Multe dintre toate numere reale poate fi reprezentat ca unirea a trei mulțimi: o mulțime de numere pozitive, o mulțime de numere negative și o mulțime formată dintr-un număr - numărul zero. Pentru a indica că numărul A pozitiv, bucurați-vă de record a > 0, pentru a indica un număr negativ, utilizați o altă înregistrare A< 0 .

Suma și produsul numerelor pozitive sunt, de asemenea, numere pozitive. Dacă numărul A negativ, apoi numărul -A pozitiv (și invers). Pentru orice număr pozitiv a, există un pozitiv Numar rational r, ce r< а . Aceste fapte stau la baza teoriei inegalităților.

Prin definiție, inegalitatea a > b (sau echivalent, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, adică dacă numărul a - b este pozitiv.

Luați în considerare, în special, inegalitatea A< 0 . Ce înseamnă această inegalitate? Conform definiției de mai sus, înseamnă că 0 - a > 0, adică -a > 0 sau altfel ce numar -A pozitiv. Dar acesta este cazul dacă și numai dacă numărul A negativ. Deci inegalitatea A< 0 înseamnă că numărul dar negativ.

Deseori folosită este și notația ab(sau, care este același, ba).
Înregistrare ab, prin definiție, înseamnă că fie a > b, sau a = b. Dacă luăm în considerare intrarea ab ca propoziție nedefinită, apoi în notație logica matematica poate fi scris

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Exemplul 1 Sunt corecte inegalitățile 5 0, 0 0?

Inegalitatea 5 0 este enunț compus format din doi simple spuse legate printr-un conjunctiv logic „sau” (disjuncție). Fie 5 > 0, fie 5 = 0. Prima afirmație 5 > 0 este adevărată, a doua afirmație 5 = 0 este falsă. După definiția disjuncției, o astfel de afirmație compusă este adevărată.

Înregistrarea 00 este discutată în mod similar.

Inegalitățile de formă a > b, a< b vor fi numite stricte, iar inegalitățile de formă ab, ab- non-strict.

inegalităților a > bși c > d(sau A< b și cu< d ) se vor numi inegalități de același sens, și inegalități a > bși c< d - inegalităţi de sens opus. Rețineți că acești doi termeni (inegalități de același sens și de sens opus) se referă doar la forma de scriere a inegalităților, și nu la faptele în sine exprimate prin aceste inegalități. Deci, în raport cu inegalitatea A< b inegalitate cu< d este o inegalitate de același sens, și în scris d > c(însemnând același lucru) - o inegalitate de sens opus.

Alături de inegalităţile de formă a > b, ab sunt folosite așa-numitele inegalități duble, adică inegalități de formă A< с < b , as< b , A< cb ,
Acb. Prin definiție, intrarea

A< с < b (1)
înseamnă că ambele inegalități sunt valabile:

A< с și cu< b.

Inegalitățile au un sens similar acb, ac< b, а < сb.

Inegalitatea dublă (1) poate fi scrisă după cum urmează:

(A< c < b) [(a < c) & (c < b)]

și dubla inegalitate a ≤ c ≤ b poate fi scrisă sub următoarea formă:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Să trecem acum la prezentarea principalelor proprietăți și reguli ale acțiunilor privind inegalitățile, fiind de acord că în acest articol literele a, b, c reprezintă numere reale și nînseamnă un număr natural.

1) Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitate).

Dovada.

Întrucât după condiție a > bși b > c, apoi numerele a - bși b - c sunt pozitive și, prin urmare, numărul a - c \u003d (a - b) + (b - c), ca suma numerelor pozitive, este de asemenea pozitivă. Aceasta înseamnă, prin definiție, că a > c.

2) Dacă a > b, atunci pentru orice c inegalitatea a + c > b + c este valabilă.

Dovada.

La fel de a > b, apoi numărul a - b pozitiv. Prin urmare, numărul (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b este de asemenea pozitivă, adică
a + c > b + c.

3) Dacă a + b > c, atunci a > b - c, adică, orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen la opus.

Dovada rezultă din proprietatea 2) este suficientă pentru ambele părți ale inegalității a + b > c adăugați un număr - b.

4) Dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d, adică, prin adăugarea a două inegalități cu același sens, rezultă o inegalitate cu același sens.

Dovada.

Prin definiția inegalității, este suficient să arătăm că diferența
(a + c) - (b + c) pozitiv. Această diferență poate fi scrisă după cum urmează:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Deoarece prin condiţia numărului a - bși c - d sunt pozitive, atunci (a + c) - (b + d) este, de asemenea, un număr pozitiv.

Consecinţă. Regulile 2) și 4) implică următoarea regulă scăderea inegalităţilor: dacă a > b, c > d, apoi a - d > b - c(pentru demonstrație este suficient pentru ambele părți ale inegalității a + c > b + d adăugați un număr - c - d).

5) Dacă a > b, atunci pentru c > 0 avem ac > bc, iar pentru c< 0 имеем ас < bc.

Cu alte cuvinte, atunci când înmulțim ambele părți ale inegalității, nici una număr pozitiv semnul inegalității este păstrat (adică se obține o inegalitate de același sens) și atunci când este înmulțit cu un număr negativ semnul inegalității este inversat (adică se obține o inegalitate cu sens opus.

Dovada.

În cazul în care un a > b, apoi a - b este un număr pozitiv. Prin urmare, semnul diferenței ac-bc = taxi) se potrivește cu semnul numărului cu: dacă cu este un număr pozitiv, apoi diferența ac - bc pozitivă și deci ac > bc, si daca cu< 0 , atunci această diferență este negativă și, prin urmare bc - ac pozitiv, adică bc > ac.

6) Dacă a > b > 0 și c > d > 0, atunci ac > bd, adică, dacă toți termenii a două inegalități cu același sens sunt pozitivi, atunci înmulțirea termen cu termen a acestor inegalități are ca rezultat o inegalitate cu același sens.

Dovada.

Noi avem ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). La fel de c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, apoi ac - bd > 0, adică ac > bd.

Cometariu. Din dovada rezultă clar că condiția d > 0în formularea proprietății 6) este lipsită de importanță: pentru ca această proprietate să fie adevărată, este suficient ca condițiile a > b > 0, c > d, c > 0. Dacă (dacă inegalitățile a > b, c > d) numere a, b, c nu sunt toate pozitive, atunci inegalitatea ac > bd nu poate fi efectuată. De exemplu, când A = 2, b =1, c= -2, d= -3 avem a > b, c > d, dar inegalitatea ac > bd(adică -4 > -3) a eșuat. Astfel, cerința ca numerele a, b, c să fie pozitive în enunțul proprietății 6) este esențială.

7) Dacă a ≥ b > 0 și c > d > 0, atunci (împărțirea inegalităților).

Dovada.

Noi avem Numătorul fracției din partea dreaptă este pozitiv (vezi proprietățile 5), 6)), numitorul este și el pozitiv. Prin urmare,. Aceasta demonstrează proprietatea 7).

Cometariu. Remarcăm un important caz special regula 7) obţinută când a = b = 1: dacă c > d > 0, atunci. Astfel, dacă termenii inegalității sunt pozitivi, atunci când trecem la reciproce, obținem o inegalitate de sens opus. Invităm cititorii să verifice că această regulă este păstrată și în 7) Dacă ab > 0 și c > d > 0, atunci (diviziunea inegalităților).

Dovada. apoi.

Am demonstrat mai sus câteva proprietăți ale inegalităților scrise cu semnul > (Mai mult). Cu toate acestea, toate aceste proprietăți ar putea fi formulate folosind semnul < (mai puțin), din moment ce inegalitatea b< а înseamnă, prin definiție, același lucru cu inegalitatea a > b. Mai mult decât atât, deoarece este ușor de verificat, proprietățile dovedite mai sus sunt păstrate și pentru inegalitățile nestrictive. De exemplu, proprietatea 1) pentru inegalitățile nestricte va avea următoarea vedere: dacă ab și bc, apoi as.

Desigur, proprietățile generale ale inegalităților nu se limitează la ceea ce s-a spus mai sus. Incă mai este întreaga linie inegalităților vedere generala asociate cu luarea în considerare a puterii, exponențiale, logaritmice și funcții trigonometrice. Abordarea generală pentru scrierea acestor tipuri de inegalități este următoarea. Dacă unele funcţionează y = f(x) creste monoton pe segment [a, b], atunci pentru x 1 > x 2 (unde x 1 și x 2 aparțin acestui segment) avem f (x 1) > f(x 2). În mod similar, dacă funcția y = f(x) scade monoton pe segment [a, b], apoi la x 1 > x 2 (unde x 1și X 2 aparțin acestui segment) avem f(x1)< f(x 2 ). Desigur, ceea ce s-a spus nu diferă de definiția monotonității, dar această tehnică este foarte convenabilă pentru memorarea și scrierea inegalităților.

Deci, de exemplu, pentru orice n naturală funcția y = x n este monoton în creștere pe rază {0} {0} }