इस वीडियो ट्यूटोरियल का विषय गति गुण, साथ ही समानांतर अनुवाद होगा। पाठ की शुरुआत में, हम एक बार फिर आंदोलन की अवधारणा को दोहराएंगे, इसके मुख्य प्रकार - अक्षीय और केंद्रीय समरूपता। उसके बाद, हम गति के सभी गुणों पर विचार करते हैं। आइए "समानांतर स्थानांतरण" की अवधारणा का विश्लेषण करें, इसका उपयोग किस लिए किया जाता है, आइए इसके गुणों का नाम दें।

थीम: आंदोलन

सबक: आंदोलन। गति गुण

आइए प्रमेय सिद्ध करें: चलते समय, खंड खंड में गुजरता है.

आइए हम चित्र की सहायता से प्रमेय के निरूपण को समझें। 1. यदि आंदोलन के दौरान एक निश्चित खंड एमएन के सिरों को क्रमशः एम 1 और एन 1 के कुछ बिंदुओं पर प्रदर्शित किया जाता है, तो खंड एमएन के किसी भी बिंदु पी को खंड एम 1 एन 1 के किसी बिंदु पी 1 पर जाना होगा, और इसके विपरीत, खंड एम 1 एन 1 के प्रत्येक बिंदु क्यू 1 पर खंड एमएन के कुछ बिंदु क्यू प्रदर्शित किए जाएंगे।

प्रमाण।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, एमएन = एमपी + पीएन।

बिंदु P को विमान के किसी बिंदु P 1 "पर जाने दें। गति की परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि खंडों की लंबाई बराबर MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d है पी 1 "एन 1. इन समानताओं से यह निम्नानुसार है कि एम 1 Р 1 ", एम 1 Р 1" + Р 1 "एन 1 = एमपी + Рएन = एमएन = एम 1 एन 1, यानी बिंदु Р 1" संबंधित है खंड एम 1 एन 1 और बिंदु पी 1 के साथ मेल खाता है, अन्यथा उपरोक्त समानता के बजाय, त्रिभुज असमानता एम 1 पी 1 "+ पी 1" एन 1> एम 1 एन 1 सत्य होगा। यानी, हमने साबित किया कि चलते समय, कोई भी बिंदु, खंड MN का कोई भी बिंदु P निश्चित रूप से खंड M 1 N 1 के किसी बिंदु P 1 पर जाएगा। प्रमेय का दूसरा भाग (बिंदु Q 1 के संबंध में) बिल्कुल उसी तरह सिद्ध होता है। .

सिद्ध प्रमेय किसी भी गति के लिए मान्य है!

प्रमेय: चलते समय, कोण एक समान कोण में चला जाता है।

मान लीजिए RAOB दिया गया है (चित्र 2)। और कुछ गति दी जाए, जिसमें शीर्ष РО बिंदु О 1 पर जाता है, और बिंदु A और B - क्रमशः बिंदु А 1 और В 1 पर जाता है।

त्रिभुज AOB और A 1 O 1 B 1 पर विचार करें। प्रमेय की शर्त के अनुसार, बिंदु A, O और B क्रमशः बिंदु A 1, O 1 और B 1 पर जाने पर गति करते हैं। इसलिए, लंबाई AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 और AB \u003d A 1 B 1 की समानता है। इस प्रकार, एओबी \u003d ए 1 ओ 1 बी 1 तीन तरफ। त्रिभुजों की समानता से संगत कोणों O और O 1 की समानता का अनुसरण होता है।

तो, कोई भी आंदोलन कोणों को संरक्षित करता है।

गति के मूल गुणों से बहुत सारे परिणाम मिलते हैं, विशेष रूप से, कि गति के दौरान किसी भी आकृति को उसके बराबर एक आकृति पर मैप किया जाता है।

एक अन्य प्रकार के आंदोलन पर विचार करें - समानांतर स्थानांतरण।

समानांतर स्थानांतरणकिसी दिए गए सदिश पर स्वयं पर तल का ऐसा मानचित्रण कहा जाता है, जिसमें तल का प्रत्येक बिंदु M उसी तल के ऐसे बिंदु M 1 पर जाता है कि (चित्र 3)।

आइए साबित करें कि समानांतर अनुवाद एक आंदोलन है.

प्रमाण।

विचार करना मनमाना खंडएमएन (चित्र 4)। बिंदु M को समानांतर स्थानांतरण के दौरान बिंदु M 1 पर जाने दें, और बिंदु N को बिंदु N 1 पर ले जाएं। इस मामले में, समानांतर स्थानांतरण की शर्तें पूरी होती हैं: और। एक चतुर्भुज पर विचार करें

MM 1 N 1 N। इसके दो विपरीत पक्ष (MM 1 और NN 1) समान और समानांतर हैं, जैसा कि समानांतर अनुवाद स्थितियों द्वारा निर्धारित किया गया है। इसलिए, यह चतुर्भुज उत्तरार्द्ध के संकेतों में से एक के अनुसार समांतर चतुर्भुज है। इसका तात्पर्य यह है कि समांतर चतुर्भुज के अन्य दो पक्षों (एमएन और एम 1 एन 1) में है समान लंबाई, जिसे साबित करना था।

इस प्रकार, समानांतर स्थानांतरण वास्तव में एक आंदोलन है।

आइए संक्षेप करते हैं। हम पहले से ही तीन प्रकार की गति से परिचित हैं: अक्षीय समरूपता, केंद्रीय समरूपताऔर समानांतर स्थानांतरण. हमने साबित कर दिया है कि चलते समय एक खंड एक खंड में गुजरता है, और एक कोण एक समान कोण में। इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि एक सीधी रेखा चलते समय एक सीधी रेखा में गुजरती है, और एक वृत्त उसी त्रिज्या के एक वृत्त में गुजरता है।

1. अतानासियन एल.एस. और अन्य। ज्यामिति ग्रेड 7-9। के लिए ट्यूटोरियल शिक्षण संस्थान. - एम .: शिक्षा, 2010।

2. फार्कोव ए.वी. ज्यामिति परीक्षण: ग्रेड 9। एल। एस। अतानासियन और अन्य की पाठ्यपुस्तक के लिए - एम।: परीक्षा, 2010।

3. ए। वी। पोगोरेलोव, ज्यामिति, खाता। 7-11 कोशिकाओं के लिए। आम उदाहरण - एम .: ज्ञानोदय, 1995।

1. रूसी शैक्षिक पोर्टल ().

2. त्योहार शैक्षणिक विचार « सार्वजनिक सबक» ().

1. अतानासन (संदर्भ देखें), पृष्ठ 293, 1, आइटम 114।

द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय।

कुछ मामलों में, एक प्रणाली (विशेष रूप से एक कठोर शरीर) की गति की प्रकृति को निर्धारित करने के लिए, इसके द्रव्यमान केंद्र की गति के नियम को जानना पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक लक्ष्य पर एक पत्थर फेंकते हैं, तो आपको यह जानने की ज़रूरत नहीं है कि उड़ान के दौरान यह कैसे गिरेगा, यह स्थापित करना महत्वपूर्ण है कि यह लक्ष्य को मारेगा या नहीं। ऐसा करने के लिए, इस शरीर के किसी बिंदु की गति पर विचार करना पर्याप्त है।

इस नियम को खोजने के लिए, हम निकाय की गति के समीकरणों की ओर मुड़ते हैं और उनके बाएँ और दाएँ भागों को पद दर पद जोड़ते हैं। तब हमें मिलता है:

आइए समानता के बाएँ पक्ष को रूपांतरित करें। द्रव्यमान केंद्र के त्रिज्या वेक्टर के सूत्र से, हमारे पास है:

इस समानता के दोनों हिस्सों से दूसरी बार व्युत्पन्न लेते हुए और यह देखते हुए कि योग का व्युत्पन्न डेरिवेटिव के योग के बराबर है, हम पाते हैं:

जहाँ निकाय के द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है। चूंकि, आंतरिक की संपत्ति से सिस्टम बल, फिर, सभी पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंत में प्राप्त करते हैं:

सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय को समीकरण और व्यक्त करता है: निकाय के द्रव्यमान का गुणनफल और उसके द्रव्यमान केंद्र का त्वरण है ज्यामितीय योगसिस्टम पर काम करने वाली सभी बाहरी ताकतें।एक भौतिक बिंदु की गति के समीकरण की तुलना में, हम प्रमेय की एक और अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं: प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र एक भौतिक बिंदु के रूप में चलता है, जिसका द्रव्यमान पूरे सिस्टम के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिस पर सिस्टम पर कार्य करने वाले सभी बाहरी बल लागू होते हैं।

समन्वय अक्षों पर समानता के दोनों पक्षों को प्रक्षेपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

ये समीकरण हैं द्रव्यमान के केंद्र की गति के अंतर समीकरणकार्टेशियन समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों पर अनुमानों में।

सिद्ध प्रमेय का अर्थ इस प्रकार है।

1) प्रमेय बिंदु गतिकी के तरीकों के लिए एक औचित्य प्रदान करता है। समीकरणों से यह देखा जा सकता है कि दिए गए पिंड को भौतिक बिंदु मानकर हमें जो समाधान मिलते हैं, वे इस पिंड के द्रव्यमान केंद्र की गति के नियम को निर्धारित करते हैं,वे। बहुत विशिष्ट अर्थ रखते हैं।

विशेष रूप से, यदि शरीर आगे बढ़ता है, तो इसकी गति पूरी तरह से द्रव्यमान के केंद्र की गति से निर्धारित होती है। इस प्रकार, एक उत्तरोत्तर गतिमान पिंड को हमेशा द्रव्यमान के साथ एक भौतिक बिंदु के रूप में माना जा सकता है, द्रव्यमान के बराबरतन। अन्य मामलों में, शरीर को केवल भौतिक बिंदु के रूप में माना जा सकता है, जब व्यवहार में, शरीर की स्थिति निर्धारित करने के लिए, इसके द्रव्यमान केंद्र की स्थिति जानने के लिए पर्याप्त है।

2) प्रमेय किसी भी प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति के नियम का निर्धारण करते समय, सभी पूर्व अज्ञात आंतरिक बलों को विचार से बाहर करने की अनुमति देता है। यह इसका व्यावहारिक मूल्य है।

तो क्षैतिज तल पर कार की गति केवल की क्रिया के तहत ही हो सकती है बाहरी ताक़तें, सड़क के किनारे से पहियों पर कार्य करने वाले घर्षण बल। और कार का ब्रेक लगाना भी केवल इन्हीं बलों द्वारा संभव है, न कि ब्रेक पैड और ब्रेक ड्रम के बीच घर्षण से। यदि सड़क चिकनी है, तो पहिए चाहे जितने भी ब्रेक लें, वे स्लाइड करेंगे और कार को नहीं रोकेंगे।

या एक उड़ान प्रक्षेप्य के विस्फोट के बाद (कार्रवाई के तहत आंतरिक बल) इसके हिस्से, इसके टुकड़े, बिखर जाएंगे ताकि उनका द्रव्यमान केंद्र एक ही प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ सके।

एक यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय का उपयोग यांत्रिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाना चाहिए जिनकी आवश्यकता होती है:

एक यांत्रिक प्रणाली (अक्सर एक ठोस शरीर के लिए) पर लागू बलों के अनुसार, द्रव्यमान के केंद्र की गति का नियम निर्धारित करें;

द्वारा दिया गया कानूनयांत्रिक प्रणाली में शामिल निकायों की गति, बाहरी बंधों की प्रतिक्रियाओं का पता लगाएं;

यांत्रिक प्रणाली में शामिल निकायों की दी गई पारस्परिक गति के आधार पर, संदर्भ के कुछ निश्चित फ्रेम के सापेक्ष इन निकायों की गति के नियम का निर्धारण करें।

इस प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक यांत्रिक प्रणाली की गति के समीकरणों में से कई डिग्री स्वतंत्रता के साथ संकलित किया जा सकता है।

समस्याओं को हल करते समय, द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय के परिणामों का अक्सर उपयोग किया जाता है यांत्रिक प्रणाली.

कोरोलरी 1. यदि मुख्य वेक्टरएक यांत्रिक प्रणाली पर लागू बाहरी बल, शून्य, तब निकाय के द्रव्यमान का केंद्र विरामावस्था में होता है या एकसमान और सीधे रूप से गति करता है। चूँकि द्रव्यमान केन्द्र का त्वरण शून्य होता है।

उपफल 2. यदि किसी अक्ष पर बाह्य बलों के मुख्य सदिश का प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र या तो इस अक्ष के सापेक्ष अपनी स्थिति नहीं बदलता है, या इसके सापेक्ष समान रूप से चलता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो बल शरीर पर कार्य करना शुरू करते हैं, तो एक जोड़ी बल (चित्र 38) बनाते हैं, तो द्रव्यमान का केंद्र साथ मेंयह उसी पथ पर आगे बढ़ेगा। और पिंड स्वयं द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमेगा। और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कुछ बल कहाँ लागू होते हैं।

वैसे, स्टैटिक्स में हमने यह साबित कर दिया है कि शरीर पर एक जोड़ी का प्रभाव इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि इसे कहाँ लगाया गया है। यहां हमने दिखाया है कि पिंड का घूर्णन केंद्रीय अक्ष के चारों ओर होगा साथ में.

चित्र.38

गतिज क्षण के परिवर्तन पर प्रमेय।

एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष यांत्रिक प्रणाली का गतिज क्षण हेइस केंद्र के चारों ओर प्रणाली की गति का एक माप है। समस्याओं को हल करते समय, यह आमतौर पर स्वयं वेक्टर नहीं होता है, बल्कि एक निश्चित समन्वय प्रणाली के अक्षों पर इसके प्रक्षेपण होते हैं, जिन्हें अक्ष के बारे में गतिज क्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, - निश्चित अक्ष के सापेक्ष निकाय का गतिज आघूर्ण आउंस .

एक यांत्रिक प्रणाली की गति का योग है गतिइस प्रणाली में शामिल बिंदु और निकाय। कोणीय गति निर्धारित करने के तरीकों पर विचार करें सामग्री बिंदुऔर एक ठोस शरीर विभिन्न अवसरउनके आंदोलनों।

एक वेग वाले द्रव्यमान वाले भौतिक बिंदु के लिए, कुछ अक्ष के बारे में कोणीय गति आउंसचयनित अक्ष के बारे में इस बिंदु के संवेग वेक्टर के क्षण के रूप में परिभाषित किया गया है:

किसी बिंदु का कोणीय संवेग धनात्मक माना जाता है यदि, अक्ष की धनात्मक दिशा की ओर से, बिंदु की गति वामावर्त होती है।

यदि कोई बिंदु एक जटिल गति करता है, तो उसके कोणीय गति को निर्धारित करने के लिए, गति वेक्टर को सापेक्ष और पोर्टेबल आंदोलनों की मात्रा के योग के रूप में माना जाना चाहिए (चित्र। 41)

परंतु , बिंदु से घूर्णन के अक्ष तक की दूरी कहाँ है, तथा

चावल। 41

कोणीय गति वेक्टर के दूसरे घटक को उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है जैसे अक्ष के बारे में बल का क्षण। बल के क्षण के लिए, मान शून्य है यदि सापेक्ष वेग वेक्टर उसी विमान में स्थित है जिसमें ट्रांसलेशनल रोटेशन अक्ष है।

एक निश्चित केंद्र के सापेक्ष एक कठोर शरीर की गति को दो घटकों के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: उनमें से पहला पिंड की गति के ट्रांसलेशनल भाग को उसके द्रव्यमान के केंद्र के साथ दर्शाता है, दूसरा सिस्टम के आंदोलन की विशेषता है। द्रव्यमान के केंद्र के आसपास:

यदि पिंड स्थानांतरीय गति करता है, तो दूसरा घटक शून्य के बराबर होता है

एक कठोर शरीर के गतिज क्षण की गणना सबसे सरल रूप से तब की जाती है जब वह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है

रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण कहां है।

एक यांत्रिक प्रणाली के कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय जैसा कि यह एक निश्चित केंद्र के चारों ओर घूमता है, निम्नानुसार तैयार किया गया है: किसी निश्चित केंद्र के संबंध में एक यांत्रिक प्रणाली के कोणीय गति वेक्टर का कुल समय व्युत्पन्न हेपरिमाण और दिशा में एक ही केंद्र के सापेक्ष परिभाषित यांत्रिक प्रणाली पर लागू बाहरी बलों के मुख्य क्षण के बराबर है

कहाँ पे - मुख्य मुद्दाकेंद्र के बारे में सभी बाहरी ताकतें हे.

समस्याओं को हल करते समय जिसमें निकायों को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते हुए माना जाता है, वे एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय का उपयोग करते हैं

द्रव्यमान के केंद्र की गति पर प्रमेय के लिए, कोणीय गति में परिवर्तन पर प्रमेय के परिणाम होते हैं।

कोरोलरी 1. यदि किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष सभी बाहरी बलों का मुख्य क्षण शून्य के बराबर है, तो इस केंद्र के सापेक्ष यांत्रिक प्रणाली का गतिज क्षण अपरिवर्तित रहता है।

उपफल 2. यदि किसी निश्चित अक्ष के परितः सभी बाह्य बलों का मुख्य आघूर्ण शून्य है, तो इस अक्ष के परितः यांत्रिक तंत्र का गतिज आघूर्ण अपरिवर्तित रहता है।

संवेग परिवर्तन प्रमेय का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिनमें एक यांत्रिक प्रणाली की गति पर विचार किया जाता है, जिसमें एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाला एक केंद्रीय निकाय होता है, और एक या एक से अधिक निकाय होते हैं, जिनकी गति केंद्रीय एक से जुड़ी होती है। संचार कर सकते हैं धागों का उपयोग करके किया जा सकता है, निकाय आंतरिक बलों के कारण केंद्रीय निकाय की सतह या उसके चैनलों में जा सकते हैं। इस प्रमेय का उपयोग करके, कोई व्यक्ति शेष निकायों की स्थिति या गति पर केंद्रीय निकाय के घूर्णन के नियम की निर्भरता को निर्धारित कर सकता है।

समतल गति और उनके गुण। आंदोलन के उदाहरण। आंदोलनों का वर्गीकरण। आंदोलन समूह। समस्या समाधान के लिए प्रस्ताव लागू करना

गति- यह आंकड़ों का रूपांतरण है, जिसमें बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित किया जाता है। यदि दो आकृतियों को गति के माध्यम से एक-दूसरे के साथ ठीक-ठीक जोड़ दिया जाए, तो ये आंकड़े समान, समान होते हैं।

गतिविमान का एक विशेषण परिवर्तन है, जिसके तहत किसी भी अलग बिंदु X, Y є के लिए संबंध XY (X)φ (Y) संतुष्ट है।

आंदोलन गुण:

1. संरचना φ ◦ ψ दो आंदोलन ψ , φ एक आंदोलन है।

डॉक-इन:आंकड़ा दें एफ आंदोलन द्वारा अनुवादित ψ एक आकृति में एफ ', और आंकड़ा एफ ' आंदोलन द्वारा अनुवादित है φ एक आकृति में एफ ''। बात करने दो एक्स आंकड़ों एफ बिंदु पर जाता है एक्स 'आंकड़े एफ ' , और दूसरे आंदोलन के दौरान, बिंदु एक्स 'आंकड़े एफ ' बिंदु पर जाता है एक्स ''आंकड़े एफ ''। फिर आकृति का परिवर्तन एफ एक आकृति में एफ '', जिस पर एक मनमाना बिंदु एक्स आंकड़ों एफ बिंदु पर जाता है एक्स ''आंकड़े एफ '', बिंदुओं के बीच की दूरी को बनाए रखता है, और इसलिए यह एक गति भी है।

गाने की रिकॉर्डिंग हमेशा आखिरी मूवमेंट से शुरू होती है, क्योंकि रचना का परिणाम अंतिम छवि है - इसे मूल के अनुरूप रखा गया है: एक्स ’’= ψ (एक्स ’) = ψ (φ (एक्स )) = ψ ◦ φ (एक्स )

2. अगर φ - आंदोलन, फिर परिवर्तन -1एक आंदोलन भी है।

डॉक-इन:आकार परिवर्तन होने दें एफ एक आकृति में एफ 'अनुवाद' विभिन्न बिंदुआंकड़ों एफ आकृति पर विभिन्न बिंदुओं पर एफ '। चलो एक मनमाना बिंदु एक्स आंकड़ों एफ इस परिवर्तन के तहत एक बिंदु पर जाता है एक्स 'आंकड़े एफ ’.

आकार परिवर्तन एफ 'एक आकृति में' एफ , जिस बिंदु पर एक्स ' बिंदु पर जाता है एक्स , दिए गए का व्युत्क्रम परिवर्तन कहा जाता है . हर चाल के लिए φ रिवर्स मूवमेंट को परिभाषित करना संभव है, जिसे दर्शाया गया है -1 .

इस प्रकार, परिवर्तन रिवर्स मोशन, एक आंदोलन भी है।

यह स्पष्ट है कि परिवर्तन -1 समानता को संतुष्ट करता है: एफ◦एफ-1 = एफ-1◦एफ = ε , कहाँ पे ε समान प्रदर्शन है।

3. रचनाओं की साहचर्यता: मान लीजिए 1, φ 2 , φ 3 - स्वैच्छिक आंदोलन. तब 1 (φ 2 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 ।

तथ्य यह है कि आंदोलनों की संरचना में सहयोगीता की संपत्ति है, हमें डिग्री निर्धारित करने की अनुमति देती है φ साथ प्राकृतिक संकेतक एन .

चलो रखो 1= φ और एन +1= नहीं◦ φ , अगर एन≥ 1 . इस प्रकार आंदोलन नहीं के द्वारा हासिल किया गया एन एकाधिक लगातार आवेदनआंदोलनों φ .

4. सीधापन का संरक्षण: एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदु, चलते समय, एक सीधी रेखा पर स्थित बिंदुओं में गुजरते हैं, और उनकी सापेक्ष स्थिति का क्रम संरक्षित रहता है।

इसका मतलब है कि अगर अंक ए ,बी ,सी एक सीधी रेखा पर लेटकर (ऐसे बिंदुओं को संरेख कहा जाता है), बिंदुओं पर जाएँ ए 1 ,बी 1 ,सी 1 , तो ये बिंदु भी रेखा पर स्थित हैं; अगर बिंदु बी बिंदुओं के बीच स्थित है ए और सी , फिर बिंदु बी 1 बिंदुओं के बीच स्थित है ए 1 और सी 1 .

डॉक्टर।बात करने दो बी सीधा एसी बिंदुओं के बीच स्थित है ए और सी . आइए हम सिद्ध करें कि अंक ए 1 ,बी 1 ,सी 1 एक ही लाइन पर लेट जाओ।

अगर अंक ए 1 ,बी 1 ,सी 1 एक सीधी रेखा पर न लेटें, तो वे किसी त्रिभुज के शीर्ष होते हैं ए 1 बी 1 सी 1 . इसलिए ए 1 सी 1 <ए 1 बी 1 +बी 1 सी 1 .

गति की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि एसी <अब +ईसा पूर्व .

हालांकि, खंडों को मापने की संपत्ति से एसी =अब +ईसा पूर्व .

हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। तो बिंदु बी 1 बिंदुओं के बीच स्थित है ए 1 और सी 1 .

आइए बताते हैं बिंदु ए 1 बिंदुओं के बीच स्थित है बी 1 , और सी 1 . फिर ए 1 बी 1 +ए 1 सी 1 =बी 1 सी 1 , और इसलिए अब +एसी =ईसा पूर्व . लेकिन यह समानता के विपरीत है। अब +ईसा पूर्व =एसी .

इस प्रकार, बिंदु ए 1 बिंदुओं के बीच नहीं है बी 1 , और सी 1 .

इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि बिंदु सी 1 बिंदुओं के बीच झूठ नहीं बोल सकता ए 1 और बी 1 . क्योंकि तीन बिंदुओं से ए 1 ,बी 1 ,सी 1 एक दो अन्य के बीच स्थित है, तो यह बिंदु केवल हो सकता है बी 1 . प्रमेय पूरी तरह से सिद्ध होता है।

परिणाम. चलते समय, एक सीधी रेखा को एक सीधी रेखा, एक किरण से एक किरण, एक खंड से एक खंड और एक त्रिभुज को एक समान त्रिभुज में मैप किया जाता है।

यदि हम तल के बिंदुओं के समुच्चय को X से और (X) द्वारा की गति के तहत समुच्चय X की छवि को निरूपित करते हैं, अर्थात (x) के रूप के सभी बिंदुओं का समुच्चय, जहाँ x X, तब हम इस गुण का अधिक सही सूत्रीकरण दे सकते हैं:

मान लीजिए φ एक गति है, A, B, C तीन भिन्न संरेख बिंदु हैं।

तब बिंदु φ(A), φ(B), φ(C) भी संरेख हैं।

यदि l एक रेखा है, तो (l) भी एक रेखा है।

यदि समुच्चय X एक किरण (खंड, अर्ध-तल) है, तो समुच्चय (X) भी एक किरण (खंड, अर्ध-तल) है।

5. चलते समय, बीम के बीच के कोण संरक्षित होते हैं।

डॉक्टर।रहने दो अब और एसी - एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणें ए एक ही सीधी रेखा पर नहीं लेटना। चलते समय ये किरणें कुछ अर्ध-रेखाओं (किरणों) में बदल जाती हैं। ए 1 बी 1 और ए 1 सी 1 . क्योंकि गति दूरियों को बनाए रखती है, फिर त्रिकोण एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 त्रिभुजों की समानता के तीसरे मानदंड के अनुसार बराबर हैं (यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो ये त्रिभुज बराबर होते हैं)। त्रिभुजों की समानता से कोणों की समानता का अनुसरण होता है बीएसी और बी 1 ए 1 सी 1 , जिसे साबित करना था।

6. कोई भी आंदोलन किरणों की सह-दिशा और झंडों के समान अभिविन्यास को बनाए रखता है।

किरणों एल ए और lb बुलाया सह-दिशात्मक(इसी तरह उन्मुख, पदनाम: एल ए lb ) यदि उनमें से एक दूसरे में निहित है, या यदि वे समानांतर स्थानांतरण द्वारा संयुक्त हैं। झंडाएफ = (π एल, एल ओ)अर्ध-तल का मिलन है lऔर बीम आरे.

दूरसंचार विभाग हे - ध्वज की शुरुआत, बीम आरे बिंदु से शुरू हे - झंडा पोल l - सीमा के साथ आधा विमान मैं .

डॉक्टर।रहने दो φ - स्वैच्छिक कार्य एल ए lb -कोडायरेक्शनल किरणें जिनकी उत्पत्ति बिंदुओं पर होती है लेकिन और पर क्रमश। आइए संकेतन का परिचय दें: एल ए1 = φ (एल ए ), ए 1 = φ (लेकिन ), एल बी1= φ (lb ),पहले में = φ (लेकिन ).यदि किरणें एल ए और lb एक ही सीधी रेखा पर झूठ बोलते हैं, फिर, सह-निर्देशकता के आधार पर, उनमें से एक दूसरे में समाहित होता है। ध्यान में रख कर एल ए  lb , हम पाते हैं φ (एल ए )  φ (lb ), अर्थात। एल ए1 एल बी1 (प्रतीक तत्वों के एक समूह में तत्वों के एक सबसेट के समावेश या समानता को दर्शाता है)। यदि, हालांकि, एल ए, एल बी अलग-अलग लाइनों पर लेट जाओ, फिर चलो एन = (अब ) तब एक ऐसा अर्ध-तल होता है एन , क्या एल ए, एल बी  एन . यहां से φ (एल ए ),φ (lb ) φ (एन ) जहां तक ​​कि φ (एन ) एक अर्ध-तल है, और इसकी सीमा में बिंदु होते हैं ए 1 और पहले में , हम फिर से प्राप्त करते हैं एल ए, एल बी सह-निर्देशित।

आइए आंदोलन लागू करें φ समान रूप से उन्मुख झंडे के लिए एफ = (एल, एल ए ), जी = (m ,एम बी ) उस मामले पर विचार करें जब अंक ए और बी मिलान। अगर सीधा मैं और एम भिन्न हैं, तो झंडों के समान अभिविन्यास का अर्थ है कि या तो (1) एल ए m , एम ए  'l , या (2) एल ए मैं ,एम ए  l . व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मान सकते हैं कि शर्त (1) संतुष्ट है। फिर φ (एल ए )  φ (m ), φ (एम ए )  φ ('l ) इसका तात्पर्य झंडे के समान अभिविन्यास से है φ (एफ ) और φ (जी ).यदि प्रत्यक्ष मैं ,एम मैच, फिर या तो एफ = जी या एफ = जी'। यह इस प्रकार है कि झंडे φ (एफ ) और φ (जी ) समान रूप से उन्मुख हैं।

चलो अब डॉट्स ए और बी को अलग। द्वारा निरूपित करें एन सरल रेखा ( अब ) यह स्पष्ट है कि कोडायरेक्शनल किरणें होती हैं एन ए और नायब और आधा विमान एन ऐसा है कि झंडा एफ 1 = (एन, एन ए ) के साथ सह-निर्देशित है एफ , और झंडा जी 1 = (एन , एन बी , ) के साथ सह-निर्देशित है जी। माध्यम φ (एफ ) और φ (जी ) समान रूप से उन्मुख हैं। प्रमेय सिद्ध होता है।

आंदोलन उदाहरण:

1) समानांतर अनुवाद - एक आकृति का ऐसा परिवर्तन जिसमें आकृति के सभी बिंदु समान दूरी से एक ही दिशा में चलते हैं।

2) एक सीधी रेखा (अक्षीय या दर्पण समरूपता) के संबंध में समरूपता। परिवर्तन σ आंकड़ों एफएक आकृति में एफ', जहां इसके प्रत्येक बिंदु एक्सबिंदु पर जाता है एक्स', जो दी गई रेखा के संबंध में सममित है मैं, रेखा के संबंध में समरूपता परिवर्तन कहा जाता है एलसाथ ही, आंकड़े एफऔर एफ'रेखा के संबंध में सममित कहा जाता है मैं.

3) बिंदु के चारों ओर मुड़ें। विमान को मोड़कर ρ इस बिंदु के आसपास हेऐसी गति कहलाती है जिसमें इस बिंदु से निकलने वाली प्रत्येक किरण एक ही कोण से घूमती है α उसी दिशा में

"विमान गतियों और उनकी कुछ संपत्तियों की जांच"। पेज 21 का 21

विमान गति की जांच

और उनके कुछ गुण

विषय

गति के सिद्धांत के विकास के इतिहास से।

गतियों की परिभाषा और गुण।

आंकड़ों की अनुरूपता।

आंदोलनों के प्रकार।

4.1. समानांतर स्थानांतरण।

4.2. मोड़।

4.3. एक सीधी रेखा के बारे में समरूपता।

4.4. स्लाइडिंग समरूपता।

5. अक्षीय सममिति के विशेष गुणों का अध्ययन।

6. अन्य प्रकार के आंदोलनों के अस्तित्व की संभावना की जांच।

7. गतिशीलता प्रमेय। दो तरह के आंदोलन।

8. आंदोलनों का वर्गीकरण। चाल का प्रमेय।

ज्यामितीय परिवर्तनों के समूह के रूप में आंदोलन।

समस्या समाधान में आंदोलनों का अनुप्रयोग।

साहित्य।

गति के सिद्धांत के विकास का इतिहास।

सबसे पहले जिसने कुछ ज्यामितीय प्रस्तावों को साबित करना शुरू किया, उसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ माना जाता है मिलेटस के थेल्स(625-547 ईसा पूर्व)। यह थेल्स के लिए धन्यवाद था कि ज्यामिति व्यावहारिक नियमों के एक सेट से एक सच्चे विज्ञान में बदलने लगी। थेल्स से पहले, सबूत बस मौजूद नहीं थे!

थेल्स ने अपने प्रमाणों का संचालन कैसे किया? इस उद्देश्य के लिए, उन्होंने आंदोलनों का इस्तेमाल किया।

गति - यह आंकड़ों का रूपांतरण है, जिसमें बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित किया जाता है। यदि दो आकृतियों को गति के माध्यम से एक-दूसरे के साथ ठीक-ठीक जोड़ दिया जाए, तो ये आंकड़े समान, समान होते हैं।

इस प्रकार थेल्स ने ज्यामिति के पहले कई प्रमेयों को सिद्ध किया। यदि तल को किसी बिंदु के चारों ओर एक दृढ़ संपूर्ण के रूप में घुमाया जाता है हे 180 ओ, बीम ओए इसकी निरंतरता के लिए जाएगा ओए ’ . इस तरह के लोगों के साथ मोड़ (यह भी कहा जाता है केंद्रीय समरूपता केंद्रित हे ) प्रत्येक बिंदु लेकिन एक बिंदु पर ले जाता है लेकिन ’ , क्या हे खंड का मध्यबिंदु है आ ’ (चित्र .1)।

Fig.1 Fig.2

रहने दो हे - ऊर्ध्वाधर कोनों का सामान्य शीर्ष एओबी और लेकिन ’ ओवी ’ . लेकिन फिर यह स्पष्ट है कि 180° से मुड़ने पर, दो ऊर्ध्वाधर कोणों में से एक की भुजाएँ दूसरे की भुजाओं की ओर ही जाएँगी, अर्थात्। ये दो कोने संरेखित हैं। इसका मतलब है कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं (चित्र 2)।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों की समानता सिद्ध करते हुए थेल्स ने प्रयोग किया अक्षीय समरूपता : उसने एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो हिस्सों को कोण के समद्विभाजक के अनुदिश मोड़कर शीर्ष पर जोड़ दिया (चित्र 3)। इसी प्रकार थेल्स ने सिद्ध किया कि व्यास वृत्त को समद्विभाजित करता है।

Fig.3 Fig.4

एप्लाइड थेल्स और एक अन्य आंदोलन - समानांतर स्थानांतरण , जिस पर आकृति के सभी बिंदु एक निश्चित दिशा में समान दूरी से विस्थापित होते हैं। उनकी मदद से, उन्होंने उस प्रमेय को सिद्ध किया जो अब उनके नाम पर है:

यदि कोण के एक तरफ समान खंड अलग रखे जाते हैं और इन खंडों के सिरों के माध्यम से समानांतर रेखाएं खींची जाती हैं, जब तक कि वे कोण के दूसरे पक्ष के साथ प्रतिच्छेद न करें, तो कोण के दूसरी तरफ भी समान खंड प्राप्त होंगे(चित्र 4)।

प्राचीन काल में आंदोलन के विचार का प्रयोग प्रसिद्ध लोगों द्वारा भी किया जाता था यूक्लिड, "बिगिनिंग्स" के लेखक - एक किताब जो दो सहस्राब्दियों से अधिक समय तक जीवित रही है। यूक्लिड टॉलेमी I का समकालीन था, जिसने 305-283 ईसा पूर्व मिस्र, सीरिया और मैसेडोनिया में शासन किया था।

आंदोलन निहित रूप से मौजूद थे, उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तर्क में जब त्रिकोण की समानता के संकेतों को साबित करते हैं: "आइए एक त्रिकोण को दूसरे पर इस तरह से लागू करें।" यूक्लिड के अनुसार, दो अंक समान कहलाते हैं यदि उन्हें उनके सभी बिंदुओं से "संयुक्त" किया जा सकता है, अर्थात। एक आकृति को एक ठोस संपूर्ण के रूप में घुमाकर, कोई इसे दूसरी आकृति पर सटीक रूप से अधिरोपित कर सकता है। यूक्लिड के लिए, आंदोलन अभी तक एक गणितीय अवधारणा नहीं थी। "सिद्धांतों" में उनके द्वारा पहले निर्धारित स्वयंसिद्धों की प्रणाली एक ज्यामितीय सिद्धांत का आधार बन गई जिसे कहा जाता है यूक्लिडियन ज्यामिति.

आधुनिक समय में, गणितीय विषयों का विकास जारी है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति 11वीं शताब्दी में बनाई गई थी। बोलोग्ना विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर बोनावेंचर कैवेलियरी(1598-1647) निबंध प्रकाशित करता है "ज्यामिति, अविभाज्य निरंतर की मदद से एक नए तरीके से कहा गया है।" कैवलियरी के अनुसार, किसी भी सपाट आकृति को समानांतर रेखाओं या "निशान" के एक सेट के रूप में माना जा सकता है जो एक रेखा अपने समानांतर चलती है। इसी तरह, निकायों के बारे में एक विचार दिया गया है: वे विमानों की गति के दौरान बनते हैं।

गति के सिद्धांत का आगे विकास फ्रांसीसी गणितज्ञ और विज्ञान के इतिहासकार के नाम से जुड़ा है मिशेल चालो(1793-1880)। 1837 में, उन्होंने "ज्यामितीय विधियों की उत्पत्ति और विकास की ऐतिहासिक समीक्षा" कार्य प्रकाशित किया। अपने स्वयं के ज्यामितीय अनुसंधान की प्रक्रिया में, Schall सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय साबित होता है:

एक विमान की प्रत्येक अभिविन्यास-संरक्षण गति या तो है

समानांतर अनुवाद या रोटेशन,

किसी विमान की कोई भी अभिविन्यास-परिवर्तन गति या तो अक्षीय होती है

समरूपता या स्लाइडिंग समरूपता।

चाल के प्रमेय का प्रमाण इस सार के मद 8 में पूरी तरह से किया गया है।

19वीं शताब्दी में ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण संवर्धन ज्यामितीय परिवर्तनों के सिद्धांत का निर्माण है, विशेष रूप से, गति के गणितीय सिद्धांत (विस्थापन)। इस समय तक, सभी मौजूदा ज्यामितीय प्रणालियों का वर्गीकरण देने की आवश्यकता थी। इस समस्या को एक जर्मन गणितज्ञ ने हल किया था क्रिश्चियन फेलिक्स क्लेन(1849-1925).

1872 में, एर्लांगेन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर का पद ग्रहण करते हुए, क्लेन ने "नवीनतम ज्यामितीय शोधों की एक तुलनात्मक समीक्षा" पर एक व्याख्यान दिया। गति के सिद्धांत के आधार पर सभी ज्यामिति पर पुनर्विचार करने के उनके द्वारा रखे गए विचार को कहा जाता था "एरलांगेन कार्यक्रम".

क्लेन के अनुसार, एक विशेष ज्यामिति का निर्माण करने के लिए, आपको तत्वों का एक समूह और परिवर्तनों के एक समूह को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। ज्यामिति का कार्य तत्वों के बीच उन संबंधों का अध्ययन करना है जो किसी दिए गए समूह के सभी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय रहते हैं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड की ज्यामिति आकृतियों के उन गुणों का अध्ययन करती है जो गति के दौरान अपरिवर्तित रहते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि एक आकृति दूसरे से गति द्वारा प्राप्त की जाती है (ऐसी आकृतियों को सर्वांगसम कहा जाता है), तो इन आकृतियों में समान ज्यामितीय गुण.

इस अर्थ में, गतियाँ ज्यामिति का आधार बनती हैं, और पाँच सर्वांगसमता के अभिगृहीतआधुनिक ज्यामिति के स्वयंसिद्धों की प्रणाली में एक स्वतंत्र समूह द्वारा अलग किया जाता है। पूर्व के सभी अध्ययनों को सारांशित करते हुए, स्वयंसिद्धों की यह पूर्ण और काफी कठोर प्रणाली जर्मन गणितज्ञ द्वारा प्रस्तावित की गई थी डेविड गिल्बर्ट(1862-1943)। पाँच समूहों में विभाजित बीस स्वयंसिद्धों की उनकी प्रणाली पहली बार 1899 में पुस्तक में प्रकाशित हुई थी "ज्यामिति के मूल सिद्धांत".

1909 में एक जर्मन गणितज्ञ फ्रेडरिक शूर(1856-1932), थेल्स और क्लेन के विचारों का अनुसरण करते हुए, ज्यामिति के स्वयंसिद्धों की एक और प्रणाली विकसित की - आंदोलनों के विचार के आधार पर। उनकी प्रणाली में, विशेष रूप से, सर्वांगसमता के स्वयंसिद्धों के हिल्बर्ट समूह के बजाय, तीन का एक समूह गति के स्वयंसिद्ध.

आंदोलनों के प्रकार और कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर इस निबंध में विस्तार से चर्चा की गई है, लेकिन उन्हें संक्षेप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: गतियाँ एक समूह बनाती हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति को परिभाषित और निर्धारित करता है।

गतियों की परिभाषा और गुण।

इस आकृति के प्रत्येक बिंदु को किसी प्रकार से खिसकाने से एक नया अंक प्राप्त होता है। कहा जाता है कि यह आंकड़ा प्राप्त होता है परिवर्तन इस से। एक आकृति के दूसरे में परिवर्तन को एक आंदोलन कहा जाता है यदि यह बिंदुओं के बीच की दूरी को बनाए रखता है, अर्थात। किन्हीं दो बिंदुओं का अनुवाद करता है एक्स और यू प्रति बिंदु एक आकार एक्स ’ और यू ’ एक और आंकड़ा ताकि XY = एक्स ’यू ’.

परिभाषा। आकार परिवर्तन जो दूरी बनाए रखता है

बिंदुओं के बीच इस आकृति की गति कहलाती है।

! टिप्पणी:ज्यामिति में गति की अवधारणा विस्थापन के सामान्य विचार से जुड़ी है। लेकिन अगर, विस्थापन की बात करें, तो हम एक सतत प्रक्रिया की कल्पना करते हैं, तो ज्यामिति में केवल आकृति की प्रारंभिक और अंतिम (छवि) स्थिति हमारे लिए मायने रखती है। यह ज्यामितीय दृष्टिकोण भौतिक दृष्टिकोण से भिन्न है।

चलते समय, अलग-अलग बिंदु अलग-अलग छवियों के अनुरूप होते हैं, और प्रत्येक बिंदु एक्स केवल एक अंक के साथ पत्राचार किया जाता है दूरसंचार विभाग एक्स ’ एक और आंकड़ा। इस प्रकार के परिवर्तन को कहा जाता है एक-से-एक या विशेषण.

आंदोलनों के संबंध में, आंकड़ों (सीधी रेखाओं, खंडों, विमानों, आदि) की "समानता" शब्द के बजाय, शब्द का प्रयोग किया जाता है "एकरूपता"और प्रतीक का प्रयोग किया जाता है  . प्रतीक є का उपयोग संबंधित को दर्शाने के लिए किया जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम आंदोलन की अधिक सही परिभाषा दे सकते हैं:

गति समतल का एक विशेषण रूपांतरण है, जिसके अंतर्गत किसी के लिए

विभिन्न बिंदु एक्स, वाई є π सम्बन्ध XY  φ (एक्स ) φ (यू ).

दो आंदोलनों के क्रमिक निष्पादन के परिणाम को कहा जाता है संघटन. अगर चाल पहले की जाती है φ , उसके बाद आंदोलन ψ , तो इन गतियों की संरचना द्वारा निरूपित किया जाता है ψ ◦ φ .

आंदोलन का सबसे सरल उदाहरण पहचान प्रदर्शन है (यह निरूपित करने के लिए प्रथागत है - ε ), जिस पर प्रत्येक बिंदु एक्स , समतल से संबंधित, इस बिंदु की तुलना स्वयं की जाती है, अर्थात। ε (एक्स ) = एक्स .

आइए गति के कुछ महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करें।

सी संपत्ति 1.

लेम्मा 2. 1. संघटनφ ◦ ψ दो आंदोलनψ , φ एक आंदोलन है।

प्रमाण।

आंकड़ा दें एफ आंदोलन द्वारा अनुवादित ψ एक आकृति में एफ ', और आंकड़ा एफ ' आंदोलन द्वारा अनुवादित है φ एक आकृति में एफ ''। बात करने दो एक्स आंकड़ों एफ बिंदु पर जाता है एक्स 'आंकड़े एफ ' , और दूसरे आंदोलन के दौरान, बिंदु एक्स 'आंकड़े एफ ' बिंदु पर जाता है एक्स ''आंकड़े एफ ''। फिर आकृति का परिवर्तन एफ एक आकृति में एफ '', जिस पर एक मनमाना बिंदु एक्स आंकड़ों एफ बिंदु पर जाता है एक्स ''आंकड़े एफ '', बिंदुओं के बीच की दूरी को बनाए रखता है, और इसलिए यह एक गति भी है।

ध्यान दें कि किसी रचना की रिकॉर्डिंग हमेशा अंतिम गति से शुरू होती है, क्योंकि रचना का परिणाम अंतिम छवि है - इसे मूल के अनुरूप रखा गया है:

एक्स ’’= ψ (एक्स ’) = ψ (φ (एक्स )) = ψ ◦ φ (एक्स )

सी संपत्ति 2.

लेम्मा 2.2 . यदि एकφ - आंदोलन, फिर परिवर्तनφ -1 एक आंदोलन भी है।

प्रमाण।

आकार परिवर्तन होने दें एफ एक आकृति में एफ ' आकृति के विभिन्न बिंदुओं का अनुवाद करता है एफ आकृति पर विभिन्न बिंदुओं पर एफ '। चलो एक मनमाना बिंदु एक्स आंकड़ों एफ इस परिवर्तन के तहत एक बिंदु पर जाता है एक्स 'आंकड़े एफ ’.

आकार परिवर्तन एफ 'एक आकृति में' एफ , जिस बिंदु पर एक्स ' बिंदु पर जाता है एक्स , कहा जाता है दिए गए के विपरीत परिवर्तन।हर चाल के लिए φ रिवर्स मूवमेंट को परिभाषित करना संभव है, जिसे दर्शाया गया है φ -1 .

संपत्ति 1 के प्रमाण के समान तर्क देते हुए, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि गति के विपरीत परिवर्तन भी एक गति है।

यह स्पष्ट है कि परिवर्तन φ -1 समानता को संतुष्ट करता है:

एफ ◦ एफ -1 = एफ -1 ◦ एफ = ε , कहाँ पे ε समान प्रदर्शन है।

संपत्ति 3 (रचनाओं की संबद्धता)।

लेम्मा 2.3. चलो 1 , φ 2 , φ 3 - स्वैच्छिक आंदोलनों। फिर 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

तथ्य यह है कि आंदोलनों की संरचना में सहयोगीता की संपत्ति है, हमें डिग्री निर्धारित करने की अनुमति देती है φ एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एन .

चलो रखो φ 1 = φ और φ एन+1 = φ एन ◦ φ , अगर एन ≥ 1 . इस प्रकार आंदोलन φ एन के द्वारा हासिल किया गया एन आंदोलन के कई अनुक्रमिक अनुप्रयोग φ .

सी संपत्ति 4 (सीधा बनाए रखना).

प्रमेय 2। 1. एक ही सीधी रेखा पर स्थित बिंदु, चलते समय, बिंदुओं में गुजरते हैं,

गतिगुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में पिंड

कोर्सवर्क >> भौतिकी

प्रक्षेपवक्र के प्रकार उन्हें आंदोलनोंवृद्धि की पुष्टि करता है ... एयरो- और हाइड्रोडायनामिक्स है पढाई आंदोलनों ठोसगैस में और ... घर्षण) है संपत्ति असली तरल पदार्थविरोध... बैरल और विमानक्षितिज हथियार बना हुआ है कुछइंजेक्शन,...

अध्ययनसंघनित विस्फोटकों में अतिसंपीड़ित विस्फोट तरंगों में विद्युत चालकता वितरण

डिप्लोमा कार्य >> रसायन विज्ञान

... अनुसंधानवैद्युतकणसंचलन गुण... परिणाम और उन्हेंविश्लेषण 2.1 ... विस्फोट उत्पादों में विमानचैपमैन-जौगेट ... आपको गिनने की अनुमति देता है गतिइलेक्ट्रॉन अर्धशास्त्रीय। ... कार्तशोव ए.एम., स्वीह वी.जी. ओ कुछ व्यवस्थित त्रुटियांचालकता को मापते समय...

गुणइंजीनियरिंग सामग्री (2)

व्यावहारिक कार्य >> उद्योग, उत्पादन

खंड I स्ट्रक्चरल स्टील्स और अलॉय स्ट्रक्चरल स्टील्स वे हैं जो मशीन के पुर्जों (मशीन-बिल्डिंग स्टील्स), संरचनाओं और संरचनाओं (बिल्डिंग स्टील्स) के निर्माण के लिए अभिप्रेत हैं। कार्बन स्ट्रक्चरल स्टील्स कार्बन स्ट्रक्चरल...

आंदोलन दूरियों को बनाए रखते हैं और इसलिए आंकड़ों के सभी ज्यामितीय गुणों को संरक्षित करते हैं, क्योंकि वे दूरियों से निर्धारित होते हैं। इस बिंदु पर, हम सबसे अधिक प्राप्त करेंगे सामान्य विशेषताआंदोलनों, उन मामलों में सबूत का हवाला देते हुए जहां यह स्पष्ट नहीं है।

गुण 1. एक ही सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदु, चलते समय, एक ही सीधी रेखा पर पड़े तीन बिंदुओं में, और एक ही सीधी रेखा पर न पड़े तीन बिंदुओं में, एक ही सीधी रेखा पर न होने वाले तीन बिंदुओं में जाते हैं।

गति को बिंदुओं को क्रमशः बिंदुओं में बदलने दें। तब समानताएँ बनी रहती हैं

यदि बिंदु A, B, C एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो उनमें से एक, उदाहरण के लिए, बिंदु B अन्य दो के बीच स्थित है। इस मामले में और समानता से (1) यह इस प्रकार है। और इस समानता का अर्थ है कि बिंदु B, बिंदु A और C के बीच स्थित है। पहला अभिकथन सिद्ध होता है। दूसरा पहले और आंदोलन की उत्क्रमणीयता (विरोधाभास द्वारा) से अनुसरण करता है।

संपत्ति 2. एक खंड गति से एक खंड में बदल जाता है।

मान लीजिए कि खण्ड AB के सिरे गति f से बिन्दु A और B से जुड़े हैं। खंड AB का कोई भी बिंदु X लीजिए। फिर, संपत्ति 1 के सबूत के रूप में, यह स्थापित किया जा सकता है कि इसकी छवि - एक बिंदु बिंदु ए और बी के बीच खंड एबी पर स्थित है। इसके अलावा, प्रत्येक बिंदु

खंड A B का Y खंड AB के किसी बिंदु Y का प्रतिबिम्ब है। अर्थात्, बिंदु Y, जिसे बिंदु A से A Y की दूरी पर हटा दिया जाता है। इसलिए, खंड AB को गति द्वारा खंड AB में स्थानांतरित किया जाता है।

गुण 3. गति करते समय, एक किरण एक किरण बन जाती है, एक सीधी रेखा - एक सीधी रेखा में।

इन कथनों को स्वयं सिद्ध कीजिए। गुण 4. एक त्रिभुज को गति द्वारा त्रिभुज में, एक अर्ध-तल से एक अर्ध-तल में, एक तल को एक तल में रूपांतरित किया जाता है, समानांतर विमान- समानांतर विमानों में।

त्रिभुज ABC शीर्ष A को बिंदुओं X . से जोड़ने वाले खंडों से भरा है विपरीत दिशाईसा पूर्व (चित्र 26.1)। आंदोलन खंड BC को कुछ खंड BC और बिंदु A - बिंदु A को निर्दिष्ट करेगा, जो रेखा BC पर नहीं है। प्रत्येक खंड AX के लिए, यह आंदोलन एक खंड AX निर्दिष्ट करेगा, जहां बिंदु X BC पर स्थित है। ये सभी खंड AX त्रिभुज ABC को भरेंगे।

त्रिभुज इसमें जाता है

एक अर्ध-तल को अनंत विस्तार करने वाले त्रिभुजों के संघ के रूप में निरूपित किया जा सकता है, जिसमें एक भुजा अर्ध-तल की सीमा पर स्थित होती है।

(चित्र 26.2)। इसलिए, चलते समय आधा विमान आधे विमान के ऊपर चला जाएगा।

इसी प्रकार, एक समतल को अपरिमित रूप से फैलने वाले त्रिभुजों के मिलन के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 26.3)। इसलिए, चलते समय, एक विमान को एक विमान पर मैप किया जाता है।

चूंकि आंदोलन दूरियों को बरकरार रखता है, चलते समय आंकड़ों के बीच की दूरी नहीं बदलती है। इससे यह इस प्रकार है, विशेष रूप से, गति के दौरान समानांतर विमान समानांतर में गुजरते हैं।

संपत्ति 5. चलते समय, टेट्राहेड्रोन की छवि एक टेट्राहेड्रोन होती है, अर्ध-अंतरिक्ष की छवि अर्ध-अंतरिक्ष होती है, अंतरिक्ष की छवि संपूर्ण स्थान होती है।

टेट्राहेड्रोन ABCD बिंदु D को सभी संभावित बिंदुओं X . से जोड़ने वाले रेखाखंडों का मिलन है त्रिभुज एबीसी(चित्र 26.4)। चलते समय, खंडों को खंडों में मैप किया जाता है, और इसलिए टेट्राहेड्रोन टेट्राहेड्रोन में बदल जाएगा।

एक अर्ध-स्थान को विस्तारित टेट्राहेड्रा के संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसका आधार अर्ध-अंतरिक्ष के सीमा तल में स्थित है। इसलिए, चलते समय, आधे स्थान का प्रतिबिंब आधा स्थान होगा।

अंतरिक्ष को असीम रूप से विस्तारित टेट्राहेड्रा के मिलन के रूप में माना जा सकता है। इसलिए, चलते समय, अंतरिक्ष को सभी स्थान पर मैप किया जाता है।

गुण 6. चलते समय, कोणों को संरक्षित किया जाता है, अर्थात, प्रत्येक कोण को एक ही प्रकार और समान परिमाण के कोण पर मैप किया जाता है। डायहेड्रल कोणों के लिए भी यही सच है।

चलते समय, आधे विमान को आधे विमान पर मैप किया जाता है। जैसा उत्तल कोणदो अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन है, और एक गैर-उत्तल कोण और एक विकर्ण कोण आधे-तलों का मिलन है, फिर चलते समय, उत्तल कोण उत्तल कोण में गुजरता है, और गैर-उत्तल कोण

कोण और डायहेड्रल कोण, क्रमशः, एक गैर-उत्तल और डायहेड्रल कोण में।

मान लीजिए कि बिंदु 0 से निकलने वाली किरणें ए और बी को बिंदु 0 से निकलने वाली किरणों ए और बी पर मैप किया जाता है। त्रिभुज ओएबी को ए पर शिखर ए और किरण बी पर बी लें (चित्र 26.5)। . पर दिखाई देगा बराबर त्रिकोण BAB जिसका शीर्ष A किरण a पर है और B किरण b पर है। अत: किरणों a, b और a, b के बीच के कोण बराबर होते हैं। इसलिए, चलते समय, कोणों के परिमाण संरक्षित रहते हैं।

नतीजतन, सीधी रेखाओं की लंबवतता, और इसलिए रेखा और समतल, संरक्षित रहती है। एक सीधी रेखा और एक तल और मात्राओं के बीच के कोण की परिभाषाओं को याद रखना द्विफलक कोण, हम पाते हैं कि इन कोणों के मान संरक्षित हैं।

संपत्ति 7. आंदोलन सतह क्षेत्रों और निकायों के आयतन को संरक्षित करते हैं।

दरअसल, चूंकि गति लंबवतता को बरकरार रखती है, इसलिए ऊंचाई की गति (त्रिकोण, टेट्राहेड्रा, प्रिज्म, आदि) का अनुवाद ऊंचाइयों (इन त्रिकोणों, टेट्राहेड्रा, प्रिज्म आदि की छवियों) में होता है। इस मामले में, इन ऊंचाइयों की लंबाई संरक्षित की जाएगी। इसलिए, आंदोलनों के दौरान त्रिकोण के क्षेत्र और टेट्राहेड्रा के आयतन संरक्षित होते हैं। इसका अर्थ है कि बहुभुज के क्षेत्रफल और बहुफलक के आयतन दोनों ही संरक्षित रहेंगे। घुमावदार सतहों के क्षेत्र और ऐसी सतहों से घिरे पिंडों के आयतन प्राप्त होते हैं सीमा संक्रमणबहुफलकीय सतहों और बहुफलकीय निकायों के आयतन के क्षेत्रों पर। इसलिए, उन्हें आंदोलनों के दौरान संरक्षित किया जाता है।