Notiz. Dieses Material enthält den Satz und seinen Beweis sowie eine Reihe von Aufgaben, die die Anwendung des Satzes auf die Winkelsumme eines konvexen Polygons an praktischen Beispielen veranschaulichen.

Konvexer Polygonwinkelsummensatz

.

Nachweisen.

Um den Satz über die Winkelsumme eines konvexen Polygons zu beweisen, verwenden wir den bereits bewiesenen Satz, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180 Grad beträgt.

Sei A 1 A 2... A n gegeben konvexes Vieleck, und n > 3. Zeichne alle Diagonalen des Polygons von der Ecke A 1. Sie teilen es in n – 2 Dreiecke: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Die Summe der Winkel des Polygons ist gleich der Summe der Winkel aller dieser Dreiecke. Die Summe der Winkel jedes Dreiecks beträgt 180°, und die Anzahl der Dreiecke ist (n - 2). Daher ist die Summe der Winkel eines konvexen n-Ecks A 1 A 2... A n 180° (n – 2).

Aufgabe.

In einem konvexen Polygon haben drei Winkel 80 Grad und der Rest 150 Grad. Wie viele Ecken hat ein konvexes Vieleck?

Entscheidung.

Der Satz sagt: Bei einem konvexen n-Eck beträgt die Winkelsumme 180°(n-2) .

Also für unseren Fall:

180(n-2)=3*80+x*150, wobei

3 Winkel von 80 Grad werden uns je nach Problemstellung gegeben, und die Anzahl der anderen Winkel ist uns noch unbekannt, daher bezeichnen wir ihre Anzahl mit x.

Aus der Eingabe auf der linken Seite haben wir jedoch die Anzahl der Ecken des Polygons als n bestimmt, da wir die Werte von drei davon aus der Bedingung des Problems kennen, ist es offensichtlich, dass x = n-3.

Die Gleichung sieht also so aus:

180(n-2)=240+150(n-3)

Wir lösen die resultierende Gleichung

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Antworten: 5 Spitzen

Aufgabe.

Wie viele Eckpunkte kann ein Polygon haben, wenn jeder Winkel kleiner als 120 Grad ist?

Entscheidung.

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir den Satz über die Winkelsumme eines konvexen Polygons.

Der Satz sagt: Bei einem konvexen n-Eck beträgt die Summe aller Winkel 180°(n-2) .

Daher ist es für unseren Fall notwendig, zunächst die Randbedingungen des Problems abzuschätzen. Das heißt, nehmen Sie an, dass jeder der Winkel gleich 120 Grad ist. Wir bekommen:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (wir werden diesen Ausdruck weiter unten gesondert betrachten)

Basierend auf der erhaltenen Gleichung schließen wir: Wenn die Winkel kleiner als 120 Grad sind, ist die Anzahl der Ecken des Polygons kleiner als sechs.

Erläuterung:

Basierend auf dem Ausdruck 180n - 120n = 360, vorausgesetzt, dass die subtrahierte rechte Seite kleiner als 120n ist, sollte die Differenz mehr als 60n betragen. Somit wird der Quotient der Teilung immer kleiner als sechs sein.

Antworten: die Anzahl der Polygonecken wird kleiner als sechs sein.

Aufgabe

Ein Polygon hat drei Winkel von 113 Grad, und der Rest ist einander und ihren gleich Grad messen- ganze Zahl. Finden Sie die Anzahl der Eckpunkte des Polygons.

Entscheidung.

Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir den Satz über die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks.

Der Satz sagt: Bei einem konvexen n-Eck beträgt die Summe aller Außenwinkel 360° .

Auf diese Weise,

3*(180-113)+(n-3)x=360

Die rechte Seite des Ausdrucks ist die Summe der Außenwinkel, auf der linken Seite ist die Summe der drei Winkel durch Bedingung bekannt und das Gradmaß des Rests (ihre Anzahl jeweils n-3, da drei Winkel sind bekannt) wird mit x bezeichnet.

159 wird nur in zwei Faktoren 53 und 3 zerlegt, und 53 ist eine Primzahl. Das heißt, es gibt keine anderen Faktorenpaare.

Somit ist n-3 = 3, n = 6, das heißt, die Anzahl der Ecken des Polygons ist sechs.

Antworten: sechs Ecken

Aufgabe

Beweisen Sie, dass ein konvexes Polygon höchstens drei haben kann scharfe Kanten.

Entscheidung

Wie Sie wissen, beträgt die Summe der Außenwinkel eines konvexen Polygons 360 0 . Beweisen wir durch Widerspruch. Wenn ein konvexes Polygon mindestens vier Spitz hat innere Ecken, daher gibt es unter seinen Außenwinkeln mindestens vier stumpfe, was impliziert, dass die Summe aller Außenwinkel des Polygons größer als 4*90 0 = 360 0 ist. Wir haben einen Widerspruch. Die Behauptung ist bewiesen.

Die Summe der Winkel eines n-Eck-Satzes. Die Summe der Winkel eines konvexen n-Ecks ist 180 o (n-2). Nachweisen. Von einer Ecke eines konvexen n-Ecks ziehen wir alle seine Diagonalen. Dann zerfällt das n-Eck in n-2 Dreiecke. In jedem Dreieck beträgt die Summe der Winkel 180°, und diese Winkel bilden die Winkel des n-Ecks. Daher ist die Summe der Winkel eines n-Ecks 180 o (n-2).

Die zweite Beweismethode Theorem. Die Summe der Winkel eines konvexen n-Ecks ist 180 o (n-2). Beweis 2. Sei O einige innerer Punkt konvexes n-Eck A 1 …A n. Verbinden Sie es mit den Eckpunkten dieses Polygons. Dann wird das n-Eck in n Dreiecke geteilt. In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme 180°. Diese Winkel bilden die Winkel des n-Ecks und weitere 360 ​​o. Daher ist die Summe der Winkel eines n-Ecks 180 o (n-2).

Aufgabe 3 Beweisen Sie, dass die Summe der Außenwinkel eines konvexen n-Ecks 360° beträgt. Nachweisen. Der Außenwinkel eines konvexen Polygons beträgt 180° minus dem entsprechenden Innenwinkel. Daher ist die Summe der Außenwinkel eines konvexen n-Ecks 180° minus der Summe der Innenwinkel. Da die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Ecks 180 o (n-2) ist, ist die Summe der Außenwinkel 180 o n o (n-2) = 360 o.

Aufgabe 4 Was sind die Winkel eines regelmäßigen: a) Dreiecks; b) Viereck; c) ein Fünfeck; d) Sechseck; e) ein Achteck; e) Zehneck; g) ein Zwölfeck? Antwort: a) 60 Uhr b) 90 Uhr c) 108 Uhr d) 120 Uhr e) 135 o f) 144 o g) 150 o

Übung 12* Was größte Zahl Kann ein konvexes n-Eck scharfe Ecken haben? Entscheidung. Da die Summe der Außenwinkel eines konvexen Polygons 360° beträgt, kann ein konvexes Polygon nicht mehr als drei haben stumpfe Ecken, daher kann es nicht mehr als drei innere spitze Winkel haben. Antworten. 3.

Diese geometrischen Formen umgeben uns überall. Konvexe Polygone sind natürlich, wie Waben, oder künstlich (künstlich). Diese Zahlen werden in der Produktion verwendet verschiedene Sorten Beschichtungen, in der Malerei, Architektur, Dekoration usw. Konvexe Polygone haben die Eigenschaft, dass alle ihre Punkte auf derselben Seite einer Linie liegen, die durch ein Paar benachbarter Eckpunkte dieser Linie verläuft. geometrische Figur. Es gibt auch andere Definitionen. Ein Polygon heißt konvex, wenn es in Bezug auf eine beliebige Gerade, die eine seiner Seiten enthält, in einer einzigen Halbebene liegt.

Im Zuge der elementaren Geometrie werden immer nur einfache Polygone betrachtet. Um alle Eigenschaften solcher zu verstehen, ist es notwendig, ihre Natur zu verstehen. Zunächst sollte klar sein, dass jede Linie als geschlossen bezeichnet wird, deren Enden zusammenfallen. Darüber hinaus kann die von ihm gebildete Figur eine Vielzahl von Konfigurationen haben. Ein Polygon ist eine einfache geschlossene unterbrochene Linie, bei der benachbarte Verbindungen nicht auf derselben geraden Linie liegen. Seine Verbindungen und Eckpunkte sind jeweils die Seiten und Eckpunkte dieser geometrischen Figur. Eine einfache Polylinie darf keine Selbstüberschneidungen haben.

Die Eckpunkte eines Polygons heißen benachbart, wenn sie die Enden einer seiner Seiten darstellen. Eine geometrische Figur, die hat nte Zahl Ecken, und daher nte Menge Seiten nennt man ein n-Eck. Die unterbrochene Linie selbst wird als Rand oder Kontur dieser geometrischen Figur bezeichnet. Eine polygonale Ebene oder ein flaches Polygon wird als Endteil einer von ihr begrenzten Ebene bezeichnet. Die angrenzenden Seiten dieser geometrischen Figur werden Segmente einer unterbrochenen Linie genannt, die von einem Scheitelpunkt ausgeht. Sie sind nicht benachbart, wenn sie von verschiedenen Scheitelpunkten des Polygons kommen.

Andere Definitionen von konvexen Polygonen

In der elementaren Geometrie gibt es mehrere äquivalente Definitionen, die angeben, welches Polygon als konvex bezeichnet wird. Darüber hinaus all diese Ausdrücke den gleichen Grad sind wahr. Ein konvexes Polygon ist eines, das hat:

Jedes Liniensegment, das zwei beliebige Punkte darin verbindet, liegt vollständig darin;

Alle seine Diagonalen liegen darin;

Jeder Innenwinkel überschreitet 180° nicht.

Ein Polygon teilt eine Ebene immer in 2 Teile. Einer von ihnen ist begrenzt (er kann in einen Kreis eingeschlossen werden), und der andere ist unbegrenzt. Der erste wird als innerer Bereich und der zweite als äußerer Bereich dieser geometrischen Figur bezeichnet. Dieses Polygon ist ein Schnittpunkt (mit anderen Worten ein gemeinsames Bauteil) mehrerer Halbebenen. Außerdem gehört jedes Segment, das an Punkten endet, die zum Polygon gehören, vollständig zu diesem.

Sorten von konvexen Polygonen

Die Definition eines konvexen Polygons weist nicht darauf hin, dass es viele Arten davon gibt. Und jeder von ihnen hat bestimmte Kriterien. Konvexe Polygone mit einem Innenwinkel von 180° heißen also schwach konvex. Eine konvexe geometrische Figur mit drei Eckpunkten wird als Dreieck bezeichnet, vier - ein Viereck, fünf - ein Fünfeck usw. Jedes der konvexen n-Ecke entspricht dem Folgenden Grundvoraussetzung: n muss gleich oder größer als 3 sein. Jedes der Dreiecke ist konvex. Geometrische Figur dieser Art, bei dem alle Ecken auf demselben Kreis liegen, heißt in den Kreis einbeschrieben. Ein konvexes Vieleck heißt umschrieben, wenn alle seine Seiten in der Nähe des Kreises es berühren. Zwei Polygone heißen nur dann gleich, wenn sie durch Superposition überlagert werden können. Flaches Polygon eine sogenannte polygonale Ebene (Teil der Ebene), die durch diese geometrische Figur begrenzt ist.

Regelmäßige konvexe Polygone

Regelmäßige Polygone sind geometrische Formen mit gleiche Winkel und Partys. In ihnen befindet sich ein Punkt 0, der von jedem seiner Eckpunkte den gleichen Abstand hat. Es wird das Zentrum dieser geometrischen Figur genannt. Die Segmente, die das Zentrum mit den Eckpunkten dieser geometrischen Figur verbinden, werden Apotheme genannt, und diejenigen, die den Punkt 0 mit den Seiten verbinden, werden Radien genannt.

Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat. rechtwinkliges Dreieck gleichseitig genannt. Für solche Figuren gilt folgende Regel: Jeder Winkel eines konvexen Polygons ist 180° * (n-2)/ n,

wobei n die Anzahl der Ecken dieser konvexen geometrischen Figur ist.

Der Bereich von jedem regelmäßiges Vieleck bestimmt durch die Formel:

wobei p gleich der Hälfte der Summe aller Seiten des gegebenen Polygons ist und h gleich der Länge des Apothems ist.

Eigenschaften konvexer Polygone

Konvexe Polygone haben bestimmte Eigenschaften. Darin befindet sich also zwangsläufig ein Segment, das 2 beliebige Punkte einer solchen geometrischen Figur verbindet. Nachweisen:

Angenommen, P ist ein gegebenes konvexes Polygon. Wir nehmen 2 willkürliche Punkte, zum Beispiel A, B, die zu R gehören. By bestehende Definition eines konvexen Polygons liegen diese Punkte auf einer Seite der Geraden, die eine beliebige Seite P enthält. Daher hat auch AB diese Eigenschaft und ist in P enthalten. Ein konvexes Polygon kann immer durch absolut alle Diagonalen in mehrere Dreiecke geteilt werden von einem seiner Eckpunkte gezogen.

Winkel konvexer geometrischer Formen

Die Ecken eines konvexen Polygons sind die Ecken, die von seinen Seiten gebildet werden. Die Innenecken sind drin innere Region diese geometrische Figur. Der Winkel, der durch seine Seiten gebildet wird, die an einer Ecke zusammenlaufen, wird als Winkel eines konvexen Polygons bezeichnet. mit Innenwinkeln einer gegebenen geometrischen Figur werden als Außenwinkel bezeichnet. Jede Ecke eines konvexen Polygons, die sich darin befindet, ist gleich:

wobei x der Wert des Außenwinkels ist. Das einfache Formel gilt für alle geometrischen Formen dieses Typs.

BEIM Allgemeiner Fall, für Außenecken gibt es folgende Regel: Jeder Winkel eines konvexen Vielecks ist gleich der Differenz zwischen 180° und dem Wert des Innenwinkels. Er kann Werte von -180° bis 180° annehmen. Wenn also der Innenwinkel 120° beträgt, beträgt der Außenwinkel 60°.

Summe der Winkel konvexer Polygone

Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons wird durch die Formel bestimmt:

wobei n die Anzahl der Ecken des n-Ecks ist.

Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons lässt sich recht einfach berechnen. Betrachten Sie eine solche geometrische Figur. Um die Winkelsumme innerhalb eines konvexen Polygons zu bestimmen, muss einer seiner Eckpunkte mit anderen Eckpunkten verbunden werden. Als Ergebnis dieser Aktion werden (n-2) Dreiecke erhalten. Wir wissen, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks immer 180° beträgt. Da ihre Anzahl in jedem Polygon (n-2) ist, ist die Summe der Innenwinkel einer solchen Figur 180° x (n-2).

Die Summe der Winkel eines konvexen Polygons, nämlich zweier beliebiger Innen- und benachbarter Außenwinkel, für eine gegebene konvexe geometrische Figur wird immer 180° sein. Auf dieser Grundlage können Sie die Summe aller seiner Winkel bestimmen:

Die Summe der Innenwinkel beträgt 180° * (n-2). Auf dieser Grundlage wird die Summe aller Außenwinkel einer bestimmten Figur durch die Formel bestimmt:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks beträgt immer 360° (unabhängig von der Seitenzahl).

Der Außenwinkel eines konvexen Vielecks wird im Allgemeinen durch die Differenz zwischen 180° und dem Innenwinkel dargestellt.

Andere Eigenschaften eines konvexen Polygons

Zusätzlich zu den grundlegenden Eigenschaften dieser geometrischen Formen haben sie andere, die sich ergeben, wenn man sie manipuliert. Jedes der Polygone kann also in mehrere konvexe n-Ecke unterteilt werden. Dazu ist es notwendig, jede seiner Seiten fortzusetzen und diese geometrische Figur entlang dieser geraden Linien zu schneiden. Es ist auch möglich, ein beliebiges Polygon so in mehrere konvexe Teile zu teilen, dass die Scheitelpunkte jedes Teils mit allen seinen Scheitelpunkten zusammenfallen. Aus einer solchen geometrischen Figur lassen sich Dreiecke sehr einfach herstellen, indem man alle Diagonalen von einem Eckpunkt aus zeichnet. Somit kann jedes Polygon schließlich in eine bestimmte Anzahl von Dreiecken unterteilt werden, was sich beim Lösen als sehr nützlich erweist mehrere Aufgaben mit solchen geometrischen Formen verbunden.

Umfang eines konvexen Polygons

Die Segmente einer unterbrochenen Linie, die als Seiten eines Polygons bezeichnet werden, werden am häufigsten durch die folgenden Buchstaben angezeigt: ab, bc, cd, de, ea. Dies sind die Seiten einer geometrischen Figur mit den Ecken a, b, c, d, e. Die Summe der Längen aller Seiten dieses konvexen Polygons wird als Umfang bezeichnet.

Polygonkreis

Konvexe Polygone können eingeschrieben und umschrieben werden. Ein Kreis, der alle Seiten dieser geometrischen Figur berührt, wird darin eingeschrieben genannt. Ein solches Polygon heißt umschrieben. Der Mittelpunkt eines Kreises, der einem Polygon einbeschrieben ist, ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller Winkel innerhalb einer gegebenen geometrischen Figur. Die Fläche eines solchen Polygons ist:

wobei r der Radius des Inkreises und p der Halbumfang des gegebenen Polygons ist.

Ein Kreis, der die Eckpunkte eines Vielecks enthält, heißt umschrieben. Darüber hinaus wird diese konvexe geometrische Figur als eingeschrieben bezeichnet. Der Mittelpunkt des Kreises, der um ein solches Polygon umschrieben wird, ist der Schnittpunkt der sogenannten Mittelsenkrechten aller Seiten.

Diagonalen konvexer geometrischer Formen

Die Diagonalen eines konvexen Polygons sind Liniensegmente, die sich verbinden benachbarte Eckpunkte. Jeder von ihnen liegt innerhalb dieser geometrischen Figur. Die Anzahl der Diagonalen eines solchen n-Ecks wird durch die Formel bestimmt:

N = n (n - 3) / 2.

Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons ist wichtige Rolle in der Elementargeometrie. Die Anzahl der Dreiecke (K), in die jedes konvexe Polygon unterteilt werden kann, wird nach folgender Formel berechnet:

Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen Polygons hängt immer von der Anzahl seiner Ecken ab.

Teilen eines konvexen Polygons

In einigen Fällen zu lösen geometrische Probleme Es ist notwendig, ein konvexes Polygon in mehrere Dreiecke mit sich nicht schneidenden Diagonalen aufzuteilen. Dieses Problem kann durch Herleitung einer bestimmten Formel gelöst werden.

Definition des Problems: Nennen wir eine korrekte Aufteilung eines konvexen n-Ecks in mehrere Dreiecke durch Diagonalen, die sich nur an den Eckpunkten dieser geometrischen Figur schneiden.

Lösung: Angenommen, dass Р1, Р2, Р3 …, Pn Ecken dieses n-Ecks sind. Die Zahl Xn ist die Zahl ihrer Partitionen. Betrachten wir sorgfältig die resultierende Diagonale der geometrischen Figur Pi Pn. In jeder der regulären Partitionen gehört P1 Pn zu einem bestimmten Dreieck P1 Pi Pn, das 1 hat

Sei i = 2 eine Gruppe regulärer Partitionen, die immer die Diagonale Ð2 Pn enthalten. Die Anzahl der darin enthaltenen Partitionen stimmt mit der Anzahl der Partitionen des (n-1)-Ecks Р2 Р3 Р4… Pn überein. Mit anderen Worten, es ist gleich Xn-1.

Wenn i = 3, enthält diese andere Partitionsgruppe immer die Diagonalen P3 P1 und P3 Pn. In diesem Fall stimmt die Anzahl der in dieser Gruppe enthaltenen regulären Partitionen mit der Anzahl der Partitionen des (n-2)-Ecks Ð3 Ð4… Pn überein. Mit anderen Worten, es wird gleich Xn-2 sein.

Sei i = 4, dann enthält eine reguläre Partition unter den Dreiecken sicherlich ein Dreieck P1 P4 Pn, an das sich das Viereck P1 P2 P3 P4, (n-3)-Eck P4 P5 ... Pn anschließt. Die Anzahl der regulären Partitionen eines solchen Vierecks ist X4, und die Anzahl der Partitionen eines (n-3)-Ecks ist Xn-3. Basierend auf dem Vorhergehenden können wir sagen, dass die Gesamtzahl der in dieser Gruppe enthaltenen korrekten Partitionen Xn-3 X4 ist. Andere Gruppen, für die i = 4, 5, 6, 7 … sind, enthalten Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … reguläre Partitionen.

Sei i = n-2, dann ist die Anzahl der korrekten Partitionen in dieser Gruppe gleich der Anzahl der Partitionen in der Gruppe, in der i = 2 (mit anderen Worten gleich Xn-1).

Da X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, dann ist die Anzahl aller Partitionen eines konvexen Polygons gleich:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Die Anzahl der regulären Partitionen, die eine Diagonale im Inneren schneiden

Bei der Überprüfung von Spezialfällen kann man zu der Annahme kommen, dass die Anzahl der Diagonalen konvexer n-Ecke gleich dem Produkt aller Teilungen dieser Figur durch (n-3) ist.

Beweis dieser Annahme: Stellen Sie sich vor, dass P1n = Xn * (n-3), dann kann jedes n-Eck in (n-2)-Dreiecke unterteilt werden. Außerdem kann man aus ihnen ein (n-3)-Viereck zusammensetzen. Außerdem hat jedes Viereck eine Diagonale. Da in dieser konvexen geometrischen Figur zwei Diagonalen gezeichnet werden können, bedeutet dies, dass zusätzliche (n-3) Diagonalen in beliebige (n-3)-Vierecke gezeichnet werden können. Daraus können wir schließen, dass es in jeder regulären Partition möglich ist, (n-3)-Diagonalen zu zeichnen, die die Bedingungen dieses Problems erfüllen.

Bereich konvexer Polygone

Bei der Lösung verschiedener Probleme der Elementargeometrie muss häufig die Fläche eines konvexen Polygons bestimmt werden. Angenommen (Xi. Yi), i = 1,2,3… n ist die Folge der Koordinaten aller benachbarten Eckpunkte eines Polygons, das keine Selbstüberschneidungen hat. In diesem Fall wird seine Fläche nach folgender Formel berechnet:

S = ½ (∑ (X ich + X ich + 1) (Y ich + Y ich + 1)),

wobei (X 1, Y 1) = (X n + 1, Y n + 1).

Im Grundkurs Geometrie wird bewiesen, dass die Winkelsumme eines konvexen n-Ecks 180° (n-2) beträgt. Es stellt sich heraus, dass diese Aussage auch für nicht konvexe Polygone gilt.

Satz 3. Die Summe der Winkel eines beliebigen n-Ecks ist 180° (n - 2).

Nachweisen. Teilen wir das Polygon in Dreiecke, indem wir Diagonalen zeichnen (Abb. 11). Die Anzahl solcher Dreiecke ist n-2, und in jedem Dreieck beträgt die Summe der Winkel 180°. Da die Winkel der Dreiecke die Winkel des Vielecks sind, beträgt die Summe der Winkel des Vielecks 180° (n - 2).

Betrachten wir nun beliebige geschlossene gestrichelte Linien, möglicherweise mit Selbstschnittpunkten A1A2…AnA1 (Abb. 12, a). Solche sich selbst schneidenden unterbrochenen Linien werden als sternförmige Polygone bezeichnet (Fig. 12, b-d).

Lassen Sie uns die Zählrichtung der Winkel gegen den Uhrzeigersinn festlegen. Beachten Sie, dass die von einer geschlossenen Polylinie gebildeten Winkel von der Richtung abhängen, in der sie durchlaufen wird. Wenn die Richtung der Umgehung der Polylinie umgekehrt wird, sind die Winkel des Polygons die Winkel, die die Winkel des ursprünglichen Polygons bis zu 360° ergänzen.

Wenn M ein Polygon ist, das durch eine einfache geschlossene gestrichelte Linie gebildet wird, die im Uhrzeigersinn verläuft (Abb. 13, a), beträgt die Summe der Winkel dieses Polygons 180 ° (n - 2). Wenn die gestrichelte Linie gegen den Uhrzeigersinn passiert wird (Abb. 13, b), beträgt die Winkelsumme 180 ° (n + 2).

Somit hat die allgemeine Formel für die Summe der Winkel eines Polygons, das durch eine einfache geschlossene Polylinie gebildet wird, die Form = 180 ° (n 2), wobei die Summe der Winkel ist, n die Anzahl der Winkel des Polygons ist, " +" oder "-" wird abhängig von der Richtung der Umgehung der Polylinie genommen.

Unsere Aufgabe ist es, eine Formel für die Summe der Winkel eines beliebigen Polygons herzuleiten, das durch einen geschlossenen (möglicherweise sich selbst schneidenden) Polygonzug gebildet wird. Dazu führen wir den Begriff des Polygongrades ein.

Der Grad eines Polygons ist die Anzahl der Umdrehungen, die ein Punkt während einer vollständigen sequentiellen Umgehung seiner Seiten macht. Darüber hinaus werden die Drehungen gegen den Uhrzeigersinn mit dem Zeichen „+“ und die Drehungen im Uhrzeigersinn mit dem Zeichen „-“ berücksichtigt.

Es ist klar, dass der Grad eines Polygons, das durch eine einfache geschlossene unterbrochene Linie gebildet wird, +1 oder –1 ist, abhängig von der Richtung des Durchlaufs. Der Grad der gestrichelten Linie in Fig. 12 a ist gleich zwei. Der Grad der Sternheptagone (Abb. 12, c, d) ist gleich zwei bzw. drei.

Der Gradbegriff wird ähnlich für geschlossene Kurven in der Ebene definiert. Beispielsweise ist der Grad der in Fig. 14 gezeigten Kurve zwei.

Um den Grad eines Polygons oder einer Kurve zu ermitteln, können Sie wie folgt vorgehen. Angenommen, wir bewegen uns entlang der Kurve (Abb. 15, a), beginnend an einer Stelle A1, machten eine volle Kurve und landeten am selben Punkt A1. Entfernen wir den entsprechenden Abschnitt aus der Kurve und bewegen uns weiter entlang der verbleibenden Kurve (Abb. 15b). Wenn wir ausgehend von einer Stelle A2 erneut eine volle Kurve gemacht haben und an denselben Punkt gelangt sind, löschen wir den entsprechenden Abschnitt der Kurve und bewegen uns weiter (Abb. 15, c). Wenn wir die Anzahl der entfernten Abschnitte mit den Zeichen "+" oder "-" zählen, erhalten wir je nach Umgehungsrichtung den gewünschten Grad der Kurve.

Satz 4. Für ein beliebiges Polygon die Formel

180° (n+2m),

wo ist die Summe der Winkel, n ist die Anzahl der Winkel, m ist der Grad des Polygons.

Nachweisen. Das Polygon M habe den Grad m und ist herkömmlich in Fig. 16 gezeigt. M1, …, Mk sind einfache geschlossene unterbrochene Linien, durch die der Punkt volle Umdrehungen macht. A1, …, Ak sind die entsprechenden Selbstschnittpunkte der Polylinie, die nicht ihre Eckpunkte sind. Bezeichnen wir die Anzahl der Eckpunkte des Polygons M, die in den Polygonen M1, …, Mk enthalten sind, jeweils mit n1, …, nk. Da diesen Polygonen zusätzlich zu den Ecken des Polygons M die Ecken A1, …, Ak hinzugefügt werden, ist die Anzahl der Ecken der Polygone M1, …, Mk gleich n1+1, …, nk+1, bzw. Dann ist die Summe ihrer Winkel gleich 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus oder Minus wird abhängig von der Richtung der Umgehung unterbrochener Linien genommen. Die Summe der Winkel des Polygons M0, die von dem Polygon M nach dem Entfernen der Polygone M1, ..., Mk übrig bleiben, ist gleich 180º (n - n1 - ... - nk + k2). Die Winkelsummen der Polygone M0, M1, …, Mk ergeben die Winkelsumme des Polygons M, und an jedem Eckpunkt A1, …, Ak erhalten wir zusätzlich 360°. Daher haben wir die Gleichheit

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

wobei m der Grad des Polygons M ist.

Betrachten Sie als Beispiel die Berechnung der Summe der Winkel eines fünfzackigen Sterns (Abb. 17, a). Der Grad der entsprechenden geschlossenen Polylinie ist -2. Daher ist die gewünschte Winkelsumme 180.

gestrichelten Linie

Definition

gestrichelten Linie, oder kürzer, gestrichelten Linie, heißt eine endliche Folge von Segmenten, so dass eines der Enden des ersten Segments als Ende des zweiten dient, das andere Ende des zweiten Segments als Ende des dritten dient und so weiter. Dabei liegen benachbarte Segmente nicht auf derselben Geraden. Diese Segmente werden Polylinienverbindungen genannt.

Arten von unterbrochenen Linien

Die unterbrochene Linie wird aufgerufen geschlossen wenn der Anfang des ersten Segments mit dem Ende des letzten zusammenfällt.

Die unterbrochene Linie kann sich kreuzen, sich berühren, sich anlehnen. Wenn es keine solchen Singularitäten gibt, wird eine solche unterbrochene Linie genannt einfach.

Polygone

Definition

Eine einfache geschlossene Polylinie wird zusammen mit einem von ihr begrenzten Teil der Ebene aufgerufen Polygon.

Kommentar

An jedem Eckpunkt eines Polygons definieren seine Seiten einen gewissen Winkel des Polygons. Es kann entweder weniger als bereitgestellt oder mehr als bereitgestellt sein.

Eigentum

Jedes Polygon hat einen Winkel von weniger als $180^\circ$.

Nachweisen

Gegeben sei ein Polygon $P$.

Lassen Sie uns eine gerade Linie zeichnen, die sie nicht schneidet. Wir verschieben es parallel zur Seite des Polygons. Irgendwann erhalten wir zum ersten Mal eine Linie $a$, die mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Polygon $P$ hat. Das Polygon liegt auf einer Seite dieser Linie (außerdem liegen einige seiner Punkte auf der Linie $a$).

Die Linie $a$ enthält mindestens einen Eckpunkt des Polygons. Seine beiden Seiten laufen darin zusammen und befinden sich auf derselben Seite der Linie $a$ (einschließlich des Falls, wenn eine von ihnen auf dieser Linie liegt). An diesem Scheitelpunkt ist der Winkel also kleiner als der entwickelte.

Definition

Das Polygon wird aufgerufen konvex wenn es auf einer Seite jeder Linie liegt, die seine Seite enthält. Wenn das Polygon nicht konvex ist, wird es aufgerufen nicht konvex.

Kommentar

Ein konvexes Polygon ist der Schnittpunkt von Halbebenen, die durch Linien begrenzt sind, die die Seiten des Polygons enthalten.

Eigenschaften eines konvexen Polygons

Ein konvexes Vieleck hat alle Winkel kleiner als $180^\circ$.

Ein Liniensegment, das zwei beliebige Punkte eines konvexen Polygons (insbesondere eine seiner Diagonalen) verbindet, ist in diesem Polygon enthalten.

Nachweisen

Beweisen wir die erste Eigenschaft

Nehmen Sie eine beliebige Ecke $A$ eines konvexen Polygons $P$ und seine Seite $a$, die vom Scheitelpunkt $A$ kommt. Sei $l$ eine Linie, die die Seite $a$ enthält. Da das Polygon $P$ konvex ist, liegt es auf einer Seite der Geraden $l$. Daher liegt auch sein Winkel $A$ auf derselben Seite dieser Geraden. Daher ist der Winkel $A$ kleiner als der gerade Winkel, also kleiner als $180^\circ$.

Beweisen wir die zweite Eigenschaft

Nehmen Sie zwei beliebige Punkte $A$ und $B$ eines konvexen Polygons $P$. Das Polygon $P$ ist der Schnittpunkt mehrerer Halbebenen. In jeder dieser Halbebenen ist das Segment $AB$ enthalten. Daher ist es auch im Polygon $P$ enthalten.

Definition

Diagonales Vieleck heißt ein Segment, das seine nicht benachbarten Knoten verbindet.

Satz (über die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks)

Die Anzahl der Diagonalen eines konvexen $n$-Ecks berechnet sich nach der Formel $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Nachweisen

Von jeder Ecke eines n-Ecks kann man $n-3$ Diagonalen ziehen (man kann keine Diagonale zu benachbarten Ecken und zu dieser Ecke selbst ziehen). Wenn wir alle solchen möglichen Segmente zählen, dann gibt es $n\cdot(n-3)$, da es $n$ Ecken gibt. Aber jede Diagonale wird doppelt gezählt. Die Anzahl der Diagonalen eines n-Ecks ist also $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Satz (über die Winkelsumme eines n-Ecks)

Die Winkelsumme eines konvexen $n$-Ecks ist $180^\circ(n-2)$.

Nachweisen

Betrachten Sie das $n$-Eck $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Nehmen Sie einen beliebigen Punkt $O$ innerhalb dieses Polygons.

Die Summe der Winkel aller Dreiecke $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ ist $180^\circ\cdot n$.

Andererseits ist diese Summe die Summe aller Innenwinkel des Polygons und des Gesamtwinkels $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Dann ist die Summe der Winkel des betrachteten $n$-Ecks gleich $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Folge

Die Winkelsumme eines nichtkonvexen $n$-Ecks ist $180^\circ(n-2)$.

Nachweisen

Stellen Sie sich ein Polygon $A_1A_2\ldots A_n$ vor, dessen einziger Winkel $\angle A_2$ nicht konvex ist, also $\angle A_2>180^\circ$.

Nennen wir die Summe seines Fangs $S$.

Verbinde die Punkte $A_1A_3$ und betrachte das Polygon $A_1A_3\ldots A_n$.

Die Summe der Winkel dieses Polygons ist:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Daher ist $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Wenn das ursprüngliche Polygon mehr als eine nicht konvexe Ecke hat, dann kann die oben beschriebene Operation mit jeder solchen Ecke durchgeführt werden, was dazu führt, dass die Behauptung bewiesen wird.

Satz (über die Summe der Außenwinkel eines konvexen n-Ecks)

Die Summe der Außenwinkel eines konvexen $n$-Ecks ist $360^\circ$.

Nachweisen

Der Außenwinkel am Scheitelpunkt $A_1$ beträgt $180^\circ-\angle A_1$.

Die Summe aller Außenwinkel ist:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.