Das Thema dieses Video-Tutorials sind Bewegungseigenschaften sowie parallele Übersetzung. Zu Beginn der Lektion wiederholen wir noch einmal das Bewegungskonzept, seine Haupttypen - axiale und zentrale Symmetrie. Danach betrachten wir alle Eigenschaften der Bewegung. Lassen Sie uns das Konzept der "Parallelübertragung" analysieren, wofür es verwendet wird, lassen Sie uns seine Eigenschaften benennen.

Thema: Bewegung

Lektion: Bewegung. Bewegungseigenschaften

Beweisen wir den Satz: Beim Bewegen geht das Segment in das Segment über.

Entschlüsseln wir die Formulierung des Satzes mit Hilfe von Abb. 1. Wenn die Enden eines bestimmten Segments MN während der Bewegung an einigen Punkten M 1 bzw. N 1 angezeigt werden, geht jeder Punkt P des Segments MN notwendigerweise zu einem Punkt P 1 des Segments M 1 N 1. und umgekehrt, zu jedem Punkt Q 1 des Segments M 1 N 1 wird irgendein Punkt Q des Segments MN angezeigt.

Nachweisen.

Wie aus der Figur ersichtlich, ist MN = MP + PN.

Lassen Sie den Punkt P zu einem Punkt P 1 "der Ebene gehen. Die Definition der Bewegung impliziert die Gleichheit der Längen der Segmente MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Aus diesen Gleichheiten folgt, dass M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, dh der Punkt Р 1 "gehört zu Segment M 1 N 1 und fällt mit dem Punkt P 1 zusammen, andernfalls wäre anstelle der obigen Gleichheit die Ungleichung des Dreiecks M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 wahr. Das heißt, wir haben bewiesen dass beim Bewegen jeder Punkt, jeder Punkt P des Segments MN notwendigerweise zu einem Punkt P 1 des Segments M 1 N 1 gehen wird. Der zweite Teil des Theorems (betreffend den Punkt Q 1) wird auf genau dieselbe Weise bewiesen .

Der bewiesene Satz gilt für beliebige Bewegungen!

Satz: Beim Bewegen geht der Winkel in einen gleichen Winkel über.

Sei RAOB gegeben (Abb. 2). Und es sei eine Bewegung gegeben, bei der der Scheitel РО zum Punkt О 1 geht und die Punkte A und B - jeweils zu den Punkten А 1 und В 1 .

Betrachten Sie die Dreiecke AOB und A 1 O 1 B 1 . Gemäß der Bedingung des Theorems bewegen sich die Punkte A, O und B, wenn sie sich jeweils zu den Punkten A 1, O 1 und B 1 bewegen. Daher besteht eine Gleichheit der Längen AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 und AB \u003d A 1 B 1. Also AOB \u003d A 1 O 1 B 1 auf drei Seiten. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der entsprechenden Winkel O und O 1.

So behält jede Bewegung Winkel bei.

Viele Konsequenzen ergeben sich aus den grundlegenden Eigenschaften der Bewegung, insbesondere, dass jede Figur während der Bewegung auf eine ihr gleiche Figur abgebildet wird.

Betrachten Sie eine andere Art von Bewegung - parallele Übertragung.

Parallele Übertragung auf einen gegebenen Vektor wird eine solche Abbildung der Ebene auf sich selbst genannt, bei der jeder Punkt M der Ebene zu einem solchen Punkt M 1 derselben Ebene geht (Fig. 3).

Lassen Sie uns das beweisen Parallelübersetzung ist eine Bewegung.

Nachweisen.

Prüfen beliebiges Segment MN (Abb. 4). Lassen Sie den Punkt M während der parallelen Übertragung zum Punkt M 1 und den Punkt N - zum Punkt N 1 verschieben. In diesem Fall sind die Bedingungen der parallelen Übertragung erfüllt: und . Betrachten Sie ein Viereck

MM 1 N 1 N. Seine beiden gegenüberliegenden Seiten (MM 1 und NN 1) sind gleich und parallel, wie es durch die Parallelverschiebungsbedingungen vorgegeben ist. Daher ist dieses Viereck ein Parallelogramm nach einem der Zeichen des letzteren. Dies impliziert, dass die beiden anderen Seiten (M 1 und M 1 N 1) des Parallelogramms haben gleiche Längen, was zu beweisen war.

Paralleltransfer ist also tatsächlich eine Bewegung.

Fassen wir zusammen. Wir kennen bereits drei Bewegungsarten: Achsensymmetrie, zentrale Symmetrie und parallele Übertragung. Wir haben bewiesen, dass beim Bewegen ein Segment in ein Segment übergeht und ein Winkel in einen gleichen Winkel. Außerdem lässt sich zeigen, dass beim Bewegen eine Gerade in eine Gerade übergeht und ein Kreis in einen Kreis mit gleichem Radius.

1. Atanasyan L. S. und andere Geometriegrade 7-9. Anleitung für Bildungsinstitutionen. -M.: Bildung, 2010.

2. Farkov A. V. Geometrietests: Klasse 9. Zum Lehrbuch von L. S. Atanasyan und anderen - M .: Exam, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometrie, Konto. für 7-11 Zellen. Allgemeines inst. - M.: Aufklärung, 1995.

1. Russisch Bildungsportal ().

2. Fest Pädagogische Ideen « Öffentlicher Unterricht» ().

1. Atanasyan (siehe Referenzen), S. 293, § 1, Punkt 114.

Der Satz über die Bewegung des Massenschwerpunktes.

In einigen Fällen reicht es aus, das Bewegungsgesetz seines Massenschwerpunkts zu kennen, um die Art der Bewegung eines Systems (insbesondere eines starren Körpers) zu bestimmen. Wenn Sie zum Beispiel einen Stein auf ein Ziel werfen, müssen Sie überhaupt nicht wissen, wie er während des Fluges taumeln wird, es ist wichtig festzustellen, ob er das Ziel treffen wird oder nicht. Dazu genügt es, die Bewegung eines Punktes dieses Körpers zu betrachten.

Um dieses Gesetz zu finden, wenden wir uns den Bewegungsgleichungen des Systems zu und addieren deren linken und rechten Teil Term für Term. Dann bekommen wir:

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichheit transformieren. Aus der Formel für den Radiusvektor des Massenmittelpunkts haben wir:

Wenn wir von beiden Teilen dieser Gleichheit die zweite zeitliche Ableitung nehmen und feststellen, dass die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, finden wir:

wo ist die Beschleunigung des Massenmittelpunkts des Systems. Da, durch das Eigentum von internal Systemkräfte, Wenn wir dann alle gefundenen Werte ersetzen, erhalten wir schließlich:

Die Gleichung und drückt den Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems aus: das Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seines Massenschwerpunkts ist geometrische Summe alle äußeren Kräfte, die auf das System einwirken. Durch Vergleich mit der Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes erhalten wir einen weiteren Ausdruck des Satzes: der Massenmittelpunkt des Systems bewegt sich als materieller Punkt, dessen Masse gleich der Masse des gesamten Systems ist und auf den alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte wirken.

Wenn wir beide Seiten der Gleichheit auf die Koordinatenachsen projizieren, erhalten wir:

Diese Gleichungen sind Differentialgleichungen der Bewegung des Massenschwerpunkts in Projektionen auf die Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Die Bedeutung des bewiesenen Satzes ist wie folgt.

1) Der Satz liefert eine Rechtfertigung für die Methoden der Punktdynamik. Aus den Gleichungen ist ersichtlich, dass die Lösungen, die wir erhalten, wenn wir den gegebenen Körper als materiellen Punkt betrachten, bestimmen das Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts dieses Körpers, jene. haben eine ganz bestimmte Bedeutung.

Bewegt sich der Körper insbesondere nach vorne, so wird seine Bewegung vollständig durch die Bewegung des Massenmittelpunkts bestimmt. Ein fortschreitend bewegter Körper kann also immer als materieller Punkt mit einer Masse betrachtet werden, gleich der Masse Karosserie. In anderen Fällen kann der Körper nur dann als materieller Punkt betrachtet werden, wenn es in der Praxis zur Bestimmung der Position des Körpers ausreicht, die Position seines Massenschwerpunkts zu kennen.

2) Der Satz erlaubt es, bei der Bestimmung des Bewegungsgesetzes des Massenschwerpunktes eines beliebigen Systems alle bisher unbekannten inneren Kräfte von der Berücksichtigung auszuschließen. Das ist sein praktischer Wert.

Die Bewegung des Autos in einer horizontalen Ebene kann also nur unter Einwirkung von erfolgen äußere Kräfte, Reibungskräfte, die vom Straßenrand auf die Räder wirken. Und das Bremsen des Autos ist auch nur durch diese Kräfte möglich und nicht durch Reibung zwischen den Bremsbelägen und der Bremstrommel. Wenn die Straße glatt ist, egal wie stark die Räder bremsen, rutschen sie und halten das Auto nicht an.

Oder nach der Explosion eines fliegenden Projektils (unter Einwirkung von interne Kräfte) Teile, Fragmente davon, streuen, so dass sich ihr Massenschwerpunkt auf derselben Flugbahn bewegt.

Der Satz über die Bewegung des Massenmittelpunkts eines mechanischen Systems soll verwendet werden, um Probleme in der Mechanik zu lösen, die Folgendes erfordern:

Bestimmen Sie anhand der auf ein mechanisches System (meistens auf einen festen Körper) ausgeübten Kräfte das Bewegungsgesetz des Massenschwerpunkts;

Von gegebenes Gesetz Bewegungen von Körpern, die in das mechanische System eingeschlossen sind, finden Sie die Reaktionen äußerer Bindungen;

Bestimmen Sie auf der Grundlage der gegebenen gegenseitigen Bewegung der im mechanischen System enthaltenen Körper das Bewegungsgesetz dieser Körper relativ zu einem festen Bezugsrahmen.

Mit diesem Satz lässt sich eine der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit mehreren Freiheitsgraden aufstellen.

Bei der Lösung von Problemen werden häufig die Konsequenzen des Satzes auf die Bewegung des Massenschwerpunkts verwendet Mechanisches System.

Folgerung 1. Wenn Hauptvektoräußere Kräfte, die auf ein mechanisches System einwirken, Null, dann ruht der Massenmittelpunkt des Systems oder bewegt sich gleichförmig und geradlinig. Da die Beschleunigung des Massenschwerpunktes Null ist, ist .

Korollar 2. Wenn die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null ist, ändert der Massenmittelpunkt des Systems entweder seine Position relativ zu dieser Achse nicht oder bewegt sich gleichmäßig relativ zu ihr.

Wenn beispielsweise zwei Kräfte auf den Körper wirken und ein Kräftepaar bilden (Abb. 38), dann der Schwerpunkt Mit es wird sich entlang der gleichen Bahn bewegen. Und der Körper selbst dreht sich um den Massenmittelpunkt. Und es spielt keine Rolle, wo ein paar Kräfte wirken.

Übrigens haben wir in der Statik bewiesen, dass die Wirkung eines Paares auf einen Körper nicht davon abhängt, wo es angebracht wird. Hier haben wir gezeigt, dass die Drehung des Körpers um die Mittelachse erfolgt Mit.

Abb.38

Satz über die Änderung des kinetischen Moments.

Kinetisches Moment eines mechanischen Systems bezogen auf einen festen Mittelpunkt Ö ist ein Maß für die Bewegung des Systems um dieses Zentrum. Bei der Lösung von Problemen wird normalerweise nicht der Vektor selbst verwendet, sondern seine Projektionen auf die Achsen eines festen Koordinatensystems, die als kinetische Momente um die Achse bezeichnet werden. Zum Beispiel - das kinetische Moment des Systems relativ zur festen Achse Unze .

Der Impuls eines mechanischen Systems ist die Summe von Schwung Punkte und Körper, die in diesem System enthalten sind. Überlegen Sie, wie Sie den Drehimpuls bestimmen können materieller Punkt und ein fester Körper verschiedene Anlässe ihre Bewegungen.

Für einen materiellen Punkt mit einer Masse, die eine Geschwindigkeit hat, der Drehimpuls um eine Achse Unze ist definiert als das Moment des Impulsvektors dieses Punktes um die gewählte Achse:

Der Drehimpuls eines Punktes wird als positiv angesehen, wenn die Bewegung des Punktes von der Seite der positiven Achsenrichtung im Gegenuhrzeigersinn erfolgt.

Wenn ein Punkt eine komplexe Bewegung ausführt, sollte zur Bestimmung seines Drehimpulses der Impulsvektor als Summe der Größen der relativen und tragbaren Bewegung betrachtet werden (Abb. 41).

Aber , wo ist der Abstand vom Punkt zur Rotationsachse, und

Reis. 41

Die zweite Komponente des Drehimpulsvektors kann wie das Kraftmoment um die Achse definiert werden. Wie beim Kraftmoment ist der Wert Null, wenn der Relativgeschwindigkeitsvektor in der gleichen Ebene liegt wie die translatorische Rotationsachse.

Der Impuls eines starren Körpers relativ zu einem festen Mittelpunkt kann als Summe zweier Komponenten definiert werden: Die erste charakterisiert den translatorischen Anteil der Bewegung des Körpers zusammen mit seinem Massenmittelpunkt, die zweite charakterisiert die Bewegung des Systems um den Masseschwerpunkt:

Führt der Körper eine Translationsbewegung aus, so ist die zweite Komponente gleich Null

Das kinetische Moment eines starren Körpers wird am einfachsten berechnet, wenn er sich um eine feste Achse dreht

wo ist das Trägheitsmoment des Körpers um die Drehachse.

Der Satz über die Änderung des Drehimpulses eines mechanischen Systems, wenn es sich um einen festen Mittelpunkt bewegt, wird wie folgt formuliert: die Gesamtzeitableitung des Drehimpulsvektors eines mechanischen Systems in Bezug auf einen festen Mittelpunkt Ö in Größe und Richtung ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte, die auf das mechanische System einwirken und relativ zum gleichen Zentrum definiert sind

wo - Hauptpunkt alle äußeren Kräfte um das Zentrum Ö.

Bei der Lösung von Problemen, bei denen angenommen wird, dass sich Körper um eine feste Achse drehen, verwenden sie den Satz über die Änderung des Drehimpulses relativ zu einer festen Achse

Wie für den Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts hat der Satz über die Änderung des Drehimpulses Konsequenzen.

Korollar 1. Wenn das Hauptmoment aller äußeren Kräfte relativ zu einem festen Zentrum gleich Null ist, dann bleibt das kinetische Moment des mechanischen Systems relativ zu diesem Zentrum unverändert.

Korollar 2. Wenn das Hauptmoment aller äußeren Kräfte um eine feste Achse gleich Null ist, dann bleibt das kinetische Moment des mechanischen Systems um diese Achse unverändert.

Der Impulsänderungssatz wird zur Lösung von Problemen verwendet, bei denen die Bewegung eines mechanischen Systems betrachtet wird, das aus einem zentralen Körper besteht, der sich um eine feste Achse dreht, und einem oder mehreren Körpern, deren Bewegung mit dem zentralen verbunden ist mit Fäden durchgeführt werden, können sich Körper aufgrund innerer Kräfte entlang der Oberfläche des Zentralkörpers oder in seinen Kanälen bewegen. Mit diesem Satz kann man die Abhängigkeit des Rotationsgesetzes des zentralen Körpers von der Position oder Bewegung der übrigen Körper bestimmen.

Ebene Bewegungen und ihre Eigenschaften. Bewegungsbeispiele. Klassifizierung von Bewegungen. Bewegungsgruppe. Anwendung von Bewegung zur Problemlösung

Bewegung- Dies ist eine Transformation von Figuren, bei der Abstände zwischen Punkten erhalten bleiben. Wenn zwei Figuren exakt durch Bewegung miteinander verbunden werden, dann sind diese Figuren gleich, gleich.

Bewegung ist eine bijektive Transformation φ der Ebene π, unter der für beliebige verschiedene Punkte X, Y є π die Beziehung XY  φ(X)φ(Y) erfüllt ist.

Bewegungseigenschaften:

1.Zusammensetzung φ ◦ ψ zwei Bewegungen ψ , φ ist eine Bewegung.

Doc-in: Lassen Sie die Figur F übersetzt durch Bewegung ψ in eine Figur F “, und die Figur F “ wird mit Bewegung übersetzt φ in eine Figur F ''. Lassen Sie den Punkt X Zahlen F geht zur Sache X ’ Zahlen F “ und im zweiten Satz der Punkt X ’ Zahlen F “ geht auf den Punkt X ''Formen F ''. Dann die Transformation der Figur F in eine Figur F '', an dem ein willkürlicher Punkt X Zahlen F geht zur Sache X ''Formen F '', behält den Abstand zwischen Punkten bei und ist daher auch eine Bewegung.

Die Songaufnahme beginnt immer mit dem letzten Satz, weil Das Ergebnis der Komposition ist das endgültige Bild - es wird mit dem Original in Einklang gebracht: X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

2. Wenn φ – Bewegung, dann Transformation ϕ -1 ist auch eine Bewegung.

Doc-in: Lassen Sie die Formtransformation F in eine Figur F “ übersetzt verschiedene Punkte Zahlen F an verschiedenen Stellen der Figur F '. Lassen Sie einen beliebigen Punkt X Zahlen F unter dieser Transformation geht zu einem Punkt X ’ Zahlen F ’.

Transformation der Form F “ zu einer Figur F , an dem der Punkt X “ geht auf den Punkt X , heißt die inverse Transformation des Gegebenen . Für jede Bewegung φ es ist möglich, die Rückwärtsbewegung zu definieren, die bezeichnet ist ϕ -1 .

Also die Verwandlung Rückwärtsbewegung, ist auch eine Bewegung.

Es ist offensichtlich, dass die Transformation ϕ -1 erfüllt die Gleichheiten: f◦f-1 = f-1◦f = ε , wo ε ist die identische Anzeige.

3. Assoziativität von Kompositionen: Seien φ 1 , φ 2 , φ 3 – freiwillige Bewegungen. Dann ist φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3) = (φ 1 ◦φ 2)◦φ 3 .

Die Tatsache, dass die Komposition von Bewegungen die Eigenschaft der Assoziativität hat, ermöglicht es uns, den Grad zu bestimmen φ mit natürlicher Indikator n .

Lasst uns φ 1= φ und φn+1= φ n◦ φ , Wenn n≥ 1 . Also die Bewegung φ n erhalten von n -mehrere konsequente Anwendung Bewegungen φ .

4. Erhaltung der Geradheit: Punkte, die auf einer geraden Linie liegen, gehen beim Bewegen in Punkte über, die auf einer geraden Linie liegen, und die Reihenfolge ihrer relativen Position wird beibehalten.

Das heißt, wenn die Punkte EIN ,B ,C liegen auf einer geraden Linie (solche Punkte werden kollinear genannt), gehen Sie zu den Punkten Ein 1 ,B1 ,C1 , dann liegen auch diese Punkte auf der Geraden; wenn Punkt B liegt zwischen den Punkten EIN und C , dann der Punkt B1 liegt zwischen den Punkten Ein 1 und C1 .

Dok. Lassen Sie den Punkt B gerade AC liegt zwischen den Punkten EIN und C . Lassen Sie uns beweisen, dass die Punkte Ein 1 ,B1 ,C1 liegen auf der gleichen Linie.

Wenn die Punkte Ein 1 ,B1 ,C1 nicht auf einer geraden Linie liegen, dann sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks A 1 B 1 C 1 . So A 1 C 1 <A 1 B 1 +B 1 C 1 .

Aus der Definition der Bewegung folgt dies AC <AB +BC .

Allerdings durch die Eigenschaft von Messsegmenten AC =AB +BC .

Wir sind auf einen Widerspruch gestoßen. Also der Punkt B1 liegt zwischen den Punkten Ein 1 und C1 .

Sagen wir den Punkt Ein 1 liegt zwischen den Punkten B1 , und C1 . Dann A 1 B 1 +A 1 C 1 =B 1 C 1 , und daher AB +AC =BC . Aber das widerspricht der Gleichberechtigung. AB +BC =AC .

Also Punkt Ein 1 liegt nicht zwischen den Punkten B1 , und C1 .

Es kann ähnlich bewiesen werden, dass der Punkt C1 kann nicht zwischen Punkten liegen Ein 1 und B1 . weil aus drei Punkten Ein 1 ,B1 ,C1 liegt einer zwischen zwei anderen, dann kann dieser Punkt nur sein B1 . Der Satz ist vollständig bewiesen.

Folge. Beim Verschieben wird eine Gerade auf eine Gerade abgebildet, ein Strahl auf einen Strahl, ein Segment auf ein Segment und ein Dreieck auf ein gleiches Dreieck.

Bezeichnen wir mit X die Menge der Punkte der Ebene und mit φ(X) das Bild der Menge X unter der Bewegung von φ, d.h. die Menge aller Punkte der Form φ(x), wobei x є X, dann können wir diese Eigenschaft korrekter formulieren:

Sei φ eine Bewegung, A, B, C drei verschiedene kollineare Punkte.

Dann sind auch die Punkte φ(A), φ(B), φ(C) kollinear.

Wenn l eine Gerade ist, dann ist auch φ(l) eine Gerade.

Wenn die Menge X ein Strahl (Strecke, Halbebene) ist, dann ist auch die Menge φ(X) ein Strahl (Strecke, Halbebene).

5. Beim Verschieben bleiben die Winkel zwischen den Balken erhalten.

Dok. Lassen AB und AC - zwei Strahlen, die von einem Punkt ausgehen EIN nicht auf der gleichen geraden Linie liegen. Beim Bewegen verwandeln sich diese Strahlen in einige Halblinien (Strahlen) A 1 B 1 und A 1 C 1 . weil Bewegung bewahrt Entfernungen, dann Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 sind nach dem dritten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken gleich (sind die drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich den drei Seiten eines anderen Dreiecks, dann sind diese Dreiecke gleich) Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Winkel BAK und B 1 A 1 C 1 , was zu beweisen war.

6. Jede Bewegung bewahrt die gemeinsame Richtung der Strahlen und die gleiche Ausrichtung der Flaggen.

Strahlen l A und Pfund namens gleichgerichtet(ähnlich orientiert, Bezeichnung: l A Pfund ), wenn eine von ihnen in der anderen enthalten ist oder wenn sie durch eine parallele Übertragung kombiniert werden. FlaggeF = (π l , l o) ist die Vereinigung der Halbebene πl und Strahl siehe.

Punkt Ö - der Anfang der Flagge, Balken siehe ab Punkt Ö - Fahnenstange πl - Halbebene mit Begrenzung l .

Dok. Lassen φ - freiwillige Bewegung l A Pfund -Kodirektionale Strahlen mit Ursprung in Punkten SONDERN und BEIM bzw. Führen wir die Notation ein: l A1 = φ (l A ), Ein 1 = φ (SONDERN ), l B1= φ (Pfund ),IN 1 = φ (SONDERN ).Wenn die Strahlen l A und Pfund auf derselben geraden Linie liegen, dann ist aufgrund der Kodirektivität einer von ihnen in dem anderen enthalten. Bedenkt, dass l A  Pfund , wir bekommen φ (l A )  φ (Pfund ), d.h. l A1 l B1 (Das Symbol  bezeichnet die Einbeziehung oder Gleichheit einer Teilmenge von Elementen mit einer Menge von Elementen.) Wenn jedoch l A, l B auf verschiedenen Linien liegen, dann lassen n = (AB ) Dann gibt es eine solche Halbebene n , was l A, l B  n . Von hier φ (l A ),φ (Pfund ) φ (n ). Soweit φ (n ) ist eine Halbebene, und ihr Rand enthält Punkte Ein 1 und IN 1 , das bekommen wir wieder l A, l B Co-Regie.

Wenden wir die Bewegung an φ auf identisch orientierte Fahnen F= (π l ,l A ), G= (πm ,mB ) Betrachten Sie den Fall, wenn die Punkte EIN und B Spiel. Wenn gerade l und m unterschiedlich sind, bedeutet die gleiche Ausrichtung der Flaggen, dass entweder (1) l A πm , m A  π'l , oder (2) l A π' m ,m A  πl . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir davon ausgehen, dass Bedingung (1) erfüllt ist. Dann φ (l A )  φ (πm ), φ (m A )  φ (π'l ). Dies impliziert die gleiche Ausrichtung der Flaggen φ (F ) und φ (G ).Wenn die direkte l ,m passen, dann entweder F=G oder F = G'. Daraus folgt, dass die Flaggen φ (F ) und φ (G ) sind gleich orientiert.

Lassen Sie jetzt Punkte EIN und B anders. Bezeichne mit n gerade Linie ( AB ). Es ist klar, dass es gleichgerichtete Strahlen gibt n / a und nB und Halbebene n so dass die Flagge F 1 = (πn, nA ) wird gemeinsam mit geleitet F , und die Flagge G 1 = (π n , n B , ) wird gemeinsam mit geleitet G. Meint φ (F ) und φ (G ) gleich orientiert Der Satz ist bewiesen.

Bewegungsbeispiele:

1) Paralleltranslation - eine solche Transformation einer Figur, bei der sich alle Punkte der Figur um dieselbe Entfernung in dieselbe Richtung bewegen.

2) Symmetrie in Bezug auf eine gerade Linie (Achsen- oder Spiegelsymmetrie). Transformation σ Zahlen F in eine Figur F', wo jeder seiner Punkte X geht zur Sache X', die bezüglich der gegebenen Geraden symmetrisch ist l, heißt die Symmetrietransformation bezüglich der Geraden l. Gleichzeitig die Figuren F und F' heißt symmetrisch in Bezug auf die Linie l.

3) Drehe dich um den Punkt. Durch Drehen des Flugzeugs ρ um diesen Punkt Ö nennt man eine solche Bewegung, bei der jeder von diesem Punkt ausgehende Strahl um denselben Winkel rotiert α in die gleiche Richtung

"Untersuchung ebener Bewegungen und einiger ihrer Eigenschaften". Seite 21 von 21

Untersuchung von Flugzeugbewegungen

und einige ihrer Eigenschaften

Inhalt

Aus der Entwicklungsgeschichte der Bewegungstheorie.

Definition und Eigenschaften von Bewegungen.

Kongruenz der Figuren.

Arten von Bewegungen.

4.1. Parallele Übertragung.

4.2. Wende.

4.3. Symmetrie um eine Gerade.

4.4. Gleitende Symmetrie.

5. Untersuchung besonderer Eigenschaften der Achsensymmetrie.

6. Untersuchung der Möglichkeit der Existenz anderer Arten von Bewegungen.

7. Mobilitätssatz. Zwei Arten von Bewegungen.

8. Klassifizierung von Bewegungen. Satz von Chall.

Bewegungen als eine Gruppe geometrischer Transformationen.

Anwendung von Bewegungen bei der Problemlösung.

Literatur.

Entwicklungsgeschichte der Bewegungstheorie.

Der erste, der anfing, einige geometrische Sätze zu beweisen, gilt als der antike griechische Mathematiker Thales von Milet(625-547 v. Chr.). Dank Thales begann sich die Geometrie von einer Reihe praktischer Regeln zu einer wahren Wissenschaft zu entwickeln. Vor Thales gab es einfach keine Beweise!

Wie führte Thales seine Beweise durch? Dazu bediente er sich Bewegungen.

Bewegung - Dies ist eine Transformation von Figuren, bei der Abstände zwischen Punkten erhalten bleiben. Wenn zwei Figuren exakt durch Bewegung miteinander verbunden werden, dann sind diese Figuren gleich, gleich.

Auf diese Weise bewies Thales eine Reihe der ersten Sätze der Geometrie. Wenn die Ebene als starres Ganzes um einen Punkt gedreht wird Ö 180 o, Strahl OA wird zu seiner Fortsetzung gehen OA ’ . Mit solchen drehen (auch genannt zentrale Symmetrie zentriert Ö ) jeder Punkt SONDERN bewegt sich zu einem Punkt SONDERN ’ , was Ö ist der Mittelpunkt des Segments AA ’ (Abb. 1).

Abb.1 Abb.2

Lassen Ö - gemeinsamer Scheitel vertikaler Ecken AOB und SONDERN ’ OV ’ . Aber dann ist klar, dass bei einer Drehung um 180° die Seiten des einen der beiden vertikalen Winkel gerade an den Seiten des anderen vorbeigehen, d.h. diese beiden Ecken sind ausgerichtet. Das bedeutet, dass die vertikalen Winkel gleich sind (Abb. 2).

Zum Beweis der Winkelgleichheit an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks verwendete Thales axiale Symmetrie : Er kombinierte die beiden Hälften eines gleichschenkligen Dreiecks, indem er die Zeichnung entlang der Winkelhalbierenden an der Spitze knickte (Abb. 3). Auf die gleiche Weise bewies Thales, dass der Durchmesser den Kreis halbiert.

Abb.3 Abb.4

Angewandter Thales und eine andere Bewegung - parallele Übertragung , bei der alle Punkte der Figur um den gleichen Abstand in eine bestimmte Richtung verschoben sind. Mit seiner Hilfe bewies er den Satz, der heute seinen Namen trägt:

Wenn auf einer Seite des Winkels gleiche Segmente beiseite gelegt werden und parallele Linien durch die Enden dieser Segmente gezogen werden, bis sie sich mit der zweiten Seite des Winkels schneiden, werden auch auf der anderen Seite des Winkels gleiche Segmente erhalten(Abb. 4).

In der Antike wurde die Idee der Bewegung auch von den Berühmten verwendet Euklid, der Autor von "Beginnings" - einem Buch, das mehr als zwei Jahrtausende überdauert hat. Euklid war ein Zeitgenosse von Ptolemaios I., der von 305-283 v. Chr. in Ägypten, Syrien und Mazedonien regierte.

Bewegungen waren zum Beispiel in Euklids Argumentation implizit vorhanden, als er die Gleichheitszeichen von Dreiecken bewies: "Lasst uns ein Dreieck so und so dem anderen auferlegen." Nach Euklid heißen zwei Figuren gleich, wenn sie mit allen ihren Punkten „kombinierbar“ sind, d.h. Indem man eine Figur als festes Ganzes bewegt, kann man sie genau auf eine zweite Figur legen. Bewegung war für Euklid noch kein mathematisches Konzept. Das von ihm erstmals in den „Prinzipien“ dargelegte Axiomensystem wurde zur Grundlage einer so genannten geometrischen Theorie Euklidische Geometrie.

In der Neuzeit geht die Entwicklung der mathematischen Disziplinen weiter. Die analytische Geometrie entstand im 11. Jahrhundert. Professor für Mathematik an der Universität Bologna Bonaventura Cavalieri(1598-1647) veröffentlicht den Aufsatz „Geometrie, neu formuliert mit Hilfe der unteilbaren Stetigkeit“. Laut Cavalieri kann jede flache Figur als eine Reihe paralleler Linien oder "Spuren" betrachtet werden, die eine Linie hinterlässt, wenn sie sich parallel zu sich selbst bewegt. In ähnlicher Weise wird eine Vorstellung von Körpern gegeben: Sie entstehen während der Bewegung von Ebenen.

Die Weiterentwicklung der Bewegungstheorie ist mit dem Namen des französischen Mathematikers und Wissenschaftshistorikers verbunden Michel Chall(1793-1880). 1837 veröffentlichte er das Werk „Historischer Überblick über die Entstehung und Entwicklung geometrischer Methoden“. Im Zuge seiner eigenen geometrischen Forschung beweist Schall den wichtigsten Satz:

jede orientierungserhaltende Bewegung einer Ebene ist entweder

parallele Translation oder Rotation,

Jede orientierungsändernde Bewegung einer Ebene ist entweder axial

Symmetrie oder Gleitsymmetrie.

Der Beweis des Satzes von Chall wird vollständig in Punkt 8 dieser Zusammenfassung durchgeführt.

Eine wichtige Bereicherung, die die Geometrie dem 19. Jahrhundert verdankt, ist die Entstehung der Theorie der geometrischen Transformationen, insbesondere der mathematischen Theorie der Bewegungen (Verschiebungen). Zu diesem Zeitpunkt bestand die Notwendigkeit, alle existierenden geometrischen Systeme zu klassifizieren. Dieses Problem wurde von einem deutschen Mathematiker gelöst Christian Felix Klein(1849-1925).

1872 hielt Klein, als er eine Professur an der Universität Erlangen antrat, einen Vortrag über "Eine vergleichende Übersicht über die neuesten geometrischen Forschungen". Die von ihm vorgebrachte Idee, alle Geometrie auf der Grundlage der Bewegungstheorie neu zu denken, wurde genannt „Erlanger Programm“.

Laut Klein müssen Sie zum Konstruieren einer bestimmten Geometrie einen Satz von Elementen und eine Gruppe von Transformationen angeben. Die Aufgabe der Geometrie besteht darin, jene Beziehungen zwischen Elementen zu untersuchen, die unter allen Transformationen einer gegebenen Gruppe unveränderlich bleiben. Beispielsweise untersucht Euklids Geometrie jene Eigenschaften von Figuren, die während der Bewegung unverändert bleiben. Mit anderen Worten, wenn eine Figur durch Bewegung von einer anderen erhalten wird (solche Figuren werden kongruent genannt), dann haben diese Figuren das Gleiche geometrische Eigenschaften.

In diesem Sinne bilden Bewegungen die Grundlage der Geometrie und der fünf Axiome der Kongruenz werden im Axiomensystem der modernen Geometrie von einer unabhängigen Gruppe herausgehoben. Dieses vollständige und ziemlich strenge Axiomensystem, das alle bisherigen Studien zusammenfasst, wurde von dem deutschen Mathematiker vorgeschlagen David Gilbert(1862-1943). Sein System von zwanzig Axiomen, unterteilt in fünf Gruppen, wurde erstmals 1899 in dem Buch veröffentlicht "Grundlagen der Geometrie".

1909 ein deutscher Mathematiker Friedrich Schür(1856-1932) entwickelte in Anlehnung an die Ideen von Thales und Klein ein weiteres System von Axiomen der Geometrie - basierend auf der Betrachtung von Bewegungen. Insbesondere in seinem System statt der Hilbertschen Gruppe von Kongruenzaxiomen eine Dreiergruppe Axiome der Bewegung.

Die Arten und einige wichtige Eigenschaften von Bewegungen werden in diesem Essay ausführlich diskutiert, aber sie können kurz wie folgt ausgedrückt werden: die Bewegungen bilden eine Gruppe, die die euklidische Geometrie definiert und bestimmt.

Definition und Eigenschaften von Bewegungen.

Indem jeder Punkt dieser Figur auf irgendeine Weise verschoben wird, wird eine neue Figur erhalten. Es wird gesagt, dass diese Zahl erhalten wird Transformation von diesem. Die Verwandlung einer Figur in eine andere heißt Bewegung, wenn sie die Abstände zwischen den Punkten beibehält, d.h. übersetzt zwei beliebige Punkte X und Y eine Form pro Punkt X ’ und Y ’ eine andere Figur, damit XY = X ’Y ’.

Definition. Formtransformation, die Distanz bewahrt

zwischen Punkten nennt man die Bewegung dieser Figur.

! Kommentar: Der Begriff der Bewegung in der Geometrie ist mit der üblichen Vorstellung von Verschiebung verbunden. Aber wenn wir uns, wenn wir von Verschiebung sprechen, einen kontinuierlichen Prozess vorstellen, dann kommt es in der Geometrie nur auf die Anfangs- und Endposition (Bild) der Figur an. Dieser geometrische Ansatz unterscheidet sich vom physikalischen.

Beim Bewegen entsprechen verschiedene Punkte verschiedenen Bildern und jedem Punkt X eine Zahl wird mit der einzigen in Verbindung gebracht Punkt X ’ eine andere Figur. Diese Art der Transformation wird aufgerufen eins zu eins oder bijektiv.

Bei Bewegungen wird anstelle des Begriffs "Gleichheit" von Figuren (Geraden, Strecken, Ebenen etc.) der Begriff verwendet "Kongruenz" und das Symbol verwendet wird  . Das Symbol є wird verwendet, um Zugehörigkeit zu bezeichnen.In Anbetracht dessen können wir eine korrektere Definition von Bewegung geben:

Bewegung ist eine bijektive Transformation φ der Ebene π, unter der für alle

verschiedene Punkte X, Y є π die Beziehung XY  φ (X ) φ (Y ).

Das Ergebnis der aufeinanderfolgenden Ausführung zweier Bewegungen wird aufgerufen Komposition. Wenn der Zug zuerst gemacht wird φ , gefolgt von Bewegung ψ , dann wird die Zusammensetzung dieser Bewegungen mit bezeichnet ψ ◦ φ .

Das einfachste Beispiel für Bewegung ist die Identitätsanzeige (es ist üblich zu bezeichnen - ε ), an denen jeder Punkt X , zur Ebene gehörend, wird dieser Punkt selbst verglichen, d.h. ε (X ) = X .

Betrachten wir einige wichtige Eigenschaften von Bewegungen.

C Eigentum 1.

Lemma 2. 1. Kompositionφ ◦ ψ zwei Bewegungenψ , φ ist eine Bewegung.

Nachweisen.

Lassen Sie die Figur F übersetzt durch Bewegung ψ in eine Figur F “, und die Figur F “ wird mit Bewegung übersetzt φ in eine Figur F ''. Lassen Sie den Punkt X Zahlen F geht zur Sache X ’ Zahlen F “ und im zweiten Satz der Punkt X ’ Zahlen F “ geht auf den Punkt X ''Formen F ''. Dann die Transformation der Figur F in eine Figur F '', an dem ein willkürlicher Punkt X Zahlen F geht zur Sache X ''Formen F '', behält den Abstand zwischen Punkten bei und ist daher auch eine Bewegung.

Beachten Sie, dass die Aufnahme einer Komposition immer mit dem letzten Satz beginnt, weil Das Ergebnis der Komposition ist das endgültige Bild - es wird mit dem Original in Einklang gebracht:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C Eigentum 2.

Lemma 2.2 . Wenn einφ – Bewegung, dann Transformationφ -1 ist auch eine Bewegung.

Nachweisen.

Lassen Sie die Formtransformation F in eine Figur F “ übersetzt die verschiedenen Punkte der Abbildung F an verschiedenen Stellen der Figur F '. Lassen Sie einen beliebigen Punkt X Zahlen F unter dieser Transformation geht zu einem Punkt X ’ Zahlen F ’.

Transformation der Form F “ zu einer Figur F , an dem der Punkt X “ geht auf den Punkt X , wird genannt Transformation invers zu der gegebenen. Für jede Bewegung φ es ist möglich, die Rückwärtsbewegung zu definieren, die bezeichnet ist φ -1 .

Ähnlich wie beim Beweis von Eigenschaft 1 können wir verifizieren, dass eine zu einer Bewegung inverse Transformation auch eine Bewegung ist.

Es ist offensichtlich, dass die Transformation φ -1 erfüllt die Gleichheiten:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , wo ε ist die identische Anzeige.

Eigenschaft 3 (Assoziativität von Kompositionen).

Lemma 2.3. Sei φ 1 , φ 2 , φ 3 - freiwillige Bewegungen. Dann φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Die Tatsache, dass die Komposition von Bewegungen die Eigenschaft der Assoziativität hat, ermöglicht es uns, den Grad zu bestimmen φ mit einem natürlichen Indikator n .

Lasst uns φ 1 = φ und φ n+1 = φ n ◦ φ , Wenn n ≥ 1 . Also die Bewegung φ n erhalten von n -mehrere sequentielle Anwendung der Bewegung φ .

C Eigentum 4 (Aufrechterhaltung der Geradheit).

Satz 2. 1. Punkte, die auf derselben geraden Linie liegen, gehen beim Bewegen in Punkte über,

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Bewegungen bewahren Entfernungen und damit alle geometrischen Eigenschaften von Figuren, da sie durch Entfernungen bestimmt sind. An diesem Punkt werden wir am meisten bekommen allgemeine Eigenschaften Bewegungen unter Berufung auf Beweise in Fällen, in denen dies nicht offensichtlich ist.

Eigenschaft 1. Drei Punkte, die auf derselben Geraden liegen, gehen beim Bewegen in drei Punkte, die auf derselben Geraden liegen, und drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, in drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen.

Lassen Sie die Bewegung jeweils Punkte in Punkte übersetzen, dann gelten die Gleichheiten

Liegen die Punkte A, B, C auf derselben Geraden, dann liegt einer von ihnen, zB Punkt B, zwischen den beiden anderen. In diesem Fall und aus Gleichungen (1) folgt, dass . Und diese Gleichheit bedeutet, dass Punkt B zwischen den Punkten A und C liegt. Die erste Behauptung ist bewiesen. Die zweite folgt aus der ersten und der Umkehrbarkeit der Bewegung (durch Widerspruch).

Eigenschaft 2. Ein Segment wird durch Bewegung in ein Segment umgewandelt.

Die Enden der Strecke AB seien durch die Bewegung f den Punkten A und B zugeordnet. Nimm einen beliebigen Punkt X der Strecke AB. Dann kann, wie im Beweis der Eigenschaft 1, festgestellt werden, dass sein Bild - ein Punkt auf der Strecke AB zwischen den Punkten A und B liegt. Ferner jeder Punkt

Y der Strecke A B ist das Bild eines Punktes Y der Strecke AB. Nämlich der Punkt Y, der von dem Punkt A um einen Abstand A Y entfernt ist. Daher wird das Segment AB durch Bewegung auf das Segment AB übertragen.

Eigenschaft 3. Beim Bewegen wird ein Strahl zu einem Strahl, einer geraden Linie - zu einer geraden Linie.

Beweisen Sie diese Aussagen selbst. Eigenschaft 4. Ein Dreieck wird durch Bewegung in ein Dreieck übersetzt, eine Halbebene in eine Halbebene, eine Ebene in eine Ebene, parallele Ebenen- in parallelen Ebenen.

Das Dreieck ABC ist mit Segmenten gefüllt, die den Scheitelpunkt A mit den Punkten X verbinden gegenüberliegende Seite BC (Abb. 26.1). Die Bewegung weist dem Segment BC ein Segment BC und dem Punkt A den Punkt A zu, der nicht auf der Linie BC liegt. Diese Bewegung ordnet jedem Segment AX ein Segment AX zu, wobei der Punkt X auf BC liegt. Alle diese Segmente AX füllen das Dreieck ABC.

Das Dreieck geht hinein

Eine Halbebene kann als Vereinigung von sich unendlich erweiternden Dreiecken dargestellt werden, bei denen eine Seite auf der Grenze der Halbebene liegt

(Abb. 26.2). Daher geht die Halbebene beim Bewegen auf die Halbebene über.

Ebenso kann eine Ebene als Vereinigung unendlich ausgedehnter Dreiecke dargestellt werden (Abb. 26.3). Beim Verschieben wird also eine Ebene auf eine Ebene abgebildet.

Da bei der Bewegung Abstände erhalten bleiben, ändern sich die Abstände zwischen den Figuren beim Bewegen nicht. Daraus folgt insbesondere, dass bei Bewegungen parallele Ebenen in parallele übergehen.

Eigenschaft 5. Beim Bewegen ist das Bild eines Tetraeders ein Tetraeder, das Bild eines Halbraums ist ein Halbraum, das Bild eines Raums ist der gesamte Raum.

Tetraeder ABCD ist die Vereinigung von Liniensegmenten, die Punkt D mit allen möglichen Punkten X verbinden Dreieck ABC(Abb. 26.4). Beim Verschieben werden die Segmente auf Segmente abgebildet, und daher wird der Tetraeder zu einem Tetraeder.

Ein Halbraum kann als Vereinigung expandierender Tetraeder dargestellt werden, deren Basen in der Grenzebene des Halbraums liegen. Daher wird beim Bewegen das Bild eines Halbraums ein Halbraum sein.

Der Raum kann als eine Vereinigung unendlich expandierender Tetraeder betrachtet werden. Daher wird beim Bewegen Raum auf allen Raum abgebildet.

Eigenschaft 6. Beim Verschieben bleiben die Winkel erhalten, d.h. jeder Winkel wird auf einen Winkel gleichen Typs und gleicher Größe abgebildet. Dasselbe gilt für Diederwinkel.

Beim Verschieben wird eine Halbebene auf eine Halbebene abgebildet. Als konvexer Winkel der Schnittpunkt zweier Halbebenen ist und ein nicht-konvexer Winkel und ein Diederwinkel die Vereinigung von Halbebenen sind, dann geht der konvexe Winkel beim Bewegen in einen konvexen Winkel über und der nicht-konvexe

Winkel bzw. Diederwinkel in einen nichtkonvexen und einen Diederwinkel.

Lassen Sie die Strahlen a und b, die vom Punkt O ausgehen, auf die Strahlen a und b abbilden, die vom Punkt O ausgehen. Nehmen Sie das Dreieck OAB mit Ecken A auf dem Strahl a und B auf dem Strahl b (Abb. 26.5) . Es erscheint auf gleiches Dreieck BAB mit Eckpunkten A auf Strahl a und B auf Strahl b. Daher sind die Winkel zwischen den Strahlen a, b und a, b gleich. Daher bleiben beim Verschieben die Größen der Winkel erhalten.

Folglich bleibt die Rechtwinkligkeit der Geraden und damit der Linie und der Ebene erhalten. Erinnern Sie sich an die Definitionen des Winkels zwischen einer geraden Linie und einer Ebene und an die Größen Diederwinkel, stellen wir fest, dass die Werte dieser Winkel erhalten bleiben.

Eigenschaft 7. Bewegungen erhalten Oberflächen und Volumen von Körpern.

Da die Bewegung die Rechtwinkligkeit bewahrt, übersetzt sich die Bewegung der Höhe (Dreiecke, Tetraeder, Prismen usw.) in Höhen (die Bilder dieser Dreiecke, Tetraeder, Prismen usw.). In diesem Fall bleiben die Längen dieser Höhen erhalten. Daher bleiben die Flächen von Dreiecken und die Volumina von Tetraedern bei Bewegungen erhalten. Das bedeutet, dass sowohl die Flächen von Polygonen als auch die Volumina von Polyedern erhalten bleiben. Man erhält die Flächen gekrümmter Flächen und die Volumen der von solchen Flächen begrenzten Körper Übergänge begrenzen auf den Flächen polyedrischer Flächen und Volumen polyedrischer Körper. Daher bleiben sie bei Bewegungen erhalten.