गणित - सुंदर कठिन विषय, लेकिन में स्कूल पाठ्यक्रमइसे सब कुछ से गुजरना होगा। छात्रों के लिए आंदोलन कार्य विशेष रूप से कठिन हैं। समस्याओं के बिना कैसे हल किया जाए और बहुत समय बिताया जाए, हम इस लेख में विचार करेंगे।

ध्यान दें कि यदि आप अभ्यास करते हैं, तो इन कार्यों में कोई कठिनाई नहीं होगी। निर्णय प्रक्रिया को स्वचालितता के लिए विकसित किया जा सकता है।

किस्मों

इस प्रकार के कार्य का क्या अर्थ है? ये काफी सरल और सरल कार्य हैं, जिनमें निम्नलिखित किस्में शामिल हैं:

• आनेवाला यातायात;
• बाद;
• में आंदोलन उल्टी दिशा;
• नदी आंदोलन।

हम प्रत्येक विकल्प पर अलग से विचार करने का प्रस्ताव करते हैं। बेशक, हम केवल उदाहरणों पर विश्लेषण करेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस सवाल पर आगे बढ़ें कि आंदोलन के लिए समस्याओं को कैसे हल किया जाए, यह एक सूत्र पेश करने लायक है, जिसकी हमें इस प्रकार के सभी कार्यों को हल करते समय आवश्यकता होगी।

सूत्र: एस = वी * टी। एक छोटी सी व्याख्या: एस पथ है, अक्षर वी गति की गति को दर्शाता है, और अक्षर टी समय को दर्शाता है। सभी राशियों को इस सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, गति समय से विभाजित दूरी के बराबर है, और समय गति से विभाजित दूरी है।

की ओर आंदोलन

यह सबसे सामान्य प्रकार का कार्य है। समाधान का सार समझने के लिए, विचार करें अगला उदाहरण. शर्त: "साइकिल पर दो दोस्त एक ही समय पर एक दूसरे की ओर निकलते हैं, जबकि एक घर से दूसरे घर तक का रास्ता 100 किमी है। 120 मिनट के बाद दूरी क्या होगी, यदि यह ज्ञात हो कि एक की गति 20 किमी है प्रति घंटा, और दूसरा पन्द्रह है।" आइए इस सवाल पर आगे बढ़ें कि साइकिल चालकों के आने वाले आंदोलन की समस्या को कैसे हल किया जाए।

ऐसा करने के लिए, हमें एक और शब्द पेश करना होगा: "अभिसरण की गति"। हमारे उदाहरण में, यह 35 किमी प्रति घंटा (20 किमी प्रति घंटा + 15 किमी प्रति घंटा) के बराबर होगा। यह समस्या के समाधान की दिशा में पहला कदम होगा। अगला, हम दृष्टिकोण की गति को दो से गुणा करते हैं, क्योंकि वे दो घंटे तक चले: 35 * 2 = 70 किमी। हमने पाया है कि साइकिल चालक 120 मिनट में कितनी दूरी तय करेंगे। अंतिम क्रिया बनी हुई है: 100-70 = 30 किलोमीटर। इस गणना से हमने साइकिल चालकों के बीच की दूरी का पता लगाया। उत्तर : 30 किमी.

अगर आपको समझ नहीं आ रहा है कि अप्रोच की स्पीड का इस्तेमाल कर आने वाले ट्रैफिक की समस्या का समाधान कैसे किया जाए तो दूसरे विकल्प का इस्तेमाल करें।

दूसरा रास्ता

सबसे पहले, हम उस पथ का पता लगाते हैं जिस पर पहले साइकिल चालक ने यात्रा की थी: 20*2=40 किलोमीटर। अब दूसरे दोस्त का रास्ता: पंद्रह गुना दो, जो तीस किलोमीटर के बराबर होता है. हम पहले और दूसरे साइकिल चालकों द्वारा तय की गई दूरी को जोड़ते हैं: 40+30=70 किलोमीटर। हमने सीखा कि उन्होंने किस रास्ते को एक साथ तय किया, इसलिए यह पूरे रास्ते से तय की गई दूरी को घटाना बाकी है: 100-70 = 30 किमी। उत्तर : 30 किमी.

हमने पहले प्रकार की गति समस्या पर विचार किया है। उन्हें कैसे हल करें, अब यह स्पष्ट है, आइए अगले फॉर्म पर चलते हैं।

विपरीत दिशा में आंदोलन

शर्त: "दो खरगोश एक ही छेद से विपरीत दिशा में सरपट दौड़े। पहले की गति 40 किमी प्रति घंटा है, और दूसरी की गति 45 किमी प्रति घंटा है। दो घंटे में वे एक दूसरे से कितनी दूर होंगे?"

यहां, पिछले उदाहरण की तरह, दो संभावित समाधान हैं। पहले में, हम सामान्य तरीके से आगे बढ़ेंगे:

1. पहले खरगोश का रास्ता: 40*2=80 किमी.
2. दूसरे खरगोश का रास्ता: 45*2=90 किमी.
3. जिस रास्ते पर उन्होंने एक साथ यात्रा की: 80+90=170 किमी। उत्तर: 170 किमी।

लेकिन दूसरा विकल्प भी संभव है।

हटाने की गति

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, इस कार्य में पहले की तरह ही दिखाई देगा नया शब्द. निम्नलिखित प्रकार की गति समस्या पर विचार करें, निष्कासन दर का उपयोग करके उन्हें कैसे हल किया जाए।

हम इसे सबसे पहले पाएंगे: 40 + 45 = 85 किलोमीटर प्रति घंटा। यह पता लगाना बाकी है कि उन्हें अलग करने वाली दूरी क्या है, क्योंकि अन्य सभी डेटा पहले से ही ज्ञात हैं: 85 * 2 = 170 किमी। उत्तर: 170 किमी। हमने पारंपरिक तरीके से गति की समस्याओं के समाधान के साथ-साथ दृष्टिकोण और हटाने की गति का उपयोग करने पर विचार किया।

के बाद पीछा करना

आइए एक समस्या का एक उदाहरण देखें और इसे एक साथ हल करने का प्रयास करें। शर्त: "दो स्कूली बच्चे, किरिल और एंटोन, ने स्कूल छोड़ दिया और 50 मीटर प्रति मिनट की गति से चले गए। कोस्त्या ने छह मिनट बाद 80 मीटर प्रति मिनट की गति से उनका पीछा किया। कोस्त्या किरिल और एंटोन के साथ कब तक पकड़ेंगे? "

तो, आगे बढ़ने के लिए समस्याओं का समाधान कैसे करें? यहां हमें अभिसरण की गति की आवश्यकता है। केवल इस मामले में यह जोड़ने लायक नहीं है, लेकिन घटाना है: 80-50 \u003d 30 मीटर प्रति मिनट। दूसरे चरण में, हम यह पता लगाते हैं कि कोस्त्या के जाने से पहले स्कूली बच्चे कितने मीटर अलग हैं। इसके लिए 50*6=300 मीटर। अंतिम क्रिया उस समय को खोजना है जिसके दौरान कोस्त्या किरिल और एंटोन के साथ पकड़ लेंगे। ऐसा करने के लिए, 300 मीटर के पथ को 30 मीटर प्रति मिनट की गति से विभाजित किया जाना चाहिए: 300:30 = 10 मिनट। उत्तर: 10 मिनट में।

जाँच - परिणाम

पूर्वगामी के आधार पर, कुछ निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

• गति की समस्याओं को हल करते समय, दृष्टिकोण और हटाने की गति का उपयोग करना सुविधाजनक होता है;
• अगर हम बात कर रहे हेएक दूसरे से आने वाली गति या गति के बारे में, तो ये मात्राएँ वस्तुओं की गति को जोड़कर ज्ञात की जाती हैं;
• यदि हमें आगे बढ़ने के कार्य का सामना करना पड़ता है, तो हम क्रिया का उपयोग करते हैं, जोड़ के विपरीत, यानी घटाव।

हमने आंदोलन के लिए कुछ समस्याओं पर विचार किया है, उन्हें कैसे हल किया जाए, इसका पता लगाया, "दृष्टिकोण की गति" और "हटाने की गति" की अवधारणाओं से परिचित हो गए, यह अंतिम बिंदु पर विचार करना बाकी है, अर्थात्: समस्याओं को कैसे हल किया जाए नदी के किनारे आंदोलन?

प्रवाह

यहाँ आप फिर से मिल सकते हैं:

• एक दूसरे की ओर बढ़ने के लिए कार्य;
• पीछा आंदोलन;
• विपरीत दिशा में आंदोलन।

लेकिन पिछले कार्यों के विपरीत, नदी की प्रवाह दर होती है जिसे नजरअंदाज नहीं किया जाना चाहिए। यहाँ वस्तुएँ या तो नदी के साथ-साथ चलेंगी - फिर इस गति को इसमें जोड़ा जाना चाहिए अपनी गतिवस्तुओं, या धारा के विपरीत - इसे वस्तु की गति से घटाया जाना चाहिए।

नदी के किनारे चलने के लिए कार्य का एक उदाहरण

दशा: धारा के विपरीत 120 किमी प्रति घंटे की गति से नीचे की ओर गई और धारा की तुलना में दो घंटे कम समय व्यतीत करते हुए वापस लौटी। जेट स्की की गति कितनी होती है? ठहरा हुआ पानी?" हमें एक किलोमीटर प्रति घंटे के बराबर करंट स्पीड दी जाती है।

आइए समाधान पर चलते हैं। हम इसके लिए एक टेबल बनाने का प्रस्ताव करते हैं अच्छा उदाहरण. मान लीजिए कि स्थिर जल में मोटरसाइकिल की गति x है, तो अनुप्रवाह की गति x + 1 है, और x-1 के विपरीत है। राउंड ट्रिप की दूरी 120 किमी है। यह पता चला है कि धारा के प्रतिकूल जाने में लगने वाला समय 120:(x-1) और अनुप्रवाह 120:(x+1) है। यह ज्ञात है कि 120:(x-1) 120:(x+1) से दो घंटे कम है। अब हम तालिका भरने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हमारे पास क्या है: (120/(x-1))-2=120/(x+1) प्रत्येक भाग को (x+1)(x-1) से गुणा करें;

120(x+1)-2(x+1)(x-1)-120(x-1)=0;

हम समीकरण हल करते हैं:

हम देखते हैं कि यहां दो उत्तर हैं: + -11, क्योंकि -11 और +11 दोनों 121 वर्ग देते हैं। लेकिन हमारा उत्तर हां होगा, क्योंकि मोटरसाइकिल की गति नहीं हो सकती है ऋणात्मक मानइसलिए, हम उत्तर लिख सकते हैं: 11 किमी प्रति घंटा। इस प्रकार, हमें आवश्यक मात्रा, अर्थात् शांत जल में गति ज्ञात हो गई है।

हमने सब कुछ कवर कर लिया है संभावित विकल्पआंदोलन के लिए कार्य, अब उन्हें हल करते समय आपको समस्याएँ और कठिनाइयाँ नहीं होनी चाहिए। उन्हें हल करने के लिए, आपको पता होना चाहिए मूल सूत्रऔर "दृष्टिकोण और हटाने की गति" जैसी अवधारणाएं। धैर्य रखें, इन कार्यों को पूरा करें, सफलता मिलेगी।

आने वाले यातायात के लिए कार्य

ज़्यादातर सरल कार्यआने वाले यातायात पर पहले से ही 4 वीं कक्षा में तय करना शुरू करते हैं। ऐसी समस्याओं का समाधान आमतौर पर 2 - 3 चरणों में किया जाता है। आने वाले ट्रैफ़िक के लिए सभी कार्यों में, इस तरह की अवधारणा का उपयोग किया जाता है: दृष्टिकोण गति, अर्थात। दो पिंडों की कुल गति जिसके साथ वे एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं। आने वाले यातायात के लिए समस्याओं को हल करने में दृष्टिकोण गति एक महत्वपूर्ण मूल्य है।

आने वाले यातायात के लिए समस्याओं को हल करने का मुख्य सूत्र वही सूत्र है, जहां गति और समय के संदर्भ में दूरी व्यक्त की जाती है:

एस = वी टी

इस सूत्र के अनुप्रयोग की एक विशेषता यह है कि दो पिंडों के दृष्टिकोण की गति को गति के रूप में लिया जाता है, अर्थात। उनकी गति का योग। ये है आने वाले ट्रैफिक की स्पीड जिसके बारे में हमने बात की थी. इस प्रकार, आने वाले यातायात के लिए समस्याओं को हल करने का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एस = वी (दृष्टिकोण) टी

वी (दृष्टिकोण) = वी 1 + वी 2

जहाँ v 1 पहले शरीर की गति है, v 2 दूसरे शरीर की गति है।

आने वाले ट्रैफ़िक के लिए कार्यों के उदाहरण:

1) दो घाटों से, जिनके बीच की दूरी 90 किमी है, दो मोटर जहाज एक साथ एक दूसरे की ओर चले गए। पहला जहाज 20 किमी/घंटा की गति से आगे बढ़ रहा था, दूसरा 25 किमी/घंटा की गति से। वे कितने घंटे बाद मिले?

2) दो निगल 23 मीटर/सेकेंड की गति से उड़ते हैं। यदि उनके बीच की दूरी 920 मीटर है तो वे कितने सेकंड में मिलेंगे?

3) दो ट्रेनें एक ही समय में दो शहरों से एक-दूसरे की ओर निकलती हैं। एक ट्रेन 63 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रही थी। यदि शहरों के बीच की दूरी 564 किमी है, तो दूसरी ट्रेन की गति क्या थी? ट्रेनें 4 घंटे के बाद मिलीं।

4) दो बर्थों से, जिनके बीच की दूरी 90 किमी है, दो नावें एक साथ एक-दूसरे की ओर जाती हैं। पहला 8 किमी/घंटा की गति से चला, दूसरा - 10 किमी/घंटा की गति से। कितने घंटे बाद नावें मिलीं?

5) एक साइकिल चालक और एक मोटर साइकिल चालक एक ही समय पर गांव और शहर से एक दूसरे की ओर निकलते हैं। साइकिल चालक 16 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रहा था और मोटरसाइकिल चालक 54 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रहा था। साइकिल सवार ने मिलने से पहले 48 किमी की यात्रा की। मिलने से पहले मोटरसाइकिल सवार ने कितनी दूर की यात्रा की?

6) दो लड़के एक साथ एक स्पोर्ट्स ट्रैक के साथ-साथ एक दूसरे की ओर दौड़े, जिसकी लंबाई 200 मीटर है। वे 20 सेकंड के बाद मिले। पहले वाला 5 मीटर/सेकेंड की गति से दौड़ा। दूसरा लड़का कितनी तेजी से दौड़ रहा था?

7) एक ही समय में दो स्टेशन बचे माल गाडियांऔर 5 घंटे बाद मिले। एक ट्रेन ने 29 किमी प्रति घंटे की यात्रा की, और दूसरी ने 35 किमी की दूरी तय की। इन स्टेशनों के बीच की दूरी क्या है?

8) 2 बसें एक ही समय में दो शहरों से एक दूसरे की ओर निकलती हैं। पहली बस की गति 25 किमी/घंटा है, दूसरी की गति 50 किमी/घंटा है। पहली बस बैठक से 100 किमी पहले गुजरी। बैठक से पहले दूसरी बस ने कितने किलोमीटर की यात्रा की?

9) दोनों शहरों के बीच की दूरी 81 किमी है। दो साइकिल सवार एक ही समय पर एक दूसरे की ओर चले गए। एक साइकिल चालक दूसरे की तुलना में प्रति घंटे 3 किमी अधिक यात्रा करता है। यदि प्रस्थान के 3 घंटे बाद बैठक हुई तो वे शहरों से कितनी दूरी पर मिले?

10) दो सवार एक ही समय में दो बिंदुओं से एक दूसरे की ओर निकलते हैं, जिसके बीच की दूरी 100 किमी है। सवार 4 घंटे बाद मिले। पहले सवार की गति ज्ञात कीजिए यदि दूसरे की गति 13 किमी/घंटा है।

11) एक नाव और एक नाव एक ही समय में दो घाटों से एक दूसरे की ओर प्रस्थान करती है। बैठक से पहले, नाव ने 48 किमी, और नाव - 24 किमी की यात्रा की। नाव की गति - 8 किमी / घंटा। नाव की गति ज्ञात कीजिए।

12) दो नावें एक साथ दो घाटों से एक-दूसरे की ओर निकलीं, जो 3 घंटे बाद मिलीं।एक नाव की गति 15 किमी / घंटा है, दूसरी नाव की गति 18 किमी / घंटा है। पियर्स के बीच की दूरी का पता लगाएं।

13) दो मोटरसाइकिल सवार एक ही समय में दो शहरों को एक दूसरे की ओर छोड़ गए। एक मोटरसाइकिल सवार 80 किमी/घंटा की गति से चल रहा था। मिलने से पहले उन्होंने 320 किमी का सफर तय किया। यदि वह 65 किमी/घंटा की गति से आगे बढ़ रहा था, तो दूसरा मोटरसाइकिल सवार बैठक से पहले कितनी दूर चला गया?

14) एक नाव और एक नाव एक ही समय में दो घाटों से एक दूसरे की ओर जाती है और 3 घंटे बाद मिलती है।नाव की गति 15 किमी / घंटा है, नाव की गति 4 गुना अधिक है। पियर्स के बीच की दूरी का पता लगाएं।

15) दो विमान एक साथ दो हवाई क्षेत्रों से एक दूसरे की ओर उड़ान भरते हैं और 3 घंटे बाद मिलते हैं।एक विमान की गति 600 किमी प्रति घंटा है, और दूसरे विमान की गति 900 किमी / घंटा है। हवाई क्षेत्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

16) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 840 किमी है, एक ही समय में 2 ट्रेनें एक-दूसरे की ओर निकलती हैं। पहली ट्रेन की गति 100 किमी/घंटा है, दूसरी - 10 किमी/घंटा अधिक। ट्रेनें कितने घंटे में मिलेंगी?

17) एक नाव और एक नाव एक ही समय में दो घाटों से एक दूसरे की ओर प्रस्थान करती है। वे 5 घंटे बाद मिले। नाव की गति 12 किमी/घंटा है, और नाव की गति 5 गुना अधिक है। पियर्स के बीच की दूरी का पता लगाएं।

18) एक स्टीमर सुबह 11 बजे एक घाट से 15 किमी/घंटा की गति से गुजरा, और दूसरे घाट से अगली सुबह 3 बजे उसकी ओर रवाना हुआ, 17 किमी/घंटा की गति से गुजरते हुए एक और स्टीमर चला गया। यदि पियर्स के बीच 380 किमी की दूरी है, तो दूसरे स्टीमर के प्रस्थान के कितने घंटे बाद वे मिलेंगे?

19) दो पर्यटक, जिनके बीच की दूरी 140 किमी है, एक के बाद एक 3 घंटे के बाद एक दूसरे की ओर प्रस्थान करते हैं। पहले वाले के प्रस्थान के कितने घंटे बाद वे मिलेंगे यदि पहले ने 10 किमी/घंटा और दूसरे ने 12 किमी/घंटा की यात्रा की?

20) एक मोटर जहाज और एक नाव एक ही समय में दोनों घाटों को एक दूसरे की ओर छोड़ गए। जहाज 33 किमी / घंटा की गति से आगे बढ़ रहा था, और नाव - 25 किमी / घंटा। 3 घंटे बाद मिले। पियर्स के बीच की दूरी क्या है?

21) एक ही समय में दो गांवों से एक लड़की एक दूसरे की ओर निकली, जो 3 किमी / घंटा की गति से चलती थी, और एक लड़का, जो लड़की से 2 गुना तेज चलता था। बैठक 4 घंटे बाद हुई। गांवों के बीच की दूरी कितनी है?

22) दो ट्रेनें दो स्टेशनों से एक-दूसरे की ओर जाती हैं, जिनके बीच की दूरी 385 किमी है। पहला वाला 2 घंटे पहले निकल जाता है और 53 किमी/घंटा की गति से चलता है। दूसरी ट्रेन छूटने के 3 घंटे बाद वे मिले। दूसरी ट्रेन की गति क्या है?

23) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 484 किमी है, दो ट्रेनें एक ही समय में एक-दूसरे की ओर निकलती हैं। एक ट्रेन की गति 45 किमी/घंटा है। यदि ट्रेनें 4 घंटे बाद मिलती हैं तो दूसरी ट्रेन की गति निर्धारित करें।

24) यात्री और मालगाड़ियाँ एक ही समय में दो शहरों से एक-दूसरे की ओर प्रस्थान करती हैं। वे 12 घंटे बाद मिले। शहरों के बीच की दूरी क्या है यदि यह ज्ञात है कि एक यात्री ट्रेन की गति 75 किमी/घंटा है, और एक मालगाड़ी की गति 35 किमी/घंटा है?

25) दो ट्रेनें एक ही समय में दो शहरों से एक-दूसरे की ओर निकलती हैं। एक 42 किमी/घंटा की गति से चल रहा था, और दूसरा - 52 किमी/घंटा। 6 घंटे के बाद ट्रेनें मिलीं। शहरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

26) दोनों शहरों के बीच नदी के किनारे की दूरी 275 किमी है। एक स्टीमबोट और एक बजरा एक ही समय में इन शहरों को एक-दूसरे की ओर छोड़ गया। जहाज 28 किमी/घंटा की गति से आगे बढ़ रहा था। बजरा की गति ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि स्टीमर के साथ इसकी मुलाकात जाने के 5 घंटे बाद हुई थी।

27) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 1380 किमी है, दो ट्रेनें एक ही समय में एक-दूसरे की ओर निकलती हैं और 10 घंटे बाद मिलती हैं। उनमें से एक की गति 75 किमी/घंटा है। दूसरी ट्रेन की गति ज्ञात कीजिए।

28) गांवों के बीच की दूरी 48 किमी है। दो पैदल यात्री कितने घंटे बाद मिलेंगे, जो एक ही समय में एक दूसरे की ओर निकले, यदि एक की गति 3 किमी/घंटा है और दूसरे की गति 5 किमी/घंटा है?

29) गांव से शहर तक 340 किमी. एक मोटरसाइकिल सवार एक गांव से एक शहर की यात्रा 42 किमी/घंटा की गति से करता है। 2 घंटे के बाद, एक साइकिल चालक 22 किमी/घंटा की गति से उसकी ओर दौड़ा। वे कितने घंटे में मिलेंगे?

30) दो मोटर साइकिल चालक एक ही समय में दो शहरों को एक दूसरे की ओर छोड़ते हैं और 10 मिनट के बाद मिले। उनमें से एक की गति 920 मीटर/मिनट है, और दूसरे की 970 मीटर/मिनट है। शहरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

31) दो ट्रेनें एक शहर से दूसरे शहर में एक ही समय पर एक दूसरे की ओर निकलती हैं और 9 घंटे के बाद मिलती हैं। एक ट्रेन की गति 48 किमी/घंटा है, और दूसरी की गति दूसरी की तुलना में 5 किमी/घंटा अधिक है। शहरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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