A dependência de uma variável de outra é chamada dependência funcional. Dependência variável y de uma variável x chamado função, se cada valor x corresponde significado único y.

Designação:

variável x chamada de variável independente ou argumento, e a variável y- dependente. Eles disseram aquilo yé uma função de x. Significado y correspondente definir valor x, chamado valor da função.

Todos os valores que leva x, Formato escopo da função; todos os valores que leva y, Formato conjunto de valores de função.

Designações:

D(f)- valores dos argumentos. E(f)- valores de função. Se a função for dada por uma fórmula, considera-se que o domínio de definição consiste em todos os valores da variável para os quais essa fórmula faz sentido.

Gráfico de funções o conjunto de todos os pontos no plano de coordenadas é chamado, cujas abcissas são iguais aos valores do argumento e as ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função. Se algum valor x=x0 corresponder a vários valores (não apenas um) y, então tal correspondência não é uma função. Para definir os pontos plano de coordenadasé o gráfico de alguma função, é necessário e suficiente que qualquer reta paralela ao eixo Oy intercepte o gráfico em não mais que um ponto.

Maneiras de definir uma função

1) A função pode ser definida analiticamente na forma de uma fórmula. Por exemplo,

2) A função pode ser definida por uma tabela de muitos pares (x; y).

3) A função pode ser configurada graficamente. Pares de valor (x; y) exibido no plano de coordenadas.

Monotonicidade da função

Função f(x) chamado aumentando em um dado intervalo numérico, se maior valor argumento corresponde ao maior valor da função. Imagine que um certo ponto se move ao longo do gráfico da esquerda para a direita. Então o ponto vai "subir" no gráfico.

Função f(x) chamado minguante em um determinado intervalo numérico, se um valor maior do argumento corresponder a um valor menor da função. Imagine que um certo ponto se move ao longo do gráfico da esquerda para a direita. Então o ponto irá, por assim dizer, "rolar" para baixo no gráfico.

Uma função que só aumenta ou diminui em um dado intervalo numérico é chamada monótono neste intervalo.

Função zeros e intervalos de constância

Valores X, em qual y=0, é chamado função zeros. Estas são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo x.

Tais intervalos de valores x, em que os valores da função y ou apenas positivo ou apenas negativo são chamados intervalos de constância de sinal da função.

Funções pares e ímpares

Função par
1) O domínio de definição é simétrico em relação ao ponto (0; 0), ou seja, se o ponto uma pertence ao domínio da definição, então o ponto -uma também pertence ao domínio da definição.
2) Para qualquer valor x f(-x)=f(x)
3) Gráfico função par simétrico em relação ao eixo y.

Função estranha tem as seguintes propriedades:
1) O domínio de definição é simétrico em relação ao ponto (0; 0).
2) para qualquer valor x, que pertence ao domínio de definição, a igualdade f(-x)=-f(x)
3) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (0; 0).

Nem toda função é par ou ímpar. Funções visão geral não são pares nem ímpares.

Funções periódicas

Função fé chamado periódico se existe um número tal que para qualquer x do domínio da definição a igualdade f(x)=f(x-T)=f(x+T). Té o período da função.

Toda função periódica tem conjunto infinito períodos. Na prática, geralmente é considerado o menor período positivo.

Valores função periódica repetir após um intervalo igual ao período. Isso é usado ao plotar gráficos.

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Muitas tarefas nos levam a buscar um conjunto de valores de função em um determinado segmento ou em todo o domínio de definição. Tais tarefas incluem várias avaliações de expressões, a solução de desigualdades.

Neste artigo, definiremos o intervalo de uma função, consideraremos métodos para encontrá-lo e analisaremos detalhadamente a solução de exemplos do simples ao mais complexo. Todo o material será fornecido ilustrações gráficas para clareza. Portanto, este artigo é uma resposta detalhada à questão de como encontrar o intervalo de uma função.

Definição.

O conjunto de valores da função y = f(x) no intervalo X chamou o conjunto de todos os valores da função que leva ao iterar sobre todos os arquivos .

Definição.

A imagem da função y = f(x)é chamado o conjunto de todos os valores da função que leva ao iterar sobre todos os x do domínio de definição.

A imagem da função é denotada como E(f) .

O intervalo de uma função e o conjunto de valores de uma função não são a mesma coisa. Esses conceitos serão considerados equivalentes se o intervalo X ao encontrar o conjunto de valores da função y = f(x) coincidir com o domínio da função.

Além disso, não confunda o intervalo da função com a variável x para a expressão no lado direito da equação y=f(x) . Região valores permitidos variável x para a expressão f(x) - este é o domínio da função y=f(x) .

A figura mostra alguns exemplos.

Gráficos de função são mostrados com linhas azuis grossas, linhas vermelhas finas são assíntotas, pontos vermelhos e linhas no eixo Oy mostram o alcance da função correspondente.

Como você pode ver, o alcance da função é obtido projetando o gráfico da função no eixo y. Ela pode ser aquela singular(primeiro caso), conjunto de números (segundo caso), segmento (terceiro caso), intervalo (quarto caso), viga aberta (quinto caso), união (sexto caso), etc.

Então, o que você precisa fazer para encontrar o intervalo da função.

Vamos começar do próprio caso simples: mostra como definir um conjunto de valores função contínua y = f(x) no segmento .

Sabe-se que uma função contínua em um segmento atinge seus valores máximo e mínimo nele. Assim, o conjunto de valores função original haverá um segmento no segmento . Portanto, nossa tarefa se reduz a encontrar os maiores e menores valores da função no intervalo .

Por exemplo, vamos encontrar o intervalo da função arcsine.

Exemplo.

Especifique o intervalo da função y = arcsinx .

Solução.

O domínio de definição do arco seno é o segmento [-1; 1] . Encontre o maior e o menor valor da função neste segmento.

A derivada é positiva para todo x do intervalo (-1; 1), ou seja, a função arco-seno aumenta em todo o domínio de definição. Portanto, ele assume o menor valor em x = -1 e o maior em x = 1.

Temos o intervalo da função arco-seno .

Exemplo.

Encontre o conjunto de valores da função no segmento.

Solução.

Encontre o maior e o menor valor da função em este segmento.

Vamos definir os pontos extremos, pertencente ao segmento :

Calculamos os valores da função original nas extremidades do segmento e nos pontos :

Portanto, o conjunto de valores da função no segmento é o segmento .

Agora vamos mostrar como encontrar o conjunto de valores de uma função contínua y = f(x) nos intervalos (a; b) , .

Primeiro, determinamos os pontos extremos, os extremos da função, os intervalos de aumento e diminuição da função em um determinado intervalo. Em seguida, calculamos nas extremidades do intervalo e (ou) os limites no infinito (ou seja, estudamos o comportamento da função nos limites do intervalo ou no infinito). Essas informações são suficientes para encontrar o conjunto de valores da função em tais intervalos.

Exemplo.

Determine o conjunto de valores de função no intervalo (-2; 2).

Solução.

Vamos encontrar os pontos extremos da função que cai no intervalo (-2; 2):

Ponto x = 0 é o ponto de máximo, pois a derivada muda de sinal de mais para menos ao passar por ele, e o gráfico da função passa de crescente para decrescente.

é o máximo correspondente da função.

Vamos descobrir o comportamento da função quando x tende a -2 à direita e quando x tende a 2 à esquerda, ou seja, encontramos limites laterais:

O que obtivemos: quando o argumento muda de -2 para zero, os valores da função aumentam de menos infinito para menos um quarto (o máximo da função em x = 0), quando o argumento muda de zero para 2, a função os valores diminuem para menos infinito. Assim, o conjunto de valores de função no intervalo (-2; 2) é .

Exemplo.

Especifique o conjunto de valores da função tangente y = tgx no intervalo.

Solução.

A derivada da função tangente no intervalo é positiva , que indica um aumento na função. Estudamos o comportamento da função nos limites do intervalo:

Assim, quando o argumento muda de para, os valores da função aumentam de menos infinito para mais infinito, ou seja, o conjunto de valores tangentes nesse intervalo é o conjunto de todos os números reais.

Exemplo.

Encontrar o intervalo de uma função Logaritmo natural y = lnx.

Solução.

A função de logaritmo natural é definida para valores positivos do argumento . Neste intervalo a derivada é positiva , isso indica um aumento na função nele. Vamos encontrar o limite unilateral da função quando o argumento tende a zero a partir da direita, e o limite quando x tende a mais infinito:

Vemos que quando x muda de zero para mais infinito, os valores da função aumentam de menos infinito para mais infinito. Portanto, o intervalo da função logarítmica natural é todo o conjunto de números reais.

Exemplo.

Solução.

Esta função é definida para todos os valores reais de x. Vamos determinar os pontos extremos, bem como os intervalos de aumento e diminuição da função.

Portanto, a função diminui em , aumenta em , x = 0 é o ponto de máximo, o máximo correspondente da função.

Vejamos o comportamento da função no infinito:

Assim, no infinito, os valores da função se aproximam assintoticamente de zero.

Descobrimos que quando o argumento muda de menos infinito para zero (ponto máximo), os valores da função aumentam de zero a nove (até o máximo da função), e quando x muda de zero para mais infinito, os valores da função diminuir de nove para zero.

Observe o desenho esquemático.

Agora é visto claramente que o intervalo da função é .

Encontrar o conjunto de valores da função y = f(x) em intervalos requer estudos semelhantes. Não nos deteremos agora nesses casos em detalhes. Vamos vê-los nos exemplos abaixo.

Seja o domínio da função y = f(x) a união de vários intervalos. Ao encontrar o intervalo de tal função, os conjuntos de valores em cada intervalo são determinados e sua união é feita.

Exemplo.

Encontre o intervalo da função.

Solução.

O denominador da nossa função não deve ir a zero, ou seja, .

Primeiro, vamos encontrar o conjunto de valores da função no raio aberto.

Função derivada é negativo nesse intervalo, ou seja, a função diminui nele.

Descobrimos que como o argumento tende a menos infinito, os valores da função se aproximam assintoticamente da unidade. Quando x muda de menos infinito para dois, os valores da função diminuem de um para menos infinito, ou seja, no intervalo considerado, a função assume um conjunto de valores. Não incluímos a unidade, pois os valores da função não a atingem, mas apenas assintoticamente tendem a menos infinito.

Agimos de forma semelhante para uma viga aberta.

A função também diminui neste intervalo.

O conjunto de valores de função neste intervalo é o conjunto .

Assim, o intervalo desejado de valores de função é a união dos conjuntos e .

Ilustração gráfica.

Separadamente, devemos nos debruçar sobre funções periódicas. A faixa de funções periódicas coincide com o conjunto de valores no intervalo correspondente ao período dessa função.

Exemplo.

Encontre a imagem da função seno y = sinx.

Solução.

Esta função é periódica com um período de dois pi. Vamos pegar um segmento e definir o conjunto de valores nele.

O segmento contém dois pontos extremos e .

Calculamos os valores da função nesses pontos e nos limites do segmento, escolhemos o menor e valor mais alto:

Consequentemente, .

Exemplo.

Encontrar o intervalo de uma função .

Solução.

Sabemos que o alcance do arcoseno é o segmento de zero a pi, ou seja, ou em outro post. Função pode ser obtido de arccosx deslocando e esticando ao longo do eixo x. Tais transformações não afetam o alcance, portanto, . Função vem de estendendo-se três vezes ao longo do eixo Oy, ou seja, . E o último estágio das transformações é um deslocamento de quatro unidades para baixo ao longo do eixo y. Isso nos leva a uma dupla desigualdade

Assim, a faixa de valores desejada é .

Vamos dar uma solução para outro exemplo, mas sem explicações (não são obrigatórios, pois são completamente semelhantes).

Exemplo.

Definir intervalo de função .

Solução.

Escrevemos a função original na forma . Área de valor Função liga-desligaé o vão. Aquilo é, . Então

Consequentemente, .

Para completar o quadro, devemos falar sobre encontrar a imagem de uma função que não é contínua no domínio de definição. Nesse caso, o domínio de definição é dividido por pontos de quebra em intervalos, e encontramos os conjuntos de valores em cada um deles. Combinando os conjuntos de valores obtidos, obtemos o intervalo de valores da função original. Recomendamos lembrar

Muitas vezes, no âmbito da resolução de problemas, temos que procurar um conjunto de valores de uma função no domínio de definição ou em um segmento. Por exemplo, isso deve ser feito ao resolver tipos diferentes desigualdades, avaliações de expressão, etc.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Como parte deste material, informaremos qual é o intervalo de uma função, forneceremos os principais métodos pelos quais ela pode ser calculada e analisaremos as tarefas graus variantes dificuldades. Para maior clareza, as posições individuais são ilustradas por gráficos. Depois de ler este artigo, você terá uma compreensão abrangente do escopo de uma função.

Vamos começar com definições básicas.

Definição 1

O conjunto de valores da função y = f(x) em algum intervalo x é o conjunto de todos os valores que determinada função assume a enumeração de todos os valores x ∈ X .

Definição 2

O intervalo de uma função y = f (x) é o conjunto de todos os seus valores que ela pode assumir ao iterar sobre valores x do intervalo x ∈ (f).

O alcance de alguma função é usualmente denotado por E(f).

Observe que o conceito de conjunto de valores de uma função nem sempre é idêntico à área de seus valores. Esses conceitos serão equivalentes apenas se o intervalo de valores x ao encontrar o conjunto de valores coincidir com o domínio da função.

Também é importante distinguir entre o intervalo e o intervalo da variável x para a expressão do lado direito y = f (x) . A área de valores aceitáveis ​​x para a expressão f(x) será a área de definição desta função.

Abaixo está uma ilustração mostrando alguns exemplos. As linhas azuis são gráficos de funções, as vermelhas são assíntotas, os pontos vermelhos e as linhas no eixo y são os intervalos da função.

Obviamente, a imagem da função pode ser obtida projetando o gráfico da função no eixo O y . Ao mesmo tempo, pode ser um único número ou um conjunto de números, um segmento, um intervalo, um raio aberto, uma união de intervalos numéricos, etc.

Considere as principais maneiras de encontrar a imagem de uma função.

Vamos começar definindo o conjunto de valores da função contínua y = f (x) em um determinado segmento, designado [ a ; b] . Sabemos que uma função contínua em um determinado intervalo atinge seu mínimo e máximo nele, ou seja, o máximo m a x x ∈ a ; b f (x) e o menor valor m i n x ∈ a ; bf(x). Assim, obtemos um segmento m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , que conterá os conjuntos de valores da função original. Então tudo o que precisamos fazer é encontrar os pontos mínimo e máximo especificados neste segmento.

Vamos pegar um problema em que é necessário determinar o intervalo de valores do arco-seno.

Exemplo 1

Doença: encontre o intervalo y = a r c sen x .

Solução

NO caso Geral o domínio de definição do arco seno está localizado no segmento [-1; 1 ] . Precisamos determinar o maior e o menor valor função especificada Nele.

y "= a r c sen x" = 1 1 - x 2

Sabemos que a derivada da função será positiva para todos os valores de x localizados no intervalo [-1; 1 ] , ou seja, em todo o domínio de definição, a função arco-seno aumentará. Isso significa que ele terá o menor valor quando x for igual a - 1, e o maior - quando x for igual a 1.

m in x ∈ - 1 ; 1 a r c sen x = a r c sen - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sen x = a r c sen 1 = π 2

Assim, o alcance da função arco-seno será igual a E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2 .

Responda: E (ar c sin x) \u003d - π 2; π 2

Exemplo 2

Doença: intervalo de cálculo y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 em determinado segmento [ 1 ; 4 ] .

Solução

Tudo o que precisamos fazer é calcular o maior e o menor valor da função em dado intervalo.

Para determinar os pontos extremos, é necessário realizar os seguintes cálculos:

y "= x 4 - 5 x 3 + 6 x 2" = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 e le 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x3 = 15 + 338 ≈ 2,59 ∈ 1;4

Agora encontre os valores determinada função nas extremidades do segmento e pontos x 2 \u003d 15 - 33 8; x 3 \u003d 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2 . 08 e 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 15 + 33 8 3 + 6 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 anos (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Isso significa que o conjunto de valores da função será determinado pelo segmento 117 - 165 33 512; 32 .

Responda: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Vamos seguir para encontrar o conjunto de valores da função contínua y = f (x) nos intervalos (a ; b) e a ; + ∞ , - ∞ ; b , -∞ ; +∞ .

Vamos começar com a definição do maior e menor ponto, bem como intervalos de aumento e diminuição em um determinado intervalo. Depois disso, precisaremos calcular limites laterais nas extremidades do intervalo e/ou limites no infinito. Em outras palavras, precisamos determinar o comportamento da função sob determinadas condições. Para isso temos todos os dados necessários.

Exemplo 3

Doença: calcule o intervalo da função y = 1 x 2 - 4 no intervalo (- 2 ; 2) .

Solução

Determine o maior e o menor valor da função em um determinado intervalo

y "= 1 x 2 - 4" = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Obtivemos o valor máximo igual a 0 , pois é neste ponto que o sinal da função muda e o gráfico começa a diminuir. Veja ilustração:

Ou seja, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 será valores máximos funções.

Agora vamos definir o comportamento da função para tal x, que tende a - 2 s lado direito e k + 2 no lado esquerdo. Em outras palavras, encontramos limites laterais:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = -∞

Conseguimos que os valores da função aumentarão de menos infinito para -1 4 quando o argumento mudar de -2 para 0 . E quando o argumento muda de 0 para 2, os valores da função diminuem para menos infinito. Portanto, o conjunto de valores da função dada no intervalo que precisamos será (- ∞ ; - 1 4 ] .

Responda: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Exemplo 4

Doença: indicar o conjunto de valores y = t g x no intervalo dado - π 2 ; π 2 .

Solução

Sabemos que, em geral, a derivada da tangente em - π 2; π 2 será positivo, ou seja, a função aumentará. Agora vamos definir como a função se comporta dentro dos limites fornecidos:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Obtivemos um aumento nos valores da função de menos infinito para mais infinito quando o argumento muda de - π 2 para π 2, e podemos dizer que o conjunto de soluções desta função será o conjunto de todos os reais números.

Responda: - ∞ ; + ∞ .

Exemplo 5

Doença: determine qual é a imagem da função logarítmica natural y = ln x .

Solução

Sabemos que esta função é definida para valores positivos argumento D (y) = 0 ; +∞ . A derivada no intervalo dado será positiva: y " = ln x " = 1 x . Isso significa que a função é crescente nele. Em seguida, precisamos definir um limite unilateral para o caso em que o argumento vai para 0 (no lado direito) e quando x vai para o infinito:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Descobrimos que os valores da função aumentarão de menos infinito para mais infinito à medida que os valores de x mudarem de zero para mais infinito. Isso significa que o conjunto de todos os números reais é o intervalo da função logarítmica natural.

Responda: o conjunto de todos os números reais é o intervalo da função logarítmica natural.

Exemplo 6

Doença: determine qual é a imagem da função y = 9 x 2 + 1 .

Solução

Esta função é definida desde que x seja um número real. Vamos calcular os maiores e menores valores da função, bem como os intervalos de seu aumento e diminuição:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Como resultado, determinamos que esta função diminuirá se x ≥ 0; aumentar se x ≤ 0 ; tem um ponto máximo y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 quando a variável é 0 .

Vamos ver como a função se comporta no infinito:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +0

Pode-se ver no registro que os valores da função neste caso se aproximarão assintoticamente de 0.

Para resumir: quando o argumento muda de menos infinito para zero, os valores da função aumentam de 0 a 9 . À medida que os valores dos argumentos vão de 0 a mais infinito, os valores da função correspondente diminuirão de 9 a 0. Retratamos isso na figura:

Mostra que o intervalo da função será o intervalo E (y) = (0 ; 9 ]

Responda: E(y) = (0 ; 9 ]

Se precisarmos determinar o conjunto de valores da função y = f (x) nos intervalos [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , então precisaremos realizar exatamente os mesmos estudos. Não vamos analisar esses casos ainda: vamos encontrá-los mais tarde em problemas .

Mas e se o domínio de uma determinada função for a união de vários intervalos? Em seguida, precisamos calcular os conjuntos de valores em cada um desses intervalos e combiná-los.

Exemplo 7

Doença: determine qual será o intervalo de y = x x - 2 .

Solução

Como o denominador da função não deve ser transformado em 0 , então D (y) = - ∞ ; 2 ∪ 2 ; +∞ .

Vamos começar definindo o conjunto de valores da função no primeiro segmento - ∞ ; 2, que é uma viga aberta. Sabemos que a função sobre ela diminuirá, ou seja, a derivada dessa função será negativa.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Então, nos casos em que o argumento muda para menos infinito, os valores da função se aproximarão assintoticamente de 1 . Se os valores de x mudarem de menos infinito para 2, os valores diminuirão de 1 para menos infinito, ou seja a função neste segmento terá valores do intervalo - ∞ ; 1 . Excluímos a unidade do nosso raciocínio, pois os valores da função não a atingem, mas apenas a aproximam assintoticamente.

Para viga aberta 2 ; + ∞ realizamos exatamente as mesmas ações. A função nele também está diminuindo:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Os valores da função neste segmento são determinados pelo conjunto 1; +∞ . Isso significa que o intervalo de valores da função especificada na condição que precisamos será a união de conjuntos - ∞; 1 e 1; +∞ .

Responda: E(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞ .

Isso pode ser visto no gráfico:

Um caso especial são as funções periódicas. Sua área de valor coincide com o conjunto de valores no intervalo que corresponde ao período dessa função.

Exemplo 8

Doença: determine o alcance do seno y = sen x .

Solução

Seno refere-se a uma função periódica, e seu período é 2 pi. Tomamos um segmento 0 ; 2 π e veja qual será o conjunto de valores nele.

y " = (sen x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Dentro de 0; 2 π a função terá pontos extremos π 2 ex = 3 π 2 . Vamos calcular quais serão os valores da função neles, bem como nos limites do segmento, após o que escolhemos o maior e o menor valor.

y (0) = sen 0 = 0 y π 2 = sen π 2 = 1 y 3 π 2 = sen 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sen (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sen x = sen 3 π 2 = - 1 , max x ∈ 0 ; 2 π senx \u003d sen π 2 \u003d 1

Responda: E (sinx) = - 1 ; 1 .

Se você precisa conhecer os intervalos de funções como exponencial, exponencial, logarítmica, trigonométrica, trigonométrica inversa, recomendamos que você releia o artigo sobre os principais funções elementares. A teoria que apresentamos aqui nos permite testar os valores ali especificados. É desejável aprendê-los, pois muitas vezes são necessários na resolução de problemas. Se você conhece os intervalos das funções principais, pode encontrar facilmente os intervalos de funções que são obtidos das elementares usando uma transformação geométrica.

Exemplo 9

Doença: determine o intervalo y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Solução

Sabemos que o segmento de 0 a pi é o intervalo do cosseno inverso. Em outras palavras, E (ar c cos x) = 0 ; π ou 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Podemos obter a função a r c cos x 3 + 5 π 7 do arco cosseno deslocando-o e esticando-o ao longo do eixo O x, mas tais transformações não nos darão nada. Assim, 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

A função 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 pode ser obtida a partir do cosseno inverso a r c cos x 3 + 5 π 7 alongando ao longo do eixo y, ou seja, 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . A transformação final é um deslocamento ao longo do eixo O y em 4 valores. Como resultado, obtemos uma dupla desigualdade:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Temos que o intervalo que precisamos será igual a E (y) = - 4 ; 3 pi - 4 .

Responda: E(y) = - 4; 3 pi - 4 .

Vamos escrever mais um exemplo sem explicações, porque é completamente semelhante ao anterior.

Exemplo 10

Doença: calcule qual será a imagem da função y = 2 2 x - 1 + 3 .

Solução

Vamos reescrever a função dada na condição como y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 . Para uma função de potência y = x - 1 2 a faixa será definida no intervalo 0 ; + ∞ , ou seja x - 1 2 > 0 . Nesse caso:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Então E(y) = 3 ; +∞ .

Responda: E(y) = 3; +∞ .

Agora vamos ver como encontrar o intervalo de uma função que não é contínua. Para fazer isso, precisamos dividir toda a área em intervalos e encontrar os conjuntos de valores em cada um deles e depois combinar o que obtivemos. Para entender melhor isso, recomendamos que você revise os principais tipos de breakpoints de função.

Exemplo 11

Doença: dada uma função y = 2 sen x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3 . Calcule seu alcance.

Solução

Esta função é definida para todos os valores x. Vamos analisá-lo para continuidade com os valores do argumento iguais a -3 e 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sen x 2 - 4 = 2 sen - 3 2 - 4 = - 2 sen 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Temos uma descontinuidade irrecuperável do primeiro tipo com o valor do argumento - 3 . Conforme você se aproxima, os valores da função tendem a -2 sin 3 2 - 4, e como x tende a -3 no lado direito, os valores tendem a -1.

lim x → 3 - 0 f(x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f(x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Temos uma descontinuidade irremovível do segundo tipo no ponto 3 . Quando a função tende para isso, seus valores se aproximam - 1, enquanto tendem para o mesmo ponto à direita - para menos infinito.

Isto significa que todo o domínio de definição desta função é dividido em 3 intervalos (- ∞ ; - 3 ] , (- 3 ; 3 ] , (3 ; + ∞) .

No primeiro deles, obtivemos a função y \u003d 2 sin x 2 - 4. Como - 1 ≤ sin x ≤ 1 , temos:

1 ≤ sen x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Isso significa que nesse intervalo (- ∞ ; - 3 ] o conjunto de valores da função é [ - 6 ; 2 ] .

No meio-intervalo (- 3 ; 3 ] acabou função constante e = - 1 . Portanto, todo o conjunto de seus valores em este caso será reduzido a um único número - 1 .

No segundo intervalo 3 ; + ∞ temos uma função y = 1 x - 3 . Está diminuindo porque y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Assim, o conjunto de valores da função original para x > 3 é o conjunto 0 ; +∞ . Agora vamos combinar os resultados: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

Responda: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞ .

A solução é mostrada no gráfico:

Exemplo 12

Condição: existe uma função y = x 2 - 3 e x . Determine o conjunto de seus valores.

Solução

É definido para todos os valores de argumento que são numeros reais. Vamos determinar em quais intervalos essa função aumentará e em quais diminuirá:

y "= x 2 - 3 e x" = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Sabemos que a derivada se tornará 0 se x = - 1 ex = 3 . Colocamos esses dois pontos no eixo e descobrimos quais sinais a derivada terá nos intervalos resultantes.

A função diminuirá em (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) e aumentará em [ - 1 ; 3]. O ponto mínimo será - 1 , máximo - 3 .

Agora vamos encontrar os valores de função correspondentes:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Vejamos o comportamento da função no infinito:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 "e x" = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x "(e x)" = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Para calcular o segundo limite, foi utilizada a regra de L'Hopital. Vamos traçar nossa solução em um gráfico.

Mostra que os valores da função diminuirão de mais infinito para -2 e quando o argumento mudar de menos infinito para -1. Se mudar de 3 para mais infinito, os valores diminuirão de 6 e - 3 para 0, mas 0 não será alcançado.

Assim, E(y) = [ - 2 e ; +∞) .

Responda: E(y) = [-2e; +∞)

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Vamos ver como explorar uma função usando um gráfico. Acontece que olhando para o gráfico, você pode descobrir tudo o que nos interessa, a saber:

• escopo da função
• intervalo de funções
• função zeros
• períodos de aumento e diminuição
• pontos altos e baixos
• o maior e o menor valor da função no intervalo.

Vamos esclarecer a terminologia:

Abscissaé a coordenada horizontal do ponto.
Ordenar- coordenada vertical.
abscissa - eixo horizontal, mais comumente referido como o eixo.
Eixo Y- eixo vertical, ou eixo.

Argumentoé uma variável independente da qual dependem os valores da função. Na maioria das vezes indicado.
Em outras palavras, nós mesmos escolhemos , substituímos na fórmula da função e obtemos .

Domínio funções - o conjunto daqueles (e somente aqueles) valores do argumento para o qual a função existe.
Denotado: ou .

Em nossa figura, o domínio da função é um segmento. É neste segmento que se desenha o gráfico da função. Só aqui existe esta função.

Faixa de funçõesé o conjunto de valores que a variável assume. Em nossa figura, este é um segmento - do menor ao maior valor.

Zeros de função- pontos onde o valor da função é igual a zero, ou seja . Em nossa figura, esses são os pontos e .

Os valores da função são positivos Onde . Em nossa figura, esses são os intervalos e .
Os valores da função são negativos Onde . Temos esse intervalo (ou intervalo) de até.

Conceitos chave - função crescente e decrescente em algum conjunto. Como um conjunto, você pode pegar um segmento, um intervalo, uma união de intervalos ou a reta numérica inteira.

Função aumenta

Ou seja, quanto mais , mais , ou seja, o gráfico vai para a direita e para cima.

Função diminui no conjunto se para qualquer e pertencendo ao conjunto a desigualdade implica a desigualdade .

Para uma função decrescente, um valor maior corresponde a um valor menor. O gráfico vai para a direita e para baixo.

Em nossa figura, a função aumenta no intervalo e diminui nos intervalos e .

Vamos definir o que é pontos de máximo e mínimo da função.

Ponto máximo- este é um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele é maior do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Em outras palavras, o ponto máximo é tal ponto, o valor da função em que mais do que nas vizinhas. Esta é uma "colina" local no gráfico.

Em nossa figura - o ponto máximo.

Ponto baixo- um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele seja menor do que em todos os pontos suficientemente próximos a ele.
Ou seja, o ponto mínimo é tal que o valor da função nele é menor do que nas vizinhas. No gráfico, este é um “buraco” local.

Em nossa figura - o ponto mínimo.

O ponto é o limite. Ela não é ponto interno domínio de definição e, portanto, não se encaixa na definição de um ponto máximo. Afinal, ela não tem vizinhos à esquerda. Da mesma forma, não pode haver ponto mínimo em nosso gráfico.

Os pontos máximo e mínimo são chamados coletivamente pontos extremos da função. No nosso caso, isso é e .

Mas e se você precisar encontrar, por exemplo, função mínima no corte? Neste caso, a resposta é: Porque função mínimaé o seu valor no ponto mínimo.

Da mesma forma, o máximo de nossa função é . É alcançado no ponto .

Podemos dizer que os extremos da função são iguais a e .

Às vezes, em tarefas, você precisa encontrar maior e menor valor funções em um determinado segmento. Eles não coincidem necessariamente com os extremos.

No nosso caso menor valor de função no intervalo é igual e coincide com o mínimo da função. Mas seu maior valor neste segmento é igual a . Ele é alcançado na extremidade esquerda do segmento.

Em qualquer caso, os maiores e menores valores de uma função contínua em um segmento são alcançados nos pontos extremos ou nas extremidades do segmento.