Краснов функции комплексного переменного. Функции комплексного переменного

Краткий отрывок из начала книги (машинное распознавание)

М.Л.КРАСНОВ
А.И.КИСЕЛЕВ
Г.И.МАКАРЕНКО
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ТЕОРИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
М. Л. КРАСНОВ
А.И.КИСЕЛЕВ
Г.И.МАКАРЕНКО
ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
ТЕОРИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Л
1981
22.161.5
К 78
УДК 517.531
Кр ас н о в М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И.
Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Тео-
Теория устойчивости: Учебное пособие, 2е изд., перераб. и доп. -М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
Как и другие книги, вышедшие в серии «Избранные главы выс-
высшей математики для инженеров я студентов втузов», эта книга
предназначается в основном для студентов технических вузов, но
она может принести пользу и инженеру, желающему восстановить
в памяти разделы математики, указанные в заголовке книги.
В этом издании по сравнению с предыдущим, вышедшим в
1971 г„ расширены параграфы, относящиеся к гармоническим функ-
функциям, вычетам и их применениям для вычисления некоторых интег-
интегралов, конформным отображениям. Добавлены также упражнения
теоретического характера.
В начале каждого параграфа приводятся необходимые теорети-
теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), а также под-
подробно разбираются типовые задачи и примеры.
В книге содержится свыше 1000 примеров и задач для самосто-
самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде
случаев даются указания к решению.
Рис. 71. Библ. 19 назв.
„ 20203-107 ^ о _лллл Глат:Ту.^^
К Аео/лоч Ql 23-81. 1702050000 физико-математической
053 @2)-81 литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Функции комплексного переменного 7
§ К Комплексные числа и действия над ними 7
§ 2. Функции комплексного переменного. ... # ...», 18
§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел
и непрерывность функции комплексного переменного. . 25
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменно-
переменного. Условия Коши -Римана # . t . , 32
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного. , 42
§ 6. Интегральная формула Коши 50
§ 7. Ряды в комплексной области, 56
§ 8. Нули функции. Изолированные особые точки 72
| 9. Вычеты функций 79
§ 10. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вы-
вычислению определенных интегралов. Суммирование не-
некоторых рядов с помощью вычетов 85
§ 11. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема
Руше # . , # . 106
§ 12. Конформные отображения 115
§ 13. Комплексный потенциал. Его гидродинамический
смысл 142
Глава II. Операционное исчисление 147
§ 14. Нахождение изображений и оригиналов 147
§ 15. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами 173
§ 16. Интеграл Дюамеля 185
§ 17. Решение систем линейных дифференциальных уравне-
уравнений операционным методом 188
§ 18. Решение интегральных уравнений Вольтерра с ядрами
специального вида 192
§ 19. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргу-
аргументом. . . . а # 198
§ 20. Решение некоторых задач математической физики. . , 201
§ 21. Дискретное преобразование Лапласа 204
Глава III. Теория устойчивости. , . 218
§ 22. Понятие об устойчивости решения системы дифферен-
дифференциальных уравнений. Простейшие типы точек покоя 218
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 23. Второй метод Ляпунова 225
§ 24. Исследование на устойчивость по первому приближе-
приближению 229
§ 25. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость
по Лагранжу 234
§ 26. Критерий Рауса -Гурвица. 237
§ 27. Геометрический критерий устойчивости (критерий Ми-
Михайлова) , . . , 240
§ 28. D-разбиения 243
§ 29. Устойчивость решений разностных уравнений 250
Ответы 259
Приложение 300
Литература 303
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящем издании весь текст заново пересмотрен
и внесены некоторые дополнения. Увеличен раздел, посвя-
посвященный теории вычетов и ее приложениям (в частности,
введено понятие вычета относительно бесконечно удален-
удаленной точки, применение вычетов к суммированию некото-
некоторых рядов). Увеличено число задач по применению опе-
операционного исчисления к изучению некоторых специаль-
специальных функций (гамма-функции, функции Бесселя и др.),
а также число задач на изображение функций, заданных
графически. Существенно переработан параграф, посвя-
посвященный конформным отображениям. Увеличено количество
разобранных в тексте примеров. Устранены замеченные
неточности и опечатки; некоторые задачи, имеющие гро-
громоздкие решения, заменены более простыми.
При подготовке второго издания книги существенную
помощь своими советами и замечаниями нам оказали за-
заведующий кафедрой математики Московского института
стали и сплавов профессор В. А. Треногий и доцент этой
кафедры М. И. Орлов. Считаем своим приятным долгом
выразить им нашу глубокую признательность.
Мы учли замечания и пожелания кафедры прикладной
математики Киевского инженерно-строительного института
(заведующий кафедрой доцент А. Е. Журавель), а также
замечания товарищей Б. Ткачева (г. Краснодар) и
Б. Л. Цаво (г. Сухуми). Всем им мы выражаем нашу
благодарность.
0 ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы признательны профессорам М. И. Вишику,
Ф. И. Карпелевичу, А. Ф. Леонтьеву и С. И. Похожаеву
за постоянное внимание и поддержку нашей работы.
Все замечания и пожелания по улучшению задачника
будут приняты нами с благодарностью.
Авторы
ГЛАВА I
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Комплексные числа и действия над ними
Комплексным числом г называется выражение вида
(алгебраическая форма комплексного числа), где х и у-любые дей-
действительные числа, a i - мнимая единица, удовлетворяющая условию
12 = -1, Числа х и у называются соответственно действительной и
мнимой частями комплексного чис-
числа г и обозначаются
Комплексное число z=zx - iy
называется сопряженным комплекс-
комплексному числу г=л: + п/.
Комплексные числа гл =Xj + iy%
и г2*= #2 + 4/2 считаются равными
тогда и только тогда, когда хг = х21
Комплексное число 2 =
изображается в плоскости XOY
точкой М с координатами (дг, у)
либо вектором, начало которого Рис* *
находится в точке О @, 0), а конец
в точке М (х, у) (рис. 1). Длина р вектора ОМ называется модулем
комплексного числа и обозначается |г|, так что р = | г \=Vx"2+y2>
Угол ф, образованный вектором ОМ с осью ОХ, называется аргумен-
аргументом комплексного числа г и обозначается

не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2я:
Arg2 = arg2 + 2bt (£ = 0, ±1, ±2, ...),
где arg2 есть главное значение Arg2, определяемое условиями
причем
A)
arctg - , если х *> 0,
jt -f *rctg - , если х - я Jr arctg ■ , если х я/2, если х - 0, у > 0,
- я/2, если х г» 0, у 8 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. I
Имеют место следующие соотношения:
ig (Arg г) - ^~, sin (Arg z)
cos (Arg г) а
Два комплексных числа гг и г2 равны тогда и только тогда,
когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отли-
отличаются на величину, кратную 2л:
(л«0, ±lt ±2t .«.)
Пусть даны два комплексных числа zlwcl + ylt 22+y2
I. Суммой zt+z2 комплексных чисел гг и г% называется комплекс-
комплексное число
2. Разностью z^-z% комплексных чисел zx и z2 называется ком-
комплексное число
3. Произведением ztz2 комплексных чисел z1 и г2 называется ком-
комплексное число
Из определения произведения комплексных чисел, в частности,
следует, что
2
4. Частным ~ от деления комплексного числа 2i на комплекс-
комплексна
ное число ггт^О называется такое комплексное число г, которое
удовлетворяет уравнению гг^г^ Для частного имеет место формула
При этом была использована формула г^1
Формулу B) можно записать в виде
V
Действительная часть Re г и мнимая часть 1тг комплексного
числа z выражаются через сопряженные комплексные числа следую-
следующим образом:
Пример 1. Показать, что zx -\~z2 == -i + 2.2.
Доказательство. По определению имеем
ij комплексные числа и действия над ними
1. Доказать следующие соотношения:
"/ ^1 - ^2 = ^1 - 2:2» Oj Z\Z% == ^i^2« В; [ - - J == - , Г)
Пример 2. Найти действительные решения уравнения
Решение. Выделим в левой части уравнения действительную
и мнимую части: (Ax+Sy) + iBдг-3#)= 13-+-*. Отсюда согласно
определению равенства двух комплексных чисел получаем
Решая эту систему, находим
Найти действительные решения уравнений:
2. (Злг-1)B + 0 + (*-*Ж1+20 = 5 + 6*.
3. {x - iy)(a - ib) = Ca, где я, Ь -заданные действи-
действительные числа, \а\Ф\Ь\.
5. Представить комплексное число (aribp + (а _ .^t
в алгебраической форме.
6. Доказать, что -- - ~*~iX = i (x - действительное).
x-iY 1 -\-х~
7. Выразить х и у через « ии, если + ц fa =
= 1(л:, у, и, v - действительные числа).
8. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие
условию 2 = z2.
Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа
г*=- sin - -icos-g-.
Решение. Имеем
= -sin-л о о
Главным значением аргумента согласно A) будет
argz-- я + arctg/ctg-^j =. - я+ arctg J^tg \~ - -£jj -
, /. 3 \ ,3 5
= - я + arctg i tg д = - я + - я = - л.
\ О / О О
10 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. I
Следовательно,
Argz « -~ я + 2&1 (£ = 0, ±1, ±2, ...),
9. В следующих задачах найти модуль и главное зна-
значение аргумента комплексных чисел:
а) г-4 + 3/; б) z^~2 + 2V3i",
в) г = - 7 - i\ г) г = - cos | + i sin ?-;
д) г == 4 - 3/; е) г = cos a - t sin а
Любое комплексное число z - x + iy (г^ФО) можно записать в три-
тригонометрической форме
Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное
число
Решение. Имеем
Следовательно,
Пример 5. Найти действительные корни уравнения
cos;t~f / sin х г» - + х *
Решение. Данное уравнение корней не имеет. В самом деле,
это уравнение равносильно следующим: cos*= 1/2, sin* = 3/4. По-
Последние уравнения несовместны, так как cos2 x + sin2 x» 13/16, что
невозможно ни при каких значениях х.
Любое комплексное число г Ф 0 можно записать в показательной
форме
*Ф где р = |г|, cp=*Argz.
Пример 6. Найти все комплексные числа z^O, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию 2я"» 1,
Решение. Пусть г =* ре*Ф. Тогда z «= ре~(ч>.
Согласно условию
или
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ II
2£л
откуда рл-2=1, т. е. р=1, и тф = 2&ги, т. е. 2, ..., л-1). Следовательно,
.2nk
n
(jfe«0, I, 2, ..., /г-!).
10. Следующие комплексные числа представить r три-
тригонометрической форме:
а) -2; б) 21; в) -
г) 1-sina + icosa
Д> l+cosa-i since \и е) -2; ж) i; з) -f; и) -1 -/
к) sin a - tcosa E Пусть комплексные числа гх и г2 даны в тригонометрической
форме гг = рх (cos ф! + е sin фх), г2 = р2 (cos ф2 + * sin ф2).
Их произведение находится по формуле
*i*2 ^ P1P2 Ic°s (Ф1 + Ф2) + i sin (ф! + ф2)],
т. е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются,
а аргументы складываются:
Arg (Z&) в Arg 2j + Arg г2.
Частное двух комплексных чисел гх иг2^0 находится но фор-
формуле
т-^тт lcos (v» *~ ^*)+f*sin (ф1"~ ф2I»
г3 ра
т. е.
Возведение комплексного числа
г = р (cos ф + i sin ф)
в натуральную степень п производится по формуле
Zn -- р« (cos щ Jf. i sjn /хф)^
т. е.
Отсюда получается формула Муавра
(cos ф + i sin ф)л == cos Лф + i sin /гф.
12 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. 1
Свойства модуля комплексных чисел
1. |*|Ч*|; 2- «-|z|»;
3. |*Al-|*il!*ir." 4. \г*\^\г\"\
5.
Ч
6.
7.
8. H*il4*ilKI*i*f|.
Пример 7. Вычислить (-■ 1 +1 Кз)§в.
Решение. Представим число г =-1 -f-* УЪ в тригонометриче-
тригонометрической форме
-I _}-/Кз = 2 (сое -§- п + | sin ~~ «V

Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. Краснов М.И., Киселев А.И., Макаренко Г.И.

3-е изд., испр. - М.: 2003. - 208 с.

В настоящем учебном пособии авторы предлагают задачи по основным разделам теории функций комплексного переменного. В начале каждого параграфа приводятся необходимые теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), а также подробно разбирается около 150 типовых задач и примеров.

В книге содержится свыше 500 задач и примеров для самостоятельного решения. Почти все задачи снабжены ответами, а в ряде случаев даются указания к решению.

Книга предназначается в основном для студентов технических вузов с математической подготовкой, но может принести пользу и инженеру, желающему восстановить в памяти разделы математики, относящиеся к теории функций комплексного переменного.

Формат: pdf

Размер: 15 ,2 Мб

Скачать: drive.google


ОГЛАВЛЕНИЕ
 Глава 1 Функции комплексного переменного 3
§ 1. Комплексные числа и действия над ними 3
§ 2. Функции комплексного переменного 14
§ 3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного 22
§ 4, Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана 29
Глава 2. Интегрирование. Ряды. Бесконечные произведения. 40
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного.... 40
§ 6. Интегральная формула Коши 48
§ 7. Ряды в комплексной области 53
§ 8. Бесконечные произведения и их применение к аналитическим функциям 70
1°. Бесконечные произведения 70
2°. Разложение некоторых функций в бесконечные произведения 75
Глава 3. Вычеты функций. . 78
§ 9. Нули функции. Изолированные особые точки 78
1 °. Нули функции 78
2°. Изолированные особые точки 80
§ 10. Вычеты функций 85
§ 11. Теорема Коши о вычетах. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов. Суммирование некоторых радов с помощью вычетов.... 92
1°. Теорема Коши о вычетах 92
2°. Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов 98
3°. Суммирование некоторых рядов с помощью вычетов. . 109
§ 12. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше 113
Глава 4, Конформные отображения. 123
§ 13. Конформные отображения 123
1°. Понятие конформного отображения 123
1 2°. Общие теоремы теории конформных отображений...125
3°. Конформные отображения, осуществляемые линейной функцией w - az + b, функцией w - \ и дробно-линейной функцией w = ffjj . . 127
4°. Конформные отображения, осуществляемые основными элементарными функциями 138
§14. Преобразование многоугольников. Интеграл Кристоффеля-Шварца. 150
Приложение 1 . . . . 159
§15. Комплексный потенциал. Его гидродинамический смысл. . 159
Приложение 2 164
Ответы.......... 186

1 Операционное исчисление
§ 1. Нахождение изображений и оригиналов
§ 2. Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 3. Интеграл Дюамеля
§ 4. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом
§ 5. Решение интегральных уравнений Вольтерра с ядрами специального вида
§ 6. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом
§ 7. Решение некоторых задач математической физики
§ 8. Дискретное преобразование Лапласа
§ 9. Преобразование Фурье
1.Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
2.Задача Коши для одномерного волнового уравнения
§ 10. Косинус- и синус-преобразования Фурье
§ 11. Обобщенные функции. Преобразование Фурье обобщенных функций
2 Теория устойчивости
§ 12. Понятие об устойчивости решения системы дифференциальных уравнений. Простейшие типы точек покоя
§ 13. Второй метод Ляпунова
§ 14. Исследование на устойчивость по первому приближению
§ 15. Асимптотическая устойчивость в целом. Устойчивость по Лагранжу
§ 16. Критерий Рауса--Гурвица
§ 17. Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)
§ 18. D -разбиения
Понятие о D -разбиении
§ 19.
1 o . Решение однородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами
2 o . Решение неоднородных линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами
3 o . Устойчивость решений разностных уравнений
Ответы
Приложение
Краснов Михаил Леонтьевич
  • Родился 30 ноября 1925 г.
  • В 1951-1985 гг. профессор Московского энергетического института, факультет математики.

    Область интересов: дифференциальные уравнения. Киселев Александр Иванович

  • Родился 26 августа 1917 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1951 г.
  • В 1951-1962 гг. работал в Институте физических проблем АН СССР.
  • В 1962--1996 доцент Московского энергетического института, факультет математики.

    Область интересов: теория функций. Макаренко Григорий Иванович

  • Родился 23 апреля 1922 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1951 г.
  • В 1951-1960 профессор Московского энергетического института, факультет математики.
  • В 1960-1978 гг. старший научный сотрудник Объединенного института ядерных исследований в Дубне.
  • В 1978-1989 гг. профессор Московского государственного института путей сообщения, факультет математики.

    Область интересов: дифференциальные уравнения. Шикин Евгений Викторович

  • Родился 10 декабря 1942 г.
  • Окончил механико-математический факультет МГУ в 1964 г.
  • Кандидат физико-математических наук (1970), доктор физико-математических наук (1977). Профессор кафедры общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики.

    Область научных интересов: геометрические методы исследования дифференциальных уравнений, вычислительная геометрия, компьютерная графика.

    Читал курсы лекций "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", "Теория функций комплексного переменного", "Задача изометрического погружения и уравнения Монжа-Ампера", "Геометрические сплайны", "Геометрические методы в задачах поиска", "Компьютерная графика".

    Krasnov Michail Leontievich

  • Born on November 30th 1925 in Russia.
  • 1951-1985: Professor of Moscow Power Institute. Department of Mathematics.

    Kiselyov Alexandr Ivanovich

  • Born on August 26th 1917 in Russia.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1951.
  • 1951-1962: Affiliated to the Institute of Physical Problems of USSR Academy of Sciences.
  • 1962-1996: Associate Professor of Moscow Power Institute. Department of Mathematics.

    Fields of interest: Theory of Functions.

    Makarenko Grigorij Ivanovich

  • Born on April 23th 1922 in Ukraine.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1951.
  • 1951-1960: Assistant Professor of Moscow Power Institute. Department of Mathematics.
  • 1960-1978: Senior Researcher of the Joint Institute of Nuclear Research. Dubna.
  • 1978-1989: Professor of the Institute of Transport Engineers. Department of Mathematics.

    Fields of interest: Differential Equations.

    Shikin Evgenij Viktorovich

  • Born on December 10th 1942 in Russia.
  • Graduated from Moscow State University (Department of Mechanics and Mathematics) in 1964.
  • Since 1964: Professor of Moscow State University. Department of Computational Mathematics and Cybernetics.

    Fields of interest: Differential Geometry.

    • Функции комплексного переменного. Комплексные числа и действия Раздел: Задачники и решебники по ТВиМС. Учебное пособие для. РазделаМ теории функций комдлексноrо переменноrо. вектора О М называется модулем комплексного числа и ·обозначается. переменных ж и у. Библиотека > Книги по математике > Функции комплексной переменной М.: ИЛ, 1963 (djvu); Краснов М.Л. Киселев А.И. Макаренко Г.И. Функции. Название: Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями.

    Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Ответы. Чтобы скачать этот файл зарегистрируйтесь и/или. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.

    Функции комплексной переменной. Дифференцирование функций комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу Комплексные числа для чайников.

    Решебник Функции Комплексного Переменного Краснов Киселев Макаренко

    Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка. Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…. Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше.

    Решебник Функции Комплексного Переменного Краснов Киселев Макаренко 1981

    Понятие функции комплексной переменной. Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:. Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции. Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа. В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:. Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции.

    В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении. Чем отличается функция комплексной переменной.

    Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде. Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной. то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения.

    Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и, которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:. Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной. Функцию комплексной переменной можно записать в виде:.

    Где и – две функции двух действительных переменных. Функция называется действительной частью функции. Функция называется мнимой частью функции. То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и.

    Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:. Найти действительную и мнимую часть функции. Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде, поэтому:. (1) В исходную функцию подставили. (2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения.

    В слагаемом – раскрыли скобки. (3) Аккуратно возвели в квадрат, не забывая, что. (4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно). (5) У второй группы выносим за скобки.

    В результате наша функция оказалась представлена в виде. – действительная часть функции. – мнимая часть функции.

    Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные. Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

    Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем, проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть). Найти действительную и мнимую часть функции. Это пример для самостоятельного решения.

    Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что, аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите.

    Полное решение и ответ в конце урока. Чтобы дальше легче жилось, обратим внимание на пару полезных формул. В Примере 1 было выяснено, что. Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения, выведем:.

    Условия Коши-Римана. У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.

    Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной. Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция.

    А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками. Рассмотрим функцию комплексной переменной. Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:. 1) Чтобы существовали частные производные первого порядка.

    Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи:. 2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:. Только в этом случае будет существовать производная. Определить действительную и мнимую части функции. Проверить выполнение условий Коши-Римана.

    В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции. Решение раскладывается на три последовательных этапа:. 1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:.

    Таким образом:. – действительная часть функции;. – мнимая часть функции. Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так:. 3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

    Начнем с проверки условия. Находим частные производные:. Таким образом, условие выполнено. Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые. Проверяем выполнение второго условия:. Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

    Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема. 3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:. Мнимая единица при дифференцировании считается константой. Ответ: – действительная часть, – мнимая часть. Условия Коши-Римана выполнены,. Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной.

    Производную можно найти по формуле:. В данном случае:. Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить.

    Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:. Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно. Зеркальная формула для нахождения производной:. В данном случае: , поэтому:. Определить действительную и мнимую части функции.

    Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции. Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока. Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку. Усложним наши функции:. Определить действительную и мнимую части функции.

    Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить. Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:. Определим действительную и мнимую части данной функции:. Внимание и еще раз внимание. Таким образом:.

    – действительная часть функции;. – мнимая часть функции. Проверим выполнение условий Коши-Римана:. Проверка второго условия:. Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено. Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:.

    Вычислим значение производной в требуемой точке:. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены. Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:. Определить действительную и мнимую части функции.

    Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить.

    Решение и образец чистового оформления в конце урока. В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями. Сначала о так называемых формулах Эйлера:.

    Формулы Эйлера. Для любого действительного числа справедливы следующие формулы:. Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

    Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:. Определить действительную и мнимую части функции. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Найти производную.

    Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:. Поскольку, то:. (1) Подставляем вместо «зет». (2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки. (3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

    (4) Используем школьное действие со степенями. (5) Для множителя используем формулу Эйлера, при этом. (6) Раскрываем скобки, в результате:. – действительная часть функции;. – мнимая часть функции. Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:. Частные производные опять не очень сложные, но на всякий пожарный расписал их максимально подробно.

    Проверяем второе условие:. Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены. На вторую формулу Эйлера задание для самостоятельного решения:. Определить действительную и мнимую части функции. Проверить выполнение условий Коши-Римана, найти производную.

    Полное решение и ответ в конце урока. ! Внимание! Знак «минус» в формуле Эйлера относится к мнимой части, то есть. Терять минус нельзя. Непосредственно из формул Эйлера можно вывести формулу разложения синуса и косинуса на действительную и мнимую часть. Сам вывод достаточно занудный, вот он, кстати, у меня в учебнике перед глазами (Бохан, Математический анализ, том 2). Поэтому сразу приведу готовый результат, который опять полезно переписать к себе в справочник:.

    Параметры «альфа» и «бета» принимают только действительные значения, в том числе они могут быть сложными выражениями, функциями действительной переменной. Кроме того, в формуле нарисовались гиперболические функции, при дифференцировании они превращаются друг в друга, не случайно я включил их в таблицу производных. Определить действительную и мнимую части функции. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

    Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:. Поскольку, то:. 1) Подставляем вместо «зет». (2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса. В этих целях раскрываем скобки. (3) Используем формулу, при этом.

    (4) Используем чётность гиперболического косинуса. и нечётность гиперболического синуса.

    Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции. – действительная часть функции;. – мнимая часть функции.

    Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:. Проверим выполнение условий Коши-Римана:. Условия Коши-Римана выполнены. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены.

    С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:. Определить действительную и мнимую части функции. Проверить выполнение условий Коши-Римана. Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

    Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…. Определить действительную и мнимую части функции.

    Проверить выполнение условий Коши-Римана. Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции. Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе. Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников. Вспоминаем школьную формулу. В знаменателе у нас уже есть, значит, сопряженным выражением будет.

    Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на:. Вот и всё, а вы боялись:. – действительная часть функции;. – мнимая часть функции. Повторюсь в третий раз – не теряем минус у мнимой части. Проверим выполнения условий Коши-Римана.

    Надо сказать, частные производные здесь не то чтобы о-го-го, но уже не из простейших:. Условия Коши-Римана выполнены. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены. В качестве эпилога короткая история про ступор, или о том, какие вопросы преподавателей являются самыми сложными. Самые сложные вопросы, как ни странно – это вопросы с очевидными ответами.

    А история такова: сдаёт человек экзамен по алгебре, тема билета: «Следствие основной теоремы алгебры». Экзаменатор слушает-слушает, а потом вдруг спрашивает: «А откуда это следует?». Вот это был ступор, так ступор. Вся аудитория уже угорала, но студент так и не сказал правильного ответа: «из основной теоремы алгебры».

    Вспоминаю историю и из личного опыта, сдаю физику, что-то там про давление жидкости, что уже не помню, но рисунок остался в памяти навсегда – изогнутая труба, по которой текла жидкость. Ответил я билет «на отлично», причем даже сам понял, что ответил. И вот преподаватель напоследок спрашивает: «Где здесь трубка тока?».

    Крутил-вертел я этот чертёж с изогнутой трубой минут пять, высказывал самые дикие версии, пилил трубу, рисовал какие-то проекции. А ответ был прост, трубка тока – это вся труба. Неплохо разгрузились, до встречи на уроке Как найти функцию комплексной переменной? Там разобрана обратная задача.

    Иногда очевидное – это самое сложное, всем желаю не тормозить. Решения и ответы:.

    Пример 2: Решение: так как, то:. Ответ: – действительная часть, – мнимая часть. Пример 4: Решение: Так как, то:. Таким образом:. – действительная часть функции;.

    – мнимая часть функции. Проверим выполнение условий Коши Римана:. Условие выполнено. Условие также выполнено. Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:. Ответ: – действительная часть, – мнимая часть. Условия Коши-Римана выполнены,.

    Пример 6: Решение: определим действительную и мнимую части данной функции. Таким образом:. – действительная часть функции;. – мнимая часть функции. Проверим выполнение условий Коши-Римана:. Условия Коши-Римана выполнены. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены.

    Пример 8: Решение: Так как, то:. Таким образом:. – действительная часть функции;.

    – мнимая часть функции. Проверим выполнение условий Коши-Римана:. Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены. Пример 10: Решение: Так как, то:. Таким образом:. – действительная часть функции;.

    – мнимая часть функции. Проверим выполнение условий Коши-Римана:. Условия Коши-Римана выполнены. Ответ: , условия Коши-Римана выполнены.

    Библиотека Мат. форумы

    Библиотека > Книги по математике > Функции комплексной переменной

    Поиск в библиотеке по авторам и ключевым словам из названия книги:

    Функции комплексной переменной

    • Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Нсб.: Наука, 1979 (djvu)
    • Альфоpc Л. Лекции по квазиконформным отображениям. М.: Мир, 1969 (djvu)
    • Альфорс Л., Берс Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М.: ИЛ, 1961 (djvu)
    • Ангилейко И.М., Козлова Р.В. Задачи по теории функций комплексной переменной. Мн.: Выш. школа, 1976 (djvu)
    • Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (2-е изд.). М.: Наука, 1968 (djvu)
    • Авдеев Н.Я. Задачник-практикум по курсу теории функций комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1959 (djvu)
    • Белинский П.П. Общие свойства квазиконформных отображений. Нсб.: Наука, 1974 (djvu)
    • Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М.: Наука, 1967 (djvu)
    • Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1969 (djvu)
    • Бохнер С., Мартин У.Т. Функции многих комплексных переменных. М.: ИЛ, 1951 (djvu)
    • Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье М.: Мир, 1968 (djvu)
    • Валирон Ж. Аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1957 (djvu)
    • Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964 (djvu)
    • Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М.: Физматлит, 1960 (djvu)
    • Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964 (djvu)
    • Волковыский Л.И. Квазиконформные отображения. Львов: Львов. ун-т, 1954 (djvu)
    • Ву Х. Теория равнораспределения для голоморфных кривых. М.: Мир, 1973 (djvu)
    • Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
    • Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969 (djvu)
    • Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: ГИФМЛ, 1958 (djvu)
    • Гахов Ф.Д. Краевые задачи (2-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1963 (djvu)
    • Гахов Ф.Д. Краевые задачи (3-е изд.). М.: Наука, 1977 (djvu)
    • Голубев В.В. Однозначные аналитические функции автоморфные функции. М.: Физматлит, 1961 (djvu)
    • Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного (2-е изд.). М.: Наука, 1966 (djvu)
    • Гончаров В.Л. Теория функции комплексного переменного. М.: Учпедгиз, 1955 (djvu)
    • Гурвиц А., Курант P. Теория функций. М.: Наука, 1968 (djvu)
    • Демидов А.С. Метод Гельмгольца-Кирхгофа (ГК-метод). EqWorld , 19.09.2007 (pdf)
    • Евграфов М.А. (ред.) Сборник задач по аналитической теории функций (2-е изд.). М.: Наука, 1972 (djvu)
    • Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. М.: ИЛ, 1954 (djvu)
    • Каратеодори К. Конформное отображение. М.-Л.: ОНТИ, 1934 (djvu)
    • Картан А. Элементарная теория функций комплексных переменных. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
    • Коппепфельс В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963 (djvu)
    • Краснов М.Л. Киселев А.И. Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971 (djvu)
    • Крушкаль С.Л., Апанасов Б.Н., Гусевский Н.А. Униформизация и клейновы группы. Нсб.: НГУ, 1979 (djvu)
    • Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной. Л.-М.: ОНТИ, 1934 (djvu)
    • Курант Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности. М.: ИЛ, 1953 (djvu)
    • Лаврентьев М.А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики. М.-Л.: ОГИЗ, 1946 (djvu)
    • Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965 (djvu)
    • Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956 (djvu)
    • Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976 (djvu)
    • Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных. М.: Наука, 1969 (djvu)
    • Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. Л.-М.: ОНТИ, 1937 (djvu)
    • Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951 (djvu)
    • Милин И.М. Однолистные функции и ортонормированные системы. М.: Наука, 1971 (djvu)
    • Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. М.: Мир, 1971 (djvu)
    • Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях. М.: Физматлит, 2003 (djvu)
    • Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. М.-Л.: ОНТИ, 1936 (djvu)
    • Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного. М.: ИЛ, 1951 (djvu)
    • Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 1971 (djvu)
    • Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: ГИТТЛ, 1941 (djvu)
    • Петренко В.П. Рост мероморфных функций. Харьков: ХГУ, Вища школа, 1978 (djvu)
    • Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций (2-е изд.). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
    • Привалов И.И. Субгармонические функции. М.-Л.: ГРТТЛ, 1937 (djvu)
    • Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974 (djvu)
    • Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967 (djvu)
    • Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960

    СХОЖИЕ СТАТЬИ