"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - ज्यादातर स्कूली बच्चे बिना सवाल पूछे इस नियम को दिल से याद कर लेते हैं। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और यदि आप इसके उत्तर में पूछें तो क्या होगा: "क्यों?" लेकिन वास्तव में यह जानना बहुत ही रोचक और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार क्रियाएं - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को पूर्ण रूप से पहचानते हैं - जोड़ और गुणा। ये संचालन और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएं इन दोनों से किसी न किसी रूप में निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। क्या मतलब 5 – 3 ? छात्र इसका सरलता से उत्तर देगा: आपको पांच वस्तुओं को लेने की जरूरत है, उनमें से तीन को हटा दें (निकालें) और देखें कि कितनी शेष हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए, प्रवेश 5 – 3 एक संख्या का अर्थ है, जब किसी संख्या में जोड़ा जाता है 3 नंबर देंगे 5 . अर्थात 5 – 3 समीकरण के लिए सिर्फ एक आशुलिपि है: एक्स + 3 = 5. इस समीकरण में कोई घटाव नहीं है। एक ही काम है - ढूँढना उपयुक्त संख्या.

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। रिकॉर्डिंग 8: 4 आठ वस्तुओं के चार बराबर ढेर में विभाजन के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन यह वास्तव में समीकरण का एक छोटा रूप है 4 एक्स = 8.

यह वह जगह है जहां यह स्पष्ट हो जाता है कि शून्य से विभाजित करना असंभव (या असंभव) क्यों है। रिकॉर्डिंग 5: 0 के लिए एक संक्षिप्त नाम है 0 एक्स = 5. अर्थात्, यह कार्य एक संख्या ज्ञात करना है, जिसे गुणा करने पर 0 दे देंगे 5 . लेकिन हम जानते हैं कि जब से गुणा किया जाता है 0 हमेशा निकलता है 0 . यह शून्य की एक अंतर्निहित संपत्ति है, कड़ाई से बोलते हुए, इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

एक संख्या जिसे से गुणा करने पर 0 शून्य के अलावा कुछ और देगा, बस अस्तित्व में नहीं है। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है। (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता।) 5: 0 किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और यह बस किसी भी चीज़ के लिए खड़ा नहीं है और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की निरर्थकता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? दरअसल, समीकरण के बाद से 0 एक्स = 0सफलतापूर्वक हल किया गया। उदाहरण के लिए, आप ले सकते हैं एक्स = 0, और फिर हम प्राप्त करते हैं 0 0 = 0. यह पता चला है 0: 0=0 ? लेकिन चलो जल्दी मत करो। आइए लेने की कोशिश करें एक्स = 1. पाना 0 1 = 0. सही ढंग से? माध्यम, 0: 0 = 1 ? लेकिन आप कोई भी नंबर ले सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 आदि।

लेकिन अगर कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। यानी हम यह नहीं बता सकते कि कौन सी संख्या प्रविष्टि से मेल खाती है 0: 0 . और अगर ऐसा है तो हम यह मानने को मजबूर हैं कि इस रिकॉर्ड का भी कोई मतलब नहीं है. यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। (गणितीय विश्लेषण में, ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, कोई व्यक्ति इनमें से किसी एक को वरीयता दे सकता है विकल्पसमीकरण का हल 0 एक्स = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की विशेषता है। अधिक सटीक होने के लिए, गुणन संक्रिया और इससे जुड़ी संख्या शून्य है।

ठीक है, सबसे सूक्ष्म, इस बिंदु तक पढ़ने के बाद, पूछ सकता है: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक मायने में, असली गणित यहीं से शुरू होता है। आप इसका उत्तर औपचारिक से परिचित होने के बाद ही दे सकते हैं गणितीय परिभाषाएंसंख्यात्मक सेट और उन पर संचालन। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसका अध्ययन नहीं किया जाता है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित पर व्याख्यान में, आपको इसे पहले स्थान पर पढ़ाया जाएगा।

पहली कक्षा में सभी लोगों को शून्य से भाग देने का गणितीय नियम बताया गया। माध्यमिक स्कूल. "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते," उन्होंने हम सभी को सिखाया और पीठ में एक थप्पड़ के दर्द के तहत, शून्य से विभाजित करने और आम तौर पर इस विषय पर चर्चा करने से मना किया। हालाँकि कुछ प्राथमिक विद्यालय के शिक्षकों ने अभी भी यह समझाने की कोशिश की कि सरल उदाहरणों का उपयोग करके शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है, ये उदाहरण इतने अतार्किक थे कि इस नियम को याद रखना और बहुत सारे प्रश्न नहीं पूछना आसान था। लेकिन ये सभी उदाहरण इस कारण से अतार्किक थे कि शिक्षक हमें पहली कक्षा में तार्किक रूप से यह नहीं समझा सकते थे, क्योंकि पहली कक्षा में हम यह भी नहीं जानते थे कि समीकरण क्या है, लेकिन तार्किक रूप से यह है गणितीय नियमकेवल समीकरणों का उपयोग करके समझाया जा सकता है।

सभी जानते हैं कि किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करने पर एक शून्य निकलेगा। बिल्कुल खालीपन क्यों, हम बाद में विचार करेंगे।

सामान्य तौर पर, गणित में, संख्याओं वाली केवल दो प्रक्रियाओं को स्वतंत्र माना जाता है। यह जोड़ और गुणा है। शेष प्रक्रियाओं को इन दो प्रक्रियाओं का व्युत्पन्न माना जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।

मुझे बताओ, यह कितना होगा, उदाहरण के लिए, 11-10? हम सभी तुरंत उत्तर देंगे कि यह 1 होगा। और हमें ऐसा उत्तर कैसे मिला? कोई कहेगा कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि यह 1 होगा, कोई कहेगा कि उसने 11 सेबों में से 10 लिया और गणना की कि यह एक सेब निकला। तर्क की दृष्टि से तो सब कुछ सही है, लेकिन गणित के नियमों के अनुसार इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जाता है। यह याद रखना चाहिए कि जोड़ और गुणा को मुख्य प्रक्रिया माना जाता है, इसलिए आपको निम्नलिखित समीकरण बनाने की आवश्यकता है: x + 10 \u003d 11, और उसके बाद ही x \u003d 11-10, x \u003d 1. ध्यान दें कि जोड़ पहले आता है, और उसके बाद ही, समीकरण के आधार पर, हम घटा सकते हैं। ऐसा प्रतीत होगा, इतनी सारी प्रक्रियाएँ क्यों? आखिरकार, जवाब इतना स्पष्ट है। लेकिन केवल ऐसी प्रक्रियाएं शून्य से विभाजित करने की असंभवता की व्याख्या कर सकती हैं।

उदाहरण के लिए, हम यह करते हैं गणितीय समस्या: 20 को शून्य से भाग देना चाहते हैं। तो 20:00 = एक्स। यह पता लगाने के लिए कि यह कितना होगा, आपको यह याद रखना होगा कि विभाजन प्रक्रिया गुणा से होती है। दूसरे शब्दों में, विभाजन गुणन की व्युत्पन्न प्रक्रिया है। इसलिए, आपको गुणा से एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है। तो, 0*x=20. यहाँ मृत अंत है। जिस भी संख्या को हम शून्य से गुणा करते हैं, वह अभी भी 0 होगी, लेकिन 20 नहीं। यह वह जगह है जहाँ नियम इस प्रकार है: आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन किसी संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

यह एक और सवाल उठाता है: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? तो 0:0=x का अर्थ है 0*x=0. इस समीकरण को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, x=4, जिसका अर्थ है 0*4=0 लें। यह पता चला है कि यदि आप शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो आपको 4 मिलता है, लेकिन यहां भी सब कुछ इतना आसान नहीं है। यदि हम, उदाहरण के लिए, x=12 या x=13 लें, तो वही उत्तर आएगा (0*12=0)। सामान्य तौर पर, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, 0 फिर भी निकलेगा। इसलिए, यदि 0: 0, तो अनंत निकलेगा। यहाँ कुछ सरल गणित है। दुर्भाग्य से, शून्य को शून्य से विभाजित करने की प्रक्रिया भी व्यर्थ है।

सामान्य तौर पर, गणित में शून्य की संख्या सबसे दिलचस्प है। उदाहरण के लिए, हर कोई जानता है कि कोई भी संख्या शून्य की घात एक देती है। बेशक, इस तरह के एक उदाहरण के साथ असली जीवनहम नहीं मिलते हैं, लेकिन शून्य से विभाजन के साथ जीवन स्थितियांबहुत बार मिलते हैं। तो याद रखें कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

बहुत बार, बहुत से लोग आश्चर्य करते हैं कि शून्य से भाग का उपयोग करना असंभव क्यों है? इस लेख में, हम इस बारे में बहुत विस्तार से जानेंगे कि यह नियम कहाँ से आया है, साथ ही शून्य के साथ कौन से कार्य किए जा सकते हैं।

के साथ संपर्क में

शून्य को सबसे दिलचस्प संख्याओं में से एक कहा जा सकता है। इस नंबर का कोई मतलब नहीं है, इसका मतलब है खालीपन वस्तुत:शब्द। हालाँकि, यदि आप किसी अंक के आगे शून्य डालते हैं, तो इस अंक का मान कई गुना बड़ा हो जाएगा।

यह संख्या अपने आप में बेहद रहस्यमयी है। इसका उपयोग भी किया गया है प्राचीन लोगमाया। माया के लिए, शून्य का अर्थ है "शुरुआत", और उलटी गिनती पंचांग दिवसभी खरोंच से शुरू हुआ।

अत्यधिक रोचक तथ्ययह है कि शून्य चिह्न और अनिश्चितता चिह्न समान थे। इसी के साथ माया यह दिखाना चाहती थी कि जीरो एक ही है समान चिन्हसाथ ही अनिश्चितता। यूरोप में, शून्य का पद अपेक्षाकृत हाल ही में दिखाई दिया।

साथ ही जीरो से जुड़ी पाबंदी को भी बहुत से लोग जानते हैं। कोई भी व्यक्ति कहेगा कि शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता. यह स्कूल में शिक्षकों द्वारा कहा जाता है, और बच्चे आमतौर पर इसके लिए अपनी बात रखते हैं। आमतौर पर, बच्चों को या तो यह जानने में कोई दिलचस्पी नहीं होती है, या वे जानते हैं कि क्या होगा यदि, एक महत्वपूर्ण निषेध को सुनने पर, वे तुरंत पूछें "आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते?"। लेकिन जब आप बड़े हो जाते हैं, रुचि जागती है, और आप इस तरह के प्रतिबंध के कारणों के बारे में अधिक जानना चाहते हैं। हालांकि, उचित सबूत हैं।

शून्य के साथ क्रिया

पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि शून्य के साथ कौन से कार्य किए जा सकते हैं। अस्तित्व कई प्रकार की गतिविधियाँ:

• योग;
• गुणन;
• घटाव;
• डिवीजन (संख्या से शून्य);
• घातांक।

जरूरी!यदि किसी संख्या को जोड़ते समय शून्य जोड़ दिया जाए तो यह संख्या वही रहेगी और उसका परिवर्तन नहीं करेगी अंकीय मूल्य. किसी भी संख्या में से शून्य घटाने पर भी ऐसा ही होता है।

गुणा और भाग के साथ, चीजें थोड़ी अलग हैं। यदि एक किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करें, तो उत्पाद भी शून्य हो जाएगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए इसे एक अतिरिक्त के रूप में लिखें:

कुल मिलाकर पांच अतिरिक्त शून्य हैं, इसलिए यह पता चला है कि

आइए एक को शून्य से गुणा करने का प्रयास करें. परिणाम भी शून्य होगा।

शून्य को किसी अन्य संख्या से भी विभाजित किया जा सकता है जो इसके बराबर नहीं है। इस मामले में, यह निकलेगा, जिसका मूल्य भी शून्य होगा। एक ही नियम के लिए लागू होता है ऋणात्मक संख्या. यदि आप शून्य को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, तो आपको शून्य प्राप्त होता है।

आप कोई भी संख्या बढ़ा सकते हैं में शून्य डिग्री . इस मामले में, आपको 1 मिलता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अभिव्यक्ति "शून्य से शून्य शक्ति" बिल्कुल अर्थहीन है। यदि आप शून्य को किसी घात तक बढ़ाने का प्रयास करते हैं, तो आपको शून्य प्राप्त होता है। उदाहरण:

हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं, हमें 0 मिलता है।

क्या शून्य से भाग देना संभव है

तो, यहाँ हम मुख्य प्रश्न पर आते हैं। क्या शून्य से भाग देना संभव हैआम तौर पर? और एक संख्या को शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है, यह देखते हुए कि शून्य के साथ अन्य सभी ऑपरेशन पूरी तरह से मौजूद हैं और लागू होते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको उच्च गणित की ओर मुड़ना होगा।

आइए अवधारणा की परिभाषा से शुरू करें, शून्य क्या है? स्कूल के शिक्षककहो कि शून्य कुछ भी नहीं है। खालीपन। यानी जब आप कहते हैं कि आपके पास 0 पेन हैं, तो इसका मतलब है कि आपके पास बिल्कुल भी पेन नहीं है।

उच्च गणित में, "शून्य" की अवधारणा व्यापक है। इसका मतलब बिल्कुल भी खाली नहीं है। यहाँ शून्य को अनिश्चितता कहा जाता है, क्योंकि यदि हम ड्रा करते हैं थोड़ा शोध, यह पता चलता है कि शून्य को शून्य से विभाजित करने पर, हम परिणाम के रूप में कोई अन्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, जो जरूरी नहीं कि शून्य हो।

क्या आप जानते हैं कि वे सरल अंकगणितीय आपरेशनसकि आप स्कूल में पढ़ते हैं, आपस में इतने बराबर नहीं हैं? सबसे बुनियादी कदम हैं जोड़ और गुणा.

गणितज्ञों के लिए, "" और "घटाव" की अवधारणाएं मौजूद नहीं हैं। मान लीजिए: अगर पांच में से तीन घटाए जाते हैं, तो दो बचे रहेंगे। यह वही है जो घटाव जैसा दिखता है। हालाँकि, गणितज्ञ इसे इस तरह लिखेंगे:

इस प्रकार, यह पता चलता है कि अज्ञात अंतर एक निश्चित संख्या है जिसे 5 प्राप्त करने के लिए 3 में जोड़ने की आवश्यकता है। यानी, आपको कुछ भी घटाने की आवश्यकता नहीं है, आपको बस एक उपयुक्त संख्या खोजने की आवश्यकता है। यह नियम जोड़ पर लागू होता है।

चीजें थोड़ी अलग हैं गुणा और भाग नियम।यह ज्ञात है कि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य होता है। उदाहरण के लिए, यदि 3:0=x, तो यदि आप रिकॉर्ड को फ्लिप करते हैं, तो आपको 3*x=0 प्राप्त होता है। और जिस संख्या को 0 से गुणा किया जाता है वह गुणनफल में शून्य देगा। यह पता चला है कि एक संख्या जो शून्य के साथ उत्पाद में शून्य के अलावा कोई मूल्य देगी, वह मौजूद नहीं है। इसका मतलब है कि शून्य से भाग करना व्यर्थ है, यानी यह हमारे नियम के अनुकूल है।

लेकिन क्या होगा यदि आप शून्य को अपने आप से विभाजित करने का प्रयास करें? आइए x को कुछ अनिश्चित संख्या के रूप में लें। यह समीकरण 0 * x \u003d 0 प्राप्त करता है। इसे सुलझाया जा सकता है।

यदि हम x के स्थान पर शून्य लेने का प्रयास करते हैं, तो हमें 0:0=0 प्राप्त होता है। यह तार्किक प्रतीत होगा? लेकिन अगर हम x के बजाय कोई अन्य संख्या लेने की कोशिश करते हैं, उदाहरण के लिए, 1 तो हम 0:0=1 के साथ समाप्त होते हैं। यही स्थिति होगी यदि आप कोई अन्य संख्या लेते हैं और इसे समीकरण में प्लग करें.

इस मामले में, यह पता चला है कि हम किसी अन्य संख्या को एक कारक के रूप में ले सकते हैं। परिणाम एक अनंत संख्या होगी अलग संख्या. कभी-कभी, फिर भी, उच्च गणित में 0 से भाग देना समझ में आता है, लेकिन फिर आमतौर पर एक निश्चित स्थिति होती है जिसके कारण हम अभी भी एक उपयुक्त संख्या चुन सकते हैं। इस क्रिया को "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहा जाता है। साधारण अंकगणित में, शून्य से भाग फिर से अपना अर्थ खो देगा, क्योंकि हम समुच्चय में से कोई एक संख्या नहीं चुन पाएंगे।

जरूरी!शून्य को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

शून्य और अनंत

उच्च गणित में अनंत बहुत आम है। चूंकि स्कूली बच्चों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण नहीं है कि अनंत के साथ अभी भी गणितीय संचालन हैं, शिक्षक बच्चों को ठीक से यह नहीं समझा सकते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है।

मुख्य गणितीय रहस्यछात्र संस्थान के पहले वर्ष में ही सीखना शुरू करते हैं। उच्च गणित समस्याओं का एक बड़ा समूह प्रदान करता है जिसका कोई समाधान नहीं है। सबसे प्रसिद्ध समस्याएं अनंत के साथ समस्याएं हैं। उन्हें हल किया जा सकता है गणितीय विश्लेषण.

आप अनंत पर भी आवेदन कर सकते हैं प्रारंभिक गणितीय संचालन:इसके अलावा, एक संख्या से गुणा। घटाव और भाग का भी आमतौर पर उपयोग किया जाता है, लेकिन अंत में वे अभी भी दो सरल कार्यों के लिए आते हैं।

स्कूल में भी, शिक्षकों ने हमारे दिमाग में सबसे सरल नियम ठोकने की कोशिश की: "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य होता है!", - लेकिन फिर भी उसके आसपास लगातार काफी विवाद खड़ा हो जाता है। किसी ने सिर्फ नियम याद किया और "क्यों?" सवाल से परेशान नहीं हुआ। "आप यहाँ सब कुछ नहीं कर सकते, क्योंकि स्कूल में उन्होंने ऐसा कहा था, नियम ही नियम है!" कोई इस नियम को साबित करते हुए या इसके विपरीत, इसकी अतार्किकता को साबित करते हुए, आधा नोटबुक को सूत्रों से भर सकता है।

अंत में कौन सही है

इन विवादों के दौरान, दोनों लोग, विपरीत बिंदुदृष्टि, एक दूसरे को एक मेढ़े की तरह देखो, और अपनी पूरी ताकत के साथ साबित करो कि वे सही हैं। हालाँकि, यदि आप उन्हें एक तरफ से देखते हैं, तो आप एक नहीं, बल्कि दो मेढ़ों को अपने सींगों के साथ एक दूसरे के खिलाफ आराम करते हुए देख सकते हैं। उनमें केवल इतना अंतर है कि एक दूसरे की तुलना में थोड़ा कम शिक्षित है। अक्सर, जो लोग इस नियम को गलत मानते हैं, वे इस तरह से तर्क करने की कोशिश करते हैं:

मेरी मेज पर दो सेब हैं, अगर मैं उनमें शून्य सेब रख दूं, यानी मैं एक भी नहीं डालता, तो मेरे दो सेब इससे गायब नहीं होंगे! नियम अतार्किक है!

दरअसल, सेब कहीं भी गायब नहीं होंगे, लेकिन इसलिए नहीं कि नियम अतार्किक है, बल्कि इसलिए कि यहां थोड़ा अलग समीकरण का उपयोग किया गया है: 2 + 0 \u003d 2. तो आइए इस निष्कर्ष को तुरंत छोड़ दें - यह अतार्किक है, हालांकि इसके विपरीत है लक्ष्य - तर्क को बुलाना।

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गुणन क्या है

मूल गुणन नियमकेवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया था: गुणा एक संख्या है जो अपने आप में एक निश्चित संख्या में जोड़ी जाती है, जिसका अर्थ है संख्या की स्वाभाविकता। इस प्रकार, गुणा के साथ किसी भी संख्या को इस समीकरण में घटाया जा सकता है:

25x3 = 75

25 + 25 + 25 = 75

25x3 = 25 + 25 + 25

इस समीकरण से निष्कर्ष निकलता है, वह गुणन एक सरल जोड़ है.

शून्य क्या है

कोई भी व्यक्ति बचपन से जानता है: शून्य शून्य है। इस तथ्य के बावजूद कि इस शून्यता का एक पदनाम है, इसमें कुछ भी नहीं है। प्राचीन पूर्वी वैज्ञानिकों ने अन्यथा सोचा - उन्होंने दार्शनिक रूप से इस मुद्दे पर संपर्क किया और शून्यता और अनंत और आरी के बीच कुछ समानताएं खींचीं गहरा अर्थइस संख्या में। आखिर शून्य, जिसमें शून्यता का मान है, किसी के बगल में खड़ा है प्राकृतिक संख्या, इसे दस गुना गुणा करता है। इसलिए गुणन पर सभी विवाद - इस संख्या में इतनी असंगति है कि भ्रमित न होना मुश्किल हो जाता है। इसके अलावा, खाली बिट्स की पहचान करने के लिए शून्य का लगातार उपयोग किया जाता है दशमलव भाग, यह अल्पविराम से पहले और बाद दोनों में किया जाता है।

क्या खालीपन से गुणा करना संभव है

शून्य से गुणा करना संभव है, लेकिन यह बेकार है, क्योंकि, कोई कुछ भी कह सकता है, लेकिन ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर भी शून्य प्राप्त होगा। बस इस सरल नियम को याद रखना और यह प्रश्न फिर कभी नहीं पूछना पर्याप्त है। वास्तव में, सब कुछ पहली नज़र में जितना आसान लगता है, उससे कहीं अधिक सरल है। यहाँ नहीं हैं छिपे हुए अर्थऔर रहस्य, जैसा कि प्राचीन विद्वानों का मानना ​​था। सबसे तार्किक व्याख्या नीचे दी जाएगी कि यह गुणन बेकार है, क्योंकि किसी संख्या को इससे गुणा करने पर भी वही चीज़ प्राप्त होगी - शून्य।

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बहुत शुरुआत में वापस जाने पर, दो सेब के बारे में तर्क, 2 गुना 0 इस तरह दिखता है:

अगर आप दो सेब पांच बार खाते हैं, तो 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 सेब खाए

यदि आप उनमें से दो को तीन बार खाते हैं, तो 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 सेब खा लें

दो सेब जीरो बार खाओगे तो कुछ नहीं खायेगा - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

आखिर एक सेब को 0 बार खाने का मतलब एक भी सेब नहीं खाना है। यह भी स्पष्ट हो जाएगा एक छोटे बच्चे को. मानो या न मानो, 0 निकलेगा, दो या तीन को बिल्कुल किसी भी संख्या से बदला जा सकता है और बिल्कुल वही बात निकलेगी। और सीधे शब्दों में कहें तो, शून्य कुछ भी नहीं हैऔर जब आपके पास हो वहां कुछ भी नहीं है, तो आप कितना भी गुणा कर लें - यह सब समान है शून्य हो जाएगा. कोई जादू नहीं है, और कुछ भी सेब नहीं बनाएगा, भले ही आप 0 को दस लाख से गुणा करें। यह शून्य से गुणा के नियम की सबसे सरल, सबसे समझने योग्य और तार्किक व्याख्या है। एक ऐसे व्यक्ति के लिए जो सभी सूत्रों और गणित से दूर है, इस तरह की व्याख्या सिर में विसंगति को हल करने और सब कुछ ठीक होने के लिए पर्याप्त होगी।

उपरोक्त सभी से एक और महत्वपूर्ण नियम इस प्रकार है:

आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

यह नियम भी बचपन से ही हमारे सिर पर ठूंसा गया है। हम बस इतना जानते हैं कि यह असंभव है और यह सब हमारे सिर की चिंता किए बिना है अतिरिक्त जानकारी. यदि आपसे अचानक यह प्रश्न पूछा जाए कि किस कारण से शून्य से भाग देना मना है, तो बहुमत भ्रमित होगा और स्पष्ट रूप से उत्तर नहीं दे पाएगा। सबसे सरल प्रश्नसे स्कूल के पाठ्यक्रम, क्योंकि इस नियम को लेकर इतना विवाद और विवाद नहीं है।

सभी ने केवल नियम को याद किया और शून्य से विभाजित नहीं किया, यह संदेह किए बिना कि उत्तर सतह पर है। जोड़, गुणा, भाग और घटाव असमान हैं, केवल गुणा और जोड़ उपरोक्त से भरे हुए हैं, और संख्याओं के साथ अन्य सभी जोड़तोड़ उनसे निर्मित हैं। यानी प्रविष्टि 10: 2 समीकरण 2 * x = 10 का संक्षिप्त नाम है। इसलिए, प्रविष्टि 10: 0 0 * x = 10 के लिए एक ही संक्षिप्त नाम है। यह पता चलता है कि शून्य से विभाजन खोजने का कार्य है एक संख्या, 0 से गुणा करने पर, आपको 10 मिलता है और हमने पहले ही पता लगा लिया है कि ऐसी संख्या मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि इस समीकरण का कोई हल नहीं है, और यह एक प्राथमिक गलत होगा।

मैं आपको बता दूँ

0 से विभाजित नहीं करने के लिए!

साथ में, जैसे चाहें 1 काटें,

बस 0 से विभाजित न करें!

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शून्य से विभाजन। आकर्षक गणित

संख्या 0 को एक प्रकार की सीमा के रूप में दर्शाया जा सकता है जो वास्तविक संख्याओं की दुनिया को काल्पनिक या नकारात्मक से अलग करती है। अस्पष्ट स्थिति के कारण, इसके साथ कई ऑपरेशन अंकीय मूल्यआज्ञा न मानना गणितीय तर्क. शून्य से विभाजित करने की असंभवता उसके लिए उज्ज्वलउदाहरण। और सामान्य रूप से स्वीकृत परिभाषाओं का उपयोग करके शून्य के साथ अंकगणितीय संचालन की अनुमति दी जा सकती है।

शून्य का इतिहास

शून्य सभी में संदर्भ बिंदु है मानक प्रणालीकलन यूरोपीय लोगों ने अपेक्षाकृत हाल ही में इस संख्या का उपयोग करना शुरू किया, लेकिन बुद्धिमान पुरुष प्राचीन भारतयूरोपीय गणितज्ञों द्वारा नियमित रूप से खाली संख्या का उपयोग करने से पहले एक हजार साल तक शून्य का इस्तेमाल किया गया था। भारतीयों से पहले भी, माया संख्यात्मक प्रणाली में शून्य एक अनिवार्य मूल्य था। इस अमेरिकी लोगों ने ग्रहणी प्रणाली का उपयोग किया, और उन्होंने प्रत्येक महीने के पहले दिन की शुरुआत शून्य से की। दिलचस्प बात यह है कि माया के बीच, "शून्य" का संकेत पूरी तरह से "अनंत" के संकेत के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, प्राचीन माया ने निष्कर्ष निकाला कि ये मात्राएँ समान और अज्ञात थीं।

शून्य के साथ गणित संचालन

मानक गणितीय संचालनशून्य के साथ कई नियमों को कम किया जा सकता है।

जोड़: यदि आप एक मनमाना संख्या में शून्य जोड़ते हैं, तो यह इसके मान (0+x=x) को नहीं बदलेगा।

घटाव: किसी भी संख्या में से शून्य घटाने पर, घटाए गए का मान अपरिवर्तित रहता है (x-0=x)।

गुणन: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल में 0 प्राप्त होता है (a*0=0)।

भाग: शून्य को किसी भी गैर-शून्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है। इस स्थिति में, ऐसे भिन्न का मान 0 होगा। और शून्य से भाग करना निषिद्ध है।

घातांक। यह क्रिया किसी भी संख्या से की जा सकती है। शून्य की घात तक बढ़ाई गई एक मनमाना संख्या 1 (x 0 = 1) देगी।

किसी भी घात का शून्य 0 (0 a \u003d 0) के बराबर होता है।

इस मामले में, तुरंत एक विरोधाभास उत्पन्न होता है: अभिव्यक्ति 0 0 का कोई मतलब नहीं है।

गणित के विरोधाभास

तथ्य यह है कि शून्य से विभाजन असंभव है, बहुत से लोग जानते हैं स्कूल बेंच. लेकिन किसी कारण से इस तरह के प्रतिबंध का कारण बताना संभव नहीं है। वास्तव में, विभाजन-दर-शून्य सूत्र क्यों मौजूद नहीं है, लेकिन इस संख्या के साथ अन्य क्रियाएं काफी उचित और संभव हैं? इस प्रश्न का उत्तर गणितज्ञों ने दिया है।

बात यह है कि सामान्य अंकगणितीय ऑपरेशन जो स्कूली बच्चे पढ़ते हैं प्राथमिक स्कूलवास्तव में उतने समान नहीं हैं जितना हम सोचते हैं। संख्याओं के साथ सभी सरल संक्रियाओं को घटाकर दो किया जा सकता है: जोड़ और गुणा। ये संक्रियाएँ किसी संख्या की अवधारणा का सार हैं, और शेष संक्रियाएं इन दोनों के उपयोग पर आधारित हैं।

जोड़ और गुणा

चलो ले लो मानक उदाहरणघटाव के लिए: 10-2=8. स्कूल में, इसे सरलता से माना जाता है: यदि दस वस्तुओं में से दो को हटा दिया जाता है, तो आठ शेष रह जाते हैं। लेकिन गणितज्ञ इस ऑपरेशन को काफी अलग तरीके से देखते हैं। आखिरकार, उनके लिए घटाव जैसा कोई ऑपरेशन नहीं है। यह उदाहरणदूसरे तरीके से लिखा जा सकता है: x + 2 = 10। गणितज्ञों के लिए अज्ञात अंतरकेवल वह संख्या है जिसे आठ बनाने के लिए दो में जोड़ा जाना चाहिए। और यहां किसी घटाव की आवश्यकता नहीं है, आपको बस एक उपयुक्त संख्यात्मक मान खोजने की आवश्यकता है।

गुणा और भाग एक ही तरह से व्यवहार किया जाता है। 12:4=3 के उदाहरण में यह समझा जा सकता है कि हम बात कर रहे हेआठ वस्तुओं को दो बराबर ढेर में विभाजित करने के बारे में। लेकिन वास्तव में, यह 3x4 \u003d 12 लिखने का सिर्फ एक उल्टा सूत्र है। विभाजन के लिए ऐसे उदाहरण अंतहीन दिए जा सकते हैं।

0 . से भाग देने के उदाहरण

यहीं से यह थोड़ा स्पष्ट हो जाता है कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है। शून्य से गुणा और भाग करने के अपने-अपने नियम हैं। इस मात्रा के प्रति विभाजन के सभी उदाहरण 6:0=x के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। लेकिन यह व्यंजक 6 * x = 0 का उल्टा व्यंजक है। लेकिन, जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर गुणनफल में केवल 0 प्राप्त होता है। यह गुण शून्य मान की अवधारणा में निहित है।

यह पता चला है कि ऐसी संख्या, जिसे 0 से गुणा करने पर कोई मूर्त मान मिलता है, मौजूद नहीं है, अर्थात् दिया गया कार्यकोई समाधान नहीं है। इस तरह के उत्तर से डरना नहीं चाहिए, यह इस प्रकार की समस्याओं का एक स्वाभाविक उत्तर है। केवल 6:0 लिखने का कोई मतलब नहीं है, और यह कुछ भी स्पष्ट नहीं कर सकता। संक्षेप में, इस अभिव्यक्ति को अमर "शून्य से कोई विभाजन नहीं" द्वारा समझाया जा सकता है।

क्या कोई 0:0 ऑपरेशन है? वास्तव में, यदि 0 से गुणा करने की क्रिया वैध है, तो क्या शून्य को शून्य से विभाजित किया जा सकता है? आखिरकार, 0x5=0 फॉर्म का समीकरण काफी कानूनी है। 5 अंक की जगह 0 लगा सकते हैं, इससे गुणनफल नहीं बदलेगा।

दरअसल, 0x0=0. लेकिन आप अभी भी 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं। जैसा कि उल्लेख किया गया है, विभाजन केवल गुणा का विलोम है। इस प्रकार, यदि उदाहरण 0x5 = 0 में, आपको दूसरा कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो हमें 0x0 = 5 मिलता है। या 10. या अनंत। अनंत को शून्य से विभाजित करना - आपको यह कैसा लगा?

लेकिन अगर कोई संख्या व्यंजक में फिट बैठती है, तो इसका कोई मतलब नहीं है, हम नहीं कर सकते एक अनंत संख्याएक नंबर उठाओ। और यदि ऐसा है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक 0:0 का कोई अर्थ नहीं है। यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

उच्च गणित

शून्य से विभाजन के लिए सिरदर्द है स्कूल गणित. में पढ़े थे तकनीकी विश्वविद्यालयगणितीय विश्लेषण उन समस्याओं की अवधारणा का थोड़ा विस्तार करता है जिनका कोई हल नहीं है। उदाहरण के लिए, पहले से ही प्रसिद्ध अभिव्यक्ति 0:0 नए जोड़े गए हैं जिनका कोई हल नहीं है स्कूल पाठ्यक्रमअंक शास्त्र:

अनंत से विभाजित अनंत: ∞:∞;

अनंत शून्य से अनंत: ∞−∞;

इकाई को अनंत शक्ति तक बढ़ाया गया: 1 ∞;

अनंत को 0 से गुणा किया जाता है: *0;

कुछ दुसरे।

इस तरह के भावों को प्राथमिक तरीकों से हल करना असंभव है। लेकिन उच्च गणितकरने के लिए धन्यवाद अतिरिक्त सुविधाओंएक नंबर के लिए इसी तरह के उदाहरणअंतिम समाधान देता है। यह सीमा के सिद्धांत से समस्याओं के विचार में विशेष रूप से स्पष्ट है।

अनिश्चितता प्रकटीकरण

सीमा के सिद्धांत में, मान 0 को सशर्त अनंत से बदल दिया जाता है चर. और वे भाव जिनमें, प्रतिस्थापित करते समय वांछित मूल्यशून्य से भाग प्राप्त होता है, परिवर्तित हो जाता है। सामान्य का उपयोग करके सीमा विस्तार का एक मानक उदाहरण नीचे दिया गया है बीजीय परिवर्तन:

जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, एक भिन्न की साधारण कमी उसके मान को पूरी तरह से तर्कसंगत उत्तर में लाती है।

सीमाओं पर विचार करते समय त्रिकोणमितीय कार्यउनके भाव पहले तक कम हो जाते हैं अद्भुत सीमा. जब सीमा को प्रतिस्थापित करने पर भाजक 0 पर जाता है, तो दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाता है।

एल अस्पताल विधि

कुछ मामलों में, व्यंजकों की सीमा को उनके डेरिवेटिव की सीमा से बदला जा सकता है। गिलौम लोपिटल - फ्रांसीसी गणितज्ञ, संस्थापक फ्रेंच स्कूलगणितीय विश्लेषण। उन्होंने सिद्ध किया कि व्यंजकों की सीमाएँ इन व्यंजकों के व्युत्पन्नों की सीमा के बराबर होती हैं। पर गणितीय संकेतनउसका नियम इस प्रकार है।

वर्तमान में, 0:0 या :∞ प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने में L'Hopital पद्धति का सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है।

गणित: लंबा विभाजन और गुणा

गुणन सारणी सीखने वाले किसी भी छात्र के लिए एकल अंकों की संख्याओं का गुणा और भाग कठिन नहीं होगा। इसे द्वितीय श्रेणी के गणित पाठ्यक्रम में शामिल किया गया है। एक और बात यह है कि जब बहु-अंकीय संख्याओं के साथ गणितीय संचालन करना आवश्यक होता है। वे कक्षा 3 में गणित के पाठों में इस तरह की कार्रवाई शुरू करते हैं। पदच्छेद नया विषय"एक कॉलम में विभाजन और गुणा"

बहु-अंकीय संख्याओं का गुणन

विभाजित करें और गुणा करें जटिल आंकड़ेसबसे आसान तरीका एक कॉलम है। ऐसा करने के लिए, आपको संख्या के अंकों की आवश्यकता है: सैकड़ों, दहाई, इकाइयाँ:

235 = 200 (सैकड़ों) + 30 (दहाई) + 5 (एक)।

हमें इसकी आवश्यकता होगी सही संकेतनसंख्या जब गुणा किया जाता है।

दो संख्याओं को लिखते समय जिन्हें गुणा करने की आवश्यकता होती है, उन्हें अंकों में रखकर एक के नीचे एक लिखा जाता है (इकाइयों के तहत इकाइयाँ, दहाई के नीचे दहाई)। बहु-अंकीय संख्या को एकल-अंकीय संख्या से गुणा करते समय, कोई कठिनाई नहीं होगी:

रिकॉर्डिंग इस तरह की जाती है:

गणना अंत से की जाती है - इकाइयों की श्रेणी से। पहले अंक से गुणा करते समय - इकाइयों की श्रेणी से - रिकॉर्ड भी अंत से किया जाता है:

• 3 x 5 = 15, 5 (एक) लिखिए, दहाई (1) याद रखिए;
• 2 x 5 \u003d 10 और 1 दस जो हमें याद थे, केवल 11, हम 1 (दसियों) लिखते हैं, हमें सैकड़ों (1) याद हैं;
• चूंकि हमारे पास उदाहरण में और अंक नहीं हैं, हम सैकड़ों लिखते हैं (1 - जिसे याद किया गया था)।

अगला चरण दूसरे अंक (दहाई के स्थान) से गुणा करना है:

चूँकि हम दहाई के स्थान से किसी संख्या से गुणा करते हैं, हम उसी तरह लिखना शुरू करेंगे, अंत से, दाईं ओर के दूसरे स्थान से शुरू करते हुए (जहाँ दहाई का स्थान है)।

1. आपको एक कॉलम में अंकों से गुणा लिखना होगा;

2. इकाइयों से शुरू होने वाली गणना करें;

3. अंकों के योग को लिखें - यदि हम इकाइयों के रैंक से एक अंक से गुणा करते हैं - हम अंतिम कॉलम से रिकॉर्डिंग शुरू करते हैं, रैंक - दहाई से - इस कॉलम से और रिकॉर्ड रखते हैं।

एक कॉलम में दो अंकों की संख्या से गुणा करने पर लागू होने वाला नियम उन संख्याओं पर भी लागू होता है जिनमें बड़ी मात्रानिर्वहन।

गुणन उदाहरण लिखने के नियमों को याद रखना आसान बनाने के लिए बहु अंक संख्याएक कॉलम में, आप हाइलाइट करके कार्ड बना सकते हैं अलग - अलग रंगविभिन्न रैंक।

यदि संख्याओं को अंत में शून्य वाले कॉलम में गुणा किया जाता है, तो उन्हें गणना में ध्यान में नहीं रखा जाता है, और रिकॉर्ड इस तरह से रखा जाता है कि महत्वपूर्ण आकृतिहस्ताक्षरकर्ता के अधीन था, और शून्य दाईं ओर रहता है। गणना के बाद, उनकी संख्या को दाईं ओर जोड़ा जाता है:

गणितज्ञ याकोव ट्रेखटेनबर्ग ने तेजी से गिनती की एक प्रणाली विकसित की। यदि गणना की एक निश्चित प्रणाली लागू की जाती है तो ट्रेचटेनबर्ग विधि गुणन की सुविधा प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, 11 से गुणा करना। परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको अगले में एक संख्या जोड़नी होगी:

2.253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24.783।

सच साबित करना आसान है: 11 = 10 + 1

2.253 x 10 + 2.253 = 22.530 + 2.253 = 24.783।

विभिन्न संख्याओं के लिए गणना एल्गोरिदम अलग हैं, लेकिन वे आपको जल्दी से गणना करने की अनुमति देते हैं।

वीडियो "कॉलम गुणा"

बहु-अंकीय संख्याओं का विभाजन

कॉलम से विभाजित करना बच्चों के लिए मुश्किल लग सकता है, लेकिन एल्गोरिथम को याद रखना मुश्किल नहीं है। बहु-अंकीय संख्याओं के विभाजन पर विचार करें एकल अंक:
215: 5 = ?
गणना इस प्रकार लिखी गई है:

भाजक के नीचे हम परिणाम लिखेंगे। विभाजन इस प्रकार किया जाता है: हम भाजक के सबसे बाएं अंक की तुलना भाजक से करते हैं: 2 5 से कम है, हम 2 को 5 से विभाजित नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम एक और अंक लेते हैं: 21 5 से बड़ा है, जब इसे विभाजित किया जाता है : 20: 5 = 4 (शेष 1)

हम निम्नलिखित आंकड़े को परिणामी शेष से हटाते हैं: हमें 15 मिलता है। 15 5 से अधिक है, हम विभाजित करते हैं: 15: 5 = 3

समाधान इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार विभाजन शेषफल के बिना किया जाता है। उसी एल्गोरिथम के अनुसार, शेष के साथ एक कॉलम में विभाजन केवल इस अंतर के साथ किया जाता है कि in अंतिम प्रविष्टियह शून्य नहीं होगा, लेकिन शेष होगा।

यदि किसी कॉलम में तीन अंकों की संख्याओं को दो अंकों से विभाजित करना आवश्यक है, तो प्रक्रिया वही होगी जो एकल अंकों की संख्या से विभाजित करते समय होती है।

यहाँ विभाजन के लिए कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

इसी तरह, एक बहु-अंकीय संख्या को दो अंकों की संख्या से शेषफल के साथ विभाजित करते समय गणना की जाती है: 853: 15 = 50 और (3) शेष
इस प्रविष्टि पर ध्यान दें: if मध्यवर्ती गणनापरिणाम 0 है, लेकिन उदाहरण पूरी तरह से हल नहीं हुआ है, शून्य नहीं लिखा गया है, लेकिन अगला अंक तुरंत हटा दिया गया है, और गणना जारी है।

यह वीडियो ट्यूटोरियल कॉलम में बहु-अंकीय संख्याओं को विभाजित करने के नियमों को सीखने में मदद करेगा। एल्गोरिथम को याद रखने और गणनाओं को रिकॉर्ड करने के क्रम का पालन करने के बाद, ग्रेड 4 के कॉलम में गुणा और भाग के उदाहरण अब इतने जटिल नहीं लगेंगे।

जरूरी! रिकॉर्ड का पालन करें: अंकों को एक कॉलम में अंकों के नीचे लिखा जाना चाहिए।

वीडियो "एक कॉलम में विभाजन"

यदि कक्षा 2 में कोई बच्चा गुणन सारणी सीखता है, तो दो अंकों के गुणन और भाग के उदाहरण या तीन अंकों की संख्याकक्षा 4 के गणित के पाठों में उसे कोई कठिनाई नहीं होगी।

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गुणा और भाग नियम

गुणन तालिका सीखने के बाद, छात्रों को गुणा और भाग के नियमों की व्याख्या की जाती है, गणितीय अभिव्यक्तियों की गणना करते समय उनका उपयोग करना सिखाया जाता है।

गुणन क्या है? यह स्मार्ट जोड़ है

संख्याओं को जोड़ने और घटाने पर गुणा और भाग करने पर सरल भावबच्चों को नहीं होती परेशानी :

ऐसी गणनाओं में, आपको केवल जोड़ और घटाव के नियम और गुणन तालिका को जानना होगा।
जब अधिक प्रारंभ कठिन व्यायाम, उदाहरणों में दो या दो से अधिक क्रियाएं होती हैं, और यहां तक ​​​​कि कोष्ठक के साथ, बच्चों को हल करते समय त्रुटियां दिखाई देती हैं। और मुख्य है गलत आदेशक्रियाएँ।

क्या फर्क पड़ता है?

वास्तव में, क्या यह इतना महत्वपूर्ण है - उदाहरण में कौन सी क्रिया पहले करनी है, कौन सी दूसरी?

यदि हम क्रम में चरणों का पालन करते हैं, तो हमें मिलता है:

हमें दो अलग-अलग उत्तर मिले। लेकिन ऐसा नहीं होना चाहिए, इसलिए जिस क्रम में कार्रवाई की जाती है वह मायने रखता है। खासकर अगर अभिव्यक्ति में कोष्ठक होते हैं:

हम इसे दो तरीकों से हल करने का प्रयास कर रहे हैं:

उत्तर अलग हैं, और क्रियाओं के क्रम को निर्धारित करने के लिए, अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं - वे दिखाते हैं कि कौन सी क्रिया पहले की जानी चाहिए। तो सही समाधान होगा:

उदाहरण में उत्तर के लिए कोई अन्य समाधान नहीं होना चाहिए।

कौन सा अधिक महत्वपूर्ण है, गुणा या जोड़?

उदाहरण हल करते समय
कार्रवाई की व्यवस्था करें।
गुणा या भाग - पहले स्थान पर।

उन अभिव्यक्तियों के लिए जिनमें जोड़ या घटाव नहीं है, लेकिन गुणा या भाग है, वही नियम लागू होता है: संख्याओं के साथ सभी संचालन क्रम में किए जाते हैं, बाएं से शुरू होते हैं:

एक अधिक कठिन मामला तब होता है जब एक समस्या में जोड़ या घटाव के साथ गुणा या भाग होता है। फिर गणना का क्रम क्या है?

यदि आप सभी चरणों को क्रम में करते हैं, तो पहले भाग, फिर जोड़। परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:

तो उदाहरण सही है। क्या होगा यदि इसमें कोष्ठक शामिल हैं?

कोष्ठक में किसी भी चीज़ को हमेशा प्राथमिकता दी जाती है।इसलिए वे अभिव्यक्ति में खड़े हैं। इसलिए, गणना का क्रम समान भावइस प्रकार होगा:

हम कोष्ठक खोलते हैं। यदि कई हैं, तो हम प्रत्येक के लिए गणना करते हैं।

गुणा या भाग।

गणना अंतिम परिणाम, बाएं से दाएं आगे बढ़ते हुए।

उदाहरण:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?

81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.

और प्राथमिकता क्या होगी: गुणा - या भाग, घटाव - या जोड़, यदि कार्य में दोनों क्रियाएं होती हैं? कुछ भी नहीं, वे समान हैं, इस मामले में पहला नियम लागू होता है - बाईं ओर से शुरू होकर एक के बाद एक क्रियाएं की जाती हैं।

अभिव्यक्ति को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

हम समस्या का विश्लेषण करते हैं - क्या कोष्ठक हैं, कौन से गणितीय कार्यों को करने की आवश्यकता होगी।

हम कोष्ठक में गणना करते हैं।

हम गुणा और भाग करते हैं।

जोड़ और घटाव करें।

28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?

1. 11 – 4 = 7;
2. 25 – 8 = 17;
3. 28: 7 = 4;
4. 4 + 18 = 22;
5. 22 – 17 = 5.

उत्तर: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.

जरूरी! यदि व्यंजक में अक्षर हैं, तो प्रक्रिया वही रहती है।

राउंड जीरो बहुत सुंदर है
लेकिन इसका कोई मतलब नहीं है।

उदाहरणों में, शून्य एक संख्या के रूप में नहीं होता है, लेकिन यह कुछ मध्यवर्ती क्रिया का परिणाम हो सकता है, उदाहरण के लिए:

0 से गुणा करने पर नियम कहता है कि परिणाम हमेशा 0 होगा। क्यों? इसे सरलता से समझाया जा सकता है: गुणन क्या है? यह वही संख्या है, जो कई बार अपनी तरह से जोड़ी जाती है। अन्यथा:

0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;

0 से भाग देना व्यर्थ है, और शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करने पर हमेशा 0 प्राप्त होगा:

0: 5 = 0.

शून्य के साथ अन्य अंकगणितीय संक्रियाओं को याद करें:

एक से गुणा और भाग

एक के साथ गणितीय संक्रियाएँ शून्य वाले संक्रियाओं से भिन्न होती हैं। जब किसी संख्या को 1 से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो मूल संख्या स्वयं प्राप्त होती है:

7 x 1 = 7;

7: 1 = 7.

बेशक, अगर आपके 7 दोस्त हैं, और प्रत्येक ने आपको एक कैंडी दी है, तो आपके पास 7 कैंडीज होंगी, और अगर आपने उन्हें अकेले खाया, यानी केवल अपने साथ साझा किया, तो वे सभी आपके पेट में समाप्त हो गईं।

भिन्नों, शक्तियों और जटिल कार्यों के साथ गणना

ये है मुश्किल मामलेकंप्यूटिंग, जो प्राथमिक विद्यालय में शामिल नहीं हैं।

गुणा साधारण भिन्नएक दूसरे के लिए मुश्किल नहीं है, बस अंश से अंश और हर को हर से गुणा करना काफी है।
उदाहरण:

2 × 3 = 6 - अंश

5 × 8 = 40 - हर

कमी के बाद हम प्राप्त करते हैं: \(\) = \(\)।

साधारण भिन्नों को विभाजित करना उतना कठिन नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। यह समस्या को बदलने के लिए पर्याप्त है - इसे गुणा के साथ एक उदाहरण में बदल दें। ऐसा करने के लिए सरल है - आपको अंश को फ्लिप करने की आवश्यकता है ताकि भाजक अंश बन जाए, और अंश भाजक बन जाए।
उदाहरण:

यदि समस्या में एक संख्या का सामना करना पड़ता है, जिसे एक शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है, तो इसके मूल्य की गणना अन्य सभी से पहले की जाती है (आप कल्पना कर सकते हैं कि यह कोष्ठक में संलग्न है - और कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं)।
उदाहरण:

गुणन की क्रिया के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाई गई संख्या को नियमित अभिव्यक्ति में परिवर्तित करके, उदाहरण को हल करना सरल हो गया: पहले गुणा, फिर घटाव (क्योंकि यह कोष्ठक में है) और विभाजन।

जड़ों, लघुगणक, कार्यों के साथ क्रिया

चूंकि इस तरह के कार्यों का अध्ययन केवल के ढांचे के भीतर किया जाता है उच्च विद्यालय, हम उन पर विचार नहीं करेंगे, यह कहना पर्याप्त है कि, शक्तियों के मामले में, गणना में उनकी प्राथमिकता है: पहले, इस अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है, फिर गणना क्रम सामान्य है - कोष्ठक, गुणा के साथ विभाजन, फिर बाएं से दाएं क्रम में।

विषय पर मुख्य नियम

मेजर और माइनर के बारे में बात कर रहे हैं गणितीय संचालन, यह कहा जाना चाहिए कि चार बुनियादी कार्यों को घटाकर दो किया जा सकता है: जोड़ और गुणा। यदि स्कूली बच्चों के लिए घटाव और भाग कठिन लगता है, तो वे जोड़ और गुणा के नियमों को तेजी से याद करते हैं। वास्तव में, व्यंजक 5 - 2 को भिन्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

गुणन के मामलों में, जोड़ के गुणों के समान नियम लागू होते हैं: उत्पाद कारकों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलेगा:

निर्णय लेते समय चुनौतीपूर्ण कार्यपहली क्रिया वह है जिसे कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है, फिर विभाजन या गुणा, फिर अन्य सभी क्रियाएं क्रम में हैं।
जब आपको कोष्ठक के बिना उदाहरणों को हल करने की आवश्यकता होती है, तो पहले गुणा या भाग किया जाता है, फिर घटाव या जोड़ किया जाता है।

पूर्णांकों का गुणा और भाग

पूर्णांकों को गुणा और भाग करते समय, कई नियम लागू होते हैं। पर यह सबकहम उनमें से प्रत्येक को देखेंगे।

पूर्णांकों को गुणा और भाग करते समय, संख्याओं के चिह्नों पर ध्यान दें। यह उन पर निर्भर करेगा कि कौन सा नियम लागू करना है। आपको गुणा और भाग के कुछ नियमों को भी सीखना होगा। इन नियमों को सीखने से आपको भविष्य में कुछ शर्मनाक गलतियों से बचने में मदद मिलेगी।

गुणन के नियम

गणित के कुछ नियमों पर हमने पाठ में गणित के नियमों पर विचार किया। लेकिन हमने सभी कानूनों पर विचार नहीं किया है। गणित में कई नियम हैं, और आवश्यकतानुसार उनका क्रमिक रूप से अध्ययन करना समझदारी होगी।

सबसे पहले, आइए याद करें कि गुणन में क्या शामिल है। गुणन के होते हैं तीन पैरामीटर: गुणा, गुणकऔर काम करता है. उदाहरण के लिए, व्यंजक 3 × 2 = 6 में, संख्या 3 गुणक है, संख्या 2 गुणक है, और संख्या 6 गुणनफल है।

गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जायदिखाता है कि हम वास्तव में क्या बढ़ा रहे हैं। हमारे उदाहरण में, हम संख्या 3 बढ़ाते हैं।

कारकदिखाता है कि आपको गुणक को कितनी बार बढ़ाने की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, गुणक संख्या 2 है। यह गुणक दिखाता है कि आपको गुणक 3 को कितनी बार बढ़ाने की आवश्यकता है। यानी गुणन क्रिया के दौरान, संख्या 3 दोगुनी हो जाएगी।

कार्ययह वास्तव में गुणन संक्रिया का परिणाम है। हमारे उदाहरण में, गुणनफल संख्या 6 है। यह गुणनफल 3 को 2 से गुणा करने का परिणाम है।

व्यंजक 3 × 2 को दो त्रिकों के योग के रूप में भी समझा जा सकता है। गुणक 2 इंच इस मामले मेंदिखाएगा कि आपको कितनी बार नंबर 3 लेने की आवश्यकता है:

इस प्रकार, यदि आप संख्या 3 को लगातार दो बार लेते हैं, तो आपको संख्या 6 प्राप्त होती है।

गुणन का क्रमविनिमेय नियम

गुणक और गुणक को एक कहा जाता है सामान्य शब्द – कारकों. गुणन का क्रमविनिमेय नियम इस प्रकार है:

कारकों के स्थानों के क्रमपरिवर्तन से, उत्पाद नहीं बदलता है।

आइए देखें कि क्या यह मामला है। उदाहरण के लिए 3 को 5 से गुणा करें। यहां 3 और 5 गुणनखंड हैं।

आइए अब कारकों की अदला-बदली करें:

दोनों ही स्थितियों में, हमें उत्तर 15 मिलता है, जिसका अर्थ है कि हम व्यंजकों 3 × 5 और 5 × 3 के बीच एक समान चिन्ह लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

और चरों की सहायता से विस्थापन कानूनगुणा इस तरह लिखा जा सकता है:

कहाँ पे एऔर बी- कारक

गुणन का साहचर्य नियम

यह नियम कहता है कि यदि किसी व्यंजक में कई कारक होते हैं, तो उत्पाद संचालन के क्रम पर निर्भर नहीं करेगा।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 3 × 2 × 4 में कई कारक होते हैं। इसकी गणना करने के लिए, आप 3 और 2 को गुणा कर सकते हैं, फिर परिणामी गुणनफल को शेष संख्या 4 से गुणा कर सकते हैं। यह इस तरह दिखेगा:

3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24

यह पहला उपाय था। दूसरा विकल्प 2 और 4 को गुणा करना है, फिर परिणामी गुणनफल को शेष संख्या 3 से गुणा करना है। यह इस तरह दिखेगा:

3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24

दोनों ही स्थितियों में, हमें उत्तर 24 मिलता है। इसलिए, व्यंजकों (3 × 2) × 4 और 3 × (2 × 4) के बीच हम एक समान चिह्न लगा सकते हैं, क्योंकि वे समान मान के बराबर हैं:

(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)

और चरों की सहायता से गुणन के साहचर्य नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ए × बी × सी = (ए × बी) × सी = ए × (बी × सी)

के बजाय कहाँ ए, बी, सीकोई भी संख्या हो सकती है।

गुणन का वितरण नियम

गुणन का वितरण नियम आपको किसी योग को किसी संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, इस राशि के प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा किया जाता है, फिर परिणाम जोड़े जाते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक (2 + 3) × 5 . का मान ज्ञात करें

कोष्ठक में व्यंजक योग है। इस राशि को संख्या 5 से गुणा किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, इस राशि के प्रत्येक पद, यानी संख्या 2 और 3 को संख्या 5 से गुणा किया जाना चाहिए, फिर परिणाम जोड़ें:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

अतः व्यंजक (2 + 3) × 5 का मान 25 है।

चरों की सहायता से गुणन का वितरण नियम इस प्रकार लिखा जाता है:

(ए + बी) × सी = ए × सी + बी × सी

के बजाय कहाँ ए, बी, सीकोई भी संख्या हो सकती है।

शून्य से गुणा का नियम

यह नियम कहता है कि यदि किसी गुणन में कम से कम एक शून्य हो तो उत्तर शून्य होगा।

उत्पाद शून्य है यदि कारकों में से कम से कम एक है शून्य.

उदाहरण के लिए, व्यंजक 0 × 2 शून्य है

इस मामले में, संख्या 2 एक गुणक है और यह दर्शाता है कि आपको कितनी बार गुणक को बढ़ाने की आवश्यकता है। यानी जीरो को कितनी बार बढ़ाना है। शाब्दिक रूप से, इस अभिव्यक्ति को "शून्य में दो बार वृद्धि" के रूप में पढ़ा जाता है। लेकिन अगर शून्य है तो आप शून्य को दोगुना कैसे कर सकते हैं?

दूसरे शब्दों में, यदि "कुछ नहीं" को दोगुना या एक लाख बार भी किया जाता है, तब भी यह "कुछ नहीं" रहेगा।

और यदि व्यंजक 0 × 2 में हम गुणनखंडों की अदला-बदली करते हैं, तो हमें फिर से शून्य प्राप्त होता है। हम इसे पिछले विस्थापन कानून से जानते हैं:

गुणन के नियम को शून्य से लागू करने के उदाहरण:

2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0

पिछले दो उदाहरणों में, कई कारक हैं। उनमें शून्य देखकर हम तुरंत उत्तर में शून्य डाल देते हैं, गुणा के नियम को शून्य से लागू करते हैं।

हमने गुणन के मूल नियमों पर विचार किया है। इसके बाद, पूर्णांकों के गुणन पर विचार करें।

पूर्णांक गुणन

उदाहरण 1व्यंजक −5 × 2 . का मान ज्ञात कीजिए

यह संख्याओं का गुणन है विभिन्न संकेत. -5 ऋणात्मक है और 2 धनात्मक है। ऐसे मामलों के लिए, निम्नलिखित नियम लागू किया जाना चाहिए:

विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करना होगा, और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालना होगा।

−5 × 2 = - (|−5| × |2|) = - (5 × 2) = - (10) = -10

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: −5 × 2 = −10

किसी भी गुणन को संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 2 × 3 पर विचार करें। यह 6 के बराबर है।

में गुणक दी गई अभिव्यक्तिसंख्या 3 है। यह गुणक दर्शाता है कि आपको दोनों को कितनी बार बढ़ाने की आवश्यकता है। लेकिन व्यंजक 2 × 3 को इस प्रकार भी समझा जा सकता है तीन का योगड्यूस:

व्यंजक −5 × 2 के साथ भी ऐसा ही होता है। इस व्यंजक को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

और व्यंजक (-5) + (-5) -10 के बराबर है, और हम इसे पिछले पाठ से जानते हैं। यह ऋणात्मक संख्याओं का योग है। याद रखें कि ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने का परिणाम ऋणात्मक संख्या है।

उदाहरण 2व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 12 × (−5)

यह विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं का गुणन है। 12 - सकारात्मक संख्या, (−5) ऋणात्मक है। फिर से, हम पिछले नियम को लागू करते हैं। हम संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करते हैं और प्राप्त उत्तर से पहले एक माइनस डालते हैं:

12 × (−5) = - (|12| × |−5|) = - (12 × 5) = - (60) = −60

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: 12 × (−5) = −60

उदाहरण 3व्यंजक 10 × (−4) × 2 . का मान ज्ञात कीजिए

इस अभिव्यक्ति में कई कारक शामिल हैं। सबसे पहले, 10 और (−4) को गुणा करें, फिर परिणामी संख्या को 2 से गुणा करें। साथ ही, पहले अध्ययन किए गए नियमों को लागू करें:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

दूसरी क्रिया:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

अतः व्यंजक 10 × (−4) × 2 का मान −80 . है

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80

उदाहरण 4व्यंजक (−4) × (−2) का मान ज्ञात कीजिए

यह ऋणात्मक संख्याओं का गुणन है। ऐसे मामलों में, निम्नलिखित नियम लागू होना चाहिए:

नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने एक प्लस डालना होगा।

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

साथ ही, परंपरा के अनुसार, हम नहीं लिखते हैं, इसलिए हम केवल उत्तर 8 लिखते हैं।

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है (−4) × (−2) = 8

प्रश्न यह उठता है कि ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करने पर अचानक एक धनात्मक संख्या क्यों आती है। आइए यह साबित करने का प्रयास करें कि (−4) × (−2) 8 के बराबर है और कुछ नहीं।

सबसे पहले, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति लिखते हैं:

आइए इसे कोष्ठक में संलग्न करें:

आइए इस व्यंजक में अपना व्यंजक (−4) × (−2) जोड़ें। आइए इसे कोष्ठक में भी रखें:

हम यह सब शून्य के बराबर करते हैं:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

अब मजा शुरू होता है। लब्बोलुआब यह है कि हमें इस अभिव्यक्ति के बाईं ओर की गणना करनी चाहिए, और परिणामस्वरूप 0 मिलता है।

तो पहला गुणनफल (4 × (−2)) −8 है। आइए गुणनफल (4 × (−2)) के बजाय हमारे व्यंजक में संख्या −8 लिखें।

अब, दूसरे उत्पाद के बजाय, हम अस्थायी रूप से एक दीर्घवृत्त लगाते हैं

अब आइए व्यंजक −8 + […] = 0 को ध्यान से देखें। समानता देखने के लिए इलिप्सिस के बजाय किस संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए? जवाब खुद ही बताता है। एक दीर्घवृत्त के बजाय, एक धनात्मक संख्या 8 होनी चाहिए और कोई अन्य नहीं। इससे ही समानता बनी रहेगी। क्योंकि −8 + 8 बराबर 0 होता है।

हम व्यंजक −8 + ((−4) × (−2)) = 0 पर लौटते हैं और गुणनफल ((−4) × (−2)) के बजाय हम संख्या 8 लिखते हैं

उदाहरण 5व्यंजक −2 × (6 + 4) का मान ज्ञात कीजिए

हम गुणन का वितरण नियम लागू करते हैं, अर्थात हम संख्या −2 को योग के प्रत्येक पद (6 + 4) से गुणा करते हैं।

−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)

आइए अब कोष्ठकों में व्यंजकों का मूल्यांकन करें। फिर हम परिणाम जोड़ते हैं। साथ ही, पहले सीखे गए नियमों को लागू करें। मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ा जा सकता है ताकि अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित न किया जा सके

-2 × 6 = -(2 × 6) = -(12) = -12

−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8

तीसरी क्रिया:

अतः व्यंजक −2 × (6 + 4) का मान −20 . है

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

उदाहरण 6व्यंजक (−2) × (−3) × (−4) का मान ज्ञात कीजिए

अभिव्यक्ति में कई कारक होते हैं। सबसे पहले, हम संख्याओं -2 और -3 को गुणा करते हैं, और परिणामी उत्पाद को शेष संख्या -4 से गुणा किया जाता है। हम मॉड्यूल के साथ प्रविष्टि को छोड़ देते हैं ताकि अभिव्यक्ति को अव्यवस्थित न करें

अतः व्यंजक (−2) × (−3) × (−4) का मान −24 . है

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

डिवीजन कानून

पूर्णांकों को विभाजित करने से पहले, विभाजन के दो नियमों का अध्ययन करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आइए याद करें कि विभाजन में क्या शामिल है। विभाजन में तीन पैरामीटर होते हैं: भाज्य, विभक्तऔर निजी. उदाहरण के लिए, व्यंजक 8: 2 = 4 में, 8 भाज्य है, 2 भाजक है, 4 भागफल है।

लाभांशठीक वही दिखाता है जो हम साझा करते हैं। हमारे उदाहरण में, हम संख्या 8 को विभाजित कर रहे हैं।

डिवाइडरदिखाता है कि लाभांश को कितने भागों में विभाजित करना है। हमारे उदाहरण में, भाजक संख्या 2 है। यह भाजक दिखाता है कि लाभांश 8 को कितने भागों में विभाजित करना है। यानी, विभाजन ऑपरेशन के दौरान, संख्या 8 को दो भागों में विभाजित किया जाएगा।

निजीडिवीजन ऑपरेशन का वास्तविक परिणाम है। हमारे उदाहरण में, भागफल 4 है। यह भागफल 8 को 2 से भाग देने का परिणाम है।

शून्य से विभाजित नहीं कर सकते

किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विभाजन गुणन का विलोम है। उदाहरण के लिए, यदि 2 × 6 = 12, तो 12:6 = 2

यह देखा जा सकता है कि दूसरी अभिव्यक्ति . में लिखी गई है उल्टे क्रम.

अब हम व्यंजक 5 × 0 के लिए भी ऐसा ही करेंगे। हम गुणन के नियमों से जानते हैं कि यदि कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर है तो गुणनफल शून्य के बराबर होता है। अतः व्यंजक 5 × 0 भी शून्य है

यदि हम इस व्यंजक को उल्टे क्रम में लिखते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

जवाब तुरंत आंख को पकड़ लेता है 5, जो शून्य से शून्य को विभाजित करने का परिणाम है। यह असंभव और मूर्ख है।

इसी तरह के एक अन्य व्यंजक को उल्टे क्रम में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए 2 × 0 = 0

पहली स्थिति में, शून्य को शून्य से विभाजित करने पर, हमें 5 प्राप्त होता है, और दूसरी स्थिति में, 2. अर्थात्, प्रत्येक बार शून्य को शून्य से भाग देने पर, हम प्राप्त कर सकते हैं विभिन्न अर्थ, जो अस्वीकार्य है।

दूसरी व्याख्या यह है कि भाजक को भाजक से विभाजित करने का अर्थ है एक संख्या ज्ञात करना, जिसे भाजक से गुणा करने पर लाभांश प्राप्त होगा।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 8: 2 का अर्थ एक ऐसी संख्या ज्ञात करना है जिसे 2 से गुणा करने पर 8 प्राप्त होगा

यहां, दीर्घवृत्त के बजाय, एक संख्या होनी चाहिए, जिसे 2 से गुणा करने पर उत्तर 8 मिलता है। इस संख्या को खोजने के लिए, इस अभिव्यक्ति को उल्टे क्रम में लिखना पर्याप्त है:

अब कल्पना कीजिए कि आपको व्यंजक 5: 0 का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में, 5 भाज्य है, 0 भाजक है। 5 को 0 से भाग देने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसे 0 से गुणा करने पर 5 प्राप्त हो

यहाँ दीर्घवृत्त के स्थान पर एक ऐसी संख्या होनी चाहिए जिसे 0 से गुणा करने पर उत्तर 5 प्राप्त हो। लेकिन ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करने पर 5 प्राप्त हो।

व्यंजक [...] × 0 = 5 शून्य से गुणा के नियम का खंडन करता है, जिसमें कहा गया है कि गुणनफल शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक गुणनखंड शून्य के बराबर होता है।

अतः व्यंजक […] × 0 = 5 को उल्टे क्रम में लिखने से, 5 को 0 से भाग देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए वे कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

चर का उपयोग करना यह कानूनइस प्रकार लिखा गया है:

पर बी ≠ 0

संख्या एएक संख्या से विभाजित किया जा सकता है बी, उसे उपलब्ध कराया बीशून्य के बराबर नहीं।

निजी संपत्ति

यह नियम कहता है कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 12:4 पर विचार करें। इस व्यंजक का मान 3 . है

आइए भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, संख्या 4 से। यदि हम भागफल के गुण को मानते हैं, तो हमें उत्तर में फिर से संख्या 3 प्राप्त करनी चाहिए।

(12×4) : (4×4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

आइए अब कोशिश करें कि गुणा न करें, लेकिन भाजक और भाजक को संख्या 4 . से विभाजित करें

(12: 4) : (4: 4)

(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3

प्रतिक्रिया मिली 3.

हम देखते हैं कि यदि भाज्य और भाजक को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो भागफल नहीं बदलता है।

पूर्णांकों का विभाजन

उदाहरण 1व्यंजक 12 का मान ज्ञात कीजिए: (−2)

यह विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का विभाजन है। 12 एक धनात्मक संख्या है, (-2) ऋणात्मक है। ऐसे मामलों में, आपको चाहिए

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

आमतौर पर 12 से छोटा लिखा जाता है: (−2) = −6

उदाहरण 2व्यंजक −24: 6 . का मान ज्ञात कीजिए

यह विभिन्न चिन्हों वाली संख्याओं का विभाजन है। -24 ऋणात्मक है, 6 धनात्मक है। ऐसे मामलों में, फिर से, भाजक मापांक को भाजक मापांक से विभाजित करें, और प्राप्त उत्तर के सामने ऋण चिह्न लगाएं।

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

आमतौर पर -24: 6 = -4 . से छोटा लिखा जाता है

उदाहरण 3व्यंजक (−45) : (−5) का मान ज्ञात कीजिए

यह ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन है। ऐसे मामलों में, आपको चाहिए भाजक मापांक द्वारा भाजक मापांक को विभाजित करें, और प्राप्त उत्तर के सामने एक प्लस चिह्न लगाएं।

(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है (−45): (−5) = 9

उदाहरण 4व्यंजक (−36) : (−4) : (−3) का मान ज्ञात कीजिए।

संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, यदि व्यंजक में केवल गुणन या भाग होता है, तो सभी क्रियाओं को उनके प्रकट होने के क्रम में बाएँ से दाएँ किया जाना चाहिए।

(−36) को (−4) से भाग दें और परिणामी संख्या को (−3) से भाग दें।

पहली क्रिया:

(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

आमतौर पर छोटा लिखा जाता है (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

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स्कूल से सभी को याद है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। छोटे छात्रों को कभी नहीं बताया जाता कि उन्हें ऐसा क्यों नहीं करना चाहिए। वे इसे अन्य प्रतिबंधों के साथ लेने की पेशकश करते हैं जैसे "आप अपनी उंगलियों को सॉकेट में नहीं डाल सकते हैं" या "आपको वयस्कों से बेवकूफ सवाल नहीं पूछना चाहिए।"

संख्या 0 को एक प्रकार की सीमा के रूप में दर्शाया जा सकता है जो वास्तविक संख्याओं की दुनिया को काल्पनिक या नकारात्मक से अलग करती है। अस्पष्ट स्थिति के कारण, इस संख्यात्मक मान वाले कई ऑपरेशन गणितीय तर्क का पालन नहीं करते हैं। शून्य से भाग देने की असंभवता इसका एक प्रमुख उदाहरण है। और सामान्य रूप से स्वीकृत परिभाषाओं का उपयोग करके शून्य के साथ अंकगणितीय संचालन की अनुमति दी जा सकती है।

शून्य से विभाजित करने की असंभवता के लिए बीजगणितीय स्पष्टीकरण

बीजगणितीय रूप से, आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते क्योंकि इसका कोई मतलब नहीं है। आइए दो मनमानी संख्याएं, ए और बी लें, और उन्हें शून्य से गुणा करें। a × 0 शून्य है और b × 0 शून्य है। यह पता चला है कि ए × 0 और बी × 0 बराबर हैं, क्योंकि दोनों मामलों में उत्पाद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हम समीकरण लिख सकते हैं: 0 × a = 0 × b। अब मान लीजिए कि हम शून्य से भाग कर सकते हैं: हम समीकरण के दोनों पक्षों को शून्य से विभाजित करते हैं और हमें वह a = b प्राप्त होता है। यह पता चला है कि अगर हम शून्य से विभाजन के संचालन की अनुमति देते हैं, तो सभी संख्याएं समान होती हैं। लेकिन 5, 6 के बराबर नहीं है, और 10, ½ के बराबर नहीं है। अनिश्चितता उत्पन्न होती है, जिसके बारे में शिक्षक जिज्ञासु प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को नहीं बताना पसंद करते हैं।

क्या कोई 0:0 ऑपरेशन है?

वास्तव में, यदि 0 से गुणा करने की क्रिया वैध है, तो क्या शून्य को शून्य से विभाजित किया जा सकता है? आखिरकार, 0x5=0 फॉर्म का समीकरण काफी कानूनी है। 5 अंक की जगह 0 लगा सकते हैं, इससे गुणनफल नहीं बदलेगा। दरअसल, 0x0=0. लेकिन आप अभी भी 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं। जैसा कि कहा गया है, विभाजन केवल गुणा का विलोम है। इस प्रकार, यदि उदाहरण 0x5 = 0 में, आपको दूसरा कारक निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो हमें 0x0 = 5 मिलता है। या 10. या अनंत। अनंत को शून्य से विभाजित करना - आपको यह कैसा लगा? लेकिन अगर कोई संख्या व्यंजक में फिट बैठती है, तो इसका कोई मतलब नहीं है, हम संख्याओं के अनंत सेट में से किसी एक को नहीं चुन सकते हैं। और यदि ऐसा है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक 0:0 का कोई अर्थ नहीं है। यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

गणितीय विश्लेषण के संदर्भ में शून्य से विभाजित करने की असंभवता की व्याख्या

हाई स्कूल में, वे सीमा के सिद्धांत का अध्ययन करते हैं, जो शून्य से विभाजित करने की असंभवता की भी बात करता है। इस संख्या की व्याख्या वहां "अनिश्चित काल के लिए" के रूप में की गई है छोटा मूल्य". इसलिए यदि हम इस सिद्धांत के ढांचे के भीतर समीकरण 0 × X = 0 पर विचार करें, तो हम पाएंगे कि X नहीं मिल सकता है क्योंकि इसके लिए हमें शून्य को शून्य से विभाजित करना होगा। और इसका भी कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इस मामले में भाजक और भाजक दोनों अनिश्चित मात्रा में हैं, इसलिए, उनकी समानता या असमानता के बारे में निष्कर्ष निकालना असंभव है।

आप शून्य से कब विभाजित कर सकते हैं?

स्कूली बच्चों के विपरीत, तकनीकी विश्वविद्यालयों के छात्र शून्य से विभाजित कर सकते हैं। एक ऑपरेशन जो बीजगणित में असंभव है, गणितीय ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में किया जा सकता है। उनके पास नया है अतिरिक्त शर्तेंकार्य जो इस क्रिया की अनुमति देते हैं। उन लोगों के लिए शून्य से विभाजित करना संभव होगा जो गैर-मानक विश्लेषण पर व्याख्यान के पाठ्यक्रम को सुनते हैं, डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का अध्ययन करते हैं और विस्तारित जटिल विमान से परिचित होते हैं।

शून्य का इतिहास

शून्य सभी मानक संख्या प्रणालियों में संदर्भ बिंदु है। यूरोपीय लोगों द्वारा संख्या का उपयोग अपेक्षाकृत हाल ही में किया गया है, लेकिन प्राचीन भारत के संतों ने एक हजार साल पहले शून्य का इस्तेमाल किया था, इससे पहले कि यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा नियमित रूप से खाली संख्या का उपयोग किया जाता था। भारतीयों से पहले भी, माया संख्यात्मक प्रणाली में शून्य एक अनिवार्य मूल्य था। इस अमेरिकी लोगों ने ग्रहणी प्रणाली का उपयोग किया, और उन्होंने प्रत्येक महीने के पहले दिन की शुरुआत शून्य से की। दिलचस्प बात यह है कि माया के बीच, "शून्य" का संकेत पूरी तरह से "अनंत" के संकेत के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, प्राचीन माया ने निष्कर्ष निकाला कि ये मात्राएँ समान और अज्ञात थीं।

उच्च गणित

शून्य से विभाजन हाई स्कूल गणित के लिए सिरदर्द है। तकनीकी विश्वविद्यालयों में अध्ययन किया गया गणितीय विश्लेषण उन समस्याओं की अवधारणा का थोड़ा विस्तार करता है जिनका कोई समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, पहले से ज्ञात व्यंजक 0:0 में, नए जोड़े जाते हैं जिनका स्कूली गणित के पाठ्यक्रमों में कोई हल नहीं है: अनंत को अनंत से विभाजित: ∞:∞; अनंत शून्य से अनंत: ∞−∞; इकाई को अनंत शक्ति तक बढ़ाया गया: 1∞; अनंत को 0 से गुणा किया जाता है: *0; कुछ दुसरे।

इस तरह के भावों को प्राथमिक तरीकों से हल करना असंभव है। लेकिन उच्च गणित, कई समान उदाहरणों के लिए अतिरिक्त संभावनाओं के लिए धन्यवाद, अंतिम समाधान देता है। यह सीमा के सिद्धांत से समस्याओं के विचार में विशेष रूप से स्पष्ट है।

अनिश्चितता प्रकटीकरण

सीमा के सिद्धांत में, मान 0 को एक सशर्त अनंत चर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। और वे भाव जिनमें वांछित मान को प्रतिस्थापित करने पर शून्य से भाग प्राप्त होता है।

नीचे सामान्य बीजगणितीय परिवर्तनों का उपयोग करके सीमा का विस्तार करने का एक मानक उदाहरण है: जैसा कि आप उदाहरण में देख सकते हैं, एक अंश की एक साधारण कमी इसके मूल्य को पूरी तरह से तर्कसंगत उत्तर में लाती है।

त्रिकोणमितीय कार्यों की सीमाओं पर विचार करते समय, उनके भाव पहली उल्लेखनीय सीमा तक कम हो जाते हैं। जब सीमा को प्रतिस्थापित करने पर भाजक 0 पर जाता है, तो दूसरी उल्लेखनीय सीमा का उपयोग किया जाता है।

एल अस्पताल विधि

कुछ मामलों में, व्यंजकों की सीमा को उनके डेरिवेटिव की सीमा से बदला जा सकता है। गिलौम लोपिटल - फ्रांसीसी गणितज्ञ, गणितीय विश्लेषण के फ्रांसीसी स्कूल के संस्थापक। उन्होंने सिद्ध किया कि व्यंजकों की सीमाएँ इन व्यंजकों के व्युत्पन्नों की सीमा के बराबर होती हैं।

गणितीय अंकन में उसका नियम इस प्रकार है।