Viele von allen reale Nummern kann als Vereinigung von drei Mengen dargestellt werden: eine Menge positiver Zahlen, eine Menge negativer Zahlen und eine Menge, die aus einer Zahl besteht - der Zahl Null. Um anzuzeigen, dass die Nummer a Positiv, genieße die Platte a > 0, um eine negative Zahl anzugeben, verwenden Sie einen anderen Datensatz a< 0 .

Auch die Summe und das Produkt positiver Zahlen sind positive Zahlen. Wenn Zahl a negativ, dann die Zahl -a positiv (und umgekehrt). Zu jeder positiven Zahl a gibt es eine positive Rationale Zahl r, was r< а . Diese Tatsachen liegen der Theorie der Ungleichheiten zugrunde.

Per Definition ist die Ungleichung a > b (oder äquivalent b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, das heißt, wenn die Zahl a - b positiv ist.

Beachten Sie insbesondere die Ungleichheit a< 0 . Was bedeutet diese Ungleichheit? Nach der obigen Definition bedeutet es das 0 - a > 0, d.h. -a > 0 oder welche Nummer -a positiv. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn die Zahl a Negativ. Also die Ungleichheit a< 0 bedeutet, dass die Nummer aber negativ.

Häufig wird auch die Notation verwendet ab(oder, was dasselbe ist, ba).
Aufzeichnung ab bedeutet per definitionem entweder a > b, oder a = b. Betrachten wir den Eintrag ab als unbestimmter Satz, dann in der Notation mathematische Logik kann geschrieben werden

(a b) [(a > b) V (a = b)]

Beispiel 1 Sind die Ungleichungen 5 0, 0 0 richtig?

Ungleichung 5 0 ist Zusammengesetzte Aussage bestehend aus zwei einfache Sprüche durch eine logische Verknüpfung „oder“ (Disjunktion) verbunden. Entweder 5 > 0 oder 5 = 0. Die erste Aussage 5 > 0 ist wahr, die zweite Aussage 5 = 0 ist falsch. Nach der Definition der Disjunktion ist eine solche zusammengesetzte Aussage wahr.

Datensatz 00 wird ähnlich diskutiert.

Ungleichungen der Form a > b, a< b wird streng genannt, und Ungleichungen der Form ab, ab- nicht streng.

Ungleichheiten a > b und c > d(oder a< b und Mit< d ) werden gleichbedeutende Ungleichungen und Ungleichungen genannt a > b und c< d - Ungleichungen der entgegengesetzten Bedeutung. Beachten Sie, dass sich diese beiden Begriffe (Ungleichungen mit gleicher und entgegengesetzter Bedeutung) nur auf die Form der Schreibweise von Ungleichungen beziehen und nicht auf die Tatsachen selbst, die durch diese Ungleichungen ausgedrückt werden. Also in Bezug auf die Ungleichheit a< b Ungleichheit Mit< d ist eine Ungleichung der gleichen Bedeutung, und schriftlich d > c(bedeutet dasselbe) - eine Ungleichung mit entgegengesetzter Bedeutung.

Zusammen mit Ungleichheiten der Form a > b, ab es werden sogenannte doppelte Ungleichungen verwendet, also Ungleichungen der Form a< с < b , As< b , a< cb ,
acb. Per Definition der Eintrag

a< с < b (1)
bedeutet, dass beide Ungleichungen gelten:

a< с und Mit< b.

Die Ungleichungen haben eine ähnliche Bedeutung acb, ac< b, а < сb.

Die doppelte Ungleichung (1) kann wie folgt geschrieben werden:

(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]

und die doppelte Ungleichung a ≤ c ≤ b kann in folgender Form geschrieben werden:

(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

Lassen Sie uns nun mit der Präsentation der wichtigsten Eigenschaften und Handlungsregeln für Ungleichheiten fortfahren und uns darauf einigen, dass in diesem Artikel die Buchstaben a, b, c reelle Zahlen darstellen, und n bedeutet eine natürliche Zahl.

1) Wenn a > b und b > c, dann a > c (Transitivität).

Nachweisen.

Da je nach Zustand a > b und b > c, dann die Zahlen a - b und b - c sind positiv, und daher die Zahl a - c \u003d (a - b) + (b - c), als Summe positiver Zahlen, ist ebenfalls positiv. Dies bedeutet per Definition, dass a > c.

2) Wenn a > b, dann gilt für jedes c die Ungleichung a + c > b + c.

Nachweisen.

Als a > b, dann die Nummer a - b positiv. Daher die Nummer (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b ist auch positiv, d.h.
a + c > b + c.

3) Wenn a + b > c, dann a > b - c, d.h. jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Termes in das Gegenteil geändert wird.

Der Beweis folgt aus Eigenschaft 2) ist für beide Teile der Ungleichung ausreichend a + b > c füge eine Zahl hinzu -b.

4) Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d, d.h. das Addieren zweier gleichbedeutender Ungleichungen ergibt eine gleichbedeutende Ungleichung.

Nachweisen.

Durch die Definition der Ungleichung genügt es zu zeigen, dass der Unterschied
(a + c) - (b + c) positiv. Dieser Unterschied lässt sich wie folgt schreiben:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Da durch den Zustand der Nummer a - b und CD sind dann positiv (a + c) - (b + d) ist auch eine positive Zahl.

Folge. Regeln 2) und 4) implizieren nächste Regel Subtraktion von Ungleichungen: if a > b, c > d, dann a - d > b - c(Für den Beweis genügen beide Teile der Ungleichung a + c > b + d füge eine Zahl hinzu - CD).

5) Wenn a > b, dann haben wir für c > 0 ac > bc und für c< 0 имеем ас < bc.

Mit anderen Worten, wenn beide Seiten der Ungleichung multipliziert werden, auch nicht positive Zahl das Ungleichheitszeichen bleibt erhalten (d. h. es wird eine Ungleichheit mit derselben Bedeutung erhalten), und wenn es mit multipliziert wird eine negative Zahl das Vorzeichen der Ungleichung wird umgekehrt (d. h. es wird eine Ungleichung mit entgegengesetzter Bedeutung erhalten).

Nachweisen.

Wenn ein a > b, dann a - b ist eine positive Zahl. Daher das Vorzeichen des Unterschieds ac-bc = Taxi) entspricht dem Vorzeichen der Zahl Mit: wenn Mit eine positive Zahl ist, dann die Differenz ac - bc positiv und daher ac > bc, und wenn Mit< 0 , dann ist diese Differenz negativ und daher bc - ac positiv, d.h. bc > ac.

6) Wenn a > b > 0 und c > d > 0, dann ist ac > bd, d.h. wenn alle Terme zweier Ungleichungen gleicher Bedeutung positiv sind, dann führt die Term-zu-Term-Multiplikation dieser Ungleichungen zu einer Ungleichung gleicher Bedeutung.

Nachweisen.

Wir haben ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Als c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, dann ac - bd > 0, d.h. ac > bd.

Kommentar. Aus dem Beweis geht hervor, dass die Bedingung d > 0 in der Formulierung von Eigenschaft 6) ist unwichtig: Damit diese Eigenschaft wahr ist, genügen die Bedingungen a > b > 0, c > d, c > 0. Wenn (wenn die Ungleichungen a > b, c > d) Zahlen a, b, c Sind nicht alle positiv, dann die Ungleichheit ac > bd dürfen nicht durchgeführt werden. Wann zum Beispiel a = 2, b =1, c= -2, d= -3 haben wir a > b, c > d, aber die Ungleichheit ac > bd(d.h. -4 > -3) fehlgeschlagen. Daher ist die Anforderung, dass die Zahlen a, b, c in der Vermögensaussage 6) positiv sind, wesentlich.

7) Wenn a ≥ b > 0 und c > d > 0, dann (Division von Ungleichungen).

Nachweisen.

Wir haben Der Zähler des Bruchs auf der rechten Seite ist positiv (siehe Eigenschaften 5), 6)), der Nenner ist ebenfalls positiv. Folglich,. Dies beweist Eigenschaft 7).

Kommentar. Wir stellen eine wichtige fest besonderer Fall Regel 7) erhalten, wenn a = b = 1: wenn c > d > 0, dann. Wenn also die Terme der Ungleichung positiv sind, dann erhalten wir beim Übergang zu den Kehrwerten eine Ungleichung mit entgegengesetzter Bedeutung. Wir bitten die Leser zu überprüfen, ob diese Regel auch in 7) Wenn ab > 0 und c > d > 0, dann (Division von Ungleichungen) gilt.

Nachweisen. dann.

Wir haben oben mehrere Eigenschaften von mit dem Vorzeichen geschriebenen Ungleichungen bewiesen > (mehr). Alle diese Eigenschaften könnten jedoch mit dem Vorzeichen formuliert werden < (weniger), da die Ungleichheit b< а bedeutet per definitionem dasselbe wie die Ungleichheit a > b. Außerdem bleiben die oben bewiesenen Eigenschaften, wie leicht nachzuprüfen ist, auch für nicht-strikte Ungleichungen erhalten. Zum Beispiel wird Eigenschaft 1) für nicht strenge Ungleichungen haben nächste Ansicht: wenn ab und bc, dann As.

Natürlich sind die allgemeinen Eigenschaften von Ungleichungen nicht auf das oben Gesagte beschränkt. Es gibt noch ganze Linie Ungleichheiten Gesamtansicht verbunden mit der Berücksichtigung von Potenz, Exponential, Logarithmus und trigonometrische Funktionen. Der allgemeine Ansatz zum Schreiben dieser Art von Ungleichungen ist wie folgt. Wenn einige funktionieren y = f(x) steigt auf dem Segment monoton an [ein, b], dann haben wir für x 1 > x 2 (wobei x 1 und x 2 zu diesem Segment gehören) f (x1) > f(x 2). Ebenso, wenn die Funktion y = f(x) nimmt auf dem Segment monoton ab [ein, b], dann bei x1 > x 2 (wo x 1 und X 2 gehören zu diesem Segment) haben wir f(x1)< f(x 2 ). Natürlich unterscheidet sich das Gesagte nicht von der Definition der Monotonie, aber diese Technik ist sehr praktisch zum Auswendiglernen und Schreiben von Ungleichungen.

Also zum Beispiel für jedes natürliche n die Funktion y = xn auf dem Strahl monoton ansteigend {0} {0} }