Definição. Qualquer linha no plano pode ser dada por uma equação de primeira ordem

Ah + Wu + C = 0,

e as constantes A, B não são iguais a zero ao mesmo tempo. Essa equação de primeira ordem é chamada a equação geral de uma reta. Dependendo dos valores constante A, B e C, os seguintes casos especiais são possíveis:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - a linha passa pela origem

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - a linha é paralela ao eixo Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - a linha reta coincide com o eixo Ox

A equação de uma reta pode ser representada em várias formas dependendo de quaisquer condições iniciais dadas.

Equação de uma linha reta por um ponto e um vetor normal

Definição. Em cartesiano sistema retangular vetor coordenado com componentes (A, B) é perpendicular à linha, dado pela equação Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelo ponto A(1, 2) perpendicular a (3, -1).

Solução. Em A = 3 e B = -1, compomos a equação de uma linha reta: 3x - y + C = 0. Para encontrar o coeficiente C, substituímos as coordenadas do ponto A dado na expressão resultante. 3 - 2 + C = 0, portanto, C = -1 . Total: a equação desejada: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equação de uma reta que passa por dois pontos

Sejam dois pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) no espaço, então a equação de uma linha reta que passa por esses pontos:

Se algum dos denominadores zero, o numerador correspondente deve ser igualado a zero. No plano, a equação da reta escrita acima é simplificada:

se x 1 ≠ x 2 e x = x 1 se x 1 = x 2.

Fração = k é chamada fator de inclinação direto.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta que passa pelos pontos A(1, 2) e B(3, 4).

Solução. Aplicando a fórmula acima, obtemos:

Equação de uma linha reta a partir de um ponto e uma inclinação

Se o total Ax + Wu + C = 0 levar à forma:

e designar , então a equação resultante é chamada equação de uma reta com inclinaçãok.

Equação de uma linha reta com um vetor ponto e direção

Por analogia com o ponto considerando a equação de uma linha reta através do vetor normal, você pode inserir a atribuição de uma linha reta através de um ponto e um vetor direcionador de uma linha reta.

Definição. Cada vetor diferente de zero (α 1, α 2), cujos componentes satisfazem a condição A α 1 + B α 2 = 0, é chamado de vetor diretor da linha

Ah + Wu + C = 0.

Exemplo. Encontre a equação de uma linha reta com vetor de direção (1, -1) e passando pelo ponto A(1, 2).

Solução. Procuraremos a equação da reta desejada na forma: Ax + By + C = 0. De acordo com a definição, os coeficientes devem satisfazer as condições:

1 * A + (-1) * B = 0, ou seja A = B

Então a equação de uma linha reta tem a forma: Ax + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0. para x = 1, y = 2 obtemos C / A = -3, ou seja. equação desejada:

Equação de uma linha reta em segmentos

Se na equação geral da reta Ah + Wu + C = 0 C≠0, então, dividindo por –C, obtemos: ou

sentido geométrico coeficientes em que o coeficiente umaé a coordenada do ponto de intersecção da linha com o eixo x, e b- a coordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy.

Exemplo. Dado equação geral reta x - y + 1 = 0. Encontre a equação desta reta em segmentos.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Equação normal de uma reta

Se ambos os lados da equação Ax + Vy + C = 0 são multiplicados pelo número , que é chamado fator de normalização, então obtemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

equação normal de uma reta. O sinal ± do fator de normalização deve ser escolhido de modo que μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Exemplo. Dada a equação geral da linha reta 12x - 5y - 65 \u003d 0. É necessário escrever tipos diferentes equações desta reta.

a equação desta reta em segmentos:

a equação desta linha com a inclinação: (dividir por 5)

; cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.

Deve-se notar que nem toda reta pode ser representada por uma equação em segmentos, por exemplo, retas paralelas aos eixos ou passando pela origem.

Exemplo. Cortes diretos eixos de coordenadas segmentos positivos iguais. Escreva a equação de uma reta se a área do triângulo formado por esses segmentos for 8 cm 2.

Solução. A equação da reta tem a forma: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Exemplo. Escreva a equação de uma reta que passa pelo ponto A (-2, -3) e pela origem.

Solução. A equação de uma reta tem a forma: , onde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Ângulo entre linhas em um plano

Definição. Se duas linhas são dadas y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , então o ângulo agudo entre essas linhas será definido como

.

Duas retas são paralelas se k 1 = k 2 . Duas retas são perpendiculares se k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. As linhas retas Ax + Vy + C \u003d 0 e A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 são paralelas quando os coeficientes A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB são proporcionais. Se também С 1 = λС, então as linhas coincidem. As coordenadas do ponto de intersecção de duas retas são encontradas como solução para o sistema de equações dessas retas.

Equação de uma linha que passa por um ponto dado perpendicular a uma linha dada

Definição. A linha que passa pelo ponto M 1 (x 1, y 1) e perpendicular à linha y \u003d kx + b é representada pela equação:

Distância do ponto à linha

Teorema. Se um ponto M(x 0, y 0) for fornecido, a distância até a linha Ax + Vy + C \u003d 0 será definida como

.

Prova. Seja o ponto M 1 (x 1, y 1) a base da perpendicular baixada do ponto M até a reta dada. Então a distância entre os pontos M e M 1:

(1)

As coordenadas x 1 e y 1 podem ser encontradas como uma solução para o sistema de equações:

A segunda equação do sistema é a equação de uma linha reta que passa por dado ponto M 0 é perpendicular a uma determinada linha. Se transformarmos a primeira equação do sistema na forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

então, resolvendo, temos:

Substituindo essas expressões na equação (1), encontramos:

O teorema foi provado.

Exemplo. Determine o ângulo entre as linhas: y = -3 x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π/4.

Exemplo. Mostre que as retas 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 são perpendiculares.

Solução. Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, portanto, as linhas são perpendiculares.

Exemplo. Os vértices do triângulo A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) são dados. Encontre a equação para a altura tirada do vértice C.

Solução. Encontramos a equação do lado AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

A equação de altura desejada é: Ax + By + C = 0 ou y = kx + b. k = . Então y = . Porque altura passa pelo ponto C, então suas coordenadas satisfazem esta equação: onde b = 17. Total: .

Resposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Sejam dados dois pontos M(X 1 ,No 1) e N(X 2,y 2). Vamos encontrar a equação da reta que passa por esses pontos.

Como esta linha passa pelo ponto M, então de acordo com a fórmula (1.13) sua equação tem a forma

No – S 1 = K(X-x 1),

Onde K- desconhecido declive.

O valor deste coeficiente é determinado a partir da condição de que a linha reta desejada passe pelo ponto N, o que significa que suas coordenadas satisfazem a equação (1.13)

S 2 – S 1 = K(X 2 – X 1),

A partir daqui você pode encontrar a inclinação desta linha:

,

Ou após a conversão

(1.14)

A fórmula (1.14) define Equação de uma reta que passa por dois pontos M(X 1, S 1) e N(X 2, S 2).

No caso particular em que os pontos M(UMA, 0), N(0, B), MAS ¹ 0, B¹ 0, encontra-se nos eixos coordenados, a equação (1.14) assume uma forma mais simples

Equação (1,15) chamado Equação de uma linha reta em segmentos, aqui MAS e B denotam segmentos cortados por uma linha reta nos eixos (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplo 1.10. Escreva a equação de uma reta que passa pelos pontos M(1, 2) e B(3, –1).

. De acordo com (1.14), a equação da reta desejada tem a forma

2(S – 2) = -3(X – 1).

Transferindo todos os termos para o lado esquerdo, finalmente obtemos a equação desejada

3X + 2S – 7 = 0.

Exemplo 1.11. Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto M(2, 1) e o ponto de intersecção das linhas X+ S- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Encontramos as coordenadas do ponto de intersecção das linhas resolvendo essas equações em conjunto

Se somarmos essas equações termo a termo, obtemos 2 X+ 1 = 0, de onde . Substituindo o valor encontrado em qualquer equação, encontre o valor ordenadas No:

Agora vamos escrever a equação de uma linha reta que passa pelos pontos (2, 1) e :

ou .

Daí ou -5( S – 1) = X – 2.

Finalmente, obtemos a equação da reta desejada na forma X + 5S – 7 = 0.

Exemplo 1.12. Encontre a equação de uma linha reta que passa por pontos M(2.1) e N(2,3).

Usando a fórmula (1.14), obtemos a equação

Não faz sentido porque o segundo denominador é zero. Pode-se ver a partir da condição do problema que as abcissas de ambos os pontos têm o mesmo valor. Portanto, a linha necessária é paralela ao eixo OY e sua equação é: x = 2.

Comente . Se, ao escrever a equação de uma linha reta de acordo com a fórmula (1.14), um dos denominadores for igual a zero, a equação desejada pode ser obtida igualando o numerador correspondente a zero.

Vamos considerar outras maneiras de definir uma linha reta em um plano.

1. Seja um vetor diferente de zero perpendicular a uma determinada linha eu, e o ponto M 0(X 0, S 0) encontra-se nesta linha (Figura 1.7).

Figura 1.7

Indicar M(X, S) ponto arbitrário em linha reta eu. Vetores e Ortogonal. Usando as condições de ortogonalidade para esses vetores, obtemos ou MAS(X – X 0) + B(S – S 0) = 0.

Obtivemos a equação de uma reta que passa por um ponto M 0 é perpendicular ao vetor . Esse vetor é chamado Vetor normal para uma linha reta eu. A equação resultante pode ser reescrita como

Oh + Wu + A PARTIR DE= 0, onde A PARTIR DE = –(MASX 0 + Por 0), (1.16),

Onde MAS e NO são as coordenadas do vetor normal.

Obtemos a equação geral de uma linha reta de forma paramétrica.

2. Uma linha em um plano pode ser definida da seguinte forma: seja um vetor diferente de zero paralelo a uma dada linha eu e ponto M 0(X 0, S 0) encontra-se nesta linha. Novamente, tome um ponto arbitrário M(X, y) em linha reta (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vetores e colinear.

Vamos escrever a condição de colinearidade desses vetores: , onde Té um número arbitrário, chamado de parâmetro. Vamos escrever essa igualdade em coordenadas:

Essas equações são chamadas Equações paramétricas Em linha reta. Vamos excluir dessas equações o parâmetro T:

Essas equações podem ser escritas na forma

. (1.18)

A equação resultante é chamada Equação canônica direto. Chamada vetorial Vetor de direção reto .

Comente . É fácil ver que se é o vetor normal à linha eu, então seu vetor de direção pode ser o vetor , já que , ou seja, .

Exemplo 1.13. Escreva a equação de uma reta que passa por um ponto M 0(1, 1) paralelo à linha 3 X + 2No– 8 = 0.

Solução . O vetor é o vetor normal às linhas dadas e desejadas. Vamos usar a equação de uma linha reta que passa por um ponto M 0 com um determinado vetor normal 3( X –1) + 2(No– 1) = 0 ou 3 X + 2 anos- 5 \u003d 0. Obtemos a equação da linha reta desejada.

Equação de uma linha reta que passa por dois pontos. No artigo" " Eu prometi a você analisar a segunda maneira de resolver os problemas apresentados para encontrar a derivada, com este gráfico função e uma tangente a este gráfico. Vamos explorar este método em , não perca! Por que próximo?

O fato é que aí será usada a fórmula da equação de uma reta. Claro, pode-se simplesmente mostrar esta fórmula e aconselhá-lo a aprender. Mas é melhor explicar de onde vem (como é derivado). É necessário! Se você esquecer, restaure-o rapidamentenão será difícil. Tudo é detalhado abaixo. Então nós temos plano de coordenadas existem dois pontos A(x 1; y 1) e B (x 2; y 2), uma linha reta é traçada através dos pontos indicados:

Aqui está a fórmula direta:

*Ou seja, ao substituir as coordenadas específicas dos pontos, obtemos uma equação da forma y=kx+b.

** Se esta fórmula for simplesmente “memorizada”, então há uma alta probabilidade de se confundir com índices quando X. Além disso, os índices podem ser denotados de diferentes maneiras, por exemplo:

Por isso é importante entender o significado.

Agora a derivação desta fórmula. Tudo é muito simples!

Os triângulos ABE e ACF são semelhantes em canto afiado(o primeiro sinal de semelhança triângulos retângulos). Segue-se que as razões dos elementos correspondentes são iguais, ou seja:

Agora, simplesmente expressamos esses segmentos em termos da diferença nas coordenadas dos pontos:

Obviamente, não haverá erro se você escrever os relacionamentos dos elementos em uma ordem diferente (o principal é manter a correspondência):

O resultado é a mesma equação de uma linha reta. É tudo!

Ou seja, não importa como os próprios pontos (e suas coordenadas) sejam designados, entendendo essa fórmula, você sempre encontrará a equação de uma reta.

A fórmula pode ser deduzida usando as propriedades dos vetores, mas o princípio de derivação será o mesmo, pois falaremos sobre a proporcionalidade de suas coordenadas. Neste caso, a mesma semelhança de triângulos retângulos funciona. Na minha opinião, a conclusão descrita acima é mais compreensível)).

Visualize a saída via coordenadas vetoriais >>>

Seja uma linha reta construída sobre o plano coordenado que passa por dois pontos dados A (x 1; y 1) e B (x 2; y 2). Vamos marcar um ponto arbitrário C na linha com coordenadas ( x; y). Também denotamos dois vetores:

Sabe-se que para vetores situados em linhas paralelas (ou em uma linha), suas coordenadas correspondentes são proporcionais, ou seja:

- escrevemos a igualdade das razões das coordenadas correspondentes:

Considere um exemplo:

Encontre a equação de uma linha reta que passa por dois pontos com coordenadas (2;5) e (7:3).

Você não pode nem construir a linha em si. Aplicamos a fórmula:

É importante que você capte a correspondência ao elaborar a proporção. Você não pode errar se escrever:

Resposta: y=-2/5x+29/5 vai y=-0,4x+5,8

Para garantir que a equação resultante seja encontrada corretamente, verifique-a - substitua as coordenadas dos dados na condição dos pontos. Você deve obter igualdades corretas.

Isso é tudo. Espero que o material tenha sido útil para você.

Atenciosamente, Alexandre.

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Deixe a reta passar pelos pontos M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). A equação de uma linha reta que passa pelo ponto M 1 tem a forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)

Onde k - coeficiente ainda desconhecido.

Como a linha reta passa pelo ponto M 2 (x 2 y 2), as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

A partir daqui encontramos Substituindo o valor encontrado k na equação (10.6), obtemos a equação de uma reta que passa pelos pontos M 1 e M 2:

Supõe-se que nesta equação x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Se x 1 \u003d x 2, a linha reta que passa pelos pontos M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) é paralela ao eixo y. Sua equação é x = x 1 .

Se y 2 \u003d y I, a equação da linha reta pode ser escrita como y \u003d y 1, a linha reta M 1 M 2 é paralela ao eixo x.

Equação de uma linha reta em segmentos

Deixe a linha reta interceptar o eixo Ox no ponto M 1 (a; 0), e o eixo Oy - no ponto M 2 (0; b). A equação terá a forma:
Essa.
. Essa equação é chamada a equação de uma linha reta em segmentos, porque os números a e b indicam quais segmentos a linha reta corta nos eixos coordenados.

Equação de uma linha reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado

Vamos encontrar a equação de uma linha reta que passa por um dado ponto Mo (x O; y o) perpendicular a um dado vetor diferente de zero n = (A; B).

Pegue um ponto arbitrário M(x; y) na linha reta e considere o vetor M 0 M (x - x 0; y - y o) (veja a Fig. 1). Como os vetores n e M o M são perpendiculares, seu produto escalar é igual a zero: isto é,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

A equação (10.8) é chamada equação de uma reta que passa por um ponto dado perpendicular a um vetor dado .

O vetor n = (A; B) perpendicular à linha é chamado normal vetor normal desta linha .

A equação (10.8) pode ser reescrita como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

onde A e B são as coordenadas do vetor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - membro livre. Equação (10,9) é a equação geral de uma reta(ver Fig.2).

Fig.1 Fig.2

Equações canônicas da reta

,

Onde
são as coordenadas do ponto pelo qual a linha passa, e
- vetor de direção.

Curvas do círculo de segunda ordem

Um círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto dado, que é chamado de centro.

Equação canônica de um círculo de raio R centrado em um ponto
:

Em particular, se o centro da estaca coincidir com a origem, a equação ficará assim:

Elipse

Uma elipse é um conjunto de pontos em um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados e , que são chamados de focos, é um valor constante
, maior que a distância entre os focos
.

A equação canônica de uma elipse cujos focos estão no eixo Ox e cuja origem está no meio entre os focos tem a forma
G de uma o comprimento do semieixo maior; b é o comprimento do semieixo menor (Fig. 2).