Subiectul acestui tutorial video va fi proprietățile mișcării, precum și traducerea paralelă. La începutul lecției, vom repeta din nou conceptul de mișcare, principalele sale tipuri - simetrie axială și centrală. După aceea, luăm în considerare toate proprietățile mișcării. Să analizăm conceptul de „transfer paralel”, la ce este folosit, să-i numim proprietățile.

Tema: Mișcarea

Lecția: Mișcarea. Proprietăți de mișcare

Să demonstrăm teorema: când se deplasează, segmentul trece în segment.

Să descifrăm formularea teoremei cu ajutorul fig. 1. Dacă capetele unui anumit segment MN în timpul mișcării sunt afișate în unele puncte M 1 și respectiv N 1, atunci orice punct P al segmentului MN va merge în mod necesar către un punct P 1 al segmentului M 1 N 1, și invers, la fiecare punct Q 1 al segmentului M 1 N 1 va fi afișat un punct Q al segmentului MN.

Dovada.

După cum se poate observa din figură, MN = MP + PN.

Lăsați punctul P să meargă la un punct P 1 "al planului. Din definiția mișcării rezultă că lungimile segmentelor sunt egale MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Din aceste egalități rezultă că M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, adică punctul Р 1 " aparține la segmentul M 1 N 1 și coincide cu punctul P 1, altfel în loc de egalitatea de mai sus, inegalitatea triunghiului M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 ar fi adevărată. Adică, am demonstrat că la deplasare, orice punct, orice punct P al segmentului MN va merge neapărat către un punct P 1 al segmentului M 1 N 1. A doua parte a teoremei (privind punctul Q 1) se demonstrează exact în același fel.

Teorema demonstrată este valabilă pentru orice mișcare!

Teorema: la mișcare, unghiul merge într-un unghi egal.

Să fie dat RAOB (Fig. 2). Și să fie dată o mișcare, în care vârful РО merge la punctul О 1 , iar punctele A și B - respectiv la punctele А 1 și В 1 .

Luați în considerare triunghiurile AOB și A 1 O 1 B 1 . Conform condiției teoremei, punctele A, O și B se deplasează la deplasarea către punctele A 1, O 1 și, respectiv, B 1. Prin urmare, există o egalitate de lungimi AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 și AB \u003d A 1 B 1. Astfel, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 pe trei laturi. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea unghiurilor corespunzătoare O și O 1.

Deci, orice mișcare păstrează unghiurile.

Din proprietățile de bază ale mișcării decurg o mulțime de consecințe, în special că orice figură în timpul mișcării este mapată pe o figură egală cu ea.

Luați în considerare un alt tip de mișcare - transferul paralel.

Transfer paralel pe un vector dat se numește o astfel de mapare a planului pe el însuși, în care fiecare punct M al planului merge la un astfel de punct M 1 din același plan care (Fig. 3).

Să demonstrăm asta traducerea paralelă este o mișcare.

Dovada.

Considera segment arbitrar MN (Fig. 4). Lăsați punctul M să se deplaseze către punctul M 1 în timpul transferului paralel și punctul N - către punctul N 1. În acest caz sunt îndeplinite condițiile transferului paralel: și . Luați în considerare un patrulater

MM 1 N 1 N. Cele două laturi opuse ale sale (MM 1 și NN 1) sunt egale și paralele, așa cum este dictat de condițiile de translație paralelă. Prin urmare, acest patrulater este un paralelogram conform unuia dintre semnele acestuia din urmă. Aceasta implică faptul că celelalte două laturi (MN și M 1 N 1) ale paralelogramului au lungimi egale, ceea ce urma să fie dovedit.

Astfel, transferul paralel este într-adevăr o mișcare.

Să rezumam. Suntem deja familiarizați cu trei tipuri de mișcare: simetria axială, simetrie centralăși transfer paralel. Am demonstrat că atunci când se deplasează, un segment trece într-un segment, iar un unghi într-un unghi egal. În plus, se poate demonstra că o linie dreaptă trece într-o linie dreaptă când se deplasează, iar un cerc trece într-un cerc de aceeași rază.

1. Atanasyan L. S. și alții.Geometrie clasele 7-9. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2010.

2. Farkov A. V. Teste de geometrie: nota 9. La manualul lui L. S. Atanasyan și alții - M.: Examen, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometrie, cont. pentru 7-11 celule. general inst. - M.: Iluminismul, 1995.

1. rusă portal educațional ().

2. Festivalul idei pedagogice « Lecție publică» ().

1. Atanasyan (vezi referințele), p. 293, § 1, pct. 114.

Teorema asupra mișcării centrului de masă.

În unele cazuri, pentru a determina natura mișcării unui sistem (în special a unui corp rigid), este suficient să cunoaștem legea mișcării centrului său de masă. De exemplu, dacă arunci o piatră într-o țintă, nu trebuie să știi deloc cum se va prăbuși în timpul zborului, este important să stabilești dacă va lovi ținta sau nu. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați în considerare mișcarea unui punct al acestui corp.

Pentru a găsi această lege, ne întoarcem la ecuațiile de mișcare ale sistemului și adăugăm părțile lor din stânga și din dreapta termen cu termen. Atunci obținem:

Să transformăm partea stângă a egalității. Din formula pentru vectorul rază al centrului de masă, avem:

Luând din ambele părți ale acestei egalități a doua derivată temporală și observând că derivata sumei este egală cu suma derivatelor, aflăm:

unde este accelerația centrului de masă al sistemului. Din moment ce, prin proprietatea de intern forțele sistemului, apoi, înlocuind toate valorile găsite, obținem în sfârșit:

Ecuația și exprimă teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului: produsul dintre masa sistemului și accelerația centrului său de masă este suma geometrică toate forțele externe care acționează asupra sistemului. Comparând cu ecuația de mișcare a unui punct material, obținem o altă expresie a teoremei: centrul de masă al sistemului se mișcă ca punct material, a cărui masă este egală cu masa întregului sistem și căruia i se aplică toate forțele externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând ambele părți ale egalității pe axele de coordonate, obținem:

Aceste ecuații sunt ecuații diferențiale de mișcare ale centrului de masăîn proiecţii pe axele sistemului de coordonate carteziene.

Semnificația teoremei demonstrate este următoarea.

1) Teorema oferă o justificare pentru metodele de dinamică a punctelor. Din ecuații se poate observa că soluțiile pe care le obținem, considerând corpul dat ca punct material, determină legea de mișcare a centrului de masă al acestui corp, acestea. au un sens foarte specific.

În special, dacă corpul se mișcă înainte, atunci mișcarea sa este complet determinată de mișcarea centrului de masă. Astfel, un corp în mișcare progresiv poate fi întotdeauna considerat un punct material cu o masă, egal cu masa corp. În alte cazuri, corpul poate fi considerat ca punct material doar atunci când, în practică, pentru a determina poziția corpului, este suficient să cunoaștem poziția centrului său de masă.

2) Teorema permite, la determinarea legii de mișcare a centrului de masă al oricărui sistem, să se excludă din considerare toate forțele interne necunoscute anterior. Aceasta este valoarea sa practică.

Deci mișcarea mașinii pe un plan orizontal poate avea loc numai sub acțiunea lui forțe externe, forțele de frecare care acționează asupra roților din marginea drumului. Și frânarea mașinii este posibilă și numai prin aceste forțe, și nu prin frecarea dintre plăcuțele de frână și tamburul de frână. Dacă drumul este neted, oricât de mult frânează roțile, acestea vor aluneca și nu vor opri mașina.

Sau după explozia unui proiectil zburător (sub acțiunea lui forțe interne) părți, fragmente din acesta, se vor împrăștia astfel încât centrul lor de masă se va deplasa pe aceeași traiectorie.

Teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic ar trebui utilizată pentru a rezolva probleme de mecanică care necesită:

În funcție de forțele aplicate unui sistem mecanic (cel mai adesea unui corp solid), determinați legea mișcării centrului de masă;

De legea dată mișcările corpurilor incluse în sistemul mecanic, găsiți reacțiile legăturilor externe;

În funcție de mișcarea reciprocă dată a corpurilor incluse în sistemul mecanic, determinați legea mișcării acestor corpuri în raport cu un cadru fix de referință.

Folosind această teoremă, poate fi compilată una dintre ecuațiile de mișcare ale unui sistem mecanic cu mai multe grade de libertate.

La rezolvarea problemelor se folosesc adesea consecințele teoremei asupra mișcării centrului de masă sistem mecanic.

Corolarul 1. Dacă vector principal forțe externe aplicate unui sistem mecanic, zero, atunci centrul de masă al sistemului este în repaus sau se mișcă uniform și rectiliniu. Deoarece accelerația centrului de masă este zero, .

Corolarul 2. Dacă proiecția vectorului principal al forțelor externe pe orice axă este egală cu zero, atunci centrul de masă al sistemului fie nu își schimbă poziția față de această axă, fie se mișcă uniform față de aceasta.

De exemplu, dacă două forțe încep să acționeze asupra corpului, formând o pereche de forțe (Fig. 38), atunci centrul de masă Cu se va deplasa pe aceeași traiectorie. Și corpul însuși se va roti în jurul centrului de masă. Și nu contează unde sunt aplicate câteva forțe.

Apropo, în statică am demonstrat că efectul unei perechi asupra unui corp nu depinde de locul în care se aplică. Aici am arătat că rotația corpului va fi în jurul axei centrale Cu.

Fig.38

Teorema privind modificarea momentului cinetic.

Momentul cinetic al unui sistem mecanic față de un centru fix O este o măsură a mișcării sistemului în jurul acestui centru. La rezolvarea problemelor, de obicei nu vectorul în sine este folosit, ci proiecțiile sale pe axele unui sistem de coordonate fix, care se numesc momente cinetice în jurul axei. De exemplu, - momentul cinetic al sistemului relativ la axa fixă Oz .

Momentul unui sistem mecanic este suma lui impuls puncte şi organe incluse în acest sistem. Luați în considerare modalități de a determina momentul unghiular punct materialși un corp solid diverse ocazii mișcările lor.

Pentru un punct material cu o masă având o viteză, momentul unghiular în jurul unei axe Oz este definit ca momentul vectorului moment al acestui punct în jurul axei selectate:

Momentul unghiular al unui punct este considerat pozitiv dacă, din partea direcției pozitive a axei, mișcarea punctului are loc în sens invers acelor de ceasornic.

Dacă un punct face o mișcare complexă, pentru a-și determina momentul unghiular, vectorul moment trebuie considerat ca suma cantităților de mișcări relative și portabile (Fig. 41)

Dar , unde este distanța de la punct la axa de rotație și

Orez. 41

A doua componentă a vectorului moment unghiular poate fi definită în același mod ca și momentul forței în jurul axei. În ceea ce privește momentul forței, valoarea este zero dacă vectorul viteză relativă se află în același plan cu axa de rotație de translație.

Momentul unui corp rigid față de un centru fix poate fi definit ca suma a două componente: prima dintre ele caracterizează partea de translație a mișcării corpului împreună cu centrul său de masă, a doua caracterizează mișcarea sistemului. în jurul centrului de masă:

Dacă corpul efectuează mișcare de translație, atunci a doua componentă este egală cu zero

Momentul cinetic al unui corp rigid este cel mai simplu calculat atunci când se rotește în jurul unei axe fixe

unde este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem mecanic atunci când acesta se mișcă în jurul unui centru fix este formulată după cum urmează: derivata în timp totală a vectorului momentului unghiular al unui sistem mecanic față de un centru fix Oîn mărime și direcție este egală cu momentul principal al forțelor externe aplicate sistemului mecanic, definit relativ la același centru

Unde - punctul principal toate forțele externe în jurul centrului O.

Când rezolvă probleme în care corpurile sunt considerate rotind în jurul unei axe fixe, ele folosesc teorema privind modificarea momentului unghiular în raport cu o axă fixă.

În ceea ce privește teorema privind mișcarea centrului de masă, teorema privind modificarea momentului unghiular are consecințe.

Corolarul 1. Dacă momentul principal al tuturor forțelor externe relativ la un centru fix este egal cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului mecanic față de acest centru rămâne neschimbat.

Corolarul 2. Dacă momentul principal al tuturor forțelor externe în jurul unei axe fixe este egal cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului mecanic în jurul acestei axe rămâne neschimbat.

Teorema schimbării impulsului este utilizată pentru rezolvarea problemelor în care se are în vedere mișcarea unui sistem mecanic, constând dintr-un corp central care se rotește în jurul unei axe fixe și unul sau mai multe corpuri, a căror mișcare este asociată cu cea centrală. se efectuează folosind fire, corpurile se pot deplasa de-a lungul suprafeței corpului central sau în canalele acestuia din cauza forțelor interne. Folosind această teoremă, se poate determina dependența legii de rotație a corpului central de poziția sau mișcarea corpurilor rămase.

Mișcările plane și proprietățile lor. Exemple de mișcare. Clasificarea mișcărilor. Grupul de mișcare. Aplicarea mișcării la rezolvarea problemelor

Mişcare- aceasta este o transformare a figurilor, în care se păstrează distanțele dintre puncte. Dacă două figuri sunt combinate exact între ele prin mișcare, atunci aceste cifre sunt aceleași, egale.

Mişcare este o transformare bijectivă φ a planului π, sub care pentru orice puncte diferite X, Y є π este îndeplinită relația XY  φ(X)φ(Y).

Proprietăți de mișcare:

1.Compoziție φ ◦ ψ doua miscari ψ , φ este o mișcare.

Doc-in: Lasă cifra F tradus prin miscare ψ într-o figură F ', și figura F ’ este tradus prin mișcare φ într-o figură F ''. Lasă punctul X cifre F merge la obiect X ’ forme F ’, iar în timpul celei de-a doua mișcări, punctul X ’ forme F ' merge la punct X '' forme F ''. Apoi transformarea figurii F într-o figură F '', la care un punct arbitrar X cifre F merge la obiect X '' forme F '', păstrează distanța dintre puncte și, prin urmare, este și o mișcare.

Înregistrarea cântecului începe întotdeauna de la ultima mișcare, pentru că rezultatul compoziției este imaginea finală - este pusă în conformitate cu originalul: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Dacă φ – mișcare, apoi transformare φ -1 este și o mișcare.

Doc-in: Lasă transformarea formei F într-o figură F ' se traduce diverse puncte cifre F în diferite puncte ale figurii F '. Să fie un punct arbitrar X cifre F sub această transformare ajunge la un punct X ’ forme F ’.

Transformarea formei F ' într-o figură F , la care punctul X ' merge la punct X , se numește transformarea inversă a datului . Pentru fiecare miscare φ este posibil să se definească mișcarea inversă, care se notează φ -1 .

Astfel, transformarea mișcare inversă, este și o mișcare.

Este evident că transformarea φ -1 satisface egalitățile: f◦f-1 = f-1◦f = ε , Unde ε este afișajul identic.

3. Asociativitatea compozițiilor: Fie φ 1 , φ 2 , φ 3 – mișcări voluntare. Atunci φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Faptul că alcătuirea mișcărilor are proprietatea asociativității ne permite să determinăm gradul φ cu indicator natural n .

Sa punem φ 1= φ și φ n +1= φ n◦ φ , dacă n≥ 1 . Astfel mișcarea φ n obtinut de n -multiplu aplicare consistentă miscarile φ .

4. Păstrarea dreptății: Punctele situate pe o singură linie dreaptă, la mișcare, trec în puncte situate pe o singură linie dreaptă, iar ordinea poziției lor relative este păstrată.

Aceasta înseamnă că dacă punctele A ,B ,C situat pe o singură linie dreaptă (astfel de puncte se numesc coliniare), mergeți la puncte A 1 ,B1 ,C1 , atunci aceste puncte se află și ele pe linie; dacă punct B se află între puncte A și C , apoi punctul B1 se află între puncte A 1 și C1 .

Doc. Lasă punctul B Drept AC se află între puncte A și C . Să demonstrăm că punctele A 1 ,B1 ,C1 culcați pe aceeași linie.

Dacă punctele A 1 ,B1 ,C1 nu stați pe o singură linie dreaptă, atunci ele sunt vârfurile unui triunghi A 1 B 1 C 1 . Asa de A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

După definiția mișcării, rezultă că AC <AB +î.Hr .

Cu toate acestea, prin proprietatea de a măsura segmentele AC =AB +î.Hr .

Am ajuns la o contradicție. Deci ideea B1 se află între puncte A 1 și C1 .

Să spunem ideea A 1 se află între puncte B1 , și C1 . Apoi A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , și, prin urmare AB +AC =î.Hr . Dar acest lucru este contrar egalității. AB +î.Hr =AC .

Astfel, punct A 1 nu se află între puncte B1 , și C1 .

Se poate dovedi în mod similar că ideea C1 nu poate sta între puncte A 1 și B1 . pentru că din trei puncte A 1 ,B1 ,C1 unul se află între alți doi, atunci acest punct nu poate fi decât B1 . Teorema este demonstrată complet.

Consecinţă. Când se deplasează, o linie dreaptă este mapată la o linie dreaptă, o rază la o rază, un segment la un segment și un triunghi la un triunghi egal.

Dacă notăm cu X mulțimea punctelor planului, iar cu φ(X) imaginea mulțimii X sub mișcarea lui φ, adică. multimea tuturor punctelor de forma φ(x), unde x є X, atunci putem da o formulare mai corecta a acestei proprietati:

Fie φ o mișcare, A, B, C trei puncte coliniare diferite.

Atunci punctele φ(A), φ(B), φ(C) sunt de asemenea coliniare.

Dacă l este o linie, atunci φ(l) este de asemenea o linie.

Dacă mulțimea X este o rază (segment, semiplan), atunci mulțimea φ(X) este și o rază (segment, semiplan).

5. La deplasare, unghiurile dintre grinzi sunt păstrate.

Doc. Lasa AB și AC - două raze emanate dintr-un punct A nu întins pe aceeași linie dreaptă. Când se deplasează, aceste raze se transformă în niște semilinii (raze) A 1 B 1 și A 1 C 1 . pentru că mișcarea păstrează distanțele, apoi triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt egale conform celui de-al treilea criteriu de egalitate a triunghiurilor (daca cele trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu cele trei laturi ale altui triunghi, atunci aceste triunghiuri sunt egale). Din egalitatea triunghiurilor decurge egalitatea unghiurilor BAC și B 1 A 1 C 1 , ceea ce urma să fie dovedit.

6. Orice mișcare păstrează co-direcția razelor și aceeași orientare a steagurilor.

Raze l A și livre numit co-directional(orientat similar, denumire: l A livre ) dacă una dintre ele este cuprinsă în cealaltă, sau dacă sunt combinate printr-un transfer paralel. SteagF = (π l , l o) este unirea semiplanului πlși fascicul uite.

Punct O - începutul steagului, bârnă uite începând cu punctul O - stâlp pentru steag πl - semiplan cu limită l .

Doc. Lasa φ - mişcarea voluntară l A livre -razele codirectionale cu origini in puncte DAR și LA respectiv. Să introducem notația: l A1 = φ (l A ), A 1 = φ (DAR ), l B1= φ (livre ),ÎN 1 = φ (DAR ).Dacă razele l A și livre se află pe aceeași linie dreaptă, apoi, în virtutea codirectivității, una dintre ele este cuprinsă în cealaltă. Având în vedere că l A  livre , primim φ (l A )  φ (livre ), adică l A1 l B1 (simbolul  denotă includerea sau egalitatea unui subset de elemente cu un set de elemente). l A, l B culca pe linii diferite, apoi lasa n = (AB Atunci există un astfel de semiplan n , ce l A, l B  n . De aici φ (l A ),φ (livre ) φ (n ). În măsura în care φ (n ) este un semiplan, iar limita sa conține puncte A 1 și ÎN 1 , primim din nou asta l A, l B co-regizat.

Să aplicăm mișcarea φ la steaguri orientate identic F= (π l ,l A ), G= (πm ,m B Luați în considerare cazul când punctele A și B Meci. Dacă drept l și m sunt diferite, atunci aceeași orientare a steagurilor înseamnă că fie (1) l A πm , m A  π'l sau (2) l A π' m ,m A  πl . Fără pierderea generalității, putem presupune că condiția (1) este îndeplinită. Apoi φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). Aceasta implică aceeași orientare a steagurilor φ (F ) și φ (G ).Dacă direct l ,m meci, atunci fie F=G sau F = G'. Rezultă că steagurile φ (F ) și φ (G ) sunt orientate în mod egal.

Lasă acum puncte A și B diferit. Notează prin n linie dreapta ( AB ). Este clar că există raze codirecționale N / A și nB si jumatate de avion n astfel încât steagul F 1 = (πn, nA ) este co-regizat cu F , și steagul G 1 = (π n , n B , ) este co-regizat cu G. Mijloace φ (F ) și φ (G ) sunt egal orientate.Se demonstrează teorema.

Exemple de mișcare:

1) translație paralelă - o astfel de transformare a unei figuri în care toate punctele figurii se mișcă în aceeași direcție la aceeași distanță.

2) simetria față de o dreaptă (simetrie axială sau oglindă). transformare σ cifre Fîntr-o figură F', unde fiecare dintre punctele sale X merge la obiect X', care este simetric față de linia dată l, se numește transformarea de simetrie față de dreapta l.În același timp, cifrele Fși F' numit simetric fata de dreapta l.

3) întoarceți punctul. Prin întoarcerea avionului ρ în jurul acestui punct O se numește o astfel de mișcare în care fiecare rază care emană din acest punct se rotește prin același unghi α în aceeași direcție

„Investigarea mișcărilor plane și a unor proprietăți ale acestora”. pagina 21 din 21

Investigarea mișcărilor avionului

și unele dintre proprietățile lor

Conţinut

Din istoria dezvoltării teoriei mișcărilor.

Definiția și proprietățile mișcărilor.

Congruența cifrelor.

Tipuri de mișcări.

4.1. Transfer paralel.

4.2. Întoarce-te.

4.3. Simetrie despre o linie dreaptă.

4.4. Simetrie de alunecare.

5. Studiul proprietăților speciale ale simetriei axiale.

6. Investigarea posibilității existenței altor tipuri de mișcări.

7. Teorema mobilității. Două tipuri de mișcări.

8. Clasificarea mișcărilor. Teorema lui Chall.

Mișcările ca grup de transformări geometrice.

Aplicarea mișcărilor în rezolvarea problemelor.

Literatură.

Istoria dezvoltării teoriei mișcărilor.

Primul care a început să demonstreze unele propoziții geometrice este considerat a fi matematicianul grec antic Thales din Milet(625-547 î.Hr.). Datorită lui Thales, geometria a început să se transforme dintr-un set de reguli practice într-o știință adevărată. Înainte de Thales, dovezile pur și simplu nu existau!

Cum și-a condus Thales dovezile? În acest scop, a folosit mișcări.

Mişcare - aceasta este o transformare a figurilor, în care se păstrează distanțele dintre puncte. Dacă două figuri sunt combinate exact între ele prin mișcare, atunci aceste cifre sunt aceleași, egale.

În acest fel, Thales a demonstrat câteva dintre primele teoreme ale geometriei. Dacă planul este rotit ca un întreg rigid în jurul unui punct O 180 o, fascicul OA va merge la continuarea lui OA ’ . Cu asa cotitură (numit si simetrie centrală centrat O ) fiecare punct DAR se deplasează la un punct DAR ’ , ce O este punctul de mijloc al segmentului AA ’ (Fig. 1).

Fig.1 Fig.2

Lasa O - vârf comun al colțurilor verticale AOB și DAR ’ OV ’ . Dar atunci este clar că atunci când se rotește cu 180°, laturile unuia dintre cele două unghiuri verticale vor trece doar pe laturile celuilalt, adică. aceste două colțuri sunt aliniate. Aceasta înseamnă că unghiurile verticale sunt egale (Fig. 2).

Demonstrând egalitatea unghiurilor de la baza unui triunghi isoscel, Thales a folosit simetrie axială : a combinat cele două jumătăți ale unui triunghi isoscel prin îndoirea desenului de-a lungul bisectoarei unghiului de la vârf (Fig. 3). În același mod, Thales a demonstrat că diametrul traversează cercul.

Fig.3 Fig.4

Thales aplicat și o altă mișcare - transfer paralel , la care toate punctele figurii sunt deplasate într-o anumită direcție cu aceeași distanță. Cu ajutorul lui, a demonstrat teorema care îi poartă acum numele:

dacă segmente egale sunt puse deoparte pe o parte a unghiului și linii paralele sunt trasate prin capetele acestor segmente până când se intersectează cu a doua latură a unghiului, atunci se vor obține și segmente egale pe cealaltă parte a unghiului.(Fig. 4).

În cele mai vechi timpuri, ideea de mișcare a fost folosită și de celebri Euclid, autorul „Începuturilor” – o carte care a supraviețuit mai bine de două milenii. Euclid a fost contemporan cu Ptolemeu I, care a domnit în Egipt, Siria și Macedonia între anii 305-283 î.Hr.

Mișcările au fost implicit prezente, de exemplu, în raționamentul lui Euclid la demonstrarea semnelor de egalitate a triunghiurilor: „Să impunem un triunghi altuia într-un fel și așa”. Potrivit lui Euclid, două figuri sunt numite egale dacă pot fi „combinate” prin toate punctele lor, adică. prin deplasarea unei figuri ca un întreg solid, se poate suprapune cu precizie pe o a doua figură. Pentru Euclid, mișcarea nu era încă un concept matematic. Sistemul de axiome expus pentru prima dată de el în „Principii” a devenit baza unei teorii geometrice numită Geometrie euclidiană.

În vremurile moderne, dezvoltarea disciplinelor matematice continuă. Geometria analitică a fost creată în secolul al XI-lea. Profesor de matematică la Universitatea din Bologna Bonaventure Cavalieri(1598-1647) publică eseul „Geometrie, enunţată într-un mod nou cu ajutorul continuului indivizibil”. Potrivit lui Cavalieri, orice figură plată poate fi considerată ca un set de linii paralele sau „urme” pe care o linie le lasă atunci când se deplasează paralel cu ea însăși. În mod similar, se dă o idee despre corpuri: ele se formează în timpul mișcării avioanelor.

Dezvoltarea ulterioară a teoriei mișcării este asociată cu numele matematicianului și istoricului științei francez. Michel Chall(1793-1880). În 1837, a publicat lucrarea „Revista istorică a originii și dezvoltării metodelor geometrice”. În procesul propriei cercetări geometrice, Schall demonstrează cea mai importantă teoremă:

fiecare mișcare de păstrare a orientării a unui plan este fie

translație sau rotație paralelă,

orice mișcare de schimbare a orientării a unui plan este fie axială

simetrie sau simetrie de alunecare.

Dovada teoremei lui Chall este realizată pe deplin în punctul 8 al acestui rezumat.

O îmbogățire importantă pe care geometria o datorează secolului al XIX-lea este crearea teoriei transformărilor geometrice, în special, a teoriei matematice a mișcărilor (deplasărilor). Până atunci, a fost nevoie de o clasificare a tuturor sistemelor geometrice existente. Această problemă a fost rezolvată de un matematician german Christian Felix Klein(1849-1925).

În 1872, asumându-și postul de profesor la Universitatea din Erlangen, Klein a ținut o prelegere despre „A Comparative Review of the Newest Geometric Researches”. Ideea propusă de el de a regândi întreaga geometrie pe baza teoriei mișcărilor a fost numită „Programul Erlangen”.

Potrivit lui Klein, pentru a construi o anumită geometrie, trebuie să specificați un set de elemente și un grup de transformări. Sarcina geometriei este de a studia acele relații dintre elementele care rămân invariante sub toate transformările unui grup dat. De exemplu, geometria lui Euclid studiază acele proprietăți ale figurilor care rămân neschimbate în timpul mișcării. Cu alte cuvinte, dacă o figură este obținută de la alta prin mișcare (astfel de figuri se numesc congruente), atunci aceste figuri au același proprietăți geometrice.

În acest sens, mișcările formează baza geometriei, iar cele cinci axiome de congruență sunt evidențiate de un grup independent în sistemul de axiome ale geometriei moderne. Acest sistem complet și destul de riguros de axiome, care rezumă toate studiile anterioare, a fost propus de matematicianul german David Gilbert(1862-1943). Sistemul său de douăzeci de axiome, împărțit în cinci grupuri, a fost publicat pentru prima dată în 1899 în cartea „Fundamentele geometriei”.

În 1909 un matematician german Friedrich Schur(1856-1932), urmând ideile lui Thales și Klein, a dezvoltat un alt sistem de axiome ale geometriei - bazat pe luarea în considerare a mișcărilor. În sistemul său, în special, în loc de grupul Hilbert de axiome de congruență, un grup de trei axiomele mișcării.

Tipurile și unele proprietăți importante ale mișcărilor sunt discutate în detaliu în acest eseu, dar pot fi exprimate pe scurt după cum urmează: mişcările formează un grup care defineşte şi determină geometria euclidiană.

Definiția și proprietățile mișcărilor.

Deplasând într-un fel fiecare punct al acestei figuri, se obține o nouă cifră. Se spune că această cifră este primită transformare din aceasta. Transformarea unei figuri în alta se numește mișcare dacă păstrează distanțele dintre puncte, adică. traduce oricare două puncte X și Y o formă pe punct X ’ și Y ’ altă cifră astfel încât X Y = X ’Y ’.

Definiție. Transformarea formei care păstrează distanța

între puncte se numește mișcarea acestei figuri.

! Cometariu: conceptul de mișcare în geometrie este legat de ideea obișnuită de deplasare. Dar dacă, vorbind despre deplasare, ne imaginăm un proces continuu, atunci în geometrie doar pozițiile inițiale și finale (imagine) ale figurii vor conta pentru noi. Această abordare geometrică diferă de cea fizică.

La mișcare, puncte diferite corespund imaginilor diferite și fiecărui punct X o cifră este pusă în corespondență cu singura punct X ’ altă figură. Acest tip de transformare se numește unu-la-unu sau bijectiv.

În ceea ce privește mișcările, în locul termenului „egalitatea” figurilor (linii drepte, segmente, plane etc.), se folosește termenul "congruenţă" iar simbolul este folosit  . Simbolul є este folosit pentru a desemna apartenența. Având în vedere acest lucru, putem da o definiție mai corectă a mișcării:

Mișcarea este o transformare bijectivă φ a planului π, sub care pentru oricare

diverse puncte X Y є π relatia X Y  φ (X ) φ (Y ).

Rezultatul executării succesive a două mișcări se numește compoziţie. Dacă mutarea se face mai întâi φ , urmată de mișcare ψ , atunci compoziția acestor mișcări se notează cu ψ ◦ φ .

Cel mai simplu exemplu de mișcare este afișarea identității (se obișnuiește să notăm - ε ), la care fiecare punct X , aparținând planului, acest punct în sine este comparat, adică. ε (X ) = X .

Să luăm în considerare câteva proprietăți importante ale mișcărilor.

C proprietate 1.

Lema 2. 1. Compoziţieφ ◦ ψ doua miscariψ , φ este o mișcare.

Dovada.

Lasă cifra F tradus prin miscare ψ într-o figură F ', și figura F ’ este tradus prin mișcare φ într-o figură F ''. Lasă punctul X cifre F merge la obiect X ’ forme F ’, iar în timpul celei de-a doua mișcări, punctul X ’ forme F ' merge la punct X '' forme F ''. Apoi transformarea figurii F într-o figură F '', la care un punct arbitrar X cifre F merge la obiect X '' forme F '', păstrează distanța dintre puncte și, prin urmare, este și o mișcare.

Rețineți că înregistrarea unei compoziții începe întotdeauna de la ultima mișcare, deoarece rezultatul compoziției este imaginea finală - este pusă în conformitate cu originalul:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C proprietate 2.

Lema 2.2 . În cazul în care unφ – mișcare, apoi transformareφ -1 este și o mișcare.

Dovada.

Lasă transformarea formei F într-o figură F ’ traduce diferitele puncte ale figurii F în diferite puncte ale figurii F '. Să fie un punct arbitrar X cifre F sub această transformare ajunge la un punct X ’ forme F ’.

Transformarea formei F ' într-o figură F , la care punctul X ' merge la punct X , se numește transformare inversă celei date. Pentru fiecare miscare φ este posibil să se definească mișcarea inversă, care se notează φ -1 .

Argumentând în mod similar cu demonstrația proprietății 1, putem verifica că o transformare inversă unei mișcări este și o mișcare.

Este evident că transformarea φ -1 satisface egalitățile:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , Unde ε este afișajul identic.

Proprietatea 3 (asociativitatea compoziţiilor).

Lema 2.3. Fie φ 1 , φ 2 , φ 3 - miscari voluntare. Atunci φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Faptul că alcătuirea mișcărilor are proprietatea asociativității ne permite să determinăm gradul φ cu un indicator natural n .

Sa punem φ 1 = φ și φ n+1 = φ n ◦ φ , dacă n ≥ 1 . Astfel mișcarea φ n obtinut de n -aplicarea secvenţială multiplă a mişcării φ .

C proprietate 4 (menținerea dreptății).

Teorema 2. 1. Punctele situate pe aceeași linie dreaptă, când se deplasează, trec în puncte,

Mişcare corpuri aflate sub influența gravitației

Lucrări de curs >> Fizică

Tipul traiectoriilor lor miscarile confirmă creșterea... aero- și hidrodinamică este studiu miscarile solideîn gaz şi ... frecare) este proprietate lichide reale rezista... butoi si avion braţele de orizont alcătuite niste injectie,...

Studiu distribuțiile de conductivitate electrică în undele de detonare supracomprimate în explozivii condensați

Lucrare de diploma >> Chimie

... cercetare electrofizică proprietăți... rezultate și lor analiza 2.1 ... produse de detonare in avion Chapman-Jouguet... vă permite să numărați mişcare electron semiclasic. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O niste erori sistematice cand se masoara conductivitatea...

Proprietăți materiale de inginerie (2)

Lucrari practice >> Industrie, productie

SECȚIUNEA I Oțeluri și aliaje de construcții Oțelurile de construcții sunt cele destinate fabricării pieselor de mașini (oțeluri pentru construcții de mașini), structuri și structuri (oțeluri pentru construcții). Oteluri structurale din carbon Oteluri structurale din carbon...

Mișcările păstrează distanțele și, prin urmare, păstrează toate proprietățile geometrice ale figurilor, deoarece acestea sunt determinate de distanțe. În acest moment, vom obține cel mai mult proprietăți generale mișcări, invocând dovezi în cazurile în care nu este evidentă.

Proprietatea 1. Trei puncte situate pe aceeași linie dreaptă, atunci când vă deplasați, intrați în trei puncte situate pe aceeași linie dreaptă și trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă, în trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă.

Lăsați mișcarea să traducă punctele în puncte, apoi egalitățile sunt valabile

Dacă punctele A, B, C se află pe aceeași linie dreaptă, atunci unul dintre ele, de exemplu, punctul B se află între celelalte două. În acest caz şi din egalităţi (1) rezultă că . Și această egalitate înseamnă că punctul B se află între punctele A și C. Prima afirmație este dovedită. A doua rezultă din prima și reversibilitatea mișcării (prin contradicție).

Proprietatea 2. Un segment se transformă în segment prin mișcare.

Fie ca capetele segmentului AB să fie asociate prin mișcarea f cu punctele A și B. Luați orice punct X al segmentului AB. Apoi, ca și în demonstrația proprietății 1, se poate stabili că imaginea sa - un punct se află pe segmentul AB între punctele A și B. În plus, fiecare punct

Y al segmentului A B este imaginea unui punct Y al segmentului AB. Și anume punctul Y, care este îndepărtat din punctul A la o distanță A Y. Prin urmare, segmentul AB este transferat prin mișcare către segmentul AB.

Proprietatea 3. Când se mișcă, o rază devine o rază, o linie dreaptă - într-o linie dreaptă.

Demonstrați singur aceste afirmații. Proprietatea 4. Un triunghi este transpus într-un triunghi prin mișcare, un semiplan într-un semiplan, un plan într-un plan, plane paralele- în planuri paralele.

Triunghiul ABC este umplut cu segmente care leagă vârful A cu punctele X partea opusă BC (Fig. 26.1). Mișcarea va atribui segmentului BC un anumit segment BC și punctului A - punctul A, care nu se află pe linia BC. Fiecărui segment AX, această mișcare îi va atribui un segment AX, unde punctul X se află pe BC. Toate aceste segmente AX vor umple triunghiul ABC.

Triunghiul intră în el

Un semiplan poate fi reprezentat ca o uniune de triunghiuri care se extind infinit, în care o parte se află la limita semiplanului

(Fig. 26.2). Prin urmare, semiplanul va trece la semiplan atunci când se mișcă.

În mod similar, un plan poate fi reprezentat ca o uniune de triunghiuri care se extind infinit (Fig. 26.3). Prin urmare, atunci când se deplasează, un avion este mapat pe un plan.

Deoarece mișcarea păstrează distanțele, distanțele dintre figuri nu se modifică atunci când se deplasează. De aici rezultă, în special, că în timpul mișcărilor plane paralele trec în altele paralele.

Proprietatea 5. La mișcare, imaginea unui tetraedru este un tetraedru, imaginea unui semi-spațiu este un semi-spațiu, imaginea unui spațiu este întregul spațiu.

Tetraedrul ABCD este uniunea segmentelor de dreaptă care leagă punctul D cu toate punctele posibile X triunghiul ABC(Fig. 26.4). Când se deplasează, segmentele sunt mapate pe segmente și, prin urmare, tetraedrul se va transforma într-un tetraedru.

Un semi-spațiu poate fi reprezentat ca o uniune de tetraedre în expansiune ale căror baze se află în planul limită al semi-spațiului. Prin urmare, la mișcare, imaginea unui semi-spațiu va fi un semi-spațiu.

Spațiul poate fi gândit ca o uniune de tetraedre care se extind infinit. Prin urmare, atunci când se deplasează, spațiul este mapat pe tot spațiul.

Proprietatea 6. La mișcare, unghiurile sunt păstrate, adică fiecare unghi este mapat pe un unghi de același tip și aceeași magnitudine. Același lucru este valabil și pentru unghiurile diedrice.

Când vă deplasați, un semiplan este mapat pe un semiplan. La fel de unghi convex este intersecția a două semiplane, iar un unghi neconvex și un unghi diedru sunt uniunea semiplanurilor, apoi atunci când se deplasează, unghiul convex trece într-un unghi convex, iar cel neconvex

unghi și, respectiv, unghi diedru, într-un unghi neconvex și diedru.

Fie mapate razele a și b, care emană din punctul O, pe razele a și b, care emană din punctul O. Luați triunghiul OAB cu vârfurile A pe raza a și B pe raza b (Fig. 26.5) . Va apărea pe triunghi egal BAB cu vârfurile A pe raza a și B pe raza b. Prin urmare, unghiurile dintre razele a, b și a, b sunt egale. Prin urmare, la mișcare, mărimile unghiurilor sunt păstrate.

În consecință, se păstrează perpendicularitatea dreptelor și, prin urmare, a dreptei și a planului. Amintind definițiile unghiului dintre o dreaptă și un plan și mărimile unghi diedru, constatăm că valorile acestor unghiuri sunt păstrate.

Proprietatea 7. Mișcările păstrează suprafețele și volumele corpurilor.

Într-adevăr, întrucât mișcarea păstrează perpendicularitatea, mișcarea înălțimii (triunghiuri, tetraedre, prisme etc.) se traduce în înălțimi (imaginile acestor triunghiuri, tetraedre, prisme etc.). În acest caz, lungimile acestor înălțimi vor fi păstrate. Prin urmare, zonele triunghiurilor și volumele tetraedrelor se păstrează în timpul mișcărilor. Aceasta înseamnă că atât zonele poligoanelor, cât și volumele poliedrelor vor fi păstrate. Se obtin zonele suprafetelor curbate si volumele corpurilor delimitate de astfel de suprafete tranziții limită pe zonele suprafeţelor poliedrice şi volumele corpurilor poliedrice. Prin urmare, ele sunt păstrate în timpul mișcărilor.