Já no ensino fundamental, os alunos se deparam com frações. E então eles aparecem em todos os tópicos. É impossível esquecer ações com esses números. Portanto, você precisa saber todas as informações sobre o comum e decimais. Esses conceitos são simples, o principal é entender tudo em ordem.
Por que as frações são necessárias?
O mundo ao nosso redor consiste em objetos inteiros. Portanto, não há necessidade de ações. Mas vida cotidiana constantemente empurra as pessoas para trabalhar com partes de objetos e coisas.
Por exemplo, o chocolate consiste em várias fatias. Considere a situação em que seu ladrilho é formado por doze retângulos. Se você dividi-lo em dois, você obtém 6 partes. Será bem dividido em três. Mas os cinco não poderão dar um número inteiro de fatias de chocolate.
A propósito, essas fatias já são frações. E sua divisão adicional leva ao aparecimento de números mais complexos.
O que é uma "fração"?
Este é um número que consiste em partes de um. Externamente, parece dois números separados por uma barra ou horizontal. Esse recurso é chamado de fracionário. O número escrito na parte superior (esquerda) é chamado de numerador. O que está na parte inferior (direita) é o denominador.
Na verdade, a barra fracionária acaba sendo um sinal de divisão. Ou seja, o numerador pode ser chamado de dividendo e o denominador pode ser chamado de divisor.
Quais são as frações?
Em matemática, existem apenas dois tipos deles: frações ordinárias e decimais. As crianças em idade escolar são apresentadas pela primeira vez escola primaria, chamando-os simplesmente de "frações". O segundo aprende na 5ª série. É quando esses nomes aparecem.
Frações comuns são todas aquelas que são escritas como dois números separados por uma barra. Por exemplo, 4/7. Decimal é um número em que a parte fracionária tem uma notação posicional e é separada do inteiro por uma vírgula. Por exemplo, 4.7. Os alunos precisam deixar claro que os dois exemplos dados são números completamente diferentes.
Todo fração simples pode ser escrito como um decimal. Esta afirmação é quase sempre verdadeira em direção oposta. Existem regras que permitem escrever uma fração decimal como uma fração ordinária.
Que subespécies esses tipos de frações têm?
Melhor começar em ordem cronológica como estão sendo estudados. Primeiro vá frações comuns. Entre eles, 5 subespécies podem ser distinguidas.
Correto. Seu numerador é sempre menor que o denominador.
Errado. Seu numerador é maior ou igual ao denominador.
Redutível / irredutível. Pode ser certo ou errado. Outra coisa é importante, se o numerador e o denominador têm fatores comuns. Se houver, eles devem dividir ambas as partes da fração, ou seja, reduzi-la.
Misturado. Um inteiro é atribuído à sua parte fracionária usual correta (incorreta). E sempre fica à esquerda.
Composto. É formado a partir de duas frações divididas entre si. Ou seja, tem três características fracionárias ao mesmo tempo.
Decimais têm apenas duas subespécies:
final, ou seja, aquele em que a parte fracionária é limitada (tem fim);
infinito - um número cujos dígitos após o ponto decimal não terminam (eles podem ser escritos infinitamente).
Como converter decimal para ordinário?
Se este é um número finito, então uma associação baseada na regra é aplicada - como ouço, então escrevo. Ou seja, você precisa lê-lo corretamente e anotá-lo, mas sem vírgula, mas com uma linha fracionária.
Como uma dica sobre o denominador necessário, lembre-se de que é sempre um e alguns zeros. Este último precisa ser escrito tantos quanto os dígitos na parte fracionária do número em questão.
Como converter frações decimais em frações ordinárias se elas parte inteira ausente, ou seja, igual a zero? Por exemplo, 0,9 ou 0,05. Depois de aplicar a regra especificada, você precisa escrever zero inteiros. Mas não é indicado. Resta escrever apenas as partes fracionárias. Para o primeiro número, o denominador será 10, para o segundo - 100. Ou seja, os exemplos indicados terão como respostas os números: 9/10, 5/100. Além disso, o último acaba sendo possível reduzir por 5. Portanto, o resultado para ele deve ser escrito 1/20.
Como fazer uma fração ordinária de um decimal se sua parte inteira for diferente de zero? Por exemplo, 5,23 ou 13,00108. Ambos os exemplos lêem a parte inteira e escrevem seu valor. No primeiro caso, isso é 5, no segundo, 13. Então você precisa passar para a parte fracionária. Com eles é necessário realizar a mesma operação. O primeiro número tem 23/100, o segundo tem 108/100000. O segundo valor precisa ser reduzido novamente. A resposta é assim frações mistas: 5 23/100 e 13 27/25000.
Como converter um decimal infinito em uma fração comum?
Se não for periódico, essa operação não poderá ser realizada. Este fato se deve ao fato de que cada fração decimal é sempre convertida em final ou periódica.
A única coisa que se pode fazer com essa fração é arredondá-la. Mas então o decimal será aproximadamente igual a esse infinito. Já pode ser transformado em um comum. Mas o processo inverso: converter para decimal - nunca dará o valor inicial. Ou seja, sem fim frações periódicas não são convertidos para ordinários. Isso deve ser lembrado.
Como escrever uma fração periódica infinita na forma de uma ordinária?
Nesses números, sempre aparecem um ou mais dígitos após a vírgula, que se repetem. Eles são chamados de períodos. Por exemplo, 0,3(3). Aqui "3" no período. Eles são classificados como racionais, pois podem ser convertidos em frações ordinárias.
Quem já encontrou frações periódicas sabe que elas podem ser puras ou mistas. No primeiro caso, o ponto começa imediatamente a partir da vírgula. No segundo, a parte fracionária começa com qualquer número e, em seguida, começa a repetição.
A regra pela qual você precisa escrever um decimal infinito na forma de uma fração comum será diferente para esses dois tipos de números. É muito fácil escrever frações periódicas puras como frações ordinárias. Assim como os finais, eles precisam ser convertidos: escreva o ponto no numerador e o número 9 será o denominador, repetindo quantas vezes houver dígitos no ponto.
Por exemplo, 0,(5). O número não tem uma parte inteira, então você precisa prosseguir imediatamente para a parte fracionária. Escreva 5 no numerador e no denominador 9. Ou seja, a resposta será a fração 5/9.
Uma regra sobre como escrever uma fração decimal comum que é uma fração mista.
Veja a duração do período. Tanto 9 terá um denominador.
Anote o denominador: primeiros noves, depois zeros.
Para determinar o numerador, você precisa escrever a diferença de dois números. Todos os dígitos após o ponto decimal serão reduzidos, juntamente com o ponto. Subtraível - é sem período.
Por exemplo, 0,5(8) - escreva a fração decimal periódica como uma fração comum. A parte fracionária antes do período é um dígito. Então zero será um. Há também apenas um dígito no período - 8. Ou seja, há apenas um nove. Ou seja, você precisa escrever 90 no denominador.
Para determinar o numerador de 58, você precisa subtrair 5. Acontece 53. Por exemplo, você terá que escrever 53/90 como resposta.
Como as frações comuns são convertidas em decimais?
pelo mais opção simples verifica-se o número no denominador do qual é o número 10, 100 e assim por diante. Em seguida, o denominador é simplesmente descartado e uma vírgula é colocada entre as partes fracionária e inteira.
Há situações em que o denominador facilmente se transforma em 10, 100, etc. Por exemplo, os números 5, 20, 25. Basta multiplicá-los por 2, 5 e 4, respectivamente. Só é necessário multiplicar não apenas o denominador, mas também o numerador pelo mesmo número.
Para todos os outros casos, uma regra simples será útil: divida o numerador pelo denominador. Nesse caso, você pode obter duas respostas: uma fração decimal final ou periódica.
Operações com frações comuns
Adição e subtração
Os alunos os conhecem mais cedo do que os outros. E primeiro com frações mesmos denominadores e depois diferente. Regras gerais pode ser reduzido a tal plano.
Encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
queimar multiplicadores adicionais a todas as frações ordinárias.
Multiplique os numeradores e denominadores pelos fatores definidos para eles.
Adicione (subtraia) os numeradores das frações e deixe o denominador comum inalterado.
Se o numerador do minuendo for menor que o subtraendo, precisamos descobrir antes de nós número misto ou uma fração própria.
No primeiro caso, a parte inteira precisa receber um. Adicione um denominador ao numerador de uma fração. E então faça a subtração.
No segundo - é necessário aplicar a regra de subtração de um número menor para um maior. Ou seja, subtraia o módulo do minuendo do módulo do subtraendo e coloque o sinal “-” na resposta.
Observe atentamente o resultado da adição (subtração). Se você obtiver uma fração imprópria, deve selecionar a parte inteira. Ou seja, divida o numerador pelo denominador.
Multiplicação e divisão
Para sua implementação, as frações não precisam ser reduzidas a denominador comum. Isso facilita a ação. Mas eles ainda têm que seguir as regras.
Ao multiplicar frações ordinárias, é necessário considerar os números nos numeradores e denominadores. Se algum numerador e denominador fator comum, então eles podem ser reduzidos.
Multiplique os numeradores.
Multiplique os denominadores.
Se você obtiver uma fração redutível, ela deverá ser simplificada novamente.
Ao dividir, você deve primeiro substituir a divisão por multiplicação e o divisor (segunda fração) por um recíproco (trocar o numerador e o denominador).
Em seguida, proceda como na multiplicação (a partir do passo 1).
Nas tarefas em que você precisa multiplicar (dividir) por um inteiro, o último deve ser escrito na forma Fração imprópria. Ou seja, com denominador 1. Em seguida, proceda conforme descrito acima.
Operações com decimais
Adição e subtração
Claro, você sempre pode transformar um decimal em uma fração comum. E agir de acordo com o plano já descrito. Mas às vezes é mais conveniente agir sem essa tradução. Então as regras para sua adição e subtração serão exatamente as mesmas.
Equalize o número de dígitos na parte fracionária do número, ou seja, após o ponto decimal. Atribua o número ausente de zeros nele.
Escreva frações de modo que a vírgula fique sob a vírgula.
Adicione (subtraia) como números naturais.
Remova a vírgula.
Multiplicação e divisão
É importante que você não precise acrescentar zeros aqui. As frações devem ser deixadas como são dadas no exemplo. E então vá de acordo com o plano.
Para a multiplicação, você precisa escrever frações uma sob a outra, sem prestar atenção às vírgulas.
Multiplique como os números naturais.
Coloque uma vírgula na resposta, contando a partir da extremidade direita da resposta quantos dígitos houver nas partes fracionárias de ambos os fatores.
Para dividir, você deve primeiro converter o divisor: torná-lo número natural. Ou seja, multiplique por 10, 100, etc., dependendo de quantos dígitos estão na parte fracionária do divisor.
Multiplique o dividendo pelo mesmo número.
Divida um decimal por um número natural.
Coloque uma vírgula na resposta no momento em que a divisão de toda a parte terminar.
E se houver ambos os tipos de frações em um exemplo?
Sim, em matemática muitas vezes há exemplos em que você precisa realizar operações em frações ordinárias e decimais. Há duas soluções possíveis para esses problemas. Você precisa pesar objetivamente os números e escolher o melhor.
Primeira maneira: representar decimais comuns
É adequado se, ao dividir ou traduzir, você obtém frações finitas. Se pelo menos um número fornecer uma parte periódica, essa técnica é proibida. Portanto, mesmo que você não goste de trabalhar com frações ordinárias, terá que contá-las.
A segunda maneira: escrever frações decimais como ordinárias
Esta técnica é conveniente se houver 1-2 dígitos na parte após o ponto decimal. Se houver mais deles, você pode obter uma fração ordinária muito grande e entradas decimais permitirá que você calcule a tarefa mais rápido e fácil. Portanto, é sempre necessário avaliar com sobriedade a tarefa e escolher o método de solução mais simples.
Lembra como na primeira lição sobre frações decimais, eu disse que existem frações numéricas que não podem ser representadas como decimais (veja a lição “Frações Decimais”)? Também aprendemos como fatorar os denominadores das frações para verificar se existem outros números além de 2 e 5.
Então: eu menti. E hoje vamos aprender a traduzir absolutamente qualquer fração numérica em um decimal. Ao mesmo tempo, conheceremos toda uma classe de frações com uma parte significativa infinita.
Um decimal periódico é qualquer decimal que tenha:
- A parte significativa consiste em um número infinito de dígitos;
- Em determinados intervalos, os números na parte significativa são repetidos.
Um conjunto de dígitos repetidos que compõem parte significativa, é chamado de parte periódica da fração, e o número de dígitos neste conjunto é o período da fração. O segmento restante da parte significativa, que não se repete, é chamado de parte não periódica.
Como existem muitas definições, vale a pena considerar em detalhes algumas dessas frações:
Essa fração ocorre com mais frequência em problemas. Parte não periódica: 0; parte periódica: 3; duração do período: 1.
Parte não periódica: 0,58; parte periódica: 3; duração do período: novamente 1.
Parte não periódica: 1; parte periódica: 54; duração do período: 2.
Parte não periódica: 0; parte periódica: 641025; duração do período: 6. Por conveniência, as partes repetidas são separadas umas das outras por um espaço - nesta solução não é necessário fazê-lo.
Parte não periódica: 3066; parte periódica: 6; duração do período: 1.
Como você pode ver, a definição de uma fração periódica é baseada no conceito parte significativa de um número. Portanto, se você esqueceu o que é, recomendo repeti-lo - veja a lição "".
Transição para decimal periódico
Considere uma fração ordinária da forma a / b . Vamos expandir seu denominador para fatores primos. Existem duas opções:
- Na expansão estão presentes apenas os fatores 2 e 5. Essas frações são facilmente reduzidas a decimais - veja a lição "Frações Decimais". Não estamos interessados nisso;
- Há algo mais na expansão além de 2 e 5. Nesse caso, a fração não pode ser representada como um decimal, mas pode ser transformada em um decimal periódico.
Para definir uma fração decimal periódica, você precisa encontrar sua parte periódica e não periódica. Como? Converta a fração para uma imprópria e, em seguida, divida o numerador pelo denominador com um "canto".
Ao fazê-lo, acontecerá o seguinte:
- Divida primeiro parte inteira se existir;
- Pode haver vários números após o ponto decimal;
- Depois de um tempo os números vão começar repetir.
Isso é tudo! Os dígitos repetidos após o ponto decimal são indicados pela parte periódica e o que está na frente - não periódico.
Uma tarefa. Converter frações ordinárias em decimais periódicos:
Todas as frações sem parte inteira, então simplesmente dividimos o numerador pelo denominador com um “canto”:
Como você pode ver, os restos são repetidos. Vamos escrever a fração na forma "correta": 1,733 ... = 1,7(3).
O resultado é uma fração: 0,5833 ... = 0,58(3).
Escrevemos na forma normal: 4,0909 ... = 4, (09).
Obtemos uma fração: 0,4141 ... = 0, (41).
Transição de decimal periódico para ordinário
Considere um decimal periódico X = abc (a 1 b 1 c 1). É necessário transferi-lo para o clássico "dois andares". Para fazer isso, siga quatro etapas simples:
- Encontre o período da fração, ou seja, conte quantos dígitos estão na parte periódica. Seja o número k;
- Encontre o valor da expressão X · 10 k . Isso é equivalente a deslocar o ponto decimal por período completoà direita - veja a lição " Multiplicação e divisão de frações decimais";
- Subtraia a expressão original do número resultante. Neste caso, a parte periódica é “queimada” e permanece fração comum;
- Encontre X na equação resultante. Todas as frações decimais são convertidas em ordinárias.
Uma tarefa. Converter para uma fração imprópria ordinária de um número:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Trabalhando com a primeira fração: X = 9,(6) = 9,666...
Os colchetes contêm apenas um dígito, então o período k = 1. Em seguida, multiplicamos essa fração por 10 k = 10 1 = 10. Temos:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Subtraia a fração original e resolva a equação:
10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.
Agora vamos lidar com a segunda fração. Então X = 32,(39) = 32,393939...
Período k = 2, então multiplicamos tudo por 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Subtraia a fração original novamente e resolva a equação:
100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Vamos para a terceira fração: X = 0,30(5) = 0,30555 ... O esquema é o mesmo, então vou dar apenas os cálculos:
Período k = 1 ⇒ multiplique tudo por 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.
Finalmente, a última fração: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Novamente, por conveniência, as partes periódicas são separadas umas das outras por espaços. Nós temos:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Que se eles conhecem a teoria das séries, então, sem ela, nenhum conceito metamático pode ser introduzido. Além disso, essas pessoas acreditam que quem não usa em todos os lugares é ignorante. Deixemos as opiniões dessas pessoas à sua consciência. Vamos entender melhor o que é uma fração periódica infinita e como lidar com ela para nós, pessoas incultas que não conhecem limites.
Divida 237 por 5. Não, você não precisa executar a Calculadora. Vamos lembrar melhor do ensino médio (ou mesmo fundamental?) e apenas dividir a coluna:
Bem, você se lembra? Então você pode começar a trabalhar.
O conceito de "fração" em matemática tem dois significados:
- Não inteiro.
- Forma de notação de um número não inteiro.
- Simples (ou vertical) frações como 1/2 ou 237/5.
- Decimais, como 0,5 ou 47,4.
Na matemática, em geral, desde tempos imemoriais, uma conta decimal é aceita e, portanto, as frações decimais são mais convenientes do que as simples, ou seja, uma fração com denominador decimal(Vladimir Dal. Dicionário vivo Grande idioma russo. "Dez").E se sim, então eu quero fazer qualquer fração vertical decimal (“horizontal”). E para isso você só precisa dividir o numerador pelo denominador. Tome, por exemplo, a fração 1/3 e tente torná-la um decimal.
Mesmo uma pessoa completamente sem instrução vai notar: não importa quanto tempo leve, eles não vão se separar: é assim que os triplos aparecerão indefinidamente. Então vamos anotar: 0,33... Queremos dizer "o número que se obtém quando você divide 1 por 3", ou, resumindo, "um terço". Naturalmente, um terço é uma fração no primeiro sentido da palavra, e "1/3" e "0,33 ..." são frações no segundo sentido da palavra, ou seja, formulários de registro um número que está na reta numérica a uma distância tal de zero que, se você adiar três vezes, obtém um.
Agora vamos tentar dividir 5 por 6:
Vamos anotar novamente: 0,833... Queremos dizer "o número que se obtém quando você divide 5 por 6", ou, resumindo, "cinco sextos". No entanto, a confusão surge aqui: significa 0,83333 (e então as triplas são repetidas), ou 0,833833 (e então 833 é repetido). Portanto, o registro com reticências não nos convém: não está claro de onde começa a parte repetitiva (é chamada de “período”). Portanto, tomaremos o período entre parênteses, assim: 0, (3); 0,8(3).
0,(3) não apenas é igual a um terço é há um terço, porque criamos especificamente essa notação para representar esse número como uma fração decimal.
Essa entrada é chamada uma fração periódica infinita, ou apenas uma fração periódica.
Sempre que dividimos um número por outro, se não obtivermos uma fração finita, obteremos uma fração periódica infinita, ou seja, em algum momento as sequências de números começarão a se repetir. Por que isso é assim pode ser entendido puramente especulativamente, observando cuidadosamente o algoritmo de divisão por uma coluna:
Em locais marcados com marcas de seleção, eles não podem ser obtidos o tempo todo casais diferentes números (porque há, em princípio, um conjunto finito de tais pares). E assim que esse par aparecer lá, que já existia, a diferença também será a mesma - e todo o processo começará a se repetir. Não há necessidade de verificar isso, porque é bastante óbvio que quando as mesmas ações são repetidas, os resultados serão os mesmos.
Agora que entendemos bem essência fração periódica, vamos tentar multiplicar um terço por três. Sim, é claro que será um, mas vamos escrever essa fração na forma decimal e multiplicar por uma coluna (a ambiguidade devido às reticências não surge aqui, pois todos os números após o ponto decimal são os mesmos):
E novamente notamos que noves, noves e noves aparecerão após o ponto decimal o tempo todo. Ou seja, usando, inversamente, a notação de colchetes, obtemos 0, (9). Como sabemos que o produto de um terço por três é uma unidade, então 0, (9) é uma forma tão bizarra de escrever uma unidade. No entanto, não é aconselhável usar esta forma de notação, pois a unidade é escrita perfeitamente sem usar um ponto, assim: 1.
Como você pode ver, 0,(9) é um daqueles casos em que um inteiro é escrito como uma fração, como 3/3 ou 7,0. Ou seja, 0, (9) é uma fração apenas no segundo sentido da palavra, mas não no primeiro.
Então, sem limites e linhas, descobrimos o que é 0, (9) e como lidar com isso.
Mas ainda lembre-se que na verdade somos análise inteligente e estudada. De fato, é difícil negar que:
Mas, talvez, ninguém discuta com o fato de que:
Tudo isso, é claro, é verdade. De fato, 0,(9) é a soma da série reduzida e o seno dobrado do ângulo indicado, e Logaritmo natural Números de Euler.
Mas nem um, nem outro, nem o terceiro é uma definição.
Dizer que 0,(9) é a soma da série infinita 9/(10 n), quando n é maior que um, é o mesmo que dizer que o seno é a soma da série infinita de Taylor:
isto muito bem, e isso é fato importante para matemática computacional, mas isso não é uma definição e, mais importante, não aproxima uma pessoa da compreensão essência seio. A essência do seno de um certo ângulo é que ele é apenas atitude canto oposto cateter para a hipotenusa.
Bem, a fração periódica é apenas fração decimal que resulta quando ao dividir por uma coluna o mesmo conjunto de números será repetido. Não há nenhuma análise aqui.
E aqui surge a pergunta: onde geralmente pegamos o número 0,(9)? O que dividimos por uma coluna para obtê-lo? De fato, não existem tais números, ao dividir um pelo outro em uma coluna, teríamos noves infinitamente aparecendo. Mas conseguimos obter esse número multiplicando a coluna 0, (3) por 3? Na verdade, não. Afinal, você precisa multiplicar da direita para a esquerda para levar em conta corretamente as transferências de dígitos, e fizemos isso da esquerda para a direita, aproveitando habilmente o fato de que as transferências não ocorrem em qualquer lugar. Portanto, a legitimidade de escrever 0,(9) depende de reconhecermos ou não a legitimidade de tal multiplicação por coluna.
Portanto, pode-se geralmente dizer que a notação 0,(9) está incorreta - e até certo ponto estar certa. No entanto, uma vez que a notação a ,(b ) é aceita, é feio descartá-la quando b = 9; é melhor decidir o que esse registro significa. Então, se aceitarmos a notação 0,(9), então essa notação, é claro, significa o número um.
Resta apenas acrescentar que, se usássemos, digamos, um sistema de numeração ternário, ao dividir uma coluna de unidade (1 3) por um triplo (10 3), obteríamos 0,1 3 (lemos “zero vírgula um terço”) , e ao dividir 1 por 2 seria 0,(1) 3 .
Assim, a periodicidade do registro fracionário não é uma característica objetiva do número fracionário, mas apenas efeito colateral usando um ou outro sistema de numeração.
