 0 गलत है। वियोजन की परिभाषा के अनुसार, ऐसा यौगिक कथन सत्य है।

इसी तरह रिकॉर्ड 00 की चर्चा की गई है।

फॉर्म की असमानताएं ए> बी, ए< b सख्त कहा जाएगा, और फॉर्म की असमानताएं अब, अबू- गैर सख्त।

असमानताओं ए> बीऔर सी > डी(या ए< b और साथ< d ) समान अर्थ की असमानताएँ और असमानताएँ कहलाएँगी ए> बीऔर सी< d - विपरीत अर्थ की असमानता। ध्यान दें कि ये दो शब्द (समान और विपरीत अर्थों की असमानताएं) केवल लेखन असमानताओं के रूप को संदर्भित करते हैं, न कि इन असमानताओं द्वारा स्वयं व्यक्त किए गए तथ्यों को। तो, असमानता के संबंध में ए< b असमानता साथ< d एक ही अर्थ की असमानता है, और लिखित रूप में घ > सी(अर्थ एक ही बात) - विपरीत अर्थ की असमानता।

फॉर्म की असमानताओं के साथ ए> बी, अबतथाकथित दोहरी असमानताओं का उपयोग किया जाता है, अर्थात्, रूप की असमानताएँ ए< с < b , ऐस< b , ए< cb ,
एसीबी. परिभाषा के अनुसार, प्रविष्टि

ए< с < b (1)
इसका मतलब है कि दोनों असमानताएं हैं:

ए< с और साथ< b.

असमानताओं का एक समान अर्थ है एसीबी, एसीयू< b, а < сb.

दोहरी असमानता (1) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(ए< c < b) [(a < c) & (c < b)]

और दोहरी असमानता एक ≤ सी बीनिम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

(ए सी बी) [(ए< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

आइए अब हम असमानताओं पर कार्रवाई के मुख्य गुणों और नियमों की प्रस्तुति के लिए आगे बढ़ते हैं, इस बात से सहमत हैं कि इस लेख में पत्र ए, बी, सीवास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और एनमतलब एक प्राकृतिक संख्या।

1) यदि a > b और b > c, तो a > c (संक्रमणीयता)।

प्रमाण।

चूंकि शर्त के अनुसार ए> बीऔर बी> सी, फिर संख्या ए - बीऔर बी - सीसकारात्मक हैं, और इसलिए संख्या ए - सी \u003d (ए - बी) + (बी - सी), धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक होता है। इसका अर्थ है, परिभाषा के अनुसार, कि ए > सी.

2) यदि a> b, तो किसी भी c के लिए असमानता a + c> b + c धारण करती है।

प्रमाण।

जैसा ए> बी, फिर संख्या ए - बीसकारात्मक रूप से। इसलिए, संख्या (ए + सी) - (बी + सी) = ए + सी - बी - सी = ए - बीसकारात्मक भी है, अर्थात्।
ए + सी> बी + सी।

3) यदि a + b > c, तो a > b - c,यानी किसी भी पद को इस पद के चिह्न को विपरीत दिशा में बदलकर असमानता के एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है।

संपत्ति 2 से सबूत निम्नानुसार है) असमानता के दोनों हिस्सों के लिए पर्याप्त है ए + बी> सीएक नंबर जोड़ें -बी।

4) यदि a > b और c > d, तो a + c > b + d,अर्थात्, एक ही अर्थ की दो असमानताओं को जोड़ने से एक ही अर्थ की असमानता उत्पन्न होती है।

प्रमाण।

असमानता की परिभाषा से, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि अंतर
(ए + सी) - (बी + सी)सकारात्मक। इस अंतर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
(ए + सी) - (बी + डी) = (ए - बी) + (सी - डी).
चूंकि संख्या की स्थिति से ए - बीऔर सी - डीसकारात्मक हैं, तो (ए + सी) - (बी + डी)एक सकारात्मक संख्या भी है।

परिणाम। नियम 2) और 4) का अर्थ है अगला नियमअसमानताओं का घटाव: यदि ए> बी, सी> डी, तब ए - डी> बी - सी(सबूत के लिए यह असमानता के दोनों हिस्सों के लिए पर्याप्त है ए + सी> बी + डीएक नंबर जोड़ें - सी - डी).

5) यदि a > b, तो c > 0 के लिए हमारे पास ac > bc है, और c . के लिए< 0 имеем ас < bc.

दूसरे शब्दों में, असमानता के दोनों पक्षों को गुणा करने पर, न तो सकारात्मक संख्याअसमानता चिह्न संरक्षित है (यानी, एक ही अर्थ की असमानता प्राप्त की जाती है), और जब गुणा किया जाता है एक ऋणात्मक संख्याअसमानता का चिन्ह उलट जाता है (अर्थात विपरीत अर्थ की असमानता प्राप्त होती है।

प्रमाण।

यदि एक ए> बी, तब ए - बीएक सकारात्मक संख्या है। इसलिए, अंतर का संकेत एसी-बीसी = टैक्सी)संख्या के चिन्ह से मेल खाता है साथ: अगर साथएक सकारात्मक संख्या है, तो अंतर एसी - बीसीसकारात्मक और इसलिए एसी > बीसी, और अगर साथ< 0 , तो यह अंतर ऋणात्मक है और इसलिए बीसी - एसीसकारात्मक, यानी बीसी > एसी.

6) यदि a > b > 0 और c > d > 0, तो ac > bd,अर्थात्, यदि एक ही अर्थ की दो असमानताओं के सभी पद धनात्मक हैं, तो इन असमानताओं के पद-दर-अवधि गुणन के परिणामस्वरूप समान अर्थ की असमानता होती है।

प्रमाण।

हमारे पास है एसी - बीडी = एसी - बीसी + बीसी - बीडी = सी (ए - बी) + बी (सी - डी). जैसा सी> 0, बी> 0, ए - बी> 0, सी - डी> 0, फिर एसी - बीडी> 0, यानी एसी> बीडी।

टिप्पणी।प्रमाण से स्पष्ट है कि स्थिति घ > 0संपत्ति के निर्माण में 6) महत्वहीन है: इस संपत्ति के सत्य होने के लिए, यह पर्याप्त है कि शर्तें ए> बी> 0, सी> डी, सी> 0. अगर (यदि असमानताएं ए> बी, सी> डी) संख्या ए, बी, सीसभी सकारात्मक नहीं हैं, तो असमानता एसी > बीडीनहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब ए = 2, बी =1, सी= -2, डी= -3 हमारे पास है ए> बी, सी > डी, लेकिन असमानता एसी > बीडी(अर्थात -4> -3) विफल रहा। इस प्रकार, संपत्ति 6 ​​के विवरण में संख्या ए, बी, सी सकारात्मक होने की आवश्यकता आवश्यक है।

7) यदि a b > 0 और c > d > 0, तो (असमानताओं का विभाजन)।

प्रमाण।

हमारे पास है दायीं ओर भिन्न का अंश धनात्मक होता है (गुण 5 देखें), 6), हर भी धनात्मक होता है। इसलिये,। यह गुण सिद्ध करता है 7)।

टिप्पणी।हम एक महत्वपूर्ण नोट करते हैं विशेष मामलानियम 7) प्राप्त होता है जब a = b = 1: यदि c> d> 0, तो। इस प्रकार, यदि असमानता की शर्तें सकारात्मक हैं, तो पारस्परिक में जाने पर, हम विपरीत अर्थ की असमानता प्राप्त करते हैं। हम पाठकों को यह सत्यापित करने के लिए आमंत्रित करते हैं कि यह नियम 7 में भी संरक्षित है) यदि ab > 0 और c > d > 0, तो (असमानताओं का विभाजन)।

प्रमाण। तब।

हमने चिन्ह के साथ लिखी गई असमानताओं के कई गुणों को ऊपर साबित कर दिया है > (अधिक)। हालाँकि, इन सभी गुणों को संकेत का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है < (कम), असमानता के बाद से बी< а मतलब, परिभाषा के अनुसार, असमानता के समान ए> बी. इसके अलावा, जैसा कि जांचना आसान है, ऊपर साबित हुई संपत्तियों को भी गैर-सख्त असमानताओं के लिए संरक्षित किया जाता है। उदाहरण के लिए, संपत्ति 1) गैर-सख्त असमानताओं के लिए होगा अगला दृश्य: अगर एबी और बीसी, तब ऐस.

बेशक, असमानताओं के सामान्य गुण ऊपर बताई गई बातों तक ही सीमित नहीं हैं। अभी भी पूरी लाइनअसमानताओं सामान्य दृष्टि सेशक्ति, घातीय, लघुगणक और के विचार से जुड़े त्रिकोणमितीय कार्य. इस प्रकार की असमानताओं को लिखने का सामान्य तरीका इस प्रकार है। अगर कुछ कार्य वाई = एफ (एक्स)खंड पर नीरस रूप से बढ़ता है [ए, बी], तो x 1 > x 2 (जहाँ x 1 और x 2 इस खंड से संबंधित हैं) के लिए हमारे पास f . है (एक्स 1)> एफ(एक्स 2))। इसी प्रकार, यदि फ़ंक्शन वाई = एफ (एक्स)खंड पर नीरस रूप से घट जाती है [ए, बी], तो फिर एक्स 1 > एक्स 2 (जहां एक्स 1और एक्स 2 इस खंड से संबंधित हैं) हमारे पास है च(x1)< f(x 2 ) बेशक, जो कहा गया है वह एकरसता की परिभाषा से अलग नहीं है, लेकिन यह तकनीक असमानताओं को याद रखने और लिखने के लिए बहुत सुविधाजनक है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी भी प्राकृतिक n फ़ंक्शन के लिए वाई = एक्स एनकिरण पर नीरस रूप से बढ़ रहा है {0} {0} }