Fração própria

quartos

1. Ordem. uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles uma e apenas uma das três relações: “< », « >' ou ' = '. Essa regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e ; dois números não positivos uma e b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e ; se de repente uma não negativo e b- negativo, então uma > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   soma de frações

2. operação de adição. Para qualquer números racionais uma e b existe um chamado regra de somatória c. No entanto, o próprio número c chamado soma números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma próxima visualização: .
3. operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional c. No entanto, o próprio número c chamado trabalhar números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é a seguinte: .
4. Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais uma , b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. A soma não muda ao mudar os lugares dos termos racionais.
5. Associatividade de adição. Ordem adicionando três números racionais não afeta o resultado.
6. A presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando somados.
7. A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que, quando somado, dá 0.
8. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
9. Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
10. A presença de uma unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
11. A presença de recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que, quando multiplicado, dá 1.
12. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é consistente com a operação de adição através da lei de distribuição:
13. Ligação da relação de ordem com a operação de adição. para a esquerda e partes certas desigualdade racional você pode adicionar o mesmo número racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, você pode pegar tantas unidades que a soma delas excederá uma. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são destacadas como básicas, porque, em geral, elas não são mais baseadas diretamente nas propriedades dos números inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. Tal propriedades adicionais vários. Faz sentido aqui citar apenas alguns deles.

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Definir contagem

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumere os números racionais, ou seja, estabeleça uma bijeção entre os conjuntos de racionais e racionais. números naturais.

O mais simples desses algoritmos é o seguinte. Uma tabela infinita de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada jª coluna da qual é uma fração. Por definição, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas , onde eu- número da linha da tabela em que a célula está localizada e j- número da coluna.

A tabela resultante é gerenciada por uma "cobra" de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são verificadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada com base na primeira correspondência.

No processo de tal desvio, cada novo número racional é atribuído ao próximo número natural. Ou seja, frações 1/1 recebem o número 1, frações 2/1 - o número 2, etc. Deve-se notar que apenas frações irredutíveis. Um sinal formal de irredutibilidade é a igualdade a um dos máximos divisores comuns do numerador e denominador de uma fração.

Seguindo este algoritmo, pode-se enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais positivos e negativos, simplesmente atribuindo a cada número racional seu oposto. Este. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. Sua união também é contável pela propriedade de conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um finito.

A afirmação sobre a enumerabilidade do conjunto dos números racionais pode causar alguma perplexidade, pois à primeira vista tem-se a impressão de que é muito maior que o conjunto dos números naturais. Na verdade, este não é o caso, e há números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Insuficiência de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não é expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1 / n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Este fato cria impressão enganosa que os números racionais podem medir qualquer distância geométrica em geral. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Sabe-se do teorema de Pitágoras que a hipotenusa de um triângulo retângulo é expressa como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus catetos. Este. comprimento da hipotenusa isósceles triângulo retângulo com um único cateto é igual a, ou seja, um número cujo quadrado é 2.

Se assumirmos que o número é representado por algum número racional, então existe tal inteiro m e um número tão natural n, que, além disso, a fração é irredutível, ou seja, os números m e n são coprime.

Se então , ou seja m 2 = 2n 2. Portanto, o número m 2 é par, mas o produto de dois números ímparesímpar, o que significa que o próprio número m também claro. Então existe um número natural k, tal que o número m pode ser representado como m = 2k. Quadrado numérico m Neste sentido m 2 = 4k 2, mas por outro lado m 2 = 2n 2 significa 4 k 2 = 2n 2, ou n 2 = 2k 2. Como mostrado anteriormente para o número m, o que significa que o número n- exatamente como m. Mas então eles não são primos, pois ambos são divisíveis pela metade. A contradição resultante prova que não é um número racional.

Na palavra "frações" muitos arrepios correm. Porque me lembro da escola e das tarefas que eram resolvidas em matemática. Esse era um dever que precisava ser cumprido. Mas e se tratarmos as tarefas que contêm as informações corretas e frações impróprias como quebra-cabeça? Afinal, muitos adultos resolvem palavras cruzadas digitais e japonesas. Entenda as regras e pronto. Mesmo aqui. Basta mergulhar na teoria - e tudo se encaixará. E exemplos se transformarão em uma forma de treinar o cérebro.

Que tipos de frações existem?

Vamos começar com o que é. Uma fração é um número que tem alguma fração de um. Pode ser escrito de duas formas. O primeiro é chamado de comum. Ou seja, aquele que tem um traço horizontal ou oblíquo. Equivale ao sinal de divisão.

Em tal notação, o número acima do traço é chamado de numerador e abaixo dele é chamado de denominador.

Entre as frações ordinárias, distinguem-se as frações certas e erradas. Para o primeiro, o numerador do módulo é sempre menor que o denominador. Os errados são chamados assim porque têm o oposto. O valor de uma fração própria é sempre menos de um. Enquanto o errado é sempre maior que esse número.

Existem também números mistos, ou seja, aqueles que possuem parte inteira e parte fracionária.

O segundo tipo de registro é decimal. Sobre sua conversa separada.

Qual é a diferença entre frações impróprias e números mistos?

Basicamente, nada. É apenas uma notação diferente do mesmo número. Frações impróprias após operações simples tornam-se facilmente números mistos. E vice versa.

Tudo depende situação específica. Às vezes, em tarefas, é mais conveniente usar uma fração imprópria. E às vezes é necessário traduzi-lo em número misto e então o exemplo será resolvido com muita facilidade. Portanto, o que usar: frações impróprias, números mistos - depende da observação do solucionador do problema.

O número misto também é comparado com a soma da parte inteira e da parte fracionária. Além disso, o segundo é sempre menor que a unidade.

Como representar um número misto como uma fração imprópria?

Se você deseja realizar alguma ação com vários números que estão escritos em tipos diferentes, então você precisa torná-los iguais. Um método é representar números como frações impróprias.

Para isso, você precisará seguir o seguinte algoritmo:

• multiplique o denominador pela parte inteira;
• adicione o valor do numerador ao resultado;
• escreva a resposta acima da linha;
• deixe o denominador igual.

Aqui estão alguns exemplos de como escrever frações impróprias de números mistos:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Como escrever uma fração imprópria como um número misto?

O próximo método é o oposto do discutido acima. Ou seja, quando todos os números mistos são substituídos por frações impróprias. O algoritmo de ações será o seguinte:

• divida o numerador pelo denominador para obter o resto;
• escreva o quociente no lugar da parte inteira do misto;
• o restante deve ser colocado acima da linha;
• o divisor será o denominador.

Exemplos de tal transformação:

76/14; 76:14 = 5 com resto 6; a resposta é 5 inteiros e 6/14; a parte fracionária neste exemplo precisa ser reduzida em 2, você obtém 3/7; a resposta final é 5 inteiros 3/7.

108/54; após a divisão, obtém-se o quociente 2 sem resto; isso significa que nem todas as frações impróprias podem ser representadas como um número misto; a resposta é um número inteiro - 2.

Como transformar um inteiro em fração imprópria?

Há situações em que tal ação é necessária. Para obter frações impróprias com um denominador predeterminado, você precisará executar o seguinte algoritmo:

• multiplique um inteiro pelo denominador desejado;
• escreva este valor acima da linha;
• coloque um denominador abaixo dele.

A opção mais simples é quando o denominador igual a um. Então não há necessidade de multiplicar. Basta escrever um inteiro, que é dado no exemplo, e colocar uma unidade sob a linha.

Exemplo: Faça de 5 uma fração imprópria com denominador 3. Depois de multiplicar 5 por 3, você obtém 15. Esse número será o denominador. A resposta para a tarefa é uma fração: 15/3.

Duas abordagens para resolver tarefas com números diferentes

No exemplo, é necessário calcular a soma e a diferença, bem como o produto e o quociente de dois números: 2 inteiros 3/5 e 14/11.

Na primeira abordagem o número misto será representado como uma fração imprópria.

Após executar as etapas descritas acima, você obtém o seguinte valor: 13/5.

Para encontrar a soma, você precisa converter as frações para mesmo denominador. 13/5 multiplicado por 11 se torna 143/55. E 14/11 depois de multiplicado por 5 terá a forma: 70/55. Para calcular a soma, você só precisa somar os numeradores: 143 e 70, e depois escrever a resposta com um denominador. 213/55 - esta fração imprópria é a resposta para o problema.

Ao encontrar a diferença, esses mesmos números são subtraídos: 143 - 70 = 73. A resposta é uma fração: 73/55.

Ao multiplicar 13/5 e 14/11, você não precisa levar a denominador comum. Basta multiplicar os numeradores e denominadores em pares. A resposta será: 182/55.

Da mesma forma com a divisão. Por decisão certa você precisa substituir a divisão pela multiplicação e inverter o divisor: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Na segunda abordagem Uma fração imprópria torna-se um número misto.

Após realizar as ações do algoritmo, 14/11 se transformará em um número misto com parte inteira 1 e fracionário 3/11.

Ao calcular a soma, você precisa adicionar as partes inteiras e fracionárias separadamente. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. A resposta final é 3 inteiros 48/55. Na primeira abordagem houve uma fração 213/55. Você pode verificar a exatidão convertendo-o em um número misto. Depois de dividir 213 por 55, o quociente é 3 e o resto é 48. É fácil ver que a resposta está correta.

Ao subtrair, o sinal "+" é substituído por "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para verificar a resposta da abordagem anterior, você precisa convertê-la em um número misto: 73 é dividido por 55 e você obtém um quociente de 1 e um resto de 18.

Para encontrar o produto e o quociente, é inconveniente usar números mistos. Aqui é sempre recomendado mudar para frações impróprias.

Fração em matemática, um número que consiste em uma ou mais partes (frações) de uma unidade. As frações fazem parte do campo dos números racionais. As frações são divididas em 2 formatos de acordo com a forma como são escritas: comum tipo e decimal .

O numerador de uma fração- um número mostrando o número de ações tomadas (localizado no topo da fração - acima da linha). Denominador de fração- um número que mostra em quantas partes a unidade está dividida (localizado sob a linha - na parte inferior). , por sua vez, são divididos em: correto e errado, misturado e composto intimamente relacionado com as unidades de medida. 1 metro contém 100 cm, o que significa que 1 m é dividido em 100 partes iguais. Assim, 1 cm = 1/100 m (um centímetro é igual a um centésimo de metro).

ou 3/5 (três quintos), aqui 3 é o numerador, 5 é o denominador. Se o numerador é menor que o denominador, então a fração é menor que um e é chamada correto:

Se o numerador igual ao denominador, a fração é igual a um. Se o numerador for maior que o denominador, a fração será maior que um. Em ambos casos recentes a fração é chamada errado:

Para isolar o maior inteiro contido em uma fração imprópria, você precisa dividir o numerador pelo denominador. Se a divisão for realizada sem resto, então a fração imprópria tomada é igual ao quociente:

Se a divisão for feita com resto, então o quociente (incompleto) dá o inteiro desejado, o resto se torna o numerador da parte fracionária; o denominador da parte fracionária permanece o mesmo.

Um número que contém um número inteiro e uma parte fracionária é chamado misturado. Partes fracionadas número misto pode ser Fração imprópria. Então é possível extrair o maior inteiro da parte fracionária e representar o número misto de tal forma que a parte fracionária se torne uma fração própria (ou desapareça por completo).

Esse artigo é sobre frações comuns. Aqui vamos nos familiarizar com o conceito de fração de um todo, o que nos levará à definição de uma fração ordinária. Em seguida, vamos nos debruçar sobre a notação aceita para frações ordinárias e dar exemplos de frações, digamos sobre o numerador e o denominador de uma fração. Depois disso, damos definições de certo e errado, positivo e frações negativas, e também considere a posição dos números fracionários em feixe de coordenadas. Em conclusão, listamos as principais ações com frações.

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Ações de todo

Primeiro apresentamos compartilhar conceito.

Vamos supor que temos algum objeto composto de várias partes absolutamente idênticas (isto é, iguais). Para maior clareza, você pode imaginar, por exemplo, uma maçã cortada em vários partes iguais, ou uma laranja, composta por várias fatias iguais. Cada uma dessas partes iguais que compõem o objeto inteiro é chamada parte do todo ou simplesmente ações.

Observe que os compartilhamentos são diferentes. Vamos explicar isso. Digamos que temos duas maçãs. Vamos cortar a primeira maçã em duas partes iguais e a segunda em 6 partes iguais. É claro que a parte da primeira maçã será diferente da parte da segunda maçã.

Dependendo do número de compartilhamentos que compõem todo o objeto, esses compartilhamentos têm nomes próprios. Vamos analisar compartilhar nomes. Se o objeto consiste em duas partes, qualquer uma delas é chamada de segunda parte do objeto inteiro; se o objeto consiste em três partes, qualquer uma delas é chamada de uma terceira parte e assim por diante.

Uma segunda batida tem um nome especial - metade. Um terço é chamado terceiro, e um quádruplo - trimestre.

Por uma questão de brevidade, o seguinte compartilhar designações. Uma segunda ação é designada como ou 1/2, uma terceira ação - como ou 1/3; um quarto compartilhamento - like ou 1/4, e assim por diante. Observe que a notação com uma barra horizontal é usada com mais frequência. Para consolidar o material, vamos dar mais um exemplo: a entrada denota cento e sexagésimo sétimo do total.

O conceito de compartilhamento naturalmente se estende de objetos a magnitudes. Por exemplo, uma das medidas de comprimento é o metro. Para medir comprimentos inferiores a um metro, podem ser usadas frações de um metro. Então você pode usar, por exemplo, meio metro ou um décimo ou milésimo de metro. As participações de outras quantidades são aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos de frações

Para descrever o número de ações são usados frações comuns. Vamos dar um exemplo que nos permitirá abordar a definição de frações ordinárias.

Deixe uma laranja consistir em 12 partes. Cada ação neste caso representa um duodécimo de uma laranja inteira, ou seja, . Vamos denotar duas batidas como , três batidas como , e assim por diante, 12 batidas como . Cada uma dessas entradas é chamada de fração ordinária.

Agora vamos dar uma geral definição de frações comuns.

A definição sonora de frações ordinárias nos permite trazer exemplos de frações comuns: 5/10, 21/1, 9/4, . E aqui estão os registros não se enquadram na definição sonora de frações ordinárias, ou seja, não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Por conveniência, em frações ordinárias distinguimos numerador e denominador.

Definição.

Numerador fração ordinária (m / n) é um número natural m.

Definição.

Denominador fração ordinária (m / n) é um número natural n.

Assim, o numerador está localizado acima da barra de fração (à esquerda da barra) e o denominador está abaixo da barra de fração (à direita da barra). Por exemplo, vamos pegar uma fração comum 17/29, o numerador dessa fração é o número 17 e o denominador é o número 29.

Resta discutir o significado contido no numerador e denominador de uma fração ordinária. O denominador da fração mostra em quantas ações um item é composto, o numerador, por sua vez, indica o número de tais ações. Por exemplo, o denominador 5 da fração 12/5 significa que um item consiste em cinco partes, e o numerador 12 significa que 12 dessas partes são tomadas.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, podemos supor que o objeto é indivisível, ou seja, é algo inteiro. O numerador de tal fração indica quantos itens inteiros são retirados. Nesse caminho, fração comum da forma m/1 tem o significado de um número natural m . Foi assim que substanciamos a igualdade m/1=m .

Vamos reescrever a última igualdade assim: m=m/1 . Essa igualdade nos permite representar qualquer número natural m como uma fração ordinária. Por exemplo, o número 4 é a fração 4/1 e o número 103498 é a fração 103498/1.

Então, qualquer número natural m pode ser representado como uma fração ordinária com denominador 1 como m/1, e qualquer fração ordinária da forma m/1 pode ser substituída por um número natural m.

Barra de frações como sinal de divisão

A representação do objeto original na forma de n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Depois que o item for dividido em n partes, podemos dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada uma receberá uma parte.

Se inicialmente temos m itens idênticos, cada um dos quais é dividido em n partes, então podemos dividir igualmente esses m objetos entre n pessoas, dando a cada pessoa uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1/n, e m ações 1/n dá uma fração ordinária m/n. Assim, a fração comum m/n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

Assim, obtivemos uma conexão explícita entre frações ordinárias e divisão (veja a ideia geral da divisão de números naturais). Essa relação é expressa da seguinte forma: A barra de uma fração pode ser entendida como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração comum, você pode escrever o resultado da divisão de dois números naturais para os quais a divisão não é realizada por um inteiro. Por exemplo, o resultado da divisão de 5 maçãs por 8 pessoas pode ser escrito como 5/8, ou seja, cada um receberá cinco oitavos de uma maçã: 5:8=5/8.

Frações ordinárias iguais e desiguais, comparação de frações

O suficiente ação naturalé comparação de frações comuns, porque é claro que 1/12 de uma laranja é diferente de 5/12, e 1/6 de uma maçã é o mesmo que o outro 1/6 desta maçã.

Como resultado da comparação de duas frações ordinárias, um dos resultados é obtido: as frações são iguais ou não iguais. No primeiro caso temos frações comuns iguais, e no segundo frações comuns desiguais. Vamos dar uma definição de frações ordinárias iguais e desiguais.

Definição.

igual, se a igualdade a d=b c for verdadeira.

Definição.

Duas frações comuns a/b e c/d não igual, se a igualdade a d=b c não for satisfeita.

Aqui estão alguns exemplos de frações iguais. Por exemplo, a fração comum 1/2 é igual à fração 2/4, pois 1 4=2 2 (se necessário, veja as regras e exemplos de multiplicação de números naturais). Para maior clareza, você pode imaginar duas maçãs idênticas, a primeira é cortada ao meio e a segunda - em 4 partes. É óbvio que dois quartos de uma maçã são 1/2 por ação. Outros exemplos de frações comuns iguais são as frações 4/7 e 36/63, e o par de frações 81/50 e 1620/1000.

E as frações ordinárias 4/13 e 5/14 não são iguais, pois 4 14=56 e 13 5=65, ou seja, 4 14≠13 5. Outro exemplo de frações comuns desiguais são as frações 17/7 e 6/4.

Se, ao comparar duas frações ordinárias, descobrir que elas não são iguais, talvez você precise descobrir qual dessas frações ordinárias menos outro, e que mais. Para descobrir, é usada a regra para comparar frações ordinárias, cuja essência é trazer as frações comparadas a um denominador comum e depois comparar os numeradores. Informação detalhada sobre este tópico é coletado no artigo comparação de frações: regras, exemplos, soluções.

Números fracionários

Cada fração é um registro número fracionário. Ou seja, uma fração é apenas uma “concha” de um número fracionário, sua aparência, e tudo carga semântica está contido em um número fracionário. No entanto, por brevidade e conveniência, o conceito de fração e número fracionário são combinados e simplesmente chamados de fração. Aqui é apropriado parafrasear o conhecido ditado: dizemos uma fração - queremos dizer número fracionário, dizemos um número fracionário - queremos dizer uma fração.

Frações no feixe de coordenadas

Todos os números fracionários correspondentes a frações ordinárias têm suas próprias lugar único em , ou seja, há uma correspondência biunívoca entre frações e pontos do raio coordenado.

Para chegar ao ponto correspondente à fração m / n no raio coordenado, é necessário adiar m segmentos da origem na direção positiva, cujo comprimento é 1 / n do segmento unitário. Tais segmentos podem ser obtidos dividindo-se um único segmento em n partes iguais, o que sempre pode ser feito com compasso e régua.

Por exemplo, vamos mostrar o ponto M no raio coordenado, correspondente à fração 14/10. O comprimento do segmento com extremidades no ponto O e o ponto mais próximo a ele, marcado com um pequeno traço, é 1/10 do segmento unitário. O ponto com coordenada 14/10 é removido da origem por 14 desses segmentos.

Frações iguais correspondem ao mesmo número fracionário, ou seja, frações iguais são as coordenadas do mesmo ponto no raio de coordenadas. Por exemplo, um ponto corresponde às coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 no raio coordenado, pois todas as frações escritas são iguais (está localizado a uma distância de metade do segmento unitário, adiado da origem no sentido positivo).

Em um raio de coordenadas horizontal e direcionado à direita, o ponto cuja coordenada é grande fração, está localizado à direita do ponto cuja coordenada é a menor fração. Da mesma forma, o ponto com a coordenada menor fica à esquerda do ponto com a coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

Entre as frações ordinárias, há frações próprias e impróprias. Essa divisão basicamente tem uma comparação do numerador e denominador.

Vamos dar uma definição de frações ordinárias próprias e impróprias.

Definição.

Fração própriaé uma fração ordinária, cujo numerador é menor que o denominador, isto é, se m

Definição.

Fração imprópriaé uma fração ordinária em que o numerador é maior ou igual ao denominador, ou seja, se m≥n, então a fração ordinária é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos de frações próprias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De fato, em cada uma das frações ordinárias escritas, o numerador é menor que o denominador (se necessário, veja o artigo comparação de números naturais), então eles estão corretos por definição.

E aqui estão exemplos de frações impróprias: 9/9, 23/4,. De fato, o numerador da primeira das frações ordinárias escritas é igual ao denominador, e nas frações restantes o numerador é maior que o denominador.

Existem também definições de frações próprias e impróprias baseadas na comparação de frações com uma.

Definição.

correto se for menor que um.

Definição.

A fração comum é chamada errado, se for igual a um ou maior que 1 .

Portanto, a fração ordinária 11/07 está correta, pois 11/07<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 e 27/27=1.

Vamos pensar em como frações ordinárias com um numerador maior ou igual ao denominador merecem tal nome - "errado".

Vamos pegar a fração imprópria 9/9 como exemplo. Essa fração significa que são tomadas nove partes de um objeto, que consiste em nove partes. Ou seja, das nove ações disponíveis, podemos compor um assunto inteiro. Ou seja, a fração imprópria 9/9 essencialmente dá um objeto inteiro, ou seja, 9/9=1. Em geral, frações impróprias com numerador igual ao denominador denotam um objeto inteiro, e tal fração pode ser substituída por um número natural 1.

Agora considere as frações impróprias 7/3 e 12/4. É bastante óbvio que desses sete terços podemos fazer dois objetos inteiros (um objeto inteiro é 3 partes, então para compor dois objetos inteiros precisamos de 3 + 3 = 6 partes) e ainda haverá um terço. Ou seja, a fração imprópria 7/3 significa essencialmente 2 itens e até 1/3 da parcela de tal item. E a partir de doze quartos podemos fazer três objetos inteiros (três objetos com quatro partes cada). Ou seja, a fração 12/4 significa essencialmente 3 objetos inteiros.

Os exemplos considerados nos levam à seguinte conclusão: as frações impróprias podem ser substituídas tanto por números naturais, quando o numerador é dividido inteiramente pelo denominador (por exemplo, 9/9=1 e 12/4=3), quanto pela soma de um número natural e uma fração própria, quando o numerador não é divisível pelo denominador (por exemplo, 7/3=2+1/3). Talvez seja exatamente isso que frações impróprias merecem esse nome - "errado".

De particular interesse é a representação de uma fração imprópria como a soma de um número natural e uma fração própria (7/3=2+1/3). Esse processo é chamado de extração de uma parte inteira de uma fração imprópria e merece uma consideração separada e mais cuidadosa.

Também é importante notar que existe uma relação muito próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo (veja o artigo números positivos e negativos). Ou seja, as frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, frações ordinárias 1/5, 56/18, 35/144 são frações positivas. Quando é necessário enfatizar a positividade de uma fração, um sinal de mais é colocado na frente dela, por exemplo, +3/4, +72/34.

Se você colocar um sinal de menos na frente de uma fração comum, essa entrada corresponderá a um número fracionário negativo. Neste caso, pode-se falar de frações negativas. Aqui estão alguns exemplos de frações negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

As frações positivas e negativas m/n e −m/n são números opostos. Por exemplo, as frações 5/7 e −5/7 são frações opostas.

Frações positivas, como números positivos em geral, denotam um aumento, renda, uma mudança em algum valor para cima, etc. As frações negativas correspondem a despesas, dívidas, uma mudança em qualquer valor na direção da diminuição. Por exemplo, uma fração negativa -3/4 pode ser interpretada como uma dívida, cujo valor é 3/4.

Na horizontal e as frações negativas direcionadas à direita estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos da linha de coordenadas cujas coordenadas são a fração positiva m/n e a fração negativa −m/n estão localizados à mesma distância da origem, mas em lados opostos do ponto O .

Aqui vale a pena mencionar frações da forma 0/n. Essas frações são iguais ao número zero, ou seja, 0/n=0 .

Frações positivas, frações negativas e frações 0/n se combinam para formar números racionais.

Ações com frações

Uma ação com frações ordinárias - comparando frações - já consideramos acima. Mais quatro aritméticas são definidas operações com frações- adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Vamos nos debruçar sobre cada um deles.

A essência geral das ações com frações é semelhante à essência das ações correspondentes com números naturais. Vamos fazer uma analogia.

Multiplicação de frações pode ser considerado como uma ação em que uma fração é encontrada a partir de uma fração. Para esclarecer, vamos dar um exemplo. Suponha que temos 1/6 de uma maçã e precisamos pegar 2/3 dela. A parte que precisamos é o resultado da multiplicação das frações 1/6 e 2/3. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (que em um caso particular é igual a um número natural). Além disso, recomendamos estudar a informação do artigo multiplicação de frações - regras, exemplos e soluções.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática: livro para 5 células. instituições educacionais.
• Vilenkin N.Ya. etc. Matemática. 6ª série: livro didático para instituições de ensino.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (um manual para candidatos a escolas técnicas).

Na palavra "frações" muitos arrepios correm. Porque me lembro da escola e das tarefas que eram resolvidas em matemática. Esse era um dever que precisava ser cumprido. Mas e se tratarmos as tarefas contendo frações próprias e impróprias como um quebra-cabeça? Afinal, muitos adultos resolvem palavras cruzadas digitais e japonesas. Entenda as regras e pronto. Mesmo aqui. Basta mergulhar na teoria - e tudo se encaixará. E exemplos se transformarão em uma forma de treinar o cérebro.

Que tipos de frações existem?

Vamos começar com o que é. Uma fração é um número que tem alguma fração de um. Pode ser escrito de duas formas. O primeiro é chamado de comum. Ou seja, aquele que tem um traço horizontal ou oblíquo. Equivale ao sinal de divisão.

Em tal notação, o número acima do traço é chamado de numerador e abaixo dele é chamado de denominador.

Entre as frações ordinárias, distinguem-se as frações certas e erradas. Para o primeiro, o numerador do módulo é sempre menor que o denominador. Os errados são chamados assim porque têm o oposto. O valor de uma fração própria é sempre menor que um. Enquanto o errado é sempre maior que esse número.

Existem também números mistos, ou seja, aqueles que possuem parte inteira e parte fracionária.

O segundo tipo de notação é decimal. Sobre sua conversa separada.

Qual é a diferença entre frações impróprias e números mistos?

Basicamente, nada. É apenas uma notação diferente do mesmo número. Frações impróprias após operações simples tornam-se facilmente números mistos. E vice versa.

Tudo depende da situação específica. Às vezes, em tarefas, é mais conveniente usar uma fração imprópria. E às vezes é necessário traduzi-lo em um número misto, e então o exemplo será resolvido com muita facilidade. Portanto, o que usar: frações impróprias, números mistos - depende da observação do solucionador do problema.

O número misto também é comparado com a soma da parte inteira e da parte fracionária. Além disso, o segundo é sempre menor que a unidade.

Como representar um número misto como uma fração imprópria?

Se você deseja realizar alguma ação com vários números escritos em formas diferentes, é necessário torná-los iguais. Um método é representar números como frações impróprias.

Para isso, você precisará seguir o seguinte algoritmo:

• multiplique o denominador pela parte inteira;
• adicione o valor do numerador ao resultado;
• escreva a resposta acima da linha;
• deixe o denominador igual.

Aqui estão alguns exemplos de como escrever frações impróprias de números mistos:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Como escrever uma fração imprópria como um número misto?

O próximo método é o oposto do discutido acima. Ou seja, quando todos os números mistos são substituídos por frações impróprias. O algoritmo de ações será o seguinte:

• divida o numerador pelo denominador para obter o resto;
• escreva o quociente no lugar da parte inteira do misto;
• o restante deve ser colocado acima da linha;
• o divisor será o denominador.

Exemplos de tal transformação:

76/14; 76:14 = 5 com resto 6; a resposta é 5 inteiros e 6/14; a parte fracionária neste exemplo precisa ser reduzida em 2, você obtém 3/7; a resposta final é 5 inteiros 3/7.

108/54; após a divisão, obtém-se o quociente 2 sem resto; isso significa que nem todas as frações impróprias podem ser representadas como um número misto; a resposta é um número inteiro - 2.

Como transformar um inteiro em fração imprópria?

Há situações em que tal ação é necessária. Para obter frações impróprias com um denominador predeterminado, você precisará executar o seguinte algoritmo:

• multiplique um inteiro pelo denominador desejado;
• escreva este valor acima da linha;
• coloque um denominador abaixo dele.

A opção mais simples é quando o denominador é igual a um. Então não há necessidade de multiplicar. Basta escrever um inteiro, que é dado no exemplo, e colocar uma unidade sob a linha.

Exemplo: Faça de 5 uma fração imprópria com denominador 3. Depois de multiplicar 5 por 3, você obtém 15. Esse número será o denominador. A resposta para a tarefa é uma fração: 15/3.

Duas abordagens para resolver tarefas com números diferentes

No exemplo, é necessário calcular a soma e a diferença, bem como o produto e o quociente de dois números: 2 inteiros 3/5 e 14/11.

Na primeira abordagem o número misto será representado como uma fração imprópria.

Após executar as etapas descritas acima, você obtém o seguinte valor: 13/5.

Para descobrir a soma, você precisa reduzir as frações ao mesmo denominador. 13/5 multiplicado por 11 se torna 143/55. E 14/11 depois de multiplicado por 5 terá a forma: 70/55. Para calcular a soma, você só precisa somar os numeradores: 143 e 70, e depois escrever a resposta com um denominador. 213/55 - esta fração imprópria é a resposta para o problema.

Ao encontrar a diferença, esses mesmos números são subtraídos: 143 - 70 = 73. A resposta é uma fração: 73/55.

Ao multiplicar 13/5 e 14/11, você não precisa reduzir a um denominador comum. Basta multiplicar os numeradores e denominadores em pares. A resposta será: 182/55.

Da mesma forma com a divisão. Para a solução correta, você precisa substituir a divisão pela multiplicação e inverter o divisor: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

Na segunda abordagem Uma fração imprópria torna-se um número misto.

Após realizar as ações do algoritmo, 14/11 se transformará em um número misto com uma parte inteira de 1 e uma parte fracionária de 3/11.

Ao calcular a soma, você precisa adicionar as partes inteiras e fracionárias separadamente. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. A resposta final é 3 inteiros 48/55. Na primeira abordagem houve uma fração 213/55. Você pode verificar a exatidão convertendo-o em um número misto. Depois de dividir 213 por 55, o quociente é 3 e o resto é 48. É fácil ver que a resposta está correta.

Ao subtrair, o sinal "+" é substituído por "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para verificar a resposta da abordagem anterior, você precisa convertê-la em um número misto: 73 é dividido por 55 e você obtém um quociente de 1 e um resto de 18.

Para encontrar o produto e o quociente, é inconveniente usar números mistos. Aqui é sempre recomendado mudar para frações impróprias.