एकता की तैयारी राज्य परीक्षाअंक शास्त्र। उपयोगी सामग्रीऔर संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं का वीडियो विश्लेषण।

उपयोगी सामग्री

कार्यों का वीडियो विश्लेषण

प्रति गोल मेज़ 3 लड़के और 2 लड़कियों को 5 कुर्सियों पर यादृच्छया बैठाया जाता है। दोनों लड़कियों के एक-दूसरे के बगल में बैठने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

पर जादू देशमौसम दो प्रकार का होता है: अच्छा और उत्कृष्ट, और मौसम, सुबह बसने के बाद, पूरे दिन अपरिवर्तित रहता है। मालूम हो कि 0.7 की संभावना के साथ कल मौसम आज जैसा ही रहेगा। आज 28 मार्च है, मैजिकलैंड में मौसम अच्छा है। 1 अप्रैल को मैजिकलैंड में मौसम के ठीक रहने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

डाइविंग चैंपियनशिप में 50 एथलीट प्रतिस्पर्धा करते हैं, उनमें रूस के 8 गोताखोर और मैक्सिको के 10 गोताखोर शामिल हैं। प्रदर्शन का क्रम एक ड्रा द्वारा निर्धारित किया जाता है। रूस से जम्पर के पंद्रहवें होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

तस्वीर एक भूलभुलैया दिखाती है। मकड़ी "प्रवेश" बिंदु पर भूलभुलैया में रेंगती है। मकड़ी घूम नहीं सकती है और वापस रेंग नहीं सकती है, इसलिए, प्रत्येक कांटे पर, मकड़ी उन रास्तों में से एक चुनती है, जो अभी तक रेंग नहीं पाई है। यह देखते हुए कि चुनाव आगे का रास्ताविशुद्ध रूप से यादृच्छिक, निर्धारित करें कि मकड़ी के D से बाहर निकलने की कितनी संभावना है।

स्वचालित लाइन बैटरी बनाती है। समाप्त बैटरी के खराब होने की प्रायिकता 0.02 है। पैकेजिंग से पहले, प्रत्येक बैटरी एक नियंत्रण प्रणाली से गुजरती है। संभावना है कि सिस्टम खराब बैटरी को अस्वीकार कर देगा 0.99 है। संभावना है कि सिस्टम गलती से एक अच्छी बैटरी को अस्वीकार कर देगा 0.01 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई निर्मित बैटरी नियंत्रण प्रणाली द्वारा अस्वीकृत कर दी जाएगी।

बैटरी के खराब होने की प्रायिकता 0.06 है। स्टोर में ग्राहक इनमें से दो बैटरी वाले यादृच्छिक पैकेज का चयन करता है। दोनों बैटरियां अच्छी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

कार्यों का चयन

1. मीशा की जेब में चार मिठाइयाँ थीं - ग्रिलेज, गिलहरी, गाय और निगल, साथ ही अपार्टमेंट की चाबियां। चाबियां निकालते हुए, मिशा ने गलती से कैंडी का एक टुकड़ा उसकी जेब से गिरा दिया। कैंडी "ग्रिलेज" के खो जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
2. फ़िनलैंड के 4 एथलीट, डेनमार्क के 7 एथलीट, स्वीडन के 9 एथलीट और नॉर्वे के 5 एथलीट शॉट पुट प्रतियोगिताओं में भाग लेते हैं। जिस क्रम में एथलीट प्रतिस्पर्धा करते हैं वह बहुत से निर्धारित होता है। अंतिम प्रतियोगी के स्वीडन से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
3. बैडमिंटन चैंपियनशिप के पहले दौर की शुरुआत से पहले, प्रतिभागियों को यादृच्छिक रूप से बहुत सारे ड्रॉ करके खेल जोड़े में विभाजित किया जाता है। चैंपियनशिप में कुल 26 बैडमिंटन खिलाड़ी भाग लेते हैं, जिसमें रुस्लान ओरलोव सहित रूस के 10 प्रतिभागी शामिल हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि रुस्लान ओर्लोव पहले दौर में रूस के किसी बैडमिंटन खिलाड़ी के साथ खेलेंगे?
4. वर्ल्ड चैंपियनशिप में 16 टीमें हिस्सा लेती हैं। लॉट निकालकर, उन्हें चार-चार टीमों के चार समूहों में विभाजित किया जाना चाहिए। बॉक्स में मिश्रित समूह संख्या वाले कार्ड हैं: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ टीम के कप्तान एक कार्ड निकालते हैं प्रत्येक। क्या संभावना है कि रूसी टीम दूसरे समूह में होगी?
5. वैज्ञानिक सम्मेलन 5 दिनों में आयोजित किया गया। कुल 75 रिपोर्ट की योजना बनाई गई है - पहले तीन दिन, 17 रिपोर्ट प्रत्येक, बाकी को चौथे और पांचवें दिनों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। रिपोर्ट का क्रम लॉटरी द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि सम्मेलन के अंतिम दिन प्रोफेसर मेक्सिमोव की रिपोर्ट निर्धारित की जाएगी?
6. औसतन 1,000 गार्डन पंपों में से 5 लीक हुए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित पंप लीक नहीं होता है।
7. फैक्ट्री बैग बनाती है। औसतन, प्रत्येक 100 गुणवत्ता वाले बैग के लिए, छिपे हुए दोषों के साथ आठ बैग होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया बैग उच्च गुणवत्ता का होगा। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।
8. यांत्रिक घड़ियाँबारह घंटे की डायल के साथ किसी बिंदु पर टूट गया और चलना बंद कर दिया। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि घड़ी की सूईजम गया, 10 अंक तक पहुंच गया, लेकिन 1 घंटे के निशान तक नहीं पहुंचा।
9. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को दो बार उछाला जाता है। पहली बार चित आने पर और दूसरी बार पट आने पर प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
10. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को दो बार उछाला जाता है। चित के ठीक एक बार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
11. एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। कम से कम दो पट आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
12. एक यादृच्छिक प्रयोग में, दो पासा. कुल 8 अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।
13. समूह रॉक फेस्टिवल में प्रदर्शन करते हैं - प्रत्येक घोषित देशों में से एक। प्रदर्शन का क्रम बहुत से निर्धारित होता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि डेनमार्क का कोई बैंड स्वीडन के बैंड के बाद और नॉर्वे के बैंड के बाद प्रदर्शन करेगा? परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।
14. कक्षा में 26 लोग हैं, जिनमें दो जुड़वां बच्चे हैं - एंड्री और सर्गेई। कक्षा को बेतरतीब ढंग से 13 लोगों के दो समूहों में विभाजित किया गया है। संभावना है कि एंड्री और सर्गेई एक ही समूह में होंगे।
15. कक्षा में 21 छात्र हैं। उनमें से दो दोस्त हैं: अन्या और नीना। कक्षा को यादृच्छिक रूप से 3 लोगों के 7 समूहों में विभाजित किया गया है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए। कि आन्या और नीना एक ही ग्रुप में होंगे।
16. निशानेबाज ने एक बार निशाने पर गोली मार दी। मिस होने की स्थिति में, शूटर उसी निशाने पर दूसरा शॉट फायर करता है। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.7 है। लक्ष्य के हिट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (या तो पहले या दूसरे शॉट से)।
17. यदि ग्रैंडमास्टर एंटोनोव सफेद खेलता है, तो वह ग्रैंडमास्टर बोरिसोव को 0.52 की संभावना से हरा देता है। यदि एंटोनोव काला खेलता है, तो एंटोनोव 0.3 की संभावना के साथ बोरिसोव के खिलाफ जीतता है। ग्रैंडमास्टर्स एंटोनोव और बोरिसोव दो गेम खेलते हैं, और दूसरे गेम में वे टुकड़ों का रंग बदलते हैं। एंटोनोव के दोनों बार जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
18. दुकान में तीन सेल्समैन हैं। उनमें से प्रत्येक 0.3 की प्रायिकता वाले क्लाइंट के साथ व्यस्त है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि में यादृच्छिक क्षणसमय, तीनों विक्रेता एक ही समय में व्यस्त हैं (मान लें कि ग्राहक एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से प्रवेश करते हैं)।
19. एक वर्ष के भीतर एक नए डीवीडी प्लेयर की मरम्मत की संभावना 0.045 है। एक निश्चित शहर में, वर्ष के दौरान बेचे गए 1,000 डीवीडी प्लेयर में से 51 पीस वारंटी वर्कशॉप में पहुंचे। "वारंटी मरम्मत" घटना की आवृत्ति इस शहर में इसकी संभावना से कितनी भिन्न है?
20. 67 मिमी के व्यास के साथ बीयरिंगों का निर्माण करते समय, व्यास निर्दिष्ट एक से 0.01 मिमी से अधिक नहीं होने की संभावना 0.965 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक यादृच्छिक बेयरिंग का व्यास 66.99 मिमी से कम या 67.01 मिमी से अधिक होगा।
21. क्या प्रायिकता है कि एक यादृच्छिक रूप से चुना गया प्राकृतिक संख्या 10 से 19 तीन से विभाज्य है?
22. शुरुआत से पहले फुटबॉल मैचरेफरी यह निर्धारित करने के लिए एक सिक्का उछालता है कि कौन सी टीम गेंद से खेल शुरू करेगी। टीम "भौतिक विज्ञानी" के साथ तीन मैच खेलती है विभिन्न दल. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इन खेलों में "भौतिक विज्ञानी" ठीक दो बार लॉट जीतता है।
23. वॉलीबॉल मैच शुरू होने से पहले, टीम के कप्तान यह निर्धारित करने के लिए उचित लॉट निकालते हैं कि कौन सी टीम बॉल गेम शुरू करेगी। "स्टेटर" टीम बारी-बारी से "रोटर", "मोटर" और "स्टार्टर" टीमों के साथ खेलती है। संभावना है कि "स्टेटर" केवल पहले और आखिरी गेम शुरू करेगा।
24. दुकान में दो भुगतान मशीनें हैं। उनमें से प्रत्येक अन्य automaton की परवाह किए बिना, 0.05 की संभावना के साथ दोषपूर्ण हो सकता है। संभावना है कि कम से कम एक automaton सेवा योग्य है।
25. ग्राहक समीक्षाओं के अनुसार, इवान इवानोविच ने दो ऑनलाइन स्टोर की विश्वसनीयता का आकलन किया। स्टोर ए से वांछित उत्पाद की डिलीवरी की संभावना 0.8 है। इस उत्पाद के स्टोर B से डिलीवर होने की प्रायिकता 0.9 है। इवान इवानोविच ने दोनों दुकानों में एक ही बार में सामान का ऑर्डर दिया। यह मानते हुए कि ऑनलाइन स्टोर एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से संचालित होते हैं, इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कोई भी स्टोर माल की डिलीवरी नहीं करेगा।
26. बायैथलीट निशाने पर पांच बार गोली मारता है। एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि बायैथलीट ने पहले तीन बार लक्ष्य को मारा और अंतिम दो से चूक गया। परिणाम को सौवें में गोल करें
27. कमरे को दो दीपों वाली लालटेन से रोशन किया जाता है। एक वर्ष में एक दीपक के जलने की प्रायिकता 0.3 है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक वर्ष के भीतर कम से कम एक दीपक नहीं जलता।
28. ज्यामिति परीक्षा में, छात्र को सूची से एक प्रश्न मिलता है परीक्षा प्रश्न. संभावना है कि यह एक उत्कीर्ण वृत्त प्रश्न है 0.2 है। संभावना है कि यह "समांतर चतुर्भुज" विषय पर एक प्रश्न है 0.15 है। एक ही समय में इन दोनों विषयों से संबंधित कोई प्रश्न नहीं हैं। परीक्षा में इन दो विषयों में से किसी एक पर छात्र के प्रश्न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
29. से जिला केंद्रगांव के लिए रोजाना बस है। सोमवार को बस में 20 से कम यात्री होने की प्रायिकता 0.94 है। 15 से कम यात्रियों के होने की प्रायिकता 0.56 है। यात्रियों की संख्या 15 से 19 के बीच होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
30. एक नई इलेक्ट्रिक केतली के एक वर्ष से अधिक चलने की प्रायिकता 0.97 है। संभावना है कि यह दो साल से अधिक समय तक चलेगा 0.89 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह दो वर्ष से कम लेकिन एक वर्ष से अधिक समय तक चलती है।
31. जीव विज्ञान की परीक्षा में छात्र ओ के 11 से अधिक कार्यों को सही ढंग से हल करने की संभावना 0.67 है। संभावना है कि ओ 10 से अधिक समस्याओं को सही ढंग से हल करेगा 0.74 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि O. ठीक 11 समस्याओं को ठीक से हल करता है।
32. प्रतियोगिता के अगले दौर में आगे बढ़ने के लिए, फुटबॉल टीमआपको दो गेम में कम से कम 4 अंक हासिल करने होंगे। यदि कोई टीम जीतती है, तो उसे 3 अंक मिलते हैं, ड्रॉ की स्थिति में - 1 अंक, हारने पर - 0 अंक। इस संभावना का पता लगाएं कि टीम प्रतियोगिता के अगले दौर में आगे बढ़ने में सक्षम होगी। विचार करें कि प्रत्येक गेम में जीतने और हारने की संभावनाएं समान हैं और 0.4 के बराबर हैं।
33. फेयरीलैंड में दो प्रकार के मौसम होते हैं: अच्छा और उत्कृष्ट, और मौसम, सुबह बसने के बाद, पूरे दिन अपरिवर्तित रहता है। ज्ञात हो कि 0.8 की संभावना के साथ कल मौसम आज जैसा ही रहेगा। आज 3 जुलाई है, फेयरीलैंड में मौसम अच्छा है। 6 जुलाई को मैजिकलैंड में अच्छा मौसम होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
34. पर्यटकों के एक समूह में 5 लोग हैं। लॉट की मदद से वे दो ऐसे लोगों को चुनते हैं जिन्हें खाने के लिए गांव जाना होगा। अर्टोम स्टोर में जाना चाहेगा, लेकिन वह बहुत कुछ प्रस्तुत करता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि आर्टेम स्टोर पर जाएगा?
35. विशेषता "भाषाविज्ञान" के लिए संस्थान में प्रवेश करने के लिए, एक आवेदक को तीन विषयों - गणित, रूसी भाषा और एक विदेशी भाषा में एकीकृत राज्य परीक्षा में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे। विशेषता "वाणिज्य" में प्रवेश करने के लिए, आपको तीन विषयों - गणित, रूसी भाषा और सामाजिक अध्ययन में से प्रत्येक में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे। गणित में पेट्रोव के कम से कम 70 अंक प्राप्त करने की संभावना 0.6 है, रूसी में - 0.8, इंच विदेशी भाषा- 0.7 और सामाजिक अध्ययन में - 0.5। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पेट्रोव उल्लिखित दो विशिष्टताओं में से कम से कम एक में प्रवेश कर सकता है
36. तोपखाने की फायरिंग के दौरान स्वचालित प्रणालीनिशाने पर गोली मारता है। यदि लक्ष्य नष्ट नहीं होता है, तो सिस्टम फिर से सक्रिय हो जाता है। जब तक लक्ष्य नष्ट नहीं हो जाता तब तक शॉट्स को दोहराया जाता है। पहले शॉट के साथ एक निश्चित लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना 0.4 है, और प्रत्येक बाद के शॉट के साथ यह 0.6 है। यह सुनिश्चित करने के लिए कितने शॉट्स की आवश्यकता होगी कि लक्ष्य को नष्ट करने की संभावना कम से कम 0.98 है?

आंकड़ा दिखाता है कि 3 से 5 अप्रैल तक हवा का तापमान कैसे बदल गया। क्षैतिज दिन का समय दिखाता है, ऊर्ध्वाधर डिग्री सेल्सियस में तापमान दिखाता है। 5 अप्रैल को तापमान कितने घंटे के दौरान -3 डिग्री सेल्सियस से अधिक था?

उत्तर: 15.

यह स्थिति 9 से 24 (मध्यरात्रि) के समय से संतुष्ट होती है, जो 15 घंटे के अनुरूप होती है।

टास्क 3. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

पर चेकर पेपरकोण दिखाया गया है। इसका आकार ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर अंशों में व्यक्त करें।

उत्तर: 45.

जैसा कि आप देख सकते हैं, चाप जिस पर खुदा हुआ कोण टिका हुआ है, वृत्त का एक चौथाई है। यह देखते हुए कि वृत्त 360 डिग्री है, चाप 90 डिग्री है। और चूँकि अंकित कोण का मान उस चाप के आधे के बराबर है जिस पर वह टिका है, हमें 45 डिग्री प्राप्त होता है।

टास्क 4. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

तस्वीर एक भूलभुलैया दिखाती है। भृंग "प्रवेश" बिंदु पर भूलभुलैया में रेंगता है। भृंग न घूम सकता है और न ही वापस रेंग सकता है, इसलिए, प्रत्येक कांटे पर, भृंग उन रास्तों में से एक चुनता है जिसके साथ वह अभी तक रेंगता नहीं है। यह मानते हुए कि चुनाव विशुद्ध रूप से यादृच्छिक है, यह निर्धारित करें कि बीटल किस संभावना के साथ बाहर निकलेगा। परिणाम को निकटतम सौवें भाग में गोल करें।

उत्तर: 0.17.

यह देखते हुए कि जाने की प्रायिकता विभिन्न दिशाएंचौराहों पर समान है, हमें मिलता है निम्नलिखित मान(कार्य केवल प्रत्येक निकास के लिए पथ को चित्रित करना है, उदाहरण के लिए, यदि दो पथ हैं, तो एक दिशा में जाने की संभावना 0.5 है, यदि तीन हैं, तो 1/3, और इसी तरह पर। वापसी की यात्रागिनो नहीं):

जी: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)$$

बी: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

बी: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)$$

ए: $$0.5\cdot0.5\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(3)\cdot0.5$$

$$\frac(1)(3)\cdot0.25(1+0.5+\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\cdot0.5)=$$ $$\frac (1 )(12)(\frac(6)(6)+\frac(3)(6)+\frac(2)(6)+\frac(1)(6))=$$ $$\frac (2 )(12)=\frac(1)(6)\लगभग0.17$$

टास्क 6. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

पर त्रिभुज एबीसीद्विभाजक AL खींचा गया है। यह ज्ञात है कि $$\angle ALC=130^(\circ)$$ और $$\angle ABC=103^(\circ)$$। $$\कोण एसीबी$$ खोजें। अपना उत्तर अंशों में दें।

उत्तर : 23.

$$\angle ALB=180^(\circ)-\angle ALC=50^(\circ)$$; $$\angle BAL=180^(\circ)-\angle ABL-\angle ALB=180^(\circ)-103^(\circ)-50^(\circ)=27^(\circ)$$ ; $$\कोण बीएसी=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^(\circ)-\angle BAC-\angle ABC=23^(\circ)$$

टास्क 7. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

यह आंकड़ा अंतराल (−3; 9) पर परिभाषित फ़ंक्शन $$y=f"(x)$$ के व्युत्पन्न का ग्राफ दिखाता है। खंड के किस बिंदु पर [−2; 3] $$f( x)$$ लेता है उच्चतम मूल्य?

उत्तर: -2।

इस कार्य में, आपको निम्नलिखित को याद रखने की आवश्यकता है: व्युत्पन्न ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि कार्य घट रहा है। हमारे मामले में, मनमाना ग्राफ पूरे अंतराल पर ऑक्स अक्ष के नीचे है [-2; 3] (तथ्य यह है कि यह "कूदता है" किसी भी तरह से फ़ंक्शन की कमी को प्रभावित नहीं करता है: यह कहीं तेजी से घटता है, कहीं धीमा)। चूँकि फलन पूरे खंड पर घट रहा है, तो इसका अधिकतम मान खंड के आरंभ में होगा।

टास्क 8. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

यदि किसी अष्टफलक के सभी किनारों को आधा कर दिया जाए तो उसका आयतन कितने गुना कम हो जाएगा?

उत्तर: 8.

इन कार्यों को हल करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि परिधि समान आंकड़ेसमानता गुणांक के रूप में संबंधित हैं, क्षेत्र समानता गुणांक के वर्ग के रूप में हैं, और वॉल्यूम समानता गुणांक के घन के रूप में हैं। यही है, यदि आप किनारे को आधा कर देते हैं, तो वॉल्यूम 8 गुना बदल जाएगा

टास्क 9. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

व्यंजक का मूल्य ज्ञात कीजिए $$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))$$ for $$a=0.1$$।

उत्तर: 10.

$$\frac(\sqrt(a)\cdot\sqrt(a))(a\cdot\sqrt(a))=$$ $$\frac(a^(\frac(1)(4))\cdot a^(\frac(1)(12)))(a\cdot a^(\frac(1)(3)))=$$ $$a^(\frac(1)(4)+\frac( 1)(12)-1-\frac(1)(3))=$$ $$a^(-1)=\frac(1)(0,1)=10$$

टास्क 10. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

पानी में डाइविंग बेल, $$p_(1)=1.2$$ वायुमंडल के दबाव में $$v=4$$ मोल हवा को धीरे-धीरे जलाशय के तल तक उतारा जाता है। साथ ही होता है इज़ोटेर्मल संपीड़नवायु। हवा के संपीड़ित होने पर पानी द्वारा किया गया कार्य (जूल में) $$A=\alpha vT\log_(2)\frac(p_(2))(p_(1))$$ द्वारा दिया जाता है, जहां α=5.75- स्थिर, T =300 K हवा का तापमान है, $$p_(1)$$ (atm) प्रारंभिक दबाव है, और $$p_(2)$$ (atm) घंटी में अंतिम वायुदाब है। यदि वायु को संपीडित करते समय 20,700 J से अधिक कार्य न किया जाए तो घंटी में वायु को किस अधिकतम दाब $$p_(2)$$ (atm में) तक संपीडित किया जा सकता है?

उत्तर: 9.6।

$$20700=5.75\cdot4\cdot300\log_(2)\frac(p_(2))(1,2)\Leftrightarrow $$$$\log_(2)\frac(p_(2))(1, 2) =\frac(20700)(23\cdot300)=3\Leftrightarrow $$$$\frac(p_(2))(1,2)=2^(3)=8\Leftrightarrow $$$$p_( 2) =1.2\cdot8=9.6$$

टास्क 11. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

एक मोटर जहाज, जिसकी स्थिर जल में गति 24 किमी/घंटा है, नदी के किनारे से गुजरता है और पार्किंग के बाद अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाता है। धारा की गति 2 किमी/घंटा है, ठहराव 4 घंटे तक रहता है, और जहाज प्रस्थान के 16 घंटे बाद प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाता है। पूरी यात्रा के दौरान जहाज ने कितने किलोमीटर की यात्रा की?

उत्तर : 286.

मान लीजिए x दूरी एक तरफ है। बहाव की गति 24+2=26 है, जबकि वर्तमान 24-2=22 है। ठहरने की अवधि 4 घंटे थी, इसलिए तैराकी स्वयं 16-4 = 12 थी। समय दिया गयाअपस्ट्रीम और डाउनस्ट्रीम समय का योग प्राप्त होता है:

$$\frac(x)(26)+\frac(x)(22)=12\Leftrightarrow$$$$\frac(24x)(11\cdot13\cdot2)=12\Leftrightarrow $$$$x=\ फ़्रैक(11\cdot12\cdot13\cdot2)(24)=143$$

तब राउंड ट्रिप की दूरी 143-143=286 किमी थी।

टास्क 12. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु खोजें $$y=x\sin x+\cos x-\frac(3)(4)\sin x$$ अंतराल में $$(0;\frac(\pi)(2)) $$

उत्तर: 0.75।

$$y"=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac(3)(4)\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac(3)(4 ))=0\Leftrightarrow $$$$x=0.75 ; x=\frac(\pi)(2)+\pi*n, n \in Z$$

हम समन्वय रेखा पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करते हैं और व्युत्पन्न के संकेतों को व्यवस्थित करते हैं (पहले, हम व्युत्पन्न में शामिल प्रत्येक कारक पर विचार करेंगे, फिर केवल व्युत्पन्न के संकेत, कारकों के उत्पाद के रूप में):

जैसा कि आप आकृति से देख सकते हैं (एफ = 0 - उस खंड की शुरुआत जिस पर हम देख रहे हैं), न्यूनतम बिंदु x = 0.75 है।

टास्क 13. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

ए) समीकरण हल करें $$\cos2(x+\frac(\pi)(3))+4\sin(x+\frac(\pi)(3))=\frac(5)(2)$$

बी) जड़ों का पता लगाएं खंड से संबंधित$$[-\frac(\pi)(2);\pi]$$

उत्तर: $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$।

चलो $$x+\frac(\pi)(3)=y$$;

$$\cos2y+4\sin y=\frac(5)(2)\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(5)(2)=0\ बायां तीर $$$$-2\sin^(2)y+4\sin y-\frac(3)(2)=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^(2)y-8\sin y+3 =0$$;

$$\sin y=\frac(8+4)(8)=\frac(3)(2)$$ - कोई समाधान नहीं;

$$\sin y=\frac(8-4)(8)=\frac(1)(2)\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)y=\frac(\pi)(6 )+2\pi n,n\in Z\\y=\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.\Leftrightarrow $$$$\ लेफ्ट\(\begin(matrix)x+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x+\frac(\pi)(3) =\frac(5\pi)(6)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.\Leftrightarrow $$$$\left\(\begin(matrix)x=-\frac( \pi)(6)+2\pi n,n\in Z\\x=\frac(\pi)(2)+2\pi n,n\in Z\end(matrix)\right.$$

चलो बनाये यूनिट सर्कल, जड़ों को नोट करें सामान्य दृष्टि सेऔर अंतराल और जड़ों के विशेष मामले खोजें:

जाहिर है, इन खंडों में गिरने वाली जड़ें हैं $$-\frac(\pi)(6);\frac(\pi)(2)$$

कार्य 14. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

नींव चतुर्भुज पिरामिडएसएबीसीडी एबीसीडी का वर्ग है जिसकी भुजा AB=4 है। साइड रिब 4 के बराबर SC ​​पिरामिड के आधार के लंबवत है। विमान $$\alpha$$ शीर्ष C से होकर जाता है जो रेखा BD के समानांतर है, बिंदु M पर किनारे SA को प्रतिच्छेद करता है, और SM:MA=1:2

ए) साबित करें कि $$SA\perp\alpha$$

बी) विमान $$\alpha$$ . द्वारा पिरामिड SABCD के पार-अनुभागीय क्षेत्र का पता लगाएं

उत्तर: $$\frac(8\sqrt(3))(3)$$।

ए) 1) $$AS=\sqrt(16+32)=4\sqrt(3)$$; $$ AM=\frac(4\sqrt(3)\cdot2)(3)$$; $$MS=\frac(4\sqrt(3))(3)$$; $$MC=\frac(4\cdot4\sqrt(2))(4\sqrt(3))=\frac(4\sqrt(2))(\sqrt(3))=\frac(4\sqrt( 6))(3)$$; $$4^(2)=(\frac(4\sqrt(6))(3))^(2)+(\frac(4\sqrt(3))(3))^(2)=\frac( 16\cdot6+16\cdot3)(9)=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

बी) 1) $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(MS)(SA)\cdot\frac(AO)(OC)=1$$; $$\frac(CE)(EM)\cdot\frac(1)(3)\cdot\frac(1)(1)=1$$; $$\frac(CE)(EM)=\frac(3)(1)$$$\Rightarrow$$ $$CE=\frac(3)(4)\cdot CM=\frac(3)(4 )\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)=\sqrt(6)$$

2) $$\cos ACM=\frac(CM)(AC)=\frac(\frac(4\sqrt(6))(3))(4\sqrt(2))=\frac(\sqrt(3) ))(3)$$; $$OE=\sqrt(OC^(2)+CE^(2)-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM)=$$ $$\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+ (\sqrt(6))^(2)-2\cdot2\sqrt(2)\cdot\sqrt(6)\cdot\frac(\sqrt(3))(3))=$$ $$\sqrt( 8+6-\frac(4\cdot6)(3))=\sqrt(6)$$

3) $$SO=\sqrt(OC^(2)+SC^(2))=\sqrt((2\sqrt(2))^(2)+4^(2))=\sqrt(24) $$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt(6)-\sqrt(6)=\sqrt(6)$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - मध्य पंक्ति$$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac(1)(2)DB=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(2)=2\sqrt(2)$ $;

4) $$S_(CKMN)=\frac(1)(2)\cdot CM\cdot NK=\frac(1)(2)\cdot\frac(4\sqrt(6))(3)\cdot2\ sqrt(2)=\frac(4\cdot\sqrt(12))(3)=\frac(8\sqrt(3))(3)$$

कार्य 15. परीक्षा संख्या 229 लरीना का प्रशिक्षण संस्करण।

असमानता को हल करें $$\log_(x-2)\frac(1)(5)\geq\log_(\frac(x-3)(x-5))\frac(1)(5)$$

उत्तर: $$x\in)