Capítulo III. Curvas de segunda ordem

§ 40. Hipérbole.

Hipérboleé chamado de conjunto pontos planos, para cada um dos quais o módulo da diferença de distâncias a dois pontos dados do plano é constante e menos distância entre esses pontos.

Esses pontos são chamados truques hipérboles, e a distância entre elas é focal distância.

Denote os focos da hipérbole pelas letras F 1 e F 2 .
Deixe ser comprimento focal| F 1 F 2 | = 2 com.

Se M é um ponto arbitrário da hipérbole (Fig. 112), então, por definição da hipérbole, o módulo da diferença | F 1 M | - | F 2 M | constante. Denotando-o por 2 uma, Nós temos

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2 uma. (1)

Observe que, por definição de hipérbole 2 uma< 2com, ou seja uma< с .

A igualdade (1) é a equação de uma hipérbole.

Escolhemos um sistema de coordenadas para que o eixo das abcissas passe pelos focos da hipérbole; desenhe o eixo y pelo meio do segmento F 1 F 2 perpendicular a ele (Fig. 113).

Então os focos da hipérbole serão os pontos F 1 (- c; 0) e F2 ( c; 0).

Deixe m( X; no) é qualquer ponto da hipérbole, então

| F 1 M | = √( x+c) 2 + y 2 e | F 2 M | = √( x-c) 2 + y 2 .

Substituindo valores | F 1 M | e | F 2 M | na equação (1), obtemos

| √(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 | = 2uma. (2)

A equação que obtivemos é a equação de uma hipérbole no sistema de coordenadas escolhido. Esta equação pode ser reduzida a uma forma mais simples.

Deixe ser X > 0, então a equação (2) pode ser escrita sem o sinal de módulo como segue:

√(x+c) 2 + y 2 - √(x-c) 2 + y 2 = 2uma,

√(x+c) 2 + y 2 =2uma + √(x-c) 2 + y 2 (3)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade resultante:

(x + c) 2 + no 2 = 4uma 2 + 4uma √(x-c) 2 + y 2 + (x - c) 2 + no 2 .

Após simplificações e transformações apropriadas:

√(x-c) 2 + y 2 = c / uma x - um, (4)

(x - c) 2 + no 2 = (c / uma x - um) 2 ,

chegamos à equação

(5)

Por definição de hipérbole uma< com, É por isso com 2 - uma 2 - número positivo. Vamos denotar por b 2, ou seja, colocar b 2 = com 2 - uma 2. Então a equação (5) toma a forma

Dividido termo por termo em b 2, obtemos a equação

Se um X < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x-c) 2 + y 2 - √(x+c) 2 + y 2 = 2uma,

e da mesma forma que no caso X > 0 é convertido para a forma (6).

A equação (6) é chamada a equação canônica da hipérbole.

Comente. Quadrar ambas as partes das Eqs. (3) e (4) não violou a equivalência das equações. Ambas as partes da equação (3) são obviamente não negativas para todos os valores X e no. O lado esquerdo da equação (4) também é sempre não negativo. No X > uma parte direita a equação (4) é positiva, pois

c / uma x - um > c / uma um - um = c - um > 0

Assim, pontos estranhos podem aparecer apenas sob a condição 0 < X< а , mas da equação (6) segue que x 2 /uma 2 > 1, ou seja | x | > uma.

Tarefa 1. Escrever equação canônica hipérbole passando por um ponto
M (-5; 9/4) se a distância focal da hipérbole for 10.

Como |F 1 F 2 |= 10, então com= 5. Vamos escrever a equação canônica da hipérbole

Por condição, o ponto M (-5; 9/4) pertence à hipérbole, portanto,

A segunda equação para determinar uma 2 e b 2 dá a razão

b 2 = com 2 - uma 2 = 25 - uma 2 .

Tendo resolvido o sistema

encontrar uma 2 =16, b 2 = 9. A equação desejada será a equação

Tarefa 2. Prove que a equação

20x 2 - 29y 2 = 580

é a equação de uma hipérbole. Encontre as coordenadas dos truques.

Dividindo ambos os lados da equação por 580, temos

Esta é a equação hiperbólica para a qual uma 2 = 29, b 2 = 20.
Da relação c 2 = uma 2 + b 2 encontrar c 2 = 29 + 20 = 49, com= 7. Portanto, os focos da hipérbole estão nos pontos F 1 (-7; 0) e F 2 (7; 0).

1. Equação geral de curvas de segunda ordem.

Qualquer equação do segundo grau em relação a x e y, isto é, uma equação da forma

onde - dado coeficientes constantes, e
, define uma linha no plano, que normalmente é chamada de curva de segunda ordem. O contrário também é verdade. Existem quatro tipos de curvas de segunda ordem: círculo, elipse, hipérbole e parábola. Todos eles podem ser obtidos cortando um cone com um plano e, portanto, também são chamados de cavalos.

As equações de curva podem ser derivadas de suas propriedades geométricas como algum lugar geométrico de pontos que satisfaz certas condições.

2. Círculo. O círculo é chamado lugar geométrico pontos do plano equidistantes de um ponto dado, chamado centro.

Se r é o raio do círculo e o ponto C () é seu centro, então a equação do círculo tem a forma:

. (12.2)

Se o centro do círculo coincide com a origem, então a equação do círculo tem a forma canônica mais simples: .

Exemplo 14. Escreva uma equação para um círculo que passa pelos pontos
A(5; 0) e B(1; 4), se seu centro estiver na linha x - y - 3 = 0.

Encontre as coordenadas do ponto M - o meio da corda AB:

, isto é, M(3; 2).

O centro do círculo está na perpendicular restaurada a partir do meio do segmento AB. Vamos compor a equação da reta AB:

, ou x + y - 5 = 0.

A inclinação da linha AB é -1, daí a inclinação da perpendicular . Equação perpendicular

y - 2 \u003d 1 (x - 3), ou x - y - 1 \u003d 0.

O centro do círculo C está na linha x + y - 3 = 0 de acordo com a condição do problema, bem como na perpendicular x - y - 1 = 0, ou seja, as coordenadas do centro satisfazem o sistema de equações:

x - y - 3 = 0

x - y - 1 \u003d 0.

Daí x = 2, y = 1, e o ponto C(2; 1).

Raio do círculo igual ao comprimento segmento CA:

Equação do círculo: (x - 2) 2 + (y-1) 2 \u003d 10.

3. Elipse. Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano, cuja soma das distâncias a dois pontos dados, chamados focos, é um valor constante igual a maior que a distância entre os focos. A equação canônica de uma elipse é:

. (12.3)

Aqui - semi-eixo maior elipse, é o semieixo menor, e se a distância entre os focos é 2c, então . Valor é chamada de excentricidade da elipse e caracteriza a medida de compressão. Desde com< , то < 1. Расстояния от некоторой точки М, расположенной на эллипсе, до фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: .

Direto e são chamadas de diretrizes da elipse. Diretrizes de uma elipse têm a seguinte propriedade: se r é o vetor raio focal do ponto M, d é a distância deste ponto à diretriz unilateral com foco, então .

Exemplo15. Escreva uma equação para uma elipse cujos focos estão no eixo x, simétricos em relação à origem, sabendo que seu eixo maior é 8 e a distância entre as diretrizes é 16.

Pela condição do problema Equação da diretriz ; distância da diretriz , conseqüentemente ; como , então , ou seja, c = 2.

Como , então .

Equação da elipse: .

Nota: se na equação canônica de uma elipse , então os focos da elipse estão no eixo y e ; equações de diretriz: ; vetores de raio focal são determinados pelas fórmulas: .

Exemplo 16 Escreva uma equação para uma elipse cujos focos estão simetricamente no eixo y em relação à origem, sabendo que a distância entre os focos é 2c = 24, a excentricidade .

A equação canônica de uma elipse é: .

Pela condição do problema c = 12, já que , então , ou seja .

Como , então .

Equação da elipse: .

4. Hipérbole. Uma hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais valor absoluto a diferença de distâncias a dois pontos fixos do mesmo plano, chamados focos, é um valor constante igual a , menor que a distância entre os focos ( ).

A equação canônica de uma hipérbole tem a forma:

, (12.4)

Onde .

A hipérbole consiste em dois ramos e está localizada simetricamente em torno dos eixos coordenados. pontos e chamados vértices da hipérbole. Segmento de linha é chamado de eixo real da hipérbole, e o segmento pontos de conexão e , - eixo imaginário. Uma hipérbole tem duas assíntotas cujas equações são . Atitude é chamada de excentricidade da hipérbole. Em linha reta, dado por equações são chamadas de diretrizes de uma hipérbole. Raios focais vetores do ramo direito da hipérbole: .

Raios focais vetores do ramo esquerdo da hipérbole: .

A equação é também uma equação de uma hipérbole, mas o eixo real desta hipérbole é um segmento do eixo OY de comprimento . pontos e servem como vértices da hipérbole. Os ramos da hipérbole estão localizados na parte superior e inferior plano de coordenadas. Duas hipérboles e são chamadas de hipérboles conjugadas.

Exemplo17. A excentricidade da hipérbole é . Componha a equação mais simples de uma hipérbole que passa pelo ponto M( ).

Pela definição de excentricidade, temos , ou .

Mas , conseqüentemente . Como o ponto M( ) está em uma hipérbole, então . Daqui .

Assim, a equação da hipérbole desejada tem a forma: .

Exemplo 18. O ângulo entre as assíntotas da hipérbole é de 60°. Calcule a excentricidade da hipérbole.

Inclinação da assíntota da hipérbole
. Excentricidade de uma hipérbole
.

Substituindo valor inclinação, Nós temos

.

Exemplo 19. Escreva uma equação para uma hipérbole que passa por um ponto
M(9; 8) se as assíntotas da hipérbole são dadas pelas equações .

Da equação assíntota temos . Como o ponto M(9; 8) pertence à hipérbole, suas coordenadas satisfazem a equação da hipérbole, ou seja. .

Para encontrar os semieixos da hipérbole, temos o sistema:

Resolvendo o sistema, obtemos A equação desejada da hipérbole tem a forma: .

5. Parábola. Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano que são equidistantes de um determinado ponto, chamado foco, e de uma determinada linha, chamada diretriz. Se a diretriz é dada pela equação , e o foco está no ponto F(), então a equação da parábola tem a forma:

. (12.5)

Esta parábola está localizada simetricamente em torno do eixo x.

A equação é a equação de uma parábola simétrica em torno do eixo y.

O comprimento do vetor raio focal da parábola é determinado pela fórmula .

Exemplo 20. Componha a equação de uma parábola com um vértice na origem, simétrico em relação ao eixo OY e cortando uma corda de comprimento 8 na bissetriz do primeiro e do terceiro ângulos coordenados.

A equação da parábola desejada tem a forma .

Equação da bissetriz y \u003d x. Vamos definir os pontos de interseção da parábola e da bissetriz:

Tendo resolvido o sistema, obtemos O(0; 0) e M(2p; 2p).

Comprimento do acorde OM = .

Por condição, temos: OM \u003d 8, de onde 2p \u003d 8.

A equação da parábola desejada .

Equação do plano

NO Coordenadas cartesianas cada plano é definido por uma equação de primeiro grau nas incógnitas x, y e z, e cada equação de primeiro grau em três incógnitas define um plano.

Vamos pegar um vetor arbitrário com o início no ponto . Vamos derivar a equação do lugar geométrico dos pontos M(x, y, z), para cada um dos quais o vetor perpendicular ao vetor. Vamos escrever a condição de perpendicularidade dos vetores:

A equação resultante é linear em x, y, z, portanto, define um plano que passa pelo ponto perpendicular ao vetor . Vetor é chamado de vetor normal do plano. Expandindo os colchetes na equação do plano resultante e denotando o número
letra D, nós a representamos na forma:

Ax + By + Cz + D = 0. (13,2)

Essa equação é chamada a equação geral do plano. A, B, C e D são os coeficientes da equação, A 2 + B 2 + C 2 0.

1. Equações incompletas aviões.

Se na equação geral do plano um, dois ou três coeficientes são iguais a zero, então a equação do plano é chamada de incompleta. Podem se apresentar seguintes casos:

1) D = 0 - o plano passa pela origem;

2) A = 0 - o plano é paralelo ao eixo Ox;

3) B = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oy;

4) C = 0 - o plano é paralelo ao eixo Oz;

5) A = B = 0 - o plano é paralelo ao plano XOY;

6) A \u003d C \u003d 0 - o plano é paralelo ao plano XOZ;

7) B = C = 0 - o plano é paralelo ao plano YOZ;

8) A \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Ox;

9) B = D = 0 - o plano passa pelo eixo Oy;

10) C \u003d D \u003d 0 - o plano passa pelo eixo Oz;

11) A = B = D = 0 - o plano coincide com o plano XOY;

12) A = C = D = 0 - o plano coincide com o plano XOZ;

13) C \u003d B \u003d D \u003d 0 - o plano coincide com o plano YOZ.

2. Equação de um plano em segmentos.

Se na equação geral do plano D 0, então ela pode ser transformada na forma

, (13.3)

que é chamada de equação do plano em segmentos. - determinar o comprimento dos segmentos cortados pelo plano nos eixos de coordenadas.

3. Equação normal do plano.

A equação

Onde são os cossenos de direção do vetor normal do plano , chamado equação normal aviões. Para trazer a equação geral do plano para a forma normal, ela deve ser multiplicada pelo fator de normalização:
,

neste caso, o sinal na frente da raiz é escolhido a partir da condição .

Distância d do ponto ao plano é determinada pela fórmula: .

4. Equação de um plano que passa por três pontos

Vamos pegar um ponto arbitrário do plano M(x,y,z) e conectar o ponto M1 com cada um dos três restantes. Obtemos três vetores. Para que três vetores pertençam ao mesmo plano, é necessário e suficiente que sejam coplanares. A condição para a complanaridade de três vetores é a igualdade a zero de seus produto misto, ou seja

Escrevendo esta igualdade em termos das coordenadas dos pontos, obtemos a equação desejada:

. (13.5)

5. Ângulo entre planos.

Os planos podem ser paralelos, coincidentes ou se cruzam, formando ângulo diedro. Sejam dados dois planos equações gerais e . Para que os planos coincidam, é necessário que as coordenadas de qualquer ponto que satisfaça a primeira equação satisfaçam também a segunda equação.

Isso acontecerá se
.

Se um , então os planos são paralelos.

O ângulo formado por dois planos que se cruzam, igual ao ângulo formados por seus vetores normais. O cosseno do ângulo entre os vetores é determinado pela fórmula:

Se , então os planos são perpendiculares.

Exemplo 21. Escreva uma equação para um plano que passa por dois pontos e perpendicular ao plano.

Escrevemos a equação desejada em visão geral: . Como o plano deve passar pelos pontos e , as coordenadas dos pontos devem satisfazer a equação do plano. Substituindo as coordenadas dos pontos e , obtemos: e .

Da condição de perpendicularidade dos planos temos: . Vetor localizado no plano desejado e, portanto, perpendicular ao vetor normal: .

Combinando as equações obtidas, temos:

Resolvendo o sistema, temos: , , , .

A equação desejada tem a forma: .

A segunda maneira. vetor normal dado avião tem coordenadas . Vetor . O vetor normal do plano requerido é perpendicular ao vetor e o vetor , ou seja colinear ao produto vetorial . Calcular produto vetorial:
.

Vetor
. Vamos escrever a equação do plano que passa pelo ponto perpendicular ao vetor:

Ou a equação desejada.

Definição . Uma hipérbole é um lugar geométrico de pontos, a diferença de cada um deles para dois pontos dados, chamados focos, é um valor constante

Vamos tomar um sistema de coordenadas para que os focos estejam no eixo das abcissas, e a origem das coordenadas divide o segmento F 1 F 2 ao meio (Fig. 30). Denote F 1 F 2 = 2c. Então F1 (c; 0); F2 (-c; 0)

MF 2 \u003d r 2, MF 1 \u003d r 1 - raios focais hipérbole.

De acordo com a definição de uma hipérbole, r 1 - r 2 = const.

Vamos denotar por 2a

Então r 2 - r 1 = ±2a então:

=> equação canônica de uma hipérbole

Como a equação da hipérbole x e y está em potências pares, então se o ponto M 0 (x 0; y 0) está na hipérbole, então os pontos M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0; -y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Portanto, a hipérbole é simétrica em relação a ambos os eixos coordenados.

Quando y \u003d 0 x 2 \u003d a 2 x \u003d ± a. Os vértices da hipérbole serão os pontos A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. Devido à simetria, o estudo é realizado no primeiro trimestre

1) em
y tem um valor imaginário, daí os pontos da hipérbole com abcissas
não existe

2) em x = a; y \u003d 0 A 1 (a; 0) pertence a uma hipérbole

3) para x > a; y > 0. Além disso, com um aumento ilimitado em x, o ramo da hipérbole vai para o infinito.

Segue-se que uma hipérbole é uma curva que consiste em dois ramos infinitos.

P 6. Assíntotas de uma hipérbole

Considere junto com a equação
equação de linha reta

Para a curva ficará abaixo da linha reta (Fig. 31). Considere os pontos N (x, Y) e M (x, y) cujas abcissas são as mesmas e Y - y \u003d MN. Considere o comprimento do segmento MN

Vamos encontrar

Então, se o ponto M, movendo-se ao longo da hipérbole no primeiro trimestre, se afasta até o infinito, então sua distância da linha reta
diminui e tende a zero.

Devido à simetria, a linha reta tem a mesma propriedade.
.

Definição. Linhas diretas para as quais
a curva se aproxima indefinidamente são chamadas de assíntotas.

E
então, a equação das assíntotas da hipérbole
.

As assíntotas da hipérbole estão localizadas ao longo das diagonais de um retângulo, um lado do qual é paralelo ao eixo x e é igual a 2a, e o outro é paralelo ao eixo y e é igual a 2b, e o centro encontra-se na origem (Fig. 32).

P 7. Excentricidade e diretrizes de uma hipérbole

r 2 – r 1 = ± 2a sinal + refere-se ao ramo direito da hipérbole

sinal - refere-se ao ramo esquerdo da hipérbole

Definição. A excentricidade de uma hipérbole é a razão entre a distância entre os focos dessa hipérbole e a distância entre seus vértices.

. Como c > a, ε > 1

Expressamos os raios focais da hipérbole em termos da excentricidade:

Definição . Vamos chamar as linhas
, perpendicular ao eixo focal da hipérbole e localizado a uma distânciado seu centro pela diretriz da hipérbole correspondente aos focos direito e esquerdo.

T
como para hipérbole
consequentemente, as diretrizes da hipérbole estão localizadas entre seus vértices (Fig. 33). Vamos mostrar que a razão das distâncias de qualquer ponto da hipérbole ao foco e a diretriz correspondente é uma constante e igual a ε.

P. 8 Parábola e sua equação

O
definição. Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de um determinado ponto, chamado foco, e de uma determinada linha, chamada diretriz.

Para compor a equação de uma parábola, tomamos como eixo x uma linha reta que passa pelo foco F 1 perpendicular à diretriz e consideraremos o eixo x dirigido da diretriz ao foco. Para a origem das coordenadas, tomamos o ponto médio O do segmento do ponto F até a linha reta dada, cujo comprimento denotamos por p (Fig. 34). A quantidade p será chamada de parâmetro da parábola. Ponto de coordenada de foco
.

Seja M(x, y) um ponto arbitrário da parábola.

Por definição

no 2 = 2px é a equação canônica da parábola

Para determinar o tipo de parábola, transformamos sua equação
isso implica . Portanto, o vértice da parábola está na origem e o eixo de simetria da parábola é x. A equação y 2 \u003d -2px com p positivo é reduzida à equação y 2 \u003d 2px substituindo x por -x e seu gráfico se parece com (Fig. 35).

No
a equação x 2 \u003d 2py é a equação de uma parábola com um vértice no ponto O (0; 0) cujos ramos são direcionados para cima.

X
2 \u003d -2ru - a equação de uma parábola centrada na origem é simétrica em relação ao eixo y, cujos ramos são direcionados para baixo (Fig. 36).

Uma parábola tem um eixo de simetria.

Se x é elevado à primeira potência e y é elevado à segunda potência, então o eixo de simetria é x.

Se x é à segunda potência e y é à primeira potência, então o eixo de simetria é o eixo y.

Observação 1. A equação diretriz de uma parábola tem a forma
.

Observação 2. Uma vez que para uma parábola , entãoε parábola é 1.ε = 1 .

Dada a equação de uma elipse.

Decisão:

Escrevemos a equação da elipse na forma canônica:
.

Daqui
. Usando a relação
, nós achamos
. Conseqüentemente,
.

De acordo com a fórmula encontrar .

Equações de diretriz
parece
, a distância entre eles
.

De acordo com a fórmula
encontre a abcissa dos pontos, a distância da qual até o ponto igual a 12:

. Substituindo valor x na equação de uma elipse, encontramos as ordenadas desses pontos:

Assim, o ponto A(7;0) satisfaz a condição do problema.

Problema 56.

Escreva uma equação para uma elipse que passa pelos pontos.

Decisão:

Estamos procurando a equação da elipse na forma
.

Como a elipse passa pelos pontos
, então suas coordenadas satisfazem a equação da elipse:
. Multiplicando a segunda igualdade por (-4) e somando à primeira, encontramos
.

Substituindo o valor encontrado na primeira equação, encontramos
. Assim, a equação desejada
.

Problema 57.

;
.

Hipérbole

Hipérbole uma linha é chamada, consistindo em todos os pontos do plano, o módulo da diferença nas distâncias a partir do qual dois pontos dados e é um valor constante (diferente de zero e menor que a distância entre os pontos e ).

pontos e chamado truques hipérbole. Seja a distância entre os focos
. Módulo de distâncias de pontos de hipérbole a focos e denotar por . Por condição,
.

,

Onde
- coordenadas ponto arbitrário hipérbole,

.

A equação
chamado equação canônica hipérbole.

A hipérbole tem dois assíntotas
.

excentricidade hipérbole é chamado de número . Para qualquer hipérbole
.

Os raios focais de um ponto de hipérbole chamados os segmentos de linha que ligam este ponto com os focos e . Seus comprimentos e são dados pelas fórmulas:

Direto
são chamadas de diretrizes da hipérbole. Como no caso de uma elipse, os pontos de uma hipérbole são caracterizados pela relação .

Problema 58.

Encontre a distância entre os focos e a excentricidade da hipérbole
.

Responda:
.

Problema 59.

Escreva a equação canônica da hipérbole se (
). Determine a excentricidade da hipérbole.

Responda:
.

Problema 60.

Escreva a equação canônica de uma hipérbole simétrica em relação aos eixos coordenados se ela passa por um ponto
, e a excentricidade é
.

Responda:
.

Tarefa 61.

Encontre as equações de uma hipérbole cujos vértices estão nos focos e cujos focos estão nos vértices de uma elipse
.

Responda:
.

Problema 62.

Determine o lugar geométrico dos pontos
, as distâncias a partir da qual até a linha reta
metade do que antes do ponto
.

Responda:
.

Problema 63.

Escreva a equação de uma hipérbole simétrica em relação ao sistema de coordenadas se ela passa por pontos
,
.

Responda:
.

Tarefa 64.

Escreva uma equação para uma hipérbole se suas assíntotas são dadas pela equação
, e a hipérbole passa pelo ponto
.

Responda:
.

Problema 65.

Como estão localizados os pontos no plano, cujas coordenadas satisfazem as condições:

.

Parábola

parábola chamada de uma linha que consiste em todos os pontos do plano equidistantes de um ponto dado
(foco) e linha dada (diretores).

Para derivar a equação canônica da parábola, o eixo
passar pelo foco
perpendicular à diretriz na direção da diretriz para o foco; a origem das coordenadas é tomada no meio do segmento entre o foco
e ponto
interseção do eixo
com a diretora . Se denotado por distância de foco da diretriz, então
e a equação da diretriz ficará assim
.

No sistema de coordenadas escolhido, a equação da parábola tem a forma:
. Essa equação é chamada a equação canônica da parábola.