bilangan irasional- Ini bilangan asli, yang tidak rasional, yaitu, tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana adalah bilangan bulat, . Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai desimal tak berulang tak berhingga.
Banyak ir angka rasional biasanya dikapitalisasi huruf latin dicetak tebal tanpa isian. Jadi: , yaitu himpunan bilangan irasional adalah perbedaan himpunan bilangan real dan rasional.
Tentang keberadaan bilangan irasional, lebih tepatnya segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen satuan panjang, matematikawan kuno sudah tahu: mereka tahu, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi bujur sangkar, yang setara dengan irasionalitas angka.
Properti
- Setiap bilangan real dapat ditulis sebagai pecahan desimal tak terbatas, sedangkan bilangan irasional dan hanya bilangan tersebut ditulis sebagai pecahan desimal tak terbatas non-periodik.
- Bilangan irasional tentukan bagian Dedekind pada himpunan bilangan rasional yang tidak memiliki bilangan terbesar di kelas bawah dan tidak ada bilangan terkecil di kelas atas.
- Setiap bilangan transendental nyata adalah irasional.
- Setiap bilangan irasional adalah aljabar atau transendental.
- Himpunan bilangan irasional padat di mana-mana pada garis nyata: di antara dua bilangan ada bilangan irasional.
- Orde pada himpunan bilangan irasional adalah isomorfik terhadap orde pada himpunan bilangan transendental real.
- Himpunan bilangan irasional tak terhitung, merupakan himpunan golongan kedua.
Contoh
| Bilangan irasional - (3) - 2 - 3 - 5 - - - - - |
irasional adalah:
Contoh Bukti Irasionalitas
Akar dari 2
Asumsikan sebaliknya: rasional , yaitu diwakili dalam bentuk pecahan tak tereduksi, Dimana adalah bilangan bulat dan merupakan bilangan asli. Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
.Dari sini dapat disimpulkan bahwa genap, oleh karena itu, genap dan . Biarkan di mana keseluruhan. Kemudian
Oleh karena itu, genap, oleh karena itu, genap dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bertentangan dengan ireduksibilitas pecahan . Oleh karena itu, asumsi awal salah, dan merupakan bilangan irasional.
Logaritma biner dari angka 3
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat diambil positif. Kemudian
Tapi yang jelas, itu aneh. Kami mendapatkan kontradiksi.
e
Cerita
Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (c. 750 SM - c. 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61, tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini ada unit tunggal panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat beberapa kali di segmen mana pun. Namun, Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang tunggal, karena asumsi keberadaannya mengarah pada kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring dari sebuah sama kaki segitiga siku-siku berisi sejumlah bilangan bulat dari segmen unit, maka angka ini harus genap dan ganjil pada saat yang sama. Buktinya terlihat seperti ini:
- Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai sebuah:b, di mana sebuah dan b dipilih sekecil mungkin.
- Menurut teorema Pythagoras: sebuah² = 2 b².
- Sebagai sebuah² genap, sebuah harus genap (karena kuadrat dari bilangan ganjil akan menjadi ganjil).
- Sejauh sebuah:b tidak dapat direduksi b harus ganjil.
- Sebagai sebuah genap, menunjukkan sebuah = 2kamu.
- Kemudian sebuah² = 4 kamu² = 2 b².
- b² = 2 kamu², oleh karena itu b genap, maka b bahkan.
- Namun, telah terbukti bahwa b aneh. Kontradiksi.
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat berada di pelayaran laut, dan dilempar ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya." Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi yang mendasari bahwa bilangan dan benda-benda geometris adalah satu dan tak terpisahkan.
Apa itu bilangan irasional? Mengapa mereka disebut demikian? Di mana mereka digunakan dan apa itu? Hanya sedikit yang bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan ini tanpa ragu-ragu. Tetapi pada kenyataannya, jawaban untuk mereka cukup sederhana, meskipun tidak semua orang membutuhkannya dan dalam situasi yang sangat jarang.
Esensi dan sebutan
Bilangan irasional tidak berhingga non-periodik Kebutuhan untuk memperkenalkan konsep ini disebabkan oleh kenyataan bahwa untuk memecahkan masalah baru yang muncul, konsep bilangan real atau real, integer, natural dan rasional yang sudah ada sebelumnya tidak lagi cukup. Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 2, seseorang harus menggunakan tak terhingga non-periodik desimal. Selain itu, banyak persamaan paling sederhana juga tidak memiliki solusi tanpa memperkenalkan konsep bilangan irasional.
Himpunan ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti yang sudah jelas, nilai-nilai ini tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana, di mana pembilangnya akan ada bilangan bulat, dan di penyebutnya -
Untuk pertama kalinya, dengan satu atau lain cara, matematikawan India menemukan fenomena ini pada abad ke-7, ketika ditemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa besaran tidak dapat ditunjukkan secara eksplisit. Dan bukti pertama tentang keberadaan angka-angka tersebut dikaitkan dengan Hippasus Pythagoras, yang melakukan ini dalam proses mempelajari segitiga siku-siku sama kaki. Kontribusi serius untuk mempelajari himpunan ini dibuat oleh beberapa ilmuwan lain yang hidup sebelum zaman kita. Pengenalan konsep bilangan irasional menyebabkan revisi yang ada sistem matematika, itulah sebabnya mereka sangat penting.
asal nama
Jika rasio dalam bahasa Latin adalah "pecahan", "rasio", maka awalan "ir"
memberikan kata ini arti berlawanan. Dengan demikian, nama himpunan angka-angka ini menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dikorelasikan dengan bilangan bulat atau pecahan, mereka memiliki tempat yang terpisah. Ini mengikuti dari sifat mereka.
Tempatkan dalam klasifikasi umum
Bilangan irasional, bersama dengan bilangan rasional, termasuk dalam kelompok bilangan real atau real, yang pada gilirannya kompleks. Tidak ada himpunan bagian, namun, ada varietas aljabar dan transendental, yang akan dibahas di bawah.
Properti
Karena bilangan irasional adalah bagian dari himpunan bilangan real, semua sifat mereka yang dipelajari dalam aritmatika berlaku untuk mereka (mereka juga disebut hukum aljabar dasar).
a + b = b + a (komutatif);
(a + b) + c = a + (b + c) (asosiasi);
a + (-a) = 0 (adanya bilangan yang berlawanan);
ab = ba (hukum perpindahan);
(ab)c = a(bc) (distribusi);
a(b+c) = ab + ac (hukum distributif);
a x 1/a = 1 (adanya bilangan terbalik);
Perbandingan juga dilakukan sesuai dengan pola umum dan prinsip:
Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitivitas relasi) dan. dll.
Tentu saja, semua bilangan irasional dapat diubah menggunakan dasar operasi aritmatika. Tidak ada aturan khusus sementara tidak.
Selain itu, aksioma Archimedes meluas ke bilangan irasional. Dikatakan bahwa untuk sembarang dua besaran a dan b, pernyataan benar bahwa dengan mengambil a sebagai suku kali cukup, adalah mungkin untuk melampaui b.
Penggunaan
Terlepas dari kenyataan bahwa di kehidupan biasa tidak begitu sering Anda harus berurusan dengan mereka, bilangan irasional tidak dapat dihitung. Mereka banyak sekali tetapi mereka hampir tidak terlihat. Kita dikelilingi oleh bilangan irasional di mana-mana. Contoh yang familiar bagi semua adalah pi, yaitu 3.1415926... atau e, yang pada dasarnya adalah basis logaritma natural, 2.718281828... Dalam aljabar, trigonometri, dan geometri, Anda harus menggunakannya setiap saat. Omong-omong, arti terkenal"bagian emas", yaitu, rasio bagian yang lebih besar dengan yang lebih kecil, dan sebaliknya, juga
milik himpunan ini. Kurang dikenal "perak" - juga.
Pada garis bilangan, mereka terletak sangat padat, sehingga antara dua kuantitas yang terkait dengan himpunan rasional, yang irasional pasti terjadi.
Masih banyak masalah yang belum terselesaikan terkait dengan himpunan ini. Ada kriteria seperti ukuran irasionalitas dan normalitas suatu bilangan. Matematikawan terus memeriksa contoh yang paling signifikan untuk milik mereka ke dalam satu kelompok atau yang lain. Misalnya, dianggap bahwa e adalah bilangan normal, yaitu, peluang munculnya angka yang berbeda dalam entrinya adalah sama. Adapun pi, penelitian masih berlangsung mengenai hal itu. Ukuran irasionalitas adalah nilai yang menunjukkan seberapa baik bilangan tertentu dapat didekati dengan bilangan rasional.
Aljabar dan transendental
Seperti yang telah disebutkan, bilangan irasional secara kondisional dibagi menjadi aljabar dan transendental. Secara kondisional, karena, sebenarnya, klasifikasi ini digunakan untuk membagi himpunan C.
Tersembunyi di bawah penunjukan ini bilangan kompleks, yang termasuk nyata atau nyata.
Jadi, nilai aljabar adalah nilai yang merupakan akar dari polinomial yang tidak identik sama dengan nol. Misalnya, akar kuadrat dari 2 termasuk dalam kategori ini karena merupakan solusi dari persamaan x 2 - 2 = 0.
Namun sisanya bilangan asli, yang tidak memenuhi kondisi ini, disebut transendental. Varietas ini juga termasuk contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - bilangan pi dan basis logaritma natural e.
Menariknya, tidak satu pun atau yang kedua awalnya disimpulkan oleh matematikawan dalam kapasitas ini, irasionalitas dan transendensi mereka terbukti bertahun-tahun setelah penemuan mereka. Untuk pi, pembuktian diberikan pada tahun 1882 dan disederhanakan pada tahun 1894, yang mengakhiri kontroversi 2.500 tahun tentang masalah kuadrat lingkaran. Ini masih belum sepenuhnya dipahami, jadi matematikawan modern memiliki sesuatu untuk dikerjakan. Omong-omong, perhitungan pertama yang cukup akurat dari nilai ini dilakukan oleh Archimedes. Di hadapannya, semua perhitungan terlalu mendekati.
Untuk e (bilangan Euler atau Napier), bukti transendensinya ditemukan pada tahun 1873. Digunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma.
Contoh lain termasuk nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk setiap nilai aljabar bukan nol.
Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital Saya (\displaystyle \mathbb (I) ) dicetak tebal tanpa isian. Dengan demikian: I = R Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), yaitu, himpunan bilangan irasional adalah selisih antara himpunan bilangan real dan rasional.
Keberadaan bilangan irasional, lebih tepatnya segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen satuan panjang, sudah diketahui matematikawan kuno: mereka tahu, misalnya, ketidaksebandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas. dari nomor.
YouTube ensiklopedis
-
1 / 5
irasional adalah:
Contoh Bukti Irasionalitas
Akar dari 2
Katakanlah sebaliknya: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), di mana m (\gaya tampilan m) adalah bilangan bulat, dan n (\gaya tampilan n)- bilangan asli .
Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Panah kanan m^(2)=2n^(2)).Cerita
Jaman dahulu
Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (± 750 SM - ± 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit [ ] .
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun [ ] .
Tidak ada data pasti tentang irasionalitas angka mana yang dibuktikan oleh Hippasus. Menurut legenda, ia menemukannya dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Oleh karena itu, masuk akal untuk mengasumsikan bahwa ini adalah rasio emas [ ] .
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippas mendahului matematika Pythagoras masalah serius, menghancurkan asumsi yang mendasari seluruh teori bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tak terpisahkan.
Dengan segmen satuan panjang, matematikawan kuno sudah tahu: mereka tahu, misalnya, ketidaksebandingan diagonal dan sisi bujur sangkar, yang setara dengan irasionalitas angka.
irasional adalah:
Contoh Bukti Irasionalitas
Akar dari 2
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, itu direpresentasikan sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi, di mana dan adalah bilangan bulat. Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
.Dari sini dapat disimpulkan bahwa genap, oleh karena itu, genap dan . Biarkan di mana keseluruhan. Kemudian
Oleh karena itu, genap, oleh karena itu, genap dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bertentangan dengan ireduksibilitas pecahan . Oleh karena itu, asumsi awal salah, dan merupakan bilangan irasional.
Logaritma biner dari angka 3
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat diambil positif. Kemudian
Tapi yang jelas, itu aneh. Kami mendapatkan kontradiksi.
e
Cerita
Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (± 750 SM - ± 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun. Namun, Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang tunggal, karena asumsi keberadaannya mengarah pada kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring dari segitiga siku-siku sama kaki berisi sejumlah bilangan bulat dari unit segmen, maka jumlah ini harus genap dan ganjil pada saat yang sama. Buktinya terlihat seperti ini:
- Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai sebuah:b, di mana sebuah dan b dipilih sekecil mungkin.
- Menurut teorema Pythagoras: sebuah² = 2 b².
- Sebagai sebuah² genap, sebuah harus genap (karena kuadrat dari bilangan ganjil akan menjadi ganjil).
- Sejauh sebuah:b tidak dapat direduksi b harus ganjil.
- Sebagai sebuah genap, menunjukkan sebuah = 2kamu.
- Kemudian sebuah² = 4 kamu² = 2 b².
- b² = 2 kamu², oleh karena itu b genap, maka b bahkan.
- Namun, telah terbukti bahwa b aneh. Kontradiksi.
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi yang mendasari bahwa bilangan dan benda-benda geometris adalah satu dan tak terpisahkan.
Lihat juga
Catatan
Sistem numerik Perhitungan
setBilangan asli () Bilangan bulat () Dengan segmen satuan panjang, matematikawan kuno sudah tahu: mereka tahu, misalnya, ketidaksebandingan diagonal dan sisi bujur sangkar, yang setara dengan irasionalitas angka.
irasional adalah:
Contoh Bukti Irasionalitas
Akar dari 2
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, itu direpresentasikan sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi, di mana dan adalah bilangan bulat. Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:
.Dari sini dapat disimpulkan bahwa genap, oleh karena itu, genap dan . Biarkan di mana keseluruhan. Kemudian
Oleh karena itu, genap, oleh karena itu, genap dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bertentangan dengan ireduksibilitas pecahan . Oleh karena itu, asumsi awal salah, dan merupakan bilangan irasional.
Logaritma biner dari angka 3
Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat diambil positif. Kemudian
Tapi yang jelas, itu aneh. Kami mendapatkan kontradiksi.
e
Cerita
Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (± 750 SM - ± 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.
Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun. Namun, Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang tunggal, karena asumsi keberadaannya mengarah pada kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring dari segitiga siku-siku sama kaki berisi sejumlah bilangan bulat dari unit segmen, maka jumlah ini harus genap dan ganjil pada saat yang sama. Buktinya terlihat seperti ini:
- Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai sebuah:b, di mana sebuah dan b dipilih sekecil mungkin.
- Menurut teorema Pythagoras: sebuah² = 2 b².
- Sebagai sebuah² genap, sebuah harus genap (karena kuadrat dari bilangan ganjil akan menjadi ganjil).
- Sejauh sebuah:b tidak dapat direduksi b harus ganjil.
- Sebagai sebuah genap, menunjukkan sebuah = 2kamu.
- Kemudian sebuah² = 4 kamu² = 2 b².
- b² = 2 kamu², oleh karena itu b genap, maka b bahkan.
- Namun, telah terbukti bahwa b aneh. Kontradiksi.
Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi yang mendasari bahwa bilangan dan benda-benda geometris adalah satu dan tak terpisahkan.
Lihat juga
Catatan
Sistem numerik Perhitungan
setBilangan asli () Bilangan bulat ()
