Artikel ini melanjutkan topik transformasi pecahan aljabar: pertimbangkan tindakan seperti pengurangan pecahan aljabar. Mari kita definisikan istilah itu sendiri, merumuskan aturan singkatan dan menganalisis contoh-contoh praktis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Arti Singkatan Pecahan Aljabar

Dalam materi tentang pecahan biasa kami mempertimbangkan pengurangannya. Kami telah mendefinisikan pengurangan pecahan biasa sebagai membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor umum.

Mengurangi pecahan aljabar adalah operasi serupa.

Definisi 1

Pengurangan pecahan aljabar adalah pembagian pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Dalam hal ini, tidak seperti pengurangan pecahan biasa (hanya angka yang dapat menjadi penyebut bersama), polinomial, khususnya, monomial atau angka, dapat berfungsi sebagai faktor umum untuk pembilang dan penyebut pecahan aljabar.

Misalnya, pecahan aljabar 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 dapat dikurangi dengan angka 3, sehingga diperoleh: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Kita dapat mengurangi pecahan yang sama dengan variabel x, dan ini akan menghasilkan ekspresi 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Dimungkinkan juga untuk mengurangi pecahan tertentu dengan monomial 3 x atau salah satu polinomial x + 2 tahun, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y atau 3x2 + 6xy.

Tujuan akhir dari pengurangan pecahan aljabar adalah pecahan yang lebih besar dari bentuk sederhana, di kasus terbaik adalah pecahan yang tidak dapat direduksi.

Apakah semua pecahan aljabar dapat direduksi?

Sekali lagi, dari materi tentang pecahan biasa, kita tahu bahwa ada pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi. Tidak dapat direduksi - ini adalah pecahan yang tidak memiliki faktor persekutuan pembilang dan penyebut, selain 1.

Dengan pecahan aljabar, semuanya sama: mereka mungkin atau mungkin tidak memiliki faktor persekutuan pembilang dan penyebut. Adanya faktor persekutuan memungkinkan Anda untuk menyederhanakan pecahan asli melalui reduksi. Ketika tidak ada faktor persekutuan, tidak mungkin untuk mengoptimalkan pecahan tertentu dengan metode reduksi.

Dalam kasus umum, bentuk yang diberikan pecahan cukup sulit untuk dipahami apakah itu tunduk pada pengurangan. Tentu saja, dalam beberapa kasus, keberadaan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut terlihat jelas. Misalnya, pada pecahan aljabar 3 · x 2 3 · y cukup jelas bahwa faktor persekutuannya adalah angka 3 .

Dalam pecahan - x · y 5 · x · y · z 3 kita juga segera memahami bahwa adalah mungkin untuk menguranginya dengan x, atau y, atau dengan x · y. Namun, contoh pecahan aljabar jauh lebih umum, ketika faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut tidak begitu mudah dilihat, dan bahkan lebih sering - itu tidak ada.

Misalnya, kita dapat mengurangi pecahan x 3 - 1 x 2 - 1 dengan x - 1, sedangkan faktor persekutuan yang ditentukan tidak ada dalam catatan. Tetapi pecahan x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 tidak dapat diperkecil, karena pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor persekutuan.

Jadi, pertanyaan untuk menemukan kontraktilitas suatu pecahan aljabar tidak begitu sederhana, dan seringkali lebih mudah untuk bekerja dengan pecahan dari bentuk tertentu daripada mencoba mencari tahu apakah itu dapat dikontrakkan. Dalam kasus ini, transformasi semacam itu terjadi sehingga dalam kasus tertentu memungkinkan kita untuk menentukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut atau untuk menyimpulkan bahwa pecahan tidak dapat direduksi. Mari kita telusuri masalah ini secara detail di paragraf berikutnya artikel.

Aturan pengurangan pecahan aljabar

Aturan pengurangan pecahan aljabar terdiri dari dua langkah berurutan:

• mencari faktor persekutuan pembilang dan penyebutnya;
• dalam hal menemukan demikian, penerapan tindakan langsung pengurangan pecahan.

Metode yang paling mudah untuk menemukan penyebut yang sama adalah dengan memfaktorkan polinomial yang ada dalam pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar yang diberikan. Ini memungkinkan Anda untuk segera melihat ada atau tidak adanya faktor umum secara visual.

Tindakan mereduksi pecahan aljabar didasarkan pada sifat utama pecahan aljabar, dinyatakan dengan persamaan undefined , di mana a , b , c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol. Langkah pertama adalah mereduksi pecahan ke bentuk a c b c , di mana kita segera melihat faktor persekutuan c . Langkah kedua adalah melakukan reduksi, yaitu transisi ke pecahan bentuk a b .

Contoh tipikal

Terlepas dari beberapa kejelasan, mari kita perjelas tentang kasus spesial jika pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar sama. pecahan serupa identik sama dengan 1 pada seluruh ODZ dari variabel pecahan ini:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; xx = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Karena pecahan biasa adalah kasus khusus dari pecahan aljabar, mari kita ingat bagaimana mereka direduksi. Bilangan asli yang ditulis dalam pembilang dan penyebutnya dipecah menjadi faktor prima, kemudian faktor persekutuannya dikurangi (jika ada).

Misalnya, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Produk dari faktor-faktor identik sederhana dapat ditulis sebagai derajat, dan dalam proses pengurangan pecahan, gunakan sifat membagi derajat dengan alasan yang sama. Maka solusi di atas akan menjadi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(pembilang dan penyebut dibagi dengan faktor persekutuan 2 2 3). Atau, agar lebih jelas, berdasarkan sifat perkalian dan pembagian, kami akan memberikan solusi dalam bentuk berikut:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Dengan analogi, pengurangan pecahan aljabar dilakukan, di mana pembilang dan penyebutnya memiliki monomial dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh 1

Diberikan pecahan aljabar - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Itu perlu dikurangi.

Keputusan

Dimungkinkan untuk menulis pembilang dan penyebut pecahan tertentu sebagai produk faktor utama dan variabel, dan kemudian mengurangi:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Namun, lebih secara rasional solusinya akan ditulis sebagai ekspresi dengan kekuatan:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Menjawab:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Ketika ada koefisien numerik pecahan dalam pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar, ada dua cara yang mungkin tindakan lebih lanjut: bagilah koefisien pecahan ini secara terpisah, atau hilangkan dulu koefisien pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan beberapa bilangan asli. Transformasi terakhir dilakukan karena sifat utama pecahan aljabar (Anda dapat membacanya di artikel "Mengurangi pecahan aljabar menjadi penyebut baru").

Contoh 2

Diberikan pecahan 2 5 x 0, 3 x 3 . Itu perlu dikurangi.

Keputusan

Dimungkinkan untuk mengurangi pecahan dengan cara ini:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Mari kita coba menyelesaikan masalah secara berbeda, setelah sebelumnya menyingkirkan koefisien pecahan - kita mengalikan pembilang dan penyebut dengan kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien ini, mis. per KPK(5, 10) = 10. Kemudian kita mendapatkan:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Jawaban: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Ketika kita mengurangi pecahan aljabar pandangan umum, di mana pembilang dan penyebut dapat berupa monomial dan polinomial, masalah mungkin terjadi ketika faktor persekutuan tidak selalu langsung terlihat. Atau lebih dari itu, itu sama sekali tidak ada. Kemudian, untuk menentukan faktor persekutuan atau memperbaiki fakta ketidakhadirannya, pembilang dan penyebut pecahan aljabar difaktorkan.

Contoh 3

Diberikan pecahan rasional 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Itu perlu dipersingkat.

Keputusan

Mari kita memfaktorkan polinomial dalam pembilang dan penyebut. Mari kita lakukan tanda kurung:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Kami melihat bahwa ekspresi dalam tanda kurung dapat dikonversi menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jelas terlihat bahwa adalah mungkin untuk mengurangi pecahan dengan faktor persekutuan b2 (a + 7). Mari kita lakukan pengurangan:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Solusi Cepat tanpa penjelasan, kami menulis sebagai rantai persamaan:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Menjawab: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Kebetulan faktor-faktor umum disembunyikan oleh koefisien numerik. Kemudian, saat mengurangi pecahan, optimal untuk menghilangkan faktor numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari pembilang dan penyebut.

Contoh 4

Diberikan pecahan aljabar 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Itu harus dikurangi jika memungkinkan.

Keputusan

Sekilas pembilang dan penyebutnya tidak ada faktor persekutuan. Namun, mari kita coba mengubah pecahan yang diberikan. Mari kita keluarkan faktor x pada pembilangnya:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sekarang Anda dapat melihat beberapa kesamaan antara ekspresi dalam tanda kurung dan ekspresi dalam penyebut karena x 2 y . Mari kita ambil koefisien numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari polinomial ini:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sekarang pengganda umum menjadi terlihat, kami melakukan pengurangan:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Menjawab: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Mari kita tekankan bahwa keterampilan mereduksi pecahan rasional bergantung pada kemampuan memfaktorkan polinomial.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pada artikel ini, kita akan melihat operasi dasar pecahan aljabar:

• pengurangan pecahan
• perkalian pecahan
• pembagian pecahan

Mari kita mulai dengan singkatan dari pecahan aljabar.

Tampaknya, algoritma jelas.

Ke pengurangan pecahan aljabar, membutuhkan

1. Faktorkan pembilang dan penyebut suatu pecahan.

2. Kurangi pengganda yang sama.

Namun, anak sekolah sering membuat kesalahan dengan "mengurangi" bukan faktornya, tetapi istilahnya. Misalnya, ada amatir yang "mengurangi" dengan pecahan dan mendapatkan hasilnya, yang tentu saja tidak benar.

Pertimbangkan contoh:

1. Kurangi pecahan:

1. Kami memfaktorkan pembilangnya menurut rumus kuadrat jumlah, dan penyebutnya menurut rumus selisih kuadrat

2. Bagi pembilang dan penyebutnya dengan

2. Kurangi pecahan:

1. Faktorkan pembilangnya. Karena pembilangnya terdiri dari empat suku, kami menerapkan pengelompokan.

2. Faktorkan penyebutnya. Hal yang sama berlaku untuk pengelompokan.

3. Mari kita tuliskan pecahan yang kita peroleh dan kurangi faktor yang sama:

Perkalian pecahan aljabar.

Saat mengalikan pecahan aljabar, kita mengalikan pembilang dengan pembilang, dan kita mengalikan penyebut dengan penyebut.

Penting! Tidak perlu terburu-buru untuk melakukan perkalian pada pembilang dan penyebut suatu pecahan. Setelah kita menulis hasil kali pembilang pecahan pada pembilangnya, dan hasil kali penyebut pada penyebutnya, kita perlu memfaktorkan setiap faktor dan mengurangi pecahannya.

Pertimbangkan contoh:

3. Sederhanakan ekspresi:

1. Mari kita tuliskan hasil kali pecahan: di pembilang hasil kali pembilangnya, dan di penyebutnya hasil kali penyebutnya:

2. Kami memfaktorkan setiap braket:

Sekarang kita perlu mengurangi pengganda yang sama. Perhatikan bahwa ekspresi dan hanya berbeda dalam tanda: dan sebagai hasil dari membagi ekspresi pertama dengan yang kedua, kita mendapatkan -1.

Jadi,

Kami melakukan pembagian pecahan aljabar sesuai dengan aturan berikut:

Yaitu Untuk membagi dengan pecahan, Anda perlu mengalikan dengan yang "terbalik".

Kita melihat bahwa pembagian pecahan direduksi menjadi perkalian, dan perkalian akhirnya bermuara pada pengurangan pecahan.

Pertimbangkan sebuah contoh:

4. Sederhanakan ekspresi:

Sebelum melanjutkan ke pelajaran tentang pecahan aljabar, kami menyarankan Anda untuk mengingat cara bekerja dengan pecahan biasa.

Setiap pecahan yang memiliki faktor huruf disebut pecahan aljabar.

Contoh pecahan aljabar.

Seperti pecahan biasa, pecahan aljabar memiliki pembilang (atas) dan penyebut (bawah).

Pengurangan pecahan aljabar

Pecahan aljabar dapat dikurangi. Saat mengurangi, gunakan aturan untuk mengurangi pecahan biasa.

Kami mengingatkan Anda bahwa ketika mengurangi pecahan biasa, kami membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama.

Pecahan aljabar dikurangi dengan cara yang sama, tetapi hanya pembilang dan penyebutnya yang dibagi dengan polinomial yang sama.

Mempertimbangkan contoh pengurangan pecahan aljabar.

Mari kita definisikan derajat yang lebih rendah, yang mengandung monomial " a " . Gelar terkecil untuk monomial "a" ada di penyebut - ini adalah derajat kedua.

Bagi pembilang dan penyebut dengan " a 2 ". Saat membagi monomial, kami menggunakan properti derajat hasil bagi.

Kami mengingatkan Anda bahwa huruf atau angka apa pun di nol derajat adalah satu kesatuan.

Tidak perlu menuliskan secara rinci setiap kali pecahan aljabar direduksi. Cukup dengan mengingat sejauh mana pengurangan itu dilakukan, dan tuliskan hanya hasilnya.

Notasi singkat untuk pengurangan pecahan aljabar adalah sebagai berikut.

Anda hanya dapat mengurangi pengganda huruf yang sama.

Tidak bisa dipotong

Bisa dipersingkat

Contoh lain pengurangan pecahan aljabar.

Cara mengurangi pecahan dengan polinomial

Perhatikan contoh lain dari pecahan aljabar. Diperlukan untuk mereduksi pecahan aljabar, yang memiliki polinomial di pembilangnya.

Anda dapat mengurangi polinomial dalam tanda kurung hanya dengan polinomial yang sama persis dalam tanda kurung!

Sama sekali tidak tidak dapat memotong bagian polinomial di dalam kurung!

Tidak benar

Menentukan di mana polinomial berakhir sangat sederhana. Di antara polinomial hanya ada tanda perkalian. Seluruh polinomial ada di dalam tanda kurung.

Setelah kita mendefinisikan polinomial dari pecahan aljabar, kita membatalkan polinomial "(m n)" di pembilang dengan polinomial "(m n)" di penyebut.

Contoh pengurangan pecahan aljabar dengan polinomial.

Mengambil faktor persekutuan saat mengurangi pecahan

Agar polinomial identik muncul dalam pecahan aljabar, kadang-kadang perlu untuk mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung.

Dalam bentuk ini, pecahan aljabar tidak mungkin diturunkan, karena polinomial
"(3f + k)" hanya dapat direduksi dengan polinomial "(3f + k)".

Oleh karena itu, untuk mendapatkan "(3f + k)" dalam pembilangnya, kami mengambil faktor persekutuan "5".

Pengurangan pecahan dengan rumus perkalian yang disingkat

Dalam contoh lain, pengurangan pecahan aljabar membutuhkan
penerapan rumus perkalian yang disingkat.

Dalam bentuk aslinya, pecahan aljabar tidak mungkin direduksi, karena tidak ada polinomial yang identik.

Tetapi jika kita menerapkan rumus selisih kuadrat untuk polinomial "(a 2 b 2)", maka polinomial yang sama akan muncul.

Contoh lain pengurangan pecahan aljabar menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

Pengurangan pecahan aljabar (rasional) didasarkan pada sifat utamanya: jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dibagi dengan polinomial bukan nol yang sama, maka akan diperoleh pecahan yang sama.

Anda hanya dapat mengurangi pengganda!

Anggota polinomial tidak dapat dikurangi!

Untuk mereduksi pecahan aljabar, polinomial pada pembilang dan penyebutnya harus difaktorkan terlebih dahulu.

Perhatikan contoh pengurangan pecahan.

Pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah monomial. Mereka mewakili kerja(angka, variabel dan derajatnya), pengganda kita bisa mengurangi.

Kami mengurangi jumlahnya dengan yang terbesar pembagi bersama, yaitu pada nomor terbesar, dimana masing-masing bilangan yang diberikan habis dibagi. Untuk 24 dan 36, ini adalah 12. Setelah pengurangan dari 24, 2 tetap, dari 36 - 3.

Kami mengurangi derajat dengan derajat dengan indikator terkecil. Mengurangi pecahan berarti membagi pembilang dan penyebut dengan pembagi yang sama, dan ketika membagi pangkat, kita kurangi indikatornya.

a² dan a⁷ dikurangi dengan a². Pada saat yang sama, satu tetap dalam pembilang dari a² (kami menulis 1 hanya jika tidak ada faktor lain yang tersisa setelah pengurangan. 2 tetap dari 24, jadi kami tidak menulis 1 yang tersisa dari a²). Dari a⁷ setelah reduksi tetap a⁵.

b dan b disingkat b, satuan yang dihasilkan tidak ditulis.

c³º dan c dikurangi dengan c⁵. Dari c³º c²⁵ tetap, dari c⁵ - unit (kami tidak menulisnya). Dengan demikian,

Pembilang dan penyebut pecahan aljabar tertentu adalah polinomial. Tidak mungkin untuk mengurangi suku polinomial! (tidak dapat dikurangi, misalnya, 8x² dan 2x!). Untuk mereduksi pecahan ini, polinomial perlu difaktorkan. Pembilangnya memiliki faktor persekutuan 4x. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:

Baik pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama (2x-3). Kami mengurangi pecahan dengan faktor ini. Pembilangnya 4x, penyebutnya 1. Menurut 1 sifat pecahan aljabar, pecahannya adalah 4x.

Anda hanya dapat mengurangi faktor (Anda tidak dapat mengurangi pecahan tertentu sebesar 25x²!). Oleh karena itu, polinomial pada pembilang dan penyebut suatu pecahan harus difaktorkan.

Dalam pembilang - persegi penuh jumlah, dalam penyebut - perbedaan kuadrat. Setelah ekspansi dengan rumus perkalian disingkat, kita mendapatkan:

Kami mengurangi pecahan dengan (5x + 1) (untuk melakukan ini, coret dua di pembilang sebagai eksponen, dari (5x + 1) ² ini akan meninggalkan (5x + 1)):

Pembilang memiliki faktor persekutuan 2, mari kita keluarkan dari tanda kurung. Dalam penyebut - rumus selisih kubus:

Sebagai hasil dari ekspansi pembilang dan penyebut, kami mendapatkan faktor yang sama (9 + 3a + a²). Kami mengurangi fraksi di atasnya:

Polinomial dalam pembilang terdiri dari 4 suku. Kami mengelompokkan istilah pertama dengan yang kedua, yang ketiga - dengan yang keempat dan mengambil faktor persekutuan x² dari tanda kurung pertama. Kami menguraikan penyebut sesuai dengan rumus jumlah kubus:

Di pembilang, kami mengeluarkan faktor persekutuan (x + 2) dari tanda kurung:

Kami mengurangi pecahan dengan (x + 2):

Kami hanya dapat mengurangi pengganda! Untuk mengurangi pecahan ini, Anda perlu memfaktorkan polinomial dalam pembilang dan penyebutnya. Dalam pembilang, faktor persekutuannya adalah a³, dalam penyebutnya - a⁵. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:

Pengganda - pangkat dengan basis yang sama a³ dan a⁵ - dikurangi dengan a³. Dari a³ 1 tetap, kami tidak menulisnya, dari a⁵ tetap a². Dalam pembilang, ekspresi dalam tanda kurung dapat diperluas sebagai selisih kuadrat:

Kami mengurangi pecahan dengan pembagi yang sama (1 + a):

Cara mengecilkan bentuk pecahan

di mana ekspresi dalam pembilang dan penyebut hanya berbeda dalam tanda?

Kita akan melihat contoh pengurangan pecahan seperti itu di lain waktu.

2 komentar

Situs yang sangat bagus, saya menggunakannya setiap hari, dan itu membantu.
Sebelum saya menemukan situs ini, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikan banyak hal dalam aljabar, geometri, tetapi berkat situs ini, nilai saya 3 naik 4-5.
Sekarang saya dapat dengan aman mengambil OGE, dan saya tidak takut saya tidak akan lulus!
Belajar dan Anda akan berhasil!

Vitya, saya berharap Anda sukses dalam studi Anda dan hasil tinggi pada ujian!

www.algebraclass.ru

Aturan pengurangan pecahan aljabar

Pengurangan pecahan aljabar

Sebuah konsep baru dalam matematika jarang muncul "dari ketiadaan", "di" tempat kosong". Itu muncul ketika dirasakan kebutuhan objektif. Ini adalah bagaimana mereka muncul dalam matematika angka negatif, sangat biasa dan desimal pecahan aljabar.

Kami memiliki prasyarat untuk memperkenalkan konsep baru "fraksi aljabar". Mari kembali ke 12. Membahas pembagian monomial dengan monomial di sana, kami mempertimbangkan sejumlah contoh. Mari kita soroti dua di antaranya.

1. Bagilah monomial 36a 3 b 5 dengan monomial 4ab 2 (lihat contoh 1c) dari 12).
Kami menyelesaikannya seperti ini. Alih-alih menulis 36a 3 b 5: 4ab 2, batang pecahan digunakan:

Ini memungkinkan untuk menggunakan bilah pecahan sebagai ganti entri 36: 4, a 3: a, b 5: b 2, yang membuat solusi dari contoh lebih jelas:

2. Bagilah monomial 4x 3 dengan monomial 2xy (lihat contoh 1 e) dari 12). Mengikuti pola yang sama, kita mendapatkan:

Dalam 12 kami mencatat bahwa monomial 4x 3 tidak dapat dibagi dengan monomial 2xy sehingga diperoleh monomial. Tetapi model matematika situasi nyata dapat berisi operasi pembagian monomial apa pun, tidak harus sedemikian rupa sehingga yang satu dapat dibagi oleh yang lain. Mengantisipasi hal ini, matematikawan memperkenalkan konsep baru - konsep pecahan aljabar. Khususnya, pecahan aljabar. Sekarang mari kita kembali ke 18. Membahas di sana operasi pembagian polinomial dengan monomial, kami mencatat bahwa itu tidak selalu layak. Jadi, dalam contoh 2 dari 18, itu adalah soal membagi binomial 6x 3 - 24x 2 dengan monomial 6x 2 . Operasi ini ternyata layak, dan sebagai hasilnya kami mendapatkan binomial x - 4. Oleh karena itu, Dengan kata lain, ekspresi aljabar berhasil mengganti lebih banyak ekspresi sederhana- polinomial x - 4.

Pada saat yang sama, dalam contoh 3 dari 18, polinomial 8a 3 + ba 2b - b tidak mungkin dibagi dengan 2a 2 , yaitu, ekspresi tidak dapat diganti dengan ekspresi yang lebih sederhana, dan harus dibiarkan sebagai pecahan aljabar.

Adapun operasi pembagian polinomial dengan polinomial kami sebenarnya tidak mengatakan apa-apa tentang itu. Satu-satunya hal yang dapat kita katakan sekarang adalah bahwa satu polinomial dapat dibagi dengan polinomial lain jika polinomial lain ini merupakan salah satu faktor dalam faktorisasi polinomial pertama.

Misalnya, x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1). Jadi x 3 - 1 dapat dibagi dengan x 2 + x + 1, Anda mendapatkan x - 1; x 3 - 1 dapat dibagi dengan x - 1,

Anda mendapatkan x 2 + x + 1.
polinomial P dan Q. Dalam hal ini, notasi
di mana P adalah pembilang, Q adalah penyebut pecahan aljabar.
Contoh pecahan aljabar:

Terkadang pecahan aljabar dapat diganti dengan polinomial. Misalnya, seperti yang telah kita tetapkan,

(polinomial 6x 3 - 24x 2 dapat dibagi dengan 6x 2, sedangkan pada hasil bagi x - 4 diperoleh); kami juga mencatat bahwa

Tapi ini relatif jarang.

Namun, Anda telah mengalami situasi serupa - saat mempelajari pecahan biasa. Misalnya, pecahan - dapat diganti dengan bilangan bulat 4, dan pecahan - dengan bilangan bulat 5. Namun, pecahan - tidak dapat diganti dengan bilangan bulat, meskipun pecahan ini dapat dikurangi dengan membagi pembilang dan penyebut dengan angka 8 - faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut:
Dengan cara yang sama, pecahan aljabar dapat dikurangi dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan persekutuannya pengali. Dan untuk ini perlu untuk menguraikan pembilang dan penyebut pecahan menjadi faktor-faktor. Di sinilah kita membutuhkan segala sesuatu yang telah kita bahas begitu lama dalam bab ini.

Contoh. Mengurangi pecahan aljabar:

Solusi, a) Temukan faktor persekutuan untuk monomial
12x 3 y 4 dan 8x 2 y 5 seperti yang kita lakukan pada 20. Kita mendapatkan 4x 2 y 4 . Maka 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Zx; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2y.
Cara,

Pembilang dan penyebut pecahan aljabar yang diberikan dikurangi dengan faktor persekutuan 4x 2 y 4 .
Solusi untuk contoh ini dapat ditulis dengan cara lain:

b) Untuk mengurangi pecahan, kami menguraikan pembilang dan penyebutnya menjadi faktor-faktor. Kita mendapatkan:

(fraksi dikurangi dengan faktor persekutuan a + b).

Dan sekarang kembali ke komentar 2 dari 1. Soalnya, kita akhirnya bisa memenuhi janji yang diberikan di sana.
c) Kami memiliki:

(mereka mengurangi pecahan dengan faktor persekutuan pembilang dan penyebut, yaitu dengan x (x - y))

Jadi, untuk mereduksi pecahan aljabar menjadi, pertama-tama Anda harus memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Jadi keberhasilan Anda dalam upaya baru ini (mengurangi pecahan aljabar) sangat bergantung pada seberapa baik Anda menyerap materi paragraf sebelumnya dari bab ini.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk institusi pendidikan

Jika Anda memiliki koreksi atau saran untuk pelajaran ini menulis kepada kami.

Jika Anda ingin melihat koreksi dan saran lain untuk pelajaran, lihat di sini - Forum Pendidikan.

Pengurangan pecahan aljabar: aturan, contoh.

Kami terus mempelajari topik transformasi pecahan aljabar. Dalam artikel ini, kami akan fokus pada pengurangan pecahan aljabar. Pertama, mari kita cari tahu apa yang dimaksud dengan istilah "pengurangan pecahan aljabar", dan cari tahu apakah pecahan aljabar selalu dapat direduksi. Selanjutnya, kami memberikan aturan yang memungkinkan kami untuk melakukan transformasi ini. Akhirnya, pertimbangkan solusi contoh karakteristik yang akan memungkinkan Anda untuk memahami semua seluk-beluk proses.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan aljabar?

Mempelajari pecahan biasa, kami berbicara tentang pengurangannya. Kami menyebut pengurangan pecahan biasa pembagian pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Misalnya, pecahan biasa 30/54 dapat dikurangi dengan 6 (yaitu, dibagi dengan 6 pembilang dan penyebutnya), yang akan membawa kita ke pecahan 5/9.

Pengurangan pecahan aljabar dipahami sebagai tindakan serupa. Kurangi pecahan aljabar adalah membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Tetapi jika faktor persekutuan pembilang dan penyebut pecahan biasa hanya bisa berupa angka, maka faktor persekutuan pembilang dan penyebut pecahan aljabar dapat berupa polinomial, khususnya monomial atau angka.

Misalnya, pecahan aljabar dapat dikurangi dengan 3 untuk memberikan pecahan . Dimungkinkan juga untuk mengurangi variabel x , yang akan menghasilkan ekspresi . Pecahan aljabar asli dapat dikurangi dengan monomial 3 x, serta dengan polinomial apa pun x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y atau 3 x 2 +6 x y .

Tujuan akhir pengurangan fraksi aljabar terdiri dari memperoleh pecahan dari bentuk yang lebih sederhana, paling banter, pecahan yang tidak dapat direduksi.

Apakah ada pecahan aljabar yang dapat direduksi?

Kita tahu bahwa pecahan biasa dibagi lagi menjadi pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi. Pecahan yang tidak dapat direduksi tidak mempunyai faktor persekutuan selain satu dalam pembilang dan penyebutnya, oleh karena itu tidak dapat direduksi.

Pecahan aljabar mungkin atau mungkin tidak memiliki faktor pembilang dan penyebut yang sama. Dengan adanya faktor persekutuan, pecahan aljabar dapat direduksi. Jika tidak ada faktor persekutuan, maka penyederhanaan pecahan aljabar dengan cara reduksi tidak mungkin dilakukan.

PADA kasus umum pada penampilan pecahan aljabar, cukup sulit untuk menentukan apakah mungkin untuk melakukan pengurangannya. Tidak diragukan lagi, dalam beberapa kasus faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut sudah jelas. Sebagai contoh, terlihat jelas bahwa pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar memiliki faktor persekutuan 3. Juga mudah untuk melihat bahwa pecahan aljabar dapat dikurangi dengan x, oleh y, atau langsung dengan x·y. Tetapi lebih sering, faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut pecahan aljabar tidak segera terlihat, dan bahkan lebih sering, itu tidak ada. Misalnya, sebuah pecahan dapat direduksi dengan x−1 , tetapi faktor persekutuan ini jelas tidak ada dalam notasi. Dan pecahan aljabar tidak dapat direduksi karena pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan.

Secara umum, pertanyaan tentang kontraktibilitas pecahan aljabar sangat sulit. Dan terkadang lebih mudah untuk menyelesaikan masalah dengan bekerja dengan pecahan aljabar dalam bentuk aslinya daripada mencari tahu apakah pecahan ini dapat dikurangi sebelumnya. Tapi tetap saja, ada transformasi yang dalam beberapa kasus memungkinkan, dengan sedikit usaha, untuk menemukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut, jika ada, atau untuk menyimpulkan bahwa pecahan aljabar asli tidak dapat direduksi. Informasi ini akan diungkapkan pada paragraf berikutnya.

Aturan pengurangan pecahan aljabar

Informasi dari paragraf sebelumnya memungkinkan Anda untuk secara alami memahami yang berikut: aturan pengurangan pecahan aljabar, yang terdiri dari dua langkah:

• pertama, faktor persekutuan pembilang dan penyebut pecahan asal ditemukan;
• jika ada, maka dilakukan reduksi oleh faktor-faktor tersebut.

Langkah-langkah dari aturan yang diumumkan ini membutuhkan klarifikasi.

Paling cara yang nyaman menemukan yang umum terdiri dari memfaktorkan polinomial dalam pembilang dan penyebut dari fraksi aljabar asli. Dalam hal ini, faktor persekutuan pembilang dan penyebut segera terlihat, atau menjadi jelas bahwa tidak ada faktor persekutuan.

Jika tidak ada faktor persekutuan, maka kita dapat menyimpulkan bahwa pecahan aljabar tidak dapat direduksi. Jika faktor persekutuan ditemukan, maka pada langkah kedua dikurangi. Hasilnya adalah pecahan baru dari bentuk yang lebih sederhana.

Aturan pengurangan pecahan aljabar didasarkan pada sifat utama pecahan aljabar, yang dinyatakan dengan persamaan , di mana a , b dan c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol. Pada langkah pertama, pecahan aljabar asli direduksi menjadi bentuk , dari mana faktor persekutuan c menjadi terlihat, dan pada langkah kedua, reduksi dilakukan - transisi ke pecahan .

Mari kita beralih ke penyelesaian contoh menggunakan aturan ini. Pada mereka, kami akan menganalisis semua kemungkinan nuansa yang muncul saat menguraikan pembilang dan penyebut pecahan aljabar menjadi faktor dan pengurangan selanjutnya.

Contoh tipikal

Pertama, Anda perlu mengatakan tentang pengurangan pecahan aljabar, yang pembilang dan penyebutnya sama. Pecahan tersebut identik sama dengan satu di seluruh ODZ dari variabel yang termasuk di dalamnya, misalnya,
dll.

Sekarang tidak ada salahnya untuk mengingat bagaimana pengurangan pecahan biasa dilakukan - lagi pula, itu adalah kasus khusus pecahan aljabar. Bilangan asli dalam pembilang dan penyebut pecahan biasa dipecah menjadi faktor prima, setelah itu faktor persekutuan dikurangi (jika ada). Sebagai contoh, . Produk dari faktor prima yang identik dapat ditulis dalam bentuk kekuatan, dan jika direduksi, sifat pembagian kekuatan dengan basis yang sama dapat digunakan. Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini: , di sini pembilang dan penyebutnya dibagi dengan faktor persekutuan 2 2 3 . Atau, untuk lebih jelasnya, berdasarkan sifat perkalian dan pembagian, solusinya disajikan dalam bentuk.

Menurut prinsip yang benar-benar mirip, pengurangan pecahan aljabar dilakukan, di pembilang dan penyebutnya ada monomial dengan koefisien bilangan bulat.

Kurangi pecahan aljabar .

Anda dapat menyatakan pembilang dan penyebut pecahan aljabar asli sebagai produk dari faktor dan variabel sederhana, dan kemudian melakukan pengurangan:

Tetapi lebih rasional untuk menulis solusinya sebagai ekspresi dengan kekuatan:

.

Adapun pengurangan pecahan aljabar yang memiliki koefisien numerik pecahan dalam pembilang dan penyebut, Anda dapat melakukan dua hal: membagi koefisien pecahan ini secara terpisah, atau pertama-tama menghilangkan koefisien pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan beberapa bilangan asli. Kami berbicara tentang transformasi terakhir dalam artikel, membawa pecahan aljabar ke penyebut baru, itu dapat dilakukan karena properti utama dari pecahan aljabar. Mari kita tangani ini dengan sebuah contoh.

Lakukan pengurangan pecahan.

Anda dapat mengurangi pecahan seperti ini: .

Dan Anda dapat menghilangkan koefisien pecahan terlebih dahulu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan kelipatan persekutuan terkecil dari koefisien ini, yaitu dengan KPK(5, 10)=10 . Dalam hal ini kita memiliki .

.

Anda dapat beralih ke pecahan aljabar dari bentuk umum, di mana pembilang dan penyebutnya dapat berisi angka dan monomial, serta polinomial.

Saat mengurangi pecahan seperti itu, masalah utamanya adalah bahwa faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut tidak selalu terlihat. Apalagi itu tidak selalu ada. Untuk menemukan faktor persekutuan atau memastikan bahwa itu tidak ada, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar.

Mengurangi pecahan rasional .

Untuk melakukan ini, kami memfaktorkan polinomial dalam pembilang dan penyebut. Mari kita mulai dengan tanda kurung: . Jelas, ekspresi dalam tanda kurung dapat dikonversi menggunakan rumus perkalian pendek: . Sekarang jelas terlihat bahwa adalah mungkin untuk mengurangi pecahan dengan faktor persekutuan b 2 ·(a+7) . Ayo lakukan .

Solusi singkat tanpa penjelasan biasanya ditulis sebagai rantai persamaan:

.

Terkadang pengganda umum dapat disembunyikan dengan koefisien numerik. Oleh karena itu, saat mereduksi pecahan rasional, disarankan untuk menempatkan faktor numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari pembilang dan penyebut di luar tanda kurung.

Kurangi pecahan , jika memungkinkan.

Sepintas, pembilang dan penyebut tidak memiliki faktor yang sama. Tapi tetap saja, mari kita coba melakukan beberapa transformasi. Pertama, Anda dapat mengurung faktor x di pembilangnya: .

Sekarang ada beberapa kesamaan antara ekspresi dalam tanda kurung dan ekspresi dalam penyebut karena x 2 ·y . Mari kita ambil koefisien numerik pada pangkat yang lebih tinggi dari polinomial ini:

Setelah transformasi selesai, faktor persekutuan terlihat, yang dengannya kami melakukan pengurangan. Kita punya

.

Sebagai penutup percakapan tentang pengurangan pecahan rasional, kami mencatat bahwa keberhasilan sangat bergantung pada kemampuan memfaktorkan polinomial.

www.cleversstudents.ru

Matematika

Bilah navigasi

Pengurangan pecahan aljabar

Berdasarkan sifat di atas, kita dapat menyederhanakan pecahan aljabar dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan dengan pecahan aritmatika dengan memperpendek mereka.

Pengurangan pecahan adalah pembilang dan penyebut pecahan dibagi dengan bilangan yang sama.

Jika pecahan aljabar adalah satu suku, maka pembilang dan penyebutnya dinyatakan sebagai perkalian beberapa faktor, dan akan segera jelas mana nomor yang sama Anda dapat memisahkannya:

Kita dapat menulis pecahan yang sama secara lebih rinci :. Kami melihat bahwa Anda dapat secara konsisten membagi pembilang dan penyebut 4 kali dengan a, yaitu, pada akhirnya, membagi masing-masing dengan 4 . Jadi ; juga, dll. Jadi, jika dalam pembilang dan penyebut ada faktor berbagai derajat huruf yang sama, maka Anda dapat mengurangi pecahan ini menjadi kekuatan yang lebih kecil dari huruf ini.

Jika pecahannya polinomial, maka polinomial ini harus didekomposisi terlebih dahulu, jika mungkin, menjadi faktor-faktor, dan kemudian akan memungkinkan untuk melihat dengan faktor apa yang identik baik pembilang dan penyebutnya dapat dibagi.

…. pembilangnya mudah difaktorkan "menurut rumus" - itu adalah kuadrat dari selisih dua angka, yaitu (x - 3) 2 . Penyebutnya tidak sesuai dengan rumus dan harus diuraikan dengan teknik yang digunakan untuk trinomial persegi: cari 2 bilangan sehingga jumlahnya -1 dan hasil kali = -6, - bilangan tersebut adalah -3 dan + 2; lalu x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2).

Populer:

• Aturan singkat permainan catur PAPAN Catur DAN NOTASI Catur adalah permainan untuk dua orang. Satu pemain (Putih) menggunakan bidak warna putih, dan pemain kedua (Hitam) biasanya bermain dengan bidak hitam. Papan ini dibagi menjadi 64 […]
• Menyederhanakan ekspresi Properti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian berguna karena memungkinkan Anda mengubah jumlah dan produk menjadi ekspresi yang mudah digunakan untuk perhitungan. Mari pelajari cara menggunakan properti ini untuk menyederhanakan […]
• Aturan Inersia Dinamika adalah cabang mekanika yang mempelajari gerakan benda di bawah aksi gaya yang diterapkan padanya. Biomekanika juga mempertimbangkan interaksi antara tubuh manusia dan lingkungan luar, di antara mata rantai tubuh, […]
• Huruf e (e), o setelah kata mendesis di akar kata. Aturan dan contoh Kami akan memilih ejaan huruf "e" (e) atau "o" setelah kata-kata mendesis di root, menggunakan aturan ejaan Rusia yang sesuai. Mari kita lihat bagaimana […]
• Osilasi mekanik dan elektromagnetik 4. Osilasi dan gelombang 1. Getaran harmonik nilai s dijelaskan oleh persamaan s = 0,02 cos (6πt + /3), m Tentukan: 1) amplitudo osilasi; 2) frekuensi siklik; 3) frekuensi […]
• Hukum pengenceran Ostwald 4.6 Hukum pengenceran Ostwald Derajat disosiasi (αdis) dan konstanta disosiasi (Kdis) elektrolit lemah berhubungan secara kuantitatif. Mari kita turunkan persamaan koneksi ini pada contoh yang lemah […]
• Kata-kata dan isi dari perintah Kementerian Pertahanan Federasi Rusia No. 365 Tahun 2002 Perintah ini berisi informasi tentang hak untuk hari libur tambahan, tergantung pada berbagai kondisi dan aspek pelayanan. Perintah ini diam [...]
• Memaksakan tindakan disiplin memiliki hak Bab 3. HUKUMAN DISIPLIN Hak komandan (kepala) untuk menjatuhkan sanksi disipliner kepada perwira dan taruna bawahan mereka 63. Komandan peleton (kelompok) dan [...]

Pengurangan pecahan diperlukan untuk membawa pecahan ke bentuk yang lebih sederhana, misalnya, dalam jawaban yang diperoleh sebagai hasil penyelesaian ekspresi.

Pengurangan pecahan, definisi dan rumus.

Apa itu pengurangan pecahan? Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan?

Definisi:
Pengurangan pecahan adalah pembagian pembilang dan penyebut menjadi pecahan yang sama nomor positif bukan nol dan satuan. Sebagai hasil dari pengurangan, diperoleh pecahan dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil, sama dengan pecahan sebelumnya menurut.

Rumus pengurangan pecahan properti utama angka rasional.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Pertimbangkan sebuah contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(9)(15)\)

Keputusan:
Kita dapat memfaktorkan pecahan menjadi faktor prima dan mengurangi faktor persekutuan.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Jawaban: setelah pengurangan kita mendapatkan pecahan \(\frac(3)(5)\). Menurut sifat utama bilangan rasional, pecahan awal dan pecahan yang dihasilkan adalah sama.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Bagaimana cara mengurangi pecahan? Pengurangan pecahan menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi.

Agar kita mendapatkan pecahan yang tidak dapat direduksi sebagai hasilnya, kita perlu menemukan pembagi persekutuan terbesar (gcd) untuk pembilang dan penyebut suatu pecahan.

Ada beberapa cara untuk mencari KPK, kita akan menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima pada contoh.

Dapatkan pecahan tak tereduksi \(\frac(48)(136)\).

Keputusan:
Cari KPK(48, 136). Mari kita tuliskan angka 48 dan 136 menjadi faktor prima.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
KPK(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(merah) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(merah) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Aturan untuk mengurangi pecahan menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi.

1. Temukan pembagi persekutuan terbesar untuk pembilang dan penyebutnya.
2. Anda perlu membagi pembilang dan penyebut dengan pembagi persekutuan terbesar sebagai hasil dari pembagian untuk mendapatkan pecahan yang tidak dapat disederhanakan.

Contoh:
Kurangi pecahan \(\frac(152)(168)\).

Keputusan:
Cari KPK(152, 168). Mari kita tuliskan bilangan 152 dan 168 menjadi faktor prima.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
gcd(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(merah) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Jawaban: \(\frac(19)(21)\) adalah pecahan tak tereduksi.

Singkatan dari pecahan biasa.

Bagaimana cara memotong? fraksi yang tidak tepat?
Aturan pengurangan pecahan untuk pecahan biasa dan pecahan biasa adalah sama.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Kurangi pecahan biasa \(\frac(44)(32)\).

Keputusan:
Mari kita tuliskan pembilang dan penyebutnya menjadi faktor prima. Dan kemudian kami mengurangi faktor umum.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(merah) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Pengurangan pecahan campuran.

Pecahan campuran mengikuti aturan yang sama seperti pecahan biasa. Satu-satunya perbedaan adalah kita bisa jangan sentuh seluruh bagian, tetapi kurangi bagian pecahannya atau pecahan campuran ubah ke pecahan biasa, perkecil dan ubah kembali ke pecahan biasa.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Kurangi pecahan campuran \(2\frac(30)(45)\).

Keputusan:
Mari kita selesaikan dengan dua cara:
Cara pertama:
Kami akan menulis bagian pecahan menjadi faktor prima, dan kami tidak akan menyentuh bagian bilangan bulat.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(merah) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Cara kedua:
Pertama kita terjemahkan ke pecahan biasa, lalu kita tulis ke faktor prima dan perkecil. Ubah pecahan biasa yang dihasilkan menjadi pecahan biasa.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(merah) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Pertanyaan-pertanyaan Terkait:
Bisakah pecahan dikurangi saat menambahkan atau mengurangi?
Jawaban: tidak, Anda harus menjumlahkan atau mengurangkan pecahan terlebih dahulu sesuai aturan, baru kemudian dikurangi. Pertimbangkan sebuah contoh:

Evaluasi ekspresi \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Keputusan:
Mereka sering membuat kesalahan dengan mengurangi angka yang sama dalam pembilang dan penyebut dalam kasus kami, angka 20, tetapi mereka tidak dapat dikurangi sampai Anda melakukan penjumlahan dan pengurangan.

\(\frac(50+\color(merah) (20)-10)(\color(merah) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Dengan nomor berapa Anda dapat mengurangi pecahan?
Jawaban: Anda dapat mengurangi pecahan dengan pembagi persekutuan terbesar atau pembagi biasa dari pembilang dan penyebut. Misalnya, pecahan \(\frac(100)(150)\).

Mari kita tuliskan angka 100 dan 150 menjadi faktor prima.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pembagi persekutuan terbesar adalah banyaknya gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Kami mendapatkan pecahan tak tereduksi \(\frac(2)(3)\).

Tetapi tidak selalu perlu untuk membagi dengan FPB, pecahan yang tidak dapat disederhanakan tidak selalu diperlukan, Anda dapat mengurangi pecahan dengan pembagi sederhana dari pembilang dan penyebutnya. Misalnya, bilangan 100 dan 150 memiliki pembagi yang sama 2. Mari kita kurangi pecahan \(\frac(100)(150)\) dengan 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Kami mendapatkan pecahan tereduksi \(\frac(50)(75)\).

Pecahan apa yang bisa direduksi?
Jawaban: Anda dapat mengurangi pecahan yang pembilang dan penyebutnya memiliki pembagi yang sama. Misalnya, pecahan \(\frac(4)(8)\). Angka 4 dan 8 memiliki angka yang keduanya habis dibagi oleh angka 2. Oleh karena itu, pecahan tersebut dapat dikurangi dengan angka 2.

Contoh:
Bandingkan dua pecahan \(\frac(2)(3)\) dan \(\frac(8)(12)\).

Kedua pecahan ini sama. Perhatikan pecahan \(\frac(8)(12)\) secara rinci:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Dari sini kita dapatkan, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dua pecahan sama jika dan hanya jika salah satunya diperoleh dengan mengurangi pecahan lainnya dengan faktor persekutuan pembilang dan penyebut.

Contoh:
Kurangi pecahan berikut jika memungkinkan: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Keputusan:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(merah) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(merah) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) pecahan tak tereduksi
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(merah) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ kali 5)=\frac(2)(5)\)

Dalam artikel ini, kami akan fokus pada pengurangan pecahan aljabar. Pertama, mari kita cari tahu apa yang dimaksud dengan istilah "pengurangan pecahan aljabar", dan cari tahu apakah pecahan aljabar selalu dapat direduksi. Selanjutnya, kami memberikan aturan yang memungkinkan kami untuk melakukan transformasi ini. Akhirnya, pertimbangkan solusi dari contoh tipikal yang memungkinkan untuk memahami semua seluk-beluk proses.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan aljabar?

Belajar, kami berbicara tentang pengurangan mereka. kita sebut pembagian pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Misalnya, pecahan biasa 30/54 dapat dikurangi dengan 6 (yaitu, dibagi dengan 6 pembilang dan penyebutnya), yang akan membawa kita ke pecahan 5/9.

Pengurangan pecahan aljabar dipahami sebagai tindakan serupa. Kurangi pecahan aljabar adalah membagi pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Tetapi jika faktor persekutuan pembilang dan penyebut pecahan biasa hanya bisa berupa angka, maka faktor persekutuan pembilang dan penyebut pecahan aljabar dapat berupa polinomial, khususnya monomial atau angka.

Misalnya, pecahan aljabar dapat dikurangi dengan angka 3, yang memberikan pecahan . Dimungkinkan juga untuk mengurangi variabel x , yang akan menghasilkan ekspresi . Pecahan aljabar asli dapat dikurangi dengan monomial 3 x, serta polinomial apa pun x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y atau 3 x 2 +6 x y .

Tujuan akhir dari pengurangan pecahan aljabar adalah untuk mendapatkan pecahan dari bentuk yang lebih sederhana, paling banter, pecahan yang tidak dapat direduksi.

Apakah ada pecahan aljabar yang dapat direduksi?

Kita tahu bahwa pecahan biasa dibagi menjadi . Pecahan yang tidak dapat disederhanakan tidak memiliki faktor persekutuan selain kesatuan dalam pembilang dan penyebut, oleh karena itu, mereka tidak dapat direduksi.

Pecahan aljabar mungkin atau mungkin tidak memiliki faktor pembilang dan penyebut yang sama. Dengan adanya faktor persekutuan, pecahan aljabar dapat direduksi. Jika tidak ada faktor persekutuan, maka penyederhanaan pecahan aljabar dengan cara reduksi tidak mungkin dilakukan.

Dalam kasus umum, dengan munculnya pecahan aljabar, cukup sulit untuk menentukan apakah mungkin untuk melakukan pengurangannya. Tidak diragukan lagi, dalam beberapa kasus faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut sudah jelas. Sebagai contoh, terlihat jelas bahwa pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar memiliki faktor persekutuan 3. Juga mudah untuk melihat bahwa pecahan aljabar dapat dikurangi dengan x, oleh y, atau langsung dengan x·y. Tetapi lebih sering, faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut pecahan aljabar tidak segera terlihat, dan bahkan lebih sering, itu tidak ada. Misalnya, sebuah pecahan dapat direduksi dengan x−1 , tetapi faktor persekutuan ini jelas tidak ada dalam notasi. Dan pecahan aljabar tidak dapat direduksi karena pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan.

Secara umum, pertanyaan tentang kontraktibilitas pecahan aljabar sangat sulit. Dan terkadang lebih mudah untuk menyelesaikan masalah dengan bekerja dengan pecahan aljabar dalam bentuk aslinya daripada mencari tahu apakah pecahan ini dapat dikurangi sebelumnya. Tapi tetap saja, ada transformasi yang dalam beberapa kasus memungkinkan, dengan sedikit usaha, untuk menemukan faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut, jika ada, atau untuk menyimpulkan bahwa pecahan aljabar asli tidak dapat direduksi. Informasi ini akan diungkapkan pada paragraf berikutnya.

Aturan pengurangan pecahan aljabar

Informasi dari paragraf sebelumnya memungkinkan Anda untuk secara alami memahami yang berikut: aturan pengurangan pecahan aljabar, yang terdiri dari dua langkah:

• pertama, faktor persekutuan pembilang dan penyebut pecahan asal ditemukan;
• jika ada, maka dilakukan reduksi oleh faktor-faktor tersebut.

Langkah-langkah dari aturan yang diumumkan ini membutuhkan klarifikasi.

Cara paling mudah untuk menemukan yang umum adalah dengan memfaktorkan polinomial yang ada di pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar asli. Dalam hal ini, faktor persekutuan pembilang dan penyebut segera terlihat, atau menjadi jelas bahwa tidak ada faktor persekutuan.

Jika tidak ada faktor persekutuan, maka kita dapat menyimpulkan bahwa pecahan aljabar tidak dapat direduksi. Jika faktor persekutuan ditemukan, maka pada langkah kedua dikurangi. Hasilnya adalah pecahan baru dari bentuk yang lebih sederhana.

Aturan pengurangan pecahan aljabar didasarkan pada sifat utama pecahan aljabar, yang dinyatakan dengan persamaan , di mana a , b dan c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol. Pada langkah pertama, pecahan aljabar asli direduksi menjadi bentuk , dari mana faktor persekutuan c menjadi terlihat, dan pada langkah kedua, reduksi dilakukan - transisi ke pecahan .

Mari kita beralih ke penyelesaian contoh menggunakan aturan ini. Pada mereka, kami akan menganalisis semua kemungkinan nuansa yang muncul saat menguraikan pembilang dan penyebut pecahan aljabar menjadi faktor dan pengurangan selanjutnya.

Contoh tipikal

Pertama, Anda perlu mengatakan tentang pengurangan pecahan aljabar, yang pembilang dan penyebutnya sama. Pecahan tersebut identik sama dengan satu di seluruh ODZ dari variabel yang termasuk di dalamnya, misalnya,
dll.

Sekarang tidak ada salahnya untuk mengingat bagaimana pengurangan pecahan biasa dilakukan - lagi pula, itu adalah kasus khusus pecahan aljabar. Bilangan asli dalam pembilang dan penyebut pecahan biasa, setelah itu faktor persekutuan dikurangi (jika ada). Sebagai contoh, . Produk dari faktor prima yang identik dapat ditulis sebagai kekuatan, dan ketika dikurangi, gunakan . Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini: , di sini pembilang dan penyebutnya dibagi dengan faktor persekutuan 2 2 3 . Atau, untuk lebih jelasnya, berdasarkan sifat perkalian dan pembagian, solusinya disajikan dalam bentuk.

Menurut prinsip yang benar-benar mirip, pengurangan pecahan aljabar dilakukan, di pembilang dan penyebutnya ada monomial dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh.

Kurangi pecahan aljabar .

Keputusan.

Anda dapat menyatakan pembilang dan penyebut pecahan aljabar asli sebagai produk dari faktor dan variabel sederhana, dan kemudian melakukan pengurangan:

Tetapi lebih rasional untuk menulis solusinya sebagai ekspresi dengan kekuatan:

Menjawab:

.

Adapun pengurangan pecahan aljabar yang memiliki koefisien numerik pecahan dalam pembilang dan penyebut, Anda dapat melakukan dua hal: membagi koefisien pecahan ini secara terpisah, atau pertama-tama menghilangkan koefisien pecahan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan beberapa bilangan asli. Kami berbicara tentang transformasi terakhir dalam artikel membawa pecahan aljabar ke penyebut baru, itu dapat dilakukan karena properti utama dari pecahan aljabar. Mari kita tangani ini dengan sebuah contoh.

Contoh.

Lakukan pengurangan pecahan.

Keputusan.

Anda dapat mengurangi pecahan seperti ini: .

Dan koefisien pecahan dapat dihilangkan terlebih dahulu dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan penyebut koefisien ini, yaitu dengan KPK(5, 10)=10 . Dalam hal ini kita memiliki .

Menjawab:

.

Anda dapat beralih ke pecahan aljabar dari bentuk umum, di mana pembilang dan penyebutnya dapat berisi angka dan monomial, serta polinomial.

Saat mengurangi pecahan seperti itu, masalah utamanya adalah bahwa faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut tidak selalu terlihat. Apalagi itu tidak selalu ada. Untuk menemukan faktor persekutuan atau memastikan bahwa itu tidak ada, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan aljabar.

Contoh.

Kurangi pecahan rasional .

Keputusan.

Untuk melakukan ini, kami memfaktorkan polinomial dalam pembilang dan penyebut. Mari kita mulai dengan tanda kurung: . Jelas, ekspresi dalam kurung dapat dikonversi menggunakan