Para trás para a frente

Atenção! A visualização do slide é apenas para fins informativos e pode não representar toda a extensão da apresentação. Se você estiver interessado Este trabalho faça o download da versão completa.

Tipo de aula: uma aula de estudo de novos materiais usando elementos de um método de ensino de desenvolvimento de problemas.

Lições objetivas:

• cognitivo:
  • familiarização com novos conceito matemático;
  • formação de nova ZUN;
  • a formação de habilidades práticas para a resolução de problemas.
• em desenvolvimento:
  • desenvolvimento do pensamento independente dos alunos;
  • desenvolvimento de habilidades discurso correto escolares.
• educacional:
  • desenvolvimento de habilidades de trabalho em equipe.

Equipamento da aula: quadro magnético, computador, tela, projetor multimídia, modelo de cone, apresentação de aula, apostila.

Objetivos da aula (para alunos):

• conhecer novo conceito geométrico- cone;
• derivar uma fórmula para calcular a área de superfície de um cone;
• aprender a aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de problemas práticos.

Durante as aulas

eu palco. Organizacional.

Entregando cadernos de casa trabalho de verificação sobre o tema abordado.

Os alunos são convidados a descobrir o tópico da próxima lição, resolvendo o rebus (slide 1):

Imagem 1.

Comunicado aos alunos sobre o tema e os objetivos da aula (slide 2).

II etapa. Explicação do novo material.

1) Palestra do professor.

No tabuleiro há uma mesa com a imagem de um cone. novo material explicado no material do programa anexo "Estereometria". Uma imagem tridimensional de um cone aparece na tela. O professor dá uma definição de cone, fala sobre seus elementos. (slide 3). Diz-se que um cone é um corpo formado pela rotação de um triângulo retângulo em relação à perna. (slides 4, 5). Aparece uma imagem do desenvolvimento da superfície lateral do cone. (slide 6)

2) Trabalho prático.

Atualizar conhecimento básico: repita as fórmulas para calcular a área de um círculo, a área de um setor, a circunferência de um círculo, o comprimento de um arco de círculo. (slides 7-10)

A turma é dividida em grupos. Cada grupo recebe uma varredura da superfície lateral do cone recortada em papel (um setor circular com um número atribuído). Os alunos fazem as medições necessárias e calculam a área do setor resultante. Instruções para fazer o trabalho, perguntas - declarações de problemas - aparecem na tela (slides 11-14). O representante de cada grupo escreve os resultados dos cálculos em uma tabela preparada no quadro. Os participantes de cada grupo colam o modelo do cone do desenvolvimento que possuem. (slide 15)

3) Declaração e solução do problema.

Como calcular a área da superfície lateral de um cone se apenas o raio da base e o comprimento da geratriz do cone são conhecidos? (slide 16)

Cada grupo faz as medições necessárias e tenta derivar uma fórmula para calcular a área necessária usando os dados disponíveis. Ao fazer este trabalho, os alunos devem notar que a circunferência da base do cone é igual ao comprimento do arco do setor - o desenvolvimento da superfície lateral deste cone. (slides 17-21) Usando fórmulas necessárias, a fórmula necessária é exibida. O raciocínio dos alunos deve ser algo assim:

O raio do setor - varredura é igual a eu, a medida de grau do arco é φ. A área do setor é calculada pela fórmula: o comprimento do arco que delimita este setor é igual ao raio da base do cone R. O comprimento do círculo situado na base do cone é C = 2πR . Observe que, como a área da superfície lateral do cone é igual à área do desenvolvimento de sua superfície lateral, então

Assim, a área da superfície lateral do cone é calculada pela fórmula S BOD = πRl.

Depois de calcular a área de superfície lateral do modelo de cone de acordo com a fórmula derivada independentemente, um representante de cada grupo escreve o resultado dos cálculos em uma tabela no quadro de acordo com os números do modelo. Os resultados do cálculo em cada linha devem ser iguais. Com base nisso, o professor determina a exatidão das conclusões de cada grupo. A tabela de resultados deve ficar assim:

modelo nº	eu tarefa	II tarefa
	(125/3)π ~ 41,67π
	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parâmetros do modelo:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

A aproximação dos cálculos está associada a erros de medição.

Após a verificação dos resultados, a saída das fórmulas para as áreas das superfícies laterais e cheias do cone aparece na tela (slides 22-26) os alunos fazem anotações em cadernos.

Estágio III. Consolidação do material estudado.

1) Os alunos são oferecidos tarefas para decisão oral em desenhos acabados.

Encontre as áreas das superfícies totais dos cones mostrados nas figuras (slides 27-32).

2) Pergunta: As áreas das superfícies dos cones são iguais? formado por rotação um triângulo retângulo em relação a pernas diferentes? Os alunos fazem uma hipótese e a testam. O teste de hipóteses é realizado através da resolução de problemas e é escrito pelo aluno na lousa.

Dado:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - corpos de revolução.

Achar: S PPC 1 , S PPC 2 .

Figura 5 (slide 33)

Solução:

1) R=BC = um; S PPC 1 = S BOD 1 + S principal 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S principal 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Se S PPC 1 = S PPC 2, então a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Porque a, b, c números positivos (os comprimentos dos lados do triângulo), a rasura-igualdade é verdadeira somente se a =b.

Conclusão: As áreas das superfícies de dois cones são iguais somente se os catetos do triângulo forem iguais. (slide 34)

3) Solução do problema do livro didático: nº 565.

Etapa IV. Resumindo a lição.

Trabalho de casa: p.55, 56; Nº 548, Nº 561. (slide 35)

Anúncio de notas.

Conclusões durante a aula, repetição das principais informações recebidas na aula.

Literatura (slide 36)

1. Graus de geometria 10-11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Iluminismo, 2008.
2. « quebra-cabeças matemáticos e charadas” – N.V. Udaltsov, biblioteca "First of September", série "MATHEMATICS", número 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Sabemos o que é um cone, vamos tentar encontrar sua área de superfície. Por que é necessário resolver tal problema? Por exemplo, você precisa entender o quanto o teste vai fazer um cone de waffle? Ou quantos tijolos seriam necessários para assentar o telhado de tijolos de um castelo?

Não é fácil medir a área de superfície lateral de um cone. Mas imagine o mesmo chifre envolto em pano. Para encontrar a área de um pedaço de tecido, você precisa cortá-lo e espalhá-lo sobre a mesa. Acontece que figura plana, podemos encontrar sua área.

Arroz. 1. Seção do cone ao longo da geratriz

Vamos fazer o mesmo com o cone. Vamos cortá-lo superfície lateral ao longo de qualquer geratriz, por exemplo, (ver Fig. 1).

Agora nós “desenrolamos” a superfície lateral em um plano. A gente pega um setor. O centro desse setor é o topo do cone, o raio do setor é igual à geratriz do cone e o comprimento de seu arco coincide com a circunferência da base do cone. Tal setor é chamado de desenvolvimento da superfície lateral do cone (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Desenvolvimento da superfície lateral

Arroz. 3. Medição de ângulo em radianos

Vamos tentar encontrar a área do setor de acordo com os dados disponíveis. Primeiro, vamos introduzir uma notação: seja o ângulo no topo do setor em radianos (veja a Fig. 3).

Muitas vezes, encontraremos o ângulo no topo da varredura em tarefas. Enquanto isso, vamos tentar responder à pergunta: esse ângulo não pode ser superior a 360 graus? Ou seja, não acontecerá que a varredura se sobreponha? Claro que não. Vamos provar isso matematicamente. Deixe a varredura "sobrepor" a si mesma. Isso significa que o comprimento do arco de varredura é maior que a circunferência do raio. Mas, como já mencionado, o comprimento do arco de varredura é a circunferência do raio. E o raio da base do cone, claro, é menor que a geratriz, por exemplo, porque o cateto de um triângulo retângulo é menor que a hipotenusa

Então vamos relembrar duas fórmulas do curso de planimetria: comprimento do arco. Área do setor: .

No nosso caso, o papel é desempenhado pela geratriz , e o comprimento do arco é igual à circunferência da base do cone, ou seja. Nós temos:

Finalmente obtemos:

Juntamente com a área de superfície lateral, pode-se encontrar também a área superfície cheia. Para fazer isso, adicione a área da base à área da superfície lateral. Mas a base é um círculo de raio , cuja área, de acordo com a fórmula, é .

Finalmente temos: , onde é o raio da base do cilindro, é a geratriz.

Vamos resolver alguns problemas nas fórmulas dadas.

Arroz. 4. Ângulo desejado

Exemplo 1. O desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor com um ângulo no ápice. Encontre esse ângulo se a altura do cone for 4 cm e o raio da base for 3 cm (veja a Fig. 4).

Arroz. 5. Triângulo reto formando um cone

Pela primeira ação, de acordo com o teorema de Pitágoras, encontramos a geratriz: 5 cm (ver Fig. 5). Além disso, sabemos que .

Exemplo 2. Quadrado seção axial o cone é , a altura é . Encontre a área total da superfície (veja a Fig. 6).

Sabemos o que é um cone, vamos tentar encontrar sua área de superfície. Por que é necessário resolver tal problema? Por exemplo, você precisa entender quanta massa vai para fazer um cone de waffle? Ou quantos tijolos seriam necessários para assentar o telhado de tijolos de um castelo?

Não é fácil medir a área de superfície lateral de um cone. Mas imagine o mesmo chifre envolto em pano. Para encontrar a área de um pedaço de tecido, você precisa cortá-lo e espalhá-lo sobre a mesa. Obtemos uma figura plana, podemos encontrar sua área.

Arroz. 1. Seção do cone ao longo da geratriz

Vamos fazer o mesmo com o cone. Vamos "cortar" sua superfície lateral ao longo de qualquer geratriz, por exemplo (ver Fig. 1).

Agora nós “desenrolamos” a superfície lateral em um plano. A gente pega um setor. O centro desse setor é o topo do cone, o raio do setor é igual à geratriz do cone e o comprimento de seu arco coincide com a circunferência da base do cone. Tal setor é chamado de desenvolvimento da superfície lateral do cone (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Desenvolvimento da superfície lateral

Arroz. 3. Medição de ângulo em radianos

Vamos tentar encontrar a área do setor de acordo com os dados disponíveis. Primeiro, vamos introduzir uma notação: seja o ângulo no topo do setor em radianos (veja a Fig. 3).

Muitas vezes, encontraremos o ângulo no topo da varredura em tarefas. Enquanto isso, vamos tentar responder à pergunta: esse ângulo não pode ser superior a 360 graus? Ou seja, não acontecerá que a varredura se sobreponha? Claro que não. Vamos provar isso matematicamente. Deixe a varredura "sobrepor" a si mesma. Isso significa que o comprimento do arco de varredura é maior que a circunferência do raio. Mas, como já mencionado, o comprimento do arco de varredura é a circunferência do raio. E o raio da base do cone, claro, é menor que a geratriz, por exemplo, porque o cateto de um triângulo retângulo é menor que a hipotenusa

Então vamos relembrar duas fórmulas do curso de planimetria: comprimento do arco. Área do setor: .

No nosso caso, o papel é desempenhado pela geratriz , e o comprimento do arco é igual à circunferência da base do cone, ou seja. Nós temos:

Finalmente obtemos:

Juntamente com a área de superfície lateral, a área de superfície total também pode ser encontrada. Para fazer isso, adicione a área da base à área da superfície lateral. Mas a base é um círculo de raio , cuja área, de acordo com a fórmula, é .

Finalmente temos: , onde é o raio da base do cilindro, é a geratriz.

Vamos resolver alguns problemas nas fórmulas dadas.

Arroz. 4. Ângulo desejado

Exemplo 1. O desenvolvimento da superfície lateral do cone é um setor com um ângulo no ápice. Encontre esse ângulo se a altura do cone for 4 cm e o raio da base for 3 cm (veja a Fig. 4).

Arroz. 5. Triângulo retângulo formando um cone

Pela primeira ação, de acordo com o teorema de Pitágoras, encontramos a geratriz: 5 cm (ver Fig. 5). Além disso, sabemos que .

Exemplo 2. A área da seção axial do cone é , a altura é . Encontre a área total da superfície (veja a Fig. 6).