Lições 32-33. Marcha ré funções trigonométricas

09.07.2015 5917 0

Alvo: considere funções trigonométricas inversas, seu uso para escrever soluções equações trigonométricas.

I. Comunicação do tema e objetivos das aulas

II. Aprendendo novo material

1. Funções trigonométricas inversas

Vamos começar este tópico com o seguinte exemplo.

Exemplo 1

Vamos resolver a equação: a) sen x = 1/2; b) sen x \u003d a.

a) No eixo das ordenadas, reserve o valor 1/2 e plote os ângulos x 1 e x2, para os quais pecado x = 1/2. Neste caso, x1 + x2 = π, onde x2 = π – x 1 . De acordo com a tabela de valores das funções trigonométricas, encontramos o valor x1 = π/6, entãoLevamos em consideração a periodicidade da função seno e anotamos as soluções dada equação: onde k ∈ Z .

b) É óbvio que o algoritmo para resolver a equação pecado x = a é o mesmo do parágrafo anterior. Claro, agora o valor de a é plotado ao longo do eixo y. É necessário designar de alguma forma o ângulo x1. Concordamos em denotar tal ângulo pelo símbolo arco pecado uma. Então as soluções desta equação podem ser escritas comoEstas duas fórmulas podem ser combinadas em uma: em que

Outras funções trigonométricas inversas são introduzidas de forma semelhante.

Muitas vezes é necessário determinar o valor do ângulo por valor conhecido sua função trigonométrica. Tal problema é multivalorado - há um número infinito de ângulos cujas funções trigonométricas são iguais ao mesmo valor. Portanto, com base na monotonicidade das funções trigonométricas, por definição inequívocaângulos introduzem as seguintes funções trigonométricas inversas.

O arco seno de a (arco seno , cujo seno é igual a a, ou seja

Arco cosseno de um número a(arcos a) - tal ângulo a do intervalo, cujo cosseno é igual a a, ou seja

Arco tangente de um número a(arctg a) - tal ângulo a do intervalocuja tangente é a, ou seja,tg a = a.

Arco tangente de um número a(arctg a) - tal ângulo a do intervalo (0; π), cuja cotangente é igual a a, ou seja ctg a = a.

Exemplo 2

Vamos encontrar:

Dadas as definições de funções trigonométricas inversas, obtemos:

Exemplo 3

Calcular

Seja o ângulo a = arco sen 3/5, então por definição sen a = 3/5 e . Portanto, precisamos encontrar porque uma. Usando o principal identidade trigonométrica, Nós temos:Leva-se em conta que cos a ≥ 0. Assim,

Propriedades da função	Função
	y = arco sen x	y = arcos x	y = arco x	y = arco x
Domínio	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
Faixa de valores	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Paridade	ímpar	Nem par nem ímpar	ímpar	Nem par nem ímpar
Zeros de função (y = 0)	Quando x = 0	Para x = 1	Quando x = 0	y ≠ 0
Intervalos de constância	y > 0 para x ∈ (0; 1], no< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 para x ∈ [-1; 1)	y > 0 para x ∈ (0; +∞), no< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 para x ∈ (-∞; +∞)
Monótono	Aumentando	diminui	Aumentando	diminui
Relação com a função trigonométrica	pecado y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Cronograma

Vamos a outra série exemplos típicos relacionados com as definições e propriedades básicas de funções trigonométricas inversas.

Exemplo 4

Encontre o domínio da função

Para que a função y seja definida, é necessário que a desigualdadeque é equivalente ao sistema de desigualdadesA solução da primeira desigualdade é o intervalo x∈ (-∞; +∞), o segundo - esta lacuna e é uma solução para o sistema de desigualdades e, portanto, o domínio da função

Exemplo 5

Encontre a área de mudança da função

Considere o comportamento da função z \u003d 2x - x2 (veja a figura).

Pode-se ver que z ∈ (-∞; 1]. Dado que o argumento z função da tangente inversa varia dentro dos limites especificados, a partir dos dados da tabela obtemos queAssim, a área de mudança

Exemplo 6

Vamos provar que a função y = arco x estranho. Deixe serEm seguida, tg a \u003d -x ou x \u003d - tg a \u003d tg (- a) e Portanto, - a \u003d arctg x ou a \u003d - arctg X. Assim, vemos queou seja, y(x) é uma função ímpar.

Exemplo 7

Expressamos em termos de todas as funções trigonométricas inversas

Deixe ser é obvio que Então desde

Vamos introduzir um ângulo Porque então

Da mesma forma, portanto e

Então,

Exemplo 8

Vamos construir um gráfico da função y \u003d cos (arco sen x).

Denote um \u003d arcos em x, então Levamos em consideração que x \u003d sen a e y \u003d cos a, ou seja, x 2 + y2 = 1, e restrições em x (x∈ [-1; 1]) e y (y ≥ 0). Então o gráfico da função y = cos(arcsin x) é um semicírculo.

Exemplo 9

Vamos construir um gráfico da função y \u003d arcos(cosx).

Como a função cos x mudanças no segmento [-1; 1], então a função y é definida como um todo eixo numérico e mudanças no segmento. Lembrando que y = arcos(cosx) \u003d x no segmento; a função y é par e periódica com um período de 2π. Considerando que a função tem essas propriedades cos x , Agora é fácil plotar.

Notamos algumas igualdades úteis:

Exemplo 10

Encontre o menor e maior valor funções denotar então Obter uma função Esta função tem um mínimo no ponto z = π/4, e é igual a O valor máximo da função é atingido no ponto z = -π/2, e é igual a Assim, e

Exemplo 11

Vamos resolver a equação

Levamos em conta que Então a equação fica assim:ou Onde Pela definição do arco tangente, obtemos:

2. Solução das equações trigonométricas mais simples

Da mesma forma que no exemplo 1, você pode obter soluções para as equações trigonométricas mais simples.

A equação	Decisão
tgx = a
ctg x = a

Exemplo 12

Vamos resolver a equação

Como a função seno é ímpar, escrevemos a equação na formaSoluções para esta equação:onde encontramos

Exemplo 13

Vamos resolver a equação

De acordo com a fórmula acima, escrevemos as soluções da equação:e encontra

Observe que em casos particulares (a = 0; ±1) ao resolver as equações sen x = a e cos x = a é mais fácil e conveniente de usar não fórmulas gerais, e escrever soluções baseadas em círculo unitário:

para a equação sen x = 1 solução

para a equação sen x \u003d 0 soluções x \u003d π k;

para a equação sen x = -1 solução

para a equação cos x = 1 soluções x = 2π k;

para a equação cos x = 0 soluções

para a equação cos x = -1 solução

Exemplo 14

Vamos resolver a equação

Desde em este exemplo acessível caso especial equações, então, de acordo com a fórmula correspondente, escrevemos a solução:onde encontramos

III. Perguntas de controle(enquete frontal)

1. Definir e listar as principais propriedades das funções trigonométricas inversas.

2. Forneça gráficos de funções trigonométricas inversas.

3. Solução das equações trigonométricas mais simples.

4. Tarefa nas aulas

§ 15, nº 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15(c); 16(a); 18 (a, b); 19(c); 21;

§ 16, nº 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, n.º 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a, c).

V. lição de casa

§ 15, nº 3 (c, d); 4 (a, b); 7(c); 8(b); 12(a); 13(b); 15(d); 16(b); 18 (c, d); 19(d); 22;

§ 16, nº 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19 (a, b);

§ 17, n.º 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9(d); 10 (b, d).

VI. Tarefas criativas

1. Encontre o escopo da função:

Respostas :

2. Encontre o intervalo da função:

Respostas:

3. Faça o gráfico da função:

VII. Resumindo as lições

As funções trigonométricas inversas são funções matemáticas, que são as inversas das funções trigonométricas.

Função y=arcsin(x)

O arco-seno do número α é tal número α do intervalo [-π/2; π/2], cujo seno é igual a α.
gráfico de funções
A função y \u003d sin⁡ (x) no intervalo [-π / 2; π / 2], é estritamente crescente e contínua; portanto ela tem função inversa, estritamente crescente e contínua.
A função inversa para a função y= sin⁡(x), onde x ∈[-π/2;π/2], é chamada de arco-seno e é denotada por y=arcsin(x), onde x∈[-1;1 ].
Então, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco seno é o segmento [-1; 1], e o conjunto de valores é o segmento [-π/2; π/2].
Note que o gráfico da função y=arcsin(x), onde x ∈[-1;1]. é simétrico ao gráfico da função y= sin(⁡x), onde x∈[-π/2;π /2], em relação à bissetriz dos ângulos coordenados primeiro e terceiro quartos.

O escopo da função y=arcsin(x).

Exemplo número 1.

Encontrar arco sen(1/2)?

Como a imagem da função arcsin(x) pertence ao intervalo [-π/2;π/2], apenas o valor π/6 é adequado, portanto, arcsin(1/2) = π/6.
Resposta: π/6

Exemplo #2.
Encontre o arco sen(-(√3)/2)?

Desde a área valores de arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], então apenas o valor -π/3 é adequado. Portanto arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Função y=arccos(x)

O arco-cosseno de um número α é um número α do intervalo cujo cosseno é igual a α.

gráfico de funções

A função y= cos(⁡x) no intervalo é estritamente decrescente e contínua; portanto, tem uma função inversa estritamente decrescente e contínua.
A função inversa para a função y= cos⁡x, onde x ∈, é chamada arco cosseno e denotado por y=arccos(x), onde x ∈[-1;1].
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco cosseno é o segmento [-1; 1], e o conjunto de valores é o segmento.
Observe que o gráfico da função y=arccos(x), onde x ∈[-1;1] é simétrico ao gráfico da função y= cos(⁡x), onde x ∈, em relação à bissetriz do ângulos coordenados do primeiro e terceiro trimestres.

O escopo da função y=arccos(x).

Exemplo #3.

Encontre arcos (1/2)?

Como o intervalo de arccos(x) é x∈, apenas o valor π/3 é adequado, portanto, arccos(1/2) =π/3.
Exemplo número 4.
Encontre arcos(-(√2)/2)?

Como a imagem da função arccos(x) pertence ao intervalo , então apenas o valor 3π/4 é adequado, portanto, arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Resposta: 3π/4

Função y=arctg(x)

O arco tangente de um número α é tal número α do intervalo [-π/2; π/2], cuja tangente é igual a α.

gráfico de funções

A função tangente é contínua e estritamente crescente no intervalo (-π/2; π/2); portanto, tem uma função inversa que é contínua e estritamente crescente.
A função inversa para a função y= tg⁡(x), onde x∈(-π/2;π/2); é chamado de arco tangente e denotado por y=arctg(x), onde x∈R.
Então, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição do arco tangente é o intervalo (-∞;+∞), e o conjunto de valores é o intervalo
(-π/2;π/2).
Observe que o gráfico da função y=arctg(x), onde x∈R, é simétrico ao gráfico da função y=tg⁡x, onde x ∈ (-π/2;π/2), em relação a a bissetriz dos ângulos coordenados do primeiro e terceiro quartos.

O escopo da função y=arctg(x).

Exemplo #5?

Encontre arctg((√3)/3).

Como o intervalo de arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), apenas o valor π/6 é adequado, portanto, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplo número 6.
Encontrar arctg(-1)?

Como o intervalo de arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), apenas o valor -π/4 é adequado, portanto, arctg(-1) = - π/4.

Função y=arctg(x)

O arco tangente de um número α é um número α do intervalo (0; π) cuja cotangente é igual a α.

gráfico de funções

No intervalo (0;π), a função cotangente decresce estritamente; além disso, é contínua em todos os pontos desse intervalo; portanto, no intervalo (0;π), esta função tem uma função inversa estritamente decrescente e contínua.
A função inversa para a função y=ctg(x), onde x ∈(0;π), é chamada de arco cotangente e é denotada por y=arcctg(x), onde x∈R.
Assim, de acordo com a definição da função inversa, o domínio de definição da tangente inversa será R valores – intervalo (0; π). O gráfico da função y=arcctg(x), onde x∈R é simétrico ao gráfico da função y=ctg(x) x∈(0; π), com em relação à bissetriz dos ângulos coordenados do primeiro e terceiro quartos.

O escopo da função y=arcctg(x).

Exemplo número 7.
Encontre arcctg((√3)/3)?

Como o intervalo de arcctg(x) x ∈(0;π), apenas o valor π/3 é adequado, portanto, arccos((√3)/3) =π/3.

Exemplo número 8.
Encontre arcctg(-(√3)/3)?

Como o intervalo de arcctg(x) x∈(0;π), apenas o valor 2π/3 é adequado, portanto, arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Editores: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

São dadas definições de funções trigonométricas inversas e seus gráficos. Bem como fórmulas relacionadas a funções trigonométricas inversas, fórmulas para somas e diferenças.

Definição de funções trigonométricas inversas

Como as funções trigonométricas são periódicas, as funções inversas a elas não são de valor único. Então, a equação y = pecado x, para dado , tem infinitas raízes. De fato, devido à periodicidade do seno, se x é tal raiz, então x + 2n(onde n é um número inteiro) também será a raiz da equação. Desta forma, funções trigonométricas inversas são multivaloradas. Para facilitar o trabalho com eles, é apresentado o conceito de seus principais valores. Considere, por exemplo, o seno: y = pecado x. Se limitarmos o argumento x ao intervalo , então nele a função y = pecado x aumenta monotonicamente. Portanto, tem uma função inversa de valor único, chamada de arco seno: x = arcsin y.

Salvo indicação em contrário, funções trigonométricas inversas significam seus valores principais, que são definidos pelas seguintes definições.

arco-seno ( y= arco sen x) é a função inversa do seno ( x= sinuoso

Arco cosseno ( y= arcos x) é a função inversa do cosseno ( x= aconchegante) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.

Arcotangente ( y= arco x) é a função inversa da tangente ( x= tg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.

Arco tangente ( y= arco x) é a função inversa da cotangente ( x= ctg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.

Gráficos de funções trigonométricas inversas

Gráficos de funções trigonométricas inversas são obtidos a partir de gráficos de funções trigonométricas imagem espelhada em relação à reta y = x . Consulte as seções Seno, cosseno, tangente, cotangente.

y= arco sen x

y= arcos x

y= arco x

y= arco x

Fórmulas básicas

Aqui, atenção especial deve ser dada aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.

arcsin(sin x) = x no
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x no
cos(arcos x) = x

arctg(tg x) = x no
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x no
ctg(arctg x) = x

Fórmulas relacionadas a funções trigonométricas inversas

Fórmulas de soma e diferença

em ou

em e

em e

em ou

em e

em e

no

no

no

no

As funções sin, cos, tg e ctg são sempre acompanhadas por um arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente. Uma é consequência da outra, e pares de funções são igualmente importantes para trabalhar com expressões trigonométricas.

Considere o desenho de um círculo unitário, que exibe graficamente os valores das funções trigonométricas.

Se você calcular os arcos OA, arcos OC, arcctg DE e arcctg MK, todos serão iguais ao valor do ângulo α. As fórmulas abaixo refletem a relação entre as principais funções trigonométricas e seus arcos correspondentes.

Para entender mais sobre as propriedades do arco-seno, é necessário considerar sua função. Cronograma tem a forma de uma curva assimétrica passando pelo centro de coordenadas.

Propriedades do arco-seno:

Se compararmos gráficos pecado e arco pecado, duas funções trigonométricas podem encontrar padrões comuns.

arco cosseno

Arccos do número a é o valor do ângulo α, cujo cosseno é igual a a.

Curva y = arcos x espelha o gráfico de arcos em x, com a única diferença de que ele passa pelo ponto π/2 no eixo OY.

Considere a função arco-coseno com mais detalhes:

1. A função é definida no segmento [-1; 1].
2. ODZ para arcos - .
3. O gráfico está inteiramente localizado nos quartos I e II, e a função em si não é nem par nem ímpar.
4. Y = 0 para x = 1.
5. A curva diminui ao longo de todo o seu comprimento. Algumas propriedades do arco cosseno são as mesmas da função cosseno.

Algumas propriedades do arco cosseno são as mesmas da função cosseno.

É possível que um estudo tão "detalhado" dos "arcos" pareça supérfluo para os alunos. Caso contrário, no entanto, alguns elementos elementares tarefas típicas Os exames estaduais unificados podem levar os alunos a um beco sem saída.

Exercício 1. Especifique as funções mostradas na figura.

Responder: arroz. 1 - 4, fig. 2 - 1.

Neste exemplo, a ênfase está nas pequenas coisas. Normalmente, os alunos são muito desatentos à construção de gráficos e à aparência de funções. De fato, por que memorizar a forma da curva, se ela sempre pode ser construída a partir de pontos calculados. Não se esqueça que em condições de teste, o tempo gasto no desenho para uma tarefa simples necessários para tarefas mais complexas.

arco tangente

Arctg o número a é um valor tal do ângulo α que sua tangente é igual a a.

Se considerarmos o gráfico do arco tangente, podemos distinguir as seguintes propriedades:

1. O gráfico é infinito e definido no intervalo (- ∞; + ∞).
2. arco tangente Função estranha, portanto, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 para x = 0.
4. A curva aumenta em todo o domínio de definição.

Aqui está um breve análise comparativa tg x e ​​arctg x como uma tabela.

Arco tangente

Arcctg do número a - toma tal valor de α do intervalo (0; π) que sua cotangente é igual a a.

Propriedades da função arco cotangente:

1. O intervalo de definição da função é infinito.
2. Região valores permitidosé o intervalo (0; π).
3. F(x) não é par nem ímpar.
4. Ao longo de seu comprimento, o gráfico da função diminui.

Comparar ctg x e ​​arctg x é muito simples, basta fazer dois desenhos e descrever o comportamento das curvas.

Tarefa 2. Correlacione o gráfico e a forma da função.

Logicamente, os gráficos mostram que ambas as funções são crescentes. Portanto, ambas as figuras exibem alguma função arctg. É conhecido pelas propriedades do arco tangente que y=0 para x = 0,

Responder: arroz. 1 - 1, fig. 2-4.

Identidades trigonométricas arcsin, arcos, arctg e arcctg

Anteriormente, já identificamos a relação entre os arcos e as principais funções da trigonometria. Essa dependência pode ser expressa por uma série de fórmulas que permitem expressar, por exemplo, o seno de um argumento por meio de seu arco-seno, arco-cosseno ou vice-versa. O conhecimento de tais identidades pode ser útil na resolução de exemplos específicos.

Há também proporções para arctg e arcctg:

Outro par útil de fórmulas define o valor da soma dos valores arcsin e arcos e arcctg e arcctg do mesmo ângulo.

Exemplos de resolução de problemas

As tarefas de trigonometria podem ser divididas em quatro grupos: calcular valor numérico uma expressão específica, construa um gráfico dessa função, encontre seu domínio de definição ou ODZ e realize transformações analíticas para resolver o exemplo.

Ao resolver o primeiro tipo de problemas, é necessário aderir a próximo plano ações:

Ao trabalhar com gráficos de funções, o principal é o conhecimento de suas propriedades e aparência torto. Tabelas de identidades são necessárias para resolver equações trigonométricas e inequações. Quanto mais fórmulas o aluno se lembrar, mais fácil será encontrar a resposta para a tarefa.

Suponha que no exame seja necessário encontrar a resposta para uma equação do tipo:

Se você transformar corretamente a expressão e levar a o tipo certo, então é muito simples e rápido resolvê-lo. Primeiro, vamos mover arcsin x para lado direito igualdade.

Se nos lembrarmos da fórmula arcsin (sinα) = α, então podemos reduzir a busca por respostas para resolver um sistema de duas equações:

A restrição no modelo x surgiu, novamente das propriedades de arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Quando a ≠ 0, parte do sistema é Equação quadrática com raízes x1 = 1 e x2 = - 1/a. Com a = 0, x será igual a 1.