Kemerataan dan keanehan suatu fungsi adalah salah satu sifat utamanya, dan paritas menempati bagian yang mengesankan kursus sekolah matematika. Ini sangat menentukan perilaku suatu fungsi dan sangat memudahkan pembuatan grafik yang sesuai.

Mari kita tentukan paritas fungsinya. Secara umum, fungsi yang diteliti dianggap meskipun untuk nilai berlawanan dari variabel bebas (x) yang terletak di domain definisinya, nilai y (fungsi) yang bersesuaian ternyata sama.

Kami akan memberi Anda lebih banyak definisi yang ketat. Perhatikan beberapa fungsi f(x), yang terdefinisi dalam domain D. Bahkan jika untuk sembarang titik x terletak di domain definisi:

• -X ( titik berlawanan) juga terletak pada domain definisi ini,

• f(-x) = f(x).

Dari definisi di atas berikut syarat yang diperlukan untuk domain definisi fungsi tersebut, yaitu simetri terhadap titik O yang merupakan titik asal koordinat, karena jika suatu titik b termasuk dalam domain definisi suatu genap fungsi, maka titik b yang bersesuaian juga terletak pada domain ini. Oleh karena itu, dari uraian di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: fungsi genap mempunyai bentuk yang simetris terhadap sumbu ordinat (Oy).

Bagaimana cara menentukan paritas suatu fungsi dalam praktiknya?

Biarkan ditentukan menggunakan rumus h(x)=11^x+11^(-x). Mengikuti algoritma yang langsung mengikuti definisi, pertama-tama kita memeriksa domain definisinya. Jelas, ini didefinisikan untuk semua nilai argumen, yaitu kondisi pertama terpenuhi.

Langkah selanjutnya adalah mengganti argumen (x) dengan argumen tersebut makna yang berlawanan(-X).
Kita mendapatkan:
jam(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Karena penjumlahan memenuhi hukum komutatif (komutatif), jelaslah bahwa h(-x) = h(x) dan ketergantungan fungsional yang diberikan adalah genap.

Mari kita periksa paritas fungsi h(x)=11^x-11^(-x). Mengikuti algoritma yang sama, kita mendapatkan h(-x) = 11^(-x) -11^x. Mengambil minusnya, pada akhirnya kita punya
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Oleh karena itu, h(x) ganjil.

Omong-omong, perlu diingat bahwa ada fungsi yang tidak dapat diklasifikasikan menurut kriteria ini; fungsi tersebut tidak disebut genap atau ganjil.

Fungsi genap memiliki sejumlah properti menarik:

• sebagai hasil dari penambahan fungsi serupa, mereka mendapatkan fungsi genap;
• sebagai hasil pengurangan fungsi-fungsi tersebut, diperoleh fungsi genap;
• genap, genap juga;
• sebagai hasil perkalian dua fungsi tersebut, diperoleh fungsi genap;
• hasil perkalian fungsi ganjil dan genap diperoleh fungsi ganjil;
• hasil pembagian fungsi ganjil dan genap diperoleh fungsi ganjil;
• turunan dari fungsi tersebut ganjil;
• Jika Anda mengkuadratkan fungsi ganjil, Anda mendapatkan fungsi genap.

Paritas suatu fungsi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan.

Untuk menyelesaikan persamaan seperti g(x) = 0, yang ruas kiri persamaannya merupakan fungsi genap, cukup mencari solusi untuk nilai non-negatif dari variabel tersebut. Akar-akar persamaan yang dihasilkan harus digabungkan dengan bilangan-bilangan yang berlawanan. Salah satunya harus diverifikasi.

Ini juga berhasil digunakan untuk menyelesaikannya tugas non-standar dengan parameter.

Misalnya, apakah ada nilai parameter a yang persamaan 2x^6-x^4-ax^2=1 memiliki tiga akar?

Jika kita memperhitungkan bahwa variabel memasuki persamaan dalam pangkat genap, maka jelas bahwa mengganti x dengan - x persamaan yang diberikan tidak akan berubah. Oleh karena itu, jika suatu bilangan tertentu adalah akarnya, maka bilangan tersebut juga demikian nomor berlawanan. Kesimpulannya jelas: akar-akar persamaan yang bukan nol termasuk dalam himpunan penyelesaiannya “berpasangan”.

Jelas bahwa bilangan itu sendiri bukanlah 0, yaitu jumlah akar persamaan tersebut hanya boleh genap dan, tentu saja, untuk nilai parameter apa pun ia tidak boleh mempunyai tiga akar.

Namun jumlah akar persamaan 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 bisa ganjil, dan untuk nilai parameter apa pun. Memang mudah untuk memeriksa himpunan akarnya persamaan yang diberikan berisi solusi berpasangan. Mari kita periksa apakah 0 adalah root. Ketika kita mensubstitusikannya ke dalam persamaan, kita mendapatkan 2=2. Jadi, selain bilangan “berpasangan”, 0 juga merupakan akar, yang membuktikan bilangan ganjilnya.

Cara memasukkan rumus matematika ke situs web?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha . Selain kesederhanaannya, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah berfungsi sejak lama (dan, menurut saya, akan berfungsi selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax - perpustakaan JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs Anda, yang akan masuk saat yang tepat memuat secara otomatis dari server jauh (daftar server); (2) unduh skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua - lebih rumit dan memakan waktu - akan mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama karena lebih sederhana, lebih cepat dan tidak memerlukan keahlian teknis. Ikuti contoh saya, dan hanya dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web utama MathJax atau di halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke dalam kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman. Namun opsi kedua secara otomatis memantau dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, kode tersebut perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode unduhan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini sama sekali tidak diperlukan, karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML, dan Anda siap memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.

Fraktal apa pun dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara berurutan dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama besar. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dikeluarkan darinya. Hasilnya adalah satu set yang terdiri dari sisa 20 kubus kecil. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kita mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa henti, kita mendapatkan spons Menger.

Mengonversi grafik.

Deskripsi lisan fungsi.

Metode grafis.

Metode grafis untuk menentukan suatu fungsi adalah yang paling visual dan sering digunakan dalam teknologi. DI DALAM analisis matematis Metode grafis untuk menentukan fungsi digunakan sebagai ilustrasi.

Grafik suatu fungsi f adalah himpunan semua titik (x;y) bidang koordinat, di mana y=f(x), dan x “berjalan melalui” seluruh domain definisi fungsi ini.

Subset bidang koordinat adalah grafik suatu fungsi jika mempunyai paling banyak satu poin umum dari garis lurus apa pun yang sejajar dengan sumbu Oy.

Contoh. Apakah gambar di bawah ini merupakan grafik fungsi?

Keuntungan tugas grafis adalah visibilitasnya. Anda dapat langsung melihat bagaimana fungsi tersebut berperilaku, di mana ia bertambah dan di mana ia berkurang. Dari grafik tersebut Anda dapat langsung mengenali beberapa karakteristik penting fungsi.

Secara umum, analitis dan cara grafis penetapan fungsi berjalan beriringan. Bekerja dengan rumus membantu membuat grafik. Dan grafik tersebut sering kali menyarankan solusi yang bahkan tidak Anda sadari dalam rumusnya.

Hampir semua siswa mengetahui tiga cara untuk mendefinisikan suatu fungsi yang baru saja kita lihat.

Mari kita coba menjawab pertanyaan: "Apakah ada cara lain untuk menentukan suatu fungsi?"

Ada cara seperti itu.

Fungsinya dapat ditentukan dengan jelas dalam kata-kata.

Misalnya, fungsi y=2x dapat ditentukan dengan deskripsi verbal berikut: setiap nilai riil argumen x dikaitkan dengan nilai gandanya. Aturannya sudah ditetapkan, fungsinya ditentukan.

Selain itu, Anda dapat menentukan secara lisan suatu fungsi yang sangat sulit, bahkan tidak mungkin, untuk didefinisikan menggunakan rumus.

Misalnya: setiap nilai argumen natural x dikaitkan dengan jumlah digit-digit yang membentuk nilai x. Misalnya, jika x=3, maka y=3. Jika x=257, maka y=2+5+7=14. Dan seterusnya. Sulit untuk menuliskannya dalam rumus. Tapi membuat tanda itu mudah.

Metode deskripsi verbal merupakan metode yang agak jarang digunakan. Namun terkadang memang demikian.

Jika terdapat hukum korespondensi satu-satu antara x dan y, maka terdapat suatu fungsi. Hukum apa, dalam bentuk apa yang diungkapkan - rumus, tablet, grafik, kata-kata - tidak mengubah esensi masalah.

Mari kita perhatikan fungsi-fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal, yaitu. untuk siapa pun X dari domain bilangan definisi (- X) juga termasuk dalam domain definisi. Di antara fungsi-fungsi tersebut, genap dan ganjil dibedakan.

Definisi. Suatu fungsi f dipanggil meskipun untuk sembarang X dari domain definisinya

Contoh. Pertimbangkan fungsinya

Bahkan. Mari kita periksa.

Untuk siapa pun X kesetaraan terpenuhi

Jadi kedua syarat terpenuhi, artinya fungsinya genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi ini.

Definisi. Suatu fungsi f disebut ganjil jika untuk sembarang X dari domain definisinya

Contoh. Pertimbangkan fungsinya

Ini aneh. Mari kita periksa.

Seluruh domain definisi sumbu angka, artinya simetris terhadap titik (0;0).

Untuk siapa pun X kesetaraan terpenuhi

Jadi kedua syarat terpenuhi, artinya fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi ini.

Grafik pada gambar pertama dan ketiga simetris terhadap sumbu ordinat, dan grafik pada gambar kedua dan keempat simetris terhadap titik asal.

Fungsi manakah yang grafiknya ditunjukkan pada gambar yang genap dan mana yang ganjil?

Definisi 1. Fungsi tersebut dipanggil bahkan(aneh), jika bersama-sama dengan setiap nilai variabel
arti - X juga milik
dan kesetaraan tetap berlaku

Jadi, suatu fungsi dapat genap atau ganjil hanya jika domain definisinya simetris terhadap titik asal koordinat pada garis bilangan (bilangan X Dan - X milik pada saat yang sama
). Misalnya saja fungsinya
tidak genap atau ganjil, karena domain definisinya
tidak simetris terhadap titik asal.

Fungsi
bahkan karena
simetris terhadap titik asal dan.

Fungsi
aneh, karena
Dan
.

Fungsi
tidak genap dan ganjil, karena meskipun
dan simetris terhadap titik asal, persamaan (11.1) tidak terpenuhi. Misalnya,.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbunya kamu, karena kalau intinya

juga termasuk dalam jadwal. Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik asal, karena jika
milik grafik, maka titik
juga termasuk dalam jadwal.

Saat membuktikan suatu fungsi genap atau ganjil, pernyataan berikut berguna.

Dalil 1. a) Jumlah dua fungsi genap (ganjil) merupakan fungsi genap (ganjil).

b) Hasil kali dua fungsi genap (ganjil) merupakan fungsi genap.

c) Hasil kali fungsi genap dan ganjil adalah fungsi ganjil.

d) Jika F– fungsi genap di lokasi syuting X, dan fungsinya G ditentukan di himpunan
, lalu fungsinya
- bahkan.

d) Jika F– fungsi ganjil di set X, dan fungsinya G ditentukan di himpunan
dan genap (ganjil), maka fungsinya
- bahkan aneh).

Bukti. Mari kita buktikan, misalnya b) dan d).

b) Biarkan
Dan
– fungsi genap. Oleh karena itu. Kasus fungsi ganjil diperlakukan serupa
Dan
.

d) Biarkan F adalah fungsi genap. Kemudian.

Pernyataan teorema selanjutnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Teorema tersebut terbukti.

Dalil 2. Fungsi apa pun
, ditentukan di set X, simetris terhadap titik asal, dapat direpresentasikan sebagai jumlah fungsi genap dan ganjil.

Bukti. Fungsi
dapat ditulis dalam bentuk

.

Fungsi
– bahkan, karena
, dan fungsinya
– aneh, karena. Dengan demikian,
, Di mana
– genap, dan
– fungsi ganjil. Teorema tersebut terbukti.

Definisi 2. Fungsi
ditelepon berkala, jika ada nomor
, sehingga untuk apa pun
angka
Dan
juga termasuk dalam domain definisi
dan persamaan terpenuhi

Jumlah seperti itu T ditelepon periode fungsi
.

Dari Definisi 1 berikut ini jika T– periode fungsi
, lalu nomor – T Sama adalah periode fungsi tersebut
(sejak saat mengganti T pada - T kesetaraan dipertahankan). Dengan menggunakan metode induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa jika T– periode fungsi F, Kemudian
, juga merupakan suatu periode. Oleh karena itu, jika suatu fungsi mempunyai periode, maka fungsi tersebut mempunyai banyak periode yang tak terhingga.

Definisi 3. Periode positif terkecil suatu fungsi disebut nya utama periode.

Dalil 3. Jika T– periode utama dari fungsi tersebut F, maka periode sisanya adalah kelipatannya.

Bukti. Mari kita asumsikan sebaliknya, yaitu ada suatu periode fungsi F (>0), bukan kelipatan T. Lalu, membagi pada T dengan sisanya, kita dapatkan
, Di mana
. Itu sebabnya

itu adalah – periode fungsi F, Dan
, dan ini bertentangan dengan fakta itu T– periode utama dari fungsi tersebut F. Pernyataan teorema mengikuti kontradiksi yang dihasilkan. Teorema tersebut terbukti.

Diketahui bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik. Periode utama
Dan
sama
,
Dan
. Mari kita cari periode fungsinya
. Membiarkan
- periode fungsi ini. Kemudian

(Karena
.

atau
.

Arti T, yang ditentukan dari persamaan pertama, tidak dapat berupa suatu periode, karena bergantung pada X, yaitu. adalah fungsi dari X, dan bukan bilangan konstan. Periode ditentukan dari persamaan kedua:
. Ada banyak sekali periode, dengan
periode positif terkecil diperoleh pada
:
. Ini adalah periode utama dari fungsinya
.

Contoh fungsi periodik yang lebih kompleks adalah fungsi Dirichlet

Perhatikan bahwa jika T adalah bilangan rasional
Dan
adalah bilangan rasional untuk rasional X dan irasional bila tidak rasional X. Itu sebabnya

untuk bilangan rasional apa pun T. Oleh karena itu, bilangan rasional apa pun T adalah periode fungsi Dirichlet. Jelas bahwa fungsi ini tidak memiliki titik utama, karena ada titik positifnya angka rasional, mendekati nol secara sewenang-wenang (misalnya, bilangan rasional dapat dijadikan pilihan N mendekati nol).

Dalil 4. Jika fungsinya F ditentukan di himpunan X dan mempunyai periode T, dan fungsinya G ditentukan di himpunan
, maka fungsi yang kompleks
juga mempunyai periode T.

Bukti. Oleh karena itu, kami punya

yaitu pernyataan teorema terbukti.

Misalnya sejak karena X memiliki periode
, lalu fungsinya
memiliki periode
.

Definisi 4. Fungsi yang tidak periodik disebut non-periodik.