Seseorang memperlakukan kata "kemajuan" dengan hati-hati, sebagai kata yang sangat istilah kompleks dari bagian matematika yang lebih tinggi. Sedangkan deret aritmatika yang paling sederhana adalah pekerjaan loket taksi (masih ada). Dan dapatkan intinya (dan tidak ada yang lebih penting dalam matematika selain "mendapatkan intinya") barisan aritmatika Ini tidak terlalu sulit setelah Anda memahami beberapa konsep dasar.

Urutan bilangan matematika

Merupakan kebiasaan untuk menyebut urutan numerik sebagai serangkaian angka, yang masing-masing memiliki nomornya sendiri.

dan 1 adalah anggota pertama dari barisan;

dan 2 adalah anggota kedua dari barisan;

dan 7 adalah anggota ketujuh dari urutan;

dan n adalah anggota ke-n dari barisan;

Namun, tidak sembarang angka dan angka menarik minat kami. Kami akan memusatkan perhatian kami pada urutan numerik di mana nilai anggota ke-n terkait dengan nomor urutnya dengan ketergantungan yang dapat dirumuskan dengan jelas secara matematis. Dengan kata lain: nilai numerik Bilangan ke-n adalah beberapa fungsi dari n.

a - nilai anggota urutan numerik;

n - miliknya nomor seri;

f(n) adalah fungsi di mana ordinal dalam barisan numerik n adalah argumennya.

Definisi

Deret aritmatika biasanya disebut barisan numerik di mana setiap suku berikutnya lebih besar (kurang) dari yang sebelumnya dengan angka yang sama. Rumus anggota ke-n dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

a n - nilai anggota saat ini deret aritmatika;

a n+1 - rumus angka berikutnya;

d - perbedaan (angka tertentu).

Sangat mudah untuk menentukan bahwa jika perbedaannya positif (d>0), maka setiap anggota deret berikutnya yang dipertimbangkan akan lebih besar dari yang sebelumnya, dan deret aritmatika seperti itu akan meningkat.

Dalam grafik di bawah ini, mudah untuk melihat alasannya urutan numerik disebut "meningkat".

Dalam kasus di mana perbedaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Nilai anggota yang ditentukan

Kadang-kadang perlu untuk menentukan nilai dari beberapa istilah arbitrer n dari deret aritmatika. Anda dapat melakukan ini dengan menghitung secara berurutan nilai semua anggota deret aritmatika, dari yang pertama hingga yang diinginkan. Namun, cara ini tidak selalu dapat diterima jika, misalnya, perlu untuk menemukan nilai suku lima ribu atau delapan juta. Perhitungan tradisional akan memakan waktu lama. Namun, perkembangan aritmatika tertentu dapat diselidiki menggunakan rumus tertentu. Ada juga rumus untuk suku ke-n: nilai setiap anggota barisan aritmatika dapat ditentukan sebagai jumlah anggota pertama dari barisan dengan selisih perkembangan, dikalikan dengan jumlah anggota yang diinginkan, dikurangi satu .

Rumusnya universal untuk meningkatkan dan mengurangi perkembangan.

Contoh menghitung nilai anggota yang diberikan

Mari kita selesaikan masalah berikut untuk menemukan nilai anggota ke-n dari deret aritmatika.

Kondisi: ada deret aritmatika dengan parameter:

Anggota pertama dari urutan adalah 3;

Selisih deret bilangan adalah 1,2.

Tugas: perlu mencari nilai dari 214 suku

Solusi: untuk menentukan nilai anggota yang diberikan, kami menggunakan rumus:

a(n) = a1 + d(n-1)

Mengganti data dari pernyataan masalah ke dalam ekspresi, kami memiliki:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258.6

Jawaban: Anggota ke-214 dari barisan sama dengan 258,6.

Keuntungan dari metode perhitungan ini jelas - seluruh solusi tidak lebih dari 2 baris.

Jumlah dari sejumlah anggota tertentu

Sangat sering, dalam deret aritmatika tertentu, diperlukan untuk menentukan jumlah nilai dari beberapa segmennya. Itu juga tidak perlu menghitung nilai setiap istilah dan kemudian menjumlahkannya. Metode ini dapat diterapkan jika jumlah suku yang jumlahnya harus dicari sedikit. Dalam kasus lain, akan lebih mudah untuk menggunakan rumus berikut.

Jumlah anggota barisan aritmatika dari 1 ke n sama dengan jumlah anggota pertama dan ke-n, dikalikan dengan jumlah anggota n dan dibagi dua. Jika dalam rumus nilai anggota ke-n diganti dengan ekspresi dari paragraf artikel sebelumnya, kita mendapatkan:

Contoh perhitungan

Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan kondisi berikut:

Suku pertama barisan tersebut adalah nol;

Perbedaannya adalah 0,5.

Dalam soal tersebut, diperlukan untuk menentukan jumlah suku-suku barisan dari 56 hingga 101.

Keputusan. Mari kita gunakan rumus untuk menentukan jumlah progresi:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 anggota perkembangan dengan mensubstitusikan kondisi yang diberikan dari masalah kami ke dalam rumus:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Jelas, untuk mengetahui jumlah suku-suku perkembangan dari ke-56 ke ke-101, kita perlu mengurangkan S 55 dari S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Jadi jumlah dari barisan aritmatika untuk contoh ini adalah:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742,5 \u003d 1,782,5

Contoh penerapan praktis dari deret aritmatika

Di akhir artikel, mari kembali ke contoh deret aritmatika yang diberikan pada paragraf pertama - argometer (meteran mobil taksi). Mari kita pertimbangkan contoh seperti itu.

Naik taksi (yang mencakup 3 km) dikenakan biaya 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar dengan tarif 22 rubel / km. Jarak tempuh 30 km. Hitung biaya perjalanan.

1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya sudah termasuk biaya pendaratan.

30 - 3 = 27 km.

2. Perhitungan lebih lanjut tidak lebih dari penguraian deret bilangan aritmatika.

Nomor anggota adalah jumlah kilometer yang ditempuh (dikurangi tiga yang pertama).

Nilai anggota adalah jumlah.

Suku pertama dalam soal ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.

Selisih perkembangan d = 22 hal.

jumlah yang menarik bagi kami adalah nilai (27 + 1) anggota deret aritmatika - pembacaan meter pada akhir kilometer ke-27 adalah 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 (28 - 1) \u003d 644

Perhitungan data kalender untuk jangka waktu yang lama didasarkan pada rumus yang menjelaskan urutan numerik tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit secara geometris bergantung pada jarak benda angkasa dari bintang. Selain itu, berbagai deret numerik berhasil digunakan dalam statistik dan cabang matematika terapan lainnya.

Jenis lain dari barisan bilangan adalah geometris

Deret geometri dicirikan oleh laju perubahan yang lebih tinggi daripada deret aritmatika. Bukan kebetulan bahwa dalam politik, sosiologi, kedokteran, seringkali, untuk menunjukkan kecepatan tinggi penyebaran fenomena tertentu, misalnya, penyakit selama epidemi, mereka mengatakan bahwa prosesnya berkembang secara eksponensial.

Anggota ke-N dari deret bilangan geometris berbeda dari yang sebelumnya karena dikalikan dengan beberapa bilangan konstan - penyebutnya, misalnya, anggota pertama adalah 1, penyebutnya masing-masing adalah 2, maka:

n=1: 1 2 = 2

n=2: 2 2 = 4

n=3: 4 2 = 8

n=4: 8 2 = 16

n=5: 16 2 = 32,

b n - nilai anggota deret geometri saat ini;

b n+1 - rumus anggota berikutnya dari deret geometri;

q adalah penyebut deret geometri (bilangan konstan).

Jika grafik suatu barisan aritmatika adalah garis lurus, maka grafik geometrik itu menggambar gambar yang sedikit berbeda:

Seperti dalam kasus aritmatika, deret geometri memiliki rumus untuk nilai anggota sembarang. Setiap suku ke-n dari barisan geometri sama dengan hasil kali suku pertama dan penyebut dari pangkat n dikurangi satu:

Contoh. Kami memiliki barisan geometri dengan suku pertama sama dengan 3 dan penyebut dari barisan sama dengan 1,5. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut

b 5 \u003d b 1 q (5-1) \u003d 3 1,5 4 \u003d 15,1875

Jumlah dari sejumlah anggota tertentu juga dihitung dengan menggunakan rumus khusus. Jumlah n anggota pertama suatu barisan geometri sama dengan selisih antara hasil kali anggota ke-n dari barisan tersebut dan penyebutnya dan anggota pertama dari barisan tersebut, dibagi dengan penyebut dikurangi satu:

Jika b n diganti menggunakan rumus yang dibahas di atas, nilai jumlah n anggota pertama dari deret bilangan yang dipertimbangkan akan berbentuk:

Contoh. Deret geometri dimulai dengan suku pertama sama dengan 1. Penyebutnya sama dengan 3. Mari kita cari jumlah delapan suku pertama.

s8 = 1 (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Ya, ya: deret aritmatika bukan mainan untuk Anda :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, maka bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih belum tahu apa itu barisan aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOO!) ingin tahu. Karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan dari semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanya angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, perbedaan antara angka yang berdekatan sudah sama dengan lima, tetapi perbedaan ini masih konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sedangkan $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua barisan seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Barisan bilangan yang setiap bilangan berikutnya berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama persis disebut barisan aritmatika. Jumlah di mana angka-angka itu berbeda disebut selisih perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa komentar penting. Pertama, kemajuan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa berhingga atau tak terhingga. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan barisan aritmatika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah perkembangan tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa progresi meningkat dan menurun. Kami telah melihat peningkatan yang - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh progresi yang menurun:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke, oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Deret aritmatika disebut:

1. meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;
2. menurun, jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari yang sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - mereka terdiri dari nomor berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semuanya di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

1. Jika $d \gt 0$, maka progresnya meningkat;
2. Jika $d \lt 0$, maka progresi jelas menurun;
3. Akhirnya, ada kasus $d=0$ — dalam kasus ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner dari angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Mari kita coba hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi menurun di atas. Untuk melakukan ini, cukup dengan mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan mengurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya benar-benar negatif. Dan sekarang setelah kita kurang lebih mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang dimilikinya.

Anggota perkembangan dan formula berulang

Karena elemen dari barisan kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Baik\)\]

Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan cara ini dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.

Selain itu, seperti yang sudah kita ketahui, anggota perkembangan yang bertetangga terkait dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk menemukan suku ke $n$ dari perkembangan, Anda perlu mengetahui suku ke $n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan pada kenyataannya, semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun ke suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan formula ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya dalam segala macam buku referensi dan reshebnik. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal tentang matematika, itu adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmatika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Keputusan. Jadi, kita mengetahui suku pertama $((a)_(1))=8$ dan selisih perkembangan $d=-5$. Mari kita gunakan rumus yang baru saja diberikan dan substitusikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; -2)

Itu saja! Perhatikan bahwa perkembangan kami menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat disubstitusikan - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama, rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.

Tugas nomor 2. Tulislah tiga suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku ketujuhnya adalah 40 dan suku ketujuh belasnya adalah 50.

Keputusan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\kiri\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Baik.\]

Saya memberi tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kita perhatikan bahwa jika kita mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kita memiliki hak untuk melakukan ini, karena kita memiliki sistem), kita mendapatkan ini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(sejajarkan)\]

Sama seperti itu, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap menggantikan nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \akhir(matriks)\]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat aneh dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku ke $n$ dan $m$ dan mengurangkannya satu sama lain, maka kita mendapatkan selisih dari perkembangan dikalikan dengan bilangan $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Properti sederhana namun sangat berguna yang harus Anda ketahui - dengan bantuannya, Anda dapat secara signifikan mempercepat solusi dari banyak masalah perkembangan. Berikut adalah contoh utama dari ini:

Tugas nomor 3. Suku kelima dari barisan aritmatika adalah 8,4 dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari deret ini.

Keputusan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu mencari $((a)_(15))$, kita perhatikan sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetapi dengan syarat $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita mendapatkan:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota progresi yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sementara suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku-suku positif akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: syarat dari suatu progresi yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kami hanya akan tertidur sampai kami menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan lebih cepat.

Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmatika -38.5; -35,8; …?

Keputusan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35,8$, dari mana kita segera menemukan perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga progresnya meningkat. Suku pertama negatif, jadi memang suatu saat kita akan menemukan bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu, sampai berapa bilangan asli $n$) negativitas istilah dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \benar. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \end(sejajarkan)\]

Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diizinkan adalah tepat $n=15$, dan tidak ada kasus 16.

Tugas nomor 5. Dalam deret aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari deret ini.

Ini akan menjadi masalah yang sama persis dengan yang sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi suku-suku bertetangganya diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, sehingga kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

Selain itu, mari kita coba mengungkapkan suku kelima dalam hal yang pertama dan perbedaannya menggunakan rumus standar:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana dalam urutan angka positif kami akan muncul:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \end(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah bilangan 56.

Harap dicatat bahwa dalam tugas terakhir semuanya direduksi menjadi ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi $n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang kita telah belajar bagaimana memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari kita pelajari properti progresi aritmatika lain yang sangat berguna, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa depan. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat anggota arbitrer $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan bukan $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang sekarang akan saya beri tahu Anda, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan menuliskannya untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(sejajarkan)\]

Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa suku $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas, tetapi gambar menggambarkan artinya dengan baik

Anggota perkembangan terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika bilangan tetangga diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota dari deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan tetap saja rumusnya akan benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita mengetahui $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sepintas, tampaknya fakta ini tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas khusus "dipertajam" untuk penggunaan mean aritmatika. Lihatlah:

Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga bilangan $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berurutan dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).

Keputusan. Karena bilangan-bilangan ini adalah anggota dari suatu deret, kondisi rata-rata aritmatika terpenuhi untuk mereka: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam elemen tetangga:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: -3; 2.

Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sedemikian rupa sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Keputusan. Sekali lagi, kami menyatakan suku tengah dalam bentuk rata-rata aritmatika dari suku-suku tetangga:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(sejajarkan)\]

persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses penyelesaian masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin akan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah dalam soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa memastikan bahwa jawaban-jawaban ini benar? Mari kita pasang ke kondisi aslinya dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang harus membentuk deret aritmatika. Pengganti $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka -54; 2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan perkembangan aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Sekali lagi kemajuan, tetapi dengan perbedaan 27. Dengan demikian, masalah diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua mereka sendiri, tetapi saya akan segera mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat memecahkan masalah terakhir, kami menemukan fakta menarik lainnya yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Di masa depan, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk benar-benar "membangun" progresi yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Tetapi sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" semacam itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang secara langsung mengikuti dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengelompokan dan jumlah elemen

Mari kita kembali ke garis bilangan lagi. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lain:

6 elemen yang ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba menyatakan "ekor kiri" dalam bentuk $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut adalah sama:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita menganggap sebagai awal dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan beberapa angka $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (saling menuju atau sebaliknya untuk menjauh), kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini dapat direpresentasikan secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah dengan tingkat kompleksitas yang lebih tinggi secara fundamental daripada yang kita bahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas nomor 8. Tentukan selisih suatu barisan aritmatika yang suku pertamanya adalah 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Keputusan. Mari kita tuliskan semua yang kita ketahui:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangan $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \left(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang ada di tangki: Saya telah mengambil faktor umum 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat terhadap variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien dengan suku tertinggi adalah 11 - ini adalah bilangan positif, jadi kita benar-benar berurusan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola

Harap diperhatikan: parabola ini mengambil nilai minimumnya pada titik puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini menurut skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, sehingga titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \kanan)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(sejajarkan)\]

Itulah sebabnya saya tidak terburu-buru untuk membuka kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absis sama dengan rata-rata aritmatika dari angka 66 dan 6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (omong-omong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - ini tidak diperlukan dari kami). Pada saat yang sama, angka ini adalah perbedaan dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: -36

Tugas nomor 9. Masukkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama dengan angka-angka yang diberikan, mereka membentuk barisan aritmatika.

Keputusan. Padahal, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan angka pertama dan terakhir sudah diketahui. Tunjukkan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari barisan kita - angka ini berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$ dari angka $x$ dan $z$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangan. Ingat mean aritmatika:

Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Jadi

Berdebat sama, kami menemukan nomor yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban dalam urutan di mana mereka harus disisipkan di antara angka-angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nomor 10. Di antara bilangan 2 dan 42, sisipkan beberapa bilangan yang bersama-sama dengan bilangan yang diberikan membentuk barisan aritmatika, jika diketahui jumlah bilangan pertama, kedua, dan terakhir yang disisipkan adalah 56.

Keputusan. Tugas yang bahkan lebih sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui rata-rata aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, deret aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Namun, perhatikan bahwa bilangan $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah menuju satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini berarti bahwa

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tapi kemudian ekspresi di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangan:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \end(sejajarkan)\]

Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(sejajarkan)\]

Jadi, sudah pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan progres

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas-tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang ditemukan di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya sarankan Anda membiasakan diri dengan mereka.

Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian di bulan Januari, dan di setiap bulan berikutnya mereka memproduksi 14 bagian lebih banyak dari yang sebelumnya. Berapa banyak suku cadang yang diproduksi brigade pada bulan November?

Keputusan. Jelas, jumlah bagian, yang dilukis berdasarkan bulan, akan menjadi deret aritmatika yang meningkat. Dan:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada November.

Tugas nomor 12. Lokakarya penjilidan buku menjilid 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulannya menjilid 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Keputusan. Semua sama:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan "kursus petarung muda" dalam progresi aritmatika. Kita dapat dengan aman melanjutkan ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus penjumlahan perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(delapan\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):

Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.

Namun, \(d\) juga dapat angka negatif. Misalnya, dalam deret aritmatika \(16\); \(sepuluh\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.

Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut menurun.

Notasi deret aritmatika

Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.

Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen).

Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.

Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk progresi \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Memecahkan masalah pada deret aritmatika

Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada deret aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Keputusan:

Menjawab: \(b_5=23\)

Contoh (OGE). Tiga suku pertama dari suatu barisan aritmatika diberikan: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama dari barisan ini..
Keputusan:

	Kami diberi elemen pertama dari barisan dan tahu bahwa itu adalah deret aritmatika. Artinya, setiap elemen berbeda dari elemen tetangga dengan nomor yang sama. Cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\).
	Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen yang diinginkan (negatif pertama).
	Siap. Anda dapat menulis jawaban.

Menjawab: \(-3\)

Contoh (OGE). Beberapa elemen berurutan dari deret aritmatika diberikan: \(...5; x; 10; 12,5...\) Temukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Keputusan:

	Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dari elemen sebelumnya, dengan kata lain, perbedaan progresi. Mari kita cari dari dua elemen tetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\).
	Dan sekarang kami menemukan apa yang kami cari tanpa masalah: \(x=5+2.5=7.5\).
	Siap. Anda dapat menulis jawaban.

Menjawab: \(7,5\).

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Temukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Keputusan:

Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya, kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kami menghitung nilainya secara bergantian, menggunakan yang diberikan kepada kami: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Dan setelah menghitung enam elemen yang kita butuhkan, kita menemukan jumlah mereka.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Jumlah yang diminta telah ditemukan.

Menjawab: \(S_6=9\).

Contoh (OGE). Dalam deret aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Keputusan:

Menjawab: \(d=7\).

Rumus Kemajuan Aritmatika Penting

Seperti yang Anda lihat, banyak masalah deret aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa deret aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaannya dari kemajuan).

Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk menyelesaikan "di dahi". Misalnya, bayangkan bahwa dalam contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan bahwa dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitungnya membingungkan...

Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak memecahkan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk deret aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari deret dan rumus jumlah \(n\) suku pertama.

Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).

Rumus ini memungkinkan kita untuk dengan cepat menemukan setidaknya tiga ratus, bahkan elemen sepersejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbedaan perkembangan.

Contoh. Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Keputusan:

Menjawab: \(b_(246)=1850\).

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana

\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah suku \(25\) pertama dari deret ini.
Keputusan:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Untuk menghitung jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. Kemajuan kita diberikan oleh rumus suku ke-n tergantung pada jumlahnya (lihat detail). Mari kita hitung elemen pertama dengan mengganti \(n\) dengan satu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Sekarang mari kita cari suku kedua puluh lima dengan mengganti dua puluh lima sebagai ganti \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nah, sekarang kami menghitung jumlah yang dibutuhkan tanpa masalah.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(25)=1090\).

Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:

Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana

\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam jumlah.

Contoh. Temukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari deret aritmatika: \(17\); \(15,5\); \(empat belas\)…
Keputusan:

Menjawab: \(S_(33)=-231\).

Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks

Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna )

Contoh (OGE). Temukan jumlah semua suku negatif dari perkembangan: \(-19.3\); \(-sembilan belas\); \(-18.7\)…
Keputusan:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai memecahkan dengan cara yang sama: pertama kita temukan \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Sekarang kita akan mengganti \(d\) ke dalam rumus untuk jumlah ... dan di sini muncul nuansa kecil - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami sampai ke elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung setiap elemen dari deret aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		Kita perlu \(a_n\) lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu apa \(n\) ini akan terjadi.
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Kami mentransfer minus satu, tidak lupa mengubah tanda
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Komputasi...
\(n>65.333…\)		…dan ternyata elemen positif pertama memiliki bilangan \(66\). Dengan demikian, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk jaga-jaga, mari kita periksa.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		Jadi, kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Jawabannya sudah siap.

Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).

Contoh (OGE). Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th ke \(42\) elemen inklusif.
Keputusan:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Dalam soal ini, Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak mulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak memiliki formula untuk ini. Bagaimana memutuskan? Mudah - untuk mendapatkan jumlah dari \(26\)th ke \(42\)th, Anda harus terlebih dahulu menemukan jumlah dari \(1\)th ke \(42\)th, dan kemudian kurangi jumlah dari yang pertama ke \ (25 \) (lihat gambar).
	Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (setelah semua, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk menemukan yang berikutnya). Mengetahui hal ini, kami menemukan jumlah elemen \(42\)-uh pertama.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sekarang jumlah elemen ke-\(25\) pertama.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Dan akhirnya, kami menghitung jawabannya.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Menjawab: \(S=1683\).

Untuk deret aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami bahas dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.

Petunjuk

Barisan aritmatika adalah barisan yang berbentuk a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Langkah nomor d kemajuan.Jelas, total suku ke-n arbitrer dari aritmatika kemajuan memiliki bentuk: An = A1+(n-1)d. Kemudian mengetahui salah satu anggota kemajuan, anggota kemajuan dan langkah kemajuan, bisa , yaitu, jumlah suku perkembangan. Jelas, itu akan ditentukan oleh rumus n = (An-A1+d)/d.

Biarkan suku ke-m diketahui sekarang kemajuan dan beberapa anggota lainnya kemajuan- ke-n, tetapi n , seperti pada kasus sebelumnya, tetapi diketahui bahwa n dan m tidak cocok.Langkah kemajuan dapat dihitung dengan rumus: d = (An-Am)/(n-m). Maka n = (An-Am+md)/d.

Jika jumlah beberapa elemen suatu aritmatika kemajuan, serta yang pertama dan terakhir , maka jumlah elemen ini juga dapat ditentukan. kemajuan akan sama dengan: S = ((A1+An)/2)n. Maka n = 2S/(A1+An) adalah chdenov kemajuan. Menggunakan fakta bahwa An = A1+(n-1)d, rumus ini dapat ditulis ulang sebagai: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Dari sini dapat dinyatakan n dengan memecahkan persamaan kuadrat.

Barisan aritmatika adalah kumpulan angka yang berurutan, yang setiap anggotanya, kecuali yang pertama, berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama. Ini konstan disebut selisih dari barisan atau langkahnya dan dapat dihitung dari anggota barisan aritmatika yang diketahui.

Petunjuk

Jika nilai suku pertama dan kedua atau pasangan suku tetangga lainnya diketahui dari kondisi masalah, untuk menghitung selisih (d), cukup kurangi suku sebelumnya dari suku berikutnya. Nilai yang dihasilkan dapat berupa positif atau negatif - itu tergantung pada apakah perkembangannya meningkat. PADA bentuk umum tulis solusi untuk pasangan arbitrer (aᵢ dan aᵢ₊₁) dari anggota-anggota deret yang bertetangga sebagai berikut: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Untuk sepasang anggota dari deret seperti itu, salah satunya adalah yang pertama (a₁), dan yang lainnya adalah yang lain yang dipilih secara arbitrer, kita juga dapat membuat rumus untuk menemukan perbedaan (d). Namun, dalam hal ini, nomor seri (i) dari anggota urutan yang dipilih secara arbitrer harus diketahui. Untuk menghitung selisihnya, tambahkan kedua bilangan tersebut, dan bagi hasilnya dengan bilangan urut dari suku arbitrer yang dikurangi satu. PADA pandangan umum tulis rumus ini seperti ini: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Jika, selain anggota arbitrer dari barisan aritmatika dengan bilangan urut i, anggota lain dengan bilangan urut u diketahui, ubahlah rumus dari langkah sebelumnya. Dalam hal ini, selisih (d) dari barisan akan menjadi jumlah dari kedua suku ini dibagi dengan selisih bilangan urutnya: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Rumus untuk menghitung selisih (d) menjadi agak lebih rumit jika, dalam kondisi masalah, nilai anggota pertamanya (a₁) dan jumlah (Sᵢ) dari bilangan tertentu (i) dari anggota pertama dari barisan aritmatika diberikan. Untuk mendapatkan nilai yang diinginkan, bagi jumlah dengan jumlah suku yang membentuknya, kurangi nilai bilangan pertama dalam barisan, dan gandakan hasilnya. Bagilah nilai yang dihasilkan dengan jumlah suku yang membentuk jumlah dikurangi satu. Secara umum, tuliskan rumus untuk menghitung diskriminan sebagai berikut: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Masalah perkembangan aritmatika sudah ada di zaman kuno. Mereka muncul dan menuntut solusi, karena mereka punya kebutuhan praktis.

Jadi, di salah satu papirus mesir kuno, yang memiliki konten matematika - papirus Rhind (abad XIX SM) - berisi tugas berikut: membagi sepuluh takaran roti menjadi sepuluh orang, asalkan perbedaan antara masing-masing adalah seperdelapan takaran.

Dan dalam karya matematika orang Yunani kuno ada teorema elegan yang terkait dengan perkembangan aritmatika. Jadi, Gipsicles of Alexandria (abad II, yang berjumlah banyak) tugas yang menarik dan menambahkan buku keempat belas ke "Prinsip" Euclid, merumuskan gagasan: "Dalam deret aritmatika yang memiliki bilangan genap anggota, jumlah anggota babak ke-2 lebih besar dari jumlah anggota babak pertama dengan kuadrat 1/2 dari jumlah anggota.

Urutan an dilambangkan. Nomor-nomor barisan tersebut disebut anggotanya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nomor urut anggota ini (a1, a2, a3 ... baca: “a 1”, “a 2nd”, “a 3rd” dan seterusnya).

Urutannya bisa tak terbatas atau terbatas.

Apa itu barisan aritmatika? Dipahami seperti yang diperoleh dengan menjumlahkan suku sebelumnya (n) dengan bilangan d yang sama, yang merupakan selisih perkembangannya.

jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan tersebut dianggap meningkat.

Suatu barisan aritmatika dikatakan berhingga jika hanya beberapa suku pertamanya saja yang diperhitungkan. sangat dalam jumlah besar anggota sudah merupakan perkembangan yang tak terbatas.

Setiap perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus berikut:

an =kn+b, sedangkan b dan k adalah beberapa bilangan.

Pernyataan, yang merupakan kebalikannya, sepenuhnya benar: jika barisan diberikan oleh rumus yang sama, maka ini adalah deret aritmatika, yang memiliki sifat-sifat:

1. Setiap anggota deret adalah rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan anggota berikutnya.
2. Kebalikannya: jika, mulai dari yang ke-2, setiap suku adalah rata-rata aritmatika dari suku sebelumnya dan suku berikutnya, mis. jika kondisi terpenuhi, maka barisan yang diberikan adalah barisan aritmatika. Kesetaraan ini sekaligus merupakan tanda kemajuan, sehingga biasanya disebut sebagai ciri khas kemajuan.
   Dengan cara yang sama, teorema yang mencerminkan sifat ini adalah benar: barisan adalah barisan aritmatika hanya jika persamaan ini benar untuk salah satu anggota barisan, mulai dari yang ke-2.

Sifat karakteristik untuk setiap empat bilangan dari suatu barisan aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k adalah bilangan-bilangan dari barisan tersebut).

Dalam deret aritmatika, setiap suku (N) yang diperlukan dapat ditemukan dengan menerapkan rumus berikut:

Contoh: suku pertama (a1) pada suatu barisan aritmatika diberikan dan sama dengan tiga, dan selisih (d) sama dengan empat. Anda perlu menemukan suku keempat puluh lima dari perkembangan ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Rumus an = ak + d(n - k) memungkinkan kita untuk menentukan anggota ke-n deret aritmatika melalui salah satu suku ke-k, asalkan diketahui.

Jumlah anggota deret aritmatika (dengan asumsi n anggota deret terakhir) dihitung sebagai berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika suku pertama juga diketahui, maka rumus lain yang sesuai untuk perhitungan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah barisan aritmatika yang memuat n suku dihitung sebagai berikut:

Pilihan rumus untuk perhitungan tergantung pada kondisi tugas dan data awal.

Deret alami dari bilangan apa pun seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling sederhana perkembangan aritmatika.

Selain deret aritmatika, ada juga deret geometri yang memiliki sifat dan karakteristik tersendiri.